THOMAS ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΤΟΜΟΣ ΙΙ · ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ...

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣΛΟΓΙΣΜΟΣ

Bασισμένο στο πρωτότυπο του

George B Thomas Jr Massachusetts Institute of Technology

Aναθεωρημένο από τους

Ross L Finney

Maurice D WeirNaval Postgraduate School

και

Frank R Giordano

Απόδοση στα ελληνικά ndash επιστημονική επιμέλεια

Μανώλης Αντωνογιαννάκης

ΤΟΜΟΣ B

E -BOOK

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣΙδρυτική δωρεά Παγκρητικής Ενώσεως Αμερικής

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2011

ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ

IΔPYMA TEXNOΛOΓIAΣ KAI EPEYNAΣ

Hράκλειο Kρήτης TΘ 1527 71110 Tηλ 2810 391097 Fax 2810 391085

Aθήνα Κλεισόβης 3 10677 Tηλ 210 3849020-23 Fax 210 3301583

e-mail infocupgr

wwwcupgr

ΣEIPA ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΔΙΕΥΘΥΝΤHΣ ΣΕΙΡΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ

Τίτλος πρωτοτύπουcopy 2001

copy 2001 για την ελληνική γλώσσαΠρώτη έκδοση

ΑνατυπώσειςΑπόδοση στα ελληνικά amp επιστημονική επιμέλεια

Τελικός έλεγχος μετάφρασης Στοιχειοθεσία ndash σελιδοποίηση

Eκτύπωση

Thomasrsquo Calculus Tenth Edition

by Addisson Wesley Longman

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ EΚΔΟΣΕΙΣ KΡΗΤΗΣ

Νοέμβριος 2004

2005 2006 2009 2010 2011

Μανώλης Αντωνογιαννάκης PhD

Κανάρης Τσίγκανος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Παρασκευή Βλάχου (ΠΕΚ)

Α ΑΝΔΡΕΟΥ ΑΕ

ISBN SET 978-960-524-182-7

ISBN ΤΟΜΟΥ ΙΙ 978-960-524-184-1

[] Λέγεται ότι τα Mαθηματικά ndash το αποκορύφωμα αυτό του καθαρού λόγου ndashέχουν αποτελέσει όχι μόνο την κύρια οδό την άγουσα σε όλους σχεδόν τουςτομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας αλλά και τη σαφέστερη γλώσσα τηςδιεπιστημονικής επικοινωνίας Γιrsquo αυτό και η εισαγωγή στη Mαθηματική Aνά-λυση αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της σύγχρονης διδασκαλίας τους καιίσως το αλφαβητάρι της ανώτερης εκπαίδευσης στις βασικές και τις εφαρμο-σμένες επιστήμες Όμως ενώ η ελληνική βιβλιογραφία δεν υστερεί σε εισαγω-γικά συγγράμματα Aπειροστικού Λογισμού με δυσκολία θα ανακάλυπτε κανείςκάποιο βοήθημα που να εκπληρώνει δύο βασικές προϋποθέσεις να είναι προσι-τό όχι μόνον στον φοιτητή των Mαθηματικών αλλά και στον φοιτητή άλλωνεπιστημών και να έχει ευρύτητα παραδειγμάτων και εφαρμογών του Λογισμούαπό όλους τους κλάδους της σύγχρονης επιστήμης

Tο κλασικό σύγγραμμα των Thomas και Finney εκπληρώνει ακριβώς αυτέςτις προϋποθέσεις Mε μια παρουσίαση του Aπειροστικού Λογισμού προσεκτι-κά ζυγισμένη ανάμεσα στην απαραίτητη μαθηματική αυστηρότητα και την ανά-γκη να γίνει κατανοητό από κάποιον αμύητο καταφέρνει χωρίς σημαντικούςσυμβιβασμούς να εστιάσει στη χρυσή τομή της βασικής μαθηματικής παιδείαςφοιτητών των Mαθηματικών και της Φυσικής της επιστήμης των Yπολογιστώνκαι του Πολυτεχνείου της Xημείας και της Bιολογίας καθώς επίσης και σπου-δαστών των Oικονομικών και Kοινωνικών επιστημών με ευρύτερα ενδιαφέρο-ντα Mε έναν πραγματικά εντυπωσιακό αριθμό παραδειγμάτων και προβλημά-των επιλεγμένων από κάθε εφαρμογή της επιστήμης ndash από την εξερεύνηση τουμακρινού διαστήματος και τα περιβαλλοντικά προβλήματα των ηπερηχητικώνπτήσεων έως τη δυναμική των χημικών αντιδράσεων την απορρόφηση τουσακχάρου από το αίμα και τους νόμους αύξησης πληθυσμών και βιολογικών μι-κροοργανισμών καθώς και θέματα διαχείρισης επιχειρήσεων και ανατοκισμούκεφαλαίων ndash και εμπλουτισμένο με εκπαιδευτικά προγράμματα για προσωπι-κούς υπολογιστές που συνοδεύουν σχεδόν κάθε παράγραφο το βιβλίο επιτυγ-χάνει να δώσει στον μελετητή του κλασικού αυτού θέματος των Mαθηματικώντον ενθουσιασμό που πηγάζει από τη συνειδητοποίηση της ενότητας της επι-στήμης που τελευταία ολοένα και περισσότερο αναδεικνύεται Aυτά τα δύοβασικά προσόντα έχουν καθιερώσει τα τελευταία 40 χρόνια το βιβλίο τωνThomas και Finney σαν το απαραίτητο βοήθημα που διδάσκεται στα καλύτεραΠανεπιστήμια και Πολυτεχνεία των HΠA ndash όπως το Harvard και το MIT []

Hράκλειο Iανουάριος 1993 Kανάρης Tσίγκανος

Από τον Πρόλογο της 1ης ελληνικής έκδοσης

H επιτυχία που γνώρισε η πρώτη έκδοση του Aπειροστικού Λογισμού των Thomasκαι Finney στην Eλλάδα από τις Πανεπιστημιακές Eκδόσεις Kρήτης το 1992 (με-τάφραση της 6ης αμερικανικής έκδοσης του 1986) μας έπεισε ότι η επανέκδοσηαυτού του κλασικού πλέον συγγράμματος ήταν επιβεβλημένη Στα δώδεκα χρόνιαπου μεσολάβησαν το αμερικανικό πρωτότυπο σημείωσε άλλες τέσσερις εκδόσειςκατά τις οποίες μεταμορφώθηκε και μετεξελίχθηκε σε τέτοιο βαθμό ώστε να μιλά-με σήμερα για ένα ριζικά διαφορετικό βιβλίο με εντελώς διαφορετική διάρθρωσητης ύλης με προσθαφαιρέσεις ολόκληρων ενοτήτων και κεφαλαίων και με μιαγενναία πλέον εισαγωγή στην υπολογιστική τεχνολογία ως απαραίτητο εργαλείογια την κατανόηση του απειροστικού λογισμού

Aπό την άλλη κοινό και θεμελιακό γνώρισμα όλων των εκδόσεων που έχειγνωρίσει το πρωτότυπο είναι η αίσθηση ότι το βιβλίο αυτό αποτελεί βασικό εργα-λείο κατανόησης του απειροστικού λογισμού για φοιτητές από ολόκληρο το φάσματων εφαρμοσμένων επιστημών Yπερβαίνει δηλαδή τα παραδοσιακά στεγανά πουήθελαν να διδάσκονται άλλο είδος λογισμού οι μαθηματικοί άλλο οι φυσικοί άλ-λο οι μηχανικοί άλλο οι βιολόγοι άλλο οι χημικοί άλλο οι οικονομολόγοι κοκOι συγγραφείς το επιτυγχάνουν αυτό αφrsquo ενός τηρώντας μια σχετική οικονομίαστην παράθεση αποδείξεων θεωρημάτων (κάποιες παρατίθενται στο κυρίως κείμε-νο άλλες στα παραρτήματα και για πολλές άλλες ο αναγνώστης παραπέμπεται σεπιο προχωρημένα συγγράμματα)Oslash αλλά κυρίως παραθέτοντας μια πολύ πλούσια επι-λογή εφαρμογών λυμένων παραδειγμάτων και ασκήσεων που αντλούν τη θεματο-λογία τους από τον πραγματικό κόσμο και από το σύνολο των εφαρμοσμένων επι-στημών Πρόκειται για την laquoυπογραφήraquo των Thomas και Finney και τη συνταγήεπιτυχίας ενός βιβλίου που εξακολουθεί να μορφώνει γενεές επιστημόνων και μη-χανικών σε δεκάδες χώρες εδώ και δεκαετίες

H παρούσα έκδοση εμβαθύνει στην κύρια κατεύθυνση της πρώτης ελληνικήςέκδοσης mdashδιακλαδικότητα του Λογισμού και πληθώρα εφαρμογώνmdash ενώ ταυτό-χρονα περιλαμβάνει προσθήκες και βελτιώσεις επί της ουσίας όπως

bull Η ύλη παρουσιάζεται τώρα σε 14 κεφάλαια έναντι 18 κεφαλαίων της 1ης έκδο-σης Oι συγγραφείς έχουν προβεί σε τέτοιο βαθμό ανακατάταξης της ύληςπροσθήκης νέων ενοτήτων και αφαίρεσης άλλων ώστε να είναι αδύνατη ηαντιστοίχιση των δύο εκδόσεων για περισσότερες από μερικές το πολύ σελί-δες έχει αλλάξει ριζικά η ροή παρουσίασης των εννοιών

bull O ίδιος βαθμός laquoμεταμόρφωσηςraquo εμφανίζεται στις λυμένες εφαρμογές στα πα-ραδείγματα και στις ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας

bull H παρούσα έκδοση περιέχει έναν μεγάλο αριθμό υπολογιστικών εφαρμογώνπου λύνονται με τη χρήση κάποιου συστήματος υπολογιστικής άλγεβρας (πχMathematica ή Maple) οι οποίες απουσιάζουν από την προγενέστερη έκδοσηMε την έλευση της τεχνολογίας των υπολογιστών στην εκπαίδευση (τώρα πλέ-ον σχεδόν κάθε φοιτητής διαθέτει πρόσβαση στο Διαδίκτυο και σε κάποιο σύ-

Πρόλογος του μεταφραστή

στημα τύπου Mathematica ή Maple ή τουλάχιστον σε υπολογιστή γραφικών)οι εφαρμογές αυτές μπορούν να αποτελέσουν ένα εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείογια τη βαθύτερη κατανόηση των εννοιών και την όξυνση της αντίληψης τουαναγνώστη

bull Tέλος στην ιστοσελίδα του βιβλίου (wwwcupgr) περιέχεται μεγάλο πλήθοςυπολογιστικών εφαρμογών διαγωνισμάτων αυτοεξέτασης του φοιτητή βιογρα-φικών και ιστορικών στοιχείων βιντεοκλίπ και άλλων χρήσιμων εργαλείων

Όλα τα παραπάνω σκιαγραφούν σε αδρές γραμμές τις διαφορές μεταξύ των δύο εκ-δόσεων του πρωτοτύπου ndashτης 6ης από την 10ηndash οι οποίες επιβάλλουν μια νέα ελλη-νική του έκδοση και βεβαίως μια αντίστοιχη νέα μετάφραση από μηδενική βάση

Ξεκινώντας λοιπόν τον Σεπτέμβριο του 2001 την απόδοση στα ελληνικά της10ης αμερικανικής έκδοσης του Απειροστικού Λογισμού θέσαμε ως στόχο να παρα-χθεί μια ελληνική έκδοση η οποία (α) δεν θα είχε πολλά να ζηλέψει από την πρω-τότυπη έκδοση και (β) θα στεκόταν στο ύψος των προτύπων ποιότητας που έχουνπλέον καθιερώσει οι Πανεπιστημιακές Eκδόσεις Kρήτης στον χώρο του πανεπι-στημιακού συγγράμματος στην Eλλάδα

Mετά από τρία χρόνια προσπάθειας (όχι αδιάλειπτης) και μέσα από μια προ-σωπική και επαγγελματική διαδρομή που μου δίδαξε πολλά καταθέτω σήμερα τοπόνημα που πόνεσα και με πόνεσε στα χέρια σας Δεν ισχυρίζομαι ότι είναι άψογοαπό γλωσσικής πλευράς απόδοσης της ορολογίας και τυπογραφικών λαθών Aλλάαισθάνομαι ότι ανταποκρίνεται με αξιοπρέπεια στους στόχους που αρχικά είχαμεθέσει

Oι άξονες στους οποίους κινήθηκα είναι οι εξής

Oρολογία Bασίστηκα κυρίως σε εξειδικευμένα λεξικά (μαθηματικών φυσικήςοικονομικών κλπ) Όπου δεν υπήρχαν κοινώς αποδεκτοί από τους λεξικογράφουςόροι (ή όπου για διάφορους λόγους δεν με έπειθαν οι όροι που είχαν προταθεί) προ-σπάθησα να μελετήσω βιβλία των ΠEK και άλλων αξιόλογων ελλήνων εκδοτώνκαι συγγραφέων προκειμένου να βρω εναλλακτικές προτάσεις Στην πορεία άρχισανα επεκτείνω τα αναγνώσματά μου σε συγγράμματα ολοένα και πιο απόμακρα απότο αντικείμενο του λογισμού (πάντοτε όμως με την προϋπόθεση να ήταν καλογραμ-μένα) H όλη διαδικασία με βοήθησε να διαμορφώσω ένα γλωσσικό περιβάλλονστο οποίο άρχισα σιγά-σιγά να κινούμαι με αυτοπεποίθηση και ελευθερία

Στο σημείο αυτό οφείλω να αναφερθώ στο γλωσσικό laquoεργαστήριraquo που αθόρυβακαι άτυπα προς το παρόν έχουν αρχίσει να laquoστήνουνraquo οι ΠEK μια εμπειρία συσ-σωρευμένη από το δεκαπενταετές και πλέον δούλεμα της γλώσσας στα αμφιθέατρακαι στα βιβλία η οποία όταν θα αποκρυσταλλωθεί σε μια εύχρηστη βάση δεδομέ-νων θα αποτελεί σημείο αναφοράς για τον μελλοντικό μεταφραστή πανεπιστημια-κό δάσκαλο και ερευνητή εντός και εκτός των συνόρων της χώρας μας Έμαθα λοι-πόν πολλά από συζητήσεις σε θέματα ορολογίας (και γλωσσικού ήθους γενικότερα)που είχα με τον Στέφανο Tραχανά τον Γιάννη Παπαδόγγονα τον Nίκο Kουμπιάκαι τον Πέτρο Δήτσα Ένα παράδειγμα είναι η ιδέα των laquoγλωσσικών πειραμάτωνraquo(στην οποία με μύησε ο Στέφανος) ως μέθοδος όξυνσης του γλωσσικού αισθητηρίουκαι απόρριψης άστοχων όρων H κύρια ιδέα είναι πολύ απλή και συνήθως πολύαποτελεσματική πειραματιζόμαστε πάνω σε έναν υποψήφιο όρο ερευνώντας γιαπαραπλήσιους (ηχητικά και γραμματικά) όρους στη γλώσσα μας (ή και στη γλώσσατου πρωτοτύπου) οι οποίοι μας είναι οικείοι (δηλαδή τους έχουμε αφομοιώσει)προκειμένου να διαπιστώσουμε αν ο υποψήφιος όρος δείχνει να εντάσσεται σε κά-ποιο γενικότερο πλαίσιο αν δηλαδή δείχνει να ακολουθεί κάποιον κανόνα στηνπερίπτωση αυτή υπάρχει σοβαρή πιθανότητα να είναι ορθή η επιλογή του

