_____________________________________________________________ Formulário 5

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TESTES DE CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS

CRITÉRIOS SÉRIE CONVERGÊNCIA OU DIVERGÊNCIA

Teste da

divergência ∑+∞

=1n nu Diverge se nun +∞→lim ≠ 0.

Geométrica

∑+∞

=−

11

nnar

Converge para S = r

a

−1, se | r | < 1.

Diverge se | r | ≥ 1.

Dirichlet

∑+∞

=11

n pn

Converge se p > 1.

Diverge se p ≤ 1.

Razão D'Alembert

∑+∞

=1nnu

0>nu

Se ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++∞→

nunu

n1lim = L, então a série:

Converge se L < 1.

Diverge se L > 1 ou +=1L .

Inconclusivo para −=1L .

Raíz

de Cauchy

∑+∞

=1nnu

0>nu

Se n nun +∞→lim = L , então a série:

Converge se L < 1.

Diverge se L > 1 ou +=1L .

Inconclusivo para −=1L .

Leibniz

Alternada

( )∑+∞

=−

11

n nan , an > 0

Converge se nan

lim+∞→

= 0 e se (an) é uma sucessão

decrescente, isto é, an ≥ an+1 INn∈∀ .

SÉRIE DE FOURIER

Série de Fourier de f: ∑+∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

10 cos

21

nnn L

xnsenbL

xnaa ππ.

Coeficientes de Fourier de f: ( ) 0,cos1≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

−

ndxL

xnxfL

aL

Ln

π;

( ) 1,1≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

−

ndxL

xnsenxfL

bL

Ln

π.