Synedrio parousiash v5

ΕΞΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣΕΞΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Κυριαζής Χρήστος

M.Sc. Μαθηµατικός

Υποψήφιος ∆ιδάκτορας Ε.Α.Π.

Σαββάτο 5 Νοεµβρίου 2016

Αίθουσα : Αν. Κνιθάκης

Ώρα 17:20

Υποψήφιος ∆ιδάκτορας Ε.Α.Π.

2o ΓΕΛ Αγίας Βαρβάρας

Πρωτοπαπάς Ελευθέριος

Ph.D., M.Sc. Μαθηµατικός

7o ΓΕΛ Περιστερίου

Ενότητες παρουσίασης

Ιστορικά στοιχεία.

Το θεώρηµα της µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού (ΘΜΤΟΛ).

Σχέση ΘΜΤΟΛ και ΘΜΤ.

Γενικεύσεις του ΘΜΤΟΛ και πορίσµατα.

2

Γενικεύσεις του ΘΜΤΟΛ και πορίσµατα.

Ενδιάµεσα σηµεία και ΘΜΤΟΛ.

ΘΜΤΟΛ και πανελλήνιες.

Ασκήσεις που λύνονται µε ΘΜΤΟΛ.

Μια πρακτική εφαρµογή.

Συµπεράσµατα.

Βιβλιογραφία.33o συνέδριο ΕΜΕ – 4 ως 6 Νοεµβρίου 2016 – Χανιά

Ιστορικά στοιχεία (1/3)

Πρώτη απόδειξη από Cauchy στα βιβλία που έγραψε για να

υποστηρίξει τη διδασκαλία του στην École Polytechnique.

Ο ορισµός της έννοιας του ορίου από τον Cauchy ήταν:

Όταν οι τιµές που αποδίδονται διαδοχικά στην ίδια µεταβλητή

προσεγγίζουν επ’ αόριστον µια σταθερή τιµή, µε τέτοιο τρόπο

3

προσεγγίζουν επ’ αόριστον µια σταθερή τιµή, µε τέτοιο τρόπο

ώστε να καταλήγουν να διαφέρουν από αυτήν όσο λιγότερο

επιθυµούµε, τότε η τιµή αυτή ονοµάζεται όριο όλων των άλλων.

Σύµφωνα µε αυτόν τον ορισµό ο Cauchy δίνει την έννοια του

ορισµένου ολοκληρώµατος ως το όριο των

33o συνέδριο ΕΜΕ – 4 ως 6 Νοεµβρίου 2016 – Χανιά

0

X

x

f (x)dx∫


αθροισµάτων της µορφής:

όπου τα σηµεία συγκροτούν µια τυχαία

υποδιαίρεση του διαστήµατος και το µέγιστο από τα

4

( )( )n

i 1 i i 1i 1

S f x x x− −=

= −∑

0 1 nx ,x , . . . , x X=

[ ]x ,Xυποδιαίρεση του διαστήµατος και το µέγιστο από τα

µήκη τείνει προς το µηδέν.

Χρησιµοποιώντας ορισµένες αλγεβρικές ιδιότητες που είχε

αποδείξει προηγουµένως για την έννοια του «µέσου» ενός συνόλου

αριθµών αποδεικνύει, µε βάση τη συνέχεια της f και το θεώρηµα

ενδιαµέσων τιµών, ότι για τα αθροίσµατα αυτά ισχύει

για κάποιο θ∈(0, 1)33o συνέδριο ΕΜΕ – 4 ως 6 Νοεµβρίου 2016 – Χανιά

[ ]0x ,X

i i 1x x −−

( )( )( )0 0 0S f x θ X x X x= + − −


Από τη σχέση αυτή, µε µια «µετάβαση στο όριο», συµπεραίνει ότι

ισχύει

, θ∈(0, 1)

5

( )( )( )X

0 0 0f (x)dx f x θ X x X x= + − −∫

δηλαδή

το «Θεώρηµα Μέσης Τιµής του Ολοκληρωτικού Λογισµού».


0x∫

Το θεώρηµα µέσης τιµής του ολοκληρωτικού

λογισµού (1/4)

Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], τότε υπάρχει ένα

τουλάχιστον τέτοιο, ώστε .

1η απόδειξη

Θεωρούµε τη συνάρτηση F µε τύπο .

6

( , )ξ∈ α β f (t)dt f ( )( )β

α

= ξ β−α∫x

F(x) f (t)dt, x [α,β]= ∈∫Θεωρούµε τη συνάρτηση F µε τύπο .