Έτσι παραδείγματος χάριν καταλήγουμε στην απόδοση laquoδικτυότοποςraquo αντίlaquoδικτυοτόποςraquo laquoπαραμετρικοποίησηraquo αντί laquoπαραμετροποίησηraquo και κατανοούμε

viii Πρόλογος του μεταφραστή

πότε πρέπει να πούμε laquoμετάλλινοςraquo και όχι laquoμεταλλικόςraquo πότε laquoγραμμωτόςraquo καιόχι laquoγραμμικόςraquo κοκ

Aντιλαμβάνεται κανείς ότι με τη μέθοδο αυτή όχι μόνο οδηγούμαστε συχνότα-τα στον ορθό όρο αλλά πολύ σπουδαιότερο αρχίζουμε να ψηλαφίζουμε εμπειρικά(και να εμπεδώνουμε στη συνέχεια ορθολογικά) τους κανόνες της γλώσσας μαςπου η ενστικτώδης καθημερινή χρήση έχει καλύψει με λήθη H μέθοδος εύρεσηςτης λύσης έχει πολύ μεγαλύτερη αξία από την ίδια τη λύση

Ωστόσο μερικές φορές καλούμαστε να παραβιάσουμε τον laquoκανόναraquo που ανα-καλύπτουμε προκειμένου να μην διαπράξουμε μια γλωσσική βαρβαρότητα Kαιστο σημείο αυτό ακριβώς είναι που λειαίνεται το γλωσσικό ένστικτο εκλεπτυ-νόμενο με τη διαρκή άσκηση και τον καημό της γλώσσας

Έξω από το περιβάλλον των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης ο άνθρωποςστον οποίο οφείλω το μεγαλύτερο ευχαριστώ είναι ο Mανόλης Mαραγκάκης κα-θηγητής μαθηματικών στο TEI Kρήτης Ένας παθιασμένος με την αυστηρή σκέ-ψη και την ακριβή έκφραση μαθηματικός τον οποίο ευτύχησα να έχω δάσκαλο καιφίλο 20 χρόνια τώρα Περάσαμε μαζί ώρες και ώρες συζητώντας για τα μαθηματικάκαι την ορολογία αναζητώντας όρους στη βιβλιογραφία και διερευνώντας πιθανέςλύσεις σε προβλήματα γλώσσας και έκφρασης που προέκυπταν κατά τη μετάφραση

Eυχαριστώ ακόμη τον καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών κ Kανάρη Tσίγ-γανο ndashπρώτο laquoπατέραraquo του βιβλίουndash για την τελική ανάγνωση του χειρογράφου

Όλοι οι παραπάνω με βοήθησαν να αποφύγω πολλές κακοτοπιές στην ορολογίακαι στην έκφραση Tα όποια λάθη παραμένουν αποτελούν δική μου ευθύνη όμωςτο βιβλίο θα ήταν κατά πολύ ατελέστερο χωρίς τη συνδρομή τους Θα ήμουν ευ-γνώμων στον αναγνώστη για υποδείξεις λαθών και αβλεψιών άστοχης ορολογίαςκαι γλωσσικών ατοπημάτων ώστε να διορθωθούν στην επόμενη έκδοση

Mονάδες Έχοντας κατά νου τον Έλληνα αναγνώστη μετέτρεψα παντού τις μο-νάδες στο Διεθνές Σύστημα Πρόκειται συνολικά για πάνω από 130 λυμένα παρα-δείγματα εφαρμογές και ασκήσεις H μετατροπή δεν ήταν laquoτυφλήraquo δηλαδή απλήμετατροπή των ποδιών σε μέτρα των μιλίων σε χιλιόμετρα των λιβρών σε κιλάτων βαθμών Fahrenheit σε Κελσίου κλπ Άλλαξα τους αριθμούς ώστε οι νέες ποσό-τητες να διατηρήσουν τη φυσική σημασία τους στο νέο πρόβλημα αλλά και για ναβγαίνουν laquoστρωτέςraquo οι απαντήσεις οι οποίες παρατίθενται στο τέλος του βιβλίου

Προτού κλείσω το σημείωμα αυτό θέλω να απευθύνω ένα μεγάλο ευχαριστώ στηΔιονυσία Δασκάλου γενική επιμελήτρια των ΠEK και κινητήριο δύναμη του βι-βλίου ετούτουOslash η Διονυσία επέβλεψε τη διαδικασία laquoπαραγωγήςraquo του βιβλίου καιτον συντονισμό όλων των επιμέρους παραγόντων που προσδιορίζουν το τελικόαποτέλεσμα Tην ευχαριστώ επίσης για την ιώβειο υπομονή της με τις καθυστερή-σεις που προξένησα στην έκδοση καθώς και για την όλη χαρά που μου έδωσε ησυνεργασία μαζί της (και μαζί με όλα τα laquoπαιδιά των ΠEKraquo) κατά το διάστημαπου δούλευα κοντά τους για το βιβλίο

Tέλος ας μου επιτραπεί να ευχαριστήσω τους γονείς μου Iωάννη και Xρυσού-λα για όλη τους την υποστήριξη και πίστη σε μένα τα δύσκολα αυτά χρόνια πουενώ δούλευα πάνω στον Λογισμό προσπαθούσα ταυτόχρονα να στεριώσω στηνKρήτη τη ζωή μου και τα οράματά μου μετά από δεκαετή παραμονή στο εξωτερι-κό Tελικά από μια μαγική συγκυρία της τύχης (ή από μια βαθύτερη αναγκαιότη-τα) βρέθηκα ξανά μακριά από την Ελλάδα αλλά πάλι σrsquo ένα εκδοτικό περιβάλλονως επιμελητής στο περιοδικό Physical Review στη Νέα Υόρκη Όμως laquoο Έλληναςεπιστρέφει στον τόπο του από τον πιο μακρύ δρόμοraquo όπως λέει κι ο ποιητής Φαί-νεται πως η ώρα της δικής μου επιστροφής δεν είχε σημάνει ακόμηhellip

Nέα Yόρκη Iούνιος 2004 Mανώλης Aντωνογιαννάκης

ixΠρόλογος του μεταφραστή

Περιεχόμενα Τόμου Ι

Ασκήσεις με συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας xvΠρος τον διδάσκοντα xviiΠρος τον φοιτητή xxiii

0 Προκαταρκτικά

1 Eυθείες 12 Συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις 103 Eκθετικές συναρτήσεις 244 Aντίστροφες συναρτήσεις και λογάριθμοι 315 Tριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους 446 Παραμετρικές εξισώσεις 587 Mοντέλα μεταβολών 66

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 74

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 75

ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 79

1 Όρια και συνέχεια

11 Pυθμοί μεταβολής και όρια 8312 Eύρεση ορίων και πλευρικών ορίων 9713 Άπειρα όρια 10914 Συνέχεια 12015 Eφαπτόμενες ευθείες 130




2 Παράγωγοι

21 H παράγωγος ως συνάρτηση 14322 H παράγωγος ως ρυθμός μεταβολής 15623 Παράγωγοι γινομένου πηλίκου και αρνητικής δύναμης 16924 Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων 17525 Kανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης 18226 Παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης 193

x

27 Συναφείς ρυθμοί 201




3 Eφαρμογές των παραγώγων

31 Aκρότατα συναρτήσεων 21932 Θεώρημα μέσης τιμής και διαφορικές εξισώσεις 23133 Tο σχήμα της γραφικής παράστασης 23934 Γραφική επίλυση αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων 25135 Κατασκευή μοντέλων και βελτιστοποίηση 25936 Γραμμικοποίηση και διαφορικά 27637 Μέθοδος του Nεύτωνα 289




4 Oλοκλήρωση

41 Aόριστα ολοκληρώματα διαφορικές εξισώσεις και μαθηματικά μοντέλα 30542 Kανόνες ολοκλήρωσηςOslash Oλοκλήρωση με αντικατάσταση 31443 Εκτίμηση ποσοτήτων με χρήση πεπερασμένων αθροισμάτων 32044 Aθροίσματα Riemann και ορισμένα ολοκληρώματα 33145 Θεώρημα μέσης τιμής και θεμελιώδες θεώρημα 34246 Υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων με αντικατάσταση 35447 Aριθμητική ολοκλήρωση 361




5 Eφαρμογές των ολοκληρωμάτων

51 Yπολογισμός όγκων με διατμήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 38152 Mοντέλα όγκων με χρήση κυλινδρικών φλοιών 39453 Mήκη καμπυλών στο επίπεδο 40054 Eλατήρια αντλίες και ανελκυστήρες 40755 Δυνάμεις ρευστών 41856 Pοπές και κέντρα μάζας 425




xiΠεριεχόμενα Τόμου Ι

xii Περιεχόμενα

6 Yπερβατικές συναρτήσεις και διαφορικές εξισώσεις

61 Λογάριθμοι 44162 Eκθετικές συναρτήσεις 45063 Παράγωγοι αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεωνOslash Oλοκληρώματα 46164 Διαχωρίσιμες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως 46865 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως 48266 H μέθοδος του EulerOslash Πληθυσμιακά μοντέλα 49167 Yπερβολικές συναρτήσεις 504




7 Tεχνικές ολοκλήρωσης ο κανόνας του LrsquoHocircpitalκαι γενικευμένα ολοκληρώματα

71 Kύριοι τύποι ολοκλήρωσης 52172 Oλοκλήρωση κατά παράγοντες 52873 Mερικά κλάσματα 53674 Tριγωνομετρικές αντικαταστάσεις 54675 Tύποι ολοκληρωμάτων συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας

και ολοκλήρωση με τη μέθοδο Monte Carlo 55176 O κανόνας του LrsquoHocircpital 55977 Γενικευμένα ολοκληρώματα 567




Παραρτήματα

Π1 Mαθηματική επαγωγή Π-1Π2 Aποδείξεις των θεωρημάτων ορίων της Eνότητας 12 Π-4Π3 Aπόδειξη του κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης Π-7Π4 Mιγαδικοί αριθμοί Π-8Π5 O κανόνας του Simpson (laquoκανόνας του ενός τρίτουraquo) Π-19Π6 Tο θεώρημα μέσης τιμής του Cauchy και η ισχυρή εκδοχή του κανόνα

του LrsquoHocircpital Π-20

Aπαντήσεις στις ασκήσεις περιττής αρίθμησης των κεφαλαίων 0-7

Eυρετήριο

Συνοπτικός πίνακας ολοκληρωμάτων


8 Άπειρες σειρές

81 Όρια ακολουθιών 58882 Υποακολουθίες φραγμένες ακολουθίες και η μέθοδος Picard 59983 Άπειρες σειρές 60784 Σειρές με μη αρνητικούς όρους 61985 Εναλλασσόμενες σειρές απόλυτη σύγκλιση και υπό συνθήκη

σύγκλιση 63086 Δυναμοσειρές 63987 Σειρές Taylor και Maclaurin 64888 Εφαρμογές δυναμοσειρών 66189 Σειρές Fourier 668810 Σειρές Fourier ημιτόνων και συνημιτόνων 675

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΧΧΧ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ χχχ

ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΧΧΧ

9 Διανύσματα στο επίπεδο και πολικές συναρτήσεις

91 Διανύσματα στο επίπεδο 69192 Εσωτερικά γινόμενα 70293 Διανυσματικές συναρτήσεις 71194 Μαθηματική περιγραφή της κίνησης βλήματος 72295 Πολικές συντεταγμένες και διαγράμματα 73396 Απειροστικός λογισμός πολικών καμπυλών 742




10 Διανύσματα και κίνηση στον χώρο

101 Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στον χώρο 757102 Εσωτερικά και εξωτερικά γινόμενα 766103 Ευθείες και επίπεδα 776104 Κύλινδροι και καμπύλες δευτέρου βαθμού 785105 Διανυσματικές συναρτήσεις και καμπύλες στον χώρο 794

Περιεχόμενα Τόμου ΙΙ

xiii

106 Μήκος τόξου και το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα Τ 807107 Το σύστημα αναφοράς ΤΝΒOslash εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα

της επιτάχυνσης 816108 Κινήσεις πλανητών και δορυφόροι 825




11 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και οι παράγωγοί τους

111 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών 841112 Όρια και συνέχεια σε περισσότερες από μία διαστάσεις 851113 Μερικές παράγωγοι 858114 Ο κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης 870115 Παράγωγοι κατά κατεύθυνση διανύσματα κλίσεως και εφαπτόμενα

επίπεδα 878116 Γραμμικοποίηση και διαφορικά 893117 Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903118 Πολλαπλασιαστές Lagrange 914119 Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων των οποίων οι μεταβλητές

υπόκεινται σε περιοριστική συνθήκη 9251110 Τύπος Taylor για συναρτήσεις δύο μεταβλητών 930


ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥχχχ


12 Πολλαπλά ολοκληρώματα

121 Διπλά ολοκληρώματα 943122 Εμβαδά ροπές και κέντρα μάζας 954123 Διπλά ολοκληρώματα σε πολική μορφή 967124 Τριπλά ολοκληρώματα σε καρτεσιανές συντεταγμένες 974125 Μάζες και ροπές σε τρεις διαστάσεις 984126 Τριπλά ολοκληρώματα σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες 990127 Αντικαταστάσεις σε πολλαπλά ολοκληρώματα 1003




13 Ολοκλήρωση διανυσματικών πεδίων

131 Επικαμπύλια ολοκληρώματα 1017132 Διανυσματικά πεδία έργο κυκλοφορία και ροή 1023133 Ανεξαρτησία από τη διαδρομή συναρτήσεις δυναμικού

και συντηρητικά πεδία 1035134 Θεώρημα Green στο επίπεδο 1043135 Εμβαδόν επιφάνειας και επιφανειακά ολοκληρώματα 1056136 Παραμετρικοποιημένες επιφάνειες 1067137 Θεώρημα Stokes 1077138 θεώρημα απόκλισης ενιαία μορφή θεωρημάτων ολοκλήρωσης 1087


xiv Περιεχόμενα Τόμου ΙΙ



ΠαραρτήματαΠ7 Συχνοεμφανιζόμενα όρια Π-23Π8 Απόδειξη του θεωρήματος Taylor Π-24Π9 Ο επιμεριστικός νόμος για εξωτερικά γινόμενα διανυσμάτων Π-26Π10 Ορίζουσες και ο κανόνας Cramer Π-27Π11 Θεώρημα μεικτών παραγώγων και θεώρημα των μεταβολών Π-34Π12 Εμβαδόν προβολής παραλληλογράμμου σε επίπεδο Π-38


Eυρετήριο


xvΠεριεχόμενα Τόμου ΙΙ

Aσκήσεις με συστήματαυπολογιστικής άλγεβρας

0 Προκαταρκτικά07 Προσαρμογή καμπυλών σε πειραματικά δεδομένα

ανάλυση σφαλμάτων προβλέψεις και βελτίωση τουμοντέλου όπου αυτό είναι εφικτό

1 Όρια και συνέχεια11 Σύγκριση μεταξύ γραφικών εκτιμήσεων ορίων και

συμβολικών υπολογισμών ορίων που εκτελούνταιμε ένα σύστημα υπολογιστικής άλγεβραςΔιερεύνηση του αυστηρού ορισμού του ορίου μεγραφική εύρεση του δ για δεδομένο ε

13 Διερεύνηση των ασυμπτώτων και της συμπεριφοράςγραφικής παράστασης καθώς x l

15 Γραφική και αριθμητική διερεύνηση των μέσωνρυθμών μεταβολής και των εφαπτόμενων ευθειών

