1

Tugas Pertemuan 13Sifat-sifat Regular Language dan

Context Free Language

Matakuliah : T0162/Teori Bahasa dan Automata

Tahun : 2009

Learning Outcomes

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu :

• << TIK-99 >>

• << TIK-99>>

2

Outline Materi

• Materi 1

• Materi 2

• Materi 3

• Materi 4

• Materi 5

3

Sifat-sifat Regular Set :• Pumping Lemma (Regular Set) :

Suatu DFA M = (Q,Σ, δ ,q0,F)

dengan n state menerima a1a2 ... am, m ≥ n,

i = 1,2,...,m, δ (q0, a1 a2 ... ai) = qi

maka q0, q1, ..., qn tidak semua berbeda,

atau qj = qk, 0 ≤ j < k ≤ n

4

aj+1 ... ak : loop

• Jika a1 ... aj ak+1 ... am dalam L(M)

maka a1 ... aj(aj+1 ... ak)i ak+1 ... am

dalam L(M), i ≥ 0

5

Lemma : (PL)

Misalkan L regular set, terdapat suatu konstan n sehingga jika z L dan∈|z| ≥ n, z = uvw dan |uv| ≤ n,

|v| ≥ 1, dan untuk semua i ≥ 0, uviw L.∈

Contoh :

Buktikan L = {aibi | i ≥ 1} tidak regular.

6

• Bukti:

Assume L regular,

Misalkan z = anbn L, uv terdiri dari a, |u| = m1, ∈|v| = m2 , m1+m2 ≤ n, |v | ≥ 1,

dan uviw L, i ≥ 0.∈ ∀

Perhatikan uv2w :

Jumlah a : (n+m2) > n , sedang jumlah b sama dengan n.

Kontradiksi.7

Sifat-sifat Closure Regular Set

Regular Set "Closed Under" :

1. Union :

L3 = L1 L2, L3 regular bila L1 dan L2 regular∪

2. Konkatenasi :

L4 = L1.L2 regular bila L1 dan L2 regular

3. Kleene Closure :

L1* regular bila L1 regular8

9

4. Komplementasi :

Jika L regular set, dan L S*, maka ⊆ Σ *-L regular

5. Irisan :

L5 = L1 ∩ L2, regular apabila L1 dan L2 regular

6. Substitusi :

Suatu fungsi f : Σ ke subset dari Δ*,

Δ : suatu alphabet

Fungsi f dapat diperluas ke string sbb :

i. f ( ) = ∈ ∈ii. f (xa) = f (x) f (a)

• Fungsi f diperluas ke language :

f (L ) = f ( x )

10

Lx

Contoh :

f (0) = a, f(1) = b*

maka : f (010) = ab*b

Jika L = 0*(0+1)1*

maka : f (L) = a* (a+b*)(b*)*

11

Sifat-sifat Context Free Language

• Lemma : (PL untuk CFL)

Misalkan L suatu CFL.

Terdapat suatu bilangan konstan n, yang hanya tergantung pada L, dan jika z L dengan∈|z| ≥ n, dapat ditulis z = uvwxy sedemikian sehingga

1. |vx| ≥ 1

2. |vwx| ≤ n, dan

3. untuk semua i ≥ 0, uviwxiy L.

Lemma di atas digunakan untuk membuktikan suatu language tidak Context Free. 12

Pumping Lemma

Contoh :

Buktikan bahwa L = {aibici i ≥ 1} bukan CFL.

Bukti :

Asumsikan L CFL dan n konstan.

Misalkan z = an bn cn L dan z = uvwxy ∈memenuhi Pumping Lemma.

Jika L CFL berarti z1 = uviwxiy, i ≥ 0, z1 L ∈

13

z = aa ... abb ... bcc ... c

• vx tidak bisa mengandung a dan c, karena bila demikian |vwx| > n

• Misalkan vx mengandung hanya a, perhatikan uviwxiy, i =0, mengandung jumlah a < jumlah b dan c

• Kontradiksi.

14

n n n

Sifat-sifat Closure CFL

Misalkan L1 dan L2 CFL dengan CFG :

G1 = (V1,T1,P1,S1) dan G2 = (V2,T2,P2,S2), dimana V1dan V2 disjoint,

S3,S4,S5 elemen V1 dan V2

maka CFL closed untuk operasi :

1.Union: L1 L∪ 2 :

G3 = (V1 V∪ 2 {S∪ 3},T1 T∪ 2,P3,S3)

dimana : P3 =P1 P∪ 2 ditambah S3 → S1 | S2

15

2. Konkatenasi: L1.L2

G4 = (V1 V∪ 2 {S∪ 4},T1 T∪ 2,P4,S4)

dimana : P4 =P1 P∪ 2 ditambah S4 → S1 . S2

3. Closure : L1 *

G5 = ( V1 {S∪ 5}, T1, P5, S5 ) dimana P5 = P1 ditambah S5 → S1S5 | ∈

4. CFL "Closed" under substitusi16

5. CFL tidak closed under INTERSECTION

Contoh :

L1 = { aibici | i ≥ 1 } : tidak CFL

L2 = {aibicj | i ≥ 1 dan j ≥ 1 } : CFL

L3 = {aibjcj | i ≥ 1 dan j ≥1 } : CFL

Dan

L2 ∩ L3 = L1

17

6. CFL tidak closed under Complement

Bukti :

Diketahui CFL closed di bawah union.

Jika CFL closed under komplemen, maka closed under intersection, karena dari hukum DeMorgan:

L1 ∩ L2 = L1 L2∪ Suatu kontradiksi.

18

19

<< CLOSING>>