Elasticità nei mezzi continui Il tensore degli sforzi o...

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Elasticità nei mezzi continui Il tensore degli sforzi o tensore di stress, σ ij Consideriamo un cubo di dimensioni unitarie in un mezzo elastico deformato. Il cubo è deformato dalle forze esercitate sulle sue facce dal resto del solido. Se lo estraiamo dal solido esso rilasserà la deformazione a meno di non applicare alle sue facce le stesse forze che agivano quando era all’interno del solido. Immaginiamo quindi di applicare le stesse forze a ciascuna faccia e che il cubo rimanga in equilibrio nello stesso stato deformato in cui era all’interno del solido. Ciascuna forza la posso considerare come la risultante di forze applicate lungo gli assi principali x,y,z che vengono anche indicati con 1,2,3.. Gli “sforzi” o “stress” sono definiti come le forze per unità di area applicate ad un cubo infinitesimale.Il tensore degli sforzi ha 9 componenti, σ ij , ciascuna delle quali è definita da due indici . Il primo indice, i, indica la direzione della forza, il secondo, j, la direzione della normale alla faccia del cubo a cui è applicata. Se il cubo è all’equilibrio la risultante delle forze ed il momento intorno all’origine è zero. Con riferimento alla figura, la somma delle forze lungo la x (1) e lungo la y (2) devono essere nulle e devono avere la direzione come in figura affinchè il momento sia nullo. Sarà dunque: " 12 = " 21 " 23 = " 32 " 13 = " 31 per cui, delle 9 componenti dello stress, quelle indipendenti sono 6. Il tensore delle deformazioni o tensore di strain, ε ij Consideriamo un punto individuato dal vettore r (x,y,z) in una base ortogonale di un mezzo elastico continuo non deformato. Dopo una piccola deformazione del mezzo, il punto r si sposta in r’(x’, y’, z’) O

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Elasticità nei mezzi continui

Il tensore degli sforzi o tensore di stress, σ ij Consideriamo un cubo di dimensioni unitarie in un mezzo elastico deformato. Il cubo è deformato dalle forze esercitate sulle sue facce dal resto del solido. Se lo estraiamo dal solido esso rilasserà la deformazione a meno di non applicare alle sue facce le stesse forze che agivano quando era all’interno del solido. Immaginiamo quindi di applicare le stesse forze a ciascuna faccia e che il cubo rimanga in equilibrio nello stesso stato deformato in cui era all’interno del solido. Ciascuna forza la posso considerare come la risultante di forze applicate lungo gli assi principali x,y,z che vengono anche indicati con 1,2,3..

Gli “sforzi” o “stress” sono definiti come le forze per unità di area applicate ad un cubo infinitesimale.Il tensore degli sforzi ha 9 componenti, σij, ciascuna delle quali è definita da due indici . Il primo indice, i, indica la direzione della forza, il secondo, j, la direzione della normale alla faccia del cubo a cui è applicata. Se il cubo è all’equilibrio la risultante delle forze ed il momento intorno all’origine è zero. Con riferimento alla figura, la somma delle forze lungo la x (1) e lungo la y (2) devono essere nulle e devono avere la direzione come in figura affinchè il momento sia nullo. Sarà dunque:

!

"12 ="21 "23 ="32 "13 ="31 per cui, delle 9 componenti dello stress, quelle indipendenti sono 6. Il tensore delle deformazioni o tensore di strain, ε ij Consideriamo un punto individuato dal vettore r (x,y,z) in una base ortogonale di un mezzo elastico continuo non deformato. Dopo una piccola deformazione del mezzo, il punto r si sposta in r’(x’, y’, z’)

O

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Definiamo il vettore spostamento del punto come il vettore u = r’-r di componenti:

essendo piccole sia le componenti di u sia le sue derivate. Consideriamo ora due punti vicini individuati dai vettori r (x,y,z) e r+dr con dr =(dx, dy, dz). La loro distanza è data da

Sia du = (dux, duy, duz) una deformazione elastica infinitesima che faccia variare la distanza tra i due punti, che diventa

essendo

dx’=dx+dux dy’=dy+duy dz’=dz+duz

Si ha che:

Sviluppando il primo termine si ottiene:

!