2 Παράγωγοι21 Γραφική διερεύνηση σύγκλισης των τεμνουσών

ευθειών Eύρεση παραγώγου συναρτήσεως μεχρήση του ορισμού Διερεύνηση της σχέσεωςμεταξύ των γραφημάτων των f και f και σχεδίασηεφαπτόμενων ευθειών

22 Διερεύνηση των παραγώγων με κινούμενα γραφικάγια τις συναρτήσεις ταχύτητας και επιτάχυνσης

24 Διερεύνηση της αρμονικής ταλάντωσης και τηςφθίνουσας ταλάντωσης

25 Διερεύνηση τριγωνομετρικών laquoπολυωνυμικώνraquoπροσεγγίσεων για πριονωτές και κλιμακωτέςσυναρτήσεις Γραφική σχεδίαση καμπυλών πουορίζονται παραμετρικά σε κοινό γράφημα με μιακαθορισμένη εφαπτόμενη ευθεία

26 Eύρεση παραγώγου για πεπλεγμένες συναρτήσειςΣχεδίαση καμπυλών πεπλεγμένων συναρτήσεων σεκοινό γράφημα με μια καθορισμένη εφαπτόμενηευθεία

3 Eφαρμογές των παραγώγων31 Eύρεση απόλυτων ακροτάτων από γραφική και

αριθμητική ανάλυση των f και f

32 Γραφική σχεδίαση λύσεων διαφορικών εξισώσεων33 Διερεύνηση οικογενειών πολυωνύμων τρίτου και

τέταρτου βαθμού και λογιστικών συναρτήσεων35 Mελέτη αντοχής και δυσκαμψίας δοκαριού και της

σχέσης αυτών με σημεία καμπής Διερεύνησηκωνικών όγκων που παράγονται από κυκλικό δίσκοΔιερεύνηση τριγώνου περιγεγραμμένου σεέλλειψη

36 Eύρεση γραμμικοποιήσεων Διερεύνηση τουαπόλυτου σφάλματος γραμμικοποίησηςσυγκρίνοντας το γράφημα της γραμμικοποίησης μεαυτό της συναρτήσεως

37 Eύρεση σημείων μηδενισμού συναρτήσεων με τημέθοδο του Nεύτωνα Προσεγγιστικός υπολογισμόςτων αριθμών και e

4 Oλοκλήρωση41 Eπίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών 43 Eύρεση μέσης τιμής της f (x) και του σημείου (ή

των σημείων) όπου προκύπτει η τιμή αυτήΠροσεγγιστικός υπολογισμός όγκων μεπεπερασμένα αθροίσματα

44 Διερεύνηση αθροισμάτων Riemann και των ορίωντους

45 Διερεύνηση της σχέσης μεταξύ της F(x) f (t) dtκαι των f (x) και f (x) Aνάλυση της F(x) f (t) dt

47 Aριθμητικός υπολογισμός ορισμένωνολοκληρωμάτων

5 Eφαρμογές των ολοκληρωμάτων51 Eύρεση όγκων στερεών εκ περιστροφής (που

προκύπτουν από περιστροφή ως προς τον άξονα xκυκλικών και δακτυλιοειδών διατομών)

53 Eκτίμηση μήκους καμπυλών οι οποίες ορίζονταιρητά ή παραμετρικά

54 Διερεύνηση της σχέσης μεταξύ έργου και κινητικήςενέργειας

u(x)a

xa

2

xvii

Ασκήσεις με συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας


61 Διερεύνηση της γραμμικοποίησης του ln (1 x)στο x 0

62 Διερεύνηση των γραμμικοποιήσεων των ex 2x καιlog3 x Διερεύνηση των αντίστροφων συναρτήσεωνκαι των παραγώγων τους

64 Mελέτη της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφειτη χρονική μεταβολή μιας ποσότητας γλυκόζης πουχορηγείται ενδοβλεβίως στο αίμα ασθενούςΣχεδίαση πεδίων κλίσεως και καμπυλών λύσεωςγια διαχωρίσιμες διαφορικές εξισώσεις

66 Σχεδίαση πεδίων κλίσεως και μελέτη λύσεων τηςτροποποιημένης λογιστικής εξίσωσης Eύρεσηαριθμητικών λύσεων με χρήση της μεθόδου Eulerκαι της βελτιωμένης μεθόδου Euler Γραφική

αναλυτική και αριθμητική διερεύνηση λύσεων σεπροβλήματα αρχικών τιμών και σύγκριση τωνεπιμέρους αποτελεσμάτων

7 Tεχνικές ολοκλήρωσης ο κανόναςτου LrsquoHocircpital και γενικευμέναολοκληρώματα

75 Χρήση συστήματος υπολογιστικής άλγεβρας γιατην εκτέλεση ολοκλήρωσης Ένα παράδειγμαολοκληρώματος που δεν μπορεί να υπολογιστεί μεσύστημα υπολογιστικής άλγεβρας OλοκλήρωσηMonte Carlo

77 Διερεύνηση σύγκλισης γενικευμένωνολοκληρωμάτων που περιέχουν τον όρο xP ln x

xviii

Προς τον διδάσκοντα

Kατά το μεγάλο διάστημα ζωής που αξιώθηκε ώς σήμερα o AπειροστικόςΛογισμός του Thomas έχει χρησιμοποιηθεί από πάμπολλους πανεπιστη-μιακούς δασκάλους με μεγάλη ποικιλία διδακτικών μεθοδολογιών από τιςπιο παραδοσιακές ώς τις πλέον πειραματικές H παρούσα δέκατη έκδοσηπεριέχει πολλά νέα στοιχεία παραμένοντας ωστόσο πιστή στην παραδοσια-κή συνταγή επιτυχίας του βιβλίου αυστηρά μαθηματικά εφαρμογές που έ-χουν ενδιαφέρον και σημασία για τον επιστήμονα και τον μηχανικό καιάριστη επιλογή ασκήσεων Mε τον πλούτο της ύλης και τη δυνατότητα ευε-λιξίας που παρέχει η διάρθρωσή της o Aπειροστικός Λογισμός του Thomasμπορεί να χρησιμοποιηθεί στην πληθώρα των διαφορετικών τύπων πανε-πιστημιακών μαθημάτων που υπάρχουν σήμερα

Για να γίνει όμως ένα πανεπιστημιακό μάθημα υπάρχει μια προϋπόθε-ση ουσιαστικότερη αυτής του συγγράμματος είναι η ενεργός συμμετοχήκαι η επικοινωνία του διδάσκοντος και των φοιτητών Tο βιβλίο λοιπόν πουκρατάτε στα χέρια σας έχει σκοπό να σας βοηθήσει στο μάθημα που καλεί-στε να διδάξετε Mε αυτό κατά νου έχουμε εισαγάγει μερικές καινοτομίεςστη δέκατη έκδοση που ελπίζουμε θα καταστήσουν πιο ευέλικτο και εύ-χρηστο το υλικό τόσο για τον διδάσκοντα όσο και για τον διδασκόμενο

Kαινοτομίες της δέκατης έκδοσης

bull Όπως και στις προηγούμενες εκδόσεις το κείμενο διαβάζεται εύκολαυπάρχει μια διάθεση διαλόγου με τον αναγνώστη ενώ το μαθηματικό πε-ριεχόμενο παραμένει πλούσιο Kάθε καινούρια έννοια παρουσιάζεται μεσαφή και εύληπτα παραδείγματα και κατόπιν εμπεδώνεται με εφαρμογέςαπό τον πραγματικό κόσμο που θα τραβήξουν το ενδιαφέρον του φοιτη-τή

bull Στην αρχή κάθε ενότητας παρουσιάζεται ένας αναλυτικός κατάλογος μετους τίτλους των υποενοτήτων

bull Έχει δοθεί περισσότερη έμφαση στην κατασκευή μαθηματικών μοντέ-λων και σε εφαρμογές με πραγματικά δεδομένα Έτσι υπάρχει μια καλύ-τερη ισορροπία ανάμεσα στις γραφικές τις αριθμητικές και τις αναλυτι-κές μεθόδους και τεχνικές χωρίς να έχει θιγεί η μαθηματική αυστηρότη-τα

bull Tα διανύσματα και η κίνηση βλημάτων στο επίπεδο που καλύπτουν τηνπεριοχή του λογισμού μίας μεταβλητής παρουσιάζονται τώρα σε ξεχωρι-στό κεφάλαιο Aκολούθως τα τριδιάστατα διανύσματα παρουσιάζονταιαπό κοινού με τον λογισμό πολλών μεταβλητών

bull Oι ομοειδείς ασκήσεις παραμένουν ενοποιημένες υπό κοινή επικεφαλί-δα O τίτλος κάθε επιμέρους άσκησης προσπαθεί να αποδώσει το περιε-χόμενο ή τη σχέση της με τον πραγματικό κόσμο Aσκήσεις που απαι-τούν την εφαρμογή προγράμματος γραφικών συνοδεύονται από το εικονί-διο Tέλος υπό τον τίτλο laquoYπολογιστικές Διερευνήσειςraquo παρουσιά-ζονται ασκήσεις που απαιτούν την εφαρμογή κάποιου συστήματος υπολο-γιστικής άλγεβρας

T

xix

xx Προς τον διδάσκοντα

bull Ο δικτυότοπος παρέχει περισσότερη υποστήριξη στον φοιτητή και τονδιδάσκονταndash Eφαρμογές των Maple και Mathematica βιντεοκλίπ καθώς και προ-

γράμματα Java αποσκοπούν στο να βοηθήσουν στην κατανόηση τωνκύριων εννοιών του λογισμού

ndash O φοιτητής μπορεί να ελέγξει το επίπεδο κατανόησής του αυτοεξετα-ζόμενος σε κάποιο από τα επιμέρους τεστ ή από τα επαναληπτικά δια-γωνίσματα κάθε κεφαλαίου λαμβάνοντας απαντήσεις και σχόλια γιατην επίδοσή του

ndash O αναγνώστης μπορεί να laquoκατεβάσειraquo από τον δικτυότοπο λογισμικόκατάλληλο για συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας ή για υπολογι-στές γραφικών

ndash Τα εκτεταμένα βιογραφικά στοιχεία έχουν τώρα μεταφερθεί στον δι-κτυότοπο Έτσι αφήνεται περισσότερος χώρος στο περιθώριο κάθε σε-λίδας για σημειώσεις παρατηρήσεις και σχόλια επί της ουσίας

Έτσι λοιπόν με όλες αυτές τις προσθήκες στην παρούσα έκδοση παρα-μένουμε πιστοί στην πεποίθησή μας ότι ο θεμελιακός σκοπός του απειρο-στικού λογισμού είναι να προετοιμάσει τους φοιτητές για την είσοδό τουςστον κόσμο των μαθηματικών των θετικών επιστημών και των επιστημώνμηχανικού

Aνάπτυξη δεξιοτήτων και εμπέδωση εννοιών

Όπως πάντα αποτελεί κύριο μέλημα του βιβλίου η ανάπτυξη δεξιοτήτωντου αναγνώστη Παραθέτουμε παραδείγματα και σχόλια που ενθαρρύνουντον φοιτητή να απεικονίσει στη φαντασία του τις έννοιες να οξύνει τηναναλυτική του σκέψη και να εφαρμόσει αριθμητικές μεθόδους Σε πολλέςασκήσεις ο φοιτητής καλείται να παραγάγει και να ερμηνεύσει γραφικέςπαραστάσεις προκειμένου να κατανοήσει σχέσεις μεταξύ μαθηματικών πο-σοτήτων ή και μεταξύ φυσικών μεγεθών Σε πολλές ενότητες υπάρχουνπροβλήματα που επεκτείνουν το εύρος των εφαρμογών εμπλουτίζουν τιςέννοιες που ώς τότε έχουν παρουσιαστεί και ανεβάζουν τον πήχυ της μαθη-ματικής αυστηρότητας

Yπάρχουν ασκήσεις όπου ο φοιτητής καλείται να διερευνήσει και ναεξηγήσει με λόγια μεγάλο αριθμό εννοιών και εφαρμογών του λογισμούEπιπλέον στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν επαναληπτικές ερωτήσειςπου βοηθούν τον φοιτητή να συνοψίσει τα κύρια σημεία που έμαθε στη με-λέτη του Πολλές από αυτές τις ερωτήσεις μπορούν να τεθούν ως εργασίεςγια το σπίτι

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτωνΠιστεύουμε ότι η μαθησιακή διεργασία ευνοείται όταν η κάθε τεχνική καιμεθοδολογία εξηγείται όσο απλούστερα και σαφέστερα γίνεται Έτσι έχου-με συμπεριλάβει οδηγίες που εξηγούν βήμα-βήμα πώς εφαρμόζονται οι πιοδύσκολες και περίπλοκες τεχνικές που θα συναντήσουμε Όπως πάντα οιοδηγίες αυτές συνοδεύονται από τα αντίστοιχα λυμένα παραδείγματα στοκείμενο

AσκήσειςOι ασκήσεις έχουν αναθεωρηθεί και εμπλουτιστεί με μεγάλη προσοχή Tιςέχουμε ομαδοποιήσει ανάλογα με το περιεχόμενό τους ενώ ιδιαίτερα οιυπολογιστικές διερευνήσεις παρουσιάζονται όλες μαζί σε ειδική ενότητα

xxiΠρος τον διδάσκοντα

Yπάρχουν ασκήσεις-γυμνάσματα καθώς και προβλήματα εφαρμογών Οιαπαιτητικότερες ασκήσεις που απαιτούν κριτική σκέψη έχουν ομαδοποιη-θεί σε υποενότητες με τίτλο laquoEφαρμογές και θεωρίαraquo Υπάρχουν τέλοςασκήσεις που ζητούν από τον φοιτητή να δείξει το επίπεδο κατανόησης τηςύλης περιγράφοντας με δικά του λόγια κύριες έννοιες του λογισμού Tέτοι-ες laquoασκήσεις γραφήςraquo εμφανίζονται σε κάθε ομάδα ασκήσεων Eν γένει ησειρά παράθεσης των ασκήσεων ακολουθεί τη σειρά παρουσίασης των εν-νοιών στο κείμενο Aσκήσεις που laquoαπαιτούνraquo τη χρήση υπολογιστή γραφι-κών φέρουν το ενδεικτικό εικονίδιο

Περαιτέρω υλικό στο τέλος κάθε κεφαλαίουΣτο τέλος κάθε κεφαλαίου η διδαχθείσα ύλη συνοψίζεται με τους εξής τρειςτρόπους

laquoEπαναληπτικές ερωτήσειςraquo O φοιτητής καλείται να προβληματιστεί πάνωστις κυριότερες έννοιες του κεφαλαίου εξηγώντας τις με λόγια και μεκατάλληλα παραδείγματα Oι ερωτήσεις αυτές είναι πρόσφορες να απα-ντηθούν γραπτώς

laquoΑσκήσεις κεφαλαίουraquo Eδώ laquoεκπροσωπούνταιraquo οι τεχνικές οι δεξιότητεςυπολογιστικού και αριθμητικού χαρακτήρα και οι κυριότερες εφαρμογέςπου καλείται να κατακτήσει ο αναγνώστης

laquoΕπιπρόσθετες ασκήσεις Θεωρία προβλήματα και εφαρμογέςraquo Eδώ παρου-σιάζονται απαιτητικότερες και θεωρητικότερες εφαρμογές και προβλή-ματα που εμβαθύνουν περισσότερο την κατανόηση των μαθηματικών ιδε-ών

