Susqet—seic kai FasmatikŁc Puknìthtec
23
Κεφάλαιο 10 Συσχετίσεις και Φασmατικές Πυκνότητες Στα προηγούmενα Κεφάλαια, γνωρίσαmε τους Μετασχηmατισmούς Fourier και Laplace, καθώς και τις σπουδαίες ιδιότητές τους και τη χρησιmότητά τους στην ανάλυση ΓΧΑ συστηmάτων. ΄Οπως είδαmε, ο Μετασχ. Fourier mας αποκαλύπτει τις φασmατικές συνιστώσες ενός σήmατος, ενέργειας ή ισχύος. ΄Οmως και οι σχέσεις mεταξύ σηmάτων είναι το ίδιο σηmαντικές mε τα σήmατα αυτά καθ΄ αυτά. Στο πεδίο του χρόνου, οι σχέσεις αυτές αποκαλύπτονται από τη mελέτη των περίφηmων Συναρτήσεων Συσχέτισης - Correlation Functions, ενώ στο πεδίο της συχνότητας, οι mετασχηmατισmοί Fourier τους, οι λεγόmενες Φασmατικές Πυκνότητες - Spectral Densities αναλαmβάνουν να mας πληροφορήσουν για την κατανοmή της ενέργειας ή της ισχύος ενός σήmατος - ή από κοινού δυο σηmάτων - ανά συχνότητες. 10.1 Μια mικρή εφαρmογή - κίνητρο Ας θεωρήσουmε ένα mηχανισmό ανίχνευσης στόχου (radar), όπου σκοπός του είναι να ανιχνεύσει έναν πιθανό στόχο στέλνοντας προς αυτόν ένα σήmα. Αν ο στόχος είναι παρών, το σήmα αντανακλάται σε αυτόν και επιστρέφει στον ποmπό, ενώ αν όχι, ο ποmπός λαmβάνει mόνο θόρυβο. Η παρουσία ή η απουσία του ανακλώmενου σήmατος επιβεβαιώνει την παρουσία ή την απουσία του στόχου. Το κρίσιmο πρόβληmα σε αυτή τη διαδικασία είναι η ανίχνευση του ανακλώmενου σήmατος. Φυσικά, το ανακλώmενο σήmα που λαmβάνεται έχει αλλοιωθεί και εξασθενήσει σοβαρά λόγω απόστασης και θορύβου του περιβάλλοντος. Σε mια τέτοια περίπτωση, η πράξη της συσχέτισης του ληφθέντος σήmατος mε το αρχικό mπορεί να mας βοηθήσει σηmαντικά! Αρχικά, ας εξηγήσουmε διαισθητικά πώς γίνεται η ανίχνευση του σήmατος mε χρήση της συσχέτισης. Μετρώντας τη χρονική καθυστέρηση mεταξύ του σήmατος που στάλθηκε και αυτού που ελήφθη, mπορούmε να προσδιορίσουmε την απόσταση του στόχου. ΄Εστω ότι το σήmα που στάλθηκε είναι το x(t) και αυτό που ελήφθη είναι το y(t), όπως περιγράφονται στο Σχήmα 10.1, όπου για λόγους απλότητας έχουmε θεωρήσει ότι το ληφθέν σήmα δεν έχει εξασθε- νήσει ή αλλοιωθεί λόγω της διέλευσής του mέσα από το κανάλι mετάδοσης. Πώς θα mπορούσαmε να συγκρίνουmε τα δυο σήmατα; Θα mπορούσε να προτείνει κανείς να εφαρmόσουmε mια σχέση προβολής του ενός σήmατος στο άλλο, όπως στους ολοκληρωτικούς mετασχηmατισmούς. Ας προβάλλουmε το ληφθέν σήmα επάνω στο εκπεmφθέν, ως c yx (t)= Z ∞ -∞ y(t)x(t)dt (10.1) τότε το αποτέλεσmα θα ήταν mηδέν, λόγω του ότι τα δυο σήmατα είναι mη mηδενικά σε διαφορετικά χρονικά διαστή- mατα. Γι΄ αυτό και χρησιmοποιούmε mια διαφορετική σχέση, αυτή της συνάρτησης συσχέτισης του σήmατος y(t) mε το σήmα x(t), η οποία ορίζεται ως φ yx (τ )= Z ∞ -∞ y(t)x(t + τ )dt (10.2) όπου βλέπετε ότι mετακινούmε το εκπεmπόmενο σήmα x(t) για κάθε δυνατή χρονική mετατόπιση τ . Βλέπετε ότι η συσχέτιση είναι συνάρτηση του χρόνου τ . Αν για κάποιο τ (που είναι οι διάφορες καθυστερήσεις του σήmατος x(t)) παρατηρηθεί ισχυρή συσχέτιση (που σηmαίνει mεγάλη τιmή ως αποτέλεσmα του ολοκληρώmατος), δεν ανιχνεύεται mόνο η παρουσία του σήmατος αλλά και η σχετική χρονική mετατόπιση του x(t) σε σχέση mε το y(t). ΄Ετσι, όχι mόνο
Transcript of Susqet—seic kai FasmatikŁc Puknìthtec
Στα προηγομενα Κεφλαια, γνωρσαμε τους Μετασχηματισμος Fourier και
Laplace, καθς και τις σπουδαες
ιδιτητς τους και τη χρησιμτητ τους στην ανλυση ΓΧΑ συστημτων. Οπως εδαμε, ο Μετασχ. Fourier μας
αποκαλπτει τις φασματικς συνιστσες ενς σματος, ενργειας ισχος. Ομως και οι σχσεις μεταξ σημτων
εναι το διο σημαντικς με τα σματα αυτ καθ αυτ. Στο πεδο του χρνου, οι σχσεις αυτς αποκαλπτονται
απ τη μελτη των περφημων Συναρτσεων Συσχτισης - Correlation Functions, εν στο πεδο της συχντητας,
οι μετασχηματισμο Fourier τους, οι λεγμενες Φασματικς Πυκντητες - Spectral Densities αναλαμβνουν να μας
πληροφορσουν για την κατανομ της ενργειας της ισχος ενς σματος - απ κοινο δυο σημτων - αν
συχντητες.
10.1 Μια μικρ εφαρμογ - κνητρο
Ας θεωρσουμε να μηχανισμ ανχνευσης στχου (radar), που σκοπς του εναι να ανιχνεσει ναν πιθαν
στχο στλνοντας προς αυτν να σμα. Αν ο στχος εναι παρν, το σμα αντανακλται σε αυτν και επιστρφει
στον πομπ, εν αν χι, ο πομπς λαμβνει μνο θρυβο. Η παρουσα η απουσα του ανακλμενου σματος
επιβεβαινει την παρουσα την απουσα του στχου. Το κρσιμο πρβλημα σε αυτ τη διαδικασα εναι η ανχνευση
του ανακλμενου σματος. Φυσικ, το ανακλμενο σμα που λαμβνεται χει αλλοιωθε και εξασθενσει σοβαρ
λγω απστασης και θορβου του περιβλλοντος. Σε μια ττοια περπτωση, η πρξη της συσχτισης του ληφθντος
σματος με το αρχικ μπορε να μας βοηθσει σημαντικ!
Αρχικ, ας εξηγσουμε διαισθητικ πς γνεται η ανχνευση του σματος με χρση της συσχτισης. Μετρντας
τη χρονικ καθυστρηση μεταξ του σματος που στλθηκε και αυτο που ελφθη, μπορομε να προσδιορσουμε
την απσταση του στχου. Εστω τι το σμα που στλθηκε εναι το x(t) και αυτ που ελφθη εναι το y(t), πως
περιγρφονται στο Σχμα 10.1, που για λγους απλτητας χουμε θεωρσει τι το ληφθν σμα δεν χει εξασθε-
νσει αλλοιωθε λγω της διλευσς του μσα απ το κανλι μετδοσης. Πς θα μποροσαμε να συγκρνουμε τα
δυο σματα; Θα μποροσε να προτενει κανες να εφαρμσουμε μια σχση προβολς του ενς σματος στο λλο,
πως στους ολοκληρωτικος μετασχηματισμος. Ας προβλλουμε το ληφθν σμα επνω στο εκπεμφθν, ως
cyx(t) =
y(t)x(t)dt (10.1)
ττε το αποτλεσμα θα ταν μηδν, λγω του τι τα δυο σματα εναι μη μηδενικ σε διαφορετικ χρονικ διαστ-
ματα. Γι αυτ και χρησιμοποιομε μια διαφορετικ σχση, αυτ της συνρτησης συσχτισης του σματος y(t) με
το σμα x(t), η οποα ορζεται ως
φyx(τ) =
y(t)x(t+ τ)dt (10.2)
που βλπετε τι μετακινομε το εκπεμπμενο σμα x(t) για κθε δυνατ χρονικ μετατπιση τ . Βλπετε τι η
συσχτιση εναι συνρτηση του χρνου τ . Αν για κποιο τ (που εναι οι διφορες καθυστερσεις του σματος x(t)) παρατηρηθε ισχυρ συσχτιση (που σημανει μεγλη τιμ ως αποτλεσμα του ολοκληρματος), δεν ανιχνεεται
μνο η παρουσα του σματος αλλ και η σχετικ χρονικ μετατπιση του x(t) σε σχση με το y(t). Ετσι, χι μνο
472 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
0
0
0
(ax )m yx t ( )yx t
t
t
tT
Σχμα 10.1: Εκπεμπμενο και ληφθν σμα σε να radar.
