Suurima t~oep ara meetod · Suurima t~oep ara meetod Eesm ark: Antud konkreetse valimi fx 1;:::;x...

Suurima toepara meetod

Eesmark: Antud konkreetse valimi {x1, . . . , xn} pohjal leidajaotuse Pϑ parameetri(te) ϑ = (ϑ1, . . . , ϑm) selline vaartus t, etjuhusliku valimi korral uldkogumist teoreetilise jaotusega Pϑ olekskonkreetse valimi {x1, . . . , xn} saamine suurim siis kui ϑ = t.

Kirjutame valja tingimuse:

PX (X1 = x1, . . . ,Xn = xn;ϑ) =n∏

PX (Xi = xi ;ϑ).

Kasutades suurima toepara meetodit leitakse parameetri(te) ϑhinnang ϑ∗ selliselt, et

PX (X1 = x1, . . . ,Xn = xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

n∏i=1

PX (Xi = xi ;ϑ).

Selleks leiame toeparafunktsiooni maksimumi hulgal Θ:

L(x1, . . . , xn;ϑ) = PX (X1 = x1, . . . ,Xn = xn;ϑ) =n∏

PX (Xi = xi ;ϑ).

Eesmark: Antud konkreetse valimi {x1, . . . , xn} pohjal leidajaotuse Pϑ parameetri(te) ϑ = (ϑ1, . . . , ϑm) selline vaartus t, etjuhusliku valimi korral uldkogumist teoreetilise jaotusega Pϑ olekskonkreetse valimi {x1, . . . , xn} saamine suurim siis kui ϑ = t.Kirjutame valja tingimuse:

PX (X1 = x1, . . . ,Xn = xn;ϑ) =n∏

PX (Xi = xi ;ϑ).

PX (X1 = x1, . . . ,Xn = xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

n∏i=1

PX (Xi = xi ;ϑ).

PX (X1 = x1, . . . ,Xn = xn;ϑ) =n∏

PX (Xi = xi ;ϑ).

PX (X1 = x1, . . . ,Xn = xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

n∏i=1

PX (Xi = xi ;ϑ).

PX (X1 = x1, . . . ,Xn = xn;ϑ) =n∏

PX (Xi = xi ;ϑ).

PX (X1 = x1, . . . ,Xn = xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

n∏i=1

PX (Xi = xi ;ϑ).

Kasutades logaritmfunktsiooni monotoonsust, st. kuiL(x1, . . . , xn;ϑ) saavutab maksimumi punktis ϑ = ϑ∗, siis kalogaritmiline toeparafunktsioon

l(x1, . . . , xn;ϑ) = ln L(x1, . . . , xn;ϑ) =n∑

lnPX (Xi = xi ;ϑ)

saavutab maksimumi punktis ϑ = ϑ∗

, s.t.

l(x1, . . . , xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

l(x1, . . . , xn;ϑ).

Hinnangu ϑ∗ leidmiseks peame lahendama vorrandisusteemi

∂ϑkl(x1, . . . , xn;ϑ) =

∂ϑk

n∑i=1

lnPX (Xi = xi ;ϑ) = 0, (k = 1, . . . ,m)

tingimusel ϑ ∈ Θ ning kontrollima, kas tegemist onmaksimumpunktiga.

l(x1, . . . , xn;ϑ) = ln L(x1, . . . , xn;ϑ) =n∑

lnPX (Xi = xi ;ϑ)

saavutab maksimumi punktis ϑ = ϑ∗, s.t.

l(x1, . . . , xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

l(x1, . . . , xn;ϑ).

∂ϑkl(x1, . . . , xn;ϑ) =

∂ϑk

n∑i=1

lnPX (Xi = xi ;ϑ) = 0, (k = 1, . . . ,m)

l(x1, . . . , xn;ϑ) = ln L(x1, . . . , xn;ϑ) =n∑

lnPX (Xi = xi ;ϑ)

saavutab maksimumi punktis ϑ = ϑ∗, s.t.

l(x1, . . . , xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

l(x1, . . . , xn;ϑ).