Eφαρμογές και παραδείγματαΈνα χαρακτηριστικό γνώρισμα του βιβλίου ήταν και παραμένει η πληθώραεφαρμογών από τις θετικές επιστήμες και τις επιστήμες μηχανικού Tα προ-βλήματα εφαρμογών συνεχώς αναθεωρούνται βελτιώνονται και επεκτείνο-νται κατά τις τελευταίες εκδόσεις Στην παρούσα έκδοση έχουμε συμπεριλά-βει ακόμη περισσότερα προβλήματα βασισμένα σε πραγματικά δεδομένα ταοποία λύνονται με γραφικές και αριθμητικές μεθόδους Σε πολλά σημείααναφέρουμε την πηγή (τα επιστημονικά άρθρα ή τα βιβλία) απrsquo όπου πήραμετα δεδομένα ή αντλήσαμε το ενδιαφέρον μας περνώντας έτσι το μήνυμαστον φοιτητή ότι ο λογισμός είναι ένα δυναμικά εξελισσόμενο αντικείμενοπου απαιτεί για τον χειρισμό του μια πληθώρα τεχνικών και μεθοδολογιώνOι περισσότερες από τις εφαρμογές αυτές απευθύνονται στον φυσικό επι-στήμονα και στον μηχανικό αλλά δεν είναι λίγες και οι εφαρμογές από τηβιολογία και τις κοινωνικές επιστήμες

Yπολογιστικές εφαρμογές Yπολογιστές γραφικών καιυπολογιστικές διερευνήσεις

Σχεδόν κάθε ενότητα περιλαμβάνει προβλήματα όπου ζητείται η διερεύνη-ση ενδεχόμενης χαρακτηριστικής συμπεριφοράς αριθμητικών δεδομένωνκαθώς και ασκήσεις όπου ζητείται η κατασκευή και η ερμηνεία γραφικώνπαραστάσεων ως εργαλείο για την κατανόηση των σχέσεων μεταξύ μαθημα-τικών μεταβλητών ή μεταξύ φυσικών μεγεθών Πολλές από τις ασκήσεις αυ-τές είναι κατάλληλες για επίδειξη στο μάθημα ή για εξάσκηση στο υπολογι-στικό εργαστήριο ή στο σπίτι Oι ασκήσεις αυτές φέρουν το ενδεικτικό ει-κονίδιο ή τον τίτλο laquoYπολογιστικές διερευνήσειςraquoT

T

xxii Προς τον διδάσκοντα

Yπολογιστικές διερευνήσειςOι ασκήσεις αυτές αριθμούν περισσότερες από 200 και έχουν λυθεί στα εγ-χειρίδια λύσεων [της αμερικανικής έκδοσης] τόσο με τη Mathematica όσοκαι τη Maple Eπιπλέον υπάρχουν κατάλληλες εφαρμογές Mathematica καιMaple στον δικτυότοπο και στο CD-ROM Oι τελευταίες έχουν σχεδιαστείαποσκοπώντας στην ανάπτυξη της γεωμετρικής διαίσθησης και στη βαθύτε-ρη κατανόηση των εννοιών των μεθόδων και των εφαρμογών του απειρο-στικού λογισμού Eικονίδια με την ένδειξη CD-ROMΔικτυότοπος εμφανί-ζονται στα αντίστοιχα σημεία στο κείμενο

Στο κείμενο παρατίθενται ακόμη σημειώσεις που ενθαρρύνουν τον φοι-τητή να διερευνήσει τις έννοιες με υπολογιστή γραφικών για να αρχίσειέτσι να αντιλαμβάνεται πότε η εφαρμογή της τεχνολογίας αποβαίνει μαθη-σιακά χρήσιμη και πότε αποπροσανατολιστική

Iστορικές αναφορές και βιογραφίεςH παρουσίαση της ανθρώπινης πλευράς της μαθηματικής επιστήμης κατάτην πορεία της εξέλιξής της μορφώνει και εκλεπτύνει την αίσθηση του φοι-τητή Στις προηγούμενες εκδόσεις είχαμε ενθέσει στο κείμενο αναφορέςπου περιέγραφαν την προέλευση των διάφορων ιδεών τις συγκρούσεις σχε-τικά με την πατρότητά τους καθώς και ενδιαφέρουσες προεκτάσεις σε σύγ-χρονα αντικείμενα όπως τα μορφοκλασματικά (φράκταλ) και το χάος Στηνπαρούσα έκδοση έχουμε διευρύνει τις αναφορές αυτές και τις έχουμε εν-σωματώσει στον δικτυότοπο όπως δείχνουν τα αντίστοιχα εικονίδια στοκείμενο αφήνοντας έτσι περισσότερο χώρο στο περιθώριο κάθε σελίδαςγια σημειώσεις του φοιτητή ή για δικά μας σχόλια

Oι διαφορετικές όψεις του βιβλίου

Tα μαθηματικά είναι μια αυστηρή και όμορφη γλώσσαO λογισμός αποτελεί μια από τις ισχυρότερες πνευματικές κατακτήσεις τουανθρώπου Ένας από τους στόχους του βιβλίου τούτου είναι να εμπνεύσειστον φοιτητή την εκτίμηση της ομορφιάς του απειροστικού λογισμούΌπως και στις προηγούμενες εκδόσεις σταθήκαμε προσεκτικοί στο να πού-με μονάχα ότι είναι αληθές και μαθηματικά στηρίξιμο Kάθε ορισμός θεώ-ρημα πόρισμα και απόδειξη έχει αναθεωρηθεί με γνώμονα τη σαφήνεια καιτη μαθηματική ορθότητα

Aνεξάρτητα από το αν η διδασκαλία του αντικειμένου γίνεται με το πα-ραδοσιακό ύφος των διαλέξεων ή στο υπολογιστικό εργαστήριο με μεθόδουςαριθμητικών και γραφικών διερευνήσεων οι έννοιες και οι τεχνικές τουαπειροστικού λογισμού πρέπει να μεταδοθούν με σαφήνεια και ακρίβεια

O φοιτητής θα συνεχίσει να μαθαίνει από το βιβλίο για πολλά χρόνιαακόμηAπό πρόθεση έχουμε συμπεριλάβει πολύ περισσότερη ύλη στο βιβλίο απrsquoόση μπορεί να διδάξει οποιοσδήποτε διδάσκων Έτσι ο φοιτητής μπορεί νασυνεχίσει να μαθαίνει λογισμό από το βιβλίο πολύ μετά το πέρας του συ-γκεκριμένου μαθήματος που παρακολουθεί ενώ ο επαγγελματίας μηχανι-κός και ο επιστήμονας θα μπορεί να ανατρέχει στο βιβλίο όποτε οι περι-στάσεις το απαιτήσουν

Bιογραφικά στοιχεία

CD-ROMΔικτυότοπος

Στην αγγλική γλώσσα διατίθενται από τον εκδότη της πρωτότυπης έκδοσης(Addison-Wesley) βοηθήματα για τον διδάσκοντα και τον φοιτητή Αναλυτικέςπληροφορίες για αυτά μπορεί να βρει ο αναγνώστης στη διεύθυνσηhttpwwwawlcomthomas αλλά και στον δικτυότοπο των ΠΕΚ (wwwcupgr)

xxiii

Eυχαριστίες

Oι συγγραφείς εκφράζουν τις ευχαριστίες τους για την πολύτιμη συνεισφορά των πα-ρακάτω συναδέλφων που έκαναν διάφορες χρήσιμες υποδείξεις

Eπιμέλεια κειμένου τελική ανάγνωση χειρογράφου

Tuncay Aktosun North Dakota State UniversityAndrew G Bennett Kansas State UniversityTerri A Bourdon Virginia Polytechnic Institute and State UniversityMark Brittenham University of Nebraska LincolnBob Brown Essex Community CollegeDavid A Edwards University of DelawareMark Farris Midwestern State UniversityKim Jongerius Northwestern CollegeJeff Knisley East Tennessee State UniversitySlawomir Kwasik Tulane UniversityJeuel LaTorre Clemson UniversityDaniel G Martinez California State University Long BeachSandra E McLaurin University of North Carolina WilmingtonStephen J Merrill Marquette UniversityShai Neumann Brevard Community CollegeLinda Powers Virginia Polytechnic Institute and State UniversityWilliam L Siegmann Rensselaer Polytechnic InstituteRick L Smith University of FloridaJames W Thomas Colorado State UniversityAbraham Ungar North Dakota State UniversityHarvey E Wolff University of Toledo

Eπιμέλεια υπολογιστικών εφαρμογών

Mark Brittenham University of Nebraska LincolnWarren J Burch Brevard Community College CocoaLyle Cochran Whitworth CollegePhilip S Crooke III Vanderbilt UniversityLinda Powers Virginia Polytechnic Institute and State University David Ruch Metropolitan State College of DenverPaul Talaga Weber State UniversityJames W Thomas Colorado State UniversityRobert L Wheeler Virginia Polytechnic Institute and State University

Άλλου τύπου συνεισφορές

Iδιαίτερες ευχαριστίες αξίζουν οι Colonel D Chris Arney John L Scharf και MarieM Vanisko που μοιράστηκαν μαζί μας τις τεχνικές και υπολογιστικές τους γνώσειςπροκειμένου να κάνουμε τον απειροστικό λογισμό ελκυστικότερο στον φοιτητή κα-θώς και οι Colonel D Chris Arney και Joe B Albree για τη συνδρομή τους στις ιστορι-κές αναφορές του απειροστικού λογισμού Eίμαστε ευγνώμονες σε όλους τους παρα-πάνω για την αφοσίωσή τους την ενθάρρυνσή τους και τον συντονισμό τους ως ομάδακατά τη σύλληψη και εν συνεχεία κατά τη δημιουργία των υπολογιστικών εφαρμογώνκαι τη συγκέντρωση των βιογραφικών και των ιστορικών στοιχείων Eυχαριστούμεεπίσης τον John L Scharf για τη συνδρομή του στα εγχειρίδια των λύσεων

Tι είναι ο απειροστικός λογισμός

Eίναι τα μαθηματικά της κίνησης και της μεταβολής Όπου υπάρχει κίνηση ήεξέλιξη όπου υπάρχουν μεταβαλλόμενες δυνάμεις που δρουν σε σώμα καιπροκαλούν την επιτάχυνσή του ο λογισμός είναι το κατάλληλο μαθηματικόεργαλείο που πρέπει να εφαρμόσουμε Έτσι είχαν τα πράγματα στην αρχήτης εξέλιξης του λογισμού έτσι έχουν και σήμερα

O απειροστικός λογισμός αναπτύχθηκε καταρχάς προκειμένου να αντι-μετωπιστούν οι μαθηματικές ανάγκες των επιστημόνων του δεκάτου έκτουκαι δεκάτου εβδόμου αιώνα ανάγκες που κατά κύριο λόγο αφορούσαν στημηχανική O διαφορικός λογισμός έδωσε λύση στο πρόβλημα υπολογισμούρυθμών μεταβολής Aυτό οδήγησε στον ορισμό της κλίσης καμπυλών στονυπολογισμό ταχυτήτων και επιταχύνσεων κινούμενων σωμάτων στην εύρε-ση γωνιών εκτόξευσης που θα έδιναν στα κανόνια τη μέγιστη ακτίνα δρά-σεως και στην εύρεση των χρονικών στιγμών όπου οι πλανήτες θα απείχανμια ελάχιστη ή μια μέγιστη απόσταση μεταξύ τους O ολοκληρωτικόςλογισμός έλυσε το πρόβλημα προσδιορισμού μιας συνάρτησης της οποίας ορυθμός μεταβολής είναι γνωστός Aυτό επέτρεψε τον υπολογισμό της μελ-λοντικής θέσης ενός σώματος όταν ξέρουμε την τωρινή του θέση και τις δυ-νάμεις που δρουν πάνω τουOslash ακόμη τον υπολογισμό εμβαδού ακανόνιστωνχωρίων στο επίπεδο τη μέτρηση μήκους καμπύλης και την εύρεση του ό-γκου και της μάζας τυχόντος στερεού σώματος

Σήμερα ο λογισμός και οι προεκτάσεις του στη μαθηματική ανάλυσηβρίσκουν τεράστιο εύρος εφαρμογών τόσο που θα θάμπωνε τους πρωτεργά-τες φυσικούς μαθηματικούς και αστρονόμους που τον ανέπτυξαν Eλπίζουμεότι κι εσείς με τη σειρά σας θα εκτιμήσετε τη μεγάλη ποικιλία προβλημά-των που λύνονται με τις μεθόδους του λογισμού καθώς και την πληθώρα τωνεπιστημονικών πεδίων που χρησιμοποιούν μοντέλα του απειροστικούλογισμού για να εξηγήσουν το σύμπαν και τον κόσμο που μας περιβάλλειΣκοπός της παρούσας έκδοσης είναι να παρουσιάσει μια σύγχρονη όψη τουΛογισμού με την υποστήριξη της τεχνολογίας των υπολογιστών

Πώς να μάθετε απειροστικό λογισμό

H κατανόηση του απειροστικού λογισμού διαφέρει από την εκμάθηση τηςαριθμητικής της άλγεβρας και της γεωμετρίας Σε εκείνα τα αντικείμενα μά-θατε κυρίως πώς να κάνετε πράξεις με αριθμούςOslash πώς να απλοποιείτε αλγεβρι-κές εκφράσεις και να υπολογίζετε μεταβλητέςOslash και πώς να επιχειρηματολο-γείτε περί σημείων ευθειών και σχημάτων στο επίπεδο O λογισμός περιλαμ-βάνει τις τεχνικές και τις δεξιότητες αυτές αλλά αναπτύσσει και νέες μεγα-λύτερης ακρίβειας και βάθους Eίναι τόσες πολλές αυτές οι νέες τεχνικές που

Προς τον φοιτητή

xxv

xxvi Προς τον φοιτητή

καλείστε να κατακτήσετε ώστε είναι αδύνατον να τις μάθετε μόνο στο μά-θημα Θα χρειαστεί αρκετός χρόνος μοναχικής μελέτης στο σπίτι και συνερ-γασία με συμφοιτητές σας Tι πρέπει λοιπόν να κάνετε για να μάθετε

1 Mελετήστε το κείμενο Eίναι αδύνατον να εμπεδώσετε τις έννοιες και τιςμεταξύ τους σχέσεις πηγαίνοντας κατευθείαν στις προς επίλυση ασκή-σεις Πρέπει λοιπόν να διαβάσετε τα αντίστοιχα χωρία στο κείμενο καινα ελέγξετε τα λυμένα παραδείγματα βήμα προς βήμα Tο laquoδιαγώνιοraquoδιάβασμα δεν ωφελεί εδώ Aντιθέτως πρέπει να διαβάσετε και να κατα-κτήσετε με τη λογική σας κάθε λεπτομέρεια βήμα προς βήμα Aυτό τοείδος της μελέτης που είναι απαραίτητο για κάθε ανάγνωσμα βαθυστό-χαστου ή τεχνικού περιεχομένου απαιτεί συγκέντρωση υπομονή καιεξάσκηση

2 Λύστε τις ασκήσεις που έχετε για το σπίτι έχοντας κατά νου τα εξής(α) Kάντε διαγράμματα όπου είναι δυνατόν(β) Γράψτε τις λύσεις σας αναπτύσσοντας τη λογική αλληλουχία των

σκέψεών σας σαν να τις εξηγούσατε σε κάποιον τρίτο(c) Aναρωτηθείτε γιατί υπάρχει κάθε άσκηση που συναντάτε Γιατί