μετρμε την παρουσα ενς στχου αλλ και την απστασ του απ τη θση αναφορς. Το τελευταο γρφημα του
Σχματος 10.1 δεχνει το αποτλεσμα της συσχτισης.
10.2 Συσχετσεις
Οι συσχετσεις μπορον να χωριστον σε δυο κατηγορες: την αυτοσυσχτιση και την ετεροσυσχτιση
σημτων. Θα ξεκινσουμε τη μελτη των συσχετσεων στο πεδο του χρνου, εξετζοντας αρχικ τη συσχτιση
περιοδικν σημτων, γενικεοντας στη συνχεια για σματα ισχος, και ολοκληρνοντας με σματα ενργειας.
10.2.1 Αυτοσυσχτιση
Η αυτοσυσχτιση ορζεται ως η πρξη συσχτισης ενς σματος x(t) με τον εαυτ του, και μας δνει πληροφορα
που σχετζεται με τη μεταβολ της αυτο-ομοιτητας του σματος συναρτσει του χρνου.
10.2.1.1 Περιοδικ Αυτοσυσχτιση
Για περιοδικ σματα με περοδο T0, η αυτοσυσχτιση ορζεται ως
φx(τ) = 1
x∗(t)x(t+ τ)dt (10.3)
Γνωρζουμε μως τι να περιοδικ σμα μπορε να αναπτυχθε σε Σειρ Fourier ως
x(t) =
+∞∑ k=−∞
με f0 = 1 T0
η θεμελιδης συχντητα του σματος. Αν αντικαταστσουμε τη Σχση (10.4) στη Σχση (10.3)
χουμε
(10.9)
Ο δετερος ρος της παραπνω σχσης ισοται με μηδν, λγω της γνωστς (πλον) σχσης της ορθογωνιτητας
των σημτων E = {ej2πkf0t}+∞k=−∞:
∫ T0
|Xk|2ej2πkf0τ (10.11)
Η παραπνω σχση μας πληροφορε τι αν το ανπτυγμα σε Σειρ Fourier ενς περιοδικο σματος με περοδο
T0 χει συντελεστς Fourier Xk, ττε η περιοδικ αυτοσυσχτιση του σματος εναι επσης περιοδικ με την δια
περοδο και μπορε να αναπτυχθε σε Σειρ Fourier με συντελεστς |Xk|2. Μετατρποντας αυτ τη σχση σε
τριγωνομετρικ Σειρ Fourier, χουμε τι
φx(τ) = |X0|2 + 2
|Xk|2 cos(2πkf0τ) (10.12)
Παρατηρστε τι αν οι συντελεστς Fourier του περιοδικο σματος (και ρα και το αρχικ περιοδικ σμα)
εχαν κποια φση φk, δηλ. Xk = |Xk|ejφk (10.13)
η περιοδικ αυτοσυσχτιση του σματος δεν περιλαμβνει αυτ τη φση στους συντελεστς Fourier της. Μπορομε
λοιπν να πομε τι η αυτοσυσχτιση εναι ‘‘τυφλ’’ (phase-blind) σον αφορ τη φση του περιοδικο σματος,
αφο η πληροφορα φσης του περιοδικο σματος χνεται δια παντς.
Ας δομε να παρδειγμα υπολογισμο της περιοδικς αυτοσυσχτισης, που φανεται ξεκθαρα και η παραπνω
ιδιτητα.
x(t) = A cos(2πf0t− θ) (10.14)
Λση:
= A2
T0
∫ T0
= A2
T0
∫ T0
(1
2 cos(a− b) (10.20)
Ο πρτος ρος της Σχσης (10.19) ισοται με μηδν, ως ολοκλρωμα ημιτνου σε μια περοδο. Αρα τελικ
φx(τ) = A2
2 cos(2πf0τ) (10.21)
Τα δυο σματα φανονται στο Σχμα 10.2. Παρατηρστε τι η αρχικ φση −θ δε διατηρεται στο αποτλεσμα
0
2
της αυτοσυσχτισης. Προσξτε τι η περιοδικ αυτοσυσχτιση παρουσιζει περιοδικ μγιστα και ελχιστα, πως
ακριβς η μορφ του cos(2πf0τ). Αυτ σημανει τι το περιοδικ σμα x(t) χει μγιστη ομοιτητα με τον ‘‘με-
τατοπισμνο’’ κατ t = τ εαυτ του τις χρονικς στιγμς t = kT0, k ∈ Z. Αντθετα, το περιοδικ σμα x(t) χει
ελχιστη ομοιτητα εντελς αντθετη μορφ με το ‘‘μετατοπισμνο’’ κατ t = τ εαυτ του τις χρονικς στιγμς
t = k T0
Επσης, το αρχικ περιοδικ σμα αναπτσσεται σε Σειρ Fourier ως
x(t) = A cos(2πf0t− θ) = A
2 e−jθej2πf0t +
και ρα οι συντελεστς του εναι
X1 = A
φx(τ) = A2
2 cos(2πf0τ) =
Παρατηρστε τι πργματι
10.2.1.2 Αυτοσυσχτιση Σημτων Ισχος
Η ννοια της αυτοσυσχτισης μπορε να γενικευθε για σματα ισχος ως
φx(τ) = lim T→+∞
−T x∗(t)x(t+ τ)dt (10.28)
με T μια οποιαδποτε τιμ χρονικο διαστματος, για x(t) μιγαδικ, εν για πραγματικ σματα ο ορισμς τροπο-
ποιεται ως
Η διαδικασα υπολογισμο της αυτοσυσχτισης σημτων ισχος χει μεγλες ομοιτητες με τον υπολογισμ
της συνλιξης - χι τυχαα, αφο τα δυο ολοκληρματα μοιζουν. Ας υπολογσουμε την αυτοσυσχτιση δυο πολ
γνωστν μας σημτων ισχος.
x(t) = u(t) (10.30)
Κατασκευζοντας το μετατοπισμνο σμα Θα πρπει να διακρνουμε τις περιπτσεις για τις τιμς του τ , πως στο
Σχμα 10.3. Για την περπτωση (α) του Σχματος 10.3, ισχει τι −τ < 0 =⇒ τ > 0. Ττε
0
0
(α)
(β)
φx(τ) = lim T→+∞
476 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
Αντστοιχα, για την περπτωση (β), ισχει τι −τ > 0 =⇒ τ < 0. Ττε
φx(τ) = lim T→+∞
2 ∀τ (10.35)
Παρατηρστε τι η αυτο-ομοιτητα της x(t) = u(t) δε μεταβλλεται με την προδο του χρνου!
Παρδειγμα 10.3:
x(t) = sgn(t) (10.36)
Κατασκευζοντας το μετατοπισμνο σμα Θα πρπει να διακρνουμε τις περιπτσεις για τις τιμς του τ , πως στο
Σχμα ;;. Για την περπτωση (α) του Σχματος 10.4, ισχει τι −τ < 0 =⇒ τ > 0. Ττε
0
0
(α)
(β)
φx(τ) = lim T→+∞
2T (−2τ + T ) = 1 (10.38)
Αντστοιχα, για την περπτωση (β), ισχει τι −τ > 0 =⇒ τ < 0. Ττε με μοιο ακριβς τρπο (δεξτε το!)
προκτπει τι
φx(τ) = 1 ∀τ (10.40)
Παρατηρστε τι κι εδ η αυτο-ομοιτητα του σματος x(t) = sgn(t) δε μεταβλλεται με την προδο του χρνου!
