Technische Mechanik Kompakt - Springer978-3-8351-9066-5/1.pdf · A.2 Drehung des Koordinatensystems...

Anhang

A Mathematische Grundlagen

A.1 Ebene Trigonometrie

A.1.1 Definitionen

Definition am Dreieck

Die Winkelfunktionen entsprechen dem Verhaltnis der Seiten in einem recht-winkligen Dreieck.

c

b

A B

a

α β

C

Bild A.1Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

Mit den in Bild A.1 festgelegten Bezeichnungen gilt beispielsweise fur den Win-kel α:

Sinus =Gegenkathete

Hypotenusesin α =

a

c

Cosinus =Ankathete

Hypotenusecos α =

b

c

Tangens =Gegenkathete

Ankathetetan α =

a

b

Cotangens =Ankathete

Gegenkathetecot α =

b

a

(A.1)

Winkelfunktionen am Kreis

Die Definition am Dreieck lasst sich am Kreis fur große Winkel erweitern.

Die Koordinaten des Punktes P in Bild A.2 auf einem Kreis mit dem Radi-us r lassen sich mit den Winkelfunktionen ausdrucken, dies gilt auch fur Win-

P. Wriggers, et al., Technische Mechanik kompakt, DOI 10.1007/978-3-8351-9066-5,© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006

A.2 Drehung des Koordinatensystems 453

Bild A.2Winkelfunktionen am Kreis

rr tan ϕ

r cos ϕ

r sin ϕϕ

x

P

y

kel ϕ > 90◦. Die Koordinaten von P sind also

P (r cos ϕ, r sin ϕ) .

A.1.2 Zusammenhange zwischen den Winkelfunktionen

Fur die Winkelfunktionen gelten folgende Beziehungen fur beliebige Winkel α:

sin2 α + cos2 α = 1

tan α =sin α

cos α(cos α �= 0)

1 + tan2 α =1

cos2 α(cos α �= 0)

cot α =1

tan α(tan α �= 0)

(A.2)

A.2 Drehung des Koordinatensystems

Bild A.3Drehung des Koordinatensystems

P

ξ

ϕξP

yP

ηP

x

η

y

xP

454 Anhang A Mathematische Grundlagen

Bei der in Bild A.3 skizzierten Drehung des Koordinatensystems um den Winkelϕ lassen sich die Koordinaten des Punktes P mit Hilfe der Transformationsma-trix wie folgt umrechnen:

"ξP

ηP

#=

"cos ϕ sin ϕ

− sin ϕ cos ϕ

#"xP

yP

#(A.3)

"xP

yP

#=

"cos ϕ − sin ϕ

sin ϕ cos ϕ

#"ξP

ηP

#(A.4)

A.3 Geometrische Momente

A.3.1 Definition

Unter geometrischen Momenten versteht man allgemein Integrale von Potenzender Koordinaten in der Form

Zs

xαyβzγ ds ,

ZA

xαyβzγ dA ,

ZV

xαyβzγ dV (A.5)

mit naturlichen Exponenten α, β und γ, wobei die Summe n = α + β + γ alsGrad des geometrischen Moments bezeichnet wird.

Flachenmomente

In der Mechanik werden hauptsachlich die Flachenmomente fur Querschnittevon Balken, also fur den zweidimensionalen Fall benotigt, d. h.

ZA

yβzγ dA . (A.6)

Tabelle A.1 zeigt einen Uberblick uber die Definitionen der wichtigsten Flachen-momente, diese werden in den folgenden Abschnitten detaillierter dargestellt.Eine Ubersicht uber die Flachenmomente einfacher Geometrien befindet sich inTabelle B.5.

A.3 Geometrische Momente 455

Grad Name Definition

0 Flache A =

ZA

dA

1 statisches Moment

Sy =

ZA

z dA

Sz =

ZA

y dA

2 Flachentragheitsmoment

Iy =

ZA

z2 dA

Iz =

ZA

y2 dA

2 Deviationsmoment der Flache Iyz = −ZA

yz dA

2 Polares Flachentragheitsmoment Ip =

ZA

r2 dA , (r2 = y2 + z2)

Tabelle A.1 Flachenmomente

Flacheninhalt

Der Flacheninhalt

A =

ZA

dA (A.7)

ist unabhangig von der Wahl des Koordinatensystems, da im Integral keineKoordinaten auftreten.

A.3.2 Statisches Moment und geometrischer Schwerpunkt

Das statische Moment wird auf eine Achse bezogen. Das auf die y-Achse bezo-gene statische Moment ist beispielsweise

Sy =

ZA

z dA . (A.8)

Da das statische Moment achsenbezogen ist, andert es sich, wenn man die zu-gehorige Achse verschiebt. Bild A.4 zeigt eine Flache mit einem infinitesimalen


dA

z

Δzzy

y

z = z

Bild A.4Statisches Moment bei Verschiebung der y-Achse

Flachenelement dA. Bei Verschiebung der y-Achse um Δz, also z = z − Δz,erhalt man

Sy =

ZA

z dA =

ZA

z − Δz dA =

ZA

z dA − Δz

ZA

dA = Sy − Δz A .

(A.9)

Das Koordinatensystem kann so verschoben werden, dass Sy und Sz ver-schwinden. Der Ursprung eines solchen Koordinatensystems wird geometrischerSchwerpunkt S genannt, man spricht auch vom Schwerpunktskoordinatensystem.

Die Koordinaten des geometrischen Schwerpunkts in einem gegebenen y-z-Koordinatensystem ergeben sich mit der Forderung Sy = Sz = 0 ausGleichung A.9

yS =1

A

ZA

y dA , zS =1

A

ZA

z dA. (A.10)

Beispiel A.1 Schwerpunkt eines DreiecksBerechnen Sie den geometrischen Schwerpunkt (xS, yS) des Dreiecks mitder oberen Berandung g(x).

a

h

g(x) =h

ax

x

y


Losung:1. Schritt: Berechnung der Dreiecksflache

A =

ZA

dA =

x=aZx=0

y=g(x)Zy=0

dy dx =

x=aZx=0

g(x) dx

=h

a

x=aZx=0

x dx =1

2ha .

2. Schritt: Berechnung des geometrischen Schwerpunktes

xS =1

A

Zx dA =

1

A

x=aZx=0

x g(x) dx

=1

A

»h

a

x3

3

–x=a

x=0

=1

A

1

3ha2 =

2

3a .

3. Schritt: Durch analoges Vorgehen erhalt man fur die y-Koordinate desgeometrischen Schwerpunkts

yS =1

3h .

Zusammengesetzte Flachen

Mit Gleichung A.9 und Gleichung A.10 erhalt man eine einfache Gleichung zurBerechnung des statischen Moments bei aus einfachen Geometrien zusammenge-setzten Flachen, deren Teilschwerpunkte bekannt sind. (Diese konnen beispiels-weise Tabelle B.5 entnommen werden). Sy und Sz konnen mit

Sy =X

i

zSiAi , Sz =X

i

ySiAi (A.11)

berechnet werden, wobei zSi und ySidie Koordinaten der geometrischen Teil-schwerpunkte und Ai die Flachen der Teile sind. Daraus folgt auch entsprechendGleichung A.10 fur den geometrischen Schwerpunkt von solchen zusammenge-setzten Flachen:

yS =

Pi

ySiAiPi

Ai, zS =

Pi

zSiAiPi

Ai(A.12)

Die praktische Berechnung des Flachenschwerpunkts einer zusammengesetztenFlache wird in Beispiel 5.1 gezeigt.


Geometrischer Linien- und Volumenschwerpunkt

yx

zs

S

dsdV

S

Bild A.5 Geometrischer Schwerpunkt von Linie und Volumen

Analog zu Gleichung A.10 lassen sich im allgemeinen dreidimensionalen Falldie geometrischen Schwerpunkte von Linien und Volumen berechnen. Fur denLinienschwerpunkt gilt

xS =1

L

Zx ds , yS =

1

L

Zy ds , zS =

1

L

Zz ds (A.13)

mit der Lange

L =

Zds . (A.14)

Der Volumenschwerpunkt lasst sich mit

xS =1

V

Zx dV , yS =

1

V

Zy dV , zS =

1

V

Zz dV (A.15)

berechnen mit dem Volumen

V =

ZdV . (A.16)

Beispiel A.2 LinienschwerpunktBerechnen Sie den Linienschwerpunkt (xS, yS) des dargestellten Kreisbo-gens.

α

R cos ϕ

ϕ

ds = R dϕ

x

y

Rα


Losung:Aus der Symmetrie ergibt sich

xS = 0 .

Die Lange des Kreisbogens ergibt sich nach Gleichung A.14 zu

L =

Zds = 2

Z α

0

R dϕ = 2 R α .

Die Koordinate yS bestimmt sich mit

y = R cos ϕ

nach Gleichung A.13 zu

yS =2

L

Z α

0

R cos ϕ ds = Rsin α

α.

Beispiel A.3 VolumenschwerpunktBerechnen Sie den geometrischen Schwerpunkt (xS, yS, zS) der skizziertenPyramide.

z

x

y

a

a

h

Losung:Da sich die horizontalen Querschnittsflachen A(z) der Pyramide leicht inAbhangigkeit der z-Koordinate ausdrucken lassen, empfiehlt sich eine Inte-gration uber die Pyramidenhohe h. Die Querschnittsflache ist

A(z) =ha“1 − z

h

”i2= a2

„1 − 2

z

h+

z2

h2

«Das Volumen V der Pyramide ist

V =

hZ0

A(z) dz = a2

hZ0

„1 − 2

z

h+

z2

h2

«dz

= a2

»z − z2

h+

z3

3h2

–h

0

=1

3a2h .


Die Lage des Schwerpunktes ergibt sich in x- und y-Richtung aus der Sym-metrie zu

xS = 0 , yS = 0 .

In z-Richtung erhalt man aus Gleichung A.15 die Schwerpunktkoordinate

zS =1

V

hZ0

z A(z) dz =a2

V

hZ0

z

„1 − 2

z

h+

z2

h2

«dz

=a2

V

»z2

2− 2 z3

3h+

z4

4 h2

–h

0

=a2

V

h2

12=

1

4h .

A.3.3 Flachentragheitsmoment

Definition

Neben den axialen Flachentragheitsmomenten

Iy =

ZA

z2 dA , Iz =

ZA

y2 dA , (A.17)

die wegen der quadratischen Terme stets positiv sind, ist das Deviationsmomentoder Zentrifugalmoment definiert durch

Iyz = −ZA

yz dA . (A.18)

Bei Flachen, bei denen eine der Koordinatenachse Symmetrieachse ist, ist dasDeviationsmoment null. Dies wird unten bei der Berechnung der Haupttrag-heitsmomente gezeigt.

Anmerkung: Das negative Vorzeichen wird hier aus rechentechnischen Grundeneingefuhrt. In der Literatur wird das Deviationsmoment teilweise auch ohne ne-gatives Vorzeichen definiert, daher ist beim Nachschlagen von Querschnittswertenin Tabellen auf das richtige Vorzeichen zu achten.

Das polare Flachentragheitsmoment ist definiert durch

Ip =

ZA

r2 dA =

ZA

`y2 + z2´ dA = Iy + Iz (A.19)

und kann daher leicht aus den axialen Tragheitsmomenten berechnet werden.


Beispiel A.4 Flachentragheitsmomente eines RechtecksBerechnen Sie fur das dargestellte Rechteck der Breite B und Hohe H dieFlachentragheitsmomente bzgl. des Schwerpunktskoordinatensystems.

B B

y

z

Sy

z

H

H/2

H/2dA = B dzz

dz

Losung:Zur Bestimmung von Iy ist es zweckmaßig, ein Flachenelement dA zu wah-len, bei dem alle Punkte den gleichen Abstand z von der y-Achse haben.Daraus folgt

Iy =

ZA

z2 dA =

H/2Z−H/2

z2B dz

=1

3Bz3

˛H/2

−H/2

=1

3B

»H3

8−„−H3

8

«–=

H3B

12

Entsprechend ergibt sich durch Vertauschen von B und H

Iz =HB3

12

und daraus unter Verwendung von Gleichung A.19

Ip =H3B + HB3

12.

Wegen der Symmetrie des Rechtecks bzgl. der Koordinatenachsen ist dasDeviationsmoment

Iyz = 0 .

Parallelverschiebung des Koordinatensystems

Verschiebt man die Achsen wie in Bild A.6 dargestellt parallel aus dem Schwer-punkt heraus mit z = z + zS, y = y + yS, erhalt man


y

z

zSS

dA

z

y

y

z

yS

Bild A.6Flachentragheitsmoment bei Parallelverschiebungder Achsen

Iy =

Zz2 dA =

Z(z + zS)2 dA

=

Zz2 dA| {z }Iy

+2zS

Zz dA| {z }0

+ z2S

ZdA| {z }

A

,

Iz =

Zy2 dA =

Z(y + yS)2 dA

=

Zy2 dA| {z }Iz

+2yS

Zy dA| {z }0

+ y2S

ZdA| {z }

A

, (A.20)

Iyz = −Z

yz dA = −Z

(y + yS)(z + zS) dA

= −Z

yz dA| {z }Iyz

− yS

Zz dA| {z }0

− zS

Zy dA| {z }0

− ySzS

ZdA| {z }

A

.

Aus diesen Gleichungen folgen die Steinerschen Satze (nach Jacob Steiner,1796 – 1863)

Iy = Iy + z2SA ,

Iz = Iz + y2SA , (A.21)

Iyz = Iyz − ySzSA .

