TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG TOÙM TAÉT GIAÙO … cos2x dx sinx cosx π π ++ ∫ + 12) 1 x 0 1...

Chuyeân ñeà 13: TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

I. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn: Baûng 1 Baûng 2

Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C a ( haèng soá) ax + C

xα

1

1x Cα

α

+

++

( )ax b α+

a1 1( )

1ax b C

α

α

+++

+

1x

ln x C+ 1ax b+

1 ln ax b Ca

+ +

xa ln

xa Ca+

xe xe C+ ax be + 1 ax be Ca

+ +

sinx -cosx + C sin(ax+b)

1 cos( )ax b Ca

− + +

cosx Sinx + C cos(ax+b)

1 sin( )ax b Ca

+ +

21

cos x

tgx + C 2

1cos ( )ax b+

1 ( )tg ax b Ca

+ +

21

sin x

-cotgx + C 2

1sin ( )ax b+

1 cot ( )g ax b Ca

− + +

' ( )( )u xu x

ln ( )u x C+

2 21

x a−

1 ln2

x a Ca x a

−+

+

tgx

ln cos x C− + 2 2

1

x a+ 2 2ln x x a C+ + +

cotgx ln sin x C+

Phöông phaùp 1: • Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân

haøm cô baûn • Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi

löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn. Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:

1. 3 1( ) cos1

f x xx x

= ++ −

2. 2

2x 5f(x)x 4x 3

−=

− +

83

Phöông phaùp 2: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân

Ví duï: Tính caùc tích phaân: 1. 5cos sinx xdx∫ 2.costgx dxx∫ 3. 1 ln x dx

x+

∫

I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [ ];a b . Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)

thì:

[ ]( ) ( ) ( ) ( )b

ba

a

f x dx F x F b F a= = −∫ ( Coâng thöùc NewTon - Leiptnitz)

2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân:

• Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : ( ) 0b

a

f x dx =∫

• Tính chaát 2: ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫

• Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân [ ];a b thì: ( )b

a

cdx c b a= −∫

• Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0b

a

f x dx ≥∫• Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø [ ]( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx≥∫ ∫

• Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø ( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M≤ ≤ thì

( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a− ≤ ≤∫ −

• Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ ];a b thì

[ ]( ) ( ) ( ) ( )b b

a a

b

a

f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

• Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø k laø moät haèng soá thì

. ( ) . ( )b b

a a

k f x dx k f x dx=∫ ∫• Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø c laø moät haèng soá thì

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

• Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân [ ];a b cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa

laø : ( ) ( ) ( ) ...b b b

a a a

f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫ =

84

Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau:

85

1) 1

30

x dx(2x 1)+∫ 2)

1

0

x dx2x 1+∫ 3)

1

0

x 1 xdx−∫ 4)1

20

4x 11 dxx 5x 6

++ +∫

5) 1

20

2x 5 dxx 4x 4

−− +∫ 6)

3 3

20

x dxx 2x 1+ +∫ 7)

66 6

0

(sin x cos x)dx

π

+∫ 8) 32

0

4sin x dx1 cosx

π

+∫

9)4

20

1 sin 2xdxcos x

π

+∫ 10)

24

0

cos 2xdx

π

∫ 11)2

6

1 sin 2x cos2xdxsin x cosx

π

π

+ ++∫ 12)

1

x0

1 dxe 1+∫ .

13) dxxx )sin(cos4

0

44∫ −

π

14) ∫+

4

0 2sin212cos

π

dxx

x 15) ∫+

2

0 13cos23sin

π

dxxx 16) ∫

−

2

0 sin25cos

π

dxx

x

17) ∫−+−

0

22 32

4 dxxx

18) ∫++−

1

12 52xx

dx

Baøi 2:

1) 3

2

3

x 1dx−

−∫ 2) 4

2

1

x 3x 2dx−

− +∫ 3) 5

3

( x 2 x 2 )dx−

+ − −∫ 4) 2

22

12

1x 2x

+ −∫ dx

5) 3

x

0

2 4dx−∫ 6) 0

1 cos2xdxπ

+∫ 7) 2

0

1 sin xdxπ

+∫ 8) dxxx∫ −2

0

2

Baøi 3: 1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá f(x) A sin x B= π + thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän

vaø 'f (1) 2=2

0

f(x)dx 4=∫

2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc : 2

2 3

0

[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =∫

II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ :

1) DAÏNG 1:Tính I = baèng caùch ñaët t = u(x) b

'

a

f[u(x)].u (x)dx∫

Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1: [ ] ∫=∫)(

)()()('.)(

bu

au

b

adttfdxxuxuf

Caùch thöïc hieän:

Böôùc 1: Ñaët t dxxudtxu )()( '=⇒=

Böôùc 2: Ñoåi caän : )()(

autbut

axbx

==

⇒==

Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc

[ ]∫=b

fI (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) ∫=)(

)()()('.)(

bu

auadttfdxxuxu

Tính caùc tích phaân sau:

1) 2

3 2

0

cos xsin xdx

π

∫ 2) 2

5

0

cos xdx

π

∫ 3)4

20

sin 4x dx1 cos x

π

+∫ 4)1

3 2

0

x 1 x dx−∫

5) 2

2 3

0

sin 2x(1 sin x) dx

π

+∫ 6) 4

40

1 dxcos x

π

∫ 7) e

1

1 ln xdxx+

∫ 8) 4

0

1 dxcosx

π

∫

9) e 2

1

1 ln xdxx

+∫ 10) 11)

15 3 6

0

x (1 x ) dx−∫6

20

cosx dx6 5sin x sin x

π

− +∫ 12) 3 4

0

tg x dxcos2x∫

13) 4

0

cos sin3 sin 2x x dx

x

π

++∫ 14) ∫

+

2

0 22 sin4cos2sin

π

dxxx

x 15) ∫−+ −

5ln

3ln 32 xx eedx 16) ∫

+

2

02)sin2(

2sinπ

dxxx

17) ∫3

42sin

)ln(π

πdx

xtgx 18) ∫ −

4

0

8 )1(

π

dxxtg 19) ∫+−2

42sin1

cossinπ

πdx

xxx 20) ∫

++2

0 cos31sin2sin

π

dxxxx

21) ∫+

2

0 cos1cos2sin

π

dxx

xx 22) ∫ +2

0

sin cos)cos(

π

xdxxe x 23) ∫−+

2

1 11dx

xx 24) ∫

+edx

xxx

1

lnln31

25) ∫+−4

0

2

2sin1sin21

π

dxxx

2) DAÏNG 2: Tính I = baèng caùch ñaët x = b

a

f(x)dx∫ (t)ϕ

Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2: [ ]∫=∫=β

αϕϕ dtttfdxxfI

b

a)(')()(


Böôùc 1: Ñaët dttdxtx )()( 'ϕϕ =⇒=

Böôùc 2: Ñoåi caän : αβ

==

⇒==

tt

axbx

Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc

(tieáp tuïc tính tích phaân môùi) [ ]∫=∫=β

αϕϕ dtttfdxxfI

b

a)(')()(


1) 1

2

0

1 x dx−∫ 2) 1

20

1 dx1 x+∫ 3)

1

20

1 dx4 x−∫ 4)

1

20

1 dxx x 1− +∫

5)1

4 20

x dxx x 1+ +∫ 6)

2

0

11 cos sin

dxx x

π

+ +∫ 7)

222

20

x dx1 x−∫ 8)

22 2

1

x 4 x dx−∫

86

9)

23

22

1 dxx x 1−∫ 10)

3 2

21

9 3x dxx+

∫ 11) 1

50

1(1 )

x dxx

−

+∫ 12)

2

223

11dx

x x −∫

13) 2

0

cos7 cos2

x dxx

π

+∫ 14) 1 4

60

11x dxx

++∫ 15)

20

cos1 cos

x dxx

π

+∫ 16) ∫

++−

0

12 22xx

dx

17) ∫++

1

0 311 xdx 18) ∫

−−2

1 51 dx

xxx

II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: Tính caùc tích phaân sau:

1)8

23

11dx

x x +∫ 2)

7 3

3 20 1

x dxx+∫ 3)

35 2

0

1x x dx+∫ 4) ln2

x0

1 dxe 2+∫

5)

73

30

13 1x dxx++∫ 6)

22 3

0

1x x d+∫ x 7) ∫+

32

5 2 4xxdx

III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN: Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn:

[ ]∫ ∫−=b

a

b

a

ba dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

Hay: [ ]∫ ∫−=b

a

b

a

ba vduvuudv .


Böôùc 1: Ñaët )(

)(')('

)(xvv

dxxududxxvdv

xuu==

⇒==

Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : [ ]∫ ∫−=b

a

b

a

ba vduvuudv .

Böôùc 3: Tính [ vaø ]bavu. ∫b

avdu


1) 2

51

ln xdxx∫ 2)

22

0

x cos xdx

π

∫ 3) 1

x

0

e sin xdx∫

4) 2

0

sin xdxπ

∫ 5) 6) e

2

1

x ln xdx∫3

20

x sin xdxcos x

π

+∫

87

7) 8) 2

0

xsin x cos xdxπ

∫4

2

0

x(2 cos x 1)dx

π

−∫ 9) 2

21

ln(1 x)dxx+

∫

10) 11) 12) 1

2 2x

0

(x 1) e dx+∫e

2

1

(x ln x) dx∫2

0

cosx.ln(1 cosx)dx

π

+∫

13) 21

ln( 1)

e

e

x dxx +∫ 14)