σας ανατέθηκε να τη λύσετε Ποια η σχέση της με άλλες ασκή-σεις

3 Xρησιμοποιήστε τον υπολογιστή σας γραφικών όπου είναι δυνατόν Λύστεόσο το δυνατόν περισσότερες ασκήσεις γραφικής και υπολογιστικής διε-ρεύνησης ανεξαρτήτως αν σας έχουν ανατεθεί ή όχι Oι γραφικές παρα-στάσεις προσδίδουν ενόραση και βοηθούν στην οπτική εποπτεία πολλώνσημαντικών εννοιών και σχέσεων Oι πίνακες αριθμητικών δεδομένωνμπορεί να αποκαλύψουν κάποια χαρακτηριστική συμπεριφορά όταν πα-ρασταθούν γραφικά O υπολογιστής σας λοιπόν σας δίνει τη δυνατότητανα διερευνήσετε ρεαλιστικά προβλήματα και παραδείγματα που εμπε-ριέχουν υπολογισμούς δύσκολους ή και κοπιώδεις αν τους κάνατε με τοχέρι

4 Προσπαθήστε να περιγράψετε με λίγα λόγια τα κύρια σημεία κάθε ενότηταςπου μελετήσατε Aν είστε σε θέση να κάνετε τέτοιου είδους περιγραφέςσημαίνει ότι μάλλον κατέχετε την ύλη Aν όχι τότε γνωρίζετε ότι υπάρ-χουν κενά στην κατανόησή σας

H κατανόηση του απειροστικού λογισμού είναι μία διεργασίαOslash δεν συν-τελείται αυτόματα Πρέπει να έχετε υπομονή επιμονή να θέτετε στον εαυ-τό σας ερωτήματα να συζητάτε τις έννοιες και τις ασκήσεις με τους συμ-φοιτητές σας και μόλις νιώθετε ότι χρειάζεστε βοήθεια να τη ζητάτε αμέ-σως H ανταμοιβή της κατάκτησης του απειροστικού λογισμού μπορεί ναείναι μεγάλη τόσο πνευματικά όσο και επαγγελματικά

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Eπί αιώνες το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράςάπειρων όρων προβλημάτιζε τους μαθηματικούς Kαι αυτό γιατί έβλε-παν πως μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένοαποτέλεσμα πχ

(Mπορείτε να πεισθείτε γιrsquo αυτό αθροίζοντας ταεμβαδά των άπειρων ορθογωνίων που αποκόπτο-νται από το μοναδιαίο τετράγωνο με τον τρόποπου δείχνει το διπλανό σχήμα) Άλλες όμως φο-ρές ένα άπειρο άθροισμα απειριζόταν πχ

(κάτι που δεν είναι καθόλου προφανές) και τέλος υπήρχαν περιπτώ-σεις όπου ήταν αδύνατον να αποφανθεί κανείς για την τιμή του άπει-ρου αθροίσματος πχ

(Eίναι μηδέν Eίναι 1 Ή τίποτα από τα δύο)Παρά ταύτα μαθηματικοί όπως ο Gauss και ο Euler χρησιμοποίη-

σαν επιτυχώς τις άπειρες σειρές για να εξαγάγουν μερικά πρωτοφανήαποτελέσματα O Laplace απέδειξε με σειρές την ευστάθεια του ηλια-κού μας συστήματος (χωρίς αυτό να αποτρέπει σήμερα μερικούς απότο να εκφράζουν την ανησυχία τους για το ότι laquoυπερβολικά πολλοίraquoπλανήτες έχουν γείρει από τη μία πλευρά του Ήλιου) Θα περνούσαναρκετά ακόμη χρόνια μέχρι να εμφανιστούν ειδικοί της μαθηματικήςανάλυσης όπως ο Cauchy οι οποίοι ανέπτυξαν το θεωρητικό υπόβα-θρο των υπολογισμών με σειρές αναγκάζοντας έτσι πολλούς συναδέλ-φους τους (μεταξύ αυτών και τον Laplace) να επανεξετάσουν σε αυ-στηρότερο υπόβαθρο τα πρότερα αποτελέσματά τους

Oι άπειρες σειρές αποτελούν τη βάση ενός αξιοθαύμαστου μαθη-ματικού τύπου ο οποίος μας επιτρέπει να περιγράφουμε πολλές συ-ναρτήσεις με πολυώνυμα που περιέχουν άπειρους όρους (τα οποία κα-λούνται δυναμοσειρές) ενώ παράλληλα μας πληροφορεί για το μέγε-θος του σφάλματος που υπεισέρχεται αν κρατήσουμε πεπερασμένοπλήθος όρων στα πολυώνυμα αυτά Oι δυναμοσειρές πέραν του ότιπροσεγγίζουν με πολυώνυμα τις διαφορίσιμες συναρτήσεις βρίσκουνκαι πολλές άλλες εφαρμογές Παρακάτω θα δούμε πώς μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε άπειρα αθροίσματα τριγωνομετρικών όρων (τις λε-γόμενες σειρές Fourier) προκειμένου να αναπαραστήσουμε μερικέςαπό τις σπουδαιότερες συναρτήσεις που συναντά κανείς σε επιστημο-νικές και τεχνολογικές εφαρμογές Oι άπειρες σειρές παρέχουν ένανευχερή τρόπο υπολογισμού μη στοιχειωδών ολοκληρωμάτων καθώς

1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116

και επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη διάδοσητης θερμότητας τις ταλαντώσεις τη διάχυση χημικών ουσιών και τημετάδοση σημάτων Στο παρόν κεφάλαιο θα προετοιμάσουμε το έδα-φος για την κατανόηση του ρόλου που παίζουν οι σειρές στις φυσικέςεπιστήμες και στα μαθηματικά

81Oρισμοί και συμβολισμός bull Σύγκλιση και απόκλιση

bull Yπολογισμός ορίων ακολουθιών bull Kάνοντας χρήση του κανόνα

του lrsquoHocircpital bull Όρια που απαντούν συχνά

Γενικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι ακολουθία είναι μια διατεταγμέ-νη διάταξη τυχόντων αντικειμένων όμως στο παρόν κεφάλαιο τα αντι-κείμενα που θα μας απασχολήσουν είναι αριθμοί Ήδη έχουμε συνα-ντήσει ακολουθίες πχ αυτή των αριθμών x0 x1 xn που προ-κύπτει από τη μέθοδο του Nεύτωνα Aργότερα θα δούμε ακολουθίεςδυνάμεων του x καθώς και ακολουθίες τριγωνομετρικών όρων πχsinx cos x sin 2x cos 2x sin nx cos nx Ένα ζήτημα κεντρι-κής σημασίας είναι αν μια ακολουθία διαθέτει όριο ή όχι

Oρισμοί και συμβολισμόςMπορούμε να διατάξουμε τα ακέραια πολλαπλάσια του 3 ως εξής

O πρώτος αριθμός στη σειρά είναι το 3 έπειτα το 6 έπειτα το 9 κοκH συνάρτηση λοιπόν που δρα εδώ αποδίδει την τιμή 3n στη n-οστή θέ-ση Aυτή είναι η βασική ιδέα της κατασκευής ακολουθιών Yπάρχειμια συνάρτηση που τοποθετεί τον κάθε αριθμό της ακολουθίας στηνκατάλληλη διατεταγμένη θέση του

Συνήθως το n0 είναι 1 και το πεδίο ορισμού της ακολουθίας είναιτο σύνολο των θετικών ακεραίων Mερικές φορές ωστόσο επιθυμού-με η ακολουθία να ξεκινά από άλλον αριθμό Πχ στη μέθοδο τουNεύτωνα παίρνουμε n0 0 Aν πάλι θέλαμε να ορίσουμε μια ακολου-θία πολυγώνων με πλήθος πλευρών n θα παίρναμε n0 3

Oι ακολουθίες ορίζονται όπως και οι υπόλοιπες συναρτήσεις γιαπαράδειγμα

a(n)

(Παράδειγμα 1 και Σχήμα 81) Για να δηλώσουμε ότι το πεδίο ορι-σμού των ακολουθιών περιλαμβάνει ακεραίους χρησιμοποιούμε το

n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n

Πεδίο ορισμού 1 2 3 n darr darr darr darr

Πεδίο τιμών 3 6 9 3n

588 Κεφάλαιο 8 Άπειρες σειρές

Oρισμός AκολουθίαΆπειρη ακολουθία αριθμών είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορι-σμού το σύνολο των ακεραίων που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοιενός ακεραίου n0

Iστορικά στοιχεία

Aκολουθίες καισειρές


81 Όρια ακολουθιών

γράμμα n ως δηλωτικό της ανεξάρτητης μεταβλητής αντί των x y z και t που χρησιμοποιούμε συνήθως όταν η ανεξάρτητη μεταβλητήπαίρνει πραγματικές τιμές Ωστόσο συχνά οι μαθηματικοί τύποι πουορίζουν ακολουθίες όπως οι ανωτέρω ισχύουν και για πεδία ορι-σμού μεγαλύτερα του συνόλου των θετικών ακεραίων Όπως θα δού-


2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1

an n 1mdashmdashndashn

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1

an (1)n 1 n 1mdashmdashndashn

a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5

(α) Oι όροι an υπερβαίνουντελικά κάθε ακέραιο οπότε ηακολουθία an αποκλίνει

n

(β) όμως οι όροι an 1 nμικραίνουν διαρκώς καιπροσεγγίζουν αυθαίρετα το 0 καθώςτο n αυξάνεται οπότε η ακολουθίαan συγκλίνει στο 0

(γ) Oι όροι an (1)n1(1 n)εναλλάσσουν τα πρόσημά τουςωστόσο συγκλίνουν στο 0

(δ) Oι όροι an (n 1) nπροσεγγίζουν αυθαίρετα το 1 καθώςτο n αυξάνεται οπότε η ακολουθίαan συγκλίνει στο 1

(ε) Oι όροι an (1)n1[(n 1) n]εναλλάσσουν τα πρόσημά τους Oιθετικοί όροι τείνουν στο 1Ωστόσο οι αρνητικοί όροι τείνουνστο 1 καθώς το n αυξάνεταιοπότε η ακολουθία an αποκλίνει

(στ) Oι όροι της ακολουθίαςσταθερών αριθμών an 3 έχουν τηνίδια τιμή ανεξαρτήτως του n οπότεη ακολουθία an συγκλίνει στο 3

ΣXHMA 81 Oι ακολουθίες του Παραδείγματος 1 απεικονίζονται εδώ με δύο τρόπους τοποθετώντας τουςαριθμούς an στον οριζόντιο άξονα και τα σημεία (n an) στο επίπεδο

με κάτι τέτοιο μπορεί να μας εξυπηρετεί O αριθμός a(n) καλείται n-οστός όρος της ακολουθίας ή αλλιώς όρος με δείκτη n Έτσι για a(n) (n 1)n θα έχουμε

Πρώτος όρος Δεύτερος όρος Tρίτος όρος n-οστός όρος

a(1) 0 a(2) a(3) a(n)

Aν συμβολίσουμε ως an το a(n) η ακολουθία γράφεται ως εξής

a1 0 a2 a3 an

Συνηθίζεται να περιγράφουμε μια ακολουθία παραθέτοντας μερικούςαπό τους πρώτους όρους της καθώς και τον τύπο που δίνει τον n-οστόόρο

Παράδειγμα 1 Περιγραφή ακολουθιών

Συμβολισμός Για να αναφερθούμε στην ακολουθία n-οστού όρου an

γράφουμε an (και διαβάζουμε laquoακολουθία a δείκτης nraquo) Έτσι η δεύ-τερη ακολουθία του Παραδείγματος 1 είναι η 1n (laquoακολουθία 1 διάnraquo) Oslash η τελευταία ακολουθία είναι η 3 (laquoσταθερή ακολουθία 3raquo)

Σύγκλιση και απόκλισηΌπως δείχνει το Σχήμα 81 οι ακολουθίες στο Παράδειγμα 1 δεν έχουνόλες την ίδια συμπεριφορά Oι 1n (1)n1(1n) και (n 1)nδείχνουν να προσεγγίζουν μια μοναδική οριακή τιμή καθώς το n αυξά-νεται και μάλιστα η 3 έχει καταλήξει στην οριακή της τιμή από τονπρώτο ήδη όρο Aπό την άλλη οι όροι της ακολουθίας(1)n1(n 1)n δείχνουν να laquoσυνωστίζονταιraquo σε δύο διαφορετικέςτιμές τις 1 και 1 ενώ οι όροι της αυξάνονται απεριόριστα καιδεν συγκλίνουν πουθενά

O ακόλουθος ορισμός διαχωρίζει τις ακολουθίες που προσεγγί-ζουν μια μοναδική οριακή L καθώς το n αυξάνεται από εκείνες πουδεν εμφανίζουν τέτοια συμπεριφορά

n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2


Όροι ακολουθίας Tύπος ακολουθίας

(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n

Παράδειγμα 2 Έλεγχος του ορισμού

Δείξτε ότι

(α)

(β) (τυχούσα σταθερά k)

Λύση

(α) Έστω e 0 Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει ακέραιος N τέτοιοςώστε για κάθε n

n N rArr e

H πρόταση αυτή θα ισχύει για (1n) e δηλαδή για n 1e Έτσιαν N είναι τυχών ακέραιος μεγαλύτερος του 1e η πρόταση θαισχύει για κάθε n N Aυτό σημαίνει ότι limnl (1n) 0

(β) Έστω e 0 Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει ακέραιος N τέτοιοςώστε για κάθε n

n N rArr k k e

Eφόσον k k 0 για κάθε ακέραια τιμή του N η πρόταση θα εξακο-λουθεί να ισχύει Aυτό σημαίνει ότι limnl k k για κάθε σταθερόαριθμό k

Παράδειγμα 3 Aποκλίνουσα ακολουθία

Δείξτε ότι η (1)n1[(n 1)n] αποκλίνει

Λύση Έστω e θετικός αριθμός μικρότερος του 1 τέτοιος ώστε ναμην αλληλεπικαλύπτονται οι λωρίδες γύρω από τις ευθείες y 1 καιy 1 που φαίνονται στο Σχήμα 83 Kάθε e 1 ικανοποιεί την προ-ϋπόθεση αυτή H σύγκλιση στο 1 θα σήμαινε ότι κάθε σημείο του

1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0


Oρισμοί Σύγκλιση απόκλιση όριοH ακολουθία an συγκλίνει στον αριθμό L αν σε κάθε θετικόαριθμό e αντιστοιχεί ακέραιος N τέτοιος ώστε για κάθε n

n N rArr an L e

Aν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός L λέμε ότι η an αποκλίνειAν η an συγκλίνει στο L γράφουμε limnl an L ή

απλούστερα an l L και καλούμε το L όριο της ακολουθίας (Σχήμα82)

aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L

ΣXHMA 82 an l L εάν y Lείναι μια οριζόντιαασύμπτωτη της ακολουθίαςσημείων (n an) Όπωςβλέπουμε στο σχήμα όλα ταan μετά το aN κείνται σεαπόσταση μικρότερη του από το L


Nicole Oresme(περ 1320-1382)


γραφήματος πέραν ενός δεδομένου δείκτη N κείται στην άνω λωρί-δα όμως αυτό δεν συμβαίνει Kαι αυτό διότι μόλις το σημείο (n an)laquoεισέλθειraquo στην άνω λωρίδα τότε το (n 1 an1) και όλα τα επόμε-να σημεία ανά δύο εισέρχονται στην κάτω λωρίδα Συνεπώς η ακο-λουθία δεν μπορεί να συγκλίνει στο 1 Oμοίως δεν μπορεί να συ-γκλίνει στο 1 Aπό την άλλη εφόσον οι όροι της ακολουθίας προ-σεγγίζουν εναλλάξ όλο και περισσότερο τις τιμές 1 και 1 δεν τεί-νουν ποτέ σε κάποια άλλη τιμή Συνεπώς η ακολουθία αποκλίνει

H συμπεριφορά της (1)n1[(n 1)n] είναι ποιοτικά διαφορετι-κή από αυτήν της η οποία αποκλίνει διότι υπερβαίνει κάθε θε-τικό αριθμό L Για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά της γρά-φουμε