Aus den Steinerschen Formeln erkennt man unmittelbar, dass die axialenFlachentragheitsmomente bezuglich des Schwerpunktskoordinatensystems amkleinsten sind. Die so genannten Steineranteile z2

SA und y2SA sind stets positiv,

ySzSA kann je nach Lage der Achsen positiv oder negativ sein. Bei Verschiebungaus einem beliebigen Koordinatensystem in das Schwerpunktskoordinatensys-tem mussen die Steineranteile abgezogen werden.


Beispiel A.5 Flachentragheitsmoment eines DreiecksBerechnen Sie fur den dargestellten Dreiecksquerschnitt die Flachentrag-heitsmomente Iy und Iy. Kontrollieren Sie den Zusammenhang der Fla-chentragheitsmomente Iy und Iy mit Hilfe des Steinerschen Satzes.

4a 2a

a

2a

z

S

z

y

y

Losung:Mit den Geradengleichungen fur die Hypotenuse

y = 2a − 2z , y = 6a − 2z

folgt

Iy =

ZA

z2 dA =

2aZ−a

2a−2zZ−2a

z2 dy dz =

2aZ−a

z2 [y]2a−2z−2a dz

=

2aZ−a

`4az2 − 2z3´ dz =

»4a

3z3 − 1

2z4

–2a

−a

=9

2a4

und

Iy =

ZA

z2 dA =

3aZ0

6a−2zZ0

z2 dy dz =

3aZ0

z2 [y]6a−2z0 dz

=

3aZ0

`6az2 − 2z3´ dz =

»2az3 − 1

2z4

–3a

0

=27

2a4 .

Aus Gleichung A.21 folgt fur Iy direkt

Iy =9

2a4 + (−a)2

„1

26a 3a

«=

27

2a4 .

Anmerkung: In Tabelle B.5 sind Flachentragheitsmomente von diversen Quer-schnitten angegeben.

Drehung des Koordinatensystems

Bild A.7 zeigt das durch Drehung um den mathematisch positiven Winkel ϕ ausdem Schwerpunktskoordinatensystem y, z hervorgegangene System η, ζ sowie ein


ϕS

dAη

z

y

ζ

Bild A.7Flachentragheitsmoment bei Drehung desKoordinatensystems

infinitesimales Flachenstuck dA. Die Lage im neuen Koordinatensystem lasstsich in Abhangigkeit der ursprunglichen Koordinaten berechnen.

Damit folgt beispielsweise fur das axiale Flachentragheitsmoment bezuglich desgedrehten Koordinatensystems

Iη =

ZA

ζ2 dA =

ZA

(−y sin ϕ + z cos ϕ)2 dA

=

ZA

`y2 sin2 ϕ − 2yz sin ϕ cos ϕ + z2 cos2 ϕ

´dA

= Iz sin2 ϕ + Iyz2 sin ϕ cos ϕ + Iy cos2 ϕ . (A.22)

Mit den Additionstheoremen

2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ ,

cos2 ϕ =1

2(1 + cos 2ϕ) ,

sin2 ϕ =1

2(1 − cos 2ϕ) ,

lasst sich Iη schließlich umschreiben zu

Iη =1

2(Iy + Iz) +

1

2(Iy − Iz) cos 2ϕ + Iyz sin 2ϕ . (A.23)

Entsprechend folgt

Iζ =1

2(Iy + Iz) − 1

2(Iy − Iz) cos 2ϕ − Iyz sin 2ϕ , (A.24)

Iηζ = − 1

2(Iy − Iz) sin 2ϕ + Iyz cos 2ϕ . (A.25)

Haupttragheitsmomente

Unter Haupttragheitsmomenten versteht man die durch Drehung eines Schwer-punktskoordinatensystems erreichbaren maximalen und minimalen Flachentrag-heitsmomente.


Um diese zu ermitteln leitet man das Flachentragheitsmoment Iη nach demDrehwinkel ϕ ab und setzt das Ergebnis gleich null. Damit erhalt man als Be-dingung fur ein extremales Flachentragheitsmoment die Gleichung

−1

2(Iy − Iz) 2 sin 2ϕ∗ + Iyz 2 cos 2ϕ∗ = 0 . (A.26)

Woraus sich die Bedingung fur den Drehwinkel ergibt,

tan 2ϕ∗ = 2Iyz

Iy − Iz. (A.27)

Mochte man die Extremwerte von Iz bestimmen, so erhalt man wegen der or-thogonalen Achsen dieselben Gleichungen. Fur eine Drehung um den Winkel ϕ∗

erhalt man also sowohl die maximalen als auch die minimalen Flachentrag-heitsmomente. Die zugehorigen Achsen werden Hauptachsen genannt und mit I(maximales Tragheitsmoment) und II (minimales Tragheitsmoment) bezeichnet.Da der Tangens π-periodisch ist, erhalt man zwei Losungen ϕ∗

1 und ϕ∗2, die sich

um π2

bzw. 90◦ unterscheiden, also

ϕ∗2 = ϕ∗

1 + 90◦ . (A.28)

Beide Winkel fuhren aber auf dieselben Hauptachsen, die den Winkel 90◦ ein-schließen. Das Ergebnis unterscheidet sich lediglich in der Zuordnung der Haupt-achsen zu den Koordinatenachsen η und ζ.

Vergleicht man Gleichung A.26 mit der Gleichung fur die Transformation desDeviationsmoments A.25, so sieht man, dass in einem Hauptachsensystem dasDeviationsmoment verschwindet. Ein Hauptachsensystem liegt genau dann vor,wenn das Deviationsmoment null ist. Setzt man den mit Gleichung A.27 erhal-tenen Winkel in Gleichung A.23 und A.24 ein, so kann man auch eine Formelzur direkten Berechnung der Haupttragheitsmomente herleiten. Unter Beruck-sichtigung elementarer trigonometrischer Zusammenhange folgt

II,II =Iy + Iz

2±s„

Iy − Iz

2

«2

+ I2yz . (A.29)

Im Allgemeinen benotigt man allerdings auch die Lage der Hauptachsen nachGleichung A.27, so dass sich eine Berechnung mit den Gleichungen A.27, A.23und A.24 empfiehlt.

Der Mohrsche Tragheitskreis

Die Transformationsgleichungen A.23, A.24 und A.25 fur Flachentragheitsmo-mente konnen grafisch interpretiert werden. Dies fuhrt auf den Mohrschen Trag-heitskreis (nach Christian Otto Mohr, 1853-1918).

Bild A.8 zeigt einen solchen Tragheitskreis, in dem fur den dargestellten Quer-schnitt die Tragheitsmomente bezuglich des ursprunglichen Koordinatensystems


I

S

z

II

y

Iy IIIII

2ϕ∗Iz

Iij

Iyz

−Iyz

Py

Pz

ϕ∗

Iy + Iz

2

Iy − Iz

2

Iyz

Ii

Bild A.8 Mohr’scher Tragheitskreis

y, z eingezeichnet sind, sowie die Hauptachsen I und II. Der Rotationswinkel ϕtritt im Mohr’schen Tragheitskreis mit dem doppelten Betrag und dem entge-gengesetzten Drehsinn auf.

Man erkennt auch hier, dass es stets ein maximales und ein minimales Fla-chentragheitsmoment gibt, wobei die zugehorigen Hauptachsen senkrecht auf-einander stehen. Gleichung A.27 ist als trigonometrische Beziehung im grauunterlegten Dreieck erkennbar.

Mit dem Satz von Pythagoras lasst sich in diesem Dreieck der Radius desKreises berechnen. Dies fuhrt auf Gleichung A.29.

Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Haupttragheitsmomente II und III gleichgroß sind. Dann wird der Mohr’sche Tragheitskreis zu einem Punkt und alleRichtungen sind Hauptachsen mit jeweils dem gleichen Tragheitsmoment. Diesist beispielsweise bei quadratischen oder kreisrunden Querschnitten der Fall,siehe dazu auch den folgenden Abschnitt.

Haupttragheitsachsen symmetrischer Profile

y′y

z

dA dA′

yS

Symmetrieachse

Bild A.9Symmetrischer Querschnitt


Bild A.9 zeigt einen symmetrischen Querschnitt, bei dem das Koordinatensys-tem so festgelegt sei, dass die z-Achse mit der Symmetrieachse zusammenfallt,wie in Bild A.9 gezeigt. Zu jedem Flachenelement dA mit dem Abstand y zurz-Achse gibt es ein symmetrisches Element dA′ mit dem Abstand y′ = −y. Da-her erhalt man bei der Berechnung des Deviationsmoments nach Gleichung A.18

Iyz = −ZA

yz dA = −Z12

A

yz dA −Z12

A

y′z dA

= −Z12

A

yz dA −Z12

A

−yz dA = 0 . (A.30)

Das Deviationsmoment ist demnach bei symmetrischen Querschnitten null. Diesist im Allgemeinen genau dann der Fall, wenn das gewahlte Koordinatensys-tem ein Hauptachsensystem ist. Daraus folgt, dass bei einfach symmetrischenQuerschnitten die Symmetrieachse eine Hauptachse ist. Die zweite Hauptachseverlauft orthogonal zur Symmetrieachse durch den Schwerpunkt.

I

II

I

II

I

II

Bild A.10 Hauptachsen symmetrischer Querschnitte

Hieraus lasst sich folgern, dass ein Querschnitt, der Symmetrieachsen hat, dienicht orthogonal sind, wie das Quadrat, das gleichseitige Dreieck und der Kreisin Bild A.10, mehrere Hauptachsen haben. Bei diesen Querschnitten entartet derMohrsche Tragheitskreis zu einem Punkt und alle Achsen sind Hauptachsen.

Flachentragheitsmomente zusammengesetzter Querschnitte

Ist eine Querschnittsflache A aus geometrisch einfachen Teilflachen Ai zusam-mengesetzt, deren Flachentragheitsmomente bekannt sind (z. B. nach Tabel-le B.5), so lasst sich das Flachentragheitsmoment des Gesamtquerschnitts ausder Summe der Flachentragheitsmomente der Einzelflachen berechnen, nachdemdiese zunachst auf ein gemeinsames Koordinatensystem bezogen wurden.


1

S

S2

2

y2

z2

yS2

zS2

y

z

Bild A.11Flachentragheitsmomente eineszusammengesetzten Querschnitts

Bild A.11 zeigt einen aus zwei Teilen zusammengesetzten Querschnitt mit demlokalen Koordinatensystem fur Teil 2. Fur die Flachentragheitsmomente gilt

Iy =

ZA

z2 dA =

ZA1

z2 dA1 +

ZA2

z2 dA2 + . . . =X

i

Iy i (A.31)

Iz = . . . =X

i

Iz i (A.32)

Iyz = . . . =X

i

Iyz i . (A.33)

Fur eine formalisierte Berechnung von Flachentragheitsmomenten von zusam-mengesetzten Querschnitten ist folgende Umformung der o. g. Gleichungen sinn-voll,

Iy =X

i

Iyi +X

i

z2SiAi ,

Iz =X

i

Izi +X

i

y2SiAi , (A.34)

Iyz =X

i

Iyzi −X

i

ySizSiAi ,

wobei Iy i, Iz i und Iyz i die Eigenanteile der Flachentragheitsmomente derTeilflachen (bezogen auf die jeweiligen Teilschwerpunktsachsen) sind sowie ySi

und zSi die Abstande vom Gesamtschwerpunkt zum jeweiligen Teilschwerpunkt.

Beispiel A.6 Flachentragheitsmoment eines zusammenesetzten QuerschnittsBerechnen Sie fur das dargestellte T-Profil die FlachentragheitsmomenteIy, Iz und Iyz bezuglich der Schwerpunktsachsen.


S

z

y

8a

8a

a

a

zS

y

z

Losung:Da das T-Profil zur z-Achse symmetrisch ist, ist zum einen das Deviations-moment Iyz null, zum anderen liegt der Schwerpunkt ebenfalls auf dieserAchse (ys = 0). Die z-Koordinate des Schwerpunkts berechnet sich nachGleichung A.12 zu

zS =11

4a .

Das T-Profil wird in die zwei Teilflachen Flansch (1) und Steg (2) aufgeteilt,deren (Teil-) Schwerpunkte ebenfalls auf der z-Achse liegen

yS1 = 0 , yS2 = 0 .

Die z-Koordinaten der Teilschwerpunkte ergeben sich zu

zS1 = −11

4a +

1

2a = −9

4a , zS2 = 5a − 11

4a =

9

4a .

Mit Gleichung A.34 folgt fur die gesuchten axialen Flachentrag-heitsmomente

Iy = Iy 1 + Iy 2 + z2S1A1 + z2

S2A2

=1

12a3 · 8a +

1

12a · (8a)3 +

„−9

4a

«2

· 8a2 +

„9

4a

«2

· 8a2

=373

3a4 ,

Iy = Iz 1 + Iz 2 + y2S1A1 + y2

S2A2

=1

12a · (8a)3 +

1

12a3 · 8a + 0 + 0 =

130

3a4 .

Beispiel A.7 Hauptachsen, HaupttragheitsmomenteGesucht sind die Flachentragheitsmomente Iy, Iz und Iyz bezuglich desSchwerpunktskoordinatensystems y, z sowie Hauptachsen und Haupttrag-heitsmomente II und III fur das abgebildete L-Profil.


5 cm

1 cm

6 cm

y

z

1 cm

Losung:Fur die Berechnung der Flachentragheitsmomente muss zunachst der Fla-chenschwerpunkt bestimmt werden. Dazu zerlegen wir die Flache in zweiTeilflachen und verwenden Gleichung A.12 zur Berechnung des Flachen-schwerpunktes,

yS =yS1 A1 + yS2 A2

A1 + A2=

4.5 · 6 + 2 · 46 + 4

= 3.5 cm

zS =zS1 A1 + zS2 A2

A1 + A2=

3 · 6 + 5.5 · 46 + 4

= 4 cm .

