Teoretične osnove rǎcunalništva ISpreminjanje kontekstno-neodvisne gramatike v

normalno obliko po Greibachovi

Boštjan Vilfan

Univerza v Ljubljani

FRI

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 1/15

http://zaphod.fri.uni-lj.si/~vilfan/

Trditev 1 (krajšanje izpeljav)

A −→ αBγB −→ β1 | β2 . . . βn

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 2/15

Trditev 1 (krajšanje izpeljav)

A −→ αBγB −→ β1 | β2 . . . βn

A −→ αβ1γ | αβ2γ . . . | αβnγ

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 2/15

Trditev 2 (odpravljanje leve re-kurzije)

A −→ Aα1 | Aα2 | . . . | Aαn

A −→ β1 | β2 | . . . | βm

– p. 3/15

Trditev 2 (odpravljanje leve re-kurzije)

A −→ Aα1 | Aα2 | . . . | Aαn

A −→ β1 | β2 | . . . | βm

A −→ β1B | β2B | . . . | βmB ;

B −→ α1 | . . . αn

B −→ α1B | . . . αnB

– p. 3/15

Trditev 2 (odpravljanje leve re-kurzije)

A −→ Aα1 | Aα2 | . . . | Aαn

A −→ β1 | β2 | . . . | βm

A −→ β1B | β2B | . . . | βmB ;

B −→ α1 | . . . αn

B −→ α1B | . . . αnB

A

A αi1

αi2A

A αik

βj

S

βjαik . . . αi2αi1 βjαik . . . αi2αi1

S

A

βjB

αik

B

Bαi2

αi1

– p. 3/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– priprava

G = 〈V, T, P, S〉

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 4/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– priprava

G = 〈V, T, P, S〉

privzamemo, da jeG v normalni obliki poChomskem (̌ce ni, jo pretvorimo v slednjo obliko)

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 4/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– priprava

G = 〈V, T, P, S〉

privzamemo, da jeG v normalni obliki poChomskem (̌ce ni, jo pretvorimo v slednjo obliko)

spremenljivke oštevilčimo:V = {S = A1, A2, . . . , An}

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 4/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– priprava

G = 〈V, T, P, S〉

privzamemo, da jeG v normalni obliki poChomskem (̌ce ni, jo pretvorimo v slednjo obliko)

spremenljivke oštevilčimo:V = {S = A1, A2, . . . , An}

produkcije, ki že imajo predpisano obliko pustimopri miru

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 4/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 1

Vse produkcijeAi −→ Ajα želimo spraviti v takoobliko, da veljai < j.

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 5/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 1

Vse produkcijeAi −→ Ajα želimo spraviti v takoobliko, da veljai < j.

pri i = 1 je bodisii = j ali i < j. Drugi primer je vredu.

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 5/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 1

Vse produkcijeAi −→ Ajα želimo spraviti v takoobliko, da veljai < j.

pri i = 1 je bodisii = j ali i < j. Drugi primer je vredu.

v prvem primeru uporabimo Trditev 2 in posledičnodobimo novo spremenljivkoB1

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 5/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 1

Vse produkcijeAi −→ Ajα želimo spraviti v takoobliko, da veljai < j.

pri i = 1 je bodisii = j ali i < j. Drugi primer je vredu.

v prvem primeru uporabimo Trditev 2 in posledičnodobimo novo spremenljivkoB1kot rezultat se desna stran vseh produkcij zA1 nalevi zǎcne bodisi s koňcnim simbolom (takeprodukcije odslej pustimo pri miru) ali pa sspremenljivkoAj pri j > 1.

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 5/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 2

naj bodo produkcije z levo stranjo, ki ima indeksmanjši odi, že v želeni obliki. Pri produkcijah, kiimajo na levi straniAi, imamo tri možnosti: (a)i > j, (b) i = j in (c) i < j (primer c je v redu).

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 6/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 2

naj bodo produkcije z levo stranjo, ki ima indeksmanjši odi, že v želeni obliki. Pri produkcijah, kiimajo na levi straniAi, imamo tri možnosti: (a)i > j, (b) i = j in (c) i < j (primer c je v redu).

v primeru a uporabimo Trditev 1 in postopnodosežemo, da imamo opravka le s primerom b(morebiti dobimo tudi nekaj produkcij, katerih desnastran se prǐcenja s koňcnim simbolom. Takeprodukcije odslej pustimo pri miru.)

