Contenido pg.Introduccin.ivSmbolos usados en este trabajovConsideraciones iniciales.viTeorema de Euler7Biografa de Euler7Primos relativos o coprimos9Funcin de Euler9Cmo determinar 9Teorema 1.1.9Teorema 1.2:10Teorema 1.3.10Algoritmo de la Divisin11Es posible extender el algoritmo de la divisin a los nmeros enteros12Congruencias numricas13Definicin de congruencia.13Principales teoremas de congruencias.14Teorema 2.1.14Teorema 2.214Teorema 2.314Teorema 2.414Teorema De Euler15Demostracin.15Ejemplo 1.16Ejemplo 2.18Herramienta Tecnolgica21Wolframalpha21Practica del teorema de Euler22Teorema de Wilson23Biografa de John Wilson23Teorema De Fermat.24El teorema de Wilson24Demostracin24Reciproco del teorema de Wilson25Practicas. Usando el teorema de Wilson26Conclusin.27Referencia bibliogrfica28Referencia de sitios web28

ii

i

Introduccin.

Las matemticas siempre han ocupado un lugar de suma importancia en la sociedad, a travs de la historia grandes matemticos han aportado su conocimiento para hacer crecer a esta ciencia y a la vez dando las herramientas necesarias para impulsar a la humanidad.La historia est llena nombres de importantes matemticos que han aportado teoremas que llevan su nombre, quizs algunos de estos teoremas o matemticos han sido olvidados o perdidos atreves de los aos, ya que antes no se contaba con la facilidad de hoy en da para preservar el conocimiento.En este trabajo nos ocupa el aporte de dos matemticos; Leonhard Euler que es matemtico ms prolfico de la historia dando a conocer ms de ochocientos tratados y John Wilson, no hace tantos aportes como Euler, pero nos deja el teorema que lleva su nombre, ambos teoremas son aplicados a la teora de nmeros.Se pretende con el siguiente trabajo dar a conocer, demostrar y aplicar tanto el teorema de Euler como el teorema de Wilson, as como de hacer una breve introduccin y explicacin de las congruencias modulares necesarias para poder entender adecuadamente ambos teoremas.

Smbolos usados en este trabajo

SmboloSignificado

divide a

no divide a

mximo comn divisor de a y b

(md m) es congruente con mdulo

(md m) no es congruente con mdulo

funcin de Euler

es igual a

no es igual a

valor absoluto de a

mayor que

menor que

conjunto de los nmeros naturales

conjunto de los nmeros enteros

para todo

entonces

factorial

pertenece

Consideraciones iniciales.

Para poder trabajar el teorema de Euler y el de Wilson es necesario conocer otros teoremas definiciones y conceptos. En Este trabajo se dar la definicin de nmeros primos relativos, la funcin de Euler (solo los teoremas necesarios para trabajar con Euler y Wilson), el algoritmo de la divisin, teorema de Fermat, as tambin se brindaran los principales teoremas de congruencias para poder realizar operaciones con los teoremas que nos ocupan, pero sin entrar en detalle en todos ya que las congruencias numricas es un tema extenso y se sale del alcance de este trabajo.

Teorema de Euler

Biografa de Euler

Nace en Basilea, Suiza, en el ao 1707, muere en San Petersburgo en el ao 1783. Las facultades que desde temprana edad demostr para las matemticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los ms eminentes matemticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institucin en 1723, cuatro aos ms tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidi con otro miembro de lafamilia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relev en la ctedra de matemticas.