Damit kann man nun die Flachentragheitsmomente bezuglich des Schwer-punktskoordinatensystems berechnen. Dazu benotigt man die Flachentrag-heitsmomente der Teilflachen bezuglich ihrer Teilschwerpunkte, wie sie z. B.in Tabelle B.5 aufgefuhrt sind. Mit den Abmessungen b1, h1, b2 und h2 folgt

Iy =b1h

31

12+ (zS1 − zS)2 · A1 +

b2h32

12+ (zS2 − zS)2 · A2

=1 · 63

12+ (3 − 4)2 · 6 +

4 · 13

12+ (5.5 − 4)2 · 4 = 33.33 cm4

Iz =h1b

31

12+ (yS1 − yS)2 · A1 +

h2b32

12+ (yS2 − yS)2 · A2

=6 · 13

12+ (4.5 − 3.5)2 · 6 +

1 · 43

12+ (2 − 3.5)2 · 4 = 20.83 cm4

Iyz = 0 − (yS1 − yS)(zS1 − zS) A1

+ 0 − (yS2 − yS)(zS2 − zS) A2

= 0 − (4.5 − 3.5) · (3 − 4) · 6 + 0 −(2 − 3.5) · (5.5 − 4) · 4= 15 cm4 .

Die Richtung der Hauptachsen erhalt man mit Hilfe von Gleichung A.27,

tan 2ϕ∗ = 2Iyz

Iy − Iz= 2 · 15

33.33 − 20.83= 2.4 ,

⇒ 2ϕ∗ = 67.38◦ ⇒ ϕ∗1 = 33.69◦ .

Anmerkung: Als zweite Losung ergibt sich der Winkel ϕ∗2 = 33.69◦ + 90◦,

der aber auf dieselben Hauptspannungen fuhrt (vergleiche Gleichung A.28).


Die zugehorigen Haupttragheitsmomente erhalt man schließlich mit denTransformationsgleichungen A.23 und A.24,

Iη =1

2(Iy + Iz) +

1

2(Iy − Iz) cos 2ϕ + Iyz sin 2ϕ

=1

2(33.33 + 20.83) +

1

2(33.33 − 20.83) cos 67.38◦

+15 sin 67.38◦ = 43.33 cm4

Iζ =1

2(Iy + Iz) − 1

2(Iy − Iz) cos 2ϕ − Iyz sin 2ϕ

=1

2(33.33 + 20.83) − 1

2(33.33 − 20.83) cos 67.38◦

−15 sin 67.38◦ = 10.83 cm4

Die Haupttragheitsmomente sind so definiert, dass II das maximale undIII das minimale Tragheitsmoment ist, also hier

II = Iη = 43.33 cm4 , III = Iζ = 10.83 cm4 .

Die Lage der Hauptachsen I und II ist durch den Winkel ϕ∗ (oder ϕ∗2)

bestimmt:

I

II

S

zζ

ηϕ∗

2

ϕ∗1

y

Zur anschaulichen Kontrolle kann man den Mohr’schen Tragheitskreis ver-wenden.

10 20 30 40

-10

10

2ϕ∗2

0

Iij

−Iyz

Iyz

II

IIIIz

Iy 50

2ϕ∗1

Ii


Flachentragheitsmomente dunnwandiger Querschnitte

Dunnwandige Querschnitte sind Querschnitte, bei denen eine Kantenlange (z. B.die Dicke t) wesentlich kleiner als die andere ist (z. B. die Lange a), d. h. t � a.

Bei der Berechnung von Flachentragheitsmomenten von dunnwandigen Quer-schnitten konnen dann meistens die Eigenanteile der Flachentragheitsmomentevernachlassigt werden, wenn die kleinere Kantenlange potenziert wird.

Die Steineranteile dieser (Teil-)Querschnitte durfen jedoch auf keinen Fall ver-nachlassigt werden. Sie liefern dennoch einen wesentlichen Anteil zum gesamtenFlachentragheitsmoment und mussen deswegen unbedingt in Betracht gezogenwerden.

Beispiel A.8 Flachentragheitsmoment eines dunnwandigen QuerschnittsBerechnen Sie das axiale Flachentragheitsmoment des skizzierten dunnwan-digen T-Profils (t � a) bezuglich der angegebenen Schwerpunktsachse y.

a

Sy

a

z

t

ta/4

Losung:Mit der Aufteilung des Querschnitts in die beiden Teilflachen Flansch (1)und Steg (2) ergibt sich fur die z-Koordinaten der Teilschwerpunkte

zS1 = −a

4, zS2 =

a

4.

Die Eigenanteile der Flachentragheitsmomente der Teilflachen sind unterBerucksichtigung der Dunnwandigkeit (t � a)

Iy 1 =at3

12≈ 0 , Iy 2 =

a3t

12.

Aus Gleichung A.34 folgt fur das gesuchte axiale Flachentragheitsmoment

Iy = Iy 1 + Iy 2 + z2S1A1 + z2

S2A2

= 0 +a3t

12+“−a

4

”2

at +“a

4

”2

at =5

24a3t .

Die Auswirkung der Vernachlassigung der Eigenanteile zeigt die Betrach-tung unterschiedlicher Abmessungsverhaltnisse a/t:


Fur a/t = 10 folgt

Iy =1250

6t4 , Iy 1 =

5

6t4 ,

fur a/t = 100 folgt

Iy =625000

3t4 , Iy 1 =

25

3t4 .

Die Abweichung von der exakten Losung betragt damit fur a/t = 10 0.4%bzw. fur a/t = 100 sogar nur noch 0.004%.

A.3.4 Volumentragheitsmoment

Entsprechend den Flachentragheitsmomenten fur eine Flache in Gleichung A.17sind fur ein Volumen V die axialen Volumentragheitsmomente bezuglich einesSchwerpunktskoordinatensystems definiert durch

Θ(S)x =

Z `y2 + z2´ dV , (A.35)

Θ(S)y =

Z `z2 + x2´ dV , (A.36)

Θ(S)z =

Z `x2 + y2´ dV , (A.37)

die deviatorischen Tragheitsmomente lauten

Θ(S)xy = Θyx = −

Zxy dV , (A.38)

Θ(S)yz = Θzy = −

Zyz dV , (A.39)

Θ(S)zx = Θxz = −

Zzx dV . (A.40)

Die Volumentragheitsmomente bezuglich der Parallelen zu den Achsen durcheinen Punkt A(xA, yA, zA) lassen sich mit Hilfe der Steiner’schen Satze berech-nen,

Θ(A)x = Θ(S)

x + V (y2A + z2

A) (A.41)

Θ(A)y = Θ(S)

y + V (x2A + z2

A) (A.42)

Θ(A)z = Θ(S)

z + V (x2A + y2

A) (A.43)

Θ(A)xy = Θ(S)

xy − V (xA yA) (A.44)

Θ(A)yz = Θ(S)

yz − V (yA zA) (A.45)

Θ(A)zx = Θ(S)

zx − V (zA xA) (A.46)


Beispiel A.9 Massentragheitsmoment eines QuadersVon dem abgebildeten Quader ist das Massentragheitsmoment bezuglichder x-Achse durch den Schwerpunkt S gesucht.

z

x

y

a

c

bS

Losung:Nach Gleichung A.35 ist

Θ(S)x =

Z `y2 + z2´ dV

Die Integration kann nacheinander in jeder Achsrichtung erfolgen. Die In-tegrationsgrenzen mussen dabei so gewahlt werden, dass genau uber dasgesamte Volumen des Quaders integriert wird, also

Θ(S)x =

c/2Z−c/2

b/2Z−b/2

a/2Z−a/2

`y2 + z2´ dx dy dz

=

c/2Z−c/2

b/2Z−b/2

`y2 + z2´ a dy dz

=

c/2Z−c/2

»„1

3y2 + z2

«y a

–y=b/2

y=−b/2

dz

=

c/2Z−c/2

„b2

12+ z2

«ab dz

=

»„b2

12+

1

3z2

«zab

–z=c/2

z=−c/2

=b2 + c2

12abc .

A.4 Vektor- und Matrizenrechnung

In diesem Abschnitt wird stets von einem kartesischen Koordinatensystem aus-gegangen. Auf eine Einfuhrung in die Tensorrechnung wird verzichtet, da diesefur die Grundlagen der Mechanik nicht benotigt wird.

A.4 Vektor- und Matrizenrechnung 475

A.4.1 Vektoren

Darstellung eines Vektors

In einem kartesischen Koordinatensystem ist in Richtung jeder Achse ein Ein-heitsvektor der Lange 1 definiert. Ein allgemeiner Vektor a, dargestellt durcheinen Pfeil, setzt sich aus Vielfachen dieser Einheitsvektoren zusammen.

ax

az

ex

ayey

ez

a

z

y

x

a = ax ex + ay ey + az ez

=3X

i=1

ai ei

In der Regel wird die matrizielle Schreibweise verwendet, d. h. es werden lediglichdie Faktoren ax, ay, az in einer Spaltenmatrix notiert

a =

264 ax

ay

az

375 .

Das verwendete kartesische Koordinatensystem muss als Rechtshandsystem de-finiert sein, d. h. die Lage der orthogonalen Koordinatenachsen entspricht demgespreizten Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wie inBild A.12 dargestellt ist.

Bild A.12Rechtshandsystem

x

z

y

x

y

z

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt a · b zweier Vektoren a und b ist ein Skalar c:


b

ϕ a

b cos ϕ

a

c = a · b = ab cos(ϕ)

= axbx + ayby + azbz

= aTb = [ax, ay, az]

264 bx

by

bz

375 .

Betrag eines Vektors

Der Betrag (die”Lange“) eines Vektors lasst sich mit Hilfe des Skalarproduktes

berechnen:

a = |a| =√

a · a =q

a2x + a2

y + a2z

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt a × b zweier Vektoren a und b ist einVektor c, der senkrecht auf der von den Vektoren a und b aufgespannten Flachesteht. Dabei ist der Betrag des Vektors |c| gleich dem Flacheninhalt A des vona und b aufgespannten Parallelogramms.

b

a

A = |c|

c = a× b

c = a × b


Die Berechnung des Vektorprodukts kann mit Hilfe der Sarrus-Regel erfolgen:

c = det

0B@ ex ey ez

ax ay az

bx by bz

1CA =

˛˛ ex ey ez

ax ay az

bx by bz

˛˛

= (aybz − azby)ex + (azbx − axbz)ey + (axby − aybx)ez

= [aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx]

264 ex

ey

ez

375= [aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx] e

= eT

264 aybz − azby

azbx − axbz

axby − aybx

375Die drei Vektoren a, b und c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtshandsys-tem, siehe Bild A.12. Daher lasst sich auch die folgende Rechenregel fur dasVektorprodukt leicht nachvollziehen:

a × b = −b × a

A.4.2 Dyaden (Tensoren 2. Stufe)

Um zum Beispiel Spannungszustande dreidimensional darstellen zu konnen, wer-den in der Mechanik Dyaden bzw. Tensoren 2. Stufe benotigt.

Darstellung eines Tensors 2. Stufe

Tensoren 2. Stufe konnen sowohl nach der Einsteinschen Summenkonvention alsauch in der Komponentenschreibweise geschrieben werden:

σ = σijeiej

= σxxexex + σxyexey + σxzexez

+ σyxeyex + σyyeyey + σyzeyez

+ σzxezex + σzyezey + σzzezez .

In der matriziellen Schreibweise sieht die Darstellung folgendermaßen aus:

σ = eTσe

=h

ex ey ez

i264 σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

375264 ex

ey

ez

375 .


Die Ausfuhrung des Matrizenprodukts nach dem Falkschen Schema ergibt wie-der 264 ex

ey

ez

375264 σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

375264 σxxex + σxyey + σxzez

σyxex + σyyey + σyzez

σzxex + σzyey + σzzez

375h

ex ey ez

i= σxxexex + σxyexey + σxzexez

+ σyxeyex + σyyeyey + σyzeyez

+ σzxezex + σzyezey + σzzezez .

Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen (Dyaden)

Fur symmetrische Matrizen (Dyaden) gilt

σyx = σxy ,

σzx = σxz ,

σzy = σyz .

Fur alle symmetrischen Dyaden gibt es eine Drehtransformation in eine Diago-nalform, also

σ∗ =

264 σ1 0 0

0 σ2 0

0 0 σ3

375 .

Die Diagonalelemente heißen Eigenwerte oder Hauptwerte der Dyade. Es gilt

[σ − σiI] = 0 ,

woraus die Bedingung

det

264 σxx − σi σxy σxz

σxy σyy − σi σyz

σxz σyz σzz − σi

375 = 0

folgt.Aus der Determinante berechnet sind das charakteristische Polynom zur Be-stimmung der Eigenwerte

σ3i − I1σ

2i + I2σi − I3 = 0


mit den Invarianten

I1 = σxx + σyy + σzz ,

I2 = σxxσyy + σyyσzz + σzzσxx − `σ2xy + σ2

yz + σ2zx

´,

I3 = det σ = σxx

`σyyσzz − σ2

yz

´− σxy (σxyσzz − σyzσxz)

+ σxz (σxyσyz − σyyσxz) .

Sind die Eigenwerte bestimmt, so konnen die zugehorigen Eigenvektoren xi auseinem linearen Gleichungssystem berechnet werden,264 σxx − σi σxy σxz

σxy σyy − σi σyz

σxz σyz σzz − σi

375264 xi

yi

zi

375 =

264 0

0

0

375 .

