1.Conducţia termică Conducţia termică reprezintă modul de transmitere a căldurii din aproape în aproape prin contactul direct dintre microparticulele corpului; se bazează pe proprietatea diverselor corpuri de a conduce căldura. Pentru o anumită substanţă, conductivitatea termică λ variază cu starea de agregare, presiunea, temperatura, axele de cristalizare, umiditatea, porozitatea etc.

t)b(1λλ 0 ⋅+= [ ]W/mK

unde 0λ este valoarea lui λ la C0t 0= , iar b o constantă, care depinde de material. În funcţie de natura substanţei apar urmatoarele valori limită:

a) Gaze: 0,6)(0,006λ −∈ valori care cresc cu creşterea temperaturii. b) Lichide: 0,7)(0,09λ −∈ valori care scad cu creşterea temperaturii. c) Materiale de construcţie şi termoizolante: 3)(0,02λ −∈ valori care cresc cu

creşterea temperaturii, a densităţii şi umidităţii. Materialele cu 0,2λ < se numesc termoizolante. d) Metale: 414)(2λ −∈ valori care scad cu creşterea temperaturii şi scad brusc în

prezenţa unor impurităţi. La aliaje are valori mai mici decât ale metalelor componente.

Distribuţia de temperaturi t = t(x,y,z, ح) se numeşte câmp de temperaturi. Dacă variază în timp, câmpul de temperatură este nestaţionar; iar dacă nu variază în timp este staţionar. Două suprafeţe izoterme de temperaturi diferite NU se intersectează.

Distanţa cea mai mică între cele două suprafeţe n∆ este după normala la suprafaţa t; deci

cea mai mare variaţie de temperatură pe unitatea de lungime între cele două suprafeţe izoterme ∆t/∆n se produce după direcţia normală. Se defineşte gradientul de temperatură drept un vector normal la suprafaţa izotermă, care numeric este egal cu limita raportului ∆t/∆n când 0∆n → , deci cu derivata temperaturii după direcţia normală.

z

tk

y

tj

x

ti

n

tn

∆n

∆tlimntgrad 0

0∆n0 ∂

∂+∂∂+

∂∂=

∂∂=⋅=

→ [ ]K/m

0n - vector unitar normal, pozitiv în sensul de creştere al temperaturii, iar scalarul nt ∆∆ /

reprezentând valoarea gradientului de temperatură. Legea Fourier Studiind conducţia termică, Fourier a ajuns la concluzia că se poate calcula căldura transmisă prin conducţie, prin elementul de suprafaţă dA de pe suprafaţa izotermă, în intervalul de timp τ∆ cu relaţia:

dτdAn

tλQd2 ⋅

∂∂−= [ ]J

Factorul de conductivitate [ ]KW/mλ - numit conductivitate termică este o proprietate fizică a materialului. Semnul minus apare deoarece căldura se transmite în sensul negativ al gradientului.

Căldura transmisă prin unitatea de arie de pe suprafaţa izotermă, în unitatea de timp, •q ,

este numită densitatea fluxului de căldură . Se calculează cu relaţia :

[ ]2W/mn

tλq

∂∂−=

•

Este un vector normal la suprafaţa izotermă

ale cărui componente după cele trei axe sunt :

x

tλqx ∂

∂−=•

; y

tλqy ∂

∂−=•

; z

tλqz ∂

∂−=•

Cu acestea :

[ ]2zyx W/mqkqjqiq

••••⋅+⋅+⋅=

−−−

Căldura transmisă •Q prin întreaga suprafaţă izotermă A, în unitatea de timp, se numeşte

flux de căldură. Valoarea fluxului de căldura este :

[ ]WdAn

tλdAqQ

AA⋅

∂∂−=⋅= ∫∫

••

Ecuaţia diferenţială a conducţiei termice

Se pune problema de a stabili o ecuaţie general valabilă pentru conducţie termică, într-un corp în care câmpul de temperaturi este nestaţionar şi în care se găsesc şi surse interne de caldură.

Sursele interne sunt caracterizate prin densitatea volumică de flux [ ]3v W/mq

•, care reprezintă

n

tλnq 0 ∂

∂−=−−−

•

fluxul de căldură degajat în volumul unitar. Exemple de surse interne: efectul Joule-Lenz, reacţiile nucleare, reacţii chimice etc. Să considerăm un element de volum cu volumul dzdydxdV ⋅⋅= , în care la momentul iniţial, câmpul de temperaturi are o anumita configuraţie (figura de mai sus). Admitem următoarele ipoteze :

a) corpul este omogen si izotropic ; b) proprietăţile fizice sunt constante ; c) deformaţia volumului cauzată de variaţia temperaturii este neglijabilă (proces izocor) d) sursele interne de căldură sunt uniform distribuite.

Căldurile elementate xdQ , ydQ şi zdQ care intră în elementul de volum dupa axele Ox, Oy, Oz

sunt:

( ) dτdzdyx

tλdτdAqQd xxx

2 ⋅⋅∂∂−=⋅⋅=

•

( ) dτdzdxy

tλdτdAqQd yyy

2 ⋅⋅∂∂−=⋅⋅=

•

( ) dτdydxz

tλdτdAqQd zzz

2 ⋅⋅∂∂−=⋅⋅=

•

În acelaşi interval de timp părăsesc elementul de volum prin conducţie căldurile dxx2Qd + ,

dyy2Qd + şi dzz

2Qd + .

