Το περιεχμενο των ηλεκτρονικν μαθημτων που φιλοξενε η πλατφρμα η-Τξη
ΕΚΠΑ, καθς και τα πνευματικ δικαιματα του υλικο αυτο, ανκουν στους
συγγραφες τους. Για οποιαδποτε χρση αναδημοσευση του περιεχομνου
παρακαλομε επικοινωνστε με τους υπεθυνους των αντστοιχων μαθημτων.
Περιεχμενα
1.2 Μερικς διαφορικς εξισσεις (ΜΔΕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Ταξινμηση των ΜΔΕ βσει της γραμμικτητα της F . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Παραδεγματα ΜΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Πρβλημα αρχικν τιμν (ΠΑΤ) πρβλημα (του) Cauchy / Πρβλημα συνοριακν
τιμν (ΠΣΤ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Επλυση ΜΔΕ με καμπλες στθμης: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Η μθοδος αλλαγς συντεταγμνων (αλλαγ μεταβλητν) . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Η μθοδος των χαρακτηριστικν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Σχεδν γραμμικς (quasilinear) ΜΔΕ στις δο διαστσεις . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Πρβλημα αρχικν τιμν πρβλημα (του) Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Ερμηνεα προλευσης ΜΔΕ: Νμοι διατρησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Συνπειες μη γραμμικτητας: κρουστικ κματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Χρνος θρασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.1 Ασθενς διατπωση προβλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.2 Συνθκη Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.1 Η ομογενς εξσωση μεταφορς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2 Η μη ομογενς εξσωση μεταφορς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 ΜΔΕ δετερης τξης στις δο διαστσεις 57
3.1 Ταξινμηση ΜΔΕ δετερης τξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Κανονικς μορφς και χαρακτηριστικς καμπλες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Ανασκπηση: χροι με εσωτερικ γινμενο & σειρς Fourier 65
4.1 Χροι με εσωτερικ γινμενο - Βασικο ορισμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Σειρς Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2 Μιγαδικς σειρς Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.3 Αλλαγ διαστματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.5 Διαφριση και ολοκληρωση σειρν Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Προβλματα ιδιοτιμν Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.1 Ανασκπηση των προβλημτων ιδιοτιμν απ τη γραμμικ λγεβρα . . . . . . 78
4.3.2 Το Προβλματα ιδιοτιμν για διαφορικος τελεστς . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 Εξισσεις ελλειπτικο τπου 83
5.1 Η εξσωση του Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1 Αρμονικς συναρτσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.1 ΠΣΤ σε να ορθογνιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
i
ii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
5.2.2 Το ΠΣΤ Dirichlet στον δσκο και ο τπος του Poisson . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.3 ΠΣΤ Dirichlet στον δσκο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.4 Βασικς ιδιτητες αρμονικν συναρτσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Θεμελιδης λση της εξσωσης Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Εξισσεις παραβολικο τπου 97
6.1 Μια εισαγωγ στην εξσωση διχυσης-θερμτητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Προβλματα αρχικν και συνοριακν τιμν σε φραγμνο διστημα . . . . . . . . . . . 98
6.2.1 Συνοριακς συνθκες Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.2 Συνοριακς συνθκες Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.3 Μη ομογενες εξισσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 Αρχ μεγστου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.1 Το πρβλημα παλλμενης χορδς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Πρβλημα αρχικν-συνοριακν τιμν σε φραγμνο διστημα - Χωρισμς μεταβλητν 111
7.3 Η κυματικ εξσωση στην πραγματικ ευθεα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3.1 Η γενικ λση της κυματικς εξσωσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3.2 Το πρβλημα αρχικν τιμν-Ο τπος του d’Alembert . . . . . . . . . . . . . 117
7.3.3 Μθοδος της ενργειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 Ανκλαση κυμτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4.1 Η κυματικ εξσωση στην ημιευθεα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4.2 Ο τπος του d’Alembert για το πρβλημα σε να πεπερασμνο διστημα . . . 127
7.5 Η μη ομογενς κυματικ εξσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.5.1 Η μη ομογενς κυματικ εξσωση στην ημιευθεα . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.5.2 Η μη ομογενς κυματικ εξσωση σε να φραγμνο διστημα . . . . . . . . . . 136
8 Ολοκληρωτικο μετασχηματισμο 139
8.2 Μετασχηματισμς Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Βιβλιογραφα 147
Κεφλαιο 1
Βασικς ννοιες
Στο αυτ κεφλαιο θα εισγουμε βασικς ννοιες της ανλυσης και θα δσουμε τον ορισμ και μερικ
παραδεγματα των μερικν διαφορικν εξισσεων.
1.1 Στοιχεα απειροστικο λογισμο
Ορισμς 1.1. Χωρο ( τπος) ονομζεται κθε ανοικτ 1 και συνεκτικ
2 υποσνολο U του Rn.
Ορισμς 1.2. Εστω να χωρο U ⊂ Rn. Ορζουμε ττε τους ακλουθους χρους συναρτσεων
πνω στο U :
• C (U) = {u U → R u συνεχς στο U}
• Ck (U) = {u U → R υπρχουν οι μερικς παργωγοι k-τξης της u και εναι συνεχες}3
• C∞ (U) = ∞k=1C k (U)
Επσης
• C (U) = {u U → R u συνεχς στο U}
• Ck (U) = {u U → R κθε μερικ παργωγος τξης ≤ k επεκτενεται συνεχς στο ∂U}4
• C∞ (U) = ∞k=1C k (U)
Ορισμς 1.3. Εστω u U ⊂ Rn → R και c ∈ R. Ττε το σνολο στθμης 5 με τιμ c
ορζεται ως το σνολο των σημεων x ∈ U στα οποα u (x) = c. Αν n = 2, μιλμε για μια καμπλη
στθμης 6 (με τιμ c) και αν n = 3 για μια επιφνεια στθμης. Συμβολικ, το σνολο στθμης
με τιμ c γρφεται
Θα δσουμε τρα τον ορισμ των μερικν παραγγων
Ορισμς 1.4. Εστω u U → R μια πραγματικ συνρτηση. Ττε η μερικ παργωγος της
u ως προς την i−οστ μεταβλητ ορζεται στο σημεο x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ U ως η πραγματικ
συνρτηση
∂u
= lim h→0
,
δοθντος τι το ριο υπρχει. Γρφουμε συνθως uxi για την ∂u
∂xi . Αντστοιχα γρφουμε uxixj για
την ∂2u
∂3u
∂xi∂xj∂xk κ.ο.κ.
1 Κθε σημεο του εναι το κντρο μιας ανοικτς σφαρας η οποα εναι υποσνολο του U .
2 Κθε δο σημεα του συνδονται με μια συνεχ γραμμ η οποα ανκει στο U .
3C0 (U) = C (U) 4Ck (U) ⊂ Ck (U) 5 Το σνολο στθμης περιχεται πντα στον χρο που ορζεται η συνρτηση.
6 Γνωστ επσης ως ισοψς ισοσταθμικ καμπλη.
1
-2.5-2.5 -2-2 -1.5-1.5 -1-1 -0.5-0.5 0.50.5 11 1.51.5 22
-2-2
-1.5-1.5
-1-1
-0.5-0.5
0.50.5
11
1.51.5
22
2.52.5
00
(α) u (x, y) = x2 + y2
-8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
66
00
Σχμα 1.1: Καμπλες στθμης της συνρτησης u (x, y).
Ορισμς 1.5. Εστω U ⊂ Rn και u U ⊂ Rn → R. Λμε τι η u εναι διαφορσιμη (πα-
ραγωγσιμη) στο x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n) ∈ U αν οι μερικς παργωγοι της υπρχουν στο x0
και
= 0,
(x0) , . . . , ∂u
∂xn (x0)]. Ο T ονομζεται η παργωγος της u στο x0.
Ορισμς 1.6. (Καννας της αλυσδας (chain rule)) Εστω U ⊂ Rn και V ⊂ Rm ανοικτ. Θεωρομε
δοσμνες συναρτσεις g U ⊂ Rn → Rm και f V ⊂ Rm → Rp, ττοιες στε η g να απεικονζει το U μσα στο V , οπτε η f g ορζεται. Υποθτουμε τι η g παραγωγζεται στο x0 και η f παραγωγζεται
στο y0 = g (x0). Ττε η f g χει παργωγο στο x0 και
D (f g) (x0) = Df (y0)Dg (x0) .
Το δεξι μλος εναι γινμενο πινκων.
Παρδειγμα 1.7. (Ειδικ περπτωση) Εστω c R → R3 και f R3 → R. Εστω h (t) = f (c (t)),
που c (t) = (x (t) , y (t) , z (t)). Ττε
dh
που c′ (t) = (x′ (t) , y′ (t) , z′ (t))
Σχμα 1.2: Διγραμμα του καννα της αλυσδας.
1.1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3
Στοιχειδεις διαφορικο τελεστς 7 :
• grad u = ∇u = (ux1 , ux2 , . . . , uxn) , u ∈ C1 (κλση (gradient))8
• divF = ∇ ⋅ F = ∂F1
(απκλιση (divergence))9
• u = div∇u = ∇ ⋅ ∇u = ∇2u = ux1x1 + ux2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + uxnxn , u ∈ C2 (τελεστς του Laplace
(Laplace operator) Λαπλασιαν) 10
Εστω μια πραγματικ συνρτηση u U ⊂ R3 → R. Εστω x,v ∈ R3 δοσμνα διανσματα και
θεωρομε την συνρτηση απ το R στο R που ορζεται απ την t → u (x + tv). Το σνολο των
σημεων x+ tv εναι η ευθεα, L, που περνει απ το σημεο x και εναι παρλληλο στο v (βλ. Σχμα
1.3α). Αρα η συνρτηση t → u (x + tv) αποτελε τον περιορισμ της συνρτησης u στην ευθεα L. Ττε η τιμ της παραγγου αυτς της συνρτησης του t για t = 0 δνει τον ρυθμ μεταβολς της u κατ μκος της L στο σημεο x. Αυτ θα εναι η παργωγος της u στο σημεο x στην κατεθυνση
της L, δηλαδ του v.11 Δνουμε επομνως τον παρακτω ορισμ.
Ορισμς 1.8. Εστω u U ⊂ R3 → R. Η κατ κατεθυνση παργωγος της u στο x στην
κατεθυνση ενς διανσματος v δνεται απ την
d
dt u (x + tv) t=0
αν αυτ υπρχει. Απ τον ορισμ μπορομε να δομε τι η κατ κατεθυνση παργωγος δνεται απ
τον τπο
.
Θερημα 1.9. Αν η u U ⊂ R3 → R εναι παραγωγσιμη, ττε λες οι κατ κατεθυνση παργωγοι
υπρχουν. Η κατευθυνμενη παργωγος στο x στην κατεθυνση v = (v1, v2, v3)12 δνεται απ την
Du (x)v = ∇u (x) ⋅ v = [ ∂u ∂x1
(x)] v1 + [ ∂u ∂x2
(x)] v2 + [ ∂u ∂x3
(x)] v3.
Θερημα 1.10. Εστω ∇u (x) ≠ 0. Ττε η κλση ∇u (x) δεχνει προς εκενη την κατεθυνση κατ
μκος της οποας η u αυξνεται γρηγορτερα.
Το ∇u εναι κθετο στην καμπλη στθμης C = {(x, y) u (x, y) = c}. Ετσι αν (x0, y0) σημεο
της C, η εφαπτομνη της C στο (x, y) χει την εξσωση
∇u (x0, y0) ⋅ (x − x0, y − y0) = 0,
αν ∇u (x0, y0) ≠ 0 (βλ. Σχμα 1.3β).
Πολυδεκτες: Εστω ο πολυδεκτης (δινυσμα) α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Nn0 , με τξη ( μκος)
α = α1 + α2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αn.
α2 x2 . . . ∂
αn xn
= ∂α1 x1 ∂α2 x2 . . . ∂αnxn u.
Για k ∈ N0 το σνολο λων των μερικν παραγγων τξης k εναι
Dku = {Dαu α = k}. 7 Ο τελεστς εναι μια συνρτηση απ ναν χρο συναρτσεων σε ναν λλο χρο συναρτσεων, δηλαδ δρα πνω
σε συναρτσεις. Ο πιο απλς γραμμικς τελεστς που γνωρζουμε εναι να πνακας A ∈ Rn×m. 8 Αν χουμε μια βαθμωτ συνρτηση με ανεξρτητες μεταβλητς, ττε η κλση της βαθμωτς συνρτησης εναι
δινυσμα δισταση σες οι ανεξρτητες μεταβλητς της συνρτησης.
9 Αν χουμε μια διανυσματικ συνρτηση, ττε η απκλιση της εναι βαθμωτ μγεθος.
10 Αν χουμε μια βαθμωτ συνρτηση με ανεξρτητες μεταβλητς, ττε η Λαπλασιαν της βαθμωτς συνρτησης
εναι βαθμωτ μγεθος.
11 Για παρδειγμα να πτην πετει σε ευθεα γραμμ με ταχτητα v τσι στε την χρονικ στιγμ t βρσκεται στη
θση x + tv. 12
Στον ορισμ της κατ κατεθυνσης παραγγου, διαλγει κανες συνθως το v να εναι το μοναδιαο δινυσμα.
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
(α) Η εξσωση της L εναι l(t) = x + tv. (β) Η κλση ∇u εναι ορθογνια στην καμπλη u = c.
Σχμα 1.3: Παργωγοι κατ κατεθυνση και κλση.
Θερημα 1.11. (Θερημα πεπλεγμνης συνρτησης (ΘΠΣ) (implicit function theorem)) Εστω
u (x, y) συνεχς διαφορσιμη συνρτηση σε κποιο ανοικτ χωρο U του επιπδου x, y, που περιχει
το σημεο (x0, y0). Αν u (x0, y0) = 0 και uy (x0, y0) ≠ 0, ττε υπρχει να ορθογνιο
S y − y0 < a, x − x0 < b,
που περιχεται στο U , ττοιο στε:
(i) Η εξσωση u (x, y) = 0 χει μοναδικ λση y = y (x) στο S.
(ii) Η συνρτηση y = y (x) εναι συνεχς διαφορσιμη για x − x0 < b, και η παργωγος της δνεται
απ τον τπο:
uy (x, y (x)) .
Παρδειγμα 1.12. Εστω u (x, y) = x2 + y2 − 1. Εχουμε uy = 2y, οπτε το ΘΠΣ εφαρμζεται
σε κθε σημεο (x0, y0) που ικανοποιε x2 0 + y2
0 − 1 = 0 και y0 ≠ 0, ρα κοντ σε ττοια σημεα το y
ορζεται μονοσμαντα σαν συνρτηση του x. Αυτ η συνρτηση εναι η y = √
1 − x2 αν y0 > 0 και
y = − √
1 − x2 αν y0 < 0. Η y ορζεται μνο για x < 1 (η περιοχ δεν πρπει να εναι πολ μεγλη) και
το y εναι μοναδικ μνο αν βρσκεται κοντ στο y0. Αυτ τα στοιχεα καθς και η μη-παρξη της
dy/dx στο y0 = 0 εναι φανερ απ το γεγονς τι η x2 + y2 = 1 ορζει μια περιφρεια στο εππεδο xy.
Σχμα 1.4: Λση εξσωσης σε πεπλεγμνη μορφ σε μικρς περιοχς.
Ορισμς 1.13. Λμε τι το U ( το ∂U) εναι τξης Ck αν τοπικ το σνορο του U εναι το
γρφημα μιας Ck συνρτησης.
Υπενθυμζουμε τρα δο βασικ θεωρματα. Εστω U φραγμνο χωρο με ομαλ (C1 ) σνορο
∂U . Ττε χουμε:
Θερημα 1.14. (Θερημα απκλισης (div)) Εστω F ∈ C1 (U)∩C (U), με F (x, y) = (F1 (x, y) , F2 (x, y)). Ττε ισχει x
U
Σχμα 1.5
Απ την παραπνω σχση προκπτει ο σημαντικς τπος της ολοκλρωσης κατ μρη. Επσης,
απ το θερημα της απκλισης προκπτουν οι ακλουθοι ιδιατερα σημαντικς ταυττητες/τποι του
Green. Επιλγουμε ως F = υ∇u, δηλαδ
F = υ∇u = (υ∂u ∂x , υ ∂u
∂y ) ,
με
Καταλγουμε επομνως στην πρτη ταυττητα του Green.
Θερημα 1.15. (Πρτη ταυττητα του Green) Εστω u ∈ C2 (U)∩C1 (U) και υ ∈ C1 (U)∩C (U). Ττε ισχει
x
U
∂U υ ∂u
∂n dS. (1.2)
x
U
∂n dS. (1.3)
Αφαιρντας τις (1.2) και (1.3) κατ μλη, παρνουμε την δετερη ταυττητα του Green.
Θερημα 1.16. (Δετερη ταυττητα του Green) Εστω u, υ ∈ C2 (U) ∩C1 (U). Ττε ισχει
x
U
(υ ∂u ∂n
− u∂υ ∂n
Οι μερικς διαφορικς εξισσεις εμφανζονται στις φυσικς επιστμες και στα Μαθηματικ και πε-
ριγρφουν προβλματα που οι συνθεις διαφορικς εξισσεις (ΣΔΕ) (ordinary differential equation (ODE)) δεν εναι δυνατν να περιγρψουν γιατ η φση του προβλματος εξαρτται απ περισστερες
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
της μιας ανεξρτητες μεταβλητς, π.χ. η μεταβλητ u μιας εξσωσης μπορε να εξαρτται απ τον
χρνο t και τον χρο x (δηλαδ να εξελσσεται στον χρνο και τον χρο) πως στην περπτωση της
διδοσης ενς κματος.
Μια μερικ διαφορικ εξσωση (ΜΔΕ) (partial differential equation (PDE)) εναι μια εξσωση
με γνωστη μια συνρτηση δο περισσοτρων μεταβλητν, που περιχει τις μερικς παραγγους
της συνρτησης αυτς.
Ορισμς 1.17. Εστω U να χωρο του Rn, n ≥ 2, και F μια ομαλ πραγματικ συνρτηση. Ττε,
κθε σχση της μορφς
F (x, u, ux1 , ux2 , . . . , ux1x1 , ux1x2 , ux2x2 , . . . ) = 0, x ∈ U, (1.5)
λμε τι εναι μια μερικ διαφορικ εξσωση με λση κλασικ λση 13
της κθε ομαλ συνρ-
τηση u U → R.
Τξη μιας ΜΔΕ ονομζεται η υψηλτερης τξης παργωγος της u που εμφανζεται σε αυτ. Η
γενικ μορφ μιας ΜΔΕ α τξης στον R2 εναι της μορφς
F (x, y, u, ux, uy) = 0, (x, y) ∈ U,
που F U ×R3 → R μια ομαλ συνρτηση. Γενικεοντας, δνουμε τον ακλουθο ορισμ.
Ορισμς 1.18. Εστω U να χωρο του Rn, n ≥ 2. Μια σχση της μορφς
F (x, u (x) ,Du (x) , . . . ,Dk−1u (x) ,Dku (x)) = 0, x ∈ U,
ονομζεται μερικ διαφορικ εξσωση k−τξης, που η
F U ×R ×Rn × ⋅ ⋅ ⋅ ×Rn k−1
×Rn k
1.2.1 Ταξινμηση των ΜΔΕ βσει της γραμμικτητα της F
Εστω U ⊂ R2 να χωρο και u, a, b, c, d U → R συνεχς παραγωγσιμες συναρτσεις.
Γραμμικς ΜΔΕ
Ονομζουμε μια ΜΔΕ γραμμικ (linear)14 ταν λοι οι ροι της εξσωσης εναι πρτου βαθμο
ως προς την γνωστη συνρτηση, u, και τις παραγωγος αυτς. Η γενικ μορφ της γραμμικς ΜΔΕ
α τξης στον R2 εναι
a (x, y)ux + b (x, y)uy + c (x, y)u = d (x, y) , (x, y) ∈ U.
Για να αποφγουμε την εκφλιση της εξσωσης σε κποιο σημεο, θεωρομε τι οι δο συντελεστς
των μερικν παραγγων της εξσωσης, a, b, δεν μηδενζονται ταυτχρονα, υποθτουμε δηλαδ τι
[a (x, y)]2 + [b (x, y)]2 ≠ 0,∀ (x, y) ∈ U . Το δινυσμα Φ = (a, b) ορζει ττε να ομαλ πεδο διευθν-
σεων. Ονομζουμε χαρακτηριστικς καμπλες της ΜΔΕ τις καμπλες εκενες που εφπτονται
στο Φ και κατ μκος των οποων η ΜΔΕ μετατρπεται σε ΣΔΕ.
Ενα παρδειγμα γραμμικς ΜΔΕ εναι η εξσωση: ut + ux = 1.
13 Οι μερικς παργωγοι θεωρονται με τον κλασικ ορισμ τους σε αντθεση με τις γενικευμνες παραγγους και
τις αντστοιχες ασθενες λσεις που θα δομε σε επμενη εντητα.
14 Μια γραμμικ εξσωση εναι της μορφς
Lu = f, που L εναι γραμμικς διαφορικς τελεστς, δηλαδ ττοιος στε
L (u + v) = Lu +Lv, L (cu) = cLu, c ∈ R,
και f συνρτηση των ανεξρτητων μεταβλητν.
1.2. ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΔΕ) 7
Μη γραμμικς ΜΔΕ
Μια ΜΔΕ ονομζεται σχεδν γραμμικ ( οιονε γραμμικ) (quasilinear) ταν η F εναι
γραμμικ μνο ως προς τις μγιστης τξης παραγγους της. Η γενικ μορφ της σχεδν γραμμικς
ΜΔΕ α τξης στον R2 εναι
a (x, y, u)ux + b (x, y, u)uy = d (x, y, u) , (x, y) ∈ U.
Ενα παρδειγμα σχεδν γραμμικς ΜΔΕ εναι η εξσωση του Burgers χωρς ιξδες (viscosity): ut + uux = 0.
Μια υποπερπτωση των σχεδν γραμμικν ΜΔΕ αποτελον οι ημιγραμμικς(semilinear) ΜΔΕ, που οι συντελεστς των μερικν παραγγων της εξσωσης, a, b, εναι ανεξρτητοι της u. Η
γενικ μορφ της ημιγραμμικς ΜΔΕ α τξης στον R2 εναι
a (x, y)ux + b (x, y)uy = d (x, y, u) , (x, y) ∈ U.
Ενα παρδειγμα ημιγραμμικς ΜΔΕ εναι η εξσωση: ut + ux + u2 = 0. Μια ΜΔΕ ονομζεται πλρως μη γραμμικ (fully nonlinear) ταν η F εναι μη-γραμμικ
ως προς τις μγιστης τξης παραγγους της. Ενα παρδειγμα μη γραμμικς ΜΔΕ που προρχεται
απ την γεωμετρικ οπτικ εναι η εξσωση της εικνας: u2 x + u2
y = 1. Στις παραπνω ΜΔΕ η συνρτηση d εναι γνωστ. Για d ≡ 0 η ΜΔΕ καλεται ομογενς
(homogeneous), εν για d ≠ 0 η ΜΔΕ καλεται μη-ομογενς (non-homogeneous)
1.2.2 Παραδεγματα ΜΔΕ
Γραμμικς ΜΔΕ
u = ∇2u = uxx + uyy = 0, u = u (x, y) .
Η εξσωση του Laplace εναι απ τις πιο σημαντικς ΜΔΕ, με τις λσεις της, u (x, y), να
καλονται αρμονικς συναρτσεις (harmonic functions). Τυπικς λσεις της εξσωσης εναι οι
τριγωνομετρικς συναρτσεις ημτονο και συνημτονο.
• Η εξσωση του Helmholtz ( εξσωση ιδιοτιμν)
−u = λu, u = u (x, y) ,
που βρσκει εφαρμογ σε εξισσεις που περιγρφουν φαινμενα της φυσικς πως την κυματικ
εξσωση και την εξσωση θερμτητας/διχυσης.
• Η εξσωση θερμτητας διχυσης (heat or diffusion equation):
ut =Duxx, u = u (x, t) ,
που D > 0 η σταθερ διχυσης (diffusion coefficient diffusivity), περιγρφει το φαινμενο της
διχυσης και της διδοσης της θερμτητας της διχυσης ενς υλικο διαλυμνου σε κποιο
ρευστ.
utt = c2uxx, u = u (x, t) .
Η κυματικ εξσωση εναι η σημαντικτερη εξσωση κυματικς διδοσης και περιγρφει μια
πληθρα κυμτων πως ηχητικ κματα, κματα φωτς και κματα στο νερ.
• Η εξσωση μεταφορς (linear transport equation):
ut + cux = 0, u = u (x, t) .
Η εξσωση μεταφορς εναι μια απλοστερη εξσωση κυματικς διδοσης, που η λση της εναι
της μορφς u (x, t) = f (x − ct) και παριστνει να οδεον κμα που κινεται προς τα δεξι με
σταθερ ταχτητα c.
Μη γραμμικς ΜΔΕ
−u = f (u) , u = u (x, y) .
Η εξσωση του Poisson εναι η μη-ομογενς εξσωση δυναμικο με ευρεα εφαρμογ στην ηλε-
κτροστατικ, τη μηχανολογα και τη θεωρητικ φυσικ.
• Η εξσωση αντδρασης-διχυσης (reaction-diffusion equation):
ut = uxx + f (u) , u = u (x, t) .
Η εξσωση αντδρασης-διχυσης περιγρφει τις μεταβολς ως προς τον χρνο και τον χρο
διφορων φυσικν ποσοττων της βιολογας, της γεωλογας, της φυσικς, της χημεας και της
οικολογας, πως για παρδειγμα την συγκντρωση χημικν ουσιν, την πυκντητα κυττρων
κ.τ.λ.
ut + uxxx + uux = 0, u = u (x, t) .
Η εξσωση KdV περιγρφει να μεγλο πλθος φυσικν φαινομνων, αν και πρωτοδιατυπθηκε
ως μοντλο της διδοσης κυμτων σε ρηχ στρματα νερο.
• Η εξσωση του Burgers χωρς ιξδες (inviscid Burgers’ equation) εξσωση του Hopf:
ut + ux = 0, u = u (x, t) ,
που περιγρφει την μετδοση ενς κματος με ταχτητα εξαρτμενη απ το πλτος του.
1.3 Πρβλημα αρχικν τιμν (ΠΑΤ) πρβλημα (του)
Cauchy / Πρβλημα συνοριακν τιμν (ΠΣΤ)
Οι ΜΔΕ περιγρφουν διφορα φυσικ φαινμενα με μοναδικ κθε φορ λση. Στις ΣΔΕ ο προσδιο-
ρισμς των σταθερν που προκπτουν απ την ολοκλρωση γνεται μσω των αρχικν συνοριακν
συνθκν, που με αυτν τον τρπο μας δνουν μια μοναδικ λση. Οι ΜΔΕ συνθως συνοδεο-
νται απ αρχικς /και συνοριακς συνθκες μσω των οποων επιλγουμε μια απ τις πολλς λσεις
τους. Η μορφ των συνθηκν που συνοδεουν μια εξσωση εξαρτται απ τη φση της εξσωσης,
πως θα δομε και στην συνχεια. Οταν η συνθκη ισχει για t = 0 σε κποιο διστημα του ξονα
των x λγεται αρχικ συνθκη (initial condition (IC)). Οταν η συνθκη δνεται σε μια οποιαδποτε
λλη καμπλη στο εππεδο x, t λγεται συνοριακ συνθκη (boundary condition (BC)). Οι αρχι-
κς/συνοριακς συνθκες μπορε να εναι τιμς της λσης u τιμς των παραγγων της u και
συνδυασμς τους πνω στις δεδομνες αυτς καμπλες του επιπδου x, t. Τα αντστοιχα προβλματα
ΜΔΕ που συνοδεονται απ βοηθητικς συνθκες λγονται προβλματα αρχικν 15
/και συνοριακν
τιμν (initial/boundary value problems).
Παρδειγμα 1.19. Ενα παρδειγμα εξλιξης φυσικο φαινομνου στον χρνο και τον χρο εναι
η μεταφορ θερμοκρασας, u, μιας ρβδου μκους l, που εξαρτται απ τη θση x στην ρβδο και τον
χρνο t που χει παρλθει απ τη χρονικ στιγμ κατ την οποα εφαρμστηκαν οι αρχικς συνθκες.
Ττε η ρο θερμτητας στην ρβδο περιγρφεται απ την ΜΔΕ
ut − kuxx = 0, t > 0, 0 < x < l,
που k ο συντελεστς θερμικς διχυσης. Μια βοηθητικ συνθκη της ΜΔΕ εναι η αρχικ κατανομ
θερμοκαρασας, δηλαδ η αρχικ συνθκη
u (x,0) = f (x) , 0 < x < l, 15
Το πρβλημα αρχικν τιμν (ΠΑΤ) αναφρεται και ως πρβλημα (του) Cauchy.
1.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΠΑΤ) Η ΠΡΟΒΛΗΜΑ (ΤΟΥ) CAUCHY / ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΠΣΤ)9
που η f δεδομνη συνρτηση που παριστνει την αρχικ (για t = 0) κατανομ της θερμοκρασας
κατ μκος της ρβδου. Αλλες βοηθητικς συνθκες της ΜΔΕ εναι η συνοριακς συνθκες
u (0, t) = g (t) , u (l, t) = h (t) , t > 0,
που η g (x) και h (x) παριστνουν δεδομνες τιμς της θερμοκρασας στα κρα x = 0 και x = l, αντστοιχα, για t > 0. Οι συνθκες αυτς καλονται συνοριακς συνθκες του Dirichlet (
συνοριακς συνθκες 1ου εδους) εν αν οι τιμς στα κρα εναι σες με μηδν καλονται ομογε-
νες συνοριακς συνθκες του Dirichlet. Αλλες σημαντικς συνοριακς συνθκες εναι
οι συνοριακς συνθκες του Neumann ( συνοριακς συνθκες 2ου εδους) που εναι της
μορφς
ux (0, t) = g (t) , ux (l, t) = h (t) , t > 0,
και εφαρμζονται στην περπτωση που τα κρα εναι μονωμνα, και τλος, οι συνοριακς συν-
θκες του Robin ( συνοριακς συνθκες 3ου εδους) που δνονται απ τους γραμμικος συνδυα-
σμος
ux (0, t) + r (0, t)u (0, t) = g (t) , ux (l, t) + r (l, t)u (l, t) = h (t) , t > 0,
για δεδομνη συνρτηση r. Στην περπτωση αυτ η ρο εναι ανλογη της διαφορς θερμοκρασας
στο κρο και της θερμοκρασας του περιβλλοντος.
Σε υψηλτερες διαστσεις οι συνοριακς συνθκες των Dirichlet, Neumann και Robin γρφονται
αντστοιχα
u (x, t) = g (x, t) , x ∈ ∂U, t > 0,
• Συνοριακς συνθκες του Neumann:
∂n (x, t) = g (x, t) , x ∈ ∂U, t > 0,
που n εξωτερικ κανονικ δινυσμα κθετο στο ∂U . Απ τις συνθκες αυτς προκαθορζεται
η κατ κατεθυνση παργωγος της u στην κατεθυνση του n σε κθε σημεο του ∂U .
• Συνοριακς συνθκες του Robin:
∂u
∂n (x, t) + r (x, t)u (x, t) = g (x, t) , x ∈ ∂U, t > 0.
Παρατρηση 1.20. Αντ για x ∈ (0, l) που εδαμε στο παραπνω παρδειγμα μπορε να χουμε
x ∈ [0,∞), ταν για παρδειγμα μιλμε για την θερμοκρασα στο υπδαφος, x ∈ (−∞,∞) που συχν
χρειαζμαστε επιπλον συνθκες, π.χ. lim x→∞u (x, t) = 0, t > 0, για λσεις με φυσικ σημασα.
Καλ τοποθετημνο (well-posed) κατα Hadamar πρβλημα: Ενα πρβλημα εναι καλ
τοποθετημνο ταν ικανοποιονται οι ακλουθες συνθκες
1. Το πρβλημα χει μια λση - Υπαρξη (existence of solution)
2. Η λση εναι μοναδικ - Μοναδικτητα (uniqueness of solution)
3. Η λση εξαρτται κατ συνεχ τρπο απ τα βοηθητικ δεδομνα του προβλματος - Ευστθεια
(των λσεων σε μικρς διαταραχς)
Τα προβλματα που δεν ικανοποιον τουλχιστον μια απ τις παραπνω συνθκες ονομζονταιμη
καλ τοποθετημνα (ill-posed). Η μελτη των ΜΔΕ ασχολεται κυρως (i) με την διερενηση
της καλς τοποθτησης ενς προβλματος καθς και (ii) με τις μεθδο