Die Eigenvektoren beschreiben die Orientierung des Hauptachsensystems be-zuglich des inertialen Koordinatensystems.

Anmerkung: Fur symmetrische Matrizen sind alle Eigenwerte σi und Eigenvek-toren xi reell!

Mit Hilfe der Eigenvektoren lasst die Dyade σ in die Diagonalform σ∗ transfor-mieren:

σ∗ = AT

σA mit A = [ x1, x2, x3 ]

Ebenes Problem

Fur ebene symmetrische Probleme gilt

σ =

264 σxx σxy 0

σxy σyy 0

0 0 0

375mit den Invarianten

I1 = σxx + σyy

I2 = σxxσyy − σ2xy

I3 = 0

und dem charakteristischen Polynom

σ3i − I1σ

2i + I2σi − I3 = 0 .

Mit der trivialen Losung

σ3 = 0


folgen die restlichen Eigenwerte aus

σ2i − (σxx + σyy) σi +

`σxxσyy − σ2

xy

´= 0 .

Die Losungen dieser quadratischen Gleichung lauten

σ1,2 =σxx + σyy

2±r“σxx + σyy

2

”2

− `σxxσyy − σ2xy

´=

σxx + σyy

2±r“σxx − σyy

2

”2

+ σ2xy .

Beispiel A.10 Eigenwerte, EigenvektorenBerechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der gegebenen (symme-trischen) Matrix.

σ =

264 4√

3 0√3 2 0

0 0 0

375Losung:Die Eigenwerte lassen sich entweder durch Nullstellenbestimmung des cha-rakteristischen Polynoms oder mit Hilfe der Invarianten bestimmen. Hiersollen beide Wege gezeigt werden. Mit Hilfe der Invarianten folgt unmittel-bar

σ1,2 =4 + 2

2±s„

4 − 2

2

«2

+√

32

= 3 ± 2 .

Das charakteristische Polynom lautet

det

264 4 − σi

√3 0√

3 2 − σi 0

0 0 0

375 = (4 − σi) (2 − σi) − 3 = 0

mit den Losungen

σ2i − 6σi + 5 = 0 ⇒ σ1,2 = 3 ±√

9 − 5 = 3 ± 2 .

Damit lauten die Eigenwerte

σ1 = 5 ,

σ2 = 1 .

Der 1. Eigenvektor x1 lasst sich nun aus mit Hilfe des 1. Eigenwertes σ1

durch Losung eines linearen Gleichungssystems losen:"4 − 5

√3√

3 2 − 5

#"x1

y1

#=

"0

0

#

⇒ −x1 +√

3 y1 = 0√3 x1 − 3y1 = 0

⇒ x1 =√

3 y1

A.5 Ubungsaufgaben 481

Dieses Gleichungssystem ist linear abhangig, da sich Eigenvektoren nur bisauf einen Faktor bestimmen lassen! Notwendig ist eine Normierung desVektors auf die Lange 1:

||x1|| = 1 ⇒ x1 =1

2

" √3

1

#.

Analog bestimmt sich der 2. Eigenvektor x2 mit Hilfe des 2. Eigenwertes σ2

zu "4 − 1

√3√

3 2 − 1

#"x2

y2

#=

"0

0

#⇒ x2 =

1

2

"1

−√3

#.

Die Matrix der Eigenvektoren

A =h

x1 x2

i=

1

2

" √3

1

1

−√3

#

beschreibt die Hauptachsentransformation

σ∗ = AT

σA =

"5 0

0 1

#.

A.5 Ubungsaufgaben

Aufgabe A.1 (Schwierigkeitsgrad 1)

Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinaten des abgebildeten gleichseitigenDreiecks mit der Seitenlange a.

Gegeben: a

a a

y

a

x

Losung:

xS =a

2, yS =

√3

6a



Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinaten einer Halbkugel mit dem Radius r.

Gegeben: r

y

xr

Losung:

yS =3

8r


Wo liegt der Schwerpunkt des abgebildeten Rotationsparaboloids?Es handelt sich um eine quadratische Parabel.

Gegeben: R, h

��

��

R

y

h

xz

Losung:

xS = 0

yS = 13h

zS = 0


Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinaten fur die Linie y = x2 im Bereichx ∈ [0, 1].

Gegeben: siehe Skizze


y = x2

x

yLosung:

x =

√5

12;

y =1

4

√125

2√

5 + ln(1 +q

54)− 1

16≈ 0.473


Bestimmen Sie die Koordinate zS der Linienschwerpunkte.

Gegeben: siehe Skizze

10 cm

z 10 cm

10 cm

y

zy

a) b)Losung:

a) zS =20

3cm

b) zS =20

πcm


Geben Sie die Schwerpunktskoordinaten (xS, yS) der folgenden Flachen an.

Gegeben: a, b

b2 b

xa

y y

a

bx

a

a2y

a

a

a a

a2

a

a

a

a2

x

b4

y

a2

a)

c) d)

b)

x

Losung:

a) xS =1

3b, yS =

1

3a

b) xS =41

44b, yS =

5

11a

c) xS =59

60a, yS =

59

60a

d) xS = − 1

60a, yS =

1

60a



Bestimmen Sie fur das skizzierte Profil die Tragheitsmomente Iy und Iz.

Gegeben: r

y

z

r

Losung:

Iy =πr4

8

Iz =πr4

8


Fur den unten abgebildeten Hohlkasten ermittle man die Flachentragheitsmo-mente Iy, Iz, Iyz und Ip fur das im Schwerpunkt liegende Achsenkreuz.

Gegeben: h1 = 20 cm, h2 = 10 cm, h3 = 12 cm, h = 162 cm, b = 200 cm

z

S hh2

h3

h2

h1

y

b

Losung:

Iz = 4.482 · 107 cm4

Iy = 3.657 · 107 cm4

Ip = 8.139 · 107 cm4

Iyz = 0


Bestimmen Sie fur den mit seinen Abmessungen dargestellten Bruckenquer-schnitt die Tragheitsmomente Iy und Iz.

Gegeben:


z

y

20

[dm]12 10

2

3

S2

31

Losung:

Iy = 11424.7 dm4

Iz = 21989.4 dm4


Berechnen Sie fur den dargestellten Querschnitt die Flachentragheitsmomen-te Iy und Iz bezuglich der Schwerpunktsachsen y und z.

Gegeben: a = 1 cm

6a

z

y

3a2a3a

Losung:

Iy = 79.2 cm4

Iz = 85.0 cm4


Berechnen Sie fur den dargestellten Querschnitt das FlachentragheitsmomentIy bezuglich der Schwerpunktsachse y.

Gegeben: a

y

3a

4a

2a

2a

z

a

Losung:

Iy = 85.71 a4



Berechnen Sie fur den dargestellten Querschnitt die Flachentragheitsmomen-te Iy und Iz bezuglich der Schwerpunktsachsen y und z.

Gegeben: Maße in cm

1

1

6

1 2 2 1

y

z

Losung:

Iy = 216.0 cm4

Iz = 136.0 cm4


Gesucht sind die Haupttragheitsmomente und die Lage der Haupttragheitsach-sen fur den gegebenen dunnwandigen Querschnitt.

Gegeben: b = 200 mm, h = 100 mm, t = s = 10 mm

b

hst

Losung:

I1 = 15452243 mm4

I2 = 1607870 mm4

ϕ∗ = −16.29◦

B Hilfsmittel

Zug/Druck Biegung

z

x

Verschiebung Schnittgroßen Verschiebung Schnittgroßen

u = 0 — w = 0, w′ = 0 —

u = 0 — w = 0 M = 0

— N = 0 w = 0 M = 0

u = 0 — w′ = 0 V = 0

— N = 0 w = 0, w′ = 0 —

— N = 0 — V = 0, M = 0

sprungR

L

Steifigkeits-

uL = uR —w′

L = w′R

wL = wR

—

Momenten-gelenk uL = uR — wL = wR ML = MR = 0

Querkraft-gelenk uL = uR — w′

L = w′R VL = VR = 0

Normalkraft-gelenk — NL = NR = 0

wL = wR

w′L = w′

R

—

Tabelle B.1 Rand- und Ubergangsbedingungen

488 Anhang B Hilfsmittel

��

��

ba

�

xA B

α =a

�, β =

b

�, ξ =

x

�

��

��

F

A B

EIw′A =

F�2

6

`−β3 + β´

EIw′B =

F�2

6

`α3 − α

´

EIw(x) =

8>>><>>>:F�3

6

ˆβ ξ`−ξ2 − β2 + 1

´˜fur x ≤ a

F�3

6

hβ ξ`−ξ2 − β2 + 1

´+ (ξ − α)3

ifur x ≥ a

��

��

q0

A B

EIw′A =

q0�3

24

EIw′B = − q0�3

24

EIw(x) =q0�4

24

`ξ4 − 2ξ3 + ξ

´

��

��

q0

A BEIw′

A =q0�3

24

`1 − β2

´2EIw′

B =q0�3

24

`β4 − 4 β3 + 4 β2 − 1

´

EIw(x) =

8>>><>>>:q0�4

24

hξ4 − 2

`1 − β2

´ξ3 +

`1 − β2

´2ξi

fur x ≤ a

q0�4

24

hξ4 − 2

`1 − β2

´ξ3 +

`1 − β2

´2ξ − (ξ − α)4

ifur x ≥ a

��

��

q0

BA

EIw′A =

7q0�3

360

EIw′B = − q0�3

45

EIw(x) =q0�4

360

`3 ξ5 − 10 ξ3 + 7 ξ

´

��

��

M0

A B

EIw′A =

M0�

6

`3 β2 − 1

´EIw′

B =M0�

6

`3 α2 − 1

´

EIw(x) =

8>>><>>>:M0�2

6

ˆξ3 +

`3 β2 − 1

´ξ˜

fur x ≤ a

M0�2

6

hξ3 +

`3 β2 − 1

´ξ − 3 (ξ − α)2

ifur x ≥ a

Tabelle B.2 Biegelinientafel fur Einfeldbalken

Anhang B Hilfsmittel 489

��

��

Bx

A

�

baα =

a

�, β =

b

�, ξ =

x

�

��

�� F

A B

EIw′A = 0

EIw′B =

Fa2

2

EIw(x) =

8>>><>>>:F�3

6

`−ξ3 + 3 α ξ2´

fur x ≤ a

F�3

6

h−ξ3 + 3 α ξ2 + (ξ − α)3

ifur x ≥ a

��

�� q0

A B

EIw′A = 0

EIw′B =

q0�3

6

EIw(x) =q0�4

24

`ξ4 − 4 ξ3 + 6 ξ2

´

��

�� q0

A B

EIw′A = 0

EIw′B =

q0�3

6

`β3 − 3 β2 + 3 β

´

EIw(x) =

8>>><>>>:q0�4

24

ˆ−4 β ξ3 + 6 β (2 − β) ξ2˜

fur x ≤ a

q0�4

24

h−4 β ξ3 + 6 β (2 − β) ξ2 + (ξ − α)4

ifur x ≥ a

��

��

q0

A B

EIw′A = 0

EIw′B =

q0�3

24

EIw(x) =q0�4

120

`−ξ5 + 5 ξ4 − 10 ξ3 + 10 ξ2´

��

�� M0

A B

EIw′A = 0

EIw′B = M0a

EIw(x) =

8>>><>>>:M0�2

2ξ2 fur x ≤ a

M0�2

2

`2 α ξ − α2

´fur x ≥ a

Tabelle B.3 Biegelinientafel fur Kragarm


g(x)

f(x) k

s

k k

s s

k k2s

k1

i i

ssik 1

2sik 1

2sik 1

2si(k1 + k2)

i

s

12sik 1

3sik 1

6sik 1

6si(k1 + 2k2)

i2

si1

12s(i1 + i2)k 1

6s(i1 + 2i2)k 1

6s(2i1 + i2)k 1

6s(2i1k1 + 2i2k2

+i1k2 + i2k1)

i

s

quadratisch

23sik 1

3sik 1

3sik 1

3si(k1 + k2)

i

s

quadratisch

23sik 5

12sik 1

4sik 1

12si(3k1 + 5k2)

i

s

quadratisch13sik 1

4sik 1

12sik 1

12si(k1 + 3k2)

i

s

kubisch14sik 1

5sik 1

20sik 1

20si(k1 + 4k2)

i

s

kubisch

38sik 11

40sik 1

10sik 1

40si(4k1 + 11k2)

i

s

kubisch14sik 2

15sik 7

60sik 1

60si(7k1 + 8k2)

Bei quadratischen Parabeln kennzeichnet ◦ den Scheitelpunkt der Parabel,bei kubischen Parabeln den Wendepunkt (Nullstelle der zweiten Ableitung)

Tabelle B.4 Werte der IntegraleR

(s)

f(x) g(x) dx

Anhang B Hilfsmittel 491

Rechteck

hS

z

y

b

y

A = bh

Iy =bh3

12

Iz =hb3

12Iyz = 0

Iy =bh3

3

Ip =bh

12(h2 + b2)

Quadrat

S

z

ya

a

y

A = a2

Iy = Iz =a4

12

Iyz = 0

Iy =a4

3

Ip =a4

6

IT = 0.140a4

WT = 0.208a3

Dreieck

hy S

zb

a

y

h

3

A =bh

2

Iy =bh3

36

Iz =bh

36(b2 − ba + a2)

Iyz =bh2

72(b − 2a)

Iy =bh3

12

Ip =bh

36(h2 + b2

−ba + a2)