A causa de su extrema dedicacin al trabajo, dos aos ms tarde perdi la visin del ojo derecho, hecho que no afect ni a la calidad ni al nmero de sus hallazgos. Hasta 1741, ao en que por invitacin de Federico el Grande se traslad a la Academia de Berln, refin los mtodos y las formas del clculo integral (no slo gracias a resultados novedosos, sino tambin a un cambio en los habituales mtodos de demostracin geomtricos, que sustituy por mtodos algebraicos), que convirti en una herramienta de fcil aplicacin a problemas de fsica. Con ello configur en buena parte las matemticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuira luego con otros resultados destacados en el campo de la teora de las ecuaciones diferenciales lineales), adems de desarrollar la teora de las funciones trigonomtricas y logartmicas (introduciendo de paso la notacinepara definir la base de los logaritmos naturales).En 1748 public la obraIntroductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de funcin en el marco del anlisis matemtico, campo en el que as mismo contribuy de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogneas y la teora de la convergencia. En el mbito de la geometra desarroll conceptos bsicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un tringulo, y revolucion el tratamiento de las funciones trigonomtricas al adoptar ratios numricas y relacionarlos con los nmeros complejos mediante la denominada identidad de Euler; a l se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemticas y fsicas en trminos aritmticos.En el terreno del lgebra obtuvo as mismos resultados destacados, como el de la reduccin de una ecuacin cbica a una bicuadrada y el de la determinacin de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introdujo gran nmero de nuevas tcnicas y contribuy sustancialmente a la moderna notacin matemtica de conceptos como funcin, suma de los divisores de un nmero y expresin del nmero imaginario raz de menos uno. Tambin se ocup de la teora de nmeros, campo en el cual su mayor aportacin fue la ley de la reciprocidad cuadrtica, enunciada en 1783.A raz de ciertas tensiones con su patrn Federico el Grande, regres nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdi la visin del otro ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actividad cientfica; as, entre 1768 y 1772 escribi susLettres une princesse d'Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios bsicos de la mecnica, la ptica, la acstica y la astrofsica de su tiempo.De sus trabajos sobre mecnica destacan, entre los dedicados a la mecnica de fluidos, la formulacin de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presin de una corriente lquida, y, en relacin a la mecnica celeste, el desarrollo de una solucin parcial al problema de los tres cuerpos -resultado de su inters por perfeccionar la teora del movimiento lunar-, as como la determinacin precisa del centro de las rbitas elpticas planetarias, que identific con el centro de la masa solar. Tras su muerte, se inici un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra cientfica, compuesta por ms de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemtico ms prolfico de la historia.

Leonhard Euler

Primos relativos o coprimos

Se dice que dos nmeros enteros son primos relativos, primos entre s o coprimos si .

Ejemplo. (8,9) son primos relativos ya que mcd (8,9) =1, a pesar de que ni 8 ni 9 son primos

De este concepto podemos afirmar que todo nmero primo ser primo relativo con cualquier otro nmero natural.

Ejemplo (7,8) son primos relativos por ser 7 un numero primo y tenemos que mcd (7,8) =1 Funcin de Euler

Sea un entero positivo, se denota con el nmero de enteros positivos menores o iguales que y primos relativos (coprimos) con . A la funcin aritmtica se le denomina funcin indicatriz de Euler.Ejemplo. Como los cuatro nmeros 1, 3, 5 y 7 son menores que 8 yprimos relativos con 8, se tiene

Cmo determinar Para determinar se exponen los siguientes teoremas:Teorema 1.1. Si p es primo, Ejemplo. Determinar como 11 es primo , por lo tanto ,

Teorema 1.2: Si es primo y entero positivo se cumple) = Ejemplo determinar como tenemos ) = por lo tanto

Teorema 1.3. La funcin es multiplicativa.Si , entonces = Ejemplo determinar como tenemos ) = por los teoremas 1 y 2 tenemos ) = por lo tanto ) =

Algoritmo de la Divisin

Dados enteros positivos existen nicos enteros con tal que Aqu tenemos que Comprobando y cumple

Esto aplica nicamente para enteros positivos, pero cuando trabajamos con congruencias modulares debemos trabajar en y se pueden presentar algunos problemas para aplicar el algoritmo de la divisin veamos:Aqu tenemos que Comprobando la equivalencia se da pero no cumple con