Κεφλαιο 10. Συσχετσεις και Φασματικς Πυκντητες 477
10.2.1.3 Αυτοσυσχτιση Σημτων Ενργειας
φx(τ) =
εν για πραγματικ σματα, χουμε την δια σχση χωρς συζυγα:
φx(τ) =
−∞ x(t)x(t+ τ)dt (10.42)
Με μια πρτη ανγνωση των παραπνω σχσεων, σγουρα χετε παρατηρσει τι η αυτοσυσχτιση ενς σματος
ενργειας μοιζει πολ με τη συνλιξη του σματος ενργειας με τον εαυτ του. Σντομα θα δομε τη σχση που
τις συνδει. Προς το παρν ας δομε να παρδειγμα υπολογισμο αυτοσυσχτισης ενς πολ γνωστο μας σματος.
Παρδειγμα 10.4:
x(t) = Arect ( t T
) (10.43)
Λση:
Το ολοκλρωμα της αυτοσυσχτισης περιλαμβνει το σμα x(t + τ), που αποτελε μια μετατπιση του σματος
x(t) κατ τ . Η μετατπιση αυτ μπορε να εναι θετικ αρνητικ, πως και στη συνλιξη. Εχουμε λοιπν τις
ακλουθες περιπτσεις του Σχματος 10.5. Για την περπτωση (α), θα χουμε
0
A
0
A
(α)
(β)
(γ)
(δ)
0
A
0
A
478 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
φx(τ) = 0 (10.44)
φx(τ) =
Στη συνχεια, στην περπτωση (γ), χουμε
φx(τ) =
το οποο ισχει για
εν για την περπτωση (δ) εναι προφανς τι
φx(τ) = 0 (10.50)
) εναι
φx(τ) =
A2(T + τ), −T < τ < 0
A2(T − τ), 0 < τ < T
=
A2T (1 + τ T ), −T < τ < 0
A2T (1− τ T ), 0 < τ < T
(10.52)
Το παραπνω σμα δεν εναι καννα λλο απ το γνωστ μας τριγωνικ παλμ! Αρα
φx(τ) = A2T tri ( τ T
) (10.53)
Παρατηρστε τι η αυτο-ομοιτητα του x(t) αυξνει στο διστημα [−T, 0], φτνοντας σε μγιστη τιμ για τ = 0, ταν το σμα x(t) συμππτει με τη μετατοπισμνη ‘‘κδοσ’’ του x(t + τ). Για τ = 0, η αυτοσυσχτιση γρφεται
ως
φx(0) =
−∞ x2(t)dt = Ex (10.54)
που εναι η ενργεια του σματος x(t)! Αυτ εναι μια γενικ ιδιτητα της αυτοσυσχτισης και θα τη δομε και
Γενικτερα, η σχση μεταξ αυτοσυσχτισης και του φασματικο περιεχομνου ενς σματος ενργειας μπορε
να ιδωθε απ τη σκοπι της αυτο-ομοιτητας. Ενα σμα συσχετζεται ‘‘βλτιστα’’ με τον εαυτ του για τ = 0, πως εδαμε, δηλ. για μηδενικ μετατπιση. Ξεκινντας απ τ = 0, σο μετατοπζεται το σμα προς τα αριστερ
(δηλ. για τ > 0), η αυτο-ομοιτητα αρχζει και φθνει, ρα η συνρτηση αυτοσυσχτισης πρπει να εναι μια μη
αξουσα συνρτηση του τ , για τ > 0. Τα αριβς αντστοιχα ισχουν και για μετατπιση προς τα δεξι. Για να
σμα x(t) που αλλζει αργ (και ρα εναι χαμηλς συχντητας), η αυτοσυσχτισ του θα αλλζει αργ, αφο η
αυτο-ομοιτητ του θα αλλζει αργ. Αντθετα, να σμα υψηλς συχντητας θα χει αυτοσυσχτιση που αλλζει
γργορα. Βλπουμε λοιπν τι το σχμα της αυτοσυσχτισης φx(τ) χει μεση σχση με το φασματικ περιεχμενο
του σματος x(t)!
10.2.2 Ετεροσυσχτιση
Η ετεροσυσχτιση ορζεται ως η πρξη συσχτισης δυο σημτων x(t), y(t), και μας δνει πληροφορα που
σχετζεται με την ομοιτητα του x(t) με το y(t) συναρτσει του χρνου. Πρπει να τονιστε εξ αρχς τι η πρξη
της ετεροσυσχτισης δεν εναι αντιμεταθετικ, πως αυτ της αυτοσυσχτισης. Για παρδειγμα, η ετεροσυσχτιση
του x(t) με το y(t) δεν εναι εν γνει δια συνρτηση με την ετεροσυσχτιση του y(t) με το x(t). Σντομα θα δομε
αυτς τις λεπτομρειες.
10.2.2.1 Περιοδικ Ετεροσυσχτιση
Για περιοδικ σματα με κοιν περοδο T0, η περιοδικ ετεροσυσχτιση φxy(τ) των σημτων x(t), y(t) ορζεται
ως
φyx(τ) = 1
με τη συζυγα να παραλεπεται ταν τα σματα εναι πραγματικ.
Ακολουθντας μοιο σκεπτικ με την αυτοσυσχτιση περιοδικν σημτων, μπορομε να αναπτξουμε τα δυο
σματα σε Σειρ Fourier ως
x(t) =
+∞∑ k=−∞
Με αντικατσταση των Σχσεων (10.57) στις Σχσεις (10.55,10.56) μπορομε να εξγουμε σχσεις με αυτς για
την αυτοσυσχτιση. Θα δεξουμε αμσως πς αναπτσσεται η ετεροσυσχτιση φxy(τ) σε Σειρ Fourier, εν ο
αναγνστης μπορε να εξγει την αντστοιχη σχση για την ετεροσυσχτιση φyx(τ).
Εχουμε
(10.61)
και ξαν λγω της Σχσης (10.10), ο δετερος ρος της παραπνω σχσης μηδενζεται. Οπτε εν τλει
φxy(τ) =
+∞∑ k=−∞
X∗kYke j2πkf0τ (10.62)
Καταλξαμε λοιπν τι αν δυο περιοδικ, με την δια περοδο, σματα x(t), y(t) χουν συντελεστς Fourier Xk, Yk, ττε η ετεροσυσχτιση του x(t) με το y(t) μπορε να αναπτυχθε σε Σειρ Fourier με συντελεστς X∗kYk.
10.2.2.2 Ετεροσυσχτιση Σημτων Ισχος
Γενικτερα, για σματα ισχος η ετεροσυσχτιση φxy(τ) των σημτων x(t), y(t) ορζεται ως
φxy(τ) = lim T→+∞
480 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
εν η ετεροσυσχτιση φyx(τ), ορζεται ως
φyx(τ) = lim T→+∞
με τη συζυγα να παραλεπεται ταν τα σματα εναι πραγματικ.
Ας δομε να παρδειγμα υπολογισμο ετεροσυσχτισης δυο πολ γνωστν σημτων ισχος που εδαμε ξεχω-
ριστ νωρτερα, της βηματικς συνρτησης x(t) = u(t) και της συνρτησης προσμου, y(t) = sgn(t).
Παρδειγμα 10.5:
x(t) = sgn(t) (10.65)
Κατασκευζοντας το μετατοπισμνο σμα Θα πρπει να διακρνουμε τις περιπτσεις για τις τιμς του τ , πως στο
Σχμα 10.6. Για την περπτωση (α) του Σχματος 10.6, ισχει τι −τ < 0 =⇒ τ > 0. Ττε
0
0
(α)
(β)
t
t
φxy(τ) = lim T→+∞
2 (10.68)
εν για την περπτωση (β) του διου σχματος, ισχει τι −τ > 0 =⇒ τ < 0, και ττε
φxy(τ) = lim T→+∞
Κεφλαιο 10. Συσχετσεις και Φασματικς Πυκντητες 481
Οπτε η ετεροσυσχτιση φxy(τ) των σημτων x(t) = sgn(t) και y(t) = u(t) εναι
φxy(τ) = 1
Τλος, η ετεροσυσχτιση φxy(τ) μιγαδικν σημτων ενργειας x(t), y(t) ορζεται ως
φxy(τ) =
φyx(τ) =
παραλεποντας τη συζυγα ταν τα x(t), y(t) εναι πραγματικ.
Εκολα παρατηρε κανες τι η ετεροσυσχτιση μοιζει πολ με τη συνλιξη δυο σημτων, αλλ προφανς δεν
εναι ταυτσημες πρξεις - σντομα θα δομε τη σχση που τις συνδει. Ας δομε να παρδειγμα υπολογισμο
ετεροσυσχτισης σημτων.
Παρδειγμα 10.6:
x(t) = e−αtu(t) (10.74)
Λση:
Ας χρησιμοποισουμε αλγεβρικ μθοδο, μια και τα δυο σματα εναι πειρης διρκειας. Εναι
φxy(τ) =
u(t)u(t+ τ) =
0, αλλο
(10.78)
και για −τ < 0 =⇒ τ > 0, το ολοκλρωμα της Σχσης (10.77) γνεται
φxy(τ) = e−2ατ
−3α e−3αt
1
εν για −τ > 0 =⇒ τ < 0, το διο ολοκλρωμα γνεταο
φxy(τ) = e−2ατ
= − 1
1
Οι συσχετσεις χουν κποιες πολ ενδιαφρουσες σχσεις μεταξ τους, τις σημαντικτερες εκ των οποων
θα απαριθμσουμε σε αυτν την Παργραφο.
1. Η συνρτηση αυτοσυσχτισης εναι ρτια συνρτηση:
φx(τ) = φx(−τ) (10.84)
Μπορετε να το επιβεβαισετε σε λα τα σχετικ παραδεγματα που χουμε δει ως τρα.
2. Η μγιστη τιμ της συνρτησης αυτοσυσχτισης συμβανει τη χρονικ στιγμ τ = 0, δηλ. για μηδενικ
μετατπιση του x(t + τ). Ττε τα δυο σματα x(t) και x(t + τ) ] τ=0
ταυτζονται. Για πραγματικ
σματα ενργειας, ισχει
−∞ x2(t)dt = Ex (10.85)
με Ex την ενργεια του σματος x(t). Για πραγματικ σματα ισχος η σχση που προκπτει εναι η
|φx(τ)| ≤ φx(0) = lim T→+∞
−T x2(t)dt = Px (10.86)
με Px τη μση ισχ του σματος x(t). Τλος, για πραγματικ περιοδικ σματα, χουμε
|φx(τ)| ≤ φx(0) = 1
x2(t)dt = Px (10.87)
με Px τη μση ισχ του περιοδικο σματος x(t), αφο τα περιοδικ σματα εναι και αυτ σματα
ισχος.
3. Αν το σμα x(t) εναι περιοδικ με περοδο T0, η περιοδικ αυτοσυσχτιση φx(τ) χει κι αυτ την δια
περοδο T0.
4. Η συνρτηση αυτοσυσχτισης φx(τ) δεν περιχει πληροφορα για την αρχικ φση του σματος x(t).
5. Η συνρτηση ετεροσυσχτισης φxy(τ) δεν εναι απαρατητα ρτια συνρτηση:
φxy(τ) 6= φxy(−τ) (10.88)
Ομως μπορε εκολα να δειχθε τι
φxy(τ) = φ∗yx(−τ) (10.89)
με τη συζυγα να παραλεπεται ταν τα σματα x(t), y(t) εναι πραγματικ.
6. Αν η ετεροσυσχτιση δυο σημτων φxy(τ) εναι μηδενικ για κθε t ∈ <, ττε τα σματα x(t), y(t) ονομζονται ασυσχτιστα.
7. Οι ορισμο των συσχετσεων πραγματικν περιοδικν σημτων και σημτων ενργειας χουν μεγλη
ομοιτητα με τον ορισμ της συνλιξης. Δετε:
cxy(t) = 1
Κεφλαιο 10. Συσχετσεις και Φασματικς Πυκντητες 483
με cxy(t) τη συνλιξη των σημτων x(t), y(t). Στις παραπνω σχσεις, αλλξαμε τις μεταβλητς t, τ μεταξ τους στα ολοκληρματα των συσχετσεων, για να αναδειχθε καλτερα η ομοιτητα με την
πρξη της συνλιξης.
Μπορε κανες να δεξει τι, στη γενικτερη μορφ τους, οι συναρτσεις συσχτισης μπορον να
γραφον με την πρξη της συνλιξης ως
φx(τ) = x∗(−τ) ∗ x(τ) (10.92)
φxy(τ) = x∗(−τ) ∗ y(τ) (10.93)
φyx(τ) = y∗(−τ) ∗ x(τ) (10.94)
που προφανς ο τελεστς της συζυγας παραλεπεται ταν τα σματα x(t), y(t) εναι πραγματικ.
10.2.3 Χαρακτηριστικ Παραδεγματα
τριβ του αναγνστη.
Λση:
Θα προσπαθσουμε να λσουμε αυτ το παρδειγμα χωρς τη χρση σχματος, πως στα προηγομενα. Απ το
ορισμ της αυτοσυσχτισης, χουμε
−∞ x(t)x(t+ τ)dt (10.96)
Το σμα x(t) = e−atu(t) ξεκιν απ το t = 0 και εκτενεται ως το +∞. Το σμα x(t+ τ) δνεται ως
x(t+ τ) = e−a(t+τ)u(t+ τ), a > 0 (10.97)
Η μετατπιση τ μπορε να εναι θετικ αρνητικ. Στην περπτωση που τ < 0, το σμα μετατοπζεται προς τα
δεξι, και ξεκιν απ τη χρονικ στιγμ t = τ . Οπτε το γινμενο x(τ)x(t+ τ) θα εναι μη μηδενικ στο διστημα
[τ,+∞). Αρα
∫ +∞
2a eaτ , τ < 0 (10.98)
Στην περπτωση που τ > 0, το σμα μετατοπζεται προς τα αριστερ, και ξεκιν απ τη χρονικ στιγμ t = −τ . Οπτε το γινμενο x(τ)x(t+ τ) θα εναι μη μηδενικ στο διστημα [0,+∞). Αρα
φx(τ) =
0
Αρα μπορομε να γρψουμε τι
φx(τ) = 1
δετε τι
x(t) = rect ( t− 1
0, αλλο
Λση:
Κνουμε την μετατροπ x(t) −→ x(t+ τ) πως στο Σχμα 10.7. Αρα θα χουμε τις εξς περιπτσεις:
0
1− τ > 0 και − τ < 0⇐⇒ 0 < τ < 1 (10.109)
με
φyx(τ) =
1− τ > 1 και − τ < 1⇐⇒ −1 < τ < 0 (10.111)
με
φyx(τ) =
∫ 1
2
Αρα
φyx(τ) =
0, αλλο
10.3 Φασματικς Πυκντητες
Εχουμε δει σε προηγομενο κεφλαιο τι τα σματα ισχος δεν μπορον να μελετηθον με τον ορισμ του
μετασχ. Fourier, καθς το σχετικ ολοκλρωμα δε συγκλνει. Για την ερεση του μετασχηματισμο, χρησιμο-
ποισαμε ννοιες πως αυτ τη συνρτησης Δλτα. Ακμα και ττε μως, να σμα δεν εναι ββαιο τι χει
μετασχ. Fourier. Αυτ προφανς θτει προβλματα ταν θλει κανες να μελετσει το φασματικ περιεχμενο
ττοιων σημτων αν θλει να μελετσει την ξοδο ενς ΓΧΑ συστματος ταν στην εσοδ του παρουσιζεται
να σμα ισχος. Σε αυτς τις περιπτσεις, καταφεγουμε σε εναλλακτικος τρπους υπολογισμο του φασματικο
περιεχομνου, και αυτο οι τρποι περιλαμβνουν τη μελτη των μετασχ. Fourier των συναρτσεων συσχτισης, οι
οποοι ονομζονται Φασματικς Πυκντητες.
Σε αυτν την παργραφο θα συζητσουμε για τις Φασματικς Πυκντητες και τη σημασα τους.
10.3.1 Φασματικς Πυκντητες Ενργειας
Ας ξεκινσουμε απ τα σματα ενργειας, των οποων οι φασματικς πυκντητες ονομζονται Φασματικς Πυ-
κντητες Ενργειας - Energy Spectral Densities. Η Φασματικ Πυκντητα Ενργειας αναπαριστ την κατανομ
της ενργειας του σματος αν συχντητα.
Ο μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης φx(τ) ενς - μιγαδικο εν γνει - σματος ενργειας x(t) εναι
F{φx(τ)} =
που στη Σχση (10.116) αλλξαμε τη σειρ ολοκλρωσης εκμεταλλευμενοι το Θερημα Fubini1 Παρατηρομε
λοιπν τι ο μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης ενς σματος ενργειας εναι
1 Το Θερημα Fubini αναφρει τι η εξσωση∫ ∫
f(x, y)dxdy =
∫ f(x, y)dx (10.121)
εναι γκυρη, δηλ. η σειρ ολοκλρωσης σε να διπλ ολοκλρωμα μπορε να αλλξει, αν καθνα απ τα επιμρους ολοκληρματα εναι
πεπερασμνα ταν στη θση της συνρτησης προς ολοκλρωση f(x, y) βλουμε την |f(x, y)|. Πιο τυπικ, αν ισχει τουλχιστον μια
486 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
πραγματικ συνρτηση
θετικ για κθε f ∈ <
εξαρτμενη μνο απ μετασχ. Fourier του σματος ενργειας x(t) - που εμαστε σγουροι τι υπρχει.
Οι παραπνω παρατηρσεις εναι πολ σημαντικς, γιατ ο μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης εναι ανεξρτητος
του φσματος φσης του σματος. Αυτ σημανει τι η μετακνηση του σματος στο χρνο εναι νευ σημασας
για το μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης. Ο μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης ενς σματος ενργειας
ονομζεται Φασματικ Πυκντητα Ενργειας - Energy Spectral Density, και συμβολζεται ως
Φx(f) = F{φx(τ)} =
Αντιστρφως, η συνρτηση αυτοσυσχτισης μπορε να βρεθε μσω της Φασματικς Πυκντητας Ενργειας ως
φx(τ) =
φx(0) =
−∞ |X(f)|2df = Ex (10.128)
λγω του Θεωρματος του Parseval. Η τελευταα σχση υποστηρζει ακριβς την πρτασ μας σχετικ με το
ρλο της Φασματικς Πυκντητας Ενργειας ως αναπαρσταση της κατανομς της ενργειας ενς σματος αν
συχντητα.
Ακολουθντας τα δια βματα, αν υπολογσουμε το μετασχ. Fourier της ετεροσυσχτισης φxy(τ) δυο σημτων
ενργειας x(t), y(t), θα καταλξουμε στη σχση
Φxy(f) = F{φxy(τ)} = X∗(f)Y (f) (10.129)
η οποα - αντστοιχα με πριν - ονομζεταιΔιαφασματικ Πυκντητα Ενργειας - Interspectral Energy Density. Αντστοιχα, για την ετεροσυσχτιση φyx(τ), θα εναι
Φyx(f) = F{φyx(τ)} = Y ∗(f)X(f) (10.130)
Ας δομε δυο παραδεγματα.
φx(τ) = A2T tri ( t T
) (10.131)
απ τις σχσεις ∫ X
(∫ Y |f(x, y)|dy
και ∫ ∫ f(x, y)dxdy =
Μια ττοια συνθκη ισχει σματα ενργειας, οπτε μπορομε να χρησιμοποισουμε το Θερημα.
Κεφλαιο 10. Συσχετσεις και Φασματικς Πυκντητες 487
Λση:
Φx(f) = A2T 2sinc2(fT ) (10.132)
Παρδειγμα 10.11:
Στην
ιδιτητς τους και τη χρησιμτητ τους στην ανλυση ΓΧΑ συστημτων. Οπως εδαμε, ο Μετασχ. Fourier μας
αποκαλπτει τις φασματικς συνιστσες ενς σματος, ενργειας ισχος. Ομως και οι σχσεις μεταξ σημτων
εναι το διο σημαντικς με τα σματα αυτ καθ αυτ. Στο πεδο του χρνου, οι σχσεις αυτς αποκαλπτονται
απ τη μελτη των περφημων Συναρτσεων Συσχτισης - Correlation Functions, εν στο πεδο της συχντητας,
οι μετασχηματισμο Fourier τους, οι λεγμενες Φασματικς Πυκντητες - Spectral Densities αναλαμβνουν να μας
πληροφορσουν για την κατανομ της ενργειας της ισχος ενς σματος - απ κοινο δυο σημτων - αν
συχντητες.
10.1 Μια μικρ εφαρμογ - κνητρο
Ας θεωρσουμε να μηχανισμ ανχνευσης στχου (radar), που σκοπς του εναι να ανιχνεσει ναν πιθαν
στχο στλνοντας προς αυτν να σμα. Αν ο στχος εναι παρν, το σμα αντανακλται σε αυτν και επιστρφει
στον πομπ, εν αν χι, ο πομπς λαμβνει μνο θρυβο. Η παρουσα η απουσα του ανακλμενου σματος
επιβεβαινει την παρουσα την απουσα του στχου. Το κρσιμο πρβλημα σε αυτ τη διαδικασα εναι η ανχνευση
του ανακλμενου σματος. Φυσικ, το ανακλμενο σμα που λαμβνεται χει αλλοιωθε και εξασθενσει σοβαρ
λγω απστασης και θορβου του περιβλλοντος. Σε μια ττοια περπτωση, η πρξη της συσχτισης του ληφθντος
σματος με το αρχικ μπορε να μας βοηθσει σημαντικ!
Αρχικ, ας εξηγσουμε διαισθητικ πς γνεται η ανχνευση του σματος με χρση της συσχτισης. Μετρντας
τη χρονικ καθυστρηση μεταξ του σματος που στλθηκε και αυτο που ελφθη, μπορομε να προσδιορσουμε
την απσταση του στχου. Εστω τι το σμα που στλθηκε εναι το x(t) και αυτ που ελφθη εναι το y(t), πως
περιγρφονται στο Σχμα 10.1, που για λγους απλτητας χουμε θεωρσει τι το ληφθν σμα δεν χει εξασθε-
νσει αλλοιωθε λγω της διλευσς του μσα απ το κανλι μετδοσης. Πς θα μποροσαμε να συγκρνουμε τα
δυο σματα; Θα μποροσε να προτενει κανες να εφαρμσουμε μια σχση προβολς του ενς σματος στο λλο,
πως στους ολοκληρωτικος μετασχηματισμος. Ας προβλλουμε το ληφθν σμα επνω στο εκπεμφθν, ως
cyx(t) =
y(t)x(t)dt (10.1)
ττε το αποτλεσμα θα ταν μηδν, λγω του τι τα δυο σματα εναι μη μηδενικ σε διαφορετικ χρονικ διαστ-
ματα. Γι αυτ και χρησιμοποιομε μια διαφορετικ σχση, αυτ της συνρτησης συσχτισης του σματος y(t) με
το σμα x(t), η οποα ορζεται ως
φyx(τ) =
y(t)x(t+ τ)dt (10.2)
που βλπετε τι μετακινομε το εκπεμπμενο σμα x(t) για κθε δυνατ χρονικ μετατπιση τ . Βλπετε τι η
συσχτιση εναι συνρτηση του χρνου τ . Αν για κποιο τ (που εναι οι διφορες καθυστερσεις του σματος x(t)) παρατηρηθε ισχυρ συσχτιση (που σημανει μεγλη τιμ ως αποτλεσμα του ολοκληρματος), δεν ανιχνεεται
μνο η παρουσα του σματος αλλ και η σχετικ χρονικ μετατπιση του x(t) σε σχση με το y(t). Ετσι, χι μνο
472 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
0
0
0
(ax )m yx t ( )yx t
t
t
tT
Σχμα 10.1: Εκπεμπμενο και ληφθν σμα σε να radar.
μετρμε την παρουσα ενς στχου αλλ και την απστασ του απ τη θση αναφορς. Το τελευταο γρφημα του
Σχματος 10.1 δεχνει το αποτλεσμα της συσχτισης.
10.2 Συσχετσεις
Οι συσχετσεις μπορον να χωριστον σε δυο κατηγορες: την αυτοσυσχτιση και την ετεροσυσχτιση
σημτων. Θα ξεκινσουμε τη μελτη των συσχετσεων στο πεδο του χρνου, εξετζοντας αρχικ τη συσχτιση
περιοδικν σημτων, γενικεοντας στη συνχεια για σματα ισχος, και ολοκληρνοντας με σματα ενργειας.
10.2.1 Αυτοσυσχτιση
Η αυτοσυσχτιση ορζεται ως η πρξη συσχτισης ενς σματος x(t) με τον εαυτ του, και μας δνει πληροφορα
που σχετζεται με τη μεταβολ της αυτο-ομοιτητας του σματος συναρτσει του χρνου.
10.2.1.1 Περιοδικ Αυτοσυσχτιση
Για περιοδικ σματα με περοδο T0, η αυτοσυσχτιση ορζεται ως
φx(τ) = 1
x∗(t)x(t+ τ)dt (10.3)
Γνωρζουμε μως τι να περιοδικ σμα μπορε να αναπτυχθε σε Σειρ Fourier ως
x(t) =
+∞∑ k=−∞
με f0 = 1 T0
η θεμελιδης συχντητα του σματος. Αν αντικαταστσουμε τη Σχση (10.4) στη Σχση (10.3)
χουμε
(10.9)
Ο δετερος ρος της παραπνω σχσης ισοται με μηδν, λγω της γνωστς (πλον) σχσης της ορθογωνιτητας
των σημτων E = {ej2πkf0t}+∞k=−∞:
∫ T0
|Xk|2ej2πkf0τ (10.11)
Η παραπνω σχση μας πληροφορε τι αν το ανπτυγμα σε Σειρ Fourier ενς περιοδικο σματος με περοδο
T0 χει συντελεστς Fourier Xk, ττε η περιοδικ αυτοσυσχτιση του σματος εναι επσης περιοδικ με την δια
περοδο και μπορε να αναπτυχθε σε Σειρ Fourier με συντελεστς |Xk|2. Μετατρποντας αυτ τη σχση σε
τριγωνομετρικ Σειρ Fourier, χουμε τι
φx(τ) = |X0|2 + 2
|Xk|2 cos(2πkf0τ) (10.12)
Παρατηρστε τι αν οι συντελεστς Fourier του περιοδικο σματος (και ρα και το αρχικ περιοδικ σμα)
εχαν κποια φση φk, δηλ. Xk = |Xk|ejφk (10.13)
η περιοδικ αυτοσυσχτιση του σματος δεν περιλαμβνει αυτ τη φση στους συντελεστς Fourier της. Μπορομε
λοιπν να πομε τι η αυτοσυσχτιση εναι ‘‘τυφλ’’ (phase-blind) σον αφορ τη φση του περιοδικο σματος,
αφο η πληροφορα φσης του περιοδικο σματος χνεται δια παντς.
Ας δομε να παρδειγμα υπολογισμο της περιοδικς αυτοσυσχτισης, που φανεται ξεκθαρα και η παραπνω
ιδιτητα.
x(t) = A cos(2πf0t− θ) (10.14)
Λση:
= A2
T0
∫ T0
= A2
T0
∫ T0
(1
2 cos(a− b) (10.20)
Ο πρτος ρος της Σχσης (10.19) ισοται με μηδν, ως ολοκλρωμα ημιτνου σε μια περοδο. Αρα τελικ
φx(τ) = A2
2 cos(2πf0τ) (10.21)
Τα δυο σματα φανονται στο Σχμα 10.2. Παρατηρστε τι η αρχικ φση −θ δε διατηρεται στο αποτλεσμα
0
2
της αυτοσυσχτισης. Προσξτε τι η περιοδικ αυτοσυσχτιση παρουσιζει περιοδικ μγιστα και ελχιστα, πως
ακριβς η μορφ του cos(2πf0τ). Αυτ σημανει τι το περιοδικ σμα x(t) χει μγιστη ομοιτητα με τον ‘‘με-
τατοπισμνο’’ κατ t = τ εαυτ του τις χρονικς στιγμς t = kT0, k ∈ Z. Αντθετα, το περιοδικ σμα x(t) χει
ελχιστη ομοιτητα εντελς αντθετη μορφ με το ‘‘μετατοπισμνο’’ κατ t = τ εαυτ του τις χρονικς στιγμς
t = k T0
Επσης, το αρχικ περιοδικ σμα αναπτσσεται σε Σειρ Fourier ως
x(t) = A cos(2πf0t− θ) = A
2 e−jθej2πf0t +
και ρα οι συντελεστς του εναι
X1 = A
φx(τ) = A2
2 cos(2πf0τ) =
Παρατηρστε τι πργματι
10.2.1.2 Αυτοσυσχτιση Σημτων Ισχος
Η ννοια της αυτοσυσχτισης μπορε να γενικευθε για σματα ισχος ως
φx(τ) = lim T→+∞
−T x∗(t)x(t+ τ)dt (10.28)
με T μια οποιαδποτε τιμ χρονικο διαστματος, για x(t) μιγαδικ, εν για πραγματικ σματα ο ορισμς τροπο-
ποιεται ως
Η διαδικασα υπολογισμο της αυτοσυσχτισης σημτων ισχος χει μεγλες ομοιτητες με τον υπολογισμ
της συνλιξης - χι τυχαα, αφο τα δυο ολοκληρματα μοιζουν. Ας υπολογσουμε την αυτοσυσχτιση δυο πολ
γνωστν μας σημτων ισχος.
x(t) = u(t) (10.30)
Κατασκευζοντας το μετατοπισμνο σμα Θα πρπει να διακρνουμε τις περιπτσεις για τις τιμς του τ , πως στο
Σχμα 10.3. Για την περπτωση (α) του Σχματος 10.3, ισχει τι −τ < 0 =⇒ τ > 0. Ττε
0
0
(α)
(β)
φx(τ) = lim T→+∞
476 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
Αντστοιχα, για την περπτωση (β), ισχει τι −τ > 0 =⇒ τ < 0. Ττε
φx(τ) = lim T→+∞
2 ∀τ (10.35)
Παρατηρστε τι η αυτο-ομοιτητα της x(t) = u(t) δε μεταβλλεται με την προδο του χρνου!
Παρδειγμα 10.3:
x(t) = sgn(t) (10.36)
Κατασκευζοντας το μετατοπισμνο σμα Θα πρπει να διακρνουμε τις περιπτσεις για τις τιμς του τ , πως στο
Σχμα ;;. Για την περπτωση (α) του Σχματος 10.4, ισχει τι −τ < 0 =⇒ τ > 0. Ττε
0
0
(α)
(β)
φx(τ) = lim T→+∞
2T (−2τ + T ) = 1 (10.38)
Αντστοιχα, για την περπτωση (β), ισχει τι −τ > 0 =⇒ τ < 0. Ττε με μοιο ακριβς τρπο (δεξτε το!)
προκτπει τι
φx(τ) = 1 ∀τ (10.40)
Παρατηρστε τι κι εδ η αυτο-ομοιτητα του σματος x(t) = sgn(t) δε μεταβλλεται με την προδο του χρνου!
Κεφλαιο 10. Συσχετσεις και Φασματικς Πυκντητες 477
10.2.1.3 Αυτοσυσχτιση Σημτων Ενργειας
φx(τ) =
εν για πραγματικ σματα, χουμε την δια σχση χωρς συζυγα:
φx(τ) =
−∞ x(t)x(t+ τ)dt (10.42)
Με μια πρτη ανγνωση των παραπνω σχσεων, σγουρα χετε παρατηρσει τι η αυτοσυσχτιση ενς σματος
ενργειας μοιζει πολ με τη συνλιξη του σματος ενργειας με τον εαυτ του. Σντομα θα δομε τη σχση που
τις συνδει. Προς το παρν ας δομε να παρδειγμα υπολογισμο αυτοσυσχτισης ενς πολ γνωστο μας σματος.
Παρδειγμα 10.4:
x(t) = Arect ( t T
) (10.43)
Λση:
Το ολοκλρωμα της αυτοσυσχτισης περιλαμβνει το σμα x(t + τ), που αποτελε μια μετατπιση του σματος
x(t) κατ τ . Η μετατπιση αυτ μπορε να εναι θετικ αρνητικ, πως και στη συνλιξη. Εχουμε λοιπν τις
ακλουθες περιπτσεις του Σχματος 10.5. Για την περπτωση (α), θα χουμε
0
A
0
A
(α)
(β)
(γ)
(δ)
0
A
0
A
478 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
φx(τ) = 0 (10.44)
φx(τ) =
Στη συνχεια, στην περπτωση (γ), χουμε
φx(τ) =
το οποο ισχει για
εν για την περπτωση (δ) εναι προφανς τι
φx(τ) = 0 (10.50)
) εναι
φx(τ) =
A2(T + τ), −T < τ < 0
A2(T − τ), 0 < τ < T
=
A2T (1 + τ T ), −T < τ < 0
A2T (1− τ T ), 0 < τ < T
(10.52)
Το παραπνω σμα δεν εναι καννα λλο απ το γνωστ μας τριγωνικ παλμ! Αρα
φx(τ) = A2T tri ( τ T
) (10.53)
Παρατηρστε τι η αυτο-ομοιτητα του x(t) αυξνει στο διστημα [−T, 0], φτνοντας σε μγιστη τιμ για τ = 0, ταν το σμα x(t) συμππτει με τη μετατοπισμνη ‘‘κδοσ’’ του x(t + τ). Για τ = 0, η αυτοσυσχτιση γρφεται
ως
φx(0) =
−∞ x2(t)dt = Ex (10.54)
που εναι η ενργεια του σματος x(t)! Αυτ εναι μια γενικ ιδιτητα της αυτοσυσχτισης και θα τη δομε και
Γενικτερα, η σχση μεταξ αυτοσυσχτισης και του φασματικο περιεχομνου ενς σματος ενργειας μπορε
να ιδωθε απ τη σκοπι της αυτο-ομοιτητας. Ενα σμα συσχετζεται ‘‘βλτιστα’’ με τον εαυτ του για τ = 0, πως εδαμε, δηλ. για μηδενικ μετατπιση. Ξεκινντας απ τ = 0, σο μετατοπζεται το σμα προς τα αριστερ
(δηλ. για τ > 0), η αυτο-ομοιτητα αρχζει και φθνει, ρα η συνρτηση αυτοσυσχτισης πρπει να εναι μια μη
αξουσα συνρτηση του τ , για τ > 0. Τα αριβς αντστοιχα ισχουν και για μετατπιση προς τα δεξι. Για να
σμα x(t) που αλλζει αργ (και ρα εναι χαμηλς συχντητας), η αυτοσυσχτισ του θα αλλζει αργ, αφο η
αυτο-ομοιτητ του θα αλλζει αργ. Αντθετα, να σμα υψηλς συχντητας θα χει αυτοσυσχτιση που αλλζει
γργορα. Βλπουμε λοιπν τι το σχμα της αυτοσυσχτισης φx(τ) χει μεση σχση με το φασματικ περιεχμενο
του σματος x(t)!
10.2.2 Ετεροσυσχτιση
Η ετεροσυσχτιση ορζεται ως η πρξη συσχτισης δυο σημτων x(t), y(t), και μας δνει πληροφορα που
σχετζεται με την ομοιτητα του x(t) με το y(t) συναρτσει του χρνου. Πρπει να τονιστε εξ αρχς τι η πρξη
της ετεροσυσχτισης δεν εναι αντιμεταθετικ, πως αυτ της αυτοσυσχτισης. Για παρδειγμα, η ετεροσυσχτιση
του x(t) με το y(t) δεν εναι εν γνει δια συνρτηση με την ετεροσυσχτιση του y(t) με το x(t). Σντομα θα δομε
αυτς τις λεπτομρειες.
10.2.2.1 Περιοδικ Ετεροσυσχτιση
Για περιοδικ σματα με κοιν περοδο T0, η περιοδικ ετεροσυσχτιση φxy(τ) των σημτων x(t), y(t) ορζεται
ως
φyx(τ) = 1
με τη συζυγα να παραλεπεται ταν τα σματα εναι πραγματικ.
Ακολουθντας μοιο σκεπτικ με την αυτοσυσχτιση περιοδικν σημτων, μπορομε να αναπτξουμε τα δυο
σματα σε Σειρ Fourier ως
x(t) =
+∞∑ k=−∞
Με αντικατσταση των Σχσεων (10.57) στις Σχσεις (10.55,10.56) μπορομε να εξγουμε σχσεις με αυτς για
την αυτοσυσχτιση. Θα δεξουμε αμσως πς αναπτσσεται η ετεροσυσχτιση φxy(τ) σε Σειρ Fourier, εν ο
αναγνστης μπορε να εξγει την αντστοιχη σχση για την ετεροσυσχτιση φyx(τ).
Εχουμε
(10.61)
και ξαν λγω της Σχσης (10.10), ο δετερος ρος της παραπνω σχσης μηδενζεται. Οπτε εν τλει
φxy(τ) =
+∞∑ k=−∞
X∗kYke j2πkf0τ (10.62)
Καταλξαμε λοιπν τι αν δυο περιοδικ, με την δια περοδο, σματα x(t), y(t) χουν συντελεστς Fourier Xk, Yk, ττε η ετεροσυσχτιση του x(t) με το y(t) μπορε να αναπτυχθε σε Σειρ Fourier με συντελεστς X∗kYk.
10.2.2.2 Ετεροσυσχτιση Σημτων Ισχος
Γενικτερα, για σματα ισχος η ετεροσυσχτιση φxy(τ) των σημτων x(t), y(t) ορζεται ως
φxy(τ) = lim T→+∞
480 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
εν η ετεροσυσχτιση φyx(τ), ορζεται ως
φyx(τ) = lim T→+∞
με τη συζυγα να παραλεπεται ταν τα σματα εναι πραγματικ.
Ας δομε να παρδειγμα υπολογισμο ετεροσυσχτισης δυο πολ γνωστν σημτων ισχος που εδαμε ξεχω-
ριστ νωρτερα, της βηματικς συνρτησης x(t) = u(t) και της συνρτησης προσμου, y(t) = sgn(t).
Παρδειγμα 10.5:
x(t) = sgn(t) (10.65)
Κατασκευζοντας το μετατοπισμνο σμα Θα πρπει να διακρνουμε τις περιπτσεις για τις τιμς του τ , πως στο
Σχμα 10.6. Για την περπτωση (α) του Σχματος 10.6, ισχει τι −τ < 0 =⇒ τ > 0. Ττε
0
0
(α)
(β)
t
t
φxy(τ) = lim T→+∞
2 (10.68)
εν για την περπτωση (β) του διου σχματος, ισχει τι −τ > 0 =⇒ τ < 0, και ττε
φxy(τ) = lim T→+∞
Κεφλαιο 10. Συσχετσεις και Φασματικς Πυκντητες 481
Οπτε η ετεροσυσχτιση φxy(τ) των σημτων x(t) = sgn(t) και y(t) = u(t) εναι
φxy(τ) = 1
Τλος, η ετεροσυσχτιση φxy(τ) μιγαδικν σημτων ενργειας x(t), y(t) ορζεται ως
φxy(τ) =
φyx(τ) =
παραλεποντας τη συζυγα ταν τα x(t), y(t) εναι πραγματικ.
Εκολα παρατηρε κανες τι η ετεροσυσχτιση μοιζει πολ με τη συνλιξη δυο σημτων, αλλ προφανς δεν
εναι ταυτσημες πρξεις - σντομα θα δομε τη σχση που τις συνδει. Ας δομε να παρδειγμα υπολογισμο
ετεροσυσχτισης σημτων.
Παρδειγμα 10.6:
x(t) = e−αtu(t) (10.74)
Λση:
Ας χρησιμοποισουμε αλγεβρικ μθοδο, μια και τα δυο σματα εναι πειρης διρκειας. Εναι
φxy(τ) =
u(t)u(t+ τ) =
0, αλλο
(10.78)
και για −τ < 0 =⇒ τ > 0, το ολοκλρωμα της Σχσης (10.77) γνεται
φxy(τ) = e−2ατ
−3α e−3αt
1
εν για −τ > 0 =⇒ τ < 0, το διο ολοκλρωμα γνεταο
φxy(τ) = e−2ατ
= − 1
1
Οι συσχετσεις χουν κποιες πολ ενδιαφρουσες σχσεις μεταξ τους, τις σημαντικτερες εκ των οποων
θα απαριθμσουμε σε αυτν την Παργραφο.
1. Η συνρτηση αυτοσυσχτισης εναι ρτια συνρτηση:
φx(τ) = φx(−τ) (10.84)
Μπορετε να το επιβεβαισετε σε λα τα σχετικ παραδεγματα που χουμε δει ως τρα.
2. Η μγιστη τιμ της συνρτησης αυτοσυσχτισης συμβανει τη χρονικ στιγμ τ = 0, δηλ. για μηδενικ
μετατπιση του x(t + τ). Ττε τα δυο σματα x(t) και x(t + τ) ] τ=0
ταυτζονται. Για πραγματικ
σματα ενργειας, ισχει
−∞ x2(t)dt = Ex (10.85)
με Ex την ενργεια του σματος x(t). Για πραγματικ σματα ισχος η σχση που προκπτει εναι η
|φx(τ)| ≤ φx(0) = lim T→+∞
−T x2(t)dt = Px (10.86)
με Px τη μση ισχ του σματος x(t). Τλος, για πραγματικ περιοδικ σματα, χουμε
|φx(τ)| ≤ φx(0) = 1
x2(t)dt = Px (10.87)
με Px τη μση ισχ του περιοδικο σματος x(t), αφο τα περιοδικ σματα εναι και αυτ σματα
ισχος.
3. Αν το σμα x(t) εναι περιοδικ με περοδο T0, η περιοδικ αυτοσυσχτιση φx(τ) χει κι αυτ την δια
περοδο T0.
4. Η συνρτηση αυτοσυσχτισης φx(τ) δεν περιχει πληροφορα για την αρχικ φση του σματος x(t).
5. Η συνρτηση ετεροσυσχτισης φxy(τ) δεν εναι απαρατητα ρτια συνρτηση:
φxy(τ) 6= φxy(−τ) (10.88)
Ομως μπορε εκολα να δειχθε τι
φxy(τ) = φ∗yx(−τ) (10.89)
με τη συζυγα να παραλεπεται ταν τα σματα x(t), y(t) εναι πραγματικ.
