Transformata Fouriera

Piotr Szakowski

I. TRANSFORMATA FOURIERA

Transformata Fouriera jest zdefiniowana przez cak

F [(x)] (k) = 12

eikx(x) dx (k). (1)

Wtedy transformata odwrotna jest dana przez

F1 [(k)] (x) = 12

eikx(k) dk = (x). (2)

A. Arcywasnoci transformaty Fouriera

1. Transformata jest przeksztaceniem liniowym:

F [(x) + (x)] = F [(x)] + F [(x)] (3)

Dowd: Wynika z liniowoci caki.

2. Transformata pochodnej funkcji

F[

d(x)dx

](k) = ikF [(x)](k) (4)

Dowd: Cakujc przez czci

eikxd(x)dx

dx ={f = eikx , g = d(x)dxf = ik eikx , g = (x)

}= ik eikx(x)

+ ik

eikx(x)dx, (5)

Zakadamy, e (x) znika dostatecznie szybko w i dziki temu pozbywamy si wyrazu brzegowego.

3. Transformata Delty Diraca:

F [1](k) = 2(k),

F1[(k)](x) = 12.

Dowd: Nie przytoczymy, gdy rygorystyczny dowd jest do skomplikowany i wymaga matematycznie zawan-sowanej argumentacji.

4. Tosamo Parsevala: transformata zachowuje iloczyn skalarny:

(x)(x) dx = F [](k)F [](k) dk (6)

Dowd: Uyjemy tosamoci

(x) = F1 [F [(x)](k) ] (x), (7)

wstawiajc tak posta funkcji do caki otrzymujemy

12

dk

dk(

dx ei(kk)x

)

=2(kk)

F [](k)F [](k) = F [](k)F [](k)dk. (8)

2

B. Pomniejsze wasnoci transformaty Fouriera

1. Transformata funkcji przesunitej

F [(x x0)](k) = eikx0F [(x)](k) (9)

Dowd: Z bezporedniego rachunku:

12

dx eikx(x x0) = {x = x x0 , dx = dx} =12

dx eik(x+x0)(x) =

= eikx0F [(x)](k). (10)

2. Transformata funkcji przeskalowanej

F [(x)](k) = 1F [(x)]

(k

)(11)

Dowd: Podobnie jak poprzednio, wynika z zamiany zmiennych.

3. Transformata funkcji sprzonej

F [(x)](k) = F [(x)](k) (12)

Dowd: Z bezporedniego rachunku:

12

dx eikx(x) =(

12

dx eikx(x))

= F [(x)](k). (13)

4. Transformata funkcji odbitej

F [(x)](k) = F [(x)](k), (14)

wynika std, e

(x) = (x) F [](k) = F [](k) (15)

Dowd: Prosta zamiana zmiennych.