Es posible extender el algoritmo de la divisin a los nmeros enterosCorolario. Dados enteros con existen nicos enteros con tal que En los casos cuando el residuo no cumpla con si el divisor () es positivo se debe de restar al 1 cociente () y sumarle el valor del cociente () al residuo ().Si el divisor () es negativo se debe de sumar al 1 cociente () y sumarle el valor absoluto del cociente () al residuo (). veamos los 2 casos:1 caso con b positivo Aqu tenemos que Comprobando la equivalencia se da pero no cumple con por lo que debemos de restar 1 al cociente (-2-1)=-3 y sumar el valor de b a r (-3+4)= 1, por lo que tenemos los valores de Comprobando. se da la equivalencia y ahora se cumple.

Aqu tenemos que Comprobando la equivalencia se da pero no cumple con por lo que debemos de sumar 1 al cociente (2+1)=3 y sumar el valor absoluto de . (-3+)= 1, por lo que tenemos los valores de Comprobando. se da la equivalencia y ahora se cumple.

2 caso con b negativo

Congruencias numricas

Un concepto muy importante en la teora de nmeros es el de las congruencias numricas. Fue el gran matemtico alemn Carl Friedrich Gauss quien, en su monumental obra Disquisitiones Arithmeticae publicada en 1801, en analoga con el = para la igualdad, introdujo el smbolo para denotar que dos nmeros son congruentes. Enaquella poca (inicios del siglo XIX) no existan las computadoras ni calculadoras electrnicas, y los clculos eran totalmente manuales, o bien, con el uso del baco.

Sean , con . a es congruente a b mdulo m si el residuo de dividir a entre es el mismo que al dividir entre Ejemplo.

Como 17 y 13 tienen el mismo residuo al dividirlos entre 2 podemos decir que 17 es congruente a 13 modulo 2 y lo denotamos Definicin de congruencia.

Sean , con . Se dice que a es congruente a mdulo y se escribe si y solo si divide a (a b).Usando la definicin de congruencia probaremos que 17 y 13 son congruentes en mdulo 2.Prueba.

Principales teoremas de congruencias.Teorema 2.1. Si , entonces, .Ejemplo. , si tenemos Comprobando:

Teorema 2.2 Si y entonces, Ejemplo: y entonces, Comprobando: 9 3

Teorema 2.3, entonces, Ejemplo y entonces, Comprobando: -71

Teorema 2.4Si entonces, para todo entero positivo k, .Ejemplo: , y k = 5, entonces, Comprobando: 1031 El teorema De Euler Si , entonces Demostracin.

Considere los enteros positivos menores que n y primos relativos con n dados por , . . . ,, que claramente forman un sistema reducido de residuos mdulo . Sea a cualquier nmero tal que . , . . . ,,son primos relativos a y no hay dos de ellos que sean entre s congruentes mdulo , es decir, tambin forman un sistema reducido de residuos mdulo . Por lo tanto, cada uno de los nmeros dados debe ser congruente con uno y solo uno de los elementos de la lista, . . . , y con ello se concluye que:

. . . , . . .

Adems, se concluye que ( . . . ,, ) = 1 pues, para todo se tiene que , y as es posible aplicar la ley de cancelacindonde se obtiene:

y se concluye el teorema.

Ejemplo 1. Determine el residuo de dividir entre 8Lo primero que debemos determinar es si en este caso 3 y es (el modulo siempre es el divisor) Como el podemos aplicar Euler, el teorema dice En este caso en particular tenemos. (por teorema de Euler. pg. 15 ) (determinando con teorema 1.2. pg. 10 ) (10 es aplicando teorema 2.4. pg. 14) (como por teorema de Euler pg. 15. )

Por lo tanto el residuo de dividir entre 8 es 1

Talvez alguien diga que no necesita de el teorema de Euler para saber cul es el residuo de dividir entre 8,basta con desarrollar y luego dividirlo entre 8. Veamos:

De esta forma podemos comprobar que el residuo es 1

Bueno al final quien necesita del teorema de Euler si con un poco de paciencia podemos determinar el residuo.