∂ϑkl(x1, . . . , xn;ϑ) =

∂ϑk

n∑i=1

lnPX (Xi = xi ;ϑ) = 0, (k = 1, . . . ,m)

Naide: Poissoni jaotus

Leiame Poissoni jaotuse parameetri λ hinnangu.

P(Xi = xi ) = e−λλxi/xi !.

L(x1, . . . , xn;λ) =n∏

e−λλxi

Laheme ule logaritmilisele toeparafunktsioonile:

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

(e−λ

)= −nλ+lnλ

n∑i=1

xi−n∑

ln(xi !)

Leiame tuletise nullkohad tingimusel λ > 0.

dλ= −n +

n∑i=1

xi = 0 ⇒ λ =1

n∑i=1

Kunad2l

dλ2= − 1

n∑i=1

xi < 0,

siis on tegemist maksimumiga.

Leiame Poissoni jaotuse parameetri λ hinnangu.P(Xi = xi ) = e−λλxi/xi !.

L(x1, . . . , xn;λ) =n∏

e−λλxi

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

(e−λ

)= −nλ+lnλ

n∑i=1

xi−n∑

ln(xi !)

dλ= −n +

n∑i=1

xi = 0 ⇒ λ =1

n∑i=1

Kunad2l

dλ2= − 1

n∑i=1

xi < 0,

L(x1, . . . , xn;λ) =n∏

e−λλxi

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

(e−λ

)= −nλ+lnλ

n∑i=1

xi−n∑

ln(xi !)

dλ= −n +

n∑i=1

xi = 0 ⇒ λ =1

n∑i=1

Kunad2l

dλ2= − 1

n∑i=1

xi < 0,

L(x1, . . . , xn;λ) =n∏

e−λλxi

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

(e−λ

)= −nλ+lnλ

n∑i=1

xi−n∑

ln(xi !)

dλ= −n +

n∑i=1

xi = 0 ⇒ λ =1

n∑i=1

Kunad2l

dλ2= − 1

n∑i=1

xi < 0,

Naide: geomeetriline jaotus

Leiame geomeetrilise jaotuse P(X = k) = (1− p)pk−1 parameetrip hinnangu.

Kasutame logaritmilist toeparafunktsiooni

l(x1, . . . , xn; p) = ln

pxi−1(1− p)

[(xi − 1) ln p + ln(1− p)]

= n ln(1− p) + ln pn∑

xi − n ln p

Leiame tuletise nullkoha

dp=−n

1− p+

n∑i=1

xi −n

p= 0 ⇒ p = 1− 1

Leiame geomeetrilise jaotuse P(X = k) = (1− p)pk−1 parameetrip hinnangu. Kasutame logaritmilist toeparafunktsiooni

l(x1, . . . , xn; p) = ln

pxi−1(1− p)

[(xi − 1) ln p + ln(1− p)]

= n ln(1− p) + ln pn∑

xi − n ln p

dp=−n

1− p+

n∑i=1

xi −n

p= 0 ⇒ p = 1− 1

Leiame geomeetrilise jaotuse P(X = k) = (1− p)pk−1 parameetrip hinnangu. Kasutame logaritmilist toeparafunktsiooni

l(x1, . . . , xn; p) = ln

pxi−1(1− p)

[(xi − 1) ln p + ln(1− p)]

= n ln(1− p) + ln pn∑

xi − n ln p

dp=−n

1− p+

n∑i=1

xi −n

p= 0 ⇒ p = 1− 1

STP pideva jaotuse korral

Kui pideva js. X jaotus soltub parameetri(te)st ϑ = (ϑ1, . . . , ϑm),st. jaotustihedusel on kuju f (x ;ϑ). Valimi elementidesoltumatusest saame

f (x1, . . . , xn;ϑ) =n∏

f (xi ;ϑ).

Tegemist on valimi jaotustihedusega.