( ) dτdzdyqdτdAqQd dxxxdxxdxx2 ⋅⋅⋅=⋅⋅= +

•

+

•

+

( ) dτdzdxqdτdAqQd dyyydyydyy2 ⋅⋅⋅=⋅⋅= +

•

+

•

+

( ) dτdydxqdτdAqQd dzzzdzzdzz2 ⋅⋅⋅=⋅⋅= +

•

+

•

+

Funcţia dxxq +

• este continuă pe intervalul dx. Prin dezvoltare în serie Taylor, se obţine :

....z

dx

x

qdx

x

qqq

2

2x

2x

xdxx +⋅∂

∂+⋅

∂∂

+=••

•

+

•

Reţinând numai primii doi termeni, se obţine :

dxx

qqq x

xdxx ⋅∂

∂+=

••

+

•

şi similar după celelalte axe. Deci avem :

( ) dτdzdydxx

qqQd x

xdxx2 ⋅⋅⋅

⋅

∂∂

+=•

•

+

( ) dτdzdxdyy

qqQd y

ydyy2 ⋅⋅⋅

⋅∂

∂+=

••

+

( ) dτdydxdzz

qqQd z

zdzz2 ⋅⋅⋅

⋅

∂∂

+=•

•

+

Căldura acumulată în elementul de volum, în timpul τd , va fi : )QdQ(d)QdQ(d)QdQ(dQd dzz

2z

2dyy

2y

2dxx

2x

21

2+++ −+−+−=

Deci :

dτdVz

q

y

q

x

qQd zyx

12 ⋅⋅

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=•••

(1)

În intervalul de timp τd , în elementul de volum dV, sursele interne de caldură cu

densitatea vq•

degajă căldura :

dτdVqQd v22 ⋅⋅=

• (2)

Adunând relaţiile (1) şi (2), se obţine căldura totală Qd 2 acumulată în elementul de volum :

dτdVqz

q

y

q

x

qQdQdQd v

zyx2

21

22 ⋅⋅

+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=+=•

•••

(3)

Dacă substanţa din elementul de volum are capacitatea termică masică [ ]KJ/kgc şi

densitatea [ ]3kg/mρ , Qd2 va fi :

dVdττ

tcρQ2d ⋅⋅

∂∂⋅⋅= (4)

Egalând relaţiile (3) şi (4) se obţine :

cρ

q

z

q

y

q

x

q

cρ

1

τ

t vzyx

⋅+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

⋅⋅

−=∂∂

••••

sau

cρ

qqdiv

cρ

1

τ

t v

⋅+⋅

⋅−=

∂∂

••

−−−

Înlocuim xq•

, yq•

, zq•

şi rezultă:

c

q

z

t

zy

t

yx

t

xc

t v

⋅+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂⋅

⋅=

∂∂

•

ρλλλ

ρτ1 (5)

sau

( )

+⋅⋅

=∂∂ •

vqtgradλdivcρ

1

τ

t

Aceasta reprezintă ecuaţia diferenţială a conducţiei termice. Dacă c,ρ şi λ sunt constante, din relaţia (5) se obţine :

cρ

q)

z

t

y

t

x

t(

cρ

λ

τ

t v2

2

2

2

2

2

⋅+

∂∂+

∂∂+

∂∂⋅

⋅=

∂∂

•

Cu [ ]/smcρ

λa 2

⋅= , care este difuzivitatea termică şi cu operatorul lui Laplace 2V se

obţine :

)λ

qtV(a

cρ

qtVa

τ

t v2v2

••

+⋅=⋅

+⋅=∂∂ (6)

Pentru 0=•

vq , ecuaţia (6) se reduce la forma :

tVaτ

t 2⋅=∂∂

care este ecuaţia lui Fourier. Din ecuaţie se vede că viteza de variaţie a temperaturii într-un punct este direct proporţională cu curbura câmpului de temperaturi în punctul respectiv, coeficientul de proporţionalitate fiind a. Cu cât a este mai mare, uniformizarea câmpului de temperaturi se face mai repede. Valori mari ale lui a apar la metale. La câmpuri staţionare cu surse, se obţine ecuaţia lui Poisson :

0λ

q

z

t

y

t

x

t v2

2

2

2

2

2

=+∂∂+

∂∂+

∂∂

•

La câmpurile staţionare fără surse, se obţine ecuaţia lui Laplace:

0z

t

y

t

x

t2

2

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂

Pentru câmpuri unidimensionale ecuaţia devine :

0x

t2

2

=∂∂

(7)

Conducţia termică în regim staţionar unidimensional fără surse interne a) Peretele plan. Se consideră un perete plan omogen cu grosimea δ de extindere infinită după direcţiile y si z, cu conductivitate λ . Fluxul de caldură transmis prin perete este unidimensional dacă peretele este de extindere infinită şi dacă temperaturile 1t şi 2t sunt întreaga suprafaţă.

În acest caz, relaţia (7) devine :

0dx

td2

2

=

Prin integrare se obţine :

Cdx

td2

2

= şi BCxt += (8)

dx

dtλ

x

tλq(x) −=

∂∂−=

•sau C

λ

q

dx

dt =−=•

Pentru 0=x , Btt == 1 . Înlocuind C şi B în (8) se obţine :

xλ

qtt 1 ⋅−=

•

sau x

ttλq 1 −

⋅=•

Pentru δ=x se obţine:

( )21 ttδ

λq −=•

(9)

Fluxul de căldură este:

( )c

2121 R

ttAtt

δ

λAAqQ

−⋅=−⋅=⋅=

••

[ ]K/Wmλ

δR 2= este rezistenţa la conducţie termică. În orice punct, densitatea fluxului de

căldură e aceeaşi la orice x.

δ

tt

x

tt 211 −=

− sau x

δ

tttt 21

1 ⋅−

−=

care este ecuaţia curbei de temperatură în placă. Într-un perete plan omogen, pentru =λ constant, temperatura variază liniar.

