60 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

of 28 /28
ΑΣΚΗΣΗ 121 (από Περικλή Παντούλα) Έστω η συνεχής συνάρτηση , με για κάθε , ώστε να ισχύει , για κάθε α. Να δείξετε ότι για κάθε β. Να βρείτε τον τύπο της γ. Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης όταν δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση με είναι σταθερή. ε. Nα αποδείξετε ότι για κάθε ΑΣΚΗΣΗ 122 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται η συνάρτηση . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της έχει σημεία καμπής. γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε Επιμέλεια: parmenides51 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Α’ ΕΚΔΟΣΗ:10/02/2012

Embed Size (px)

Transcript of 60 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

121 ( ) : f R R , ( ) 0 f x x R , ( )( )1201tf x x dtf xt +, x R . ( ) 0 f x > x R . f. f x . ( )( )xxtg x dtf t x R . . N ( ) ( ) f b f a b a , a b R 122 ( ) 112( )xtfx e dt.. . . f . . fC (2, (2)) A f. ( ) 2 fx ex e 1 x >. E fC, ' x x 2 x 4 x , 2 E e : .- .( K) : parmenides51 - 60 :10/02/2012 123 ( ) f :[0,1] R 1( ) ( ) ( )xf x xfx f t dt + [0,1] x. f [0,1]. 0(0,1) x 100( ) (1) ( ) f x f f t dt +. 1( ) ( )xfx x f t dt c + c R (0) (1) f f . f (0,1) , 2(1)( )1ff +: .-.( K) 124 ( pito) 2201( ) ln( 1)1xfx x x dtt + + +. f . . 342010 ln 21dtt< . g [ ]0,1 [ ]0,1 20( )2 11 ( )xg tx dtf t + [ ]0,1: .( ) : parmenides51 128 ( ) [ ]: 1, 2 f R ( ) 0 f x < [ ]1, 2 x (1) 0, (2) 2, (2) 1 f f f . f . y x f. ( )01, 2 x 0( ) 1 f x < .: i. ( ) (1) (2) ( )1 2fx f f fxx x > ( ) 1, 2 x ii. ( ) 2( 1) fx x [ ]1, 2 x iii. 21( ) 1 fx dx . 2 x y + fC. ( )1 2, 1, 2 1 2 .. h x 0 >h x 0 ( ) ( ) fx dx g x dx < [ ],o : : parmenides51 ( ) ( ) f g .o o . ( )( ) ( )xg x dxf gh h _ _ , , ( ) h0 0. 130 ( ) [1, 2] f ( ) 0 fx [1, 2] x221xxt tf dtx x _ ,.. (1, 2) 1( ) f 1 2( ) ( ) ( )x xH x f t dt f t dt + . H . . 0(1, 2) x 0021( ) ( )xxf t dt f t dt . ( ) E f 1, 2 x x 4. , 21I ( ) H x dx : .-.( ) 131 ( ) , fg [1, ) + . f (1) 1 f . 11( ), 1( ) 1( ) 1( ) , 11xxf t dtxg x xf tlim f t xt > '1+ 1 ] : parmenides51. (1) 0 f . (1) g. , fg . ., x, 2221 1( 1) ( ) ( 1) ( )x xx f t dt x f t dt++ > (1, ) +: .-.( ) 132 ( ) f2 2 20 0 02 ( ) ( )x x xt tf t dt tf t dt tdt + x R .. ( ) xfx x x R .. f . . ( ) fx [ ], .. 2 8 2009( ) ( ) ( ) ( ) fx fx fx fx + + [ ]0,. fC , x 1 y , x 0, x x , 2 112+ .. 320limxxxtdttx+ 133 ( ) ( ) : 0, f R + ( )( )( ) 111xfttf x dtt e++ 0 x > .. ( )( ) lnf xe f x x x + + 0 x >. ( ) ln f x x 0 x >. ( ) ( )eg x f x fx _ , 0 x >. 0 a b c < < < ( ) ( ) ( ) ( ) fb f a f c f bb a c b > 134 ( ) : parmenides51 : (0, ) , : f R g R R + (0) 1 g ( ( )) ( ) fg x g x x x R 1( ( )) ( )xxf g x g xe x R .. g (1, (1)) A g (1) y g x .. ln( ) , (0, )xfx xx + , f (0, ] e e g R .. f 1 x . , f g 1, ln3 x x .. 