Parameetri(te) ϑ hinnang ϑ∗ valitakse selliselt, et

f (x1, . . . , xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

f (x1, . . . , xn;ϑ) = maxϑ∈Θ

f (xi ;ϑ)

Toeparafunktsiooniks on pideva juhusliku suuruse korral funktsioon

L(x1, . . . , xn;ϑ) =n∏

f (xi ;ϑ).

f (x1, . . . , xn;ϑ) =n∏

f (xi ;ϑ).

Tegemist on valimi jaotustihedusega.Parameetri(te) ϑ hinnang ϑ∗ valitakse selliselt, et

f (x1, . . . , xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

f (x1, . . . , xn;ϑ) = maxϑ∈Θ

f (xi ;ϑ)

L(x1, . . . , xn;ϑ) =n∏

f (xi ;ϑ).

f (x1, . . . , xn;ϑ) =n∏

f (xi ;ϑ).

Tegemist on valimi jaotustihedusega.Parameetri(te) ϑ hinnang ϑ∗ valitakse selliselt, et

f (x1, . . . , xn;ϑ∗) = maxϑ∈Θ

f (x1, . . . , xn;ϑ) = maxϑ∈Θ

f (xi ;ϑ)

L(x1, . . . , xn;ϑ) =n∏

f (xi ;ϑ).

Logaritmiliseks toeparafunktsiooniks nimetatakse funktsiooni

l(x1, . . . , xn;ϑ) = ln L(x1, . . . , xn;ϑ) =n∑

ln f (xi ;ϑ).

Statsionaarsete punktide leidmiseks tuleb lahendadavorrandisusteem (m vorrandist)

∂ϑk

n∑i=1

ln f (xi ;ϑ) = 0 (k = 1, . . . ,m).

Logaritmiliseks toeparafunktsiooniks nimetatakse funktsiooni

l(x1, . . . , xn;ϑ) = ln L(x1, . . . , xn;ϑ) =n∑

ln f (xi ;ϑ).

Statsionaarsete punktide leidmiseks tuleb lahendadavorrandisusteem (m vorrandist)

∂ϑk

n∑i=1

ln f (xi ;ϑ) = 0 (k = 1, . . . ,m).

Naide: eksponentjaotus

Leiame eksponentjaotuse f (x) = λ exp(−λx) (x > 0) parameetri λhinnangu STP abil.

Moodustame logaritmilise toeparafunktsiooni

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

ln(λe−λxi

n∑i=1

[ln(λ)−λxi ] = n lnλ−λn∑

Leiame statsionaarse punkti

n∑i=1

xi = 0 ⇒ λ∗ =1

n∑i=1

Kunad2l

dλ2= − n

λ2< 0,

siis on tegemist lokaalse maksimumiga, mis osutub ka globaalseksmaksimumiks.

Leiame eksponentjaotuse f (x) = λ exp(−λx) (x > 0) parameetri λhinnangu STP abil.Moodustame logaritmilise toeparafunktsiooni

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

ln(λe−λxi

n∑i=1

xi = 0 ⇒ λ∗ =1

n∑i=1

Kunad2l

dλ2= − n

λ2< 0,

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

ln(λe−λxi

n∑i=1

xi = 0 ⇒ λ∗ =1

n∑i=1

Kunad2l

dλ2= − n

λ2< 0,

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

ln(λe−λxi

n∑i=1

xi = 0 ⇒ λ∗ =1

n∑i=1

Kunad2l

dλ2= − n

λ2< 0,

Naide: Rayleigh’ jaotus

Leiame Rayleigh’ jaotuse f (x) = 2h2x exp(−h2x2) (x > 0)parameetri h hinnangu STP abil.

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

2h2e−h2x2

n∑i=1

[ln(2) + 2 ln(h)− h2x2i ]

= n ln(2) + 2n ln(h)− h2n∑

h− 2h

n∑i=1

x2i = 0 ⇒ h∗ =

√n∑n

i=1 x2i

dh2= −2n

h2− 2

n∑i=1

x2i < 0 ⇒ maksimum.