Pentru un perete plan neomogen

În regim staţionar =•q constant în fiecare strat. Din relaţia (9) se obţine:

)t(tδ

λ)t(t

δ

λ)t(t

δ

λq 43

3

332

2

221

1

1 −⋅=−⋅=−⋅=•

de unde:

1

121

λ

δqtt ⋅=−•

2

232

λ

δqtt ⋅=−•

3

343

λ

δqtt ⋅=−•

Din adunările celor trei relaţii rezultă:

)λ

δ

λ

δ

λ

δ(qtt

3

3

2

2

1

141 ++⋅=−

• sau

3

3

2

2

1

1

41

λ

δ

λ

δ

λ

δ

ttq

++

−=

•

Pentru un perete cu n straturi: ech

1n1n

1i i

i

1n1

R

tt

λ

δ

ttq +

=

+• −

=−

=∑

(10)

unde:

∑∑=

=

=

=

==ni

1ici

ni

1i i

iech R

λ

δR reprezintă rezistenţa termică echivalentă a peretelui neomogen.

Temperaturile intermediare sunt :

1

112

λ

δqtt ⋅−=•

şi 2

223

λ

δqtt ⋅−=•

În cazul peretelui neomogen se defineşte conductivitatea echivalentă echλ din relaţia :

echech

ni

1ii

ech R

δ

R

δ

λ ==∑

=

=

b) Perete cilindric. Transmiterea căldurii prin conducţie, prin pereţi cilindrici omogeni sau neomogeni este un caz foarte frecvent întâlnit în legătură cu transportul fluidelor calde sau reci prin conducte. Se consideră un perete cilindric omogen de lungime l >>d, r1= rază interioară, r2= rază exterioară, t1= temperatură interioară, t2= temperatură exterioară. Temperatura variază doar radial, prin urmare câmpul de temperatură, în coordonate cilindrice, este unidimensional.

dr

dtλq ⋅−=

• iar fluxul de căldură:

dr

dtAλQ ⋅−=

•

Suprafaţa lr2πA ⋅⋅= este variabilă cu raza. Cu aceasta

dr

dtlr2πλQ ⋅⋅⋅⋅−=

•

Separând variabilele se obţine:

r

dr

λl2π

Qdt ⋅

⋅⋅−=

•

Prin integrare se obţine:

( ) ( )21

1

221

1

2

tt

d

dln

lλ2πtt

r

rln

lλ2πQ −⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=•

(11)

Cum suprafeţele interioare şi exterioare sunt diferite, densitatea fluxului de căldură va fi diferită

la cele două raze (•

1q pentru r1, respectiv •

2q pentru r2):

1

21

21

11

r

rln

λ

rtt

lr2π

Qq

⋅

−=

⋅⋅=

••

(12)

1

22

21

22

r

rln

λ

rtt

lr2π

Qq

⋅

−=

⋅⋅=

••

(13)

Evident ••

> 21 qq . La conducte se introduce noţiunea de densitate liniară de flux [ ]W/mq l

•

definită prin relaţia:

( ) ( )

1

2

2121

1

2l

d

dln

λ2

1ttπ

tt

d

dln

λ2π

l

Qq

⋅⋅

−=−⋅⋅==

••

(14)

Din (10), (13) şi (14) rezultă:

2211l qdπqdπq•••

⋅⋅=⋅⋅=

Scriind relaţia (11) pentru o rază curentă r, rezultă:

( )tt

d

dln

lλ2πQ 1

1

−⋅⋅⋅=•

(15)

Din relaţiile (11) şi (15) se obţine:

( )

1

2

1211

d

dln

d

dln

tttt ⋅−−=

Deci vom avea o variaţie logaritmică a temperaturii pe secţiune.

perete cilindric omogen

perete cilindric neomogen

În regim staţionar, densitatea liniară de flux lq•

este egală în cele două straturi.

( ) ( )

2

3

2

32

1

2

1

21l

d

dln

λ2

1ttπ

d

dln

λ2

1ttπ

q⋅

⋅

−⋅=

⋅⋅

−⋅=

•

de unde, diferenţele de temperatură sunt:

1

2

1

l21 d

dln

λ

1

2π

qtt ⋅⋅=−

•

2

3

2

l32 d

dln

λ

1

2π

qtt ⋅⋅=−

•

Din adunarea acestor diferenţe de temperatură rezultă:

( )

2

3

21

2

1

31l

d

dln

λ2

1

d

dln

λ2

1ttπ

q⋅

⋅+⋅

⋅

−⋅=

•

Pentru n straturi se poate scrie: ( )

∑=

+

+•

⋅⋅

−⋅=

n

1i i

1i

i

1n1l

d

dln

λ2

1

ttπq

Se poate calcula temperatura intermediară t2 pentru două straturi :

1

2

1

l12 d

dln

λ

1

2π

qtt ⋅⋅−=

•

c) Perete sferic. Se consideră o sferă cu razele: interioară r1 si exterioară r2; cu temperaturile t1 şi t2. Aria sferei este 24 rAsf ⋅= π şi se obţine:

dr

dtr4πλQ 2⋅⋅−=

• 12 dd2δ −=

Separând variabilele şi integrând de la r1 la r2 se obţine:

( ) ( ) ( )

δ

ddttλπ

d

1

d

1ttλ2π

r

1

r

1ttλ4π

Q 2121

21

21

21

21 ⋅⋅−⋅⋅=

−

−⋅⋅=

−

−⋅⋅=

• (16)

Pentru o rază curentă 21 rrr << , din (16) rezultă:

( )

r

1

r

1ttλ4π

Q

1

1

−

−⋅⋅=

• (17)

Împârţind relaţiile (16) şi (17) se obţine:

( )

21

1211

r

1

r

1r

1

r

1

tttt−

−⋅−−=

deci o variaţie hiperbolică a temperaturii.

perete sferic omogen

perete sferic neomogen

La peretele neomogen, cu două straturi, fluxul de căldură este egal,prin ambele straturi; din (16) se obţine:

( ) ( )

32

322

21

211

d

1

d

1ttλ2π

d

1

d

1ttλ2π

Q−

−⋅⋅=

−

−⋅⋅=

•

Diferenţele de temperaturi vor fi:

−⋅

⋅=−

•

21121 d

1

d

1

λ2π

Qtt

−⋅

⋅=−

•

32232 d

1

d

1

λ2π

Qtt

Adunând cele două relaţii se obţine:

⋅⋅+

⋅⋅⋅=

⋅−

⋅+⋅−

⋅⋅=−••

322

2

211

1

32

23

221

12

131 dd

1

λ

δ

dd

1

λ

δ

π

Q

dd

dd

λ

1

dd

dd

λ

1

2π

Qtt

Fluxul de căldură transmis va fi:

( )

322

2

211

1

31

dd

1

λ

δ

dd

1

λ

δ

ttπQ

⋅⋅+

⋅⋅

−⋅=

•

Pentru n straturi, relaţia poate fi generalizată:

( )

∑= +

+•

⋅⋅

−⋅=

n

1i 1iii

i

1n1

dd

1

λ

δ

ttπQ

TRECEREA CĂLDURII

Un perete omogen sau neomogen, de orice formă, separă de obicei două fluide cu temperaturi diferite tf1 şi tf2. Căldura se transmite de la un fluid la altul prin intremediul peretelui. În perete căldura se transmite prin conductivitate, iar de la primul fluid la perete şi de la perete la al doilea fluid prin convecţie şi eventual şi prin radiaţie, pentru temperaturi mari. Acest fenomen complex de transmitere a căldurii se numeşte trecerea căldurii. Trecerea căldurii prin pereţi plani

În regim staţionar densitatea fluxului de căldură este identică de la fluidul cald la perete – prin perete – şi de la perete la fluidul rece.

( ) ( ) ( ) ( )f232322

221

1

11f11 ttαtt

δ

λtt

δ

λttαq −⋅=−⋅=−⋅=−⋅=

• (1)

Din relaţia (1) rezultă diferenţele de temperatură:

2f23

2

232

1

121

11f1

α

1qtt

λ

δqtt

λ

δqtt

α

1qtt

⋅=−

⋅=−

⋅=−

⋅=−

•

•

•

•

(2)

Prin adunarea acestor diferenţe rezultă:

22

2

1

1

1

f2f1

α

1

λ

δ

λ

δ

α

1tt

q+++

−=

•

Ecuaţia generală:

2i

i

1

2f1f

α

1

λ

δ

α

1

ttq

++

−=

∑

•

Utilizând un coeficient de transfer termic total K [W/m2K], densitatea fluxului se poate scrie sub forma:

( )2f1f ttKq −⋅=•

Din compararea celor două relaţii rezultă:

22

2

1

1

1 α

1

λ

δ

λ

δ

α

11

K+++

=

Din relaţiile (2) se pot calcula temperaturile t1,t2 si t3. Trecerea căldurii prin pereţi cilindrici

În regim staţionar, densitatea liniară de flux, de la fluidul cu temperatura tf1 la perete este identică cu cea transmisă prin perete şi cu cea transmisă de la perete la fluidul cu temperatura tf2.

( ) ( ) ( ) ( )f2323

2

3

2

32

1

2

1

211f111l ttαdπ

d

dln

λ2

1ttπ

d

dln

λ2

1ttπ

ttαdπq −⋅⋅⋅=⋅

⋅

−⋅=

⋅⋅

−⋅=−⋅⋅⋅=

•

Diferenţele de temperatură sunt:

11

l1f1 dαπ

qtt

⋅⋅=−

•

1

2

1

l21 d

dln

λπ2

qtt ⋅

⋅⋅=−

•

2

3

2

l32 d

dln

λπ2

qtt ⋅

⋅⋅=−

•

32

lf23 dαπ

qtt

⋅⋅=−

•

Prin adunarea acestor relaţii se obţine:

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅+

⋅⋅⋅=−

•

322

3

21

2

111lf2f1 dα

1

d

dln

λ2

1

d

dln

λ2

1

dα

1

π

1qtt

Deci obţinem ecuaţia generală: ( )

∑= +

+

•

⋅+⋅

⋅+

⋅

−⋅=

n

1i 1n2i

1i

i11

f2f1l

dα

1

d

dln

λ2

1

dα

1

ttπq

Notăm Kl coeficientul de transfer termic total liniar.

[ ]W/mK

dα

1

d

dln

λ2

1

dα

11

Kn

1i 1n2i

1i

i11

l

∑= +

+

⋅+⋅

⋅+

⋅

=

•

lq poate fi scris sub forma:

( )f2f1ll ttπKq −⋅⋅=•

Trecerea căldurii prin pereţi sferici În regim staţionar fluxul de căldură transmis de la primul fluid la perete este identic cu cel transmis prin perete şi cu cel transmis de la perete la al doilea fluid.

( ) ( ) ( ) ( )f23223

322

2

32

211

1

211f11

21 ttαdπ

dd

1

λ

δ

ttπ

dd

1

λ

δ

ttπttαdπQ −⋅⋅⋅=

⋅⋅

−⋅=

⋅⋅

−⋅=−⋅⋅⋅=

•

Diferenţele de temperatură sunt:

121

1f1αdπ

Qtt

⋅⋅=−

•

211

121

dd

1

λ

δπ

Qtt

⋅⋅⋅

=−•

322

232

dd

1

λ

δπ

Qtt

⋅⋅⋅

=−•

223

f23αdπ

Qtt

⋅⋅=−

•

Prin adunarea acestor diferenţe se obţine: ( )

∑= ++

•

⋅+

⋅⋅+

⋅

−⋅=

n

1i2

1n21iii

i211

f2f1

dα

1

dd

1

λ

δ

dα

1

ttπQ

Notăm cu Ksf coeficientul de transfer termic total prin peretele sferic.