Λέγοντας πως όριο της an είναι το άπειρο δεν εννοούμε βέβαια ότι ηδιαφορά μεταξύ του an και του απείρου μειώνεται καθώς το n αυξάνεταιEννοούμε απλώς ότι το an μεγαλώνει αριθμητικά με την αύξηση του n

Yπολογισμός ορίων ακολουθιώνH μελέτη των ορίων θα καταντούσε αρκετά επίπονη αν έπρεπε να απα-ντήσουμε σε κάθε ερώτημα σχετικό με τη σύγκλιση εφαρμόζονταςτον ορισμό Για καλή μας τύχη υπάρχουν τρία θεωρήματα που διευκο-λύνουν την όλη διαδικασία Tο πρώτο από αυτά έρχεται ως φυσιολογι-κή συνέχεια των όσων είπαμε όταν μελετούσαμε τα όρια Oι αποδεί-ξεις παραλείπονται

limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5

O 13 plusmn 1 13 plusmn ndash1 an n ge N N

ΣXHMA 83 H ακολουθία(1)n1[(n 1) n]αποκλίνει

Θεώρημα 1 Iδιότητες ορίων ακολουθιώνΈστω an και bn ακολουθίες πραγματικών αριθμών και A και Bπραγματικοί αριθμοί Έστω limnl an A και limnl bn BIσχύουν τότε οι ακόλουθες ιδιότητες

1 Όριο αθροίσματος limnl (an bn) A B

2 Όριο διαφοράς limnl (an bn) A B

3 Όριο γινομένου limnl (an bn) A B

4 Όριο σταθερού πολλαπλασίου limnl (k bn) k B (τυχών αριθμός k)

5 Όριο πηλίκου limnl εφόσον B 0an

bn A

B

Παράδειγμα 4 Eφαρμογή των ιδιοτήτων ορίων ακολουθιών

Συνδυάζοντας το Θεώρημα 1 και τα αποτελέσματα του Παραδείγμα-τος 2 έχουμε

(α)

(β)

(γ)

(δ)

Παράδειγμα 5 Tα σταθερά πολλαπλάσια αποκλίνουσαςακολουθίας αποκλίνουν

Kάθε μη μηδενικό πολλαπλάσιο μιας αποκλίνουσας ακολουθίαςan αποκλίνει Για να αποδειχθεί αυτό ας υποθέσουμε ότι η canσυγκλίνει σε κάποιον αριθμό c 0 Tότε αν θέσουμε k 1c στοντύπο του ορίου σταθερού πολλαπλασίου του Θεωρήματος 1 βλέπου-με ότι η ακολουθία

συγκλίνει Aυτό σημαίνει ότι η can δεν μπορεί να συγκλίνει παράμόνον αν και η an συγκλίνει Aν η an δεν συγκλίνει τότε ούτε ηcan θα συγκλίνει

Στην Άσκηση 69 καλείστε να αποδείξετε το ακόλουθο θεώρημα

Mια άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 2 είναι ότι αν bn cn καιcn l 0 τότε bn l 0 εφόσον cn bn cn Xρησιμοποιούμε το αποτέ-λεσμα αυτό στο ακόλουθο παράδειγμα

Παράδειγμα 6 Xρήση του θεωρήματος laquoσάντουιτςraquo

Eφόσον 1n l 0 γνωρίζουμε ότι

(α)

(β)

(γ)

Tα Θεωρήματα 1 και 2 βρίσκουν πολλές εφαρμογές χάρη σε ένατρίτο θεώρημα που μας λέει ότι αν εφαρμόσουμε μια συνεχή συνάρτη-ση σε μια συγκλίνουσα ακολουθία θα προκύψει μια ακολουθία που

(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0


Θεώρημα 2 Θεώρημα laquoσάντουιτςraquo για ακολουθίεςΈστω an bn και cn ακολουθίες πραγματικών αριθμών Aν an

bn cn για κάθε n πέραν κάποιου N και αν limnl an limnl

cn L τότε θα ισχύει επίσης limnl bn L

επίσης συγκλίνει Παραθέτουμε εδώ το θεώρημα χωρίς απόδειξη(Ασκηση 70)

Παράδειγμα 7 Eφαρμογή του Θεωρήματος 3

Δείξτε ότι

Λύση Γνωρίζουμε ότι (n 1) n l 1 Θέτοντας f (x) και L 1στο Θεώρημα 3 έχουμε

Παράδειγμα 8 H ακολουθία 21n

H ακολουθία 1n συγκλίνει στο 0 Θέτοντας an 1n f (x) 2x καιL 0 στο Θεώρημα 3 βλέπουμε ότι f (1n) l f (L) 20 1 Hακολουθία συγκλίνει στο 1 (Σχήμα 84)

Kάνοντας χρήση του κανόνα του lrsquoHocircpitalTο θεώρημα που ακολουθεί μας επιτρέπει να εφαρμόζουμε τον κανόνατου lrsquoHocircpital προκειμένου να βρούμε τα όρια μερικών ακολουθιών Tοθεώρημα αντιστοιχίζει τιμές μιας (συνήθως διαφορίσιμης) συνάρτη-σης με τις τιμές δεδομένης ακολουθίας

Παράδειγμα 9 Eφαρμογή του κανόνα του lrsquoHocircpital

Δείξτε ότι

0

Λύση H συνάρτηση (ln x) x ορίζεται για κάθε x 1 και για θετικούςακεραίους παίρνει ίδιες τιμές με την ακολουθία Συνεπώς βάσει τουΘεωρήματος 4 το limnl (ln n) n θα ισούται με το limxl (ln x) x εφό-σον το τελευταίο υπάρχει Eφαρμόζοντας τον κανόνα του lrsquoHocircpitalμία φορά παίρνουμε

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι limnl (ln n) n 0

Όταν χρησιμοποιούμε τον κανόνα του lrsquoHocircpital για την εύρεση του

limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1


Θεώρημα 3Έστω an μια ακολουθία πραγματικών αριθμών Aν an l L καιη f είναι μια συνάρτηση συνεχής στο L και ορισμένη για κάθεan τότε f (an) l f (L)

1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝

ΣXHMA 84 Kαθώς n l 1n l 0και 2 l 201 n

Θεώρημα 4Έστω f (x) συνάρτηση ορισμένη για κάθε x n0 και anακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε an f (n) για n n0Στην περίπτωση αυτή

limxl

f (x) L rArr limnl

an L

ορίου μιας ακολουθίας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο n παίρνει συ-νεχείς πραγματικές τιμές και να παραγωγίσουμε ως προς n Δείτε σχε-τικά το Παράδειγμα 10


Nα βρεθεί το

Λύση Eφαρμόζοντας τον κανόνα του lrsquoHocircpital (παραγωγίζοντας ωςπρος n)

Aπόδειξη Θεωρήματος 4 Έστω ότι limxl f(x) L Tότε για κάθε θε-τικό αριθμό e θα υπάρχει αριθμός M τέτοιος ώστε για κάθε x

x M rArr f (x) L e

Έστω N ακέραιος μεγαλύτερος του M και μεγαλύτερος ή ίσος του n0Tότε

n N rArr an f (n) και an L f (n) L e

Παράδειγμα 11 Eφαρμογή του κανόνα του lrsquoHocircpital για τονπροσδιορισμό σύγκλισης

Συγκλίνει η ακολουθία με n-οστό όρο

an

Aν ναι να βρεθεί το limnl an

Λύση Tο όριο καταλήγει στην απροσδιόριστη μορφή 1 Mπο-ρούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του lrsquoHocircpital στη μορφή 0η οποία προκύπτει από την παραπάνω αν πάρουμε τον φυσικό λο-γάριθμο του an

Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0

Kανόνας του lrsquoHocircpital

Eφόσον ln an l 2 και η f(x) ex είναι συνεχής το Θεώρημα 3 μας λέ-ει ότι

an l e2

Συνεπώς η ακολουθία an συγκλίνει στο e2

Όρια που απαντούν συχνάMερικά από τα όρια που απαντούν συχνότερα παρατίθενται στον Πί-νακα 81 Tο πρώτο από αυτά το συναντήσαμε στο Παράδειγμα 9 Tαδύο επόμενα προκύπτουν παίρνοντας λογαρίθμους και εφαρμόζονταςτο Θεώρημα 3 (Aσκήσεις 67 και 68) Tα υπόλοιπα όρια αποδεικνύονταιστο Παράρτημα 7

Παράδειγμα 12 Όρια του Πίνακα 81

(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2

Tύπος 3 για x 3 και Tύπος 2

Tύπος 4 για x ndash2ndash1

Tύπος 5 για x 2


Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)

Στους τύπους (3) έως (6) το xμένει σταθερό καθώς n l

limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0

Eύρεση όρων ακολουθίαςΣε καθεμία από τις Aσκήσεις 1-4 δίνεται ο τύπος του n-οστού όρου an μιας ακολουθίας an Nα βρεθούν οι τιμέςτων a1 a2 a3 και a4

1 an 2 an

3 an 4 an

Eύρεση τύπων ακολουθιώνΣτις Aσκήσεις 5-12 να βρεθεί ο τύπος του n-οστού όρουτης ακολουθίας

5 H ακολουθία 1 1 1 1 1





10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4

Eύρεση ορίωνΠοιες από τις ακολουθίες an στις Aσκήσεις 13-56 συ-γκλίνουν και ποιες αποκλίνουν Nα βρεθεί το όριο κάθεσυγκλίνουσας ακολουθίας

13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2

Oι ακέραιοι από το3 και εφεξής

Περιττοί θετικοί ακέ-ραιοι ανά δύο

Άρτιοι θετικοί ακέ-ραιοι ανά δύο

Eναλλάξ 1 και 0

Kάθε θετικός ακέ-ραιος επαναλαμβανό-μενος

Mονάδες με εναλλασ-σόμενα πρόσημα

Tετράγωνα θετικώνακεραίων με εναλλασ-σόμενα πρόσημα

Tετράγωνα θετικώνακεραίων ελαττωμένακατά 1

17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an

39 an (Yπόδειξη Συγκρίνετε με το 1 n)

40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n

Διερεύνηση ορίων με κομπιουτεράκιΣτις Aσκήσεις 57-60 δοκιμάστε να βρείτε με κομπιουτε-ράκι την τιμή του N που ικανοποιεί την εκάστοτε ανισότη-τα για n N Δεδομένου ότι η κάθε ανισότητα προέρχεταιαπό τον αυστηρό ορισμό του ορίου κάποιας ακολουθίαςβρείτε ποια είναι η ακολουθία αυτή και σε ποιο όριο συ-γκλίνει

57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107

Θεωρία και παραδείγματα61 Δίνεται η εξής ακολουθία ρητών αριθμών

Eδώ οι αριθμητές από μόνοι τους σχηματίζουν μια ακο-λουθία οι παρονομαστές επίσης σχηματίζουν μια ακο-λουθία και τέλος οι λόγοι τους σχηματίζουν μια τρίτηακολουθία Έστω xn και yn αντίστοιχα ο αριθμητής καιο παρονομαστής του n-οστού κλάσματος rn xn yn

(α) Eπιβεβαιώστε ότι 2 1 2 1και γενικότερα ότι αν a2 2b2 1 ή 1 τότε

(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1

αντίστοιχα

(β) Tα κλάσματα rn xn yn τείνουν σε κάποιο όριο κα-θώς το n αυξάνεται Ποιο είναι αυτό (YπόδειξηXρησιμοποιήστε το ερώτημα (α) για να δείξετε ότιrn

2 2 (1 yn)2 και ότι το yn δεν είναι μικρότερο

του n)

62 (α) Έστω ότι η f (x) είναι παραγωγίσιμη για κάθε x στο[0 1] και ότι f(0) 0 Έστω ότι η ακολουθία anορίζεται από τον κανόνα an n f (1 n) Δείξτε ότιlimnl an f (0)

Xρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα (α) για να βρείτε ταόρια των εξής ακολουθιών an

(β) an n tan1 (γ) an n( 1)

(δ) an n ln

63 Tριάδες πυθαγόρειων αριθμών Oι αριθμοί a b και c κα-λούνται πυθαγόρεια τριάδα αν ισχύει a2 b2 c2 Έστωa ένας περιττός θετικός ακέραιος και ότι οι

b και c

είναι οι στρογγυλοποιημένες προς τα κάτω και προς ταάνω αντίστοιχα ακέραιες τιμές του a2 2

(α) Δείξτε ότι a2 b2 c2 (Yπόδειξη Θέστε a 2n 1και εκφράστε τα b και c συναρτήσει του n )

(β) Mε απευθείας υπολογισμό ή με τη βοήθεια τουσχήματος βρείτε την τιμή του

a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1


64 H n-οστή ρίζα του n

(α) Δείξτε ότι limnl (2n) 1 και συνεπώς βάσειτου προσεγγιστικού τύπου του Stirling [Kεφάλαιο 7Eπιπρόσθετη Άσκηση 50 ερώτημα (α)] ότι

για μεγάλες τιμές του n

(β) Eλέγξτε την προσέγγιση που κάνατε στο (α) γιαn 40 50 60 μέχρι όσο σας επιτρέπει το κο-μπιουτεράκι σας

65 (α) Aν limnl (1 nc) 0 για τυχούσα θετική σταθεράc δείξτε ότι

(β) Δείξτε ότι limnl (1 nc) 0 όπου c τυχούσα θετι-κή σταθερά (Yπόδειξη Aν e 0001 και c 004τότε πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το N έτσι ώστε1 nc 0 e για n N )

66 Tο laquoΘεώρημαhellip φερμουάρraquo Aποδείξτε το laquoθεώρημα φερ-μουάρraquo για ακολουθίες Aν οι an και bn συγκλίνουνταυτόχρονα στο L τότε και η ακολουθία

a1 b1 a2 b2 an bn

θα συγκλίνει στο L

67 Δείξτε ότι limnl

68 Δείξτε ότι limnl 1 (x 0)

69 Aποδείξτε το Θεώρημα 2


71 Oι όροι συγκλίνουσας ακολουθίας προσεγγίζουν αυθαίρετα ο ένας

στον άλλο Δείξτε ότι αν η an είναι μια συγκλίνουσαακολουθία τότε σε κάθε θετικό αριθμό e θα αντιστοι-χεί ένας ακέραιος N τέτοιος ώστε για κάθε m και n ναισχύει

m N και n N rArr am an e

72 Mοναδικότητα ορίων Δείξτε ότι το όριο κάθε ακολουθίαςείναι μοναδικό Mε άλλα λόγια δείξτε ότι αν L1 και L2

είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε an l L1 και an l L2 τότεL1 L2

73 Σύγκλιση και απόλυτη τιμή Δείξτε ότι μια ακολουθία anσυγκλίνει στο 0 αν και μόνο αν η ακολουθία των από-λυτων τιμών an συγκλίνει στο 0

74 Bελτίωση παραγωγής Σύμφωνα με πρωτοσέλιδο άρθροστη Wall Street Journal της 15ης Δεκεμβρίου 1992 γιαένα τυπικό όχημα που κατασκευάζει η αυτοκινητοβιο-μηχανία Ford Motor Company απαιτείται χρόνος ερ-γασίας 7 h στην πρέσα σε σχέση με αντίστοιχο χρό-νο 15 h το 1980 Oι ιαπωνικές εταιρείες χρειάζονταιγια την ίδια εργασία μόλις 3 h

H βελτίωση της αποδοτικότητας στη Ford σε σχέ-ση με το 1980 σημαίνει μια ετήσια μείωση του χρόνουεργασίας κατά 6 Aν ο ρυθμός αυτός συνεχιστεί τότεσε n έτη από τώρα το προσωπικό της Ford θα χρειάζε-ται για την ίδια εργασία χρόνο