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 6/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 2

naj bodo produkcije z levo stranjo, ki ima indeksmanjši odi, že v želeni obliki. Pri produkcijah, kiimajo na levi straniAi, imamo tri možnosti: (a)i > j, (b) i = j in (c) i < j (primer c je v redu).

v primeru a uporabimo Trditev 1 in postopnodosežemo, da imamo opravka le s primerom b(morebiti dobimo tudi nekaj produkcij, katerih desnastran se prǐcenja s koňcnim simbolom. Takeprodukcije odslej pustimo pri miru.)

v primeru b uporabimo Trditev 2, tako kot prii = 1Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 6/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 3

Na koncu tega postopka imajo tudi produkcijeAn −→ Ajα lastnostn < j. Vendar, ker takegaj ni,smo tako dobili zagotovilo, da se desna stran vsehprodukcijAn −→ α pričenja s koňcnim simbolom

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 7/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 3

Na koncu tega postopka imajo tudi produkcijeAn −→ Ajα lastnostn < j. Vendar, ker takegaj ni,smo tako dobili zagotovilo, da se desna stran vsehprodukcijAn −→ α pričenja s koňcnim simbolom

sedaj zagotovimo slednjo lastnost postopno tudi zaprodukcijeAi −→ α pri i = n − 1, n − 2, . . . , 1

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 7/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 3

Na koncu tega postopka imajo tudi produkcijeAn −→ Ajα lastnostn < j. Vendar, ker takegaj ni,smo tako dobili zagotovilo, da se desna stran vsehprodukcijAn −→ α pričenja s koňcnim simbolom

sedaj zagotovimo slednjo lastnost postopno tudi zaprodukcijeAi −→ α pri i = n − 1, n − 2, . . . , 1

na vsakem koraku (morebiti večkrat) uporabimoTrditev 1, kar vsakǐc pověca indeks spremenljivkena zǎcetku desne strani produkcije. Na koncu nazǎcetku desne strani dobimo končni simbol.

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 7/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 4

Sedaj imajo vse produkcijeAi −→ α lastnost, da seα pričenja s koňcnim simbolom

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 8/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 4

Sedaj imajo vse produkcijeAi −→ α lastnost, da seα pričenja s koňcnim simbolom

preostanejo še produkcijeBi −→ β. Zaβ namrěc šenimamo zagotovila, da se prične s koňcnimsimbolom

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 8/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 4

Sedaj imajo vse produkcijeAi −→ α lastnost, da seα pričenja s koňcnim simbolom

preostanejo še produkcijeBi −→ β. Zaβ namrěc šenimamo zagotovila, da se prične s koňcnimsimbolom

vendar to dosežemo zopet z (morebiti večkratno)uporabo Trditve 1

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 8/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– odpravljanje posredne in ne-posredne leve rekurzije – 4

Sedaj imajo vse produkcijeAi −→ α lastnost, da seα pričenja s koňcnim simbolom

preostanejo še produkcijeBi −→ β. Zaβ namrěc šenimamo zagotovila, da se prične s koňcnimsimbolom

vendar to dosežemo zopet z (morebiti večkratno)uporabo Trditve 1

gl. tudi dokumentgreibach-algoritem.pdf

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 8/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 1

G = 〈{A1, A2, A3}, {a, b}, P,A1〉

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 9/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 1

G = 〈{A1, A2, A3}, {a, b}, P,A1〉

P : A1 −→ A2A3A2 −→ A3A1 | b

A3 −→ A1A2 | a

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 9/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 1

G = 〈{A1, A2, A3}, {a, b}, P,A1〉

P : A1 −→ A2A3A2 −→ A3A1 | b

A3 −→ A1A2 | a

G je že v NOC

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 9/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 1

G = 〈{A1, A2, A3}, {a, b}, P,A1〉

P : A1 −→ A2A3A2 −→ A3A1 | b

A3 −→ A1A2 | a

G je že v NOC

produkcijeAi −→ Ajα pri i = 1, 2 že imajo lastnosti < j

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 9/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 1

Po enkratni uporabi Trditve 1 na spremenljivkiA3dobimo:

P : A1 −→ A2A3A2 −→ A3A1 | b

A3 −→ A2A3A2 | a

(spremenjena desna stran rdeča)

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 10/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 1

Po enkratni uporabi Trditve 1 na spremenljivkiA3dobimo:

P : A1 −→ A2A3A2 −→ A3A1 | b

A3 −→ A2A3A2 | a

(spremenjena desna stran rdeča)

po naslednji uporabi Trditve 1 dobimo:

P : A1 −→ A2A3A2 −→ A3A1 | b

A3 −→ A3A1A3A2 | bA3A2 | aPretvorba v NO po Greibachovi – p. 10/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 2

Sedaj zaA3 uporabimo Trditev 2:

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 11/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 2

Sedaj zaA3 uporabimo Trditev 2:

P : A1 −→ A2A3A2 −→ A3A1 | b

A3 −→ bA3A2B3 | aB3 | bA3A2 | a

B3 −→ A1A3A2B3 | A1A3A2

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 11/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 2

Sedaj zaA3 uporabimo Trditev 2:

P : A1 −→ A2A3A2 −→ A3A1 | b

A3 −→ bA3A2B3 | aB3 | bA3A2 | a

B3 −→ A1A3A2B3 | A1A3A2

desna stran vseh produkcij zA3 na levi se zǎcne skončnim simbolom

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 11/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 3

Sedaj dosežemo isto za spremenljivkoA2 tako, dauporabimo Trditev 1 na produkcijiA2 −→ A3A1 inspremenljivkiA3:

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 12/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 3

Sedaj dosežemo isto za spremenljivkoA2 tako, dauporabimo Trditev 1 na produkcijiA2 −→ A3A1 inspremenljivkiA3:

P : A1 −→ A2A3A2 −→ bA3A2B3A1 | aB3A1

| bA3A2A1 | aA1 | b

A3 −→ bA3A2B3 | aB3 | bA3A2 | a

B3 −→ A1A3A2B3 | A1A3A2

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 12/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 3

Podobno postopamo s spremenljivkoA1 oziromaprodukcijA1 −→ A2A3

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 13/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 3

Podobno postopamo s spremenljivkoA1 oziromaprodukcijA1 −→ A2A3po zamenjavi spremenljivkeA2 dobimo

P : A1 −→ bA3A2B3A1A3 | aB3A1A3| bA3A2A1A3 | aA1A3 | bA3

A2 −→ bA3A2B3A1 | aB3A1| bA3A2A1 | aA1 | b

A3 −→ bA3A2B3 | aB3 | bA3A2 | a

B3 −→ A1A3A2B3 | A1A3A2

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 13/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 4

Sedaj uporabimo še Trditev 1 na začetnispremenljivki desnih strani produkcij zB3 na levi

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 14/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 4

Sedaj uporabimo še Trditev 1 na začetnispremenljivki desnih strani produkcij zB3 na levi

P : A1 −→ bA3A2B3A1A3 | aB3A1A3| bA3A2A1A3 | aA1A3 | bA3

A2 −→ bA3A2B3A1 | aB3A1| bA3A2A1 | aA1 | b

A3 −→ bA3A2B3 | aB3 | bA3A2 | a

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 14/15

Pretvorba v NO po Greibachovi– Primer – 4

B3 −→ bA3A2B3A1A3A3A2B3 | aB3A1A3A3A2B3| bA3A2A1A3A3A2B3 | aA1A3A3A2B3| bA3A3A2B3 | bA3A2B3A1A3A3A2| aB3A1A3A3A2 | bA3A2A1A3A3A2| aA1A3A3A2 | bA3A3A2

Pretvorba v NO po Greibachovi – p. 15/15

Trditev 1 (kraj"sanje izpeljav)Trditev 1 (kraj"sanje izpeljav)

Trditev 2 (odpravljanje leve rekurzije)Trditev 2 (odpravljanje leve rekurzije)Trditev 2 (odpravljanje leve rekurzije)

Pretvorba v NO po Greibachovi -- pripravaPretvorba v NO po Greibachovi -- pripravaPretvorba v NO po Greibachovi -- pripravaPretvorba v NO po Greibachovi -- priprava

Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 1Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 1Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 1Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 1

Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 2Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 2Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 2

Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 3Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 3Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 3

Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 4Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 4Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 4Pretvorba v NO po Greibachovi -- odpravljanje posredne in neposredne leve rekurzije -- 4

Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 1Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 1Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 1Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 1

Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 1Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 1

Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 2Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 2Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 2

Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 3Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 3

Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 3Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 3

Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 4Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 4

Pretvorba v NO po Greibachovi -- Primer -- 4