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

2h2e−h2x2

n∑i=1

[ln(2) + 2 ln(h)− h2x2i ]

= n ln(2) + 2n ln(h)− h2n∑

h− 2h

n∑i=1

x2i = 0 ⇒ h∗ =

√n∑n

i=1 x2i

dh2= −2n

h2− 2

n∑i=1

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

2h2e−h2x2

n∑i=1

[ln(2) + 2 ln(h)− h2x2i ]

= n ln(2) + 2n ln(h)− h2n∑

h− 2h

n∑i=1

x2i = 0 ⇒ h∗ =

√n∑n

i=1 x2i

dh2= −2n

h2− 2

n∑i=1

l(x1, . . . , xn;λ) =n∑

2h2e−h2x2

n∑i=1

[ln(2) + 2 ln(h)− h2x2i ]

= n ln(2) + 2n ln(h)− h2n∑

h− 2h

n∑i=1

x2i = 0 ⇒ h∗ =

√n∑n

i=1 x2i

dh2= −2n

h2− 2

n∑i=1

Naide: normaaljaotus

Leiame normaaljaotuse f (x) =1

2πexp

(−(x − a)2

)parameetrite a ja σ hinnangud STP abil.

l(x1, . . . , xn; a, σ) =n∑

2πexp

(−(xi − a)2

[− lnσ − ln

√2π − (xi − a)2

= −n lnσ − n ln√

2π − 1

n∑i=1

(xi − a)2

Statsionaarsete punktide leidmiseks lahendame vorrandisusteemi:∂l

∂a= − 1

∑ni=1(xi − a) · 2 · (−1) =

∑ni=1(xi − a) = 0

∂σ= −n

∑ni=1(xi − a)2 = 0

2πexp

(−(x − a)2

l(x1, . . . , xn; a, σ) =n∑

2πexp

(−(xi − a)2

[− lnσ − ln

√2π − (xi − a)2

2π − 1

n∑i=1

(xi − a)2

∂a= − 1

∑ni=1(xi − a) · 2 · (−1) =

∑ni=1(xi − a) = 0

∂σ= −n

∑ni=1(xi − a)2 = 0

2πexp

(−(x − a)2

l(x1, . . . , xn; a, σ) =n∑

2πexp

(−(xi − a)2

[− lnσ − ln

√2π − (xi − a)2

2π − 1

n∑i=1

(xi − a)2

∂a= − 1

∑ni=1(xi − a) · 2 · (−1) =

∑ni=1(xi − a) = 0

∂σ= −n

∑ni=1(xi − a)2 = 0

∂a= − 1

∑ni=1(xi − a) · 2 · (−1) =

∑ni=1(xi − a) = 0

∂σ= −n

∑ni=1(xi − a)2 = 0

a∗ =1

n∑i=1

xi = x ∧ σ∗2 =1

n∑i=1

(xi − x)2.

Naide: Weibulli jaotus

Leiame Weibulli jaotuse f (x) = αλxα−1 exp(−λxα) (x > 0)parameetrite α > 0 ja λ > 0 hinnangud STP abil.

Moodustame logaritmilise toeparafunktsiooni

l(x1, . . . , xn;α, λ) =n∑

ln(αλxα−1

i exp(−λxαi ))

[lnα + lnλ+ (α− 1) ln xi − λxαi ]

= n lnα + n lnλ+ (α− 1)n∑

ln xi − λn∑

Statsionaarsete punktide leidmiseks lahendame vorrandisusteemi∂l

∂α=

α+∑n

i=1 ln xi − λ∑n

i=1 αxα−1i = 0

∂λ=

λ−∑n

i=1 xαi = 0

Naide: Weibulli jaotus

Leiame Weibulli jaotuse f (x) = αλxα−1 exp(−λxα) (x > 0)parameetrite α > 0 ja λ > 0 hinnangud STP abil.Moodustame logaritmilise toeparafunktsiooni

l(x1, . . . , xn;α, λ) =n∑

ln(αλxα−1

i exp(−λxαi ))

[lnα + lnλ+ (α− 1) ln xi − λxαi ]