Ejemplo 2. Determine el residuo de dividir entre 7Podemos pensar en desarrollar el numero solo que este si presenta un gran problema y se requiere algo ms que paciencia para poder determinar, no solo el residuo si no el numero como tal, nuestras calculadoras no saben qu hacer con ese nmero tan grande y es que desarrollado tiene 2272 dgitos. =4492769026470264440184822610212894427743153048509599960190680277757186238344012104460316047100408471983972387956615163416959298406409325733859504964857756623942475564752477386001379550098720564310099998995867508896466860361073760162593483912951786971490109609468610685261552060089048586666076024846075157293247759166119025357798696173170176770352824358040382268134412893606148528783044758010653938210603380436026502603807403775483818894605008037776051578770024918298628104481868373006288437164047098198305296377536544815446480371325181419941003871644797605128307774931171659535237149112157015611840699347995818794490402594653583597159834030765534324879710300326885544016272863583949091163654536819939898321903264110464296347205050978609648458209770911334465598602094710784675809820625667263263204018899888090900237632597982923087648199783640299873256741764968297880788245426801645391049505592531032316566450544456665171481378246797526056471425022029406474986555916506608555943355815977219395930329259400300869111448726472450436486135967291994438474098343881461493715087868330252404094574452921254716555429724283562104813663721755321299991525928093667836394783130503217633480722428704217641340646543948287835457081888654049847673053279604153612903108602064092337454901303705878531946767038496310111021042073378580782584087259656082286596000815865093287526773821573816854000207978929026614229147618584509731398162939512598847179742389212506172372563420746094451937037386762447075738792134949365894851507418487816367213554564525807592241267622229015010814776669041584197548726882881366836435060393179335977538824588952824482410118795511879161303762784344144364413250618862103163938101912956530364395807988818943240655012354412540610911233084642169844478229170004959241333846214309516621347268016895723533120875960631846097057354058033851665882840170722734683115745553575979040278826350761496645004813181373444676062201576112339353805313838717165277029595665772397387991992625676092624242036409043963106197142591532717132443625566760814868293617795724182366321788137923606618694147333935260222300127831263040180802392652405899865349461405045293797880020466858810227628058686266206663179441912045889343030361834363432235224905913532574865121294038772248313762247562408447265625En este tipo de caso es que se evidencia la importancia de teoremas aplicados a congruencias como el de Euler

Veamos ahora el teorema de Euler trabajando entre 7 tenemos que Lo primero que debemos determinar es si en este caso y es Como el podemos aplicar Euler, el teorema dice En este caso en particular tenemos. (por teorema de Euler pg. 15) (determinando , teorema 1.1 pg.9 ) ( aplicando teorema 2.4 pg. 14) . (como por teorema de Euler pg. 15)

Por lo tanto el residuo de dividir entre 7 es 2

Herramienta Tecnolgica

Como es un nmero muy grande para comprobar manualmente cual es el residuo al dividirlo entre 7 usaremos herramientas tecnolgicas.

WolframalphaWolframalpha es una gran herramienta para trabajar con matemticas, hace graficas de cualquier funcin, trabaja con estadstica, resuelve ecuaciones de mltiples variables, integra y deriva con facilidad. Es una herramienta de pago, pero el precio es muy bajo para todas las facilidades que ofrece tiene un precio de 2.99 dlares unos 1601 colones al tipo de cambio del dlar cuando se realiz este trabajo.

Practica del teorema de Euler

Determine el residuo de dividir entre 11

Hallar el mnimo valor de k, k > 0, para el cual k es divisible por 11.