6 2ln3ee> 135 ( dennys) : f R R , ( )2 01f xduxu+ x R .. '(0) (0) 1 f f +. ( ) fx.o ( ) fxA f: . ( ) ''( ) ( ) g x f x fx . . ( ) fx 136 ( dennys) 1( )xfx xlntdt . ( ) fx. N '( ) f x ) ''(x f. ) '( f x . . ox '( ) f x, 1''( ) 0ox f x . ( ) fx . 1 37 ( ) : parmenides51 ( ) : 0, f R + : ( ) ( ) ( )25 4 0 x f x xf x f x + + 0 x > , ( ) 1 1 f ( ) 1 3 f . ( ) ( )2ln g x x f x x + 0 x > . f. f. 0 2 a b < < , 2202( )1xtK x dtt+,0,2x _ , 2( ) 1 h x x + .. ( ) 1 fx x 0 x >. ( ) K x ( ) K x . i. ( ) ( )( ) g x foh x Rii. ( ) E g , ' x x 0, x x 0,2 _ , : parmenides51iii. 2lim ( ) Eiv. ( ) 2( ) E > 0,2 _ , 140 ( ) : f R R ( )( )01 1fxte dt x + x R . . f . f . f x R . fC, ' x x 1 x 1 x e +. ( ) ( ) ( )112xx f x f x < < 1 x >: . . ( ) 141 ( ) ( ) 3xfx e x ln1( 3 )( )3x t tte e tg x dte t+. f. 1 2, x x ( ) 0 fx 0,3e _ , ( ) ln3, 2. g. g. g ,ga b D a b < ( ) ( ) ( )lnln( 3 )3 33b t ttae e te dt b a ee t+ +: . ( ) 142 ( ) : parmenides51 f : R R 1( ) 1 ( )xfx x fx t dt + x R 01( ) 2 fx dx . f f 01 x . 31( ) 1lim( 1)xfxx. ( )lim ( ) 1 2x xxe f e+ 1 ]: , 18/4/2010 143 ( ) z i : f R R , :( ) ( ) 1 z i f x z i f x z i z i + + + + x R . z i z i +.z . ( ) 1 f x >. ( )101 f x dx . ( ) ( )201xf t dt xf x . : .( ) 144 ( ) f :(0, ) R + ( )( ) 1xef tdt fxx 0 x > .: . f. ( ) fC . fC ' x x ( ) : parmenides51. 21( )lim( )xxxfxdtf t+. 145 ( ) f , g R 01()()( ) 0xxft dtft dt g t dt> {0,1} x R g(x) g(2 x) 2 + g(x) 0 x R . 10( ) ( )xxf t dt f t dt > .. 10( ) 0 f t dt .. ( ) f 1 0 ( ) f 0 0 .. 1( ) ( ) ( ) ( )xfx f t dt fx f x ( ) 0,1 f. . 1( ) ( )x f t dt xfx ( ) 0,1. 2 ( ) ( ) fx xf x ( ) 0,1 f. . ( ) g x x x 0 x 2 x . 146 ( ) f R 221( )1xf txdt xx x { } 0 x R . 3( ) ( )xxx f t dt . . ( ) f 1 1 ( ) f -1 1 . ( ) x 0 x (0) 0 f . f , . : parmenides51 147 ( pito) : f R R 323 ( ) 6 63xxx tfx f dt x x _ + , x R .. f . . f .. f 1 1 .. f, 1fC , ' x x 22, 2 x xe . , 148 ( ) f (0, ) + 211 1 1( ) 22 2xxfx f dtx t t _ + , 0 x > .. f (0, ) + ( ) f x ( ) fx .. 2( ) ln ( ) g x x x fx + 0 x > (0, ) + .. f (0, ) x + .. fC.. ( ) E k fC, ' x x 1, x x k (0,1) k .. N 0lim ( )kE k+. 149 ( ) f : (0, ) R + 0 x > 311 2 ( )( )xf tfx dtt t _ ,. 2ln( ) , 0xfx xx >. f : parmenides51. ( ) E fC, ' x x 1xe x 0 > , 0lim ( ) E+ lim ( ) E+. , R 3 22lnlim 0xx x xx + _ + ,: . ( ) 150 ( ) g: R R f : R R . , x R ( ) 0 fx > ( ) 0 g x > .( )0( )( )xg xtF x f dtg x _ ,.. x R 0( ) ( ) ( )xF x g x f u du . F , ( )xfx e ( )xg x e . x R ( ) F x x , (0) (0) 1 g f . (1) (2) (2) (1) F g F g x R (0) 1 f . 2( ), 0( )2 , 0xxf tdt xg xtln x '. N ( )( ) (2)2g xfx f xln 0 x >( )(2) ( )2g xf x fxln 0 x ln 0 x x x . ( ) ln , 0 fx x x x > 0 > ( ) f , f , ( ) . ln1( ) ( )xtF x e et dt : parmenides51. 0 a > 1( ) 12atee et dt > 164 ( ) (153) : f R R ( )( )2041xf x dtf t+, x R .. f R. f , . ( ) ( )33 12 f x f x x + . ( ) f x x . ( )30f x dx 165 ( ) [ ]: , f a b R 0 a b < < , ( )1z a if a + ( )2z b if b + 12zw Rz .. 1 2 1 2z iz z iz + . Rolle

( )( ) f xg xx [ ], a b. f . ( )( ) ( )lim 1xx aaf x a tdtx a x a t+ + , ( ) 1 f x ( ) , a b 166 ( dennys) : (0, ) f R + ( ) 0 f x 0 x > . ( )11,1 , , 22 _ , ( )21( )1 ( )f xg x dtf t: : parmenides51. ( ) g x. ( ) g x. 0 x > ( ( )) f fx x , : i. '(1) 1 f ii. (0,1)ox 2'( )1oogxx iii. (0,1) 3'( )2f 167 ( ) f : (0) 1 f ( ) ( ) f x fx > [0, ) x +. [0, ) x + ( )xfx e >. [0, ) x + 0( ) 2 3xx xf t dt e + + (0,1) (1, ) +. 0( ) 2xxf t dt e x + + (0,1) 168 ( ) f :[0, ) R + , (0) 1 f 10( ) ( ) (1) (1)xf x fx f f edxe e + . . (0) 0 f . (0, ) x + ( ) 1 fx >. (1) 2 f , 1031 ( )2fx dx < iii. ( )2 2( ) 11 1ln ( )f xe dx fx dx> : parmenides51: . ( ,) 169 ( ) : (0, ) f R + : (1) 1 f 2( ( ) 1) ln 1 x f x x 0 x >. N ln( ) ( ) ,0xg x fx xx + > (0, ) + .. N f .. 111xxx e+ 1 x . fC, ' x x 1, x x e .:.- . ( ) 170 ( ) ( ) ln( 1) ln , 0xfx e x x >. 0 x > ( ) 0 fx >. f . . 21lim ( )xxxf t dt+++ _ + ,. 21lim ( ) 0xxxxf t dt+ _ , 171 ( ) f [1, ) + , ( ) 0 fx > 1 x 21( ) ( ) , 1xG x tf t dt x 1( ) ( ) , 1xH x tf t dt x . ( )( )( )G xF xH x (1, ) +. ( ) ( ) ( ), 1 P x xH x G x x .: : parmenides51 i. 1 x ( ) 0 P x ii. P [1, ) +. 2121( ) lnlim( )( 1)xxH x tdtG x x+: .( ) 172 ( ) : f R R ( ) ( ) 1 2 1 2 f x f x x + + , x R (1) 0 f . ( ) ( ) 1 1 2, f x f x x x R + + . ( ) ( )121xxg x ft dt x+ . ( )31I f x dx 173 ( ) ( )22xf x u u du .. f. f , . ( )( )23 2x ttg x e u u du dt _ , . ( )1 2, 1, 3 ( ) ( ) ( )1 231 21te f e e ft dt + . : ( )( )3333xtfte dt xf _ , ( ) 2, x + 174 ( ) : parmenides51 ( ) 3xfx 2( ) 9 5 g x x x + .. gC (1,4) A.. 2( 5 6) ( ) 4 fx x g x x + .. : ( 1) 5 ( ) 2lim( 1) ( ) 2xxxfx fxAfx fx++ + + + + ( 1) ( ) 2lim( 1) ( ) 2xxxfx fxBfx fx + + + +. f g .. 21( )( ) 1xI dxfx++ R 175 ( .) f R ( ) 0 0 f ( ) ( )0xF x ft dt . ( ) F x R .. ( ) F x . . ( ) 0 F x.. ( ) ( )3 1 10 01x xf t dt x f t dt+ ++ + ( ) 0,1. 176 ( ) . : f R . f ( ) ( ) 0 f x ,( ( ) 0 f x ) x . [ ], : 0, fg a R 0 0( ) ( )a af t dt g t dt ,f [ ]0, a g [ ]0, a .: i. ( )( )( ]0, 0,xf t dtF x x ax ( )( )0xg t dtG xx : parmenides51 . ii. ( ) ( )0 0x xf t dt g t dt [ ]0, x a iii. , [0, ] x y a 0 0( ) ( )y xx g t dt y f t dt 177 ( ) f [ ]0, e ( ) 0 0 f .. ( ) ( ) ( )0exf x dx ef e f e . ( ) 0, e ( ) ( ) ( )0exf x dx e f e f 1 ] . ( )1, e ( ) ( ) ( )10exf x dx ef e . [ ]20, e ( ) ( )2 20xxf x dx e f 178 ( ) f R (1) 2 f ( ) 0 f x > x R .: . H( ) ( )1xg x ft dt R (1, (1)) A g .. 1 a > ( ) ( ) ( )10 11aa f t dt f t dt <

. 1 x : i. ( ) ( ) 21 11x uf t dtdu x 1 1 ] ii.( ) ( ) ( ) 211xx t f t dt x 179 ( ) f ( )( )2232xf x t tdt +.. fD.. f . . f . . fx D ( )3212 2 t t dt f x + + : parmenides51. ( ) 3, 5 ( )22 23 22 f x + + 180 ( .) 1 2, z z C f R ( )21 20xf x z t zdt + ( ) f x x R x . : .212z . ( ) 2020 f x ( ) 0, + .. x R 2102 4 xz xz t dt + + :29/01/2012 10/02/2012 http :// www .mathematica .gr /forum /viewtopic .php ? f=54& t=22769 + :29/01/2012 10/02/2012 : parmenides51 : . dennyspito (*) : . dennyserxmerpastavrparmenides51pito (*) http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=54&t=22769 : parmenides51