Εφαρµόζουµε το ΘΜΤ, άρα υπάρχει τέτοιο ώστε

ή


α

F(x) f (t)dt, x [α,β]= ∈∫( , )ξ∈ α β

F( ) F( )F'( )

β − αξ =

β−α

f (t)dt f (t)dt

f ( )

β α

α α

−

ξ =β−α

∫ ∫



2η απόδειξη

Από το θεώρηµα µέγιστης ελάχιστης τιµής η f έχει ελάχιστη

τιµή , µέγιστη τιµή µε και ισχύει

Τότε

7

m f (γ)= M f (δ)= γ,δ [α,β]∈m f (x) M, ά x [ , ].≤ ≤ για κ θε ∈ α β

Τότε

Συνεπώς υπάρχει k έτσι ώστε

και αφού η f είναι συνεχής υπάρχει µε .


m( ) f (x)dx M( ).β

α

β−α ≤ ≤ β−α∫

k f ( )= ξ

f (x)dx k( )β

α

= β−α∫( , )ξ∈ α β



Μέση τιµή της f στο [α, β]:

Η σηµασία της συνέχειας

8

__f (x)dx f (x)dx

f .

dx

β β

α αβ

α

µ = = =β−α

∫ ∫

∫Η σηµασία της συνέχειας


1, 1 x 0f (x)

1, 0 x 1

− − ≤ <=

≤ ≤

1 0 1

1 1 0

1 1f (x)dx f (x)dx f (x)dx 0

1 ( 1) 2− −

= + = − −

∫ ∫ ∫


λογισµού (4/4)9

β β

α α

f (x)dx (β α) dx= µ − = µ∫ ∫

Η µέση τιµή της συνάρτησηςf στο [α, β] είναι εκείνη η


Γεωµετρική ερµηνεία ΘΜΤΟΛ

f στο [α, β] είναι εκείνη ητιµή που πρέπει να έχει µιασυνάρτηση f στο [α, β] ώστετο ολοκλήρωµά της να είναιίσο µε το ολοκλήρωµα τηςµέσης τιµής στο [α, β].

Σχέση ΘΜΤΟΛ και ΘΜΤ

Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α, β] έχει παράγουσα, έστω F

και ισχύει F΄(x) = f(x).

Για την F ισχύει το ΘΜΤ άρα υπάρχει ώστε

10

F(β) F(α)F'(ξ) =

−−

( , )ξ∈ α β

Από το θεµελιώδες θεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού

ισχύει

Συνεπώς υπάρχει ώστε:

δηλαδή το ΘΜΤΟΛ.


( , )ξ∈ α β f (t)dt f ( )( )β

α

= ξ β−α∫

F'(ξ) =β α−

f (t)dt F( ) F( ).β

α

= β − α∫

Γενικεύσεις του ΘΜΤΟΛ και πορίσµατα (1/6)

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ολοκληρώσιµες στο [α, β] και η g

δεν αλλάζει πρόσηµο στο [α, β], τότε

11

f (x)g(x)dx µ g(x)dxβ β

=∫ ∫

Γενικευµένο ΘΜΤΟΛ

όπου , m είναι το infimum και M είναι το supremum

της f στο [α, β].

Η συνάρτηση g λέγεται συνάρτηση βάρους και αν

ο αριθµός µ λέγεται σταθµισµένος µέσος της

συνάρτησης βάρους g στο [α, β].


f (x)g(x)dx µ g(x)dxα α

=∫ ∫m µ Μ≤ ≤

κάθε t [α,β]∈

g(t) 0 για≥


Απόδειξη

Θα αποδείξουµε την περίπτωση κατά την οποία για

κάθε αφού οµοίως αποδεικνύεται και η περίπτωση

για κάθε .

