Elasticità nei mezzi continui Il tensore degli sforzi o...

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Elasticità nei mezzi continui Il tensore degli sforzi o tensore di stress, σ ij Consideriamo un cubo di dimensioni unitarie in un mezzo elastico deformato. Il cubo è deformato dalle forze esercitate sulle sue facce dal resto del solido. Se lo estraiamo dal solido esso rilasserà la deformazione a meno di non applicare alle sue facce le stesse forze che agivano quando era all’interno del solido. Immaginiamo quindi di applicare le stesse forze a ciascuna faccia e che il cubo rimanga in equilibrio nello stesso stato deformato in cui era all’interno del solido. Ciascuna forza la posso considerare come la risultante di forze applicate lungo gli assi principali x,y,z che vengono anche indicati con 1,2,3.. Gli “sforzi” o “stress” sono definiti come le forze per unità di area applicate ad un cubo infinitesimale.Il tensore degli sforzi ha 9 componenti, σ ij , ciascuna delle quali è definita da due indici . Il primo indice, i, indica la direzione della forza, il secondo, j, la direzione della normale alla faccia del cubo a cui è applicata. Se il cubo è all’equilibrio la risultante delle forze ed il momento intorno all’origine è zero. Con riferimento alla figura, la somma delle forze lungo la x (1) e lungo la y (2) devono essere nulle e devono avere la direzione come in figura affinchè il momento sia nullo. Sarà dunque: " 12 = " 21 " 23 = " 32 " 13 = " 31 per cui, delle 9 componenti dello stress, quelle indipendenti sono 6. Il tensore delle deformazioni o tensore di strain, ε ij Consideriamo un punto individuato dal vettore r (x,y,z) in una base ortogonale di un mezzo elastico continuo non deformato. Dopo una piccola deformazione del mezzo, il punto r si sposta in r’(x’, y’, z’) O

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Elasticit nei mezzi continui

Il tensore degli sforzi o tensore di stress, ij Consideriamo un cubo di dimensioni unitarie in un mezzo elastico deformato. Il cubo deformato dalle forze esercitate sulle sue facce dal resto del solido. Se lo estraiamo dal solido esso rilasser la deformazione a meno di non applicare alle sue facce le stesse forze che agivano quando era allinterno del solido. Immaginiamo quindi di applicare le stesse forze a ciascuna faccia e che il cubo rimanga in equilibrio nello stesso stato deformato in cui era allinterno del solido. Ciascuna forza la posso considerare come la risultante di forze applicate lungo gli assi principali x,y,z che vengono anche indicati con 1,2,3..

Gli sforzi o stress sono definiti come le forze per unit di area applicate ad un cubo infinitesimale.Il tensore degli sforzi ha 9 componenti, ij, ciascuna delle quali definita da due indici . Il primo indice, i, indica la direzione della forza, il secondo, j, la direzione della normale alla faccia del cubo a cui applicata. Se il cubo allequilibrio la risultante delle forze ed il momento intorno allorigine zero. Con riferimento alla figura, la somma delle forze lungo la x (1) e lungo la y (2) devono essere nulle e devono avere la direzione come in figura affinch il momento sia nullo. Sar dunque:

!

"12 ="21 "23 ="32 "13 ="31 per cui, delle 9 componenti dello stress, quelle indipendenti sono 6. Il tensore delle deformazioni o tensore di strain, ij Consideriamo un punto individuato dal vettore r (x,y,z) in una base ortogonale di un mezzo elastico continuo non deformato. Dopo una piccola deformazione del mezzo, il punto r si sposta in r(x, y, z)

O

Definiamo il vettore spostamento del punto come il vettore u = r-r di componenti:

essendo piccole sia le componenti di u sia le sue derivate. Consideriamo ora due punti vicini individuati dai vettori r (x,y,z) e r+dr con dr =(dx, dy, dz). La loro distanza data da

Sia du = (dux, duy, duz) una deformazione elastica infinitesima che faccia variare la distanza tra i due punti, che diventa

essendo

dx=dx+dux dy=dy+duy dz=dz+duz

Si ha che:

Sviluppando il primo termine si ottiene:

!

