Krzywe stożkoweLekcja VII: Hiperbola

Marek Skarupski

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Czym jest hiperbola?

Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożkapłaszczyzną pod kątem 0 ¬ β < α (gdzie α jest kątem pomiędzywysokością stożka a jego tworzącą) tak, aby linia cięcia nie pokrywała sięz wysokością stożka.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Czym jest hiperbola?

Hiperbolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że różnicaodległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała.

Formalnie:

{P ∈ R2 : |PF1| − |PF2| = const}

Punkty F1,F2 nazywamy ogniskami hiperboli.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Czym jest hiperbola?

Hiperbolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że różnicaodległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie:

{P ∈ R2 : |PF1| − |PF2| = const}

Punkty F1,F2 nazywamy ogniskami hiperboli.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Czym jest hiperbola?

Hiperbolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że różnicaodległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie:

{P ∈ R2 : |PF1| − |PF2| = const}

Punkty F1,F2 nazywamy ogniskami hiperboli.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Elementy hiperboli

2a - oś rzeczywista, 2b - oś urojonaS - środek hiperboli, 2c = |F1F2| i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.

Zachodzi zależność: c =√a2 + b2. Mimośród hiperboli: m = c

a > 1Oprócz tego wyznacza się tzw. parametr ogniskowy, czyli połowę cięciwyprzechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi rzeczywistej:p = b2

a

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Elementy hiperboli

2a - oś rzeczywista, 2b - oś urojonaS - środek hiperboli, 2c = |F1F2| i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.Zachodzi zależność: c =

√a2 + b2.

Mimośród hiperboli: m = ca > 1

Oprócz tego wyznacza się tzw. parametr ogniskowy, czyli połowę cięciwyprzechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi rzeczywistej:p = b2

a

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Elementy hiperboli

2a - oś rzeczywista, 2b - oś urojonaS - środek hiperboli, 2c = |F1F2| i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.Zachodzi zależność: c =

√a2 + b2. Mimośród hiperboli: m = c

a > 1

Oprócz tego wyznacza się tzw. parametr ogniskowy, czyli połowę cięciwyprzechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi rzeczywistej:p = b2

a

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Elementy hiperboli

2a - oś rzeczywista, 2b - oś urojonaS - środek hiperboli, 2c = |F1F2| i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.Zachodzi zależność: c =

√a2 + b2. Mimośród hiperboli: m = c

a > 1Oprócz tego wyznacza się tzw. parametr ogniskowy, czyli połowę cięciwyprzechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi rzeczywistej:p = b2

aMarek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie kanoniczne hiperboli

Niech dana będzie hiperbola o środku w punkcie S(x0, y0) oraz osiach2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych.

Wtedy równaniekanoniczne hiperboli dane jest wzorem

(x − x0)2

a2− (y − y0)2

b2= 1. (1)

Przy takim położeniu ogniska mają współrzędne:

F1 = (x0 − c , y0) F2 = (x0 + c , y0)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie kanoniczne hiperboli

Niech dana będzie hiperbola o środku w punkcie S(x0, y0) oraz osiach2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równaniekanoniczne hiperboli dane jest wzorem

(x − x0)2

a2− (y − y0)2

b2= 1. (1)

Przy takim położeniu ogniska mają współrzędne:

F1 = (x0 − c , y0) F2 = (x0 + c , y0)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie kanoniczne hiperboli

Niech dana będzie hiperbola o środku w punkcie S(x0, y0) oraz osiach2a, 2b równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równaniekanoniczne hiperboli dane jest wzorem

(x − x0)2

a2− (y − y0)2

b2= 1. (1)

Przy takim położeniu ogniska mają współrzędne:

F1 = (x0 − c , y0) F2 = (x0 + c , y0)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie w postaci parametrycznej

Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyćrównania parametryczne hiperboli:

x = x0 + a cosh(α), y = y0 + b sinh(α), (2)

gdzie

cosh(t) =et + e−t

2, sinh(t) =

et − e−t

2,

gdzie liczba e jest stałą Eulera (podstawą logarytmów naruralnych.

e = limn→∞

(1 +

1n

)n≈ 2.73

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie w postaci parametrycznej

Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyćrównania parametryczne hiperboli:

x = x0 + a cosh(α), y = y0 + b sinh(α), (2)

gdzie

cosh(t) =et + e−t

2, sinh(t) =

et − e−t

2,

gdzie liczba e jest stałą Eulera (podstawą logarytmów naruralnych.

e = limn→∞

(1 +

1n

)n≈ 2.73

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie w postaci parametrycznej

Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyćrównania parametryczne hiperboli:

x = x0 + a cosh(α), y = y0 + b sinh(α), (2)

gdzie

cosh(t) =et + e−t

2, sinh(t) =

et − e−t

2,

gdzie liczba e jest stałą Eulera (podstawą logarytmów naruralnych.

e = limn→∞

(1 +

1n

)n≈ 2.73

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie w postaci parametrycznej

Istnieje też inna możliwość wyznaczenia równań parametrycznych dlahiperboli:

x = x0 + a1

cos(α), y = y0 + b tg(α). (3)

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie w postaci biegunowej

Niech środek hiperboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunoweelipsy ma postać:

ρ =p

1 +m cos(φ)(4)

gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Kierownice hiperboli

Kierownice hiperboli są to proste prostopadłe do osi rzeczywistej, odległeod środka S o odcinek d = a2

c . Ponieważ |SF1| = c = ma to cd = a2 id = a

m .

