ŠTEVILO PI

SANJA ZAMIDA

ŠTEVILo PI π je enak razmerju med obsegom kroga in

njegovim premerom

π je matematična konstanta

π je ploščina kroga s polmerom 1

π imenujemo jo tudi Arhimedova

konstanta ali Ludolfovo število

π je iracionalno št. (ne da se ga natančno zapisati kot razmerje dveh celih števil (Lambert, 1767)

je transcendentno št. (ne obstaja π je transcendentno št. (ne obstaja polinom s celimi (ali racionalnimi) koeficienti, katerega koren je π(Lindemann,1882)

Zgodovina računanja decimalk

Sumerci

π okrog 2000 let p. n. š. so uporabljali vrednost π=3

π ploščina kroga naj bi bila enaka 1/12 kvadrata njegovega obsegakvadrata njegovega obsega

Egipčani

π 17. stoletje p. n. š.

π prvi ki so opazili da število 3 ne predstavlja tega razmerja,

π približek so dokazali z merjenjemπ približek so dokazali z merjenjem

Na Rhindovem papirusu je izračunana ploščina kroga

ki ima premer 9.

π Ploščina kroga je enaka ploščini osmerokotnika, ki ga dobimo, ko odrežemo kvadratu ABCD vogale.

π Dobimo enakokrake trikotnike s

stranico 3.

π Ploščina celega kvadrata je

enaka 81

π Ploščina vseh štirih odrezkov je

enaka dvojni ploščini kvadrata s

stranico 3 (=18)stranico 3 (=18)

π Ploščina kroga p= π*81/4.

π Po Rhindovem papirusu naj bi bilo to enako 64, torej:

π= 3,16

Grki π Vsako trditev so želeli dokazati, jih izvesti iz

nekaj osnovnih, očitnih resnic-aksiomov.

π Ploščine kroga se je lotil eden največjih umov antike – Arhimed (237-212 p.n.š)

ARHIMED

π Imamo krog polmera a in vanj včrtan pravilni šestkotnik. šestkotnik.

π Obseg šestkotnika je nekoliko manjši kot obseg kroga. Enak je 6a.

π Če bi iz tega približka izračunali π, bi dobili prastarirezultat π = 3.

π Če vzamemo pravilni dvanajstkotnik, dobimo boljši rezultat, ki pa da za število π še vedno premajhno vrednost.

π Arhimed je s včrtanim in očrtanim 24-kotnikom, 48-kotnikom in 96- kotnikom dobil zgornjo in spodnjo oceno za število π:

π Skoraj celih dvatisoč let se znanje

o številu π ni premaknilo bistveno

naprej od Arhimedovih spoznanj.

π V tem času so izračunali precej boljših približkov od Arhimedovih 22/7 , vendar je metoda računanja ostala njegova.

π Od grških matematikov je velja omeniti še Ptolemeja (približno leta 150 p.n.š.).

π Za število π je dal približek 377/120, ki se ujema s pravo vrednostjo π= 3,1415926… že na štiridecimalke .decimalke .

Rimljani - Srednji vek

π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo v Sredozemlju, niso dali matematiki ničesar novega.

π V srednjem veku so ploščino kroga tehtali.V srednjem veku so ploščino kroga tehtali.

π Nekateri učenjaki so z Biblijo v roki dokazovali, da je π = 3, saj je v Bibliji omenjeno starodavno obrtniško navodilo, da je obseg kroga tri krat večji od premera.

π Arabci so prevedli vsa pomembnejša dela (tudi Arhimeda), tako so se ta dela ohranila, saj so jih nato renesančni pisci Evrope prevedli v latinščino.

Indijci

π Indijski matematik Aryabhata, je

izračunal vrednost 3,1416.

π Izvor rezultata ni povsem jasen, ali izhaja iz π Izvor rezultata ni povsem jasen, ali izhaja iz kakšnega neznanega grškega dela, ali pa ga je dobil po Arhimedovi metodi s pomočjo 384-kotnika.

π Indijski matematik Bhaskara (okrog leta 1150), je navedel približek 22/7 (Arhimed) in

Kitajci

π Tudi Kitajci so se ukvarjali z obsegom in ploščino kvadrata.

π Li Hue je v tretjem stoletju po podobni poti kot Arhimed izračunal približek:kot Arhimed izračunal približek:

π Tus Čung Či (5. stoletje) je poznal število πna šest decimalk (3,1415926) in racionalni približek 335/113, ki je dober do šeste decimalke.

Evropa

π Od Arabcev so prevedli klasična grška dela in originalne prispevke islamskih učenjakov.

π Leonardo Fibonaccij, je živel v 13. stoletju. π Leonardo Fibonaccij, je živel v 13. stoletju.

π Šel je po Arhimedovi poti in poiskal točnejše meje za število π, in dal

racionalni približek 864/275=3,1418

(pravilno se ujema na 3 decimalke)

Francija

π V 16. stoletju, so matematiki iskali približek v obliki decimalnega števila in ne več v obliki ulomka.

π Po Arhimedovi metodi je Francois VietePo Arhimedovi metodi je Francois Vietenašel zgornjo in spodnjo mejo za število π. Obe meji sta se ujemali na

devet decimalk natančno

(π=3,141592653)

Nizozemska

π Adriaen van Roomen je našel 15 točnih decimalk. Pri računanju si je pomagal s pravilnimi mnogokotniki z 230 stranicami (1073741824-kotnik).

π V začetku 17. stoletja je živel Ludolfvan Ceulen, ki je izračunal 35 decimalk, po Arhimedovi metodi, s pomočjo mnogokotnika z 262

stranicami.

π Vsi so uporabljali Arhimedovo metodo in zapravljali cela leta za nekaj decimalk.

π Fizik Snell je našel znatno izboljšanje klasične metode za računanje, tako da je v krajšem času in z uporabo 230 -kotnika dobil van Ceulenovih 35 decimalk. decimalk.

Škotska

π Škotski matematik James Gregory je leta 1671 našel neskončno vrsto za funkcijo arkustangens.

π S tem je bilo mogoče dosti lažje

in hitreje izračunati število π na

precejšnje število decimalk.

Švicaπ S pomočjo te metode je tudi švicarski

matematik Leonhard Euler izračunal 128 decimalk (v manj kot 80 urah).

π Uvedel je tudi rabo simbola π za razmerje med obsegom in polmerom kroga. med obsegom in polmerom kroga.

π Pred tem so uporabljali π/δ.

(π= obseg, δ=premer)

Jurij Vega

π Naš najbolj znani matematik.

π 1789 je Vega dosegel tedanji svetovni rekord in izračunal število π na 140 decimalk, od katerih pa decimalk, od katerih pa

zadnje štiri niso bile pravilne.

π Rekord je obdržal 52 let

do leta 1841.

KRATEK PREGLED