ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ιfourier.math.uoc.gr/~papadim/calc_1_2018/exams1.pdf ·...

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΠρώτη πρόοδος, 12/11/2018.

Σε κάθε ϑέµα πολλαπλής επιλογής ακριβώς µία απάντηση είναι σωστή. Οι λάθος απαντήσεις

ϐαθµολογούνται αρνητικά, οπότε, αν δεν είστε ϐέβαιοι, µην απαντήσετε.

Αριθµός µητρώου: Ονοµατεπώνυµο:

Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8

ΑπάντησηS/N: 400

Θέµα 1. Στον ορισµό της συνέχειας της συνάρτησης y = (x − 1)/x στο σηµείο 1, από τουςαριθµούς 1/4, 1/3, 1/2 και 1 κατάλληλα δ για το ǫ = 1/3 είναι :

(1) µόνο τα τρία πρώτα.

(2) µόνο το πρώτο.

(3) όλα.

(4) µόνο τα δύο πρώτα.

Θέµα 2. Από τα limx→0−√

x2(ex − 1), limx→0+ log x sin 1log x και limx→−1x2−1

x3+x2−x−1 :

(1) ένα δεν έχει νόηµα και δύο υπάρχουν.

(2) δύο δεν υπάρχουν και ένα υπάρχει.

(3) ένα δεν υπάρχει, ένα δεν έχει νόηµα και ένα υπάρχει.

(4) δύο δεν έχουν νόηµα και ένα δεν υπάρχει.

Θέµα 3. Η εξίσωση 3x+4+

2x+

4x−1 = 26 έχει :

(1) ακριβώς δύο λύσεις.

(2) καµµία λύση.

(3) ακριβώς µία λύση.

(4) ακριβώς τρεις λύσεις.

Θέµα 4. Αν tan xx< f (x) <

sin(2x)

sin xγια κάθε x κοντά στο 0, τότε :

(1) δεν υπάρχει το limx→0 f (x).

(2) 1 ≤ limx→0 f (x) ≤ 2 αν υπάρχει το limx→0 f (x).(3) 1 < limx→0 f (x) < 2.

(4) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 2.

Θέµα 5. Αν η y = a −√

bx2 + 3 έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = −2x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = 4, b = 4.

(2) a = −1, b = 4.(3) a = 1, b = −3.(4) a = 1, b = 4.

Θέµα 6. Από τις ακολουθίες xn = n2(

1 − cos πn

)

, yn = (1 +1n)−2n, zn = n(1 + (−1)n):

(1) καµµία δεν έχει όριο.

(2) και οι τρεις έχουν όριο.

(3) δύο έχουν όριο και µία δεν έχει όριο.

(4) µία έχει όριο και δύο δεν έχουν όριο.

Θέµα 7. Αν −1 < x1 < 1 και 4xn+1 = x2n + 3 για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:(1) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο < 1.

(2) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο −∞.(3) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο 1.

1

Σειριακός Αριθµός : 400

(4) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο 3.

Θέµα 8. Η συνάρτηση y = sin π2(ex+1)

στο (−∞,+∞) έχει αντίστροφη συνάρτηση:(1) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).

(3) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).

(4) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).

2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8


Θέµα 1. Η συνάρτηση y = log 11−sin x στο [0,

π

2) έχει αντίστροφη συνάρτηση:

(1) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(3) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το [0,+∞).(4) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το [0,+∞).


1x−1 +

4x−2 = 35 έχει :

(1) το πολύ µία λύση.



(4) τουλάχιστον τέσσερις λύσεις.




(3) όλα.


Θέµα 4. Από τα limx→3− logx−3x+2

, limx→1+

√

x+3x−1 και limx→0+ sin

1x:


(2) δύο δεν έχουν νόηµα και ένα υπάρχει.



Θέµα 5. Αν η y =√

ax2 + bx + 1 έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = 2x − 1 στο +∞, τότε :(1) a = 1, b = −3.(2) a = 4, b = −2.(3) a = 4, b = −4.(4) a = 4, b = 2.


1 − cos πn

)

, yn = (1 +1n)−2n, zn = n(1 + (−1)n):





Θέµα 7. Αν 2 < x1 < 3 και 5xn+1 = x2n + 6 για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:

(1) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο +∞.(2) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο στο διάστηµα (2, 3).

1


(3) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο 2.


Θέµα 8. Αν2(1−cos x)

x2< f (x) <

tan(4x)

tan xγια κάθε x κοντά στο 0, τότε :

(1) 1 < limx→0 f (x) < 4.

(2) 1 ≤ limx→0 f (x) ≤ 4 αν υπάρχει το limx→0 f (x).(3) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 4.


2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8


Θέµα 1. Αν x1 > 2 και xn+1 =5xn+6

xn+6για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:

(1) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο > 2.


(3) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο +∞.(4) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο 3.


, limx→1+

√


1x:





Θέµα 3. Αν 1−ex

1+ex< f (x) < 3+x

2

4−x για κάθε µεγάλο αρνητικό x, τότε :

(1) δεν υπάρχει το limx→−∞ f (x).

(2) limx→−∞ f (x) ≥ 1 αν υπάρχει το limx→−∞ f (x).(3) limx→−∞ f (x) = 1 ή limx→−∞ f (x) = +∞.(4) limx→−∞ f (x) > 1.

Θέµα 4. Από τις ακολουθίες xn =1+(−1)n

n, yn = n(2 + (−1)n), zn = log(

n√

2 − 1):(1) µία έχει όριο και δύο δεν έχουν όριο.





3x−2 +

4x−3 = −25 έχει :






bx2 + 3 έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = −2x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = −1, b = 4.(2) a = 1, b = 4.

(3) a = 4, b = 4.

(4) a = 1, b = −3.

Θέµα 7. Η συνάρτηση y = 1e2x−e−x στο (0,+∞) έχει αντίστροφη συνάρτηση:

(1) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞, 1) ∪ (1,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(3) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).

1


(4) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).

Θέµα 8. Στον ορισµό της συνέχειας της συνάρτησης y = 2/(x + 1) στο σηµείο 1, από τους

αριθµούς 1/4, 1/3, 1/2 και 1 κατάλληλα δ για το ǫ = 1/3 είναι :

(1) τα δύο πρώτα.

(2) όλα.



2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



(1) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(2) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(3) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(4) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞, 1) ∪ (1,+∞).


x2< f (x) <

tan(4x)


(1) 1 < limx→0 f (x) < 4.


(3) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 4.

(4) 1 ≤ limx→0 f (x) ≤ 4 αν υπάρχει το limx→0 f (x).



(2) όλα.




4x+

8x−2 = −39 έχει :





Θέµα 5. Αν η y = ax2+b√

x2+1x+1

έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = 3x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = 2, b = −3.(2) a = 3, b = 4.

(3) a = 3, b = 2.

(4) a = 3, b = −3.

Θέµα 6. Από τα limx→0√

x2(x − 3), limx→0 ex cos(1/x) και limx→−∞ x sin 1x :(1) δύο δεν υπάρχουν και ένα υπάρχει.


(3) ένα δεν έχει νόηµα, ένα υπάρχει και ένα δεν υπάρχει.


Θέµα 7. Αν 2 < x1 < 3 και xn+1 =6−xn4−xn

για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:(1) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο στο διάστηµα (2, 3).


(3) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο 2.1


(4) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο +∞.

Θέµα 8. Από τις ακολουθίες xn = n sinπ

n, yn = n(1 + 2(−1)n), zn =

n√2+1

n√2−1

:





2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



στο (−∞,+∞) έχει αντίστροφη συνάρτηση:

(1) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).

(3) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).



για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:





, limx→1+

√


1x:






1+ex< f (x) < 3+x

2


(1) limx→−∞ f (x) = 1 ή limx→−∞ f (x) = +∞.(2) δεν υπάρχει το limx→−∞ f (x).

(3) limx→−∞ f (x) > 1.

(4) limx→−∞ f (x) ≥ 1 αν υπάρχει το limx→−∞ f (x).



(1) όλα.





n, yn = n(2 + (−1)n), zn = log(

n√

2 − 1):(1) και οι τρεις έχουν όριο.





4x+

8x−2 = −39 έχει :


(2) ακριβώς δύο λύσεις.1





ax2 + bx + 1 έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = 2x − 1 στο +∞, τότε :(1) a = 4, b = 2.

(2) a = 1, b = −3.(3) a = 4, b = −4.(4) a = 4, b = −2.

2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8







(4) όλα.


1+ex< f (x) < 3+x

2


(1) limx→−∞ f (x) > 1.

(2) limx→−∞ f (x) ≥ 1 αν υπάρχει το limx→−∞ f (x).(3) δεν υπάρχει το limx→−∞ f (x).

(4) limx→−∞ f (x) = 1 ή limx→−∞ f (x) = +∞.


, limx→1+

√


1x:






2x+

4x−1 = 26 έχει :






(1) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο στο διάστηµα (2, 3).






(1) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(3) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).



ax2 + 1 − b έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = 2x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = 4, b = −1.(2) a = 4, b = 2.

1


(3) a = 1, b = −3.(4) a = 4, b = −3.


n, yn = n(2 + (−1)n), zn = log(

n√

2 − 1):(1) καµµία δεν έχει όριο.




2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8


Θέµα 1. Από τα limx→−∞ e−x sin(ex), limx→1−

x2−1x3−x2−x+1 και limx→+∞ log

1−ex

1+e2x:



(3) δύο υπάρχουν και ένα δεν έχει νόηµα.



1 − cos πn

)

, yn = (1 +1n)−2n, zn = n(1 + (−1)n):







(2) a = 1, b = −3.(3) a = −1, b = 4.(4) a = 1, b = 4.


x2< f (x) <

tan(4x)



(2) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 4.



4x+

8x−2 = −39 έχει :






(1) όλα.





για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:(1) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο 3.


(3) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο 2.1



Θέµα 8. Η συνάρτηση y = log(e3x − e−x) στο (0,+∞) έχει αντίστροφη συνάρτηση:(1) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞, 1) ∪ (1,+∞).(2) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(3) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(4) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).

2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



4x+

8x−2 = −39 έχει :






1+ex< f (x) < 3+x

2


(1) limx→−∞ f (x) = 1 ή limx→−∞ f (x) = +∞.(2) limx→−∞ f (x) ≥ 1 αν υπάρχει το limx→−∞ f (x).(3) δεν υπάρχει το limx→−∞ f (x).

(4) limx→−∞ f (x) > 1.





(3) όλα.



στο (−∞,+∞) έχει αντίστροφη συνάρτηση:(1) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).

(2) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(3) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(4) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).



Θέµα 6. Αν −1 < x1 < 1 και 4xn+1 = x2n + 3 για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:(1) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο −∞.(2) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο 3.


(4) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο < 1.


x2(x − 3), limx→0 ex cos(1/x) και limx→−∞ x sin 1x :(1) δύο δεν έχουν νόηµα και ένα υπάρχει.


(3) ένα δεν έχει νόηµα και δύο υπάρχουν.1




n, yn = n(2 + (−1)n), zn = log(

n√

2 − 1):(1) καµµία δεν έχει όριο.




2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



(1) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(3) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞, 1) ∪ (1,+∞).(4) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).

Θέµα 2. Από τα limx→−∞ e−x sin(ex), limx→1−

x2−1x3−x2−x+1 και limx→+∞ log

1−ex

1+e2x:




(4) δύο υπάρχουν και ένα δεν έχει νόηµα.


x2+1x+1


(3) a = 3, b = −3.(4) a = 3, b = 4.


1 − cos πn

)

, yn = (1 +1n)−2n, zn = n(1 + (−1)n):









(3) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο +∞.(4) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο > 2.

Θέµα 6. Αν tan xx< f (x) <

sin(2x)


(1) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 2.




2x+

4x−1 = 26 έχει :




(4) ακριβώς µία λύση.1


Θέµα 8. Στον ορισµό της συνέχειας της συνάρτησης y = x/(x + 1) στο σηµείο 0, από τους

αριθµούς 1/6, 1/5, 1/4 και 1/3 κατάλληλα δ για το ǫ = 1/3 είναι :


(2) όλα.



2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



4x+

8x−2 = −39 έχει :





Θέµα 2. Από τις ακολουθίες xn =( 3

4+

(−1)n

2

)n, yn =

(14+

(−1)n

2

)n, zn = log

1n√n−1

:





Θέµα 3. Αν tan xx< f (x) < sin(2x)


(1) 1 ≤ limx→0 f (x) ≤ 2 αν υπάρχει το limx→0 f (x).(2) δεν υπάρχει το limx→0 f (x).

(3) 1 < limx→0 f (x) < 2.

(4) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 2.



(1) όλα.





x2+1x+1


(3) a = 2, b = −3.(4) a = 3, b = 2.



x3+x2−x−1 :





Θέµα 7. Η συνάρτηση y = log 11−sin x στο [0,

π

2) έχει αντίστροφη συνάρτηση:

(1) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το [0,+∞).(2) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(3) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).

1


(4) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το [0,+∞).




2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



3x−2 +

4x−3 = −25 έχει :






4+

(−1)n

2

)n, yn =

(14+

(−1)n

2

)n, zn = log

1n√n−1 :












(2) a = 4, b = 4.

(3) a = 1, b = −3.(4) a = −1, b = 4.





(1) όλα.




Θέµα 7. Αν ex+sin x

ex−sin x < f (x) <4x+cos xx(2−e−x ) για κάθε µεγάλο ϑετικό x, τότε :

(1) limx→+∞ f (x) = 1 ή limx→+∞ f (x) = 2.

(2) 1 ≤ limx→+∞ f (x) ≤ 2 αν υπάρχει το limx→+∞ f (x).(3) δεν υπάρχει το limx→+∞ f (x).

1


(4) 1 < limx→+∞ f (x) < 2.







2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:






x2+1x+1


(3) a = 3, b = 4.

(4) a = 2, b = −3.



(1) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).


(4) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).





(4) όλα.



(1) limx→+∞ f (x) = 1 ή limx→+∞ f (x) = 2.

(2) 1 ≤ limx→+∞ f (x) ≤ 2 αν υπάρχει το limx→+∞ f (x).(3) 1 < limx→+∞ f (x) < 2.

(4) δεν υπάρχει το limx→+∞ f (x).


1x−1 +

4x−2 = 35 έχει :






, limx→1+

√


1x:


(2) ένα δεν υπάρχει, ένα δεν έχει νόηµα και ένα υπάρχει.1





n, yn = n(1 + 2(−1)n), zn =

n√2+1

n√2−1

:





2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8









x2+1x+1

έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = 3x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = 2, b = −3.(2) a = 3, b = −3.(3) a = 3, b = 4.

(4) a = 3, b = 2.


3x−2 +

4x−3 = −25 έχει :












(4) όλα.


n, yn = n(1 + 2(−1)n), zn =

n√2+1

n√2−1

:







x3+x2−x−1 :








(1) limx→+∞ f (x) = 1 ή limx→+∞ f (x) = 2.



2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8




(1) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).


(4) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).


x2< f (x) <

tan(4x)


(1) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 4.












(4) όλα.


bx2 + 3 έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = −2x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = 1, b = −3.(2) a = −1, b = 4.(3) a = 4, b = 4.

(4) a = 1, b = 4.


1x−1 +

4x−2 = 35 έχει :






1 − cos πn

)

, yn = (1 +1n)−2n, zn = n(1 + (−1)n):



(3) δύο έχουν όριο και µία δεν έχει όριο.1







2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8








n, yn = n(1 + 2(−1)n), zn =

n√2+1

n√2−1

:





Θέµα 3. Αν tan xx< f (x) < sin(2x)


(1) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 2.




, limx→1+

√


1x:









(3) όλα.



2x+

4x−1 = 26 έχει :






ax2 + bx + 1 έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = 2x − 1 στο +∞, τότε :(1) a = 4, b = 2.

(2) a = 1, b = −3.1


(3) a = 4, b = −2.(4) a = 4, b = −4.


(1) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞, 1) ∪ (1,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(3) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(4) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).

2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8






(3) όλα.



1+ex< f (x) < 3+x

2


(1) limx→−∞ f (x) > 1.

(2) limx→−∞ f (x) ≥ 1 αν υπάρχει το limx→−∞ f (x).(3) limx→−∞ f (x) = 1 ή limx→−∞ f (x) = +∞.(4) δεν υπάρχει το limx→−∞ f (x).


n, yn = n(1 + 2(−1)n), zn =

n√2+1

n√2−1

:






4x+

8x−2 = −39 έχει :








Θέµα 6. Η συνάρτηση y = log(e3x − e−x) στο (0,+∞) έχει αντίστροφη συνάρτηση:(1) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(3) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞, 1) ∪ (1,+∞).(4) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).


x2(x − 3), limx→0 ex cos(1/x) και limx→−∞ x sin 1x :(1) ένα δεν έχει νόηµα, ένα υπάρχει και ένα δεν υπάρχει.






x2+1x+1


(3) a = 3, b = −3.(4) a = 3, b = 2.

2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8








(3) όλα.




x3+x2−x−1 :






bx2 + 3 έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = −2x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = −1, b = 4.(2) a = 4, b = 4.

(3) a = 1, b = 4.

(4) a = 1, b = −3.

Θέµα 5. Αν −1 < x1 < 1 και 4xn+1 = x2n + 3 για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:(1) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο 1.

(2) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο −∞.(3) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο < 1.



1 − cos πn

)

, yn = (1 +1n)−2n, zn = n(1 + (−1)n):








(3) limx→+∞ f (x) = 1 ή limx→+∞ f (x) = 2.1




2x+

4x−1 = 26 έχει :





2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



n, yn = n(2 + (−1)n), zn = log(

n√

2 − 1):(1) και οι τρεις έχουν όριο.







(2) 1 < limx→+∞ f (x) < 2.

(3) limx→+∞ f (x) = 1 ή limx→+∞ f (x) = 2.

(4) 1 ≤ limx→+∞ f (x) ≤ 2 αν υπάρχει το limx→+∞ f (x).


3x−2 +

4x−3 = −25 έχει :






για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:(1) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο 2.





(2) a = 1, b = −3.(3) a = 1, b = 4.

(4) a = −1, b = 4.


x2(x − 3), limx→0 ex cos(1/x) και limx→−∞ x sin 1x :(1) ένα δεν έχει νόηµα, ένα υπάρχει και ένα δεν υπάρχει.








(3) όλα.1




(1) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞, 1) ∪ (1,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(3) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(4) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).

2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



(1) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(2) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞, 1) ∪ (1,+∞).(3) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(4) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).








(3) όλα.



ax2 + 1 − b έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = 2x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = 1, b = −3.(2) a = 4, b = −3.(3) a = 4, b = −1.(4) a = 4, b = 2.


, limx→1+

√


1x:







(1) limx→+∞ f (x) = 1 ή limx→+∞ f (x) = 2.

(2) 1 < limx→+∞ f (x) < 2.

(3) 1 ≤ limx→+∞ f (x) ≤ 2 αν υπάρχει το limx→+∞ f (x).(4) δεν υπάρχει το limx→+∞ f (x).


1 − cos πn

)

, yn = (1 +1n)−2n, zn = n(1 + (−1)n):


(2) δύο έχουν όριο και µία δεν έχει όριο.1





1x−1 +

4x−2 = 35 έχει :





2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



bx2 + 3 έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = −2x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = 1, b = −3.(2) a = 1, b = 4.

(3) a = 4, b = 4.

(4) a = −1, b = 4.


x2< f (x) < tan(4x)


(1) 1 ≤ limx→0 f (x) ≤ 4 αν υπάρχει το limx→0 f (x).(2) δεν υπάρχει το limx→0 f (x).

(3) 1 < limx→0 f (x) < 4.

(4) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 4.


4+

(−1)n

2

)n, yn =

(14+

(−1)n

2

)n, zn = log

1n√n−1 :






4x+

8x−2 = −39 έχει :














(4) όλα.








για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:(1) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο +∞.(2) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο στο διάστηµα (2, 3).



2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8





(2) όλα.




(2) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο −∞.(3) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο < 1.



x2+1x+1

έχει ασύµπτωτη ευθεία την y = 3x + 1 στο +∞, τότε :(1) a = 3, b = 4.

(2) a = 2, b = −3.(3) a = 3, b = 2.

(4) a = 3, b = −3.


1+ex< f (x) < 3+x

2


(1) δεν υπάρχει το limx→−∞ f (x).

(2) limx→−∞ f (x) = 1 ή limx→−∞ f (x) = +∞.(3) limx→−∞ f (x) ≥ 1 αν υπάρχει το limx→−∞ f (x).(4) limx→−∞ f (x) > 1.


4x+

8x−2 = −39 έχει :






(1) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(2) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).(3) συνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞, 1) ∪ (1,+∞).(4) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0,+∞).


, limx→1+

√


1x:


(2) δύο δεν έχουν νόηµα και ένα υπάρχει.1





1 − cos πn

)

, yn = (1 +1n)−2n, zn = n(1 + (−1)n):





2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



x2+1x+1


(3) a = 3, b = −3.(4) a = 3, b = 2.


x2< f (x) < tan(4x)


(1) 1 < limx→0 f (x) < 4.


(3) limx→0 f (x) = 1 ή limx→0 f (x) = 4.

(4) 1 ≤ limx→0 f (x) ≤ 4 αν υπάρχει το limx→0 f (x).



(1) ασυνεχή, γνησίως αύξουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(3) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).




x3+x2−x−1 :








(2) όλα.




(2) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο < 1.


(4) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο −∞.


4x+

8x−2 = −39 έχει :



(3) ακριβώς δύο λύσεις.1




n, yn = n(2 + (−1)n), zn = log(

n√

2 − 1):(1) δύο έχουν όριο και µία δεν έχει όριο.




2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8



x2+1x+1


(3) a = 3, b = 4.

(4) a = 3, b = −3.



(1) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).







(4) όλα.



(1) limx→+∞ f (x) = 1 ή limx→+∞ f (x) = 2.




n, yn = n(2 + (−1)n), zn = log(

n√

2 − 1):(1) δύο έχουν όριο και µία δεν έχει όριο.





, limx→1+

√


1x:






3x−2 +

4x−3 = −25 έχει :


(2) καµµία λύση.1





για κάθε n ∈ N, τότε η ακολουθία xn:(1) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο στο διάστηµα (2, 3).

(2) είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο +∞.(3) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο 2.


2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8




x3+x2−x−1 :









(3) όλα.




(1) συνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (−∞,+∞).(2) ασυνεχή, γνησίως ϕθίνουσα µε πεδίο ορισµού το (0, 1).




x2+1x+1


(3) a = 2, b = −3.(4) a = 3, b = 4.


2x+

4x−1 = 26 έχει :






n, yn = n(1 + 2(−1)n), zn =

n√2+1

n√2−1

:







(1) limx→+∞ f (x) = 1 ή limx→+∞ f (x) = 2.

(2) 1 ≤ limx→+∞ f (x) ≤ 2 αν υπάρχει το limx→+∞ f (x).1


(3) 1 < limx→+∞ f (x) < 2.





(4) είναι γνησίως ϕθίνουσα και έχει όριο −∞.

2





Θέµα 1 2 3 4 5 6 7 8








1 − cos πn

)

, yn = (1 +1n)−2n, zn = n(1 + (−1)n):





Θέµα 4. Στον ορισµό της συνέχειας της συνάρτησης

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ιfourier.math.uoc.gr/~papadim/calc_1_2018/exams1.pdf ·...

Documents

Transcript of ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ιfourier.math.uoc.gr/~papadim/calc_1_2018/exams1.pdf ·...