Zachodzi związek: r1d1 =r2d2

= m > 1.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Kierownice hiperboli

Kierownice hiperboli są to proste prostopadłe do osi rzeczywistej, odległeod środka S o odcinek d = a2

c . Ponieważ |SF1| = c = ma to cd = a2 id = a

m .

Zachodzi związek: r1d1 =r2d2

= m > 1.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Kierownice hiperboli

Kierownice hiperboli są to proste prostopadłe do osi rzeczywistej, odległeod środka S o odcinek d = a2

c . Ponieważ |SF1| = c = ma to cd = a2 id = a

m .

Zachodzi związek: r1d1 =r2d2

= m > 1.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Asymptoty hiperboli

Hiperbola jako jedyna krzywa stożkowa posiada asymptoty.

Są to proste,do których nieograniczenie zbliża się punkt M(x , y) hiperboli, gdyx →∞ lub x → −∞. Równania asymptot dane są wzorami:

y1 =bax , y2 = −

bax .

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Asymptoty hiperboli

Hiperbola jako jedyna krzywa stożkowa posiada asymptoty. Są to proste,do których nieograniczenie zbliża się punkt M(x , y) hiperboli, gdyx →∞ lub x → −∞.

Równania asymptot dane są wzorami:

y1 =bax , y2 = −

bax .

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Asymptoty hiperboli

Hiperbola jako jedyna krzywa stożkowa posiada asymptoty. Są to proste,do których nieograniczenie zbliża się punkt M(x , y) hiperboli, gdyx →∞ lub x → −∞. Równania asymptot dane są wzorami:

y1 =bax , y2 = −

bax .

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie stycznej do hiperboli

Niech punkt P(x1, y1) należy do hiperboli. Wtedy równanie stycznej dohiperboli w punkcie P ma postać:

(y1 − y0)(y − y0)(x1 − x0) + (x − x0)

= p

Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOY . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:

(x1 − x0)(x − x0)a2

− (y1 − y0) + (y − y0)b2

= 1

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie stycznej do hiperboli

Niech punkt P(x1, y1) należy do hiperboli. Wtedy równanie stycznej dohiperboli w punkcie P ma postać:

(y1 − y0)(y − y0)(x1 − x0) + (x − x0)

= p

Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOY . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:

(x1 − x0)(x − x0)a2

− (y1 − y0) + (y − y0)b2

= 1

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie stycznej do hiperboli - c.d.

Rozważmy odcinek T1T2 należący do stycznej do hiperboli w punkcie Pzawarty między dwoma asymptotami:

Punkt P dzieli ten odcinek na dwie równe części: |T1P| = |T2P|.Pole trójkąta T1OT2 jest równe ab.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie stycznej do hiperboli - c.d.

Rozważmy odcinek T1T2 należący do stycznej do hiperboli w punkcie Pzawarty między dwoma asymptotami:

Punkt P dzieli ten odcinek na dwie równe części: |T1P| = |T2P|.

Pole trójkąta T1OT2 jest równe ab.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Równanie stycznej do hiperboli - c.d.

Rozważmy odcinek T1T2 należący do stycznej do hiperboli w punkcie Pzawarty między dwoma asymptotami:

Punkt P dzieli ten odcinek na dwie równe części: |T1P| = |T2P|.Pole trójkąta T1OT2 jest równe ab.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Hiperbola równoosiowa

Hiperbolę równoosiową otrzymujemy wówczas, gdy osie hiperboli sąrówne: a = b. Wtedy też asymptoty są do siebie prostopadłe.

Jeśli dokonamy obrotu naszej hiperboli o kąt π4 wokół środka hiperboliotrzymujemy hiperbolę, której asymptoty są równoległe z osiami układuwspółrzędnych.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Hiperbola równoosiowa

Hiperbolę równoosiową otrzymujemy wówczas, gdy osie hiperboli sąrówne: a = b. Wtedy też asymptoty są do siebie prostopadłe.Jeśli dokonamy obrotu naszej hiperboli o kąt π4 wokół środka hiperboliotrzymujemy hiperbolę, której asymptoty są równoległe z osiami układuwspółrzędnych.

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Hiperbola równoosiowa - c.d.

Jej równanie dane jest wzorem:

(x − x0)(y − y0) = ±a2

2

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Podziękowania

Dziękuję za uwagę

Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola