Stabilnost konstrukcija - predavanja
87
STABILNOST STABILNOST I I DINAMIKA DINAMIKA KONSTRUKCIJA KONSTRUKCIJA Doc. dr D Doc. dr D u u š š an an Kova Kova č č evi evi ć ć
Transcript of Stabilnost konstrukcija - predavanja
STABILNOSTSTABILNOSTII
DINAMIKADINAMIKAKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA
Doc. dr DDoc. dr Duuššanan KovaKovaččevievićć
STABILNOSTSTABILNOSTKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA
LLinearna analizainearna analizakonstrukcijakonstrukcija
statistatiččka linearnostka linearnostgeometrijska linearnostgeometrijska linearnostmaterijalna linearnostmaterijalna linearnost
P
Δ
L - EP
Δ
N - E
P
Δ
L - NP
Δ
N - N
NelNelinearna analizainearna analizakonstrukcijakonstrukcija
statistatiččka nelinearnost (velika ka nelinearnost (velika pomeranja)pomeranja)
geometrijska nelinearnost geometrijska nelinearnost (velike deformacije)(velike deformacije)
materijalna nelinearnost materijalna nelinearnost (nelinearna "(nelinearna "σσ--εε" " veza)veza)
IIIIII
dilatacijadilatacija
napo
nna
pon
σσuu
σσoo
εεuuεεoo
σσcc
εεcc
IIII
II
dilatacijadilatacija
napo
nna
ponσσ
cc
εεcc
HognestadHognestadDesai, KrishnanDesai, KrishnanEvrokod 2Evrokod 2
dilatacijadilatacija
napo
nna
pon
σσtutu
σσtoto
εεtutuεεtoto
σσtt
εεtt
IIII
IIIIIIII
dilatacijadilatacija
napo
nna
ponσσ tt
εεtt
εεtutuεεmmεεtoto
σσtoto
33σσtoto
EEtoto
EEtmtm
EEtutu
II IIII IIIIII IVIV
napo
nna
ponσσ
ss
dilatacijadilatacija εεss
PPEE
Y'Y'YY
UU FF
dilatacijadilatacija
napo
nna
pon
σσuuσσyy
σσss
εεss
εεyy
EEsoso
a)a)
dilatacijadilatacija εεss
b)b)
εεuu
napo
nna
pon
σσhhσσyy
σσ ss
εεyy
EEsoso
εεuuεεhh
σσuu
dilatacijadilatacija εεss
c)c)
napo
nna
pon
σσhhσσyy
σσ ss
εεyy
EEsoso
εεuuεεhh
σσuu
Nelinearni fenomeniNelinearni fenomeni
kontinualna "glatka" kontinualna "glatka" nelinearnostnelinearnost
diskontinualna "hrapava" diskontinualna "hrapava" nelinearnostnelinearnost
HH
LL
PPxx
v(x)v(x)
M(x)=MM(x)=M00(x)+H(x)+H⋅⋅v(x)v(x)
PP
ΔΔLLLL
xx
M(x)=PM(x)=P⋅⋅(L(L--xx--ΔΔL)L)
PP
LL LL
αα
tgtg sinsin PP2AE2AE
αα αα−− ==
P
P1
P2
σσTT
σσ
εεTT εε
EE
EETT
εεσσ σσ σσ
σσ εε εε εε== ++−−
== ⋅⋅ ++ ⋅⋅ −−TT TT
TTTT TT TTEE EE
EE EE (( ))
PP
ΔΔ
LL
PPΔΔ ff
vrlo malo f/Lvrlo malo f/L
PP
ΔΔ
LL
PPΔΔ ff
malo f/Lmalo f/L
PP
ΔΔ
LL
PPΔΔ ff
veliko f/Lveliko f/L
PP
ΔΔ
LL
ββ⋅⋅PP
ΔΔPP
PPcrcr
vrlo malo vrlo malo ββ
PP
ΔΔ
LL
ββ⋅⋅PP
ΔΔPP
PPcrcr
malo malo ββ
PP
ΔΔ
LL
ββ⋅⋅PP
ΔΔPP
PPcrcr
veliko veliko ββ
LL
≠≠ΔϕΔϕΔϕΔϕ
v=L
v=L ⋅ΔϕΔϕ
u=0u=0
LL
≈≈ΔϕΔϕΔϕΔϕΔϕ vv ≈
LL ⋅si
n ΔϕΔϕ
uu≈≈LL⋅⋅(1(1--coscosΔϕΔϕ))
P P
PP
P P
P P
ΔϕΔϕ jjNN
ΔΔuujjNN
ΔΔvv jjNN
vv jjCC
uujjCC
ϕϕ jjCC
ΔϕΔϕ iiNN
ΔΔuuiiNN
ϕϕ iiCC ΔΔvvii
NN
vviiCC uuii
CC
"S""S"
"C""C"
"N""N"
Geometrijski nelinearni modeliGeometrijski nelinearni modeli
opopššta geometrijski nelinearna teorijata geometrijski nelinearna teorijageometrijski nelinearna teorija (teorija geometrijski nelinearna teorija (teorija
II reda)II reda)linearizovana teorija II redalinearizovana teorija II reda