Kreis

S

z

yR

y

A = πR2

Iy = Iz =πR4

4Iyz = 0

Iy =5πR4

4

Ip = IT =πR4

2

WT =πR3

2

dunner Kreisring

S

z

y

h

R

y

h � R

A=2πRh

Iy = Iz = πR3h

Iyz = 0

Iy = 3πR3h

Ip = IT = 2πR3h

WT = 2πR2h

Halbkreis

z

y SR

y

4

3πR

A =πR2

2

Iy =R4

72π(9π2 − 64)

Iz = Iy =πR4

8

Iyz = 0

Ip =πR4

36π(9π2 − 32)

Ellipse

z

y

b

a

y

SA = πab

Iy =π

4ab3

Iz =π

4ba3

Iyz = 0

Iy =5π

4ab3

Ip =πab

4(a2 + b2)

IT = πa3b3

a2 + b2

WT =a2b

2(a > b)

Tabelle B.5 Flachenmaße einfacher Geometrien


Geometrie Massentragheitsmomente

Punktmasse

a

�

mΘa = m�2

dunner Stab

S

a

a

s

s

�

Θs =m�2

12

Θa =m�2

3

Quader

S

s

sa

a

d

b

c

Θs =1

12m`b2 + d2

´Θa = m

„1

3b2 +

1

12d2

«

Kreiszylinder

s

S

b b

a

a s

�

r

Θs =1

2mr2

Θa =3

2mr2

Θb =1

4mr2 +

1

12m�2

dunne Kreisscheibe

S

a

a

s

s

r

Θs =1

2mr2

Θa =1

4mr2

Kugel

S

a

a

r

Θs =2

5mr2

Θa =7

5mr2

Tabelle B.6 Massentragheitsmomente einfacher Korper mit konstanter Dichte

C Englische Fachbegriffe

Als Hilfe zum Verstandnis englischer Fachliteratur ist im Folgenden eine Ubersicht derwichtigsten Begriffe der Mechanik in englischer und deutscher Sprache wiedergegeben.Hinter dem deutschen Begriff ist in Klammern jeweils die Nummer des entsprechen-den Kapitels angegeben, sie ermoglicht ein Nachschlagen des Zusammenhangs, in demder jeweilige Begriff verwendet wird. Um das rasche Auffinden der Begriffe in beidenSprachen zu ermoglichen, ist die gesamte Vokabelliste zunachst englisch–deutsch undanschließend deutsch–englisch abgedruckt.

Zur vertieften Einarbeitung in die englische Fachsprache eignet sich auch die englische

Version dieses Buches, die zurzeit in Arbeit ist und nach Fertigstellung im Internet

unter www.tm-kompakt.de zum Download bereitgestellt wird.

Englisch–deutsche Vokabelubersicht

acceleration Beschleunigung (18)amplitude Amplitude (21)angular frequency Kreisfrequenz (21)angular momentum Drall (20)angular momentum Drehimpuls (20)angular velocity Winkelgeschwindigkeit (18)arch Bogentrager (6)area Flacheninhalt (A)area Flache (A)at-rest position statische Ruhelage (21)axial force Normalkraft (6)axial moment of inertia Massentragheitsmoment (20)axial stiffness Dehnsteifigkeit (7)axial stress Axialspannung (8)axiom Axiom (1)bar Stab (11)base excitation Fußpunktanregung (21)beam Balken (6)bearing Lager (3)bending Biegung (12)bending moment Biegemoment (6)bending stiffness Biegesteifigkeit (12)body Korper (1)boundary condition Randbedingung (12)

494 Anhang C Englische Fachbegriffe

brittle sprode (17)buckling Knicken (16)cantilever beam Kragarm (B)Cartesian coordinates Kartesische Koordinaten (18)center of gravity Schwerpunkt (5)central system of forces zentrales Kraftesystem (2)centripetal acceleration Zentripetalbeschleunigung (18)centroid geometrischer Schwerpunkt (A)centroidal axis Schwerachse (12)chain Kette (6)circular arc Kreisbogentrager (6)circular motion Kreisbewegung (18)circular tube Kreisrohr (13)coefficient of restitution Stoßzahl (19)composite beam Verbundbalken (14)compression Druckspannung (11)compression Kompression (19)compression force Druckkraft (4)conservation of energy Energieerhaltung (20)conservation of momentum Impulserhaltung (19)conservative force konservative Kraft (20)continuum Kontinuum (1)coordinate system Koordinatensystem (18)critical load kritische Last (16)critically damped kritische Dampfung (21)critically damped state aperiodischer Grenzfall (21)curvature Krummung (12)curved beam gekrummter Balken (6)cylinder coordinates Zylinderkoordinaten (18)damped vibration gedampfte Schwingung (21)damper Dampfer (21)damping Dampfung (21)damping coefficient Dampferkonstante (21)damping ratio Dampfungsgrad (21)deflection curve Biegelinie (12)deformation energy Formanderungsenergie (15)degree of freedom Freiheitsgrad (3)density Dichte (5)displacement Verschiebung (9)displacement vector Verschiebungsvektor (9)displacement-time graph Weg-Zeit-Diagramm (21)distributed load verteilte Last (5)ductile duktil (17)dynamics Dynamik (1)eigenfrequency Eigenfrequenz (21)elastic elastisch (19)elastic modulus Elastizitatsmodul (7)elastic section modulus Widerstandsmoment (12)elastostatics Elastostatik (7)elongation Verlangerung (11)

Anhang C Englisch–deutsche Vokabelubersicht 495

energy dissipation Energieverlust (19)energy method Energiemethode (15)energy theorem Arbeitssatz (15)equation of motion Bewegungsgleichung (20)equilibrium Gleichgewicht (3)equivalent stress Vergleichsspannung (17)excitation Anregung (21)finite elements Finite Elemente (15)fixed support Festlager (3)flexure Biegung (12)force Kraft (2)force of impact Kraftstoß (19)forced vibration erzwungene Schwingung (21)frame Rahmen (6)free vibration freie Schwingung (21)free-body diagram Freikorperbild (3)frequency Frequenz (21)frequency ratio Frequenzverhaltnis (21)friction Reibung (19)friction of ropes Seilreibung (19)gravitation force Gewichtskraft (5)gravitational acceleration Erdbeschleunigung (5)harmonic excitation harmonische Anregung (21)harmonic oscillation harmonische Schwingung (21)harmonic vibration harmonische Schwingung (21)hinge Gelenk (3)hinged bar Pendelstab (3)hinged column Pendelstutze (3)homogeneous homogen (10)Hooke’s law Hookesches Gesetz (10)hydrostatic state of stress hydrostatischer Spannungszustand (8)imbalance excitation Unwuchtanregung (21)impact Stoß (19)inclined plane schiefe Ebene (20)indifferent indifferent (16)initial condition Anfangsbedingung (21)instantaneous center of rotation Momentanpol (20)internal forces and moments Schnittgroßen (6)isotropic isotrop (10)joint Gelenk (3)kinematically indeterminated kinematisch unbestimmt (3)kinematics Kinematik (18)kinetic energy kinetische Energie (19)kinetics Kinetik (19)lever arm Hebelarm (2)line load Linienlast (5)line load Streckenlast (5)line of action Wirkungslinie (2)linear motion geradlinige Bewegung (18)load Last (5)


logarithmic decrement logarithmisches Dekrement (21)magnification factor Vergroßerungsfunktion (21)mass Masse (19)matching condition Ubergangsbedingung (12)material equation Materialgleichung (10)material equation Stoffgleichung (10)material property Werkstoffkennwert (10)mathematical pendulum mathematisches Pendel (21)mechanical work mechanische Arbeit (15)mechanics Mechanik (1)method of joints Knotenpunktverfahren (4)method of sections Schnittprinzip (3)method of sections (truss) Ritter-Schnitt-Verfahren (Fachwerk) (4)model Modell (1)Mohr’s circle of inertia Mohrscher Tragheitskreis (A)Mohr’s circle of stress Mohrscher Spannungskreis (8)moment Moment (2)moment of inertia Flachentragheitsmoment (A)momentum Impuls (19)motion Bewegung (18)natural coordinates naturliche Koordinaten (18)natural frequency Eigenfrequenz (21)neutral axis Spannungsnulllinie (12)neutral axis neutrale Faser (12)node Knoten (4)normal stress Normalspannung (8)oblique centric impact schiefer zentrischer Stoß (19)oscillation Schwingung (21)overdamped stark gedampft (21)parallel connection Parallelschaltung (21)parallel-axis theorems Steinersche Satze (A)parallelogram of forces Krafteparallelogramm (2)pendulum Pendel (21)period Periode (21)period Schwingungsdauer (21)phase angle Phasenverschiebung (21)phase angle Phasenwinkel (21)planar impact ebener Stoß (20)plane bending ebene Biegung (12)plane stress ebener Spannungszustand (8)plane stress ebener Verzerrungszustand (9)plastic plastisch (19)point mass Massenpunkt (19)point of application Angriffspunkt (2)Poisson’s ratio Querkontraktionszahl (10)polar coordinates Polarkoordinaten (18)polar moment of inertia polares Flachentragheitsmoment (A)position vector Ortsvektor (18)potential Potential (19)potential energy potentielle Energie (15)

Anhang C Englisch–deutsche Vokabelubersicht 497

power Leistung (19)preservation of shape Formtreue (13)pressure Druck (5)pressure vessel Kessel (8)principal axis Hauptachse (A)principal moment of inertia Haupttragheitsmoment (A)principal strain Hauptdehnung (9)principal stress Hauptspannung (8)principle Prinzip (1)product of inertia Deviationsmoment (A)projectile motion schiefer Wurf (19)pulley Seilrolle (3)pure bending reine Biegung (12)quantity Große (1)radial velocity Radialgeschwindigkeit (18)reaction force Reaktionskraft (3)reaction of joint Gelenkreaktion (3)relative angle-of-twist Drillung (13)resonance Resonanz (21)response Antwort (21)response of a system Systemantwort (21)restitution Restitution (19)resultant Resultierende (2)rigid body starrer Korper (2)rigid body motion Starrkorperbewegung (20)rod Stab (4)roller support Loslager (3)rope Seil (3)rope line Seillinie (6)rotation Rotation (20)section Schnittufer (6)self-weight Eigengewicht (6)sense (of a moment) Drehsinn (eines Moments) (2)series connection Reihenschaltung (21)shear Schub (13)shear center Schubmittelpunkt (13)shear flow Schubfluss (13)shear force Querkraft (6)shear modulus Schubmodul (10)shear stress Schubspannung (8)shearing strain Gleitung (9)sign convention Vorzeichenkonvention (8)simply supported beam Einfeldbalken (B)skew bending schiefe Biegung (12)slide bearing Gleitlager (3)slipping Gleiten (19)specific weight spezifisches Gewicht (5)spring Feder (16)spring combination Federschaltung (21)spring constant Federkonstante (16)


stability Stabilitat (16)stable stabil (16)state of stress Spannungszustand (8)static moment statisches Moment (A)statical determined statisch bestimmt (3)statical determinism statische Bestimmtheit (3)statical indetermined statisch unbestimmt (3)statics Statik (1)sticking Haften (19)sticking coefficient Haftzahl (19)stiffness Steifigkeit (7)straight centric impact gerader zentrischer Stoß (19)strain Dehnung (9)strain Verzerrung (9)strain tensor Verzerrungstensor (9)strength of materials Festigkeitslehre (17)stress Beanspruchung (17)stress Spannung (8)stress tensor Spannungstensor (8)superposition Uberlagerung (14)superposition Superposition (14)support Lager (3)support reaction Lagerreaktion (3)surface load Flachenlast (5)surface load Oberflachenlast (5)symmetric cross section symmetrisches Profil (A)symmetry Symmetrie (A)tangent Tangente (18)tangential velocity Bahngeschwindigkeit (18)temperature Temperatur (10)tensile force Zugkraft (4)tensile test Zugversuch (10)tension Zugspannung (11)thermal expansion Warmedehnung (10)thin-walled dunnwandig (13)torque Torsionsmoment (13)torsion Torsion (13)torsion stiffness Torsionssteifigkeit (13)torsional moment Torsionsmoment (13)torsional spring Drehfeder (16)transient motion Einschwingvorgang (21)truss Fachwerk (4)undamped motion ungedampfte Bewegung (21)underdamped schwach gedampft (21)unit Einheit (1)unloaded truss Nullstab (4)unstable labil (16)velocity Geschwindigkeit (18)vibration Schwingung (21)virtual displacement virtuelle Verruckung (15)

Anhang C Deutsch–englische Vokabelubersicht 499

virtual force virtuelle Kraft (15)virtual work virtuelle Arbeit (15)viscous damping viskose Dampfung (21)volumetric moment of inertia Volumentragheitsmoment (A)warp Verwolbung (13)warping torsion Wolbkrafttorsion (13)weight Gewicht (5)weight force Schwerkraft (5)work Arbeit (15)yield criterion Beanspruchungshypothese (17)Young’s modulus Elastizitatsmodul (7)