= n lnα + n lnλ+ (α− 1)n∑

ln xi − λn∑

Statsionaarsete punktide leidmiseks lahendame vorrandisusteemi∂l

∂α=

α+∑n

i=1 αxα−1i = 0

∂λ=

λ−∑n

i=1 xαi = 0

∂α=

α+∑n

i=1 αxα−1i = 0

∂λ=

λ−∑n

i=1 xαi = 0 ⇒ 1

∑ni=1 x

αi ⇔ λ =

n∑ni=1 x

Asendame λ avaldise esimesse vorrandisse ning saame

n∑i=1

ln xi −n∑n

i=1 xαi

·n∑

αxα−1i = 0

�STP rakendamine voib viia mittelineaarsete

vorrandisusteemide lahendamisele!

∂α=

α+∑n

i=1 αxα−1i = 0

∂λ=

λ−∑n

i=1 xαi = 0 ⇒ 1

∑ni=1 x

αi ⇔ λ =

n∑ni=1 x

n∑i=1

ln xi −n∑n

i=1 xαi

·n∑

αxα−1i = 0

∂α=

α+∑n

i=1 αxα−1i = 0

∂λ=

λ−∑n

i=1 xαi = 0 ⇒ 1

∑ni=1 x

αi ⇔ λ =

n∑ni=1 x

n∑i=1

ln xi −n∑n

i=1 xαi

·n∑

αxα−1i = 0

Teooria

Lause 1Kui eksisteerib parameetri α (st. jaotusel on ainult uks parameeter)efektiivne punkthinnang α∗, siis toeparavorrand

n∑i=1

ln f (xi ;α) = 0 (1)

n∑i=1

lnPX (Xi = xi ;α) = 0 (2)

on uheselt lahenduv ja lahendiks on see efektiivne hinnang.

NB! Viimane vaide ei anna mingit infot selle kohta, kui parameetrilα ei ole efektiivset punkthinnangut.

χ2-test empiirilise jaotuse vordlemiseks teoreetilisega

Praktikas esineb sageli olukordi, kui on antud pideva juhuslikusuuruse X valim (naiteks pinge elektrivorgus moodetuna mingispunktis, tuule tugevus, tuule suund jne). Sellisel juhul onotstarbekas jaotada valim klassidesse ja moodustada klassidesagedustabel

klass [a0, a1) [a1, a2) · · · [am−1, am]

sagedus n′1 n′2 · · · n′m

kus klasside arv m maaratakse jargnevalt

valimi maht n alla 50 50− 100 100− 250 ule 250

klasside arv m 5− 7 6− 10 7− 12 10− 20

Moned autorid soovitavad klasside arvuks m votta√n taisosa.

Uhesuguse ulatusega klasside korral valitakse

h =xn − x1

m, a0 = x1, ai = a0 + ih (i = 1, . . . ,m)

h =xn − x1

m − 1, a0 = x1 − h/2, ai = a0 + ih (i = 1, . . . ,m)

χ2-test empiirilise jaotuse vordlemiseks teoreetilisega

Praktikas esineb sageli olukordi, kui on antud pideva juhuslikusuuruse X valim (naiteks pinge elektrivorgus moodetuna mingispunktis, tuule tugevus, tuule suund jne). Sellisel juhul onotstarbekas jaotada valim klassidesse ja moodustada klassidesagedustabel

klass [a0, a1) [a1, a2) · · · [am−1, am]

sagedus n′1 n′2 · · · n′m

kus klasside arv m maaratakse jargnevalt

valimi maht n alla 50 50− 100 100− 250 ule 250

klasside arv m 5− 7 6− 10 7− 12 10− 20

Moned autorid soovitavad klasside arvuks m votta√n taisosa.

Uhesuguse ulatusega klasside korral valitakse

h =xn − x1

m, a0 = x1, ai = a0 + ih (i = 1, . . . ,m)

h =xn − x1

m − 1, a0 = x1 − h/2, ai = a0 + ih (i = 1, . . . ,m)

Oletades, et teoreetiline jaotus on kas P(X = x) (diskreetsel juhul)voi teoreetiline jaotusfunktsioon FX (x) (pideval juhul).