Αφού m είναι το infimum της f και M είναι το supremum της f

12

g(x) 0≥

x [α,β]∈

g(x) 0≤ x [α,β]∈

Αφού m είναι το infimum της f και M είναι το supremum της f

στο [α,β], ισχύει , για κάθε , άρα

και

Συνεπώς έχουµε:


m f (x) Μ≤ ≤ x [α,β]∈β

α

[f (x) m]g(x)dx 0− ≥∫β

α

[Μ f (x)]g(x)dx 0− ≥∫

β β β

α α α

m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx≤ ≤∫ ∫ ∫


13

Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι υπάρχει

τέτοιο ώστε

µ [m, M]∈

f (x)g(x)dx g(x)dxβ β

α α

= µ∫ ∫


Λόγω της συνέχειας της συνάρτησης f και λόγω του

θεωρήµατος µέγιστης-ελάχιστης τιµής υπάρχει

ώστε , δηλαδή

ξ [α,β]∈

f (ξ) µ=

f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dxβ β

α α

= ξ∫ ∫


Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ολοκληρώσιµες στο [α, β],

και η f είναι µονότονη στο [α, β], τότε υπάρχει ώστε

14

∆εύτερο ΘΜΤΟΛ

g(x) 0≥

( , )ξ∈ α β

f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx f ( ) g(x)dxβ ξ β

= α + β∫ ∫ ∫Απόδειξη

Θεωρούµε τη συνάρτηση h µε


f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx f ( ) g(x)dxα α ξ

= α + β∫ ∫ ∫

t

t

h(t) f ( ) g(x)dx f ( ) g(x)dx, t [ , ]β

α

= α + β µε ∈ α β∫ ∫


Ισχύουν

Αφού η f είναι µονότονη στο [α, β] προκύπτει ότι το µ

15

h( ) f ( ) g(x)dx και h( ) f ( ) g(x)dxβ β

α α

α = β β = α∫ ∫Αφού η f είναι µονότονη στο [α, β] προκύπτει ότι το µ

βρίσκεται ανάµεσα στα f(α), f(β).

Όµως από το γενικευµένο ΘΜΤΟΛ ισχύει

, άρα για κάποια τιµή

η h παίρνει την τιµή , οπότε …


f (x)g(x)dx µ g(x)dxβ β

α α

=∫ ∫ ( , )ξ∈ α β

µ g(x)dxβ

α∫


Μορφές Bonnet

Αν η συνάρτηση f είναι µια θετική φθίνουσα συνάρτηση µε

f(β) = 0, ισχύει

16

f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx, ,β ξ

= α α < ξ < β∫ ∫ενώ αν η f είναι µια θετική αύξουσα συνάρτηση µε f(α) = 0,

ισχύει


f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx, ,α α

= α α < ξ < β∫ ∫

f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx, .β β

α ξ

= β α < ξ < β∫ ∫

Ενδιάµεσα σηµεία και ΘΜΤΟΛ (1/3)

Λήµµα

Αν ε είναι µια συνάρτηση τέτοια ώστε , m > 0 και

η συνάρτηση h µε είναι ολοκληρώσιµη,

τότε:

17

( )mh(t) (t) t= ε − αt αlimε(t) = 0→

( )x

m(t) t dtε −α∫

α) ,

β)


( )

( )

m

m 1x

(t) t dt

lim 0x

α+→α

ε −α

=−α

∫

( )( )( )

m

x xxmx

lim 0, x.x→α

ε ξ ξ −α= α < ξ <

−α


Ο Zhang απέδειξε ότι αν η συνάρτηση f είναι r φορές παρ/µη

γύρω από ένα σηµείο α µε ,

αλλά , τότε

18

(r 1)f '(α) f ''(α) ... f (α) 0−= = = =(r)f (α) 0≠

xxrx

1lim , ξ ( , x) ( , )

x r 1→α

ξ −α= ∈ α ⊆ α β

−α +

Για την απόδειξη της πρότασης, παίρνουµε το θεώρηµα Taylor

για τη συνάρτηση f και µετά από πράξεις βρίσκουµε ότι:


xrxlim , ξ ( , x) ( , )

x r 1→α= ∈ α ⊆ α β

−α +

( )x

r

r r(r ) (r)x x

xr 1

(t) t dtf ( ) f ( )

( )(r 1)! (x ) r! x x

α+

ε −αα α ξ −α ξ −α + = + ε ξ + −α −α −α

∫


Λαµβάνοντας όρια για έχουµε µε τη βοήθεια του

λήµµατος ότι

19

x α+→

r(r ) (r )x

x

f ( ) f ( )lim

(r 1)! r! x+→α

α α ξ −α = + −α

και αφού ισχύει

ή τελικά


(r)f (α) 0≠r

x

x

1lim

x r 1+→α

ξ − α = − α +

x

rx

1lim

x r 1→α

ξ −α=

−α +

ΘΜΤΟΛ και Πανελλήνιες (1/3)

Έστω f µια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο

διάστηµα [0, 1] για την οποία ισχύει .

∆ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [0, 1] για την οποία

ισχύει για κάθε x στο .

20

f(0) 0>

g(x) 0> [0,1]

Ορίζουµε τις συναρτήσεις:

και

α. Να δειχθεί ότι F(x) > 0 , για κάθε x στο διάστηµα (0, 1].

β. Να αποδειχθεί ότι f(x)G(x) > F(x), για κάθε x στο διάστηµα (0, 1].


x

0

F(x) f (t)g(t)dt, x [0,1]= ∈∫x

0

G(x) g(t)dt, x [0,1]= ∈∫


Λύση

α. Για τη συνάρτηση Η µε H(t) = f(t)g(t) ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤΟΛ στο , οπότε υπάρχει

έτσι ώστε

ή

21

[0, x]

xξ (0,x) (0,1]∈ ⊆

x

H(t)dt H( )(x 0)= ξ −∫x

F(x) f (t)g(t)dt f ( )g( )x= = ξ ξ∫ή

Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] και ,

ισχύει και επιπλέον ισχύει

οπότε προκύπτει ότι F(x) > 0, για κάθε x στο διάστηµα (0, 1].


x

0

H(t)dt H( )(x 0)= ξ −∫ x x

0

F(x) f (t)g(t)dt f ( )g( )x= = ξ ξ∫x

0 ξ 1< <

xf (ξ ) f (0) 0> >

xg(ξ ) 0, x [0,1]∈>


β. Για τη συνάρτηση Q µε Q(t)=(f(x) – f(t))g(t) ισχύουν οι

προϋποθέσεις του ΘΜΤΟΛ στο [0, x], οπότε υπάρχει

έτσι ώστε

22

xc (0, x) (0,1]∈ ⊆x

Q(t)dt Q(c )(x 0)= −∫ή

αφού και


x

0

Q(t)dt Q(c )(x 0)= −∫

( ) ( )x

x x

0

f (x) f (t) g(t)dt x f (x) f (c ) g(c ) 0, x (0,1]− = − > ∈∫

xg(c ) 0> xf (x) f (c ) 0− >

Ασκήσεις που λύνονται και µε ΘΜΤΟΛ (1/3)

Άσκηση 1. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] µε

να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε .

Λύση

1ος τρόπος: Άµεσο από ΘΜΤΟΛ για την f στο [α,β].

23

β

α

f (x)dx 0=∫( , )ξ∈ α β f (ξ) 0=

1ος τρόπος: Άµεσο από ΘΜΤΟΛ για την f στο [α,β].

2ος τρόπος: Με άτοπο, αφού τότε η f διατηρεί πρόσηµο στο (α, β)

3ος τρόπος: Εφαρµογή ΘΜΤ για την παράγουσα της f στο [α, β].



Άσκηση 2. Αν f, g συνεχείς στο [α, β] µε , δ.ο:

α) υπάρχει τέτοιο, ώστε f (ξ) = g(ξ),

β) υπάρχουν τέτοια, ώστε .

24

( , )ξ∈ α β

1 2, ( , )ξ ξ ∈ α β 1 2f (ξ ) g(ξ )=

β β

α α

f (x)dx g(x)dx=∫ ∫

Λύση

α) 1ος τρόπος: ΘΜΤΟΛ για την q µε q(x) = f(x) – g(x) στο [α, β].


α) 1ος τρόπος: ΘΜΤΟΛ για την q µε q(x) = f(x) – g(x) στο [α, β].

2ος τρόπος: Με άτοπο (η q θα διατηρεί πρόσηµο στο (α, β)).

3ος τρόπος: Εφαρµογή ΘΜΤ για την παράγουσα της q στο

[α, β].β) 1ος τρόπος: Εφαρµογή ΘΜΤΟΛ για τις f, g στο [α, β].

2ος τρόπος: Εφαρµογή ΘΜΤ για τις παράγουσες των f, g,αντίστοιχα στο [α, β].


Άσκηση 3. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει f(x) > 0

για κάθε , να αποδείξετε ότι: .

Λύση

1ος τρόπος: Άµεσο από ΘΜΤΟΛ για την f στο [α, β].

25

x [ , ]∈ α ββ

α

f (x)dx 0>∫

1ος τρόπος: Άµεσο από ΘΜΤΟΛ για την f στο [α, β].

2ος τρόπος: Εφαρµογή ΘΜΤ για την παράγουσα της f στο [α, β].