6. Αν η ετεροσυσχτιση δυο σημτων φxy(τ) εναι μηδενικ για κθε t ∈ <, ττε τα σματα x(t), y(t) ονομζονται ασυσχτιστα.
7. Οι ορισμο των συσχετσεων πραγματικν περιοδικν σημτων και σημτων ενργειας χουν μεγλη
ομοιτητα με τον ορισμ της συνλιξης. Δετε:
cxy(t) = 1
Κεφλαιο 10. Συσχετσεις και Φασματικς Πυκντητες 483
με cxy(t) τη συνλιξη των σημτων x(t), y(t). Στις παραπνω σχσεις, αλλξαμε τις μεταβλητς t, τ μεταξ τους στα ολοκληρματα των συσχετσεων, για να αναδειχθε καλτερα η ομοιτητα με την
πρξη της συνλιξης.
Μπορε κανες να δεξει τι, στη γενικτερη μορφ τους, οι συναρτσεις συσχτισης μπορον να
γραφον με την πρξη της συνλιξης ως
φx(τ) = x∗(−τ) ∗ x(τ) (10.92)
φxy(τ) = x∗(−τ) ∗ y(τ) (10.93)
φyx(τ) = y∗(−τ) ∗ x(τ) (10.94)
που προφανς ο τελεστς της συζυγας παραλεπεται ταν τα σματα x(t), y(t) εναι πραγματικ.
10.2.3 Χαρακτηριστικ Παραδεγματα
τριβ του αναγνστη.
Λση:
Θα προσπαθσουμε να λσουμε αυτ το παρδειγμα χωρς τη χρση σχματος, πως στα προηγομενα. Απ το
ορισμ της αυτοσυσχτισης, χουμε
−∞ x(t)x(t+ τ)dt (10.96)
Το σμα x(t) = e−atu(t) ξεκιν απ το t = 0 και εκτενεται ως το +∞. Το σμα x(t+ τ) δνεται ως
x(t+ τ) = e−a(t+τ)u(t+ τ), a > 0 (10.97)
Η μετατπιση τ μπορε να εναι θετικ αρνητικ. Στην περπτωση που τ < 0, το σμα μετατοπζεται προς τα
δεξι, και ξεκιν απ τη χρονικ στιγμ t = τ . Οπτε το γινμενο x(τ)x(t+ τ) θα εναι μη μηδενικ στο διστημα
[τ,+∞). Αρα
∫ +∞
2a eaτ , τ < 0 (10.98)
Στην περπτωση που τ > 0, το σμα μετατοπζεται προς τα αριστερ, και ξεκιν απ τη χρονικ στιγμ t = −τ . Οπτε το γινμενο x(τ)x(t+ τ) θα εναι μη μηδενικ στο διστημα [0,+∞). Αρα
φx(τ) =
0
Αρα μπορομε να γρψουμε τι
φx(τ) = 1
δετε τι
x(t) = rect ( t− 1
0, αλλο
Λση:
Κνουμε την μετατροπ x(t) −→ x(t+ τ) πως στο Σχμα 10.7. Αρα θα χουμε τις εξς περιπτσεις:
0
1− τ > 0 και − τ < 0⇐⇒ 0 < τ < 1 (10.109)
με
φyx(τ) =
1− τ > 1 και − τ < 1⇐⇒ −1 < τ < 0 (10.111)
με
φyx(τ) =
∫ 1
2
Αρα
φyx(τ) =
0, αλλο
10.3 Φασματικς Πυκντητες
Εχουμε δει σε προηγομενο κεφλαιο τι τα σματα ισχος δεν μπορον να μελετηθον με τον ορισμ του
μετασχ. Fourier, καθς το σχετικ ολοκλρωμα δε συγκλνει. Για την ερεση του μετασχηματισμο, χρησιμο-
ποισαμε ννοιες πως αυτ τη συνρτησης Δλτα. Ακμα και ττε μως, να σμα δεν εναι ββαιο τι χει
μετασχ. Fourier. Αυτ προφανς θτει προβλματα ταν θλει κανες να μελετσει το φασματικ περιεχμενο
ττοιων σημτων αν θλει να μελετσει την ξοδο ενς ΓΧΑ συστματος ταν στην εσοδ του παρουσιζεται
να σμα ισχος. Σε αυτς τις περιπτσεις, καταφεγουμε σε εναλλακτικος τρπους υπολογισμο του φασματικο
περιεχομνου, και αυτο οι τρποι περιλαμβνουν τη μελτη των μετασχ. Fourier των συναρτσεων συσχτισης, οι
οποοι ονομζονται Φασματικς Πυκντητες.
Σε αυτν την παργραφο θα συζητσουμε για τις Φασματικς Πυκντητες και τη σημασα τους.
10.3.1 Φασματικς Πυκντητες Ενργειας
Ας ξεκινσουμε απ τα σματα ενργειας, των οποων οι φασματικς πυκντητες ονομζονται Φασματικς Πυ-
κντητες Ενργειας - Energy Spectral Densities. Η Φασματικ Πυκντητα Ενργειας αναπαριστ την κατανομ
της ενργειας του σματος αν συχντητα.
Ο μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης φx(τ) ενς - μιγαδικο εν γνει - σματος ενργειας x(t) εναι
F{φx(τ)} =
που στη Σχση (10.116) αλλξαμε τη σειρ ολοκλρωσης εκμεταλλευμενοι το Θερημα Fubini1 Παρατηρομε
λοιπν τι ο μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης ενς σματος ενργειας εναι
1 Το Θερημα Fubini αναφρει τι η εξσωση∫ ∫
f(x, y)dxdy =
∫ f(x, y)dx (10.121)
εναι γκυρη, δηλ. η σειρ ολοκλρωσης σε να διπλ ολοκλρωμα μπορε να αλλξει, αν καθνα απ τα επιμρους ολοκληρματα εναι
πεπερασμνα ταν στη θση της συνρτησης προς ολοκλρωση f(x, y) βλουμε την |f(x, y)|. Πιο τυπικ, αν ισχει τουλχιστον μια
486 Επεξεργασα Σματος Συνεχος και Διακριτο Χρνου
πραγματικ συνρτηση
θετικ για κθε f ∈ <
εξαρτμενη μνο απ μετασχ. Fourier του σματος ενργειας x(t) - που εμαστε σγουροι τι υπρχει.
Οι παραπνω παρατηρσεις εναι πολ σημαντικς, γιατ ο μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης εναι ανεξρτητος
του φσματος φσης του σματος. Αυτ σημανει τι η μετακνηση του σματος στο χρνο εναι νευ σημασας
για το μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης. Ο μετασχ. Fourier της αυτοσυσχτισης ενς σματος ενργειας
ονομζεται Φασματικ Πυκντητα Ενργειας - Energy Spectral Density, και συμβολζεται ως
Φx(f) = F{φx(τ)} =
Αντιστρφως, η συνρτηση αυτοσυσχτισης μπορε να βρεθε μσω της Φασματικς Πυκντητας Ενργειας ως
φx(τ) =
φx(0) =
−∞ |X(f)|2df = Ex (10.128)
λγω του Θεωρματος του Parseval. Η τελευταα σχση υποστηρζει ακριβς την πρτασ μας σχετικ με το
ρλο της Φασματικς Πυκντητας Ενργειας ως αναπαρσταση της κατανομς της ενργειας ενς σματος αν
συχντητα.
Ακολουθντας τα δια βματα, αν υπολογσουμε το μετασχ. Fourier της ετεροσυσχτισης φxy(τ) δυο σημτων
ενργειας x(t), y(t), θα καταλξουμε στη σχση
Φxy(f) = F{φxy(τ)} = X∗(f)Y (f) (10.129)
η οποα - αντστοιχα με πριν - ονομζεταιΔιαφασματικ Πυκντητα Ενργειας - Interspectral Energy Density. Αντστοιχα, για την ετεροσυσχτιση φyx(τ), θα εναι
Φyx(f) = F{φyx(τ)} = Y ∗(f)X(f) (10.130)
Ας δομε δυο παραδεγματα.
φx(τ) = A2T tri ( t T
) (10.131)
απ τις σχσεις ∫ X
(∫ Y |f(x, y)|dy
και ∫ ∫ f(x, y)dxdy =
Μια ττοια συνθκη ισχει σματα ενργειας, οπτε μπορομε να χρησιμοποισουμε το Θερημα.
Κεφλαιο 10. Συσχετσεις και Φασματικς Πυκντητες 487
Λση:
Φx(f) = A2T 2sinc2(fT ) (10.132)
Παρδειγμα 10.11:
Στην