��

Peame teadma tapset jaotust voi jaotusfunktsioo-ni! NB! Jaotuse parameetritel peavad olema kind-lad arvulised vaartused!

Hupoteesi H0 :”empiiriline jaotus langeb kokku teoreetilise

jaotusega“ kontrollimiseks moodustatakse teststatistik

θ∗ =m∑i=1

(ni − ni )2

kus teoreetilised sagedused ni leitakse jargmiselt pideval js. korraljargmiselt

n1 ≈ n·FX (a1), ni ≈ n·(F (ai )−F (ai−1)), nm ≈ n·(1−F (am−1)).

Diskreetse js. korral kasutame js.-i jaotust (diskreetsel juhul onklassid enamasti uheelemendilised)

ni ≈ n · PX (X = xi ), nm ≈ n · PX (X > xm−1),

Oletades, et teoreetiline jaotus on kas P(X = x) (diskreetsel juhul)voi teoreetiline jaotusfunktsioon FX (x) (pideval juhul).��

��

θ∗ =m∑i=1

(ni − ni )2

��

θ∗ =m∑i=1

(ni − ni )2

��

θ∗ =m∑i=1

(ni − ni )2

Kui klassi sagedus on vaiksem kui 5, siis uhendatakse seenaaberklassiga.

Kriitiline piirkond on parempoolne kriitiline piirkond. Kriitilinevaartus θkr = χ2

(1− α), kus vabadusastmete arv k leitaksevalemist

k = klasside arv− jaotuse parameetrite arv− 1.

Kui klassi sagedus on vaiksem kui 5, siis uhendatakse seenaaberklassiga.Kriitiline piirkond on parempoolne kriitiline piirkond. Kriitilinevaartus θkr = χ2

(1− α), kus vabadusastmete arv k leitaksevalemist

k = klasside arv− jaotuse parameetrite arv− 1.

Sageli kasutatakse pideva teoreetilise ja empiirilise jaotusevordlemiseks (hupoteesi H0:

”teoreetiline jaotus vastab

empiirilisele“ kontrollimiseks) Kolmogorov-Smirnovi testi (vtpohiopik).

Mesitarus moodeti kindlas punktis temperatuuri 40 paeva jooksul.Saadi jargmised tulemused:

5,6 7,9 6,1 5,0 8,8 4,4 2,0 5,8 10,1 9,67,1 3,9 5,5 1,3 5,9 4,7 1,5 3,9 -2,4 4,6-1,3 7,2 3,6 3,3 3,8 0,7 2,5 4,4 2,1 2,16,0 9,4 1,4 9,4 7,0 3,9 4,0 4,3 3,4 5,8

Leida teoreetiline jaotusseadus ja kontrollida usaldusnivool 0, 05hupoteesi H0 :

”empiiriline jaotus vastab teoreetilisele“.

m = b√

40c = 6, h =10, 1− (−2, 4)

6≈ 2, 1

[−2, 4;−0, 3) [−0, 3; 1, 8) [1, 8; 3, 9) [3, 9; 6) [6; 8, 1) [8, 1; 10, 2]

2 4 11 13 5 5

Mesitarus moodeti kindlas punktis temperatuuri 40 paeva jooksul.Saadi jargmised tulemused:

5,6 7,9 6,1 5,0 8,8 4,4 2,0 5,8 10,1 9,67,1 3,9 5,5 1,3 5,9 4,7 1,5 3,9 -2,4 4,6-1,3 7,2 3,6 3,3 3,8 0,7 2,5 4,4 2,1 2,16,0 9,4 1,4 9,4 7,0 3,9 4,0 4,3 3,4 5,8

Leida teoreetiline jaotusseadus ja kontrollida usaldusnivool 0, 05hupoteesi H0 :

m = b√

40c = 6, h =10, 1− (−2, 4)

6≈ 2, 1

[−2, 4;−0, 3) [−0, 3; 1, 8) [1, 8; 3, 9) [3, 9; 6) [6; 8, 1) [8, 1; 10, 2]