Deutsch–englische Vokabelubersicht

Amplitude (21) amplitudeAnfangsbedingung (21) initial conditionAngriffspunkt (2) point of applicationAnregung (21) excitationAntwort (21) responseaperiodischer Grenzfall (21) critically damped stateArbeit (15) workArbeitssatz (15) energy theoremAxialspannung (8) axial stressAxiom (1) axiomBahngeschwindigkeit (18) tangential velocityBalken (6) beamBeanspruchung (17) stressBeanspruchungshypothese (17) yield criterionBeschleunigung (18) accelerationBewegung (18) motionBewegungsgleichung (20) equation of motionBiegelinie (12) deflection curveBiegemoment (6) bending momentBiegesteifigkeit (12) bending stiffnessBiegung (12) bendingBiegung (12) flexureBogentrager (6) archDampfer (21) damperDampferkonstante (21) damping coefficientDampfung (21) dampingDampfungsgrad (21) damping ratioDehnsteifigkeit (7) axial stiffnessDehnung (9) strainDeviationsmoment (A) product of inertiaDichte (5) densityDrall (20) angular momentumDrehfeder (16) torsional springDrehimpuls (20) angular momentumDrehsinn (eines Moments) (2) sense (of a moment)


Drillung (13) relative angle-of-twistDruck (5) pressureDruckkraft (4) compression forceDruckspannung (11) compressiondunnwandig (13) thin-walledduktil (17) ductileDynamik (1) dynamicsebene Biegung (12) plane bendingebener Spannungszustand (8) plane stressebener Stoß (20) planar impactebener Verzerrungszustand (9) plane stressEigenfrequenz (21) eigenfrequencyEigenfrequenz (21) natural frequencyEigengewicht (6) self-weightEinfeldbalken (B) simply supported beamEinheit (1) unitEinschwingvorgang (21) transient motionelastisch (19) elasticElastizitatsmodul (7) Young’s modulusElastizitatsmodul (7) elastic modulusElastostatik (7) elastostaticsEnergieerhaltung (20) conservation of energyEnergiemethode (15) energy methodEnergieverlust (19) energy dissipationErdbeschleunigung (5) gravitational accelerationerzwungene Schwingung (21) forced vibrationFachwerk (4) trussFeder (16) springFederkonstante (16) spring constantFederschaltung (21) spring combinationFestigkeitslehre (17) strength of materialsFestlager (3) fixed supportFinite Elemente (15) finite elementsFlachenlast (5) surface loadFlache (A) areaFlacheninhalt (A) areaFlachentragheitsmoment (A) moment of inertiaFormtreue (13) preservation of shapeFormanderungsenergie (15) deformation energyfreie Schwingung (21) free vibrationFreiheitsgrad (3) degree of freedomFreikorperbild (3) free-body diagramFrequenz (21) frequencyFrequenzverhaltnis (21) frequency ratioFußpunktanregung (21) base excitationgedampfte Schwingung (21) damped vibrationgekrummter Balken (6) curved beamGelenk (3) hingeGelenk (3) jointGelenkreaktion (3) reaction of joint


geometrischer Schwerpunkt (A) centroidgerader zentrischer Stoß (19) straight centric impactgeradlinige Bewegung (18) linear motionGeschwindigkeit (18) velocityGewicht (5) weightGewichtskraft (5) gravitation forceGleichgewicht (3) equilibriumGleiten (19) slippingGleitlager (3) slide bearingGleitung (9) shearing strainGroße (1) quantityHaften (19) stickingHaftzahl (19) sticking coefficientharmonische Anregung (21) harmonic excitationharmonische Schwingung (21) harmonic oscillationharmonische Schwingung (21) harmonic vibrationHauptachse (A) principal axisHauptdehnung (9) principal strainHauptspannung (8) principal stressHaupttragheitsmoment (A) principal moment of inertiaHebelarm (2) lever armhomogen (10) homogeneousHookesches Gesetz (10) Hooke’s lawhydrostatischer Spannungszustand (8) hydrostatic state of stressImpuls (19) momentumImpulserhaltung (19) conservation of momentumindifferent (16) indifferentisotrop (10) isotropicKartesische Koordinaten (18) Cartesian coordinatesKessel (8) pressure vesselKette (6) chainKinematik (18) kinematicskinematisch unbestimmt (3) kinematically indeterminatedKinetik (19) kineticskinetische Energie (19) kinetic energyKnicken (16) bucklingKnoten (4) nodeKnotenpunktverfahren (4) method of jointsKorper (1) bodyKompression (19) compressionkonservative Kraft (20) conservative forceKontinuum (1) continuumKoordinatensystem (18) coordinate systemKrafteparallelogramm (2) parallelogram of forcesKraft (2) forceKraftstoß (19) force of impactKragarm (B) cantilever beamKreisbewegung (18) circular motionKreisbogentrager (6) circular arcKreisfrequenz (21) angular frequency


Kreisrohr (13) circular tubekritische Dampfung (21) critically dampedkritische Last (16) critical loadKrummung (12) curvaturelabil (16) unstableLager (3) bearingLager (3) supportLagerreaktion (3) support reactionLast (5) loadLeistung (19) powerLinienlast (5) line loadlogarithmisches Dekrement (21) logarithmic decrementLoslager (3) roller supportMasse (19) massMassenpunkt (19) point massMassentragheitsmoment (20) axial moment of inertiaMaterialgleichung (10) material equationmathematisches Pendel (21) mathematical pendulumMechanik (1) mechanicsmechanische Arbeit (15) mechanical workModell (1) modelMohrscher Spannungskreis (8) Mohr’s circle of stressMohrscher Tragheitskreis (A) Mohr’s circle of inertiaMoment (2) momentMomentanpol (20) instantaneous center of rotationnaturliche Koordinaten (18) natural coordinatesneutrale Faser (12) neutral axisNormalkraft (6) axial forceNormalspannung (8) normal stressNullstab (4) unloaded trussOberflachenlast (5) surface loadOrtsvektor (18) position vectorParallelschaltung (21) parallel connectionPendel (21) pendulumPendelstab (3) hinged barPendelstutze (3) hinged columnPeriode (21) periodPhasenverschiebung (21) phase anglePhasenwinkel (21) phase angleplastisch (19) plasticpolares Flachentragheitsmoment (A) polar moment of inertiaPolarkoordinaten (18) polar coordinatesPotential (19) potentialpotentielle Energie (15) potential energyPrinzip (1) principleQuerkontraktionszahl (10) Poisson’s ratioQuerkraft (6) shear forceRadialgeschwindigkeit (18) radial velocityRahmen (6) frameRandbedingung (12) boundary condition


Reaktionskraft (3) reaction forceReibung (19) frictionReihenschaltung (21) series connectionreine Biegung (12) pure bendingResonanz (21) resonanceRestitution (19) restitutionResultierende (2) resultantRitter-Schnitt-Verfahren (Fachwerk) (4) method of sections (truss)Rotation (20) rotationschiefe Biegung (12) skew bendingschiefe Ebene (20) inclined planeschiefer Wurf (19) projectile motionschiefer zentrischer Stoß (19) oblique centric impactSchnittgroßen (6) internal forces and momentsSchnittprinzip (3) method of sectionsSchnittufer (6) sectionSchub (13) shearSchubfluss (13) shear flowSchubmittelpunkt (13) shear centerSchubmodul (10) shear modulusSchubspannung (8) shear stressschwach gedampft (21) underdampedSchwerachse (12) centroidal axisSchwerkraft (5) weight forceSchwerpunkt (5) center of gravitySchwingung (21) oscillationSchwingung (21) vibrationSchwingungsdauer (21) periodSeil (3) ropeSeillinie (6) rope lineSeilreibung (19) friction of ropesSeilrolle (3) pulleySpannung (8) stressSpannungsnulllinie (12) neutral axisSpannungstensor (8) stress tensorSpannungszustand (8) state of stressspezifisches Gewicht (5) specific weightsprode (17) brittleStab (11) barStab (4) rodstabil (16) stableStabilitat (16) stabilitystark gedampft (21) overdampedstarrer Korper (2) rigid bodyStarrkorperbewegung (20) rigid body motionStatik (1) staticsstatisch bestimmt (3) statical determinedstatisch unbestimmt (3) statical indeterminedstatische Bestimmtheit (3) statical determinismstatische Ruhelage (21) at-rest position


statisches Moment (A) static momentSteifigkeit (7) stiffnessSteinersche Satze (A) parallel-axis theoremsStoffgleichung (10) material equationStoß (19) impactStoßzahl (19) coefficient of restitutionStreckenlast (5) line loadSuperposition (14) superpositionSymmetrie (A) symmetrysymmetrisches Profil (A) symmetric cross sectionSystemantwort (21) response of a systemTangente (18) tangentTemperatur (10) temperatureTorsion (13) torsionTorsionsmoment (13) torqueTorsionsmoment (13) torsional momentTorsionssteifigkeit (13) torsion stiffnessUbergangsbedingung (12) matching conditionUberlagerung (14) superpositionungedampfte Bewegung (21) undamped motionUnwuchtanregung (21) imbalance excitationVerbundbalken (14) composite beamVergleichsspannung (17) equivalent stressVergroßerungsfunktion (21) magnification factorVerlangerung (11) elongationVerschiebung (9) displacementVerschiebungsvektor (9) displacement vectorverteilte Last (5) distributed loadVerwolbung (13) warpVerzerrung (9) strainVerzerrungstensor (9) strain tensorvirtuelle Arbeit (15) virtual workvirtuelle Kraft (15) virtual forcevirtuelle Verruckung (15) virtual displacementviskose Dampfung (21) viscous dampingVolumentragheitsmoment (A) volumetric moment of inertiaVorzeichenkonvention (8) sign conventionWarmedehnung (10) thermal expansionWeg-Zeit-Diagramm (21) displacement-time graphWerkstoffkennwert (10) material propertyWiderstandsmoment (12) elastic section modulusWinkelgeschwindigkeit (18) angular velocityWirkungslinie (2) line of actionWolbkrafttorsion (13) warping torsionzentrales Kraftesystem (2) central system of forcesZentripetalbeschleunigung (18) centripetal accelerationZugkraft (4) tensile forceZugspannung (11) tensionZugversuch (10) tensile testZylinderkoordinaten (18) cylinder coordinates

Abbildungsnachweis

Die Wiedergabe der aufgefuhrten Abbildungen erfolgt mit freundlicher Genehmigungdes jeweiligen Rechteinhabers bzw. Verlages.

Bild 3.1: Sascha Beuermann

Bild 3.5: Sascha Beuermann; Eisenbahnbrucke uber die Leine von 1975, Hannover

Bild 3.9: Sascha Beuermann; Messehalle 13, Messegelande Hannover

Bild 4.1: Sascha Beuermann; Brucke des 25. April uber den Tejo, Lissabon (1966)

Bild 5.1: Holger Spiess

Bild 6.1: Ing.-Software Dlubal GmbH, Tiefenbach

Bild 6.6: Hans Straub; Gmundertobelbrucke uber die Sitter bei Teufel, Schweiz (1908),aus Straub, Hans: Die Geschichte der Bauingenieurkunst, erschienen im BirkhauserVerlag

Bild 8.1: Jochen Naumann, Institut fur Mechanik, Technische Universitat Chemnitz

Bild 10.1: Sascha Beuermann; Zugversuch am Institut fur Baustoffe, Universitat Han-nover

Bild 11.1: Sascha Beuermann; Messehalle 27, Messegelande Hannover



Bild 13.1: Sascha Beuermann; Versuchskorper am Institut fur Stahlbau, UniversitatHannover

Bild 13.21: Rolf Lammering, Institut fur Mechanik, Helmut-Schmidt-Universitat, Ham-burg

Bild 15.1: DaimlerChrysler AG, Sindelfingen, 2005; Crashsimulation des Frontalauf-pralls eines PKW

Bild 16.1: Sascha Beuermann; Knickversuch am Institut fur Stahlbau, Universitat Han-nover

Bild 17.1: Andrea Hildebrand, Institut fur Baustoffe, Universitat Hannover

Bild 18.1: Heide-Park Soltau GmbH, Soltau

Bild 20.5: Firma Hagedorn GmbH Abbruch und Bauschuttaufbereitung, Gutersloh

Bild 21.1: The Camera Shop, 1007 Pacific Ave, Tacoma WA 98402, USA


Symbolverzeichnis

Grundsatzliche Schreibweise

Skalare werden kursiv dargestellt (z. B. A), Vektoren durch fett-kursive Buchstaben(beispielsweise v), Matrizen durch i. d. R. Großbuchstaben, die fett und aufrecht dar-gestellt sind (z. B. I).

Verzeichnis wichtiger Symbole

Im Folgenden sind Symbole aufgefuhrt, die in der Mechanik verwendet werden. DieSymbole sind alphabetisch sortiert, zunachst nach lateinischen Buchstaben, anschlie-ßend nach griechischen.

A Querschnittsflache

Ai ideelle Querschnittsflache

Am von Profilmittellinie einge-schlossene Flache

a Wertigkeit eines Lagers

a Beschleunigung

a Beschleunigungsvektor

ar Radialbeschleunigung

aϕ Zirkularbeschleunigung

b Massenkraftdichte

C Amplitude

c Federkonstante

D Dampfungsgrad

E Elastizitatsmodul

e Stoßzahl

eM Lage des Schubmittelpunkts

ex, ey ,ez

Basiseinheitsvektoren

f Volumenkraft

F Kraft

FR Resultierende Kraft

Fkrit kritische Last

F (t) zeitabhangige Kraft

F Kraftstoß

f Stichhohe, Durchhang

f Gesamtverschiebung

f Frequenz

f Volumenkraftdichte

G Gewichtskraft

G Schubmodul

g Gravitationskonstante

H Betrag der Haftkraft

h Scheibendicke

Iy , Iz axiale Flachentragheitsmo-mente

Iyz Deviationsmoment der Fla-che

Ip polares Flachentragheitsmo-ment

Iξ, Iη transformierte Flachentrag-heitsmomente

Iξη transformiertes Deviations-moment

II , III Haupttragheitsmomente

Ii ideelles Flachentragheitsmo-ment

IT Torsionstragheitsmoment

i Tragheitsradius

K Stoßebene

k Anzahl der Knoten in einemFachwerk

L Drehimpuls

M Moment

MR resultierendes Moment


Symbolverzeichnis 507

M(0)

Momentenstoß

MT Torsionsmoment

m Masse

m Streckenmoment

N Normalkraft

n Anzahl der Teilsysteme

n Anzahl der Stabe in einemFachwerk

n Streckennormallast

N Stoßnormalenrichtung

n Richtungsvektor

P Leistung

p Impuls

p Druck

q Streckenlast

R Reibkraft

Rm Radius der Profilmittellinie

r Radius

r Anzahl der Lagerreaktionenin einem Fachwerk

r Ortsvektor

r⊥ Hebelarm

S Schwerpunkt

S Seil-/Stabkraft

Si ideeller Schwerpunkt

Sy , Sz statisches Moment

s Kurvenparameter

s Bahngeschwindigkeit

s Bahnbeschleunigung

T Temperatur

T Schwingungsdauer

t Schubfluss

t Zeit

t Spannungsvektor

t Oberflachenspannungen

U Umfang

U potentielle Energie

UG Gestaltanderungsenergie

UV Volumenanderungsarbeit

u Verschiebung in x-Richtung

V Querkraft

V Volumen

v Verschiebung in y-Richtung

v Geschwindigkeit

v Geschwindigkeitsvektor

vr Radialgeschwindigkeit

vϕ Zirkulargeschwindigkeit

W Widerstandsmoment

W mechanische Arbeit

WT Torsionswiderstandsmoment

w Verschiebung in z-Richtung

xS, yS,zS

Koordinaten des Schwer-punktes

z Wertigkeit eines Gelenks

γ spezifisches Gewicht

γ Gleitung

δ Abklingkonstante

ε Dehnung

ϑ Drillung

Θ Tragheitsmoment

κ Schubflachenfaktor

μH Haftzahl

μR Reibzahl

ν Querdehnzahl

Π Momentanpol

� Krummungsradius

� Dichte

σ Spannung

σm mittlere Spannung

σzul zulassige Spannung

σ1, σ2 Hauptspannungen

σi ideelle Spannung

σξ, ση ,τξη

transformierte Spannungen

σGV von Mises-Vergleichsspan-

nung

σSV Tresca-Vergleichsspannung

σZV maximale Zugnormalspan-

nung

τ Schubspannung

ϕ Phasenwinkel

ϕ0, ϕ1 Richtungen der Hauptspan-nungen

ψ Verdrehung

ω Kreisfrequenz

ω Winkelgeschwindigkeit

ωd Kreisfrequenz der gedamp-ften Schwingung

Stichwortverzeichnis

Tritt ein Stichwort nicht als Hauptbegriff auf, so sollte zunachst nach einem Oberbegriffgesucht werden, unter dem das gesuchte Stichwort evtl. als Untereintrag zu finden ist.Seitenzahlen, die bei den nachfolgenden Stichwortern fett dargestellt sind, verweisenauf diejenigen Stellen, an denen der zugehorige Begriff weitergehend behandelt wird.

A

Abklingkonstante. . . . . . .414, 416, 417

Abzahlformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

bei Fachwerken . . . . . . . . . . . . . . . 60

Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405, 410

Anfangsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Angriffspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 22

Anregung

Dampferkraftanregung . . . . . . 434

Fußpunktanregung . . . . . . . . . . 437

Kraftanregung . . . . . . . . . 429, 431

Unwuchtanregung . . . . . . . . . . . 435

Weganregung . . . . . . . . . . . . . . 432f.

Antwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . 417

Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281

Arbeitssatz. . .281, 348, 384, 386

Auflager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s. Lager

Ausnahmefall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Axialspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Axiom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14, 18, 33

Dynamisches Grundgesetz . . . . 34

Gleichgewichtsaxiom . . . . . . . . . 33

Reaktionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . 34

B

Bahn

Bahnbeschleunigung . . . . . . . . 337

Bahngeschwindigkeit . . . . . . . . 337

Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

Balkenachse . . . . . . . 176, 178, 196

Einfeldbalken . . . . . . . . . . . . . . . 488

gekrummter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Verbundbalken . . . . . . . . . . . . . . 262

Beanspruchung

kombinierte . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Beanspruchungshypothese

max. Gestaltanderungsenergie328

max. Schubspannung . . . . . . . . 327

max. Zugnormalspannung . . . 327

begleitendes Dreibein . . . . . . . . . . . . . 336

Bemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164, 258

Bernoulli-Hypothese . . . . 176, 195, 263

Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Bahnbeschleunigung . . . . . . . . 337

Radialbeschleunigung . . . . . . . 338

Zirkularbeschleunigung. . . . . . 338

Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 476

Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

des starren Korpers . . . . . . . . . 374

geradlinige . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

in Polarkoordinaten . . . . . . . . . 338

Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . 339

Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . 404

Bewegungsgleichungen . . . . . . . 377, 388

Newtonsche . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Biegelinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

Biegelinientafel . . . . . . . 192, 488f.

Differentialgleichung . . . . . . . . 178

Biegemoment . . . . . . . . . . . . 81, 178, 249

Biegesteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

ideelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265, 269

Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175, 249

ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . .176, 263

schiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

Bogentrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Kreisbogentrager . . . . . . . . . . . . . 94


Stichwortverzeichnis 509

momentenfreier . . . . . . . . . . . . . . 96Bredtsche Formel . . . . . . . . . . . . 226, 228

D

Dampfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413Dampferkonstante. . . . . . . . . . .413Weganregung uber Dampfer . 433

Dampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

Dampfungsgrad . . . . . . . . . . . . . 415Dampfungsmaß . . . . . . . . . . . . . 417kritische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418schwache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415starke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417viskose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

dunne Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . . 492dunner Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492dunnwandiger Querschnitt . . 216, 225,

232Dampfungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417dunner Kreisring . . . . . . . . . . . . . . . . . 491De Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Dehnsteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

ideelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265, 269Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Hauptdehnung . . . . . . . . . . . . . . 143Determinantenkriterium . . . . . . . 49, 60Deviationsmoment. . . . . . . . . . . . . . . .460Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 70

Dichteverteilung. . . . . . . . . . . . . .68Differentialgleichung

der Biegelinie . . . . . . . . . . 178, 192der ebenen Biegung . . . . . . . . . 176der schiefen Biegung . . . 195, 197

der Schnittgroßen . . . . . . . . . . . . 87der Torsionsverformung . . . . . 223des momentenfreien Tragers . . 98des Seils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100des Stabes . . . . . . . . . . . . . 114, 166fur Verbundquerschnitte. . . . .266

Dimensionierung . . . . . . . . . . . . . . . . 163f.Doppel-T-Trager . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Drall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Drehsinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Dreibein, begleitendes . . . . . . . . . . . . 336Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491Drillung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222, 226Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . 55, 75f.Druckspannung . . . . . . . . . . . . . 162

Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

E

Ebenbleiben der Querschnitte . . . . 176,195, 263

ebene Biegung . . . . . . . . . . . . . . . 176, 263Ebene, schiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387ebener Spannungszustand . . . . . . . . 176ebener Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383Eigenfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410Eigengewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Eigenkreisfrequenz . . . . . . . . 409f., 414f.Einfeldbalken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .488Einflusszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Einheitensystem. . . . . . . . . . . . . .15Einheitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475Einschwingvorgang . . . . . . . . . . . . . . . 429Einzelkrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Einzelstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

ElastizitatElastizitatsgesetz. . . . . . . . . . . .147Elastizitatskonstante . . . . . . . . 155Elastizitatsmodul . . . . . . . . . . . 114

Elastostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491Energie

dissipative Energie . . . . . . . . . . 282Energiemethode . . . . . . . . . . . . . 281Energierhaltung . . . . . . . . . . . . . 386Energiesatz. . . . . . . . . . . . .348, 384Energieverlust. . . . . . . . . . . . . . .353Formanderungsenergie . . . . . . 282kinetische Energie . . . . . . 282, 349potentielle Energie . . . . . 282, 349

Englische Fachbegriffe . . . . . . . . . . . . 493Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . 34, 66Ersatzfedersteifigkeit. . . . . . . . .316, 406erzwungene Schwingung . . . . . 404, 427

F

Fachbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493Fachwerk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

Fachwerkknoten . . . . . . . . . . . . . . 55Fachwerkstab . . . . . . . . . . . . . . . . 55Knotenpunktverfahren . . . . . . . 56

510 Stichwortverzeichnis

Ritter-Schnitt-Verfahren. . . . . .60Faser, neutrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Feder

Ersatzfedersteifigkeit . . . . . . . . 406Federkonstante . . . . . . . . . . . . . . 314Weganregung . . . . . . . . . . . . . . . 432

Feder-Masse-System . . . . . . . . . . . . . . 404Federschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405Finite Elemente Methode . . . . . . . . 297

FlacheFlacheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . 455Flachenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . 491zusammengesetzte . . . . . . . . . . . .69

Flachentragheitsmoment178, 197, 460,491

dunnwandiger Querschnitte . 472polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

Formanderungsarbeit . . . . . . . . . . . . 282

Formanderungsenergie . . 282, 285, 328durch Querkraftschub . . . . . . . 289durch Torsion . . . . . . . . . . . . . . . 290im Balken. . . . . . . . . . . . . . . . . . .287im Zugstab . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

formtreu . . . . . . . . . . . . . . . . 222, 232, 235freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 404Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 48Freikorperbild . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 40Frequenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .405

Erregerfrequenz . . . . . . . . . . . . . 427Frequenzverhaltnis . . . . . 427, 430

Kreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . 410Fußpunktanregung . . . . . . . . . . . . . . . 437

G

gedampfte Schwingung . . . . . . 404, 413Gelenk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41, 487

Gelenkreaktionen . . . . . . . . . . . 39f.Momentengelenk . . . . . . . . . . . . 487Normalkraftgelenk . . . . . . . . . . 487Querkraftgelenk . . . . . . . . . . . . . 487

geometrisches Moment. . . . . . . . . . . .454geradlinige Bewegung. . . . . . . . . . . . .337geschlossener Querschnitt . . . . . . . . .225Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Gestaltanderung

Gestaltanderungsenergie . . . . 328Gewicht

Eigengewicht . . . . . . . . . . . . . . . . 101Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . 66

spezifisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . .33, 35, 37

am ausgelenkten System . . . . 404am Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Gleichgewichtsbedingungen . .35,

41, 47Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . 120Gleiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357Gleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Gleitmodul. . . . . . . . . . . . . . . . . .149Gleitwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Große, physikalische . . . . . . . . . . . . . . . 14Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Grenzfall, aperiodischer. . . . . . . . . . .417Grundaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . .340

H

Haftbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Haften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

Haftzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Halbkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491harmonische Anregung . . . . . . . . . . . 427harmonische Schwingung . . . . 405, 409Hauptachse . . . . . . . . . . . . . 176, 197, 202Hauptspannung . . . . . . . 127, 130f., 327Haupttragheitsmoment . . . . . . . . . . . 464Hebelarm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Hooke

Hookesches Gesetz114, 146, 147,152

Hookesches Gesetz fur Schub 149

I

I-Trager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189ideelle Biegesteifigkeit . . . . . . . 265, 269ideelle Dehnsteifigkeit. . . . . . . .265, 269ideeller Schwerpunkt . . . . . . . . . 264, 269Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345, 377

Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . 382Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . 347Impulssatz . . . . . . . . . . . . . 347, 382

indifferent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Integraltafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490isotrop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

K

Kessel


dunnwandig, zylindrisch . . . . . 133Kesselformel . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s. SeilKinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13, 374

des Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . 334ebene Biegung . . . . . . . . . . . . . . 176

kinematisch unbestimmt . . . . . . . . . . . 48kinematische Beziehung . . . . . . . . . . 165Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

des Massenpunktes . . . . . . . . . . 345Knicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Knoten

Fachwerkknoten . . . . . . . . . . . . . . 55Knotenpunktverfahren . . . . . . . 56

kombinierte Beanspruchung. . . . . . .248Kompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Kompressionsphase . . . . . . . . . . . . . . . 351Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Koordinaten

Drehung des Koordinatensys-tems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

kartesische Koordinaten . . . . . 335Koordinatensysteme. . . . . . . . .335Koordinatentransformation. .453naturliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Polarkoordinaten. . . . . . . . . . . .338

Koordinatentransformation . . . . . . . 123Kraftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

resultierendes Moment . . . . . . . 24Krafteparallelogramm . . . . . . . . . . . . . 19Kraftesystem

allgemeines. . . . . . . . . . . . . . .20, 37

ebenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27raumliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25zentrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 36

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . 25Krummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Krummungsradius . . . . . . . . . . . . . . . . 337Kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . .13, 17, 22, 25

Angriffspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 17Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17innere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80konservative. . . . . . . . . . . . . . . . .386Kraftanregung . . . . . . . . . . . . . . 429Reaktionskraft . . . . . . . . . . . . . . . 34resultierende . . . . . . . . . . . . 19, 26f.Richtungssinn . . . . . . . . . . . . . . . . 17Wirkungslinie . . . . . . . . . . . . . . . . 17Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . 19

Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347Kragarm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . 339Kreisbogentrager . . . . . . . . . . . . . 94Kreisquerschnitt . . . . . . . . . . . . 221Kreisrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . .492

Kreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . 405, 410Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476Kriechbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . .417f.kritische Dampfung. . . . . . . . . . . . . . .418Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

L

Langsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133labil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Festlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Lagerreaktion . . . . . . . . . . . . . . . 39f.Loslager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

LastenFlachenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . 72gleichgerichtete . . . . . . . . . . . . . . .73kritische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Linienlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73nicht gleichgerichtete . . . . . . . . . 75Oberflachenlasten . . . . . . . . . . . . 72Streckenlasten. . . . . . . . . . . . . . . .73verteilte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Lehr’sches Dampfungsmaß. . . . . . . .415Leistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348lineares Stabelement. . . . . . . . . . . . . .297Linienfluchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18logarithmisches Dekrement . . . . . . 416f.