[ ]W/K

dα

1

dd

1

λ

δ

dα

11

Kn

1i2

1n21iii

i211

sf

∑= ++ ⋅

+⋅

⋅+⋅

=

•Q mai poate fi scris:

( )f2f1sf ttπKQ −⋅⋅=•

Caldura transmisă prin convecţie Prin convecţie termică se înţelege transmiterea căldurii între un fluid în mişcare şi un perete care îi delimitează mişcarea. Pentru calculul căldurii, transmisă prin convecţie, între un fluid cu temperatura tf şi un perete cu temperatura tp, având suprafaţa A în timpul τ, se poate utiliza formula lui Newton:

( ) [ ]JτttAαQ pf ⋅−⋅⋅=

α este coeficientul de convecţie [W/m2K] Toată problema transmiterii căldurii prin convecţie se reduce, de fapt, la determinarea coeficientului de convecţie. Singura posibilitate de determinare a coeficientului de convecţie constă în determinarea lui experimentală. A cerceta experimental un fenomen, care depinde de mărimi fizice, înseamnă a modifica pe rând câte una din aceste marimi, iar celelalte n-1 mărimi să fie menţinute constante. O asemenea cercetare experimentală este foarte dificil de făcut, iar rezultatele obţinute sunt foarte greu de interpretat. Din această cauză, efectuarea cercetărilor experimentale şi interpretarea rezultatelor se face pe baza teoriei similitudinii. În cazul cercetarilor experimentale ale unor fenomene pot intervene două dificultăţi majore. Prima, constă în faptul că unele fenomene nu pot fi studiate în mărime naturală, din cauza dimensiunilor prea mari şi a doua, că numărul de mărimi fizice, de care depinde fenomenul este prea mare. În primul caz, cercetările experimentale se fac pe modele la scară redusă, iar în al doilea caz, nu se vor modifica pe rând toate mărimile fizice, ci numai anumite mărimi adimensionale determinate din mărimile care caracterizează fenomenele, mărimi numite invariaţii sau criterii de similitudine. Pentru a putea transpune rezultatele experimentale astfel obţinute la fenomenul real sau pentru a determina care sunt mărimile adimensionale, care caracterizeaza fenomenul, trebuie să se facă apel la teoria similitudinii. Similitudinea sau asemanarea a doua fenomene, implică o condiţie primordială: asemănarea geometrică. Asemănarea geometrică presupune egalitatea unghiurilor omoloage şi rapoarte egale între toate dimensiunile liniare de la original şi model. Se defineşte factorul de scară geometric cl din relaţia:

'n

''n

l l

lc =

Pentru o mărime oarecare ϕ , factorul de scară ϕc este:

'

''

cϕϕ

ϕ =

Trebuie observat că mărimile care caracterizează un fenomen pot fi mărimi fundamentale şi mărimi derivate. Mărimile fundamentale sunt cele care definesc sistemul de unităţi de măsură folosit. În cadrul sistemului SI mărimile fundamentale, care interesează în fenomenele de transmitere a căldurii sunt: [ ]mLlungimea , [ ]kgmmasa , [ ]sτtimpul , temperatura T [K]. Factorii de scară pentru mărimile fundamentale pot fi aleşi arbitrar. Pentru mărimile derivate, factorii de scară nu pot fi aleşi arbitrar; ei rezultă din factorii de scară ai mărimilor

fundamentale pe baza relaţiilor de definiţie ale mărimilor respective. Pentru exemplificare se consideră cazul curgerii unui fluid cu viteză constantă w printr-o conductă. Drumul parcurs de fluid fiind l în timpul τ viteza w este:

τ

1w =

Aplicând această relaţie pentru calculul vitezei la doi curenţi de fluid asemenea, care parcurg drumuri asemenea, în timpi asemenea, vitezele celor două fluide se pot scrie:

'

''

τ

lw = şi

''

''''

τ

lw =

sau

''

'

'

''

'

''

τ

τ

l

l

w

w ⋅= (a)

Factorii de scară pentru cele trei mărimi sunt:

'

''

w w

wc = ;

'

''

l l

lc = ;

'

''

τ

τcτ =

Înlocuind factorii de scară în relaţia (a) se obţine:

τc

cc l

w = (b)

Rezultă că pentru a avea similitudine între cei doi curenţi, factorul de scară pentru viteză trebuie să aibă o valoare bine definită, conform relaţiei (b). Relaţia (a) poate fi scrisă şi sub forma:

'

''

''

''''

l

τw

l

τw ⋅=⋅ = const

Expresiile de forma l

w τ⋅ sunt adimensionale şi au aceeaşi valoare la model şi original,

dacă fenomenele sunt asemenea. Asemenea mărimi se numesc invarianţi sau criterii de similitudine. Se pot obţine invarianţi pentru orice fenomen fizic. Pentru aceasta este suficient să se cunoască ecuaţia fenomenului, chiar sub forma diferenţială. Pe baza celor prezentate mai sus, se pot enunţa teoremele similitudinii: .1) Pentru două sisteme fzice asemenea se pot deduce invarianţi sau criterii de similitudine, care au aceeaşi valoare la ambele sisteme. Se poate demonstra că numărul de invarianţi independenţi, care pot fi stabiliţi în cazul unei funcţii între m variabile din care n sunt independente, este (m-n). Se pot obţine invarianţi dependenţi prin combinarea celor independenţi. .2) Soluţia integrală a oricarei ecuaţii diferenţiale poate fi reprezentată ca o funcţie între invarianţii care caracterizează fenomenul. Cum numărul invarianţilor independenţi este (m-n), din teorema .2) rezultă unul din avantajele esenţiale ale folosirii metodei similitudinii I cercetările experimentale şi anume, reducerea numărului de argumente ale funcţiei necunoscute; în loc de a modifica m mărimi fizice, trebuie modificati (m-n) invarianţi prin modificarea unor mărimi fizice, care intră în expresiile acestora. Pe baza acestei teoreme, orice dependenţă între variabilele care caracterizează un fenomen oarecare, poate fi prezentată sub forma unei relaţii între invarianţii independenţi K1, K2,…, Km-n care se pot stabili pentru fenomenul respectiv. f(K1, K2,…, Km-n) = 0 Rolul cercetării experimentale este de a stabili funcţia f, sau cum se mai numeşte ecuaţia crierială.

.3) Condiţia necesară şi suficientă pentru ca două fenomene fizice să fie asemenea constă în asemănarea condiţiilor de unicitate, în care se desfăşoară fenomenul şi în identitatea invarianţilor deduşi din condiţiile de unicitate la cele două fenomene. Ecuaţiile convecţiei termice A) Ecuaţia de continuitate, care pentru fluidele compresibile are forma:

wdivρdτ

Dρ ⋅−=

z

ρw

y

ρw

x

ρw

τ

ρ

dτ

Dρzyx ∂

∂⋅+∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂=

fiind substanţială densităţii fluidului. Pentru fluide incompresibile ecuaţia devine: 0wdiv = B) Ecuaţia de mişcare a fluidelor vâscoase (ecuaţiile Navier-Stockes) care este de forma:

∆Tγgwνρgradρ

1

dτ

Dw 2 ⋅⋅+⋅∇⋅+⋅−=

C) Ecuaţia conducţiei termice pentru fluide în mişcare. Fără surse interne este de forma:

tadτ

Dt 2 ⋅∇⋅=

D) Ecuaţia de contur.

( )p(erete)

fp n

tλttαq

∂∂⋅−=−⋅=

•

La acest sistem de ecuaţii cu derivate parţiale, trebuie introduse încă condiţiile de unicitate de spaţiu şi timp pentru: câmpul de temperatură, câmpul de viteze si densitatea fluxului şi trebuie cunoscut cum variază cu temperatura toate mărimile fizice care intervin. Rezolvarea analitică a acestrui sistem cu condiţiile impuse, nu este posibilă decât pentru cazuri simple cu totul particulare. Radiaţia termică Radiaţia termică este fenomenul de transmitere a căldurii între două corpuri aflate la distanţă, prin radiaţii electromagnetice din spectrul luminos ( 0,80µ,0,40λ ÷= ) şi din spectrul infrarosu ( 800µ00,80λ ÷= ). Orice corp radiază energie termică, în mod continuu, la orice temperatură. Când energia termică radiată ajunge pe alte corpuri, ea produce efecte termice. Legile radiaţiei termice Legea I-a a lui Kirchoff:

Fie •

0Q fluxul de energie radiată, care întâlneşte un corp oarecare. Din acest flux •

AQ este

absorbit de corp, •

RQ este reflectat, iar •

TQ trece prin corp.

••••

++= TRA0 QQQQ sau 1Q

Q

Q

Q

Q

Q

0

T

0

R

0

A =++ •

•

•

•

•

•

Notand: A= •

•

0

A

Q

Q - factor de absorbţie;

R= •

•

0

R

Q

Q - factor de reflexie;

T= •

•

0

T

Q

Q - factor de transparenţă;

A + R + T = 1 Dacă A = 1 – corp negru, întreaga energie e absorbită. Dacă R = 1 – corp alb, întreaga energie e reflectată. Dacă i = r (unghiul de incidenţă = unghiul de reflexive) corpul este lucios. Dacă T = 1 – corp transparent, întreaga energie trece prin corp fără a produce efecte termice. Valorile lui A, R, T depind de natura corpului, de temperatura lui şi de lungimea de undă. Majoritatea corpurilor se comportă selectiv, adică radiaţiile cu o anumită lungime de undă sunt absorbite total sau parţial, iar pentru alte lungimi de undă corpul este reflectant sau transparent. Pentru corpuri netransparente: A + R = 1 Prin corpuri cenuşii se înţeleg corpurile care pe întreg intervalul de lungime de undă absorb aceeaşi parte din radiaţia incidentă. Legea lui Planck Exprimă legătura dintre intensitatea de radiaţie a corpului negru

NλI [W/m3],

temperatura corpului T si lungimea de undă a emisiei λ .

1

51λ 1eλCI Tλ

2C

N

−

−

−⋅⋅= ⋅ în care -16

1 103,74 C ⋅= [Wm2]

22 10438,1C −⋅= [mK]

Legea lui Wien Exprimă legătura dintre temperatura T si lungimea de undă mλ .

3m 102.896constTλ −⋅==⋅ [mK]

Legea lui Stefan Bolzmann Pentru o anumită izotermă, pe un interval de lungimi de undă dλ unitatea de suprafaţă din corpul negru emite fluxul de energie specific.

dλλIdE NN ⋅⋅= [W/m2]

Integrând pe întreg intervalul de lungimi de undă, se obţine fluxul specific total,numit şi puterea emisivă a corpului negru.

4N

λ

constt0λ NN TσdλλIE ⋅=⋅⋅= ∫∞=

== [W/m2]

Pentru calcule numerice este mai comod să se scrie:

44

N

4

N8

N 100

T5,67

100

TC

100

Tσ10E

⋅=

⋅=

⋅⋅=

CN – constanta de radiaţie a corpului negru [W/m2] Pentru corpurile cenuşii, la aceeaşi temperatură, puterea emisivş E este mai mică decât puterea emisivă a corpului negru EN. Se defineşte factorul de emisie ε ca raportul dintre E şi EN.

N

4N

4

4N

4

N C

C

TC

TC

Tσ

Tσ

E

Eε =⋅=

⋅⋅==

Legea a-II-a a lui Kirchoff Se pune problema de a stabili legatura dintre factorul de emisie ε şi factorul de absorbţie A pentru un corp aflat în echilibru termodinamic la temperatura T. Se consideră două suprafeţe paralele de extindere infinită cu temperaturile T1>T2, închise într-o incintă adiabatică, cu factorii de emisie 1ε , 2ε şi factorii de absorbţie A1, A2 . În absenţa suprafeţei 2, respective a suprafeţei 1, puterile emisive ale suprafeţei 1, respectiv 2,sunt:

4

1N11 100

TCεE

⋅⋅= ; 4

2N22 100

TCεE

⋅⋅=

În prezenţa ambelor suprafeţe între care se produc reflexii multiple, fiecare din ele emite pe lângă radiaţia proprie şi o radiaţie suplimentară şi anume, partea reflectată din radiaţia totală, venită de la cealaltă suprafaţă. Se introduce noţiunea de luminozitate L, a suprafeţei care este radiaţia totală a suprafeţei respective. Pentru cele două suprafeţe se poate scrie: ( ) 2111 LA1EL ⋅−+= şi ( ) 1222 LA1EL ⋅−+= [W/m2] de unde :

( )

2121

1211 AAAA

A1EEL

⋅−+−⋅+

= ( )

2121

2122 AAAA

A1EEL

⋅−+−⋅+

=

Densitatea fluxului de căldură transmisă prin radiaţie este:

2121

12212121 AAAA

AEAELLq

⋅−+⋅−⋅

=−=•

− [W/m2]

După un anumit timp temperaturile T1 si T2 se vor egala iar 0q 21 =•

− , rezultă:

1221 AEAE ⋅=⋅ sau 2

2

1

1

A

E

A

E=

Dacă una dintre suprafeţe este neagră AN = 1, atunci se poate scrie:

constantA

EE

A

E

A

E

A

EN

N

N

2

2

1

1 =====

de unde rezultă că la T = constant, A = εE

E

N

=

Pentru corpuri cenuşii selective: λλ Aε =

Transmiterea căldurii prin radiaţie între diverse corpuri

Dacă două corpuri au temperaturi diferite între ele, se va transmite căldura prin radiaţie termică. Fluxul de căldură transmis depinde de natura corpurilor, de diferenţa de temperatură, de forma corpurilor, precum şi de poziţia lor relativă. A) Suprafeţe plane paralele de extindere infinită Pe baza legii a-II-a a lui Kirchoff relaţia densitatii fluxului de căldură transmisă prin radiaţie devine:

2121

1221

2121

122121

εεεε

εEεE

AAAA

AEAEq

⋅−+⋅−⋅

=⋅−+⋅−⋅

=•

−

Din legea lui Stefan Bolzmann rezultă:

=⋅−+

⋅

⋅⋅−⋅

⋅⋅=

⋅−+

⋅

⋅−⋅

⋅=

•

−2121

1

4

22N2

4

11N

2121

1

4

222

4

11

21εεεε

ε100

TεCε

100

TεC

εεεε

ε100

TCε

100

TC

q

=

−

⋅=

−

⋅−+

4

2

4

112

4

2

4

1

12

N

100

T

100

TC

100

T

100

T

1ε

1

ε

1C

C12 – constanta de radiaţie

( )21R12 TTαq −⋅=•

unde Rα - este coeficient de radiaţie [W/m2K]

21

4

2

4

112

R TT

100

T

100

TC

α−

−

⋅

=

Cunoscând Rα , se poate cumula efectul convecţiei şi radiaţiei la suprafaţa corpului, rezultând

coeficientul total RC ααα +=

B) Suprafeţe care formează un sistem închis

••

=⋅ 12112 QSq

⇒

−

⋅⋅⋅

−+

=

−

⋅⋅=• 4

2

4

11

2

1

21

N

4

2

4

111212 100

T

100

TS

S

S1

ε

1

ε

1

C

100

T

100

TSCQ

Deoarece S2>>S1 rezultă n112 CεC ⋅= , deci contează doar factorul energetic de emisie al suprafeţei mari.

Efectul paravanelor în radiaţia termică: Se consideră doi pereţi plani, paraleli, de extindere infinită cu temperaturile T1>T2 şi cu factorii de emisie 1ε si 2ε între care se intercalează un paravan subţire, cu factorul de emisie pε .

Neglijând căderea de temperatură în paravan şi neluând în considerare convecţia, se pune problema de a determina influenţa paravanului asupra schimbului de căldura dintre cei doi pereţi.

In prezenţa paravanului, fluxul transmis de la peretele 1 la paravan •

12q este egal cu cel transmis

de la paravan la peretele 2, •

p2q , deci cu fluxul transmis între cei doi pereţi, în prezenţa

paravanului •

p(12)q .

••

=

+

⋅−+

= (12)p

4

p4

1

p1

N1p q

100

T

100

T

1ε

1

ε

1C

q

••

=

+

⋅

−+= (12)p

4

2

4

p

2p

Np2 q

100

T

100

T

1ε

1

ε

1C

q

Din egalarea celor două relaţii de mai sus se obţine :

1ε

1

ε

11

1ε

1

ε

11

1ε

1

ε

1100

T

1ε

1

ε

1100

T

100

T

2pp1

2p

4

2

p1

4

1

4

p

−++

−+

−+

+−+

=

cu care :

−

⋅

−⋅++

=• 4

2

4

1

p21

Np(12) 100

T

100

T

1ε

12

ε

1

ε

1

Cq

Făcând raportul •

p(12)q /•

12q se obţine :

−⋅++

−+=•

•

1ε

12

ε

1

ε

1

1ε

1

ε

1

q

q

p21

21

12

p(12)