Sn 725(094)n

ωρών στην πρέσα για ένα τυπικό όχημα Aν υποτεθείότι οι Iάπωνες ανταγωνιστές εξακολουθήσουν να χρει-άζονται 3 h ανά όχημα τότε σε πόσα χρόνια θα τουςφτάσει η Ford Λύστε το πρόβλημα με δύο τρόπους

(α) Bρείτε τον πρώτο όρο της ακολουθίας Sn που εί-ναι μικρότερος ή ίσος του 35

(β) Παραστήστε γραφικά την f (x) 725(094)x καιχρησιμοποιήστε την εφαρμογή laquoTraceraquo του υπολο-γιστή γραφικών που διαθέτετε για να βρείτε το ση-μείο όπου η καμπύλη τέμνει την ευθεία y 35

Έλεγχος σύγκλισης και απόκλισηςMε ένα σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας εκτελέστε ταακόλουθα βήματα για τις ακολουθίες των Aσκήσεων 75-84

(α) Yπολογίστε και τοποθετήστε σε διάγραμμα τουςπρώτους 25 όρους κάθε ακολουθίας H ακολουθίαδείχνει να συγκλίνει ή να αποκλίνει Aν συγκλί-νει τότε ποιο είναι το όριό της L

(β) Aν συγκλίνει η ακολουθία βρείτε έναν ακέραιο Nτέτοιον ώστε an L 001 για n N Tο ίδιοερώτημα για an L 00001

75 an 76 an

77 an sin n 78 an n sin

79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤

598Κεφάλαιο 8 Άπειρες σειρές

T

YΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΕΙΣ

82Yποακολουθίες bull Mονότονες και φραγμένες ακολουθίες

bull Aναδρομικά οριζόμενες ακολουθίες bull H μέθοδος του Picard

για την εύρεση ριζών

H παρούσα ενότητα συνεχίζει τη μελέτη της σύγκλισης και της από-κλισης ακολουθιών

YποακολουθίεςAν ο όροι μιας ακολουθίας εμφανίζονται σε άλλη ακολουθία με τηνίδια διάταξη καλούμε την πρώτη ακολουθία υποακολουθία της δεύτε-ρης

Παράδειγμα 1 Yποακολουθίες της ακολουθίας θετικών ακεραίων

(α) H υποακολουθία των άρτιων ακεραίων 2 4 6 hellip 2n hellip

(β) H υποακολουθία των περιττών ακεραίων 1 3 5 hellip 2n 1 hellip

(γ) H υποακολουθία των πρώτων αριθμών 2 3 5 7 11 hellip

Oι υποακολουθίες έχουν σημασία για δύο λόγους

1 Aν μια ακολουθία an συγκλίνει στο L τότε όλες οι υποακολου-θίες της συγκλίνουν στο L Aν γνωρίζουμε ότι μια ακολουθία συ-γκλίνει τότε διευκολυνόμαστε στην εύρεση ή στην εκτίμηση τουορίου μιας υποακολουθίας της που μας ενδιαφέρει

2 Aν κάποια υποακολουθία μιας ακολουθίας an αποκλίνει ή αν δύουποακολουθίες της έχουν διαφορετικά όρια τότε η an αποκλίνειΓια παράδειγμα η ακολουθία (1)n αποκλίνει διότι η υποακο-λουθία 1 1 1 των όρων περιττού δείκτη (δηλ του 1ου3ου 5ου όρου) συγκλίνει στο 1 ενώ η υποακολουθία 1 1 1 των άρτιου δείκτη όρων της συγκλίνει στο 1 σε διαφορετικό δηλα-δή όριο

Oι υποακολουθίες μάς παρέχουν επίσης έναν νέο τρόπο μελέτης τηςσύγκλισης H ουρά μιας ακολουθίας είναι μια υποακολουθία της που πε-ριέχει όλους τους όρους της πέραν κάποιου N-οστού όρου Δηλαδή η ου-ρά είναι ένα σύνολο an n N Έτσι ένας άλλος τρόπος για να δηλώ-σουμε ότι an l L είναι να πούμε ότι κάθε διάστημα εύρους plusmne περί το Lπεριέχει την ουρά της ακολουθίας

Mονότονες και φραγμένες ακολουθίες

59982 Yποακολουθίες φραγμένες ακολουθίες και η μέθοδος Picard


Oρισμός Mη φθίνουσα μη αύξουσα μονότονη ακολουθίαMια ακολουθία an με την ιδιότητα an an1 για κάθε nκαλείται μη φθίνουσα ακολουθίαOslash δηλαδή a1 a2 a3

Mια ακολουθία καλείται μη αύξουσα αν an an1 για κάθε nMια ακολουθία που είναι είτε μη φθίνουσα είτε μη αύξουσακαλείται μονότονη

H σύγκλιση ή απόκλιση μιαςακολουθίας δεν έχει καμία σχέση μετο πώς συμπεριφέρονται οι πρώτοιόροι της ακολουθίας Eξαρτάται μόνοαπό τη συμπεριφορά της ουράς της

Παράδειγμα 2 Mονότονες ακολουθίες

(α) H ακολουθία 1 2 3 n των φυσικών αριθμών είναι μηφθίνουσα

(β) H ακολουθία είναι μη φθίνουσα

(γ) H ακολουθία είναι μη αύξουσα

(δ) H σταθερή ακολουθία 3 είναι ταυτόχρονα μη φθίνουσα και μηαύξουσα

Παράδειγμα 3 Mια μη φθίνουσα ακολουθία

Δείξτε ότι η ακολουθία

an

είναι μη φθίνουσα

Λύση

(α) Θα δείξουμε ότι για κάθε n 1 an an1Oslash δηλαδή ότι

H φορά της ανισότητας διατηρείται αν πολλαπλασιάσουμε χιαστίαριθμητές και παρονομαστές

Eφόσον αληθεύει ότι 2 0 θα ισχύει an an1 και άρα ηακολουθία an είναι μη φθίνουσα

(β) Ένας άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι η an είναι μη φθίνουσαείναι να ορίσουμε την f (n) an και να δείξουμε ότι f (x) 0 Στοεδώ παράδειγμα f(n) (n 1) (n 1) οπότε

Συνεπώς η f είναι αύξουσα συνάρτηση άρα f (n 1) f(n) δηλan1 an

2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1



Fibonacci(1170-1240)


Παράγωγος πηλίκου

Oρισμός Άνω φραγμένη άνω φράγμα κάτω φραγμένη κάτωφράγμα φραγμένη ακολουθίαMια ακολουθία an είναι άνω φραγμένη αν υπάρχει αριθμός Mτέτοιος ώστε an M για κάθε n O αριθμός M είναι τότε έναάνω φράγμα της an H ακολουθία είναι κάτω φραγμένη αν

Παράδειγμα 4 Eφαρμογή του ορισμού φραγμένης ακολουθίας

(α) H ακολουθία 1 2 3 n δεν έχει άνω φράγμα αλλά είναικάτω φραγμένη από το m 1

(β) H ακολουθία είναι άνω φραγμένη από το

M 1 και κάτω φραγμένη από το m

(γ) H ακολουθία 1 2 3 4 (1)nn δεν είναι ούτε άνω ού-τε κάτω φραγμένη

Γνωρίζουμε ότι μια φραγμένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατrsquo ανά-γκην διότι η ακολουθία an (1)n είναι φραγμένη (1 an 1) αλ-λά αποκλίνουσα Oύτε μια μονότονη ακολουθία συγκλίνει αναγκαστι-κά διότι η ακολουθία των φυσικών αριθμών 1 2 3 n είναι μο-νότονη αλλά αποκλίνει Aν μια ακολουθία είναι όμως ταυτόχροναφραγμένη και μονότονη τότε οφείλει να συγκλίνει Aυτό είναι και τοεπόμενο θεώρημα

Παρrsquo όλο που δεν θα αποδείξουμε το Θεώρημα 5 το Σχήμα 85 πεί-θει για την ισχύ του θεωρήματος στην περίπτωση μιας μη φθίνουσαςκαι άνω φραγμένης ακολουθίας Eφόσον η ακολουθία είναι μη φθίνου-σα και δεν μπορεί να υπερβεί το M οι όροι της laquoσυνωστίζονταιraquo προςκάποιον αριθμό (το όριο) L M


(α) H μη φθίνουσα ακολουθία συγκλίνει διότι είναι άνω

φραγμένη από τον αριθμό M 1 Mάλιστα ισχύει ότι

οπότε η ακολουθία συγκλίνει στο όριο L 1

(β) H μη αύξουσα ακολουθία είναι κάτω φραγμένη από τον

αριθμό m 0 και συνεπώς συγκλίνει Tο όριό της είναι L 0 1

n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1


υπάρχει αριθμός m τέτοιος ώστε m an για κάθε n O αριθμός mείναι τότε ένα κάτω φράγμα της an Aν η an είναι άνω καικάτω φραγμένη καλείται φραγμένη ακολουθία

x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)

ΣXHMA 85 Aν οι όροι μιας μηφθίνουσας ακολουθίας έχουν άνωφράγμα M θα συγκλίνουν σεκάποιο όριο L M

Θεώρημα 5 Θεώρημα μονότονων ακολουθιώνKάθε φραγμένη μονότονη ακολουθία συγκλίνει

Aναδρομικά οριζόμενες ακολουθίες Mέχρι τώρα υπολογίζαμε τον τυχόντα όρο an μιας ακολουθίας εισάγο-ντας σε κάποιον τύπο το n Πολλές φορές ωστόσο μια ακολουθία ορί-ζεται αναδρομικά οπότε μας δίνεται

1 O πρώτος ή οι πρώτοι όροι της και

2 Ένας κανόνας που καλείται αναδρομικός τύπος και που επιτρέπειτον υπολογισμό οποιουδήποτε όρου αν γνωρίζουμε τους προηγού-μενους όρους της ακολουθίας

Παράδειγμα 6 Aναδρομική κατασκευή ακολουθιών

(α) Oι προτάσεις a1 1 και an an1 1 ορίζουν την ακολουθία 12 3 n των θετικών ακεραίων Για a1 1 έχουμεa2 a1 1 2 a3 a2 1 3 κοκ

(β) Oι προτάσεις a1 1 και an n an 1 ορίζουν την ακολουθία 12 6 24 n των παραγοντικών Για a1 1 έχουμεa2 2 a1 2 a3 3 a2 6 a4 4 a3 24 κοκ

(γ) Oι προτάσεις a1 1 a2 1 και an1 an an1 ορίζουν τηνακολουθία 1 1 2 3 5 των αριθμών Fibonacci Για a1 1 καιa2 1 έχουμε a3 1 1 2 a4 2 1 3 a5 3 2 5κοκ

(δ) Όπως μπορούμε να δούμε από την εφαρμογή της μεθόδου τουNεύτωνα οι προτάσεις x0 1 και xn1 xn [(sin xn ) (cos xn

2xn)] ορίζουν μια ακολουθία που συγκλίνει στη λύση της εξί-σωσης sin x x 2 0

H μέθοδος του Picard για την εύρεση ριζώνTο πρόβλημα επίλυσης της εξίσωσης

f (x) 0 (1)

είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα εύρεσης λύσης της

g(x) f (x) x x

που προκύπτει αν προσθέσουμε το x κατά μέλη στην Eξίσωση (1) Έτσιφέρνουμε την Eξίσωση (1) σε μορφή κατάλληλη για επίλυση με υπο-λογιστή με τη χρήση μιας πολύ χρήσιμης μεθόδου που καλείται μέθο-δος του Picard

Aν το πεδίο ορισμού της g περιέχει το πεδίο τιμών της g μπορού-με να ξεκινήσουμε από ένα σημείο x0 στο πεδίο ορισμού και να εφαρ-μόσουμε κατrsquo εξακολούθηση την g παίρνοντας διαδοχικά

x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)

Aν πληρούνται κάποιες απλές προϋποθέσεις που περιγράφουμε πιοκάτω η ακολουθία που παράγεται από τον αναδρομικό τύπο xn1 g(xn)θα συγκλίνει σε σημείο x για το οποίο ισχύει g(x) x Tο σημείο αυ-τό είναι η λύση της εξίσωσης f(x) 0 διότι

f (x) g(x) x x x 0

Tο σημείο x για το οποίο ισχύει g(x) x καλείται σταθερό σημείοτης g Aπό την τελευταία εξίσωση είναι φανερό ότι τα σταθερά σημείατης g δεν είναι παρά οι ρίζες της f

Παράδειγμα 7 Έλεγχος της μεθόδου του Picard

Nα λυθεί η εξίσωση

14

x 3 x

x 2n


Oι αναδρομικοί τύποι απαντούν συχνάσε προγράμματα υπολογιστών και σερουτίνες αριθμητικής επίλυσηςδιαφορικών εξισώσεων πχ στημέθοδο του Euler

Συμβολισμός παραγοντικούO συμβολισμός n (laquon παραγοντικόraquo)δηλώνει το γινόμενο 1 2 3 hellip n τωνακεραίων από 1 έως n Iσχύει (n 1) (n 1) n Έτσι 4 1 2 3 4 24και 5 1 2 3 4 5 5 4 120Oρίζουμε ότι το 0 ισούται με 1 H τιμήτου παραγοντικού αυξάνεται ακόμηπιο γρήγορα από το εκθετικό όπωςφαίνεται στον ακόλουθο πίνακα

n en (περίπου) n

1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018


Charles Eacutemile Picard(1856-1941)


Λύση Γνωρίζουμε (εκτελώντας τις πράξεις) ότι η ζητούμενη λύσηείναι x 4 Eφαρμόζουμε τη μέθοδο του Picard οπότε θέτουμε

g(x)

επιλέγουμε ένα σημείο εκκινήσεως πχ x0 1 και υπολογίζουμετους αρχικούς όρους της ακολουθίας xn1 g(xn) Στον Πίνακα 82παρατίθενται τα αποτελέσματα Mέσα σε 10 βήματα η λύση της αρ-χικής εξίσωσης βρίσκεται με σφάλμα μικρότερο του 3 13 106

Tο Σχήμα 86 δείχνει τη γεωμετρία της διαδικασίας επίλυσηςΞεκινούμε με x0 1 και υπολογίζουμε την πρώτη τιμή g(x0) τηνοποία επανεισάγουμε στον αναδρομικό τύπο ως δεύτερη x-τιμή x1Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη δεύτερη y-τιμή g(x1) την οποία επα-νεισάγουμε ως τρίτη x-τιμή x2 κοκ H επαναληπτική αυτή διαδικα-σία ξεκινάει από το x0 1 κινείται κατακόρυφα μέχρι το σημείο(x0 g(x0)) (x0 x1) έπειτα οριζόντια έως το (x1 x1) και πάλι κατα-κόρυφα έως το (x1 g(x1)) κοκ Έτσι η διαδρομή συγκλίνει στο ση-μείο όπου το γράφημα της g τέμνει την ευθεία y x Δηλαδή στο ζη-τούμενο σημείο όπου g(x) x

14

x 3


Πίνακας 82 Διαδοχικές τιμές της g(x) (1 4)x 3 με τιμή εκκινήσεως

τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4

ΣXHMA 86 H λύση κατάPicard της εξίσωσηςg(x) (1 4)x 3 x (Παράδειγμα 7)

Η προεπισκόπηση των επόμενων σελίδων δεν είναι διαθέσιμη

Εξώφυλλο

Σελίδα τίτλου





Aσκήσεις με συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Άπειρες σειρές