Μια πρακτική εφαρµογή

Να συγκρίνετε τη µέγιστη τα-

χύτητα µε τη µέση ταχύτητα. Λύση

26

2 2Pυ(r) (R r )

4n= −ℓ

RΛύση


Μέση ταχύτητα:

Παράγωγος της ταχύτητας:

άρα η υ είναι γνησίως φθίνουσα µε Ο.Μ:

R 2__

0

1 R Pυ υ(r)dr ... .

R 6n= = =∫

ℓ

P Prυ'(r) = ( 2r) = , r [0,R].

4n 2n− − ∈

ℓ ℓ

2

max

PRυ = υ(0) = .

4nℓ

Συµπεράσµατα

Είναι ιστορικά σηµαντικό.

Εκτός διδακτέας ύλης στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση.

Πολλές ασκήσεις που λύνονται και µε ΘΜΤΟΛ έχουν κληθεί να αντιµετωπίσουν οι µαθητές της Γ΄ Λυκείου.

Πολλές ασκήσεις που λύνονται και µε ΘΜΤΟΛ έχουν τεθεί

27

Πολλές ασκήσεις που λύνονται και µε ΘΜΤΟΛ έχουν τεθεί στις εξετάσεις.

Θα ήταν χρήσιµο να µπει εντός διδακτέας ύλης στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση.


Ευχαριστίες!!!28

Θα θέλαµε να ευχαριστήσουµε τον σχολικό σύµβουλο

των µαθηµατικών του Ν. Κιλκίς

κ. Γιάννη Θωµαΐδη


κ. Γιάννη Θωµαΐδη

(Ph.D. της διδακτικής των Μαθηµατικών)

που είχε την ευγενή καλοσύνη να µας δώσει τα ιστορικά

στοιχεία για το ΘΜΤΟΛ.

Βιβλιογραφία

Edwards H. C. (1979). The Historical Development of the Calculus. Springer-Verlag, New York. Fauvel J. & Gray J. (1987). The History of Mathematics – A Reader. MacMillan Press & The Open University,

Milton Keynes. Grabiner J. (1981). The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. The MIT Press, Cambridge. Ανδρεαδάκης Σ., Θωµαΐδης Ι., Κατσαργύρης Β., Μέτης Σ., Μπρουχούτας Κ., Παπασταυρίδης Σ., Πολύζος Γ. (1999).

Μαθηµατικά θετικής κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου. ΟΕ∆Β. Αθήνα. Αδαµόπουλος Λ., Βαρουχάκης Ν., Γιαννίκας Χ., Μπέτσης Α., Νοταράς ∆., Σολδάτος Κ., Φωτόπουλος Σ. (1991).

Μαθηµατικά Γ΄ Λυκείου, Ανάλυση. ΟΕ∆Β. Αθήνα. Βλάµος Μ. Π. (1999). Ολοκλήρωµα συνάρτησης. Εκδόσεις “V”. Αθήνα. Merkle Μ. (2015). An axiomatic integral and a multivariate mean value theorem. Journal of Inequalities and

29

Merkle Μ. (2015). An axiomatic integral and a multivariate mean value theorem. Journal of Inequalities and Applications. DOI 10.1186/s13660-015-0866-2.

Tong J. and Braza A. P. (1997). A converse of the mean value theorem. The American Mathematical Monthly, vol. 104, no 10, pp. 939-942.

Tong J. (2000). The mean value theorem of Lagrange generalised to involve two functions. The Mathematical Gazette, vol. 84, no. 501, pp. 515–516.

Tong J. (2002). A generalization of the mean value theorem for integrals. The College Mathematics Journal, vol. 33, no. 5, pp.408–409.

Brand L. (1984). Μαθηµατική ανάλυση. Εκδόσεις ΕΜΕ. Αθήνα. Sahoo K. P. and Riedel T. (1998). Mean Value Theorems and Functional Equations. World Scientific Publishing

Company, New Jersey, NJ, USA. Zhang B. (1997). A note on the mean value theorem for integrals. The American Mathematical Monthly. 104. 561-

562. Θωµαΐδης Γ. (2009). Μαθηµατικά και Εξετάσεις. Εκδόσεις Ζήτη. Θεσσαλονίκη. Κόλλιας Η. Γ. (1995). Ανάλυση Α΄ ∆έσµης, Γ΄ Λυκείου. Εκδόσεις Σαββάλα. Αθήνα.


30


Synedrio parousiash v5

Education

Transcript of Synedrio parousiash v5