M

Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 345Massenpunkt. . . . . . . . . . . . . . . .345Punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

Massentragheitsmoment . . . . . 379, 492Materialgleichung . . . . . . . . . . . 146, 166mathematisches Pendel . . . . . . 410, 429Matrix

Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 125Invariante . . . . . . . . . . . . . . 125, 132Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125, 132

Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 73Mohrscher

Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . 126Tragheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . 465

Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 22, 25Biegemoment . . . . . . . 81, 178, 249Deviationsmoment . . . . . . . . . . 460Flachentragheitsmoment . . . . 460geometrisches . . . . . . . . . . . . . . . 454inneres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80resultierendes . . . . . . . . . . . . . . . . 26statisches . . . . . . . . . . . . . . 218, 455Torsionsmoment . . . 92, 223, 235,

239Versetzungsmoment . . . . . 25, 239

Momentanpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375momentenfreier Bogentrager . . . . . . . 96

Differentialgleichung. . . . . . . . . .98Momentengelenk . . . . . . . . . . . . . . . . . 487Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

N

Nachgiebigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114naturliche Koordinaten . . . . . . . . . . . 336neutrale Faser . . . . . . . . . . . . . . . 189, 202Newton

Newtonsche Bewegungsgleichun-gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Newtonsches Grundgesetz . . . 345Normal

Normalbeschleunigung . . . . . . 337Normalkraft . . . . . . . . 81, 249, 263Normalkraftgelenk . . . . . . . . . . 487Normalspannung . . . . . . 119f., 131

Nullstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

O

Oberflachenkrafte. . . . . . . . . . . . .65, 72f.offener Querschnitt . . . . . . . . . . . . . . . 232Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 334

P

Parallelogrammaxiom. . . . . . . . . . . . . .19Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 407Partikularlosung. . . . . . . . . . . . . . . . . .428Pendel

mathematisches . . . . . . . . . . . . . 410

Pendelstutze . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Pendelstab . . . . . . . . . . . . . . . 42, 46

Periode . . . . . . . . . . . . . . . 404, 409f., 416periodische Schwingung. . . . . . . . . . .404Phasenwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . 410, 429plastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383Poissonsche Konstante. . . . . . . . . . . .149polares Flachentragheitsmoment . . 460Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

potentielle Energie.282, 314, 349Prinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

von de Saint Venant. . . . . . . . .163Profil

Profilkoordinate . . . . . . . . . . . . . 217symmetrisches . . . . . . . . . . . . . . 466

Punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

Q

Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491Querdehnzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .148Querkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81, 238

Querkraftgelenk . . . . . . . . . . . . . 487Schubspannung. . . . . . . . .214, 218Schubspannungen infolge Quer-

kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . .212Querschnitt

dunnwandiger . . . . . . . . . . 216, 225geschlossener . . . . . . . . . . . . . . . . 225Kreisquerschnitt . . . . . . . . . . . . 221offener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Querschnittsufer . . . . . . . . . . . . . 82Rechteckquerschnitt . . . . . . . . . 232Rohrquerschnitt . . . . . . . . . . . . .224Verbundquerschnitt . . . . . . . . . 262zusammengesetzter . . . . . . . . . .235

R

RadialRadialbeschleunigung . . . . . . . 338Radialgeschwindigkeit . . . . . . . 338Radialspannung . . . . . . . . . . . . . 134

Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Randbedingung. . . . . . . . . . . . . . 179, 487Reaktionskraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491


Rechteckquerschnitt . . . . . . . . . 232Rechtshandsystem . . . . . . . . . . . 475, 477Reduktionszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Referenzmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354, 423

Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431Restitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Restitutionsphase . . . . . . . . . . . . . . . . 351Resultierende . . . . . . . . . . . . .17, 65, 74f.Richtung

Hauptspannungsrichtung . . . 127,130f.

Richtungssinn . . . . . . . . . . . . . . . . 17Richtungsvektor . . . . . . . . . . . . . . 17

Ritter-Schnitt-Verfahren . . . . . . . . . . . 60Rohrquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374Ruhelage, statische . . . . . 404, 426, 426

S

Saint-Venantsche Torsion . . . . . . . . . 221Satz von Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Satz von Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 284Scheibe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122Scherung, reine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211schiefe Biegung. . . . . . . . . . . . . .194, 250schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Schnitt, schrager . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Schnittgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . 80, 387

kinetische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387punkteweise Ermittlung . . . . . . 90

Schnittprinzip . . . . . . . . . .39, 40, 43, 80Schnittufer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82, 92Schornstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387, 389Schub

reiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Schubbeanspruchung . . . . . . . . 211Schubflachenfaktor . . . . . . . . . . 289Schubfluss . . . . . . . . . . . . 217f., 225Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . 238Schubmodul. . . . . . . . . . . . . . . . .149

Schubspannung. . . . . . . . . . . . .119f., 131infolge Querkraft . . . . . . . 214, 218infolge Torsion . . . 224, 233f., 236zugeordnete . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Schubspannunszustand . . . . . . . . . . . 149Schubverzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . 142

schwache Dampfung . . . . . . . . . . . . . . 415Schwerachse . . . . . . . . . . . . . . . . . 178, 196Schwerkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 66ff., 238

Flachenschwerpunkt . . . . . 69, 457geometrischer . . . . . . . . . . . 68, 456ideeller . . . . . . . . . . . . . . . . . 264, 269Volumenschwerpunkt. . . . . . . .458von dunnwandigen Querschnit-

ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 377Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402

erzwungene . . . . . . . . . . . . 404, 427freie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404freie ungedampfte . . . . . . . . . . . 407gedampfte . . . . . . . . . . . . . .404, 413harmonische. . . . . . . . . . . .405, 409periodische . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404Schwingungsdauer. . . . . . . . . . .404

Seil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 100Differentialgleichung . . . . . . . . 100Seilline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Seilrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Seillinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Seismische Anregung . . . . . . . . . . . . . 437Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . .475Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, 162

Axialspannung . . . . . . . . . . . . . . 134bei ebener Biegung . . . . . . . . . . 189bei schiefer Biegung . . . . . . . . . 201Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Langsspannung . . . . . . . . . . . . . 134Radialspannung . . . . . . . . . . . . . 134Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . 126Spannungsmatrix 122f., 125, 131,

133, 135Spannungsnachweis . . . . . . . . . 163Spannungsnulllinie . . . . . 202, 250Spannungstensor . . . . . . . . . . . . 120Spannungsvektor . . . . . . . . . . . . 118Spannungsverteilung . . . . . . . . 162Umfangsspannung. . . . . . . . . . .134Verbundquerschnitt . . . . . . . . . 266Vergleichsspannung . . . . . . . . . 258

Spannungs-Dehnungs-Diagramm. .147Spannungskomponenten . . . . . . . . . . 119

Transformation . . . . . . . . . . . . . 123Vorzeichenkonvention . . . . . . . 120


Spannungszustand . . . . . . . . . . 118, 119

dreiachsiger . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

ebener . . . . . . 122, 153, 176, 327ff.

einachsiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

hydrostatischer. . . . . . . . . . . . . .128

raumlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

rotatationssymmetrischer. . . .133

zweiachsiger. . . . . . . . . . . . . . . . .122

Stutzlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, 161, 161

Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . .161

Differentialgleichung. . . .114, 166

Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . 165

Stabsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Verformungshypothese . . . . . . 161

stabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311

Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

starke Dampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Starrkorper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 374

Starrkorperbewegung. . . . . . . .374

Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

statische Bestimmtheit42, 47, 59

statische Ruhelage. . . . . .404, 426, 426

statisches Moment . . . . . . 214, 218, 455

grafische Veranschaulichung . 219

Stauchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Steifigkeit

Biegesteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . 178

Dehnsteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . 114

Steifigkeitssprung . . . . . . . . . . . 487

Torsionssteifigkeit . . . . . . . . . . . 223

Steinersche Satze . . . . . . . . . . . . 462, 473

Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

ebener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

elastischer. . . . . . . . . . . . . . . . . . .353

gerader zentrischer . . . . . . . . . . 351

plastischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

schiefer zentrischer . . . . . . . . . . 354

Stoßzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Stoffgleichung . . . . s. Materialgleichung

Streckenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Superposition . . . . . . . . . . . . . . . 192, 248

Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

Symmetrieachse . . . . . . . . . . . . . . 68

symmetrisches Profil . . . . . . . . 466

T

Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Teilschubkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Temperaturanderung . . . . . . . . . . . . . 150Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Differentialgleichung . . . . . . . . 223geschlossener Querschnitt . . . 225Kreisquerschnitt . . . . . . . . . . . . 221Kreisrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224offener Querschnitt . . . . . . . . . .232Schubspannung . . 224, 233f., 236Torsionsmoment . . . 92, 223, 235,

239Torsionssteifigkeit . . . . . . . . . . . 223Torsionstragheitsmoment . . . 223,

229, 234f., 491Widerstandsmoment . . . 224, 226,

233f., 236zusammengesetzter Querschnitt

235Torsionsversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Tragheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465Tragheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

Haupttragheitsmoment . . . . . . 464Volumentragheitsmoment . . . 473

Tragheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Tresca-Vergleichsspannung. . . . . . . .328Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

U

Ubergangsbedingung . . . . . . . . 179, 487Uberlagerung . . . . . . . . . . . . . . . 192, 248

Umfangsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . 134Unwuchtanregung . . . . . . . . . . . . . . . . 435

V

Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Vektor . . . . . . . . . . . . . . . 15, 21, 335, 475

freier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . 476

Verbundbedingung. . . . . . . . . . .263, 268Verbundquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . 262

Verdrehung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179Verformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 179, 197Verformungshypothese, beim Stab 161Vergleichsspannung . . . . . . . . . 258, 326


Vergroßerungsfunktion . . . . . . . . . . 429f.Verhaltnis der Elastizitatsmoduln.268Verlangerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Verruckung, virtuelle . . . . . . . . . . . . . 292Verschiebung . . . . . . . . . . . 113, 140, 179

Verschiebungsvektor . . . . . . . . 140Versetzungsmoment. . . . . . . . . . .25, 239Verwolbung. . . . . . . . . . . . . . . . . .221, 229Verzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Verzerrungsmatrix . . . . . . . . . . 142Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . 140

Verzerrungszustand. . . . . . . . . . . . . . .140dreiachsiger . . . . . . . . . . . . . . . . . 152ebener . . . . . . . . . . . . . . . . . 143, 154einachsiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144raumlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

viskose Dampfung . . . . . . . . . . . 404, 413Vollquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Volumen

Volumenanderungsenergie . . . 328Volumenkrafte . . . . . . . . . . . . 65, 73Volumenschwerpunkt. . . . . . . .458

Volumentragheitsmoment . . . . . . . . . 473von Mises-Vergleichsspannung . . . . 330Vorzeichenkonvention . . . . . . 55, 81, 92

W

Warmedehnung. . . . . . . . . . . . . .149, 166Warmeausdehnungskoeffizient

150Wolbkrafttorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Weg-Zeit-Diagramm . . . . . . . . . 404, 409Werkstoffkennwerte. . . . . . . . . . . . . . .157Widerstandsmoment. . . . . . . . . . . . . .190

Torsion . . . . . . . 224, 226, 233, 236Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . .338Wirkungslinie . . . . . . . . 17f., 22, 25f., 76Wurf

schiefer Wurf . . . . . . . . . . . . . . . .346

Z

Zentrifugalbeschleunigung . . . . . . . 375f.Zentrifugalmoment . . . . . . . . . . . . . . . 460Zentripetalbeschleunigung . . . . . . . . 337Zirkularbeschleunigung . . . . . . 338, 376Zug

einachsiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Zugkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Zugspannung. . . . . . . . . . . . . . . .162Zugversuch. . . . . . . . . . . . . . . . . .113

Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147zusammengesetzter Querschnitt. . .235Zustandslinie . . . . . . . . s. SchnittgroßenZwischenreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 39Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . 335

Stand Juli 2006.Änderungen vorbehalten.Erhältlich im Buchhandel oder beim Verlag.

4., korr. und erg. Aufl. 2006. XIV, 721 S. Geb. € 49,90ISBN 3-8351-0006-8

7. Aufl. 2005. 404 S. (Leitfäden der angewandten Mathematikund Mechanik 3; hrsg. von Hotz, Günter /Kall, Peter / Magnus, Kurt / Meister,Erhard) Br. € 29,90ISBN 3-519-52301-9

Dankert, Jürgen / Dankert, HelgaTechnische MechanikStatik, Festigkeitslehre,Kinematik/Kinetik

Magnus, Kurt / Popp, KarlSchwingungenEine Einführung in physikalischeGrundlagen und die theoretischeBehandlung von Schwingungs-problemen

2005. 460 S. mit 148 Abb. u. 5 Tab.Br. € 36,90ISBN 3-519-00425-9

Silber, Gerhard / Steinwender, Florian Bauteilberechnung undOptimierung mit der FEM Materialtheorie, Anwendungen,Beispiele

B. G. Teubner VerlagAbraham-Lincoln-Straße 4665189 WiesbadenFax 0611.7878-400www.teubner.de

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