dx +"ux"x

dx +"ux"y

dy +"ux"z

dz#

$ %

&

' (

2

= dx( )2 +"ux"x

dx#

$ %

&

' ( 2

+"ux"y

dy#

$ %

&

' (

2

+"ux"z

dz#

$ %

&

' ( 2

+

+2"ux"x

dx( )2 + 2"ux"y

dxdy + 2"ux"z

dxdz + 2"ux"x

"ux"y

dxdy + 2"ux"x

"ux"z

dxdz + 2"ux"y

"ux"z

dydz

Approssimiamo questo termine trascurando tutti i prodotti che contengono 4 infinitesimi (ricordiamo che u è piccolo insieme alle sue derivate). Si ottiene:

!

dx +"ux"x

dx +"ux"y

dy +"ux"z

dz#

$ %

&

' (

2

) dx( )2 + 2"ux"x

dx( )2 + 2"ux"y

dxdy + 2"ux"z

dxdz

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Analogamente per il secondo e terzo termine. Avremo dunque:

I coefficienti di questa forma quadratica, che determina la variazione dell’elemento di lunghezza dl a seguito di una deformazione del corpo, definiscono le componenti del tensore (simmetrico) delle deformazioni o tensore di strain, εij:

Anche in questo caso abbiamo un tensore a 6 componenti indipendenti:

In accordo con la legge di Hooke per le piccole deformazioni possiamo scrivere che le componenti della forza (stress) sono proporzionali alle componenti della deformazione (strain):

!

"ij = cijkll ,k=1

3# $ kl = cijkl$ kl

dove l’ultimo termine è scritto nella convenzione che gli indici ripetuti si sommano. Le cijkl , che si chiamano moduli di elasticità, costituiscono un tensore di rango 4:

In forma matriciale, la relazione fra stress σ e strain ε può essere scritta come:

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Per abbreviare a notazione si fa uso di una convenzione per la coppia degli indici, come segue:

Per cui si scrive:

Poichè, come dimostreremo in seguito, la matrice C è simmetrica, Cij = Cji e vi sono 21 moduli di elasticità indipendenti. Analogamente, invertendo la relazione si ha che le componenti della deformazione sono funzioni lineari elle componenti dello sforzo:

dove le Sij sono chiamate costanti elastiche.

!

"1

"2

"3

"4

"5

"6

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

=

S11 S12 S13 S14 S15 S16

S21 S22 S23 S24 S25 S26

S31 S32 S33 S34 S35 S36

S41 S42 S43 S44 S45 S46

S51 S52 S53 S54 S55 S56

S61 S62 S63 S64 S65 S66

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

)1

) 2

) 3

) 4

) 5

) 6

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

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Densità di energia elastica In analogia con la Legge di Hooke per le piccole deformazioni ,

!

U = 12K "x( )2, si può scrivere che la densità di energia è una forma quadratica nelle deformazioni:

!

U =12

˜ C "## =1

6

$"=1

6

$ %a%# =12

˜ C 11%1%1 + ˜ C 22%2%2 + ˜ C 33%3%3 + ˜ C 44%4%4 + ˜ C 55%5%5 + ˜ C 66%6%6 +

+ ˜ C 12 + ˜ C 21( )%1%2 + ˜ C 13 + ˜ C 31( )%1%3 + ...+ ˜ C 16 + ˜ C 61( )%1%6 +

+ ˜ C 23 + ˜ C 32( )%2%3 + ...+ ˜ C 26 + ˜ C 62( )%2%6 + ˜ C 34 + ˜ C 43( )%3%4 + ...+

+ ˜ C 36 + ˜ C 63( )%3%6 + ˜ C 45 + ˜ C 54( )%4%5 + ˜ C 46 + ˜ C 64( )%4%6 + ˜ C 56 + ˜ C 65( )%5%6

&

'

( ( ( ( (

)

*

+ + + + +

Dalla definizione di energia potenziale deriva che le componenti dello sforzo (o stress) σk si ottengono dalle derivate della U rispetto alla componenti della deformazione (strain) associata εk. I termini di U che contengono εk sono quelli per cui α=k e β varia da 1 a 6, più quelli per cui β=k e α varia da 1 a 6, ovvero:

Poiché α e β sono indici muti, si può scrivere :

Per cui,

Quindi avremo:

!

"1 =12

2 ˜ C 11#1 + ˜ C 12 + ˜ C 21( )# 2 + ...+ ˜ C 16 + ˜ C 61( )# 6[ ]

. . .

. . . eccetera.

!

12

˜ C k"#k#"" =1

6

$ + ˜ C %k#%#k% =1

6

$&

' (

)

* +

!