Pentru 0ε p → , 0q p(12) →•

, deci s-ar obţine o izolare perfectă faţa de radiaţia termică. In

realitate valorile lui pε sunt limitate, aşa încât pentru a se obţine o izolare cât mai buna este

necesară utilizarea mai multor paravane şi vidarea spaţiului dintre plăci, pentru anihilarea convecţiei. Schimbatoare de căldură Prin schimbator de căldură se înţelege un utilaj în care se produce transferul căldurii între două sau mai multe fluide. După modul de realizare a transmiterii căldurii, se deosebesc schimbătoare de căldură recuperative, regenerative şi de amestec. La schimbătoarele recuperative fluidele circulă concomitent prin schimbător şi schimbă căldură printr-un perete separator. La schimbătoarele regenerative circulatia fluidelor prin schimbatăr se face alternativ. In prima fază, prin schimbător circulă fluid cald, care cedează căldură unei umpluturi cu capacitate termică ridicată, de obicei ceramică, pentru ca în faza a doua să circule fluid rece, care preia căldură de la umplutură. La schimbătoarele de amestec, transmiterea căldurii în fluide cu diverse temperaturi, se realizează prin amestecarea acestora. Calculul schimbătoarelor de căldură recuperative

A calcula un schimbător de căldură, prin care trebuie transmis un flux de căldură •Q de la

un fluid cald cu debitul masic 1m•

, având capacitatea termică masică c1 şi temperatura iniţiala '1t ,

la un fluid rece cu debitul masic 2m•

, capacitatea termică masică c2 şi temperatura iniţiala '2t ,

înseamnă a determina suprafaţa necesară a peretelui separator A. In urma schimbului de căldură, temperatura fluidului cald scade la ''

1t , iar a celui rece creşte la ''2t . Dacă pierderile de căldură

spre exterior sunt nule se poate scrie:

( ) ( ) m'2

''222

''1

'111 ∆tAKttcmttcmQ ⋅⋅=−⋅⋅=−⋅⋅=

••• (1)

K [W/m2K ] fiind coeficientul de transfer termic între cele două fluide, coeficient care în prima aproximaţie se poate considerea de-a lungul întregii suprafeţe, iar [ ]C∆t 0

m fiind diferenţa de

temperatură medie între cele două fluide. Notând fluxurile capacitaţii termice 111 Ccm••

=⋅ şi

222 Ccm••

=⋅ , relaţia (1) devine :

( ) ( ) m'2

''22

''1

'111 ∆tAKttCttCQ ⋅⋅=−⋅=−⋅=

•••

Diferenţele de temperatură medie, între cele două fluide, depinde în principal de modul în care curg cele două fluide prin schimbator. Se deosebesc schimbătoare cu curgere paralela, incrucişată şi mixtă.

(a) – cu curgere paralelă în echicurent (b) – cu curgere paralelă în contracurent (c) – cu curgere încrucişată (d) – cu curgere mixtă

A) Curgerea paralelă în contracurent

−=−=

''2

'1

'2

''1

tt∆

ttδ

δt

∆tln

δt∆t∆t

ccm

−=

Caracteristica de exloatare (performanţă) a schimbătorului

( )( )'

2'11

''1

'11

ttC

ttC

posibilmaximcalduradefluxul

transmisefectivcalduradefluxulφ

−⋅

−⋅== •

•

Notăm : '2

'1

'2

''2

2

1

tt

tt

µ

1φ1

C

Cµ

−−

⋅=⇒<= •

•

Mai notăm :1C

Akχ •⋅=

şi rezultă : ( )( )

−⋅

−⋅=⋅⋅= •

••

'2

''22

'2

'11

ccm

ttC

ttC∆tAkQ

Deci vom avea :

( )

( )1µχ

1µχ

cc eµ1

e1φ −⋅−

−⋅−

⋅−−= (2)

Deoarece φ este o marime adimensională, ecuaţia (2) reprezintă ecuaţia criterială a schimbătoarelor de căldură cu curgerea paralelă a fluidelor în contracurent. Se vede că φ nu depinde de temperaturile iniţiale ale fluidelor, ci numai de invarianţii µsiγ :

Temperaturile de ieşire ale celor două fluide vor fi : ( )'

2'1

'1

''1 tttt −⋅−= φ

( )'2

'1

'2

''2 ttµtt −⋅⋅−= φ

B) Curgerea paralelă în echicurent

δt

∆tln

δt∆t∆t

ecm

−=

'2

'1 tt∆ −=

''2

''1 ttδ −=

Procedând analog ( )

µ1

e1φ

1µχ

ec +−=⇒

+⋅−

C) Comparaţie între schimbătoare cu curgere paralelă în contracurent A compara schimbătoarele cu cele două tipuri de curgere paralelă (în contra curent şi echicurent), înseamnă a compara fluxurile efective care se pot transmite în cele două cazuri.

( )''1

'11 ttCφQ ccccef −⋅⋅=

•

( )''1

'11 ttCφQ ececef −⋅⋅=

•

( ) [ ]

[ ] [ ]µ)(1χµ)(1χ

µ)(1χ

e1e1

e1µ1

Q

Qψ

ecef

ccef−⋅−+⋅−

−⋅

−⋅−−⋅+==

Se constată că intotdeauna ψ este supraunitar şi cu atât este mai mare cu cât χ este mai mare. Rezultă de aici că este preferabil ca schimbătoarele cu curgere paralelă să se realizeze în contracurent. Schimbătoarele în contracurent au totuşi dezavantajul ca temperatura peretelui separator este mai mare şi variază mai mult de-a lungul schimbătorului, decât curgerea în echicurent, ceea ce face ca în special la temperaturi mari de intrare ale fludului cald să fie preferate schimbătoarele în echicurent. Cel mai des în practică se utilizează schgimbătoarele de caldură cu curgere mixta a fluidelor, curgere care reprezintă o combinaţie între curgerea paralelă în echicurent sau în contracurent cu curgerea încrucisată. In majoritatea cazurilor suprafeţele de schimb de căldură sunt realizate sub forma unor fascicule de ţevi, prin ţevi circulând unul dintre fluide, iar în exterior celălalt.