dx +"ux"x

dx +"ux"y

dy +"ux"z

dz#

$ %

&

' (

2

= dx( )2 + "ux"x

dx#

$ %

&

' ( 2

+"ux"y

dy#

$ %

&

' (

2

+"ux"z

dz#

$ %

&

' ( 2

+

+2"ux"x

dx( )2 + 2"ux"y

dxdy + 2"ux"z

dxdz + 2"ux"x

"ux"y

dxdy + 2"ux"x

"ux"z

dxdz + 2"ux"y

"ux"z

dydz

Approssimiamo questo termine trascurando tutti i prodotti che contengono 4 infinitesimi (ricordiamo che u piccolo insieme alle sue derivate). Si ottiene:

!

dx +"ux"x

dx +"ux"y

dy +"ux"z

dz#

$ %

&

' (

2

) dx( )2 + 2"ux"x

dx( )2 + 2"ux"y

dxdy + 2"ux"z

dxdz

Analogamente per il secondo e terzo termine. Avremo dunque:

I coefficienti di questa forma quadratica, che determina la variazione dellelemento di lunghezza dl a seguito di una deformazione del corpo, definiscono le componenti del tensore (simmetrico) delle deformazioni o tensore di strain, ij:

Anche in questo caso abbiamo un tensore a 6 componenti indipendenti:

In accordo con la legge di Hooke per le piccole deformazioni possiamo scrivere che le componenti della forza (stress) sono proporzionali alle componenti della deformazione (strain):

!

"ij = cijkll ,k=1

3# $ kl = cijkl$ kl

dove lultimo termine scritto nella convenzione che gli indici ripetuti si sommano. Le cijkl , che si chiamano moduli di elasticit, costituiscono un tensore di rango 4:

In forma matriciale, la relazione fra stress e strain pu essere scritta come:

Per abbreviare a notazione si fa uso di una convenzione per la coppia degli indici, come segue:

Per cui si scrive:

Poich, come dimostreremo in seguito, la matrice C simmetrica, Cij = Cji e vi sono 21 moduli di elasticit indipendenti. Analogamente, invertendo la relazione si ha che le componenti della deformazione sono funzioni lineari elle componenti dello sforzo:

dove le Sij sono chiamate costanti elastiche.

!

"1"2"3"4"5"6

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

=

S11 S12 S13 S14 S15 S16S21 S22 S23 S24 S25 S26S31 S32 S33 S34 S35 S36S41 S42 S43 S44 S45 S46S51 S52 S53 S54 S55 S56S61 S62 S63 S64 S65 S66

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

)1) 2) 3) 4) 5) 6

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

Densit di energia elastica In analogia con la Legge di Hooke per le piccole deformazioni ,

!

U = 12K "x( )2, si pu

scrivere che la densit di energia una forma quadratica nelle deformazioni:

!

U = 12

C "## =1

6

$"=1

6

$ %a%# =12

C 11%1%1 + C 22%2%2 + C 33%3%3 + C 44%4%4 + C 55%5%5 + C 66%6%6 +

+ C 12 + C 21( )%1%2 + C 13 + C 31( )%1%3 + ...+ C 16 + C 61( )%1%6 ++ C 23 + C 32( )%2%3 + ...+ C 26 + C 62( )%2%6 + C 34 + C 43( )%3%4 + ...++ C 36 + C 63( )%3%6 + C 45 + C 54( )%4%5 + C 46 + C 64( )%4%6 + C 56 + C 65( )%5%6

&

'

( ( ( ( (

)

*

+ + + + +

Dalla definizione di energia potenziale deriva che le componenti dello sforzo (o stress) k si ottengono dalle derivate della U rispetto alla componenti della deformazione (strain) associata k. I termini di U che contengono k sono quelli per cui =k e varia da 1 a 6, pi quelli per cui =k e varia da 1 a 6, ovvero:

Poich e sono indici muti, si pu scrivere :

Per cui,

Quindi avremo:

!

"1 =12

2 C 11#1 + C 12 + C 21( )# 2 + ...+ C 16 + C 61( )# 6[ ]

. . .

. . . eccetera.

!

12

C k"#k#"" =1

6

$ + C %k#%#k% =1

6

$&

' (

)

* +

!

12

C k" + C "k( )#"#k" =1

6

$

!

" k =#U#$k

=12

C k% + C %k( )$%% =1

6

&

!

"2 =12

C 21 + C 12( )#1 + 2 C 22# 2 + C 23 + C 32( )# 3 + .....[ ]

Confrontando queste relazioni per 1 e 2 ottenute come gradiente della energoa potenziale, con le stesse relazioni tra stress e strain ottenute dalla legge di Hooke:

Abbiamo che

Ne consegue che la matrice dei moduli elastici C simmetrica e pertanto ha 21 componenti indipendenti. La densit di energia espressa con i moduli di elasticit C pertanto:

Nel caso di un sistema cubico si pu mostrare che vi sono solo 3 costanti elastiche diverse da zero. Esse sono C11 (=C22= C33), C44 (=C55= C66), C12 (=C13= C23). Per cui si ha:

ovvero:

Quindi per un cristallo cubico la densit di energia :

!

"1 = C11#1 +C12# 2 +C13# 3 + ....."2 = C21#1 +C22# 2 +C23# 3 + .....

!

C11 = C 11 ; C12 =12

C 21 + C 12( ) ; .....

C21 =12

C 21 + C 12( ) ; C22 = C 22 ; .....

!

U = 12

C11"1"1 +C22"2"2 +C33"3"3 +C44"4"4 +C55"5"5 +C66"6"6 ++2C12"1"2 + 2C13"1"3 + ...+C16"1"6 ++2C23"2"3 + ...+ 2C26"2"6 + 2C34"3"4 + ...++2C36"3"6 + 2C45"4"5 + 2C46"4"6 + 2C56"5"6

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

Dilatazione di volume: caso generale Laumento di voume associato alla deformazione di un solido detto dilatazione. Consideriamo un cubo di volume unitario i cui spigoli siano i versori

!

x , y e z . Un punto P(x,y,z), ad esempio il vertice, individuato dal vettore

dove, in questo caso, x=y=z=1. Cosideriamo ora una deformazione del cubo, e siano

!

r " x ,

v " y e

r " z i vettori che costitiuscono gli spigoli deformati del cubo. Per effetto della

deformazione P andr in P ed il vettore spostamento sar

!

r u x,y,z( ) = ux

) x + uy) y + uz

) z Pertanto la nuova posizione P nella terna di riferimento

!

x , y e z data da

Nella terna di riferimento deformata

!

r " x ,

v " y e

r " z la posizione di P data da

I vettori

!

r " x ,

v " y e

r " z si ottengono dalle derivate vettoriali parziali della espressione scritta

sopra:

!

U = 12C11 "1

2 +"22 +"3

2( ) + 12C44 "42 +"5

2 +"62( ) +C12 "1"2 +"1"3 +"2"3( )

!

r r P = x

) x + y) y + z) z

!

r r '= x + ux( )

) x + y + uy( )) y + z + uz( )) z

!

r r '= xr x '+yr y '+zr z '

!

"r r '"x

=r x ' ; "

r r '"y

=r y ' ; "

r r '"z

=r z '

Calcolando le stesse derivate dalla espressione di r nel sistema di riferimento

!

x , y e z abbiamo:

Introducendo le componenti della deformazione definite in precedenza si ha:

Il volume del cubo unitario non deformato dato da:

Il volume del cubo dopo la deformazione sar:

Trascurando i termini che contengono il prodotto di due si ha: Quindi rappresenta in prima approssimazione la dilatazione per unit di volume per effetto di una deformazione. Dilatazione di volume: caso particolare della dilatazione uniforme di un cristallo cubico Consideriamo un cubo unitario ed applichiamo uno stress uniforme nelle direzioni degli assi, mentre gli stress di taglio sono nulli:

!

"r r '"x

= 1+ "ux"x

#

$ %

&

' ( ) x +

"uy"x

#

$ %

&

' ( ) y +

"uz"x

#

$ %

&

' ( ) z

!

"r r '"y

="ux"y

#

$ %

&

' ( ) x + 1+

"uy"y

#

$ %

&

' ( ) y +

"uz"y

#

$ %

&

' ( ) z

!

"r r '"z

="ux"z

#

$ %

&

' ( ) x +

"uy"z

#

$ %

&

' ( ) y + 1+

"uz"z

#

$ %

&

' ( ) z

!

r x '= 1+"11( )

) x + "12( )) y + "13( )

) z r y '= "12( )

) x + 1+"22( )) y + "23( )

) z r z '= "13( )

) x + "23( )) y + 1+"33( )

) z

!

V = ) x " ) y # ) z =1 0 00 1 00 0 1

=1

!

V '= r x '" r y '#r z ' =

1+$11( ) $12 $13$12 1+$22( ) $23$13 $23 1+$33( )

= 1+$11( ) 1+$22( ) 1+$33( ) %$232[ ] + .....{ }

!

" V #1+$11 +$22 +$33

!

"V # $11 +$22 +$33

!

"1 ="2 ="3 "4 ="5 ="6 = 0

Poich per un cristallo cubico si ha

implica che: Dalla espressione della densit di energia elastica per un cristallo cubico E tenuto conto dei valori delle componenti di strain abbiamo:

1

3

2 2

1

3

!

"1 = "2 = "3

"4 = "5 = "6 = 0

!

U = 12C11 "1

2 +"22 +"3

2( ) + 12C44 "42 +"5

2 +"62( ) +C12 "1"2 +"1"3 +"2"3( )

!

U = 32C11 + 2C12( )" 2

Stress uniassiale: modulo di Young e rapporto di Poisson Consideriamo un solido approssimativamente unidimensionale, ovvero un solido in cui vi sia una dimensione molto maggiore delle altre due. Applichiamo uno stress longitudinale Definiamo come Modulo di Young, E, il rapporto tra lo stress e lo strain longitudinali. La deformazione longitudinale comporta anche una deformazione trasversale poich le si ha una contrazione in direzione trasversa del solido. Si definisce rapporto di Poisson , il rapporto, con il segno meno, della deformazione trasversa rispetto alla longitudinale. Deriviamo la legge di Hooke in 3D supponendo di applicare uno stress unidimensionale in successione nelle tre direzioni di un solido e di poter considerare valida la legge di Hooke unidimensionale Consideriamo uno stress nella direzione 1 il cui effetto sia un allungamento nella stessa direzione ed una contrazione nelle direzioni perpendicolari 2 e 3.

!

E = "//# ////

//

!

" = #$%$ //

!

" //!

"#

//

1I 2

I

3I

1

Avremo che:

Ripetiamo il ragionamento per le direzioni 2 e 3. Avremo, rispettivamente: Quando gli stress 1 , 2 e 3 sono applicati contemporaneamente, le deformazioni complessive nelle tre direzioni sono: Oppure sommando e sottraendo otteniamo:

!

"1 =1E

1+#( )$1 %# $1 +$ 2 +$ 3( )( )

"2 =1E

1+#( )$ 2 %# $1 +$ 2 +$ 3( )( )

"3 =1E

1+#( )$ 3 %# $1 +$ 2 +$ 3( )( )

da cui risolvendo rispetto a ,

!

"1 =E1+#( )

$1 +#1+#( )

"1 +" 2 +" 3( )

" 2 =E1+#( )

$2 +#1+#( )

"1 +" 2 +" 3( )

" 3 =E1+#( )

$3 +#1+#( )

"1 +" 2 +" 3( )

!

"1I =

1E#1

"2I = $%"1

I = $%1E#1

"3I = $%"1

I = $%1E#1

!

"1II = #$"2

II

"2II =

1E% 2

"3II = #$"2

II

!

"1III = #$"3

III

"2III = #$"3

III

"3III =

1E% 3

!

"1 = "1I +"1

II +"1III

"2 = "2I +"2

II +"2III

"3 = "3I +"3

II +"3III

!

=1E"1 #$ " 2 +" 3( )( )

=1E" 2 #$ "1 +" 3( )( )

=1E" 3 #$ "1 +" 2( )( )

Calcolando la somma:

!

" ii# = 1E 1+$( ) % ii

# & 3$ % ii# = 1& 2$E % ii

#

ovvero:

!