12

˜ C k" + ˜ C "k( )#"#k" =1

6

$

!

" k =#U#$k

=12

˜ C k% + ˜ C %k( )$%% =1

6

&

!

"2 =12

˜ C 21 + ˜ C 12( )#1 + 2 ˜ C 22# 2 + ˜ C 23 + ˜ C 32( )# 3 + .....[ ]

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Confrontando queste relazioni per σ1 e σ2 ottenute come gradiente della energoa potenziale, con le stesse relazioni tra stress e strain ottenute dalla legge di Hooke:

Abbiamo che

Ne consegue che la matrice dei moduli elastici Cαβ è simmetrica e pertanto ha 21 componenti indipendenti. La densità di energia espressa con i moduli di elasticità Cαβ è pertanto:

Nel caso di un sistema cubico si può mostrare che vi sono solo 3 costanti elastiche diverse da zero. Esse sono C11 (=C22= C33), C44 (=C55= C66), C12 (=C13= C23). Per cui si ha:

ovvero:

Quindi per un cristallo cubico la densità di energia è:

!

"1 = C11#1 +C12# 2 +C13# 3 + ....."2 = C21#1 +C22# 2 +C23# 3 + .....

!

C11 = ˜ C 11 ; C12 =12

˜ C 21 + ˜ C 12( ) ; .....

C21 =12

˜ C 21 + ˜ C 12( ) ; C22 = ˜ C 22 ; .....

!

U =12

C11"1"1 +C22"2"2 +C33"3"3 +C44"4"4 +C55"5"5 +C66"6"6 +

+2C12"1"2 + 2C13"1"3 + ...+C16"1"6 +

+2C23"2"3 + ...+ 2C26"2"6 + 2C34"3"4 + ...++2C36"3"6 + 2C45"4"5 + 2C46"4"6 + 2C56"5"6

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

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Dilatazione di volume: caso generale L’aumento di voume associato alla deformazione di un solido è detto dilatazione. Consideriamo un cubo di volume unitario i cui spigoli siano i versori

!

ˆ x , ˆ y e ˆ z . Un punto P(x,y,z), ad esempio il vertice, è individuato dal vettore

dove, in questo caso, x=y=z=1. Cosideriamo ora una deformazione del cubo, e siano

!

r " x , v " y e r " z i vettori che costitiuscono gli spigoli deformati del cubo. Per effetto della

deformazione P andrà in P’ ed il vettore spostamento sarà

!

r u x,y,z( ) = ux

) x + uy) y + uz

) z Pertanto la nuova posizione P’ nella terna di riferimento

!

ˆ x , ˆ y e ˆ z è data da

Nella terna di riferimento deformata

!

r " x , v " y e r " z la posizione di P’ è data da

I vettori

!

r " x , v " y e r " z si ottengono dalle derivate vettoriali parziali della espressione scritta

sopra:

!

U =12C11 "1

2 +"22 +"3

2( ) +12C44 "4

2 +"52 +"6

2( ) +C12 "1"2 +"1"3 +"2"3( )

!

r r P = x) x + y) y + z) z

!

r r '= x + ux( ) ) x + y + uy( )) y + z + uz( )) z

!

r r '= x

r x '+y

r y '+z

r z '

!

"r r '"x

=r x ' ; "

r r '"y

=r y ' ; "

r r '"z

=r z '

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Calcolando le stesse derivate dalla espressione di r’ nel sistema di riferimento

!

ˆ x , ˆ y e ˆ z abbiamo:

Introducendo le componenti della deformazione definite in precedenza si ha:

Il volume del cubo unitario non deformato è dato da:

Il volume del cubo dopo la deformazione sarà:

Trascurando i termini che contengono il prodotto di due ε si ha: Quindi rappresenta in prima approssimazione la dilatazione per unità di volume per effetto di una deformazione. Dilatazione di volume: caso particolare della dilatazione uniforme di un cristallo cubico Consideriamo un cubo unitario ed applichiamo uno stress uniforme nelle direzioni degli assi, mentre gli stress di taglio sono nulli:

!

"r r '"x

= 1+"ux

"x#

$ %

&

' ( ) x +

"uy

"x#

$ %

&

' ( ) y +

"uz

"x#

$ %

&

' ( ) z

!