2 4 11 13 5 5

Histogram of X

Density

-2 0 2 4 6 8 10

Oletame normaaljaotust, leiame

a∗ = x = 4, 61, σ∗ =

√√√√ 1

40∑i=1

(xi − x)2 ≈ 2, 83

i xi−1 xi ni FX (xi−1) FX (xi ) ni1 −2, 4 −0, 3 2↓ 0 0, 04 1,65↓2 −0, 3 1, 8 4 0, 04 0, 16 4,763 1, 8 3, 9 11 0, 16 0, 40 9,644 3, 9 6 13 0, 40 0, 69 11,515 6 8, 1 5 0, 69 0, 89 8

6 8, 1 10, 2 5 0, 89 1 4,4

θ∗ =(6− 6, 41)2

6, 41+

(11− 9, 64)2

9, 64+

(13− 11, 51)2

11, 51+

(5− 8)2

(5− 4, 4)2

θ∗ = 1, 62, k = 5 − 2− 1 = 2, θkr = χ22−1

(1− 0, 05) = 5, 99.

Kuna θ∗ < θkr , siis ei ole alust nullhupoteesi tagasi lukata.

a∗ = x = 4, 61, σ∗ =

√√√√ 1

40∑i=1

(xi − x)2 ≈ 2, 83

6 8, 1 10, 2 5 0, 89 1 4,4

θ∗ =(6− 6, 41)2

6, 41+

(11− 9, 64)2

9, 64+

(13− 11, 51)2

11, 51+

(5− 8)2

(5− 4, 4)2

θ∗ = 1, 62, k = 5 − 2− 1 = 2, θkr = χ22−1

(1− 0, 05) = 5, 99.

a∗ = x = 4, 61, σ∗ =

√√√√ 1

40∑i=1

(xi − x)2 ≈ 2, 83

6 8, 1 10, 2 5 0, 89 1 4,4

θ∗ =(6− 6, 41)2

6, 41+

(11− 9, 64)2

9, 64+

(13− 11, 51)2

11, 51+

(5− 8)2

(5− 4, 4)2

θ∗ = 1, 62, k = 5 − 2− 1 = 2, θkr = χ22−1

(1− 0, 05) = 5, 99.

a∗ = x = 4, 61, σ∗ =

√√√√ 1

40∑i=1

(xi − x)2 ≈ 2, 83

6 8, 1 10, 2 5 0, 89 1 4,4

θ∗ =(6− 6, 41)2

6, 41+

(11− 9, 64)2

9, 64+

(13− 11, 51)2

11, 51+

(5− 8)2

(5− 4, 4)2

θ∗ = 1, 62, k = 5 − 2− 1 = 2, θkr = χ22−1

(1− 0, 05) = 5, 99.

Histogram of X

Density

-2 0 2 4 6 8 10

Kolmogorov-Smirnovi test tarkvaraga R

http://www.r-project.org

> T<-c(5.6, 7.9,6.1,5,8.8,4.4,2.0,5.8,10.1,9.6,7.1,3.9,5.5,1.3,5.9,4.7,1.5,3.9,-2.4,4.6,-1.3,7.2,

3.6,3.3,3.8,0.7,2.5,4.4,2.1,2.1,6,9.4,1.4,9.4,7,3.9,4,4.3,3.4,5.8)

> ks.test(T,"pnorm",4.61,2.83)

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: T

D = 0.0743, p-value = 0.9801

alternative hypothesis: two-sided

0 2 4 6 8 10

Robotiklubi valmistas pealeviskeid sooritava roboti. Testimisel pidirobot 40 korda sooritama vabaviskeid kuni esimese moodaviskeni.

visete arv 1 2 3 4 5

katsete arv 14 13 7 4 2

Leidke teoreetiline jaotusseadus ja kontrollida usaldusnivool 0, 05hupoteesi H0 :

Oletamegeomeetrilist jaotust P(X = k) = qpk−1:

p∗ = 1− 1

x= 1− 40

87, q∗ = 1− p∗ =

n1 ≈ n · q∗ = 18, 4, n2 ≈ n · q∗p∗ = 9, 9, n3 ≈ n · q∗p∗2 = 5, 4

n4 ≈ n · q∗p∗3 = 2, 9, n5 ≈ n · [1− q∗(1 + p∗ + p∗2 + p∗3)] = 3, 4

θ∗ =(14− 18, 4)2

18, 4+

(13− 9, 9)2

(7− 5, 4)2

(6− 6, 3)2

”empiiriline jaotus vastab teoreetilisele“. Oletame

geomeetrilist jaotust P(X = k) = qpk−1:

p∗ = 1− 1

x= 1− 40

87, q∗ = 1− p∗ =

n1 ≈ n · q∗ = 18, 4, n2 ≈ n · q∗p∗ = 9, 9, n3 ≈ n · q∗p∗2 = 5, 4

n4 ≈ n · q∗p∗3 = 2, 9, n5 ≈ n · [1− q∗(1 + p∗ + p∗2 + p∗3)] = 3, 4

θ∗ =(14− 18, 4)2

18, 4+

(13− 9, 9)2

(7− 5, 4)2

(6− 6, 3)2

p∗ = 1− 1

x= 1− 40

87, q∗ = 1− p∗ =

n1 ≈ n · q∗ = 18, 4, n2 ≈ n · q∗p∗ = 9, 9, n3 ≈ n · q∗p∗2 = 5, 4

n4 ≈ n · q∗p∗3 = 2, 9, n5 ≈ n · [1− q∗(1 + p∗ + p∗2 + p∗3)] = 3, 4

θ∗ =(14− 18, 4)2

18, 4+

(13− 9, 9)2

(7− 5, 4)2

(6− 6, 3)2

katsete arv 14 13 7 4 ←2

p∗ = 1− 1

x= 1− 40

87, q∗ = 1− p∗ =

n1 ≈ n · q∗ = 18, 4, n2 ≈ n · q∗p∗ = 9, 9, n3 ≈ n · q∗p∗2 = 5, 4

n4 ≈ n · q∗p∗3 = 2, 9, n5 ≈ n · [1− q∗(1 + p∗ + p∗2 + p∗3)] = 3, 4

θ∗ =(14− 18, 4)2

18, 4+

(13− 9, 9)2

(7− 5, 4)2

(6− 6, 3)2

θ∗ =(14− 18, 4)2

18, 4+

(13− 9, 9)2

(7− 5, 4)2

(6− 6, 3)2

6, 3= 2, 51

Vabadusastmete arv

k = 4 − 1− 1 = 2, θkr = χ22−1

(1− 0, 05) = 5, 99.

θ∗ =(14− 18, 4)2

18, 4+

(13− 9, 9)2

(7− 5, 4)2

(6− 6, 3)2

6, 3= 2, 51

Vabadusastmete arv

k = 4 − 1− 1 = 2, θkr = χ22−1

(1− 0, 05) = 5, 99.

θ∗ =(14− 18, 4)2

18, 4+

(13− 9, 9)2

(7− 5, 4)2

(6− 6, 3)2

6, 3= 2, 51

Vabadusastmete arv

k = 4 − 1− 1 = 2, θkr = χ22−1

(1− 0, 05) = 5, 99.

> dd <- c(14,13,7,6)

> null.probs <- dgeom(c(0,1,2,3),40/87)

> tt <- 1 - sum(null.probs)

> null.probs[4] <- null.probs[4]+tt

> null.probs * 40

[1] 18.390805 9.935262 5.367326 6.306608

> chisq.test(dd,p=null.probs)

Chi-squared test for given probabilities

data: dd

X-squared = 2.5052, df = 3, p-value = 0.4743

Suurima t~oep ara meetod · Suurima t~oep ara meetod Eesm ark: Antud konkreetse valimi fx 1;:::;x...

Documents

Transcript of Suurima t~oep ara meetod · Suurima t~oep ara meetod Eesm ark: Antud konkreetse valimi fx 1;:::;x...