"1 +"2 +"3 =E

1# 2$%1 +% 2 +% 3( )

Stress e strain nei film sottili in una dimensione Consideriamo un film sottile depositato depositato su un substrato unidimensionale (ad esempio, una sbarra) che lo deforma uniassialmente. Se I la lunghezza del film deformato e I0 la lunghezza del film, una volta distaccato dal substrato, avremo che lo strain dato da:

!

" =I # I0I0

=$E

dove E il modulo di Young. Se IoI la deformazione compressiva. Se asub il parametro reticolare del substrato (e quindi anche del film deformato) ed afilm il parametro reticolare del film (non deformato), il disaccordo reticolare, m , tra film e substrato (mismatch reticolare) definito come:

!

m =asub " afilmafilm

=I " I0I0

= #

Esso negativo per strain compressivo e positivo per strain tensile.

l0

h0

w0

l film

substrato

Stress biassiale in un film di materiale cubico con orientazione (001) Consideriamo il caso di un substrato costituito da un cristallo cubico con orientazione (001) e di un film che cresce pseudomorfo sulla superficie del substrato, anchesso quindi con orientazione (001). Per fissare le idee consideriamo un film di InAs(001) depositato su un substrato di GaAs(001). Il mismatch reticolare :

!

m = aGaAs " aInAsaInAs

# "7%

Essendo aInAs > aGaAs , il film pseudomorfo compresso da uno stess biassiale nel piano ed il suo parametro reticolare diventa quello del GaAs. Lo strain biassiale pertanto:

!

"1 = "2 =aGaAs # aInAs

aInAs

Per uno stress biassiale:

!

"1 ="2 ; "3 ="4 ="5 ="6 = 0

perch il substrato esercita forze solo sul piano di superficie e non perpendicolarmente ad essa.

I w

[001]

[100]

[010]

GaAs InAs [010]

[100]

!

a001 =aGaAs2

!

a001 =aInAs2

Dalle equazioni:

Da cui si ha: Dalla espressione della energia elastica per un sistema cubico: ponendo si ha: Possiamo anche ottenere lespressione di U in termini del modulo di Young E, e del rapporto di Poisson , a partire dalle relazioni:

!

"1 = C11#1 +C12 # 2 +# 3( )"2 = C11# 2 +C12 #1 +# 3( )"3 = C11# 3 +C12 #1 +# 2( )"4 = C44# 4"5 = C44# 5"6 = C44# 6

!

"1 ="2 =" # $1 = $ 2 = $

"3 = C11$ 3 +C12 $ +$( ) = 0 # $ 3 = %2C12C11

$

" = C11 +C12 % 2C12

2

C11

&

' (

)

* + $

!

U = 12C11 "1

2 +"22 +"3

2( ) + 12C44 "42 +"5

2 +"62( ) +C12 "1"2 +"1"3 +"2"3( )

!

"1 = "2 = " "3 = #2C12C11

" "4 = "5 = "6 = 0

!

U = 12C11 2"

2 + 4 C122

C112 "

2#

$ %

&

' ( +C12 "

2 + 2 )2C12C11

" 2#

$ %

&

' (

#

$ %

&

' ( = C11 +C12 ) 2

C122

C11

#

$ %

&

' ( " 2

2

InAs/GaAs 1

2

!

"1 = "2 =I # I0I0

=aGaAs # aInAs

aInAs= m

1

!

"1 ="2 ; "3 = 0

[010]

[100]

che, per uno strain biassiale, portano a:

La densit di energia elastica U una funzione quadratica delle componenti dello strain, per cui: Nel caso di strain biassiale: Da cui: dove il fattore chiamato modulo biassiale.

!

"1 =1E#1 $% # 2 +# 3( )( )

"2 =1E# 2 $% #1 +# 3( )( )

"3 =1E# 3 $% #1 +# 2( )( )

!

"1 ="2 =E

1#$% ="

!

U " i( ) # dU =$U$" ii

% d" i dove $U$" i

=& i

!

dU = "U"#1

d#1 +"U"# 2

d# 2 +"U"# 3

d# 3 =$1d#1 +$ 2d# 2 +$ 3d# 3 = 2$d#

!

U = dU = 2 E1"#$$ % d% =

E1"#

% 2

!

E1"#