PP--ΔΔ postupakpostupak
RavnoteRavnotežža sa aspektaa sa aspektastabilnostistabilnosti
stabilna ravnotestabilna ravnotežžaaneutralna (indiferentna)neutralna (indiferentna)
ravnoteravnotežžaanestabilna ravnotenestabilna ravnotežžaa
Bifurkaciona teorijaBifurkaciona teorija
P1
L
P2
P3
P
Δ
P1
P2
P3
1515°° EE⋅⋅I = 10I = 1044kNmkNm22 EE⋅⋅A = 10A = 1044kNkN
PP
Sila P [kN]Sila P [kN] 20.0020.00 60.0060.00koeficijent ukljekoeficijent uklješštenjatenja [%][%] 100100 00 100100 00 100100 00
linearna teorijalinearna teorija 10.5310.53 14.9314.93 31.5931.59 44.7844.78
linearizovana teorija II redalinearizovana teorija II reda 10.8810.88 15.7815.78 34.9634.96 53.4153.41inkrementalno inkrementalno -- iterativniiterativni
postupak postupak -- MIKMIK 10.9810.98 16.3316.33 36.4536.45 67.6167.61inkrementalno inkrementalno -- iterativniiterativni
MNR postupakMNR postupak 10.9810.98 16.3316.33 36.4436.44 67.6167.61inkrementalno inkrementalno -- iterativniiterativni
NR postupakNR postupak 10.9810.98 16.3316.33 36.4436.44 67.6567.65tataččno reno reššenjeenje 10.9910.99 16.3516.35 36.5536.55 68.6068.60
L = 10.0 mL = 10.0 m
PPcrcr [kN][kN]
// //
346.8346.8587.2587.2
149.3149.3 69.1269.12
149.2149.2 69.1069.10
149.2149.2 69.1069.10
149.1149.1 69.0969.09
1
2 3 4
5
6 78 9 10 11
12
13
14 15 1617
18
19
20
21
*PKR= 9701kN
**PKR= 3971kN
1
2 3 4
5
6 78 9 10 11
12
13
14 15 1617
18
19
20
21
*PKR= 9272kN
**PKR= 2724kN
ANALIZAANALIZAŠŠTAPOVATAPOVA
Metode za analizuMetode za analizustabilnosti stabilnosti šštapova i proratapova i proraččun un
po teoriji II redapo teoriji II reda
direktno redirektno reššavanje diferencijalne avanje diferencijalne jednajednaččine ine -- popoččetni parametri etni parametri šštapatapa
metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenatametoda konametoda konaččnih razlikanih razlika
"energetske" metode"energetske" metodeiterativne metodeiterativne metode
Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina savijanja ina savijanja šštapa sa normalnom silom tapa sa normalnom silom -- popoččetni etni
parametriparametri
SS
MM00
VV00SS
MMll
VVll
φφ00
vvllvv00 φφll
ξξ ddξξ
ppyy(x)(x)
EIEISSkk ==
EIEI))xx((pp
vvkkvv yyIIII22IVIV ==±± "+" "+" -- pritisakpritisak""--" " -- zatezanje zatezanje ωω=k=k··ll
PP00000000 vvSSkk
kxkxsinsinkxkxVVSS
kxkxcoscos11MMkkkxkxsinsinvv))xx((vv ++
⋅⋅−−
⋅⋅−−−−
⋅⋅++⋅⋅φφ++==
PP000000 SSkxkxcoscos11VV
SSkxkxsinsinkkMMkxkxcoscos))xx((''vv))xx(( φφ++−−
⋅⋅−−−−
⋅⋅−−⋅⋅φφ====φφ
PP000000 MMkkkxkxsinsinVVkxkxcoscosMMkxkxsinsinkkEIEI))xx((""vvEIEI))xx((MM ++⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅φφ==⋅⋅−−==
PP00 VVVV))xx((''vvSS))xx((''''''vvEIEI))xx((VV ++==⋅⋅−−==⋅⋅−−==
OpOpššta reta reššenja diferencijalne enja diferencijalne jednajednaččina savijanja ina savijanja šštapatapa
sa normalnom silom sa normalnom silom
Partikularna rePartikularna reššenja diferencijalne enja diferencijalne jednajednaččina savijanja ina savijanja šštapatapa
sa normalnom silom sa normalnom silom
∫∫ ξξ⋅⋅
ξξ−−−−ξξ−−⋅⋅⋅⋅ξξ==
xx
00PP dd
SSkk))xx((kksinsin))xx((kk))((ppvv
∫∫ ξξξξ−−−−⋅⋅ξξ==φφ
xx
00PP dd
SS))xx((kkcoscos11))((pp
∫∫ ξξ⋅⋅ξξ−−==xx
00PP dd))((ppVV
∫∫ ξξξξ−−⋅⋅ξξ−−==
xx
00PP dd
kk))xx((kksinsin))((ppMM
Konturni uslovi Konturni uslovi
MM00=0=0
vv00=0=0
VV00≠≠00φφ
00≠≠00vvll=0=0
MMll=0=0VVll≠≠00φφll≠≠00
MM00≠≠00
vv00=0=0
VV00≠≠00φφ
00=0=0vvll≠≠00
MMll=0=0VVll=0=0φφ
ll≠≠00
Tok proraTok proraččunauna
unounoššenje poznatih pomeranja i/ili sila iz enje poznatih pomeranja i/ili sila iz konturnih uslova u rekonturnih uslova u reššenja diferencijalne enja diferencijalne
jednajednaččineine određivanje nepoznatih pomeranja i određivanje nepoznatih pomeranja i/ili /ili sila (tj. posila (tj. poččetnih parametara) iz datih etnih parametara) iz datih
jednajednaččinaina određivanje ostalih pomeranja i određivanje ostalih pomeranja i/ili sila /ili sila
(tj. po(tj. poččetnih parametara)etnih parametara)
Metoda konaMetoda konaččnih elemenata (MKE)nih elemenata (MKE)
y
x
q(y)
F1F2F3F4F5F6
[[ ]] {{ }} {{}}ffuukk tt ==⋅⋅
[[ ]] [[ ]] [[ ]]++== NLNLLLtt kkkkkk
VV
[[ ]] [[ ]]∫∫ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ttTT dVdVBBEEBB[[ ]]LLkk
[[ ]] [[ ]]∫∫ ⋅⋅⋅⋅σσ⋅⋅==VV
TT dVdVGGGG[[ ]]NLNLkk
yy
vvii,T,Tii
φφii,M,Mii
uuii,N,Nii
vvjj,T,Tjj
φφjj,M,Mjj
uujj,N,Njj
LL
xx
XX
YY
00
αα
[[ ]]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎦
⎤⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎣
⎡⎡
**
**--**
****
****--**--**
**--**--****
**--**--****
==
LLIIEE44..simsimet.et.
LLIIEE66
LLIIEE1212
LLSSEE00
LLAAEE
LLIIEE22
LLIIEE66
LLSSEE
LLIIEE44
LLIIEE66
LLIIEE121200
LLIIEE66
LLIIEE1212
LLSSEE00
LLAAEE
LLSSEE00
LLAAEE
kk
2233
22
22332233
LL
AA∑∑∫∫==
⋅⋅==⋅⋅==∗∗nn
11iiiitititt AAEEdAdAEEAAEE ∑∑∫∫
==
⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nn
11iiiititiii
AAtt AAEEyydAdAEEyySSEE
∑∑∫∫==
⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nn
11iiiititi
22ii
AAtt
22 AAEEyydAdAEEyyIIEE
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅++⋅⋅==⋅⋅==∗∗nsns
11jjjjtjtj
ncnc
11iiiititi
AAtt AAEEAAEEdAdAEEAAEE
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nsns
11jjjjtjtjjj
ncnc
11iiiititiii
AAtt AAEEyyAAEEyydAdAEEyySSEE
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nsns
11jjjjtjtj
22jj
ncnc
11iiiititi
22ii
AAtt
22 AAEEyyAAEEyydAdAEEyyIIEE
∑∑ ∑∑== ==
⋅⋅⎟⎟⎟⎟⎠⎠
⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎝
⎛⎛⋅⋅σσ⋅⋅−−⋅⋅==
33
11gggg
nn
11llllggllggiiii wwAA))ss,,ll((yy))ss((BBqq ∑∑ ∑∑
== ==
⋅⋅⎟⎟⎟⎟⎠⎠
⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎝
⎛⎛⋅⋅σσ⋅⋅−−⋅⋅==
33
11gggg
nn
11llllggllggiiii wwAA))ss,,ll((yy))ss((BBqq
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅σσ++⋅⋅σσ==⋅⋅σσ==nsns
11jjjjsjsj
ncnc
11iiiicici
AAAAAAdAdANN ∑∑∑∑∫∫
====
⋅⋅σσ++⋅⋅σσ==⋅⋅σσ==nsns
11jjjjsjsj
ncnc
11iiiicici
AAAAAAdAdANN
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅⋅⋅σσ++⋅⋅⋅⋅σσ==⋅⋅⋅⋅σσ==nsns
11jjjjjjsjsj
ncnc
11iiiiiicici
AAAAyyAAyydAdAyyMM ∑∑∑∑∫∫
====
⋅⋅⋅⋅σσ++⋅⋅⋅⋅σσ==⋅⋅⋅⋅σσ==nsns
11jjjjjjsjsj
ncnc
11iiiiiicici
AAAAyyAAyydAdAyyMM
[[ ]]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎦
⎤⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎣
⎡⎡
⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅
⋅⋅−−
⋅⋅
⋅⋅==
1515LL22..simetsimet
101011
LL5566
0000003030LL
10101100
1515LL22
101011
LL556600
101011
LL5566
000000000000
PPkkNLNL
ААPROKSIMACIJA 2PROKSIMACIJA 2numerinumeriččko modeliranjeko modeliranje
konturnih i prelaznih uslova,konturnih i prelaznih uslova,dejstava,dejstava,
ponaponaššanja konstrukcije ianja konstrukcije imaterijalamaterijala
Formiranje matriceFormiranje matricekrutosti sistema KEkrutosti sistema KE
i vektor opterei vektor optereććenja enja ---- formiranje sistema LAJformiranje sistema LAJ
Izbor metode za reIzbor metode za reššavanje avanje sistema LAJ:sistema LAJ:
proraproraččun pomeranjaun pomeranjaččvorova sistema KEvorova sistema KE
DISKRETIZACIJADISKRETIZACIJAgeometrijsko modeliranjegeometrijsko modeliranje
izborom oblika KE izborom oblika KE (formiranje mre(formiranje mrežže KE)e KE)
ААPROKSIMACIJA 1PROKSIMACIJA 1numerinumeriččko modeliranjeko modeliranje
izborom tipa KE izborom tipa KE --matrica krutostImatrica krutostI
(formiranje sistema KE)(formiranje sistema KE)
ProraProraččun uticaja u un uticaja u ččvorovima sistema KEvorovima sistema KE
Algoritam Algoritam primene primene
MKEMKE
Prednosti Prednosti primene primene MKEMKE
dovoljna tadovoljna taččnostnostefikasnefikasnoo numerinumeriččko ko
modeliranjemodeliranjejednostavna jednostavna implementacija implementacija
u CAA softveruu CAA softveru
GreGrešškeke u primeni u primeni MKEMKE
gregrešške diskretizacijeke diskretizacijegregrešške aproksimacijeke aproksimacijegregrešške implementacijeke implementacije
uu CAA softveruCAA softveru
Metoda konaMetoda konaččnih razlikanih razlika(diferencni postupak)(diferencni postupak)
EIEISSkk
EIEI))xx((pp
vvkkvv yyIIII22IVIV ====±± "+" "+" -- pritisakpritisak""--" " -- zatezanje zatezanje
ΔΔxx ΔΔxx
vv ii vv jj vv kk
PPii PPjj PPkk
ΔΔxx
vv hh
PPhh
ΔΔxx
vv ll
PPll
xx22vvvvvv iikkII
ΔΔ−−≈≈
22iijjkkIIII
xxvvvv22vv
vvΔΔ
++−−≈≈
33hhiikkllIIIIII
xx22vvvv22vv22vvvv
ΔΔ−−++−−
≈≈44
hhiijjkkllIVIV
xxvvvv44vv66vv44vv
vvΔΔ
++++++−−≈≈
Postupci zasnovani na principu o Postupci zasnovani na principu o minimumu energije minimumu energije -- "energetske" "energetske"
metodemetode
priblipribližžne metodene metodestepen tastepen taččnosti zavisi od nosti zavisi od
pretpostavljenog izvijenogpretpostavljenog izvijenogoblika sistemaoblika sistema
rezultat prorarezultat proraččuna je veuna je većći intenzitet i intenzitet kritikritiččnog opterenog optereććenje od taenje od taččnognog
Iterativni postupciIterativni postupci
metoda kolokacije, metoda postupnog metoda kolokacije, metoda postupnog priblipribližžavanja, Reyleighavanja, Reyleigh--Ritzova metoda...Ritzova metoda...
priblipribližžne metodene metodestepen tastepen taččnosti zavisi od broja nosti zavisi od broja
iterativnih ciklusa i/ili od poiterativnih ciklusa i/ili od poččetne etne pretpostavke izvijenog oblikapretpostavke izvijenog oblika
rezultat prorarezultat proraččuna je veuna je većći intenzitet i intenzitet kritikritiččnog opterenog optereććenje od taenje od taččnognog
Eulerovi (1774) sluEulerovi (1774) sluččajevi izvijanjaajevi izvijanja
prosta greda, konzola, prosta greda, konzola, šštap tipa "g", tap tipa "g", šštap tipa "k"tap tipa "k"
prava osa, konstantan popreprava osa, konstantan popreččni presekni presekhomogeni, izotropni i elastihomogeni, izotropni i elastiččni materijal ni materijal
aksijalno optereaksijalno optereććenjeenjedudužžina izvijanja ina izvijanja šštapa "ltapa "lii""
vitkost vitkost šštapa "tapa "λλii""
ββii=1.0=1.0 ββii=2.0=2.0 ββii=0.7=0.7 ββii=0.5=0.5 ββii=1.0=1.0 ββii=2.0=2.0
AAIIii
iillllll
ll22IIEEnnPP minmin
minminminmin
iiiiii
ii
2222
kritkrit ====λλ⋅⋅ββ==⋅⋅⋅⋅ππ⋅⋅==
vitkost vitkost λλ
napo
n na
pon σσ k
ritkrit
EulerovaEulerovahiperbolahiperbola(elasti(elastiččno)no)TetmayerovaTetmayerova
pravaprava(plasti(plastiččno)no)
EulerovaEulerovahiperbolahiperbola(plasti(plastiččno)no)
σσEE
σσTT
λλEE
Izvijanje u plastiIzvijanje u plastiččnoj oblasti (Euler, Tetmayer, noj oblasti (Euler, Tetmayer, Bauschinger, Engesser, CarmBauschinger, Engesser, Carmáán, Shanley)n, Shanley)
E⋅λ2π2
=σk
ANALIZAANALIZASISTEMASISTEMAŠŠTAPOVATAPOVA
Metode za analizuMetode za analizustabilnosti i prorastabilnosti i proraččun sistema un sistema
šštapovatapova po teoriji II redapo teoriji II reda
priblipribližžna metoda deformacijana metoda deformacijametoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata
metoda silametoda sila
PribliPribližžna metoda deformacijana metoda deformacija
nepoznate su rotacije krutih uglova i nepoznate su rotacije krutih uglova i parametri pomeranja sistemaparametri pomeranja sistema
aksijalna i smiaksijalna i smiččuućća krutost gredaa krutost gredaEAEA→∞→∞ , , GAGAss→∞→∞
spoljaspoljaššnja opterenja optereććenja deluju u enja deluju u ččvorovima sistemavorovima sistema
matrica krutosti zavisi i od fleksione matrica krutosti zavisi i od fleksione krutosti i od velikrutosti i od veliččine normalne sile ine normalne sile šštapatapa
ProraProraččun sistema primenom pribliun sistema primenom približžne ne metode deformacija po linearizovanoj metode deformacija po linearizovanoj
teoriji II redateoriji II reda
proraproraččun normalnih sila u un normalnih sila u šštapovima po teoriji I tapovima po teoriji I redareda
formiranje sistema "m+n" jednaformiranje sistema "m+n" jednaččina obrtanja i ina obrtanja i pomeranja i vektora slobodnih pomeranja i vektora slobodnih ččlanova lanova
rereššavanje sistema jednaavanje sistema jednaččina, tjina, tj. o. određivanje dređivanje nepoznatih obrtanja i pomeranjanepoznatih obrtanja i pomeranja
određivanje sila na krajevima određivanje sila na krajevima šštapovatapova
ProraProraččun kritiun kritiččnog opterenog optereććenja sistema enja sistema primenom pribliprimenom približžne metode deformacija ne metode deformacija
po linearizovanoj teoriji II redapo linearizovanoj teoriji II reda
proraproraččun normalnih sila u un normalnih sila u šštapovima po teoriji I tapovima po teoriji I reda za opterereda za optereććenje Penje P
formiranje sistema "m+n" jednaformiranje sistema "m+n" jednaččinainaobrtanja i pomeranja sa parametrom obrtanja i pomeranja sa parametrom ωω=k=k··ll
određivanje najmanje vrednosti parametra određivanje najmanje vrednosti parametra ""ωω" " tako da determinanta "m+n"tako da determinanta "m+n" matrice bude nulamatrice bude nula
određivanje kriti određivanje kritiččnog opterenog optereććenjaenjaPPkrkr==ωω22··EI/lEI/l22
Konstante aKonstante aikik, b, bikik, c, cikik za za šštap tipa "k"tap tipa "k"
ikikikikkkikikiiikikikik MMik,ik,ΔΔttMMik,0ik,0ccbbaaMM ++++ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅==
ikikkikikkkikiiikikikiki ccaabbMM ++ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅==
konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00=0, =0, φφ00==φφii=1.0, M=1.0, M00≠≠0, V0, V00≠≠0, v0, vll=0, =0, φφll=0=0
aaikik
SSφφii=1.0=1.0 bbkiki
ll
ii kk
EIEISSkk ==
ωω=k=k··ll
MMki,ki,ΔΔttMMki,0ki,0++
00SSkk
sinsinVVSScoscos11MM
kksinsin))ll((vv 0000ii ==
⋅⋅ωω−−ωω
⋅⋅−−ωω−−
⋅⋅−−ωω
⋅⋅φφ==
00SScoscos11VV
SSsinsinkkMMcoscos))ll(( 0000ii ==
ωω−−⋅⋅−−
ωω−−⋅⋅−−ωω⋅⋅φφ==φφ
iiikikii
22
00 aall
EIEIsinsin))coscos11((22
coscossinsinMM φφ⋅⋅==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω−−⋅⋅
ωω⋅⋅ωω−−ωω⋅⋅ωω==
llbbaa
llEIEI
sinsin))coscos11((22))11(cos(cosVV ikikikik
ii22
22
00++
−−==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω−−⋅⋅
−−ωω⋅⋅ωω==
ikikikikikik bbaacc ++==
Momenti Momenti MMikik za za šštap tipa "k"tap tipa "k"
ll
SSkkii
MMkiki
konturni uslovi:konturni uslovi:vv00==φφ00=0=0
MM00≠≠0, V0, V00≠≠00
vvll==φφll=0=0
00dd))((pp))ll((FFSS))sinsin((llVV))coscos11(())00((MMll
004400 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅⋅⋅ωω++ωω−−ωω⋅⋅⋅⋅++ωω−−⋅⋅ωω⋅⋅ ∫∫
00dd))((pp))ll((FFSSll))coscos11((llVVcoscos))00((MMll
003300 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ωω−−⋅⋅⋅⋅++ωω−−⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅ξξ⋅⋅ ∫∫
00dd))((pp))ll((FFSSllkk
sinsinVVcoscosMM))ll((MMll
00220000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅⋅⋅++
ωω⋅⋅++ωω⋅⋅== ∫∫
SSkkkxkxsinsinkxkx))xx((FF44 ⋅⋅
−−−−==
SSkxkxcoscos11))xx((FF33
−−−−==
kkkxkxsinsin))xx((FF22 ==
ξξ ddξξ
p(x)p(x)MMikik
Konstanta dKonstanta digig za za šštap tipa "g"tap tipa "g"
igigigigiiigigigig ddddMM ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅==
ddigig
SSφφii=1.0=1.0ii gg
ddigig
SSii
gg
1.0
1.0ψψigig= = --1.01.0
ll
EIEISSkk ==
ωω=k=k··ll
MMig,ig,ΔΔttMMig,0ig,0++++
konturni uslovi:konturni uslovi:vv00=0, =0, φφ00==ααigig
MM00==1.01.0VV00==--1/l1/l
vvll=0, =0, φφll=0=0MMll=0=0
MM00=1.0=1.0
SS
ααigigii
gg
ll
llEIEI
coscossinsinsinsin11dd
EIEIll
sinsincoscossinsin
00SS
sinsinVV
SScoscos11
kksinsin
))ll((vv
22
igigigig22igig00
0000
ωωωω−−ωωωω⋅⋅ωω
==ωω
==ωω⋅⋅ωω
ωωωω−−ωω==αα==φφ
==⋅⋅ωω
ωω−−ωω⋅⋅−−
ωω−−++
ωω⋅⋅φφ==
Moment Moment MMigig za za šštap tipa "g"tap tipa "g"
SSggii
llξξ ddξξ
00dd))((pp))ll((FFSSkk
sinsinVVSScoscos11MM))ll((vv
ll
00440000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−−−
⋅⋅ωω⋅⋅ωω
⋅⋅−−ωω−−
⋅⋅−−== ∫∫
00dd))((pp))ll((FFkk
sinsinVVcoscosMM))ll((MMll
00220000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−−−
ωω⋅⋅++ωω⋅⋅== ∫∫
konturni uslovi:konturni uslovi:vv00=0 =0 φφ00==00MM00≠≠0 0 VV00≠≠00
vvll=0 M=0 Mll=0=0
p(x)p(x)
00 MMig,0ig,0MM ==⇒⇒
MMigig
Konstanta eKonstanta eisis za konzolu za konzolu -- šštap tipa "s"tap tipa "s"
iiisisisis eeMM φφ⋅⋅==
eeisis
SS
=1.0=1.0ii
ss SS
konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00==φφ00=v=vll=M=Mll=0=0
iiisisii00
00ii
eell
EIEItgtgMM
00coscosMMsinsinkkEIEI))ll((MM
φφ⋅⋅==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−==
==ωω⋅⋅++ωω⋅⋅⋅⋅⋅⋅φφ==
MMis,is,ΔΔttMMis,0is,0++++
Moment Moment MMisis za konzolu za konzolu -- šštap tipa "s"tap tipa "s"
p(x)p(x)
SSssii
ll
MMisis
ξξ ddξξ
konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00==φφ00=v=vll=M=Mll=0=0
00
ll
00220000
MM
00dd))((pp))ll((FFsinsinllVVcoscosMM))ll((MM
==⇒⇒
==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅ωω−−ωω⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅ωω⋅⋅== ∫∫MMis,0is,0
UkupnoUkupnooobrtanjebrtanje
šštapa "ab"tapa "ab"
iisis eM +φ⋅=
n
1jj,igjigiigig ddM
=
+ψ⋅Δ⋅−φ⋅= ∑
n
1jj,ikjikkikiikik cbaM
=
+φ⋅Δ⋅+φ⋅+φ⋅= ∑
∑=
ψ+ψ+ψ⋅Δ=ψn
1jc,abt,abj,abjab
Momenti Momenti na na krajevimakrajevimašštapovatapova
Momenti Momenti punog punog
ukljeuklješštenjatenja
MMikik
MMigig
MMisis
MMik ik == MMik,0 ik,0 ++ MMik,ik,ΔΔtt ++ MMik,t ik,t ++ MMik,cik,c
MMig ig == MMig,0 ig,0 ++ MMig,ig,ΔΔtt ++ MMig,t ig,t ++ MMig,cig,c
MMis is == MMis,0 is,0 ++ MMig,ig,ΔΔtt
JednaJednaččine obrtanja ine obrtanja -- "m" uslova ravnote"m" uslova ravnotežžeeččvorova sistemavorova sistema
∑∑∑∑ ==++ΔΔ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅kk
00iijjijijkk
kkikikiiiiii 00AABBAAAA
∑∑∑∑∑∑ ==++++ss
isisgg
igigkk
ikik 00MMMMMM
JednaJednaččine pomeranja ine pomeranja -- "n" uslova ravnote"n" uslova ravnotežžeerereššetke sistemaetke sistema
00))mm((RR))pp((RRMM))MMMM(( ffjjjjjj,,igig
ggigig
kkjj,,ikikkikiikik ==−−−−ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅++ ∑∑∑∑
Rad momenata mRad momenata mff na pomeranjima rena pomeranjima reššetke sistemaetke sistema
=1.0=1.0
aa bb
vvbb
vvaa
dxdxdvdvNNmm 00,,abab
ff ⋅⋅==
llvvvv
abababab
aabb ψψ==−−
dxdxmm))mm((RRabab
bb
aajj,,abab
ffffjj ⋅⋅ψψ⋅⋅−−== ∑∑ ∫∫
llNN))vvvv((NN))mm((RRabab
jj,,abababababab00,,abababab
aabbjj,,abab00,,ababff
jj ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−==−−⋅⋅ψψ⋅⋅−−== ∑∑∑∑
dxdxdxdxdvdvNNdxdx
dxdxdvdvNN))mm((RR
abab
bb
aajj,,abab00,,abab
abab
bb
aajj,,abab00,,abab
ffjj ⋅⋅ψψ⋅⋅−−==⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−== ∑∑ ∫∫∑∑ ∫∫
llEIEI
llNNEIEINN
llllkkabab
abab22abababab00,,abab
abab
00,,abababababababababab ⋅⋅ωω±±==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==ωω
))ll((ll
EIEI))mm((RR
ababcc,,ababtt,,ababll,,abab
ababjj,,abab
abab
abab22abab
ffjj ψψ++ψψ++ψψ⋅⋅ΔΔ⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅ωω±±== ∑∑∑∑
00CCCC''BBmm
11ii
nn
11ll00jjlljljliijiji ==++ΔΔ⋅⋅++φφ⋅⋅∑∑ ∑∑
== ==
))ll((llNN))mm((RRabab
cc,,ababtt,,ababll,,abababab
jj,,abababab00,,ababff
jj ψψ++ψψ++ψψ⋅⋅ΔΔ⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−== ∑∑∑∑
ikikikik bbAA ==[[ ]]ikikAAAA ==
00
00 00CCAA
CC''BBBBAA
==⎭⎭⎬⎬⎫⎫
⎩⎩⎨⎨⎧⎧
++⎭⎭⎬⎬⎫⎫
⎩⎩⎨⎨⎧⎧ΔΔφφ
⋅⋅⎥⎥⎦⎦
⎤⎤⎢⎢⎣⎣
⎡⎡
ssisis
ggigig
kkikikiiii eeddaaAA ++++== ∑∑∑∑∑∑
[[ ]]ijijBBBB == ijijgg
jj,,igigigigkk
jj,,ikikikikijij ''BBddccBB ==ψψ⋅⋅−−ψψ⋅⋅== ∑∑∑∑
abab ababikikikikll,,ababjj,,abab
22abab
ccll,,igigjj,,igigigigll,,ikikjj,,ikikkikiikikjljl ''llEIEIdd))cccc((CC ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωωψψ⋅⋅ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅++== ∑∑∑∑∑∑ mm
Sistem m+n jednaSistem m+n jednaččina metode deformacijaina metode deformacija
Koeficijenti sistema jednaKoeficijenti sistema jednaččina metode deformacijaina metode deformacija
∑∑∑∑∑∑ ++++==ssggkk
00ii MMikikAA[[ ]]== 00ii00 AAAA
))((''ll
EIEI
RR))((CC
cc,,ababtt,,ababjj,,abababab abab
22abab
cc
ikik
ppjjjj,,igig
ikikjj,,ikik00jj
ψψ++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω
−−ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅++==
∑∑
∑∑∑∑
mm
mm
Slobodni Slobodni ččlanovi sistema jednalanovi sistema jednaččinainametode deformacijametode deformacija
MMigig MMisis
MMikik MMkiki MMkiki
{0}{0}CC''BBBBAA
==⎭⎭⎬⎬⎫⎫
⎩⎩⎨⎨⎧⎧ΔΔφφ
⋅⋅⎥⎥⎦⎦
⎤⎤⎢⎢⎣⎣
⎡⎡
ProraProraččun kritiun kritiččnog opterenog optereććenja primenomenja primenommetode deformacijametode deformacija
∑∑∑∑ ==ΔΔ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅kk
jjijijkk
kkikikiiiiii 00BBAAAA
00CC''BBmm
11ii
nn
11lllljljliijiji ==ΔΔ⋅⋅++φφ⋅⋅∑∑ ∑∑
== ==
{0}{0}CC''BBBBAA
==⎥⎥⎦⎦
⎤⎤⎢⎢⎣⎣
⎡⎡detdet
Osobenosti analize po teoriji II reda primenom Osobenosti analize po teoriji II reda primenom metode deformacijametode deformacija
koeficijenti akoeficijenti aikik, b, bikik, c, cikik, d, digig, i e, i eisis u matricamau matricama[A][A]mxmmxm, [B], [B]mxnmxn i [B']i [B']nxm nxm i momenti i momenti MMikik, , MMigig, i , i MMisis
u vektorima {Au vektorima {A00}}mm i {Ci {C00}}n n zavise od normalnih sila zavise od normalnih sila šštapovatapova
dijagonalni koeficijenti Adijagonalni koeficijenti Aiiii matrice [A]matrice [A]mxmmxm sadrsadržže i e i koeficijent ekoeficijent eisis konzolnih konzolnih šštapovatapova
koeficijenti Ckoeficijenti Cjljl matrice [C]matrice [C]nxnnxn sadrsadržže e ččlanlan
abab ababll,,ababjj,,abab
22abab
cc ''llEIEI ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω∑∑mm
koeficijenti Ckoeficijenti Cj0j0 vektora {Cvektora {C00}}nn sadrsadržže e ččlan lan
))((''ll
EIEI cc,,ababtt,,ababjj,,abababab abab
22abab
cc ψψ++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω∑∑mm
Prvi oblik gubitka stabilnosti Prvi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1
Drugi oblik gubitka stabilnosti Drugi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1
TreTrećći oblik gubitka stabilnosti i oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1
Prvi oblik gubitka stabilnosti Prvi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2
Drugi oblik gubitka stabilnosti Drugi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2
TreTrećći oblik gubitka stabilnosti i oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2