"r r '"y

="ux

"y#

$ %

&

' ( ) x + 1+

"uy

"y#

$ %

&

' ( ) y +

"uz

"y#

$ %

&

' ( ) z

!

"r r '"z

="ux

"z#

$ %

&

' ( ) x +

"uy

"z#

$ %

&

' ( ) y + 1+

"uz

"z#

$ %

&

' ( ) z

!

r x '= 1+"11( ) ) x + "12( )) y + "13( )) z r y '= "12( ) ) x + 1+"22( )) y + "23( )) z r z '= "13( ) ) x + "23( )) y + 1+"33( )) z

!

V =) x " ) y # ) z =

1 0 00 1 00 0 1

=1

!

V '= r x '" r y '#r

z ' =

1+$11( ) $12 $13

$12 1+$22( ) $23

$13 $23 1+$33( )= 1+$11( ) 1+$22( ) 1+$33( ) %$23

2[ ] + .....{ }

!

" V #1+$11 +$22 +$33

!

"V # $11 +$22 +$33

!

"1 ="2 ="3 "4 ="5 ="6 = 0

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Poiché per un cristallo cubico si ha

implica che: Dalla espressione della densità di energia elastica per un cristallo cubico E tenuto conto dei valori delle componenti di strain abbiamo:

1

3

2 σ2

σ1

σ3

!

"1 = "2 = "3

"4 = "5 = "6 = 0

!

U =12C11 "1

2 +"22 +"3

2( ) +12C44 "4

2 +"52 +"6

2( ) +C12 "1"2 +"1"3 +"2"3( )

!

U =32C11 + 2C12( )" 2

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Stress uniassiale: modulo di Young e rapporto di Poisson Consideriamo un solido approssimativamente unidimensionale, ovvero un solido in cui vi sia una dimensione molto maggiore delle altre due. Applichiamo uno stress longitudinale σ Definiamo come Modulo di Young, E, il rapporto tra lo stress e lo strain longitudinali. La deformazione longitudinale comporta anche una deformazione trasversale poiché le si ha una contrazione in direzione trasversa del solido. Si definisce rapporto di Poisson ν, il rapporto, con il segno meno, della deformazione trasversa rispetto alla longitudinale. Deriviamo la legge di Hooke in 3D supponendo di applicare uno stress unidimensionale in successione nelle tre direzioni di un solido e di poter considerare valida la legge di Hooke unidimensionale Consideriamo uno stress nella direzione 1 il cui effetto sia un allungamento nella stessa direzione ed una contrazione nelle direzioni perpendicolari 2 e 3.

σ

!

E ="//# //σ//

ε//

!

" = #$%$ //

!

" //!

"#

σ//

ε1I ε2

I

ε3I

σ1

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Avremo che:

Ripetiamo il ragionamento per le direzioni 2 e 3. Avremo, rispettivamente: Quando gli stress σ1 , σ2 e σ3 sono applicati contemporaneamente, le deformazioni complessive nelle tre direzioni sono: Oppure sommando e sottraendo νσ otteniamo:

!

"1 =1E

1+#( )$1 %# $1 +$ 2 +$ 3( )( )

"2 =1E

1+#( )$ 2 %# $1 +$ 2 +$ 3( )( )

"3 =1E

1+#( )$ 3 %# $1 +$ 2 +$ 3( )( )

da cui risolvendo rispetto a σ,

!

"1 =E1+#( )

$1 +#1+#( )

"1 +" 2 +" 3( )

" 2 =E1+#( )

$2 +#1+#( )

"1 +" 2 +" 3( )

" 3 =E1+#( )

$3 +#1+#( )

"1 +" 2 +" 3( )

!

"1I =

1E#1

"2I = $%"1

I = $%1E#1

"3I = $%"1

I = $%1E#1

!

"1II = #$"2

II

"2II =

1E% 2

"3II = #$"2

II

!

"1III = #$"3

III

"2III = #$"3

III

"3III =

1E% 3

!

"1 = "1I +"1

II +"1III

"2 = "2I +"2

II +"2III

"3 = "3I +"3

II +"3III

!

=1E"1 #$ " 2 +" 3( )( )

=1E" 2 #$ "1 +" 3( )( )

=1E" 3 #$ "1 +" 2( )( )

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Calcolando la somma:

!

" ii# =

1E1+$( ) % i

i# & 3$ % i

i# =

1& 2$E

% ii#

ovvero:

!

"1 +"2 +"3 =E

1# 2$%1 +% 2 +% 3( )

Stress e strain nei film sottili in una dimensione Consideriamo un film sottile depositato depositato su un substrato unidimensionale (ad esempio, una sbarra) che lo deforma uniassialmente. Se I è la lunghezza del film deformato e I0 è la lunghezza del film, una volta distaccato dal substrato, avremo che lo strain è dato da:

!

" =I # I0I0

=$E

dove E è il modulo di Young. Se Io<I vuol dire che, una volta distaccato dal substrato, il film si contrae; in questo caso la deformazione è tensile. Viceversa se I0>I la deformazione è compressiva. Se asub è il parametro reticolare del substrato (e quindi anche del film deformato) ed afilm è il parametro reticolare del film (non deformato), il disaccordo reticolare, m , tra film e substrato (mismatch reticolare) è definito come:

!

m =asub " afilmafilm

=I " I0I0

= #

Esso è negativo per strain compressivo e positivo per strain tensile.

l0

h0

w0

l film

substrato

σ

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Stress biassiale in un film di materiale cubico con orientazione (001) Consideriamo il caso di un substrato costituito da un cristallo cubico con orientazione (001) e di un film che cresce pseudomorfo sulla superficie del substrato, anch’esso quindi con orientazione (001). Per fissare le idee consideriamo un film di InAs(001) depositato su un substrato di GaAs(001). Il mismatch reticolare è:

!

m =aGaAs " aInAs

aInAs# "7%

Essendo aInAs > aGaAs , il film pseudomorfo è compresso da uno stess biassiale nel piano ed il suo parametro reticolare diventa quello del GaAs. Lo strain biassiale è pertanto:

!

"1 = "2 =aGaAs # aInAs

aInAs

Per uno stress biassiale:

!

"1 ="2 ; "3 ="4 ="5 ="6 = 0

perché il substrato esercita forze solo sul piano di superficie e non perpendicolarmente ad essa.

I w

[001]

[100]

[010]

GaAs InAs [010]

[100]

!

a001 =aGaAs2

!

a001 =aInAs2

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Dalle equazioni:

Da cui si ha: Dalla espressione della energia elastica per un sistema cubico: ponendo si ha: Possiamo anche ottenere l’espressione di U in termini del modulo di Young E, e del rapporto di Poisson ν, a partire dalle relazioni:

!

"1 = C11#1 +C12 # 2 +# 3( )"2 = C11# 2 +C12 #1 +# 3( )"3 = C11# 3 +C12 #1 +# 2( )"4 = C44# 4"5 = C44# 5"6 = C44# 6

!

"1 ="2 =" # $1 = $ 2 = $

"3 = C11$ 3 +C12 $ +$( ) = 0 # $ 3 = %2C12

C11

$

" = C11 +C12 % 2C122

C11

&

' (

)

* + $

!

U =12C11 "1

2 +"22 +"3

2( ) +12C44 "4

2 +"52 +"6

2( ) +C12 "1"2 +"1"3 +"2"3( )

!

"1 = "2 = " "3 = #2C12

C11

" "4 = "5 = "6 = 0

!

U =12C11 2"

2 + 4 C122

C112 "

2#

$ %

&

' ( +C12 "

2 + 2 )2C12C11

" 2#

$ %

&

' (

#

$ %

&

' ( = C11 +C12 ) 2

C122

C11

#

$ %

&

' ( " 2

σ2

InAs/GaAs 1

2

!

"1 = "2 =I # I0I0

=aGaAs # aInAs

aInAs= m

σ1

!

"1 ="2 ; "3 = 0

[010]

[100]

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che, per uno strain biassiale, portano a:

La densità di energia elastica U è una funzione quadratica delle componenti dello strain, per cui: Nel caso di strain biassiale: Da cui: dove il fattore è chiamato modulo biassiale.

!

"1 =1E#1 $% # 2 +# 3( )( )

"2 =1E# 2 $% #1 +# 3( )( )

"3 =1E# 3 $% #1 +# 2( )( )

!

"1 ="2 =E

1#$% ="

!

U " i( ) # dU =$U$" ii

% d" i dove $U$" i

=& i

!

dU ="U"#1

d#1 +"U"# 2

d# 2 +"U"# 3

d# 3 =$1d#1 +$ 2d# 2 +$ 3d# 3 = 2$d#

!

U = dU = 2 E1"#$$ % d% =

E1"#

% 2

!

E1"#