12

0

xtg xdx∫ 15) ∫ −1

0

2)2( dxex x

16) 17) ∫ +1

0

2 )1ln( dxxx ∫e

dxxx

1

ln 18) ∫ +2

0

3 sin)cos(

π

xdxxx

19) 20) ∫ ++2

0)1ln()72( dxxx ∫ −

3

2

2 )ln( dxxx

MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN TÍCH PHAÂN QUAN TROÏNG VAØ ÖÙNG DUÏNG

Baøi 1: 1) CMR neáu f(x) leû vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : a

a

f(x)dx 0−

=∫

2) CMR neáu f(x) chaün vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : a a

a 0

f(x)dx 2 f(x)dx−

=∫ ∫Baøi 2: 1) CMR neáu f(t) laø moät haøm soá lieân tuïc treân ñoïan [0,1] thì:

a) 2 2

0 0

f(sin x)dx f(cos x)dx

π π

=∫ ∫

b) 0 0

xf(sin x)dx f(sin x)dx2

π ππ=∫ ∫

AÙP DUÏNG: Tính caùc tích phaân sau:

88

1) n2

+n n

0

cos x dx vôùi n Zcos x sin x

π

∈+∫ 2)

42

4 40

cos x dxcos x sin x

π

+∫ 3) 62

6 60

sin x dxsin x cos x

π

+∫

4) 5) 5

0

xsin xdxπ

∫2

2

2

4 sinx cosx dx

x

π

π−

+−∫ 6)

1 4

21

sin1

x x dxx−

++∫

7) 20

xsin x dx4 cos x

π

−∫ 8) 4 3

0

cos sinx x xdπ

∫ x

Baøi 3:CMR neáu f(x) lieân tuïc vaø chaün treân R thì +

0

( ) ( ) vôùi R vaø a > 01x

f x dx f x dxa

α α

α

α−

= ∈+∫ ∫ ; a 1≠

AÙP DUÏNG : Tính caùc tích phaân sau:

2) 1 2

1

11 2x

x dx−

−+∫ 3)

2sin3 1x

x dxπ

π− +∫ 1) 1 4

1 2 1x

x dx− +∫

IV .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG: Coâng thöùc:

89

1Cy2Cy

2Cx1Cx

]dxxgxfS )()(

[∫ −=b

a[ ]∫ −=

b

adyygyfS )()(

Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau:

1) (H1):

2

2

xy 44

xy4 2

⎧= −⎪

⎪⎨⎪ =⎪⎩

2) (H2) : 2y x 4x 3

y x 3

⎧ = − +⎪⎨

= +⎪⎩ 3) (H3):

3x 1yx 1

y 0x 0

− −⎧ =⎪ −⎪=⎨

⎪ =⎪⎩

4) (H4): 5) (H2

2

y xx y

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩5): 2

y x

y 2 x

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩ 6) (H6):

2y x 5 0x y 3 0⎧ + − =⎨

+ − =⎩

7) (H7):

ln xy2 x

y 0x ex 1

⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪ =⎪

=⎪⎩

8) (H8) : 2

2

y x 2xy x 4

⎧ = −⎪⎨

x= − +⎪⎩ 9) (H9):

2 3 3y x x2

y x

⎧2

= + −⎪⎨⎪ =⎩

10) (H10): 11) 2y 2y x 0

x y 0⎧ − + =⎨

+ =⎩ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

)(2:)(

:)(

Oxxyd

xyC 12)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Δ==

1:)(2:)(

:)(

xyd

eyC x

V. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY. Coâng thöùc:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=Δ=Δ==

bxax

xgyCxfyC

H

::

)(:)()(:)(

:)(

2

1

2

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=Δ=Δ==

byay

ygxCyfxC

H

::

)(:)()(:)(

:)(

2

1

2

1

x

y

)(Ha

b

)(:)( 1 yfxC =

)(:)( 2 ygxC =

ay =

by =

O

yx

x

)(H

a b

)(:)( 1 xfyCa=

=

)(:)( 2 xgyC

bx =

O

=

b

ax

y

0=x

O

)(:)( yfxC =by =

ay =

a b0=y

)(:)( xfyC =

b

ax =bx =

x

y

O

[ ] dxxfVb

a

2

)(∫= π [ ] dyyfVb

a

2

)(∫= π

Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox Baøi 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y x;y 2 x;y 0= = − = Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Oy Baøi 3: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : vaø y = 4 2y (x 2)= − Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh: a) Truïc Ox b) Truïc Oy Baøi 4: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : 2 24 ;y x y x 2= − = + . Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox

Baøi 5: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : 2

2

1 ;1 2

xy yx

= =+

Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox

------------------------------Heát-------------------------------

90

TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG TOÙM TAÉT GIAÙO … cos2x dx sinx cosx π π ++ ∫ + 12) 1 x 0 1...

Documents

Transcript of TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG TOÙM TAÉT GIAÙO … cos2x dx sinx cosx π π ++ ∫ + 12) 1 x 0 1...