Demuestre que al dividir entre 5 el residuo es 3

Determine el residuo de dividir entre 5

Determine el nmero de las unidades de

Determine los ltimos 2 dgitos al desarrollar

Teorema de WilsonBiografa de John Wilson

Profesor de matemticas britnico nacido en Applethwaite, Westmoreland, Inglaterra, amigo y discpulo deEdwardWaring,conocido por el teorema de Wilson,abandon su carrera para estudiar derecho y se convirti en un juez. Asisti a la escuela en Kendal y de all fue a Peterhouse donde se convirti en Wrangler Senior (1761), es decir, el mejor de todos los estudiantes en ganar el examen final de Matemticas. Al poco tiempo ya tena una slida reputacin y haba llamado la atencin de Waring, que era profesor lucasiano y tambin un wrangler mayor en Cambridge. Fue elegido miembro de Peterhouse (1764) y por su gran habilidad con las matemticas enseaba en Cambridge. Sin embargo, opt por no continuar en el mundo de la docencia universitaria (1766) y comenz a estudiar derecho, iniciando tambin una carrera de gran xito, hasta su muerte en Kendal,Su teorema dice "Si p es primo entonces es divisible por ", y fue publicado por primera vez por Waring, sin pruebas. Demostrado por primera vez por Lagrange (1773), lo ms probable es que el teorema de Wilson era una suposicin hecha por l, a partir de la evidencia pero ni l ni Waring pudieron demostrarlo.

Teorema De Fermat. Para entender y trabajar adecuadamente con el teorema de Wilson es necesario exponer el teorema de Fermat.Si p es primo, todo entero a satisface y todo entero no divisible por satisface .Ejemplo1. entonces:

Ejemplo 2. , como , entonces.

El teorema de Wilson Si p es primo,

Demostracin

Concidere el conjunto . Sea la solucin de la congruencia , dado que se sabe que existe y es nica. A se le llamar la pareja de 2. Por la unicidad, la pareja de 2 es . de la misma manera se encuentra la pareja de 3, y asi sucesivamente. Ahora, analice en cules casos un nmero es su propia pareja, se tendr que es decir, , cuyas soluciones son o .Es posible escoger todas las parejas menores que . Entonces: multiplicando por y dado que se obtiene:

Es decir, como se quera probar. Para comprender mejor el arreglo por parejas, considere la forma en que se agrupan los factores de para , es claro que 6 es pareja de 2, pues , 4 es pareja de 3, ya que 4 3 1 mod 11, y as sucesivamente, con lo cual:

Reciproco del teorema de Wilson

Si se cumple que , entonces p es primo.

Demostracin. Suponga por contradiccin que p es compuesto, es decir, existe un divisor de que satisface , por lo que es un factor de y se tiene que ; por lo tanto con lo cual se cumple que contradice la hiptesis; por consiguiente, no puede ser compuesto y se concluye que es primo.

Ejemplo

Determine si el entero es divisible por 41

Solucin. Por el teorema de Wilson, y dado que 41 es primo, se tiene que ; adems, por el teorema de Fermat se cumple que , as, , es decir, . Como el residuo es cero, se demuestra que es divisible por 41.

El teorema de Wilson tambin se puede utilizar para la divisibilidad. Ejemplos

Caso 1

Luego, Caso 2

Como en los dos casos el residuo es cero se concluye que

Practicas. Usando el teorema de Wilson1) Probar que 2) Probar que 3) Hallar el mdulo (mcd) dea) b) c)

Conclusin.

El conocimiento y los aportes realizados por los diferentes matemticos a travs de los tiempos es de grandes proporciones, despus de analizar los teoremas de Euler y Wilson es evidente que para una plena comprensin se requiere conocimiento en otros teoremas. Esperamos dejar en los compaeros el deseo de profundizar en los aportes realizados no solo por Euler o Wilson si no en la amplia gama de matemticos que han elaborado importantes aportes en esta rea que nos apasiona. El trabajar con congruencias modulares puede ser una tarea extenuante, el conocer y dominar teoremas aplicados a las congruencias modulares facilita en gran manera el trabajo en esta rea de las matemticas.

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John Wilson recuperado de http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/JohnWiso.html (10-11-15)Teorema de Wilson, Uploaded by nancy preciado https://www.youtube.com/watch?v=t9O0rxwkjew