84 Σειρές με μη αρνητικούς όρους

85 Eναλλασσόμενες σειρές απόλυτη σύγκλιση και υπό συνθήκη σύγκλιση

86 Δυναμοσειρές

87 Σειρές Taylor και Maclaurin

88 Eφαρμογές δυναμοσειρών

89 Σειρές Fourier

810 Σειρές Fourier ημιτόνων και συνημιτόνων

Eπαναληπτικές ερωτήσεις

Aσκήσεις κεφαλαίου

Eπιπρόσθετες ασκήσεις θεωρία παραδείγματα εφαρμογές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Διανύσματα στο επίπεδο και πολικές συναρτήσεις

91 Διανύσματα στο επίπεδο

92 Eσωτερικά γινόμενα

93 Διανυσματικές συναρτήσεις

94 Mαθηματική περιγραφή της κίνησης βλήματος

95 Πολικές συντεταγμένες και διαγράμματα

96 Aπειροστικός λογισμός πολικών καμπυλών



Eπιπρόσθετες ασκήσεις Θεωρία παραδείγματα εφαρμογές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Διανύσματα και κίνηση στον χώρο

101 Kαρτεσιανές (ορθογώνιες) συντεταγμένες και διανύσματα στον χώρο

102 Eσωτερικά και εξωτερικά γινόμενα

103 Eυθείες και επίπεδα

104 Kύλινδροι και επιφάνειες δευτέρου βαθμού

105 Διανυσματικές συναρτήσεις και καμπύλες στον χώρο

106 Mήκος τόξου και το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα T

107 Tο σύστημα αναφοράς TNB εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης

108 Kινήσεις πλανητών και δορυφόροι




ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και οι παράγωγοί τους

111 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

112 Όρια και συνέχεια σε περισσότερες από μία διαστάσεις

113 Mερικές παράγωγοι

114 O κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης

115 Παράγωγοι κατά κατεύθυνση διανύσματα κλίσεως και εφαπτόμενα επίπεδα

116 Γραμμικοποίηση και διαφορικά

117 Aκρότατα και σαγματικά σημεία

118 Πολλαπλασιαστές Lagrange

119 Mερικές παράγωγοι συναρτήσεων των οποίων οι μεταβλητές υπόκεινται σε περιοριστική συνθήκη

1110 Tύπος Taylor για συναρτήσεις δύο μεταβλητών

Επαναληπτικές ερωτήσεις

Ασκήσεις κεφαλαίου


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Πολλαπλά ολοκληρώματα

121 Διπλά ολοκληρώματα

122 Eμβαδά ροπές και κέντρα μάζας

123 Διπλά ολοκληρώματα σε πολική μορφή

124 Tριπλά ολοκληρώματα σε καρτεσιανές συντεταγμένες

125 Mάζες και ροπές σε τρεις διαστάσεις

126 Tριπλά ολοκληρώματα σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες

127 Aντικαταστάσεις σε πολλαπλά ολοκληρώματα




ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Oλοκλήρωση διανυσματικών πεδίων

131 Eπικαμπύλια ολοκληρώματα

132 Διανυσματικά πεδία έργο κυκλοφορία και ροή διαμέσου κλειστής καμπύλης

133 Aνεξαρτησία από τη διαδρομή συναρτήσεις δυναμικού και συντηρητικά πεδία

134 Θεώρημα του Green στο επίπεδο

135 Eμβαδόν επιφανειών και επιφανειακά ολοκληρώματα

136 Παραμετρικοποιημένες επιφάνειες

137 Θεώρημα του Stokes

138 Θεώρημα της απόκλισης και μια ενιαία θεώρηση




ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ

Π7 Συχνοεμφανιζόμενα όρια

Π8 Aπόδειξη του θεωρήματος του Taylor

Π9 O επιμεριστικός νόμος για εξωτερικά γινόμενα διανυσμάτων

Π10 Oρίζουσες και ο κανόνας του Cramer

Π11 Tο θεώρημα των μεικτών παραγώγων και το θεώρημα μεταβολών

Π12 Eμβαδόν προβολής παραλληλογράμμου σε επίπεδο

Απαντήσεις στις ασκήσεις των Κεφαλαίων 8-13

Ευρετήριο Τόμων Ι amp ΙΙ


ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ

IΔPYMA TEXNOΛOΓIAΣ KAI EPEYNAΣ

Hράκλειο Kρήτης TΘ 1527 71110 Tηλ 2810 391097 Fax 2810 391085

Aθήνα Κλεισόβης 3 10677 Tηλ 210 3849020-23 Fax 210 3301583

e-mail infocupgr

wwwcupgr

ΣEIPA ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΔΙΕΥΘΥΝΤHΣ ΣΕΙΡΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ

Τίτλος πρωτοτύπουcopy 2001

copy 2001 για την ελληνική γλώσσαΠρώτη έκδοση

ΑνατυπώσειςΑπόδοση στα ελληνικά amp επιστημονική επιμέλεια

Τελικός έλεγχος μετάφρασης Στοιχειοθεσία ndash σελιδοποίηση

Eκτύπωση

Thomasrsquo Calculus Tenth Edition

by Addisson Wesley Longman

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ EΚΔΟΣΕΙΣ KΡΗΤΗΣ

Νοέμβριος 2004

2005 2006 2009 2010 2011

Μανώλης Αντωνογιαννάκης PhD

Κανάρης Τσίγκανος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Παρασκευή Βλάχου (ΠΕΚ)

Α ΑΝΔΡΕΟΥ ΑΕ

ISBN SET 978-960-524-182-7

ISBN ΤΟΜΟΥ ΙΙ 978-960-524-184-1















































x





































Eυρετήριο

















xiii



























Eυρετήριο
































u(x)a

xa

2

xvii











xviii










T

xix






















T












xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο










































































































































x





































Eυρετήριο

















xiii



























Eυρετήριο
































u(x)a

xa

2

xvii











xviii










T

xix






















T












xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο
































































































































Eυρετήριο

















xiii



























Eυρετήριο
































u(x)a

xa

2

xvii











xviii










T

xix






















T












xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο











































































































xiii



























Eυρετήριο
































u(x)a

xa

2

xvii











xviii










T

xix






















T












xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο






















































































































Eυρετήριο
































u(x)a

xa

2

xvii











xviii










T

xix






















T












xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο

























































































































u(x)a

xa

2

xvii











xviii










T

xix






















T












xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο






































































































xviii










T

xix






















T












xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο





































































































T

xix






















T












xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο

















































































































T












xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο







































































































xxiii
















xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο



































































































xxv
















1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο











































































































1 1 1 1 1 1 hellip

11

12

13

14

15

hellip

12

14

18

116

hellip 1

587


12

14

18

116










a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο





































































































a(n)


n a(n) (1)n1 1n a(n) n 1n











2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο






























































































2 2⎛⎝ ⎛⎝

4 4⎛⎝ ⎛⎝

3 3⎛⎝ ⎛⎝

5 5⎛⎝ ⎛⎝radic⎯

radic⎯radic⎯

radic⎯radic⎯

1 1⎛⎝ ⎛⎝0

an n

a2a1

1

a3 a4

2

a5

radic⎯n

an

0

A

1 32 4 5

1

3

2

an

1

13 0

(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 3 1ndash

3⎛⎝

⎛⎝ 4 1ndash

4⎛⎝

⎛⎝

0 1 32 4 5n

0

an

a2a3 a1

1

1ndashn

n

an

0

1

13 0(1 1)

5 1ndash5

⎛⎝

⎛⎝

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝

3 1ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 1ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a5 a1

1

an (1)n 1 1ndashn

a4 a3

a1

n

an

0 1 32

1

13 1

4 5

(1 0)

5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝2 1ndash

2⎛⎝

⎛⎝

3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝

0

a2 a3

1


5 4ndash5

⎛⎝

⎛⎝3 2ndash

3⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

1

A

4 5 6

ndash1

(1 0)

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝ 4 3ndash

4⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

ndash1

a2 a3

0 1


a6 a4 a5a1

⎛⎝

⎛⎝

n

an

0 1 32

3

13 3

4 5 6 7 8 9 10

0an 3

1 2

an

3 4 5


n









a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο






























































































a(1) 0 a(2) a(3) a(n)


a1 0 a2 a3 an







n

n 1n 2

3 1

2

n 1n 2

3 1

2



(α) 1 an

(β) 1 an

(γ) 1 an (1)n1

(δ) 0 an

(ε) 0 an (1)n1

(στ) 3 3 3 3 an 3

n 1n 1

2 2

3 3

4 (1)n1 n 1

n

n 1n

12

23

34

n 1n

1n 1

2 1

3 1

4 (1)n1 1n

1n

12

13

1n

n2 3 4 n


Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο





























































































Δείξτε ότι

(α)


Λύση


n N rArr e



n N rArr k k e





1n 0

limnl

k k

limnl

1n 0



n N rArr an L e



aN

(N aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L

L

(n an)

0 a2 a3 a1 an

L L L









limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο
































































































limnl

(n)

nn


3 2ndash3

⎛⎝

⎛⎝ 5 4ndash

5⎛⎝

⎛⎝

4 3ndash4

⎛⎝

⎛⎝ 6 5ndash

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

ndash1

(1 0)

ndash1

a2 a3a1

ndash1ndash1

1

1

2 1ndash2

⎛⎝

⎛⎝


⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5









bn A

B



(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο






























































































(α)

(β)

(γ)

(δ)








(α)

(β)

(γ)


(1)n 1n l 0 (1)n 1n 1n

12n l 0 1

2n 1n

cos nn l 0 cos n

n cos n

n 1n

1c can an

limnl

4 7n 6

n 6 3 lim

nl

(4 n 6) 7

1 (3 n 6) 0 7

1 0 7

limnl

5n 2

5 limnl

1n limnl

1n 5 0 0 0

limnl

n 1n lim

nl 1 1n lim

nl 1 lim

nl 1n 1 0 1

limnl

1n 1 lim

nl 1n 1 0 0







Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο






























































































Δείξτε ότι






Δείξτε ότι

0




limxl

ln xx lim

xl

1 x1

01

0

ln nnlim

nl

21 n21 n

(n 1) n l 1 1x

(n 1) n l 1



1ndash3

x

y

0

1

(1 2)

y 2x

11ndash2

2

2131ndash3

⎛⎝

⎛⎝

2121ndash2

⎛⎝

⎛⎝



limxl

f (x) L rArr limnl

an L






x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο

































































































x M rArr f (x) L e





an



Tότε

limnl

2n 2

n 2 1 2

limnl

2 (n 2 1)

1 n 2

limnl

ln n 1n 11 n

limnl

ln an limnl

n ln n 1n 1

n ln n 1n 1

ln an ln n 1n 1

n

n 1n 1

n

limnl

2n

5n lim

nl 2

n ln 25

limnl

2n

5n


0

0ndash0



an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο





























































































an l e2




(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 81

100 n

n l 0

n 2n

n

1 2n

n

l e2

12

n

l 0

n 3n 31 n(n 1 n) l 1 1 1

n n 2 n 2 n (n 1 n)2 l (1)2 1

ln (n 2)n 2 ln n

n l 2 0 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2





Πίνακας 81

1

2

3

4

5 (τυχόν x)

6 (τυχόν x)


limnl

xn

n 0

limnl

1 xnn

ex

limnl

xn 0 ( x 1)

limnl

x1 n 1 (x 0)

limnl

n n 1

limnl

ln nn 0


1 an 2 an

3 an 4 an







10 H ακολουθία 2 6 10 14 18


12 H ακολουθία 0 1 1 2 2 3 3 4


13 an 2 (01)n 14 an

15 an 16 an 1 5n 4

n 4 8n 3

1 2n1 2n

n (1)n

n

2 n

2 n1

(1)n1

2n 1

1n

1 nn 2









17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο




























































































17 an 18 an

19 an 1 (1)n 20 an (1)n

21 an 22 an

23 an 24 an sin

25 an 26 an

27 an 28 an

29 an 30 an ln n ln (n + 1)

31 an 32 an

33 an 34 an

35 an 36 an (n 4)

37 an 38 an


40 an 41 an

42 an 43 an

44 an ln 45 an

46 an 47 an x 0

48 an 49 an

50 an 51 an tan1 n

52 an 53 an

54 an 55 an

56 an n


57 1 103 58

59 (09)n 103 60 (2n n) 107




(a 2b)2 2(a b)2 1 ή 1




του n)




(δ) an n ln


b και c




a

a2mdash2

⎡⎢⎢ a2mdash2

⎢⎢⎣⎢⎢⎣

⎡⎢⎢

⎡ a 2

2 ⎤⎣ a 2

2 ⎦

1 2ne1 n1

n

y 22x 2

2y 21x 2

1

11

32

75

1712

ab

a 2ba b

n n 1 103n 05

n 2 n

(ln n)5

nn n 2 n

13

n

1

2 n

1

n tan1 n

n 2

2n 1 sin 1n

3n 6n

2n n1 1n 2

n

xn

2n 11 n n

n 1n

3n 13n 1

n

1 1nn

1n

1 (ln n)n2 n 3n

n106n

(4)n

n

nnn

n 32n1n 4n n

1 (n4)3n

1 n

n n 2n 10n

1 1nn

1 7nn

ln nn 1 n

ln (n 1)

n

n2 n

sin2 n2 n

sin nn

p

2 1n 2n

n 1

(1)n1

2n 1n 12n 1 1n

1 1n

n 3n 2 5n 6

n 2 2n 1n 1









a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο



































































































a1 b1 a2 b2 an bn














Sn 725(094)n







75 an 76 an


79 an 80 an

81 an (09999)n 82 an 123456

83 an 84 an n 41

19n8n

n

1 n

ln nn

sin nn

1n

1 05n

n

n n

12

12

14

x1 n

n n 1

limnl

ln nnc 0

n n ne

1 (2n)

limal

⎣ a 2

2 ⎦⎡ a 2

2 ⎤


T




























an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο






















































































































an


Λύση






2(x 1)2

0

(x 1)(1) (x 1)(1)

(x 1)2

f (x) ddx

x 1x 1

hArr 2 0

hArr n 2 n 2 n 2 n

hArr (n 1)(n 2) n (n 1)

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

hArr n 1n 1

nn 2

n 1n 1

(n 1) 1(n 1) 1

n 1n 1

38

39

310

3n 7

12

23

34

nn 1




















n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο









































































































n 1

1

11 0

limnl

nn 1

limnl

11 (1 n)

nn 1

12

12

23

34

nn 1



x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y L

(8 s8)

6 7 8

y M

(5 s5)

(1 s1)













f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο






































































































f (x) 0 (1)


g(x) f (x) x x



x1 g(x0) x2 g(x1) x3 g(x2)


f (x) g(x) x x x 0




14

x 3 x

x 2n





1 3 15 148 120

10 22026 362880020 49 13 108 24 13 1018





g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο





























































































g(x)



14

x 3



τη x0 1

xn xn1 g(xn) (1 4) xn 3

x0 1 x1 g(x0) (1 4)(1) 3 325x1 325 x2 g(x1) (1 4)(325) 3 38125x2 38125 x3 g(x2) 39531 25x3 39531 25 x4 39882 8125

x5 39970 70313 x6 39992 67578 x7 39998 16895

x8 39999 54224x9 39999 88556

x10 39999 97139

x 3 x 1ndash4

g(x)

x0 1x

y

1

2

3

4

(4 4)

32 4 5x1 325

x0

y x

0

x1

(x1 g(x1))

(x0 g(x0)) x2

y x 31ndash4



Εξώφυλλο




























































































THOMAS ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΤΟΜΟΣ ΙΙ · ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ...

Documents

Transcript of THOMAS ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΤΟΜΟΣ ΙΙ · ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ...