SPINTA DELLE TERRE-MURI DI SOSTEGNO - profcatasta · • Dall’angolo d’attrito δ tra terra e...

SPINTA DELLE TERRE – MURI DI SOSTEGNO prof. Stefano Catasta

Un recipiente riempito di acqua vede le sue pareti verticali soggette ad una pressione variabile linearmente che assume sul fondo il suo valore massimo. Per analogia, si può assumere un simile comportamento in un recipiente riempito con della terra di determinate proprietà geotecniche (γt, φ, c ). Rompendo il recipiente vedremo il terreno assumere una configurazione equilibrata in cui l’inclinazione che il terreno assume rispetto all’orizzonte tenderà all’angolo di attrito φ (angolo di naturale declivio) tanto più ininfluente risulterà il contributo della coesione c (modello di terreno perfettamente incoerente). Tutte le volte che nella tecnica delle costruzioni occorre modificare l’andamento naturale di un profilo si producono dei movimenti di terra. La necessità di occupare la superficie interessata allo scavo al fine di costruire una strada o un edificio comporta la valutazione delle pressioni su di una parete di contenimento e della loro risultante complessiva che nella tecnica prende il nome di spinta della terra.


Nel caso più generale del problema, l’intensità e la direzione della spinta dipendono dalle seguenti caratteristiche geometriche e geotecniche del sistema:

• Peso specifico, angolo d’attrito interno, coesione (γt, φ, c) • Altezza h della parete • Inclinazione β della parete rispetto all’orizzonte • Dall’inclinazione ε del terreno sistemato a monte • Dall’eventuale presenza di sovraccarichi q posti a monte • Dall’angolo d’attrito δ tra terra e muro • Dall’eventuale presenza di acqua nel terreno a monte

La valutazione dell’entità delle pressioni che il terreno esercita sulle pareti e della spinta complessiva vede due diversi modello di comportamento del terreno, legati alle teorie storiche dei due principali studiosi del problema: Teoria di Rankine → teoria del masso illimitato Teoria di Coulumb → teoria del cuneo di massima spinta Nel seguito della trattazione si farà riferimento unicamente alla teoria del cuneo di massima spinta


Dalla interazione parete-terreno si individuano tre distinti tipi di spinta ed in conseguenza diversi stati tensionali

SPINTA ATTIVA → È il valore massimo della azione complessiva esercitata dalle terre poste a monte della parete

SPINTA PASSIVA → È il valore massimo della azione complessiva esercitata dalla parete sulle terre poste a valle

SPINTA A RIPOSO → Spinta che corrisponde ad una condizione intermedia tra reazione attiva e passiva

Nota: nella trattazione che segue tratteremo i soli casi della spinta attiva e passiva in applicazioni di limitata complessità strutturale

Charles Augustin De Coulumb (1736-1806) – Ingegnere e fisico francese Teoria del cuneo di massima spinta – (ipotesi semplificative del problema)

1. Il terreno in frana è isotropo ed incoerente 2. La superficie di frattura è approssimabile ad un piano 3. Il cuneo di rottura che risulta dall’ipotesi 2 si comporta come un insieme rigido 4. Le tensioni tangenziali indotte lungo il piano di rottura sono distribuite in modo

uniforme e dipendono dall’ attrito prodotto dal moto che viene innescato dalla frana 5. L’equilibrio del terreno richiede il soddisfacimento della relazione → τ=c+σtgφ 6. Il fronte della frattura si intende piano, di lunghezza indefinita, di questo si assume ai

fini del calcolo della spinta un tratto di lunghezza unitaria


MODELLO Ai fini didattici si considera il caso del calcolo della spinta in un sistema parete-terreno in cui valgono le seguenti semplificazioni del problema:

• Il terreno è omogeneo ed isotropo • Il terreno ha comportamento incoerente, la coesione è nulla (c =0) • La parete è verticale (β = 90°) • Il terreno a monte è sistemato orizzontalmente (ε = 0°) • L’attrito tra la terra e la parete è nullo (δ =0°) • Il carico accidentale a monte risulta nullo (q=0)

SPINTA ATTIVA il cuneo fratturato si sposta verso il basso le tensioni tangenziali si oppongono al moto

Sul cuneo di terra ABC di profondità unitaria in equilibrio agiscono tre forze:

• Il peso del cuneo fratturato W • La risposta S della parete al moto del cuneo (uguale e contraria alla spinta attiva S) • La reazione complessivamente opposta dalla superficie di scorrimento R = N + T (somma vettoriale)


• W = Volume * peso volumico → W = [1*(BC * h)/2]* γt ; essendo → BC = h*tg (90°- α) si ricava: W = 1/2 * γt*h2 (tg90°-α) • S = W * tg (α-φ) sostituiamo a W il suo valore → S = 1/2 * γt*h2 (tg90°-α) * tg (α-φ)

Si dimostra che l’angolo α per il quale il valore della spinta attiva S assume il valore massimo risulta essere: α = 45° + φ/2 Sostituendo si ottiene: S = 1/2 * γγγγt*h2 tg2 (45°-φ/2)

Il termine: ka= tg2 (45°-φ/2) è il coefficiente di spinta attiva e si trova tabellato nei manuali tecnici in funzione di φ.

La spinta attiva S risulta essere la risultante del diagramma delle pressioni che il terreno a monte esercita sulla parete. Ad una generica profondità corrisponderà il valore p1 determinabile attraverso l’espressione: p1 = γt *h1 * ka Allo stesso modo si può determinare il valore massimo della pressione al piede della parete: pmax = γt *h * ka

Se ne ricava che le pressioni seguono un andamento lineare in cui l’inclinazione della retta è data dal coefficiente di spinta attiva che Ka che “funge” da coefficiente angolare della retta. A parità di geometria un terreno con φ maggiore di un altro risulterà meno spingente La risultante S (spinta attiva) si determina mediante lo sviluppo di un volume ideale la cui generatrice ha forma triangolare ed in cui la risultante è applicata nel baricentro. Con riferimento alla figura di lato il volume (alias spinta) risulta: 1 x base x altezza/2, ovvero: V = S = 1,00*(γt *h * ka)*h/2 → cioè: S = 1/2 * γt*h2 tg2 (45°-φ/2) c.v.d.


SPINTA PASSIVA la parete, mobilitata dal terreno a monte, esercita una pressione sul terreno a valle

Sul cuneo di terra agiscono le stesse azioni viste in precedenza per la spinta attiva, in questo caso le tensioni tangenziali τ presenti sulle superfici di contatto, per opporsi al moto, risulteranno di verso opposto. La risultante delle pressioni prende il nome di spinta passiva e si determina mediante lo sviluppo di un volume ideale la cui generatrice ha forma triangolare in cui la risultante è applicata nel baricentro. La formula che consente di determinare la risultante della spinta passiva è analoga a quella della spinta attiva a meno di un segno, per ciò risulta: S = 1/2 * γγγγt*h2 tg2 (45°+φ/2) Il terreno a valle a ridosso della parete è soggetto a delle pressioni passive variabili linearmente sul piano di campagna vale: pmax = γt *h * kp Le due formule differiscono unicamente per il calcolo del coefficiente di spinta passiva che risulta: kp= tg2 (45°+ φ/2)


ESEMPIO 1 – calcolo di spinta attiva e spinta passiva Calcolare i diagrammi delle pressioni attive e passive, nonché e le relative spinte risultanti per la paratia in figura, posto che i terreni a monte e a valle presentano le stesse caratteristiche geotecniche (γt = 17KN/m3 ; φ=32°; c=0; h=12m ; h*= 4m)

• Calcoliamo i coefficienti di spinta attiva e passiva

ka = tg2 (45°-φ/2) → tg2 (45°-32°/2) → ka = 0,307 kp = tg2 (45°+φ/2) → tg2 (45°+32°/2) → kp = 3,257 nota: kp = 1/ ka =1/0,307 = 3,257

• Calcoliamo la massime pressioni attive e passive pmax = 17*12,00*0,307 = 62,63KN/m2

p*max = 17*4,00*3,257 = 221,48KN/m2

• Calcoliamo le spinte attive e passive Sattiva = 1/2 *17*122*0,307 = 375,77KN Spassiva = 1/2 *17*42*3,257 = 442,95KN

• Baricentri ya = 12,00/3 = 4,00m yP = 4,00/3 = 1,33m


SPINTA ATTIVA CON SOVRACCARICO

La sistemazione del terrapieno può prevedere la realizzazione a monte di un edificio, di una strada o di una piazza pubblica, il cui impiego, per effetto della gravità, influenza il complesso delle azioni che agiscono sulla parete. Nel caso semplice di un terrapieno orizzontale sostenuto da una parete verticale con attrito terra-muro, la pressione attiva, prodotta dal solo sovraccarico variabile è ortogonale alla parete e conserva il suo valore costante lungo tutta l’altezza h. Ne consegue che la risultante delle pressioni attive produce una spinta attiva complessiva che, come in precedenza, può assimilarsi al volume individuato attraverso la profondità unitaria. La pressione attiva al piede della parete vale : p(q) = q*Ka La spinta totale si ottiene attraverso la risultante delle pressioni attive moltiplicata per la superficie di applicazione:

S(q) = (q*Ka) x (h*1) = q*Ka*h

Per il principio di sovrapposizione degli effetti (PSE), ne risulta che l’andamento complessivo del diagramma delle pressioni descriverà una direttrice di forma trapezoidale con la risultante complessiva nel baricentro y(g) della figura. Il diagramma mostra come la presenza del sovraccarico comporti un deciso aggravio delle condizioni di esercizio della parete controterra S(TOT) = S(q) + S → l’azione che tende a traslare orizzontalmente la parete aumenta rispetto alla condizione di carico q assente y(g) > h/3 → l’azione che tende a far ruotare la parete aumenta rispetto alla condizione di carico q assente a causa del maggiore braccio


OPERE DI SOSTEGNO La normativa tecnica vigente considera “opera di sostegno” ogni manufatto che risulti adatto a sostenere in sicurezza un terreno o un materiale con comportamento simile. Essi si distinguono in:

• Muri a gravità → sono quelli in cui il sostegno è affidato al peso del muro stesso • Muri a mensola → sono quelli che, oltre al loro peso confidano nella resistenza a flessione della sezione di base • Paratie e palancole → sono delle soluzioni a mensola libera infisse nel terreno ancorate o meno in sommità che, oltre alla

resistenza a flessione della base, mobilitano ai fini dell’equilibrio la spinta passiva prodotta dal terreno a valle • Soluzioni miste → sono delle soluzioni particolari che sfruttano la particolare disposizione di strati di terreno, materiali compositi,

tirantature in acciaio (terre armate, terre rinforzate, gabbionate, viminate) Verifiche di sicurezza agli SLU Per i muri di sostegno e per le altre strutture di sostegno a questi assimilabili devono essere verificati i seguenti stati limite:

• SLU di equilibrio di corpo rigido (EQU) e di tipo geotecnico (GEO) - stabilità globale del complesso opera-terreno - scorrimento sul piano di posa - collasso per raggiungimento del carico limite del sistema fondale (terreno+fondazione) - ribaltamento

• SLU di tipo strutturale (STR) - raggiungimento della resistenza negli elementi strutturali

Per tutti gli SLU considerati deve verificarsi l’espressione formale della sicurezza:

Ed/Rd ≤ 1 La verifica di stabilità globale deve essere effettuata secondo l’ Approccio 1 – (COMB 2 : A2+M2+R2) (n.b. la verifica di stabilità globale viene omessa dalla trattazione)


MODALITA’ DI VERIFICA DEGLI SLU – (come descritte dalla Circolare Esplicativa in: C 6.5.3.1.1 - Muri di sostegno)

Verifica allo SLU di ribaltamento “……Lo stato lmite di ribaltamento non prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione, e deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio come corpo rigido (EQU), utilizzando i coefficienti parziali sulle azioni della Tab.2.6.I delle NTC e adoperando coefficienti parziali del gruppo M2 per il calcolo delle spinte Tab.6.2.II NTC. Tutte le azioni agenti sul muro di sostegno possono essere ricondotte a una risultante applicata al piano di posa…)

Verifica allo SLU di scorrimento “……Nello stato limite ultimo di collasso per scorrimento, l’azione di progetto è data dalla componente della risultante delle forze in direzione parallela al piano di scorrimento della fondazione, mentre la resistenza di progetto è il valore della forza parallela al piano cui corrisponde lo scorrimento del muro…) La trattazione che segue impiegherà l’ Approccio 2 – (COMB :A1+M1+R3) .


Verifica allo SLU di collasso del sistema fondale “… Nello stato limite ultimo di collasso per raggiungimento del carico limite della fondazione, l’azione di progetto è la componente della risultante delle forze in direzione normale al piano di posa…” La trattazione che segue impiegherà l’ Approccio 2 – (COMB :A1+M1+R3) .

Verifica allo SLU strutturale “… …l’azione di progetto è costituita dalla sollecitazione nell’elemento e la resistenza di progetto è il valore della sollecitazione che produce la crisi dell’elemento esaminato…”


ESEMPIO 2 – progetto di un muro di sostegno a gravità La sistemazione di un parco pubblico prevede la realizzazione di un terrazzamento che forma un dislivello di 3,00m tra la le due sistemazioni orizzontali a monte e a valle. L’intervento ricade in zona in cui è possibile assumere trascurabile il rischio sismico. L’opera di sostegno da realizzare è del tipo “muro a gravità” in cui sia per il terreno a monte , sia per quello a valle si possono assumere le seguenti caratteristiche geotecniche: γt = 18KN/m3; φ = 35°; c =0. Ogni dato mancante può essere integrato liberamente.

Soluzione Si assume una sagoma del muro secondo le indicazioni della manualistica corrente e si effettuano le verifiche. La soluzione si determina attraverso un processo iterativo che, laborioso se effettuato con calcoli manuali, risulta facilmente gestibile mediante l’impiego di software specifici

• Si imposta il piano di fondazione oltre la quota del congelamento del terreno (-0,60m con + 0,10m di magrone a compenso)

• Si assume per il muro l’impiego di un dato materiale (γm =24KN/m3 – calcestruzzo non armato)


A questo punto si possono calcolare le due spinte che agiscono sulla parete:

a) La spinta attiva prodotta dal terreno b) La spinta attiva prodotta dal sovraccarico (CAT.C.3 – struttura destinata ad eventi pubblici )


Calcolo della Spinta attiva prodotta dal terreno in frana Applichiamo i coefficienti del gruppo M2 nella determinazione del valore della spinta

DESCRIZIONE PARAMETRO COEFF. PARZ. (γγγγM ) (M1) (M2)

Tangente dell’angolo di attrito tgφ γφ 1,00 1,25

Coesione drenata c’k γC’ 1,00 1,25

Coesione non drenata cuk γCu 1,00 1,40

Peso per l’unità di volume γ γγ 1,00 1,00

• φ’ = arctg (tgφ)/γφ → arctg (tg35°)/1,25 = 29°,256 • γ’ = γ /γγ = 18/1,00= 18KN/m3

Calcoliamo il coefficiente di spinta attiva → ka = tg2 (45°-φ’/2) → tg2 (45°-29°,256/2) → ka = tg2 (30°,372) → ka = 0,343 Calcoliamo la spinta → S = 1/2 * γt*h2 *Ka → S = 1/2 *18*3,62 *0,343 → S = 40,00KN Calcolo della Spinta attiva prodotta dal sovraccarico → S(q) = q*Ka*h = 5*0,343*3,6 → S(q) =6,174KN


Verifica dello SLU di equilibrio alla rotazione L’azione che produce lo SLU è il momento meccanico prodotto dalla combinazione dei momenti prodotti singolarmente dalle due spinte. Le azioni si riconducono a una coppia risultante MRIB applicata nel centro di rotazione individuato dal piano di posa.

Alla azione MRIB ottenuta attraverso le spinte (S(q)*h/2 + S*h/3) il muro oppone la sua resistenza alla rotazione MSTA prodotta per mezzo della gravità gravità (W1*d1 + W2*d2 ; W3*d3) Azioni e Resistenze di progetto (d)


Le azioni e le resistenze di progetto si devono combinare con i coefficienti parziali di sicurezza (Tab.2.6.I)

CARICHI COEFF. CONDIZIONE EQU STR (A1) GEO (A2)

PERMANENTI PROPRI γG1 favorevole 0,90 1,00 1,00 sfavorevole 1,10 1,30 1,00

PERMANENTI PORTATI γG2 favorevole 0,00 0,00 0,00 sfavorevole 1,50 1,50 1,30

VARIABILI γQ favorevole 0,00 0,00 0,00 sfavorevole 1,50 1,50 1,30

Si assume, per il momento prodotto dalla spinta attiva del terreno, il coefficiente dei carichi propri in quanto si assume che i carichi portati siano compitamente definiti. MRIB

(d) = (S*h/3)* γG1 + (S(q)*h/2)* γQ = (40*3,60/3)*1,1 + (6,174*3,60/2)*1,50 = 52,80+16,67 = 69,47KNm MSTA

(d)=(W1*d1)*γG1 + (W2*d2)*γG1 + (W3*d3)*γG1 = (0,6*3,15*1/2*1*24*0,70)*0,90 + (0,60*3,15*1*24*1,20)*0,90 (1,50*0,45*1*24*0,75)*0,90= MSTA

(d)=(22,68)*0,70*0,90+(45,36)*1,20*0,90+(16,2)*0,75*0,90= 14,29+48,99+10,935 = 74,215KNm Verifichiamo la condizione di sicurezza: Ed/Rd ≤ 1 → che nel nostro caso diventa → MRIB

(d)/ MSTA(d) ≤ 1 → 69,47/74,215 = 0,94 < 1

La verifica è soddisfatta


Verifica dello SLU di scorrimento L’azione che produce lo SLU è data dalla somma delle spinte attive a cui si devono applicare i coefficienti previsti dall’ Approccio2 A1+M1+R3 (vedi dispensa sulle Fondazioni dirette)

DESCRIZIONE PARAMETRO COEFF. PARZ. (γγγγM ) (M1) (M2)

Tangente dell’angolo di attrito tgφ γφ 1,00 1,25

Coesione drenata c’k γC’ 1,00 1,25

Coesione non drenata cuk γCu 1,00 1,40

Peso per l’unità di volume γ γγ 1,00 1,00

La spinta che dobbiamo calcolare assumerà un valore più basso dal momento che non dobbiamo penalizzare i parametri geotecnici

• Calcoliamo il coefficiente di spinta attiva → ka = tg2 (45°-φ/2) → tg2 (45°-35°/2) → ka = tg2 (27°,5) → ka = 0,270 • Calcoliamo la spinta → S = 1/2 * γt*h2 *Ka → S = 1/2 *18*3,62 *0,270 → S = 31,492KN • Calcolo della Spinta attiva prodotta dal sovraccarico → S(q) = q*Ka*h = 5*0,270*3,6 → S(q) =4,86KN

Combiniamo i diversi contributi applicando i coefficienti del gruppo A1 S(d)= S*γG1 + S(q)* γQ = 31,49*1,3 + 4,86*1,5 = 40,94+7,29 = 48,23KN La resistenza che il muro oppone allo scorrimento dipende dalla forza di attrito prodotta dal suo peso ridotta del coefficiente del gruppo R3 (vedi Tab.6.5.I delle NTC)

TIPO DI VERIFICA (R1) (R2) (R3)

Capacità portante della fondazione 1,0 1,8 1,4

Scorrimento 1,0 1,1 1,1

Resistenza del terreno a valle 1,0 1,0 1,4


Calcolo dei pesi di progetto: W(d) = (W1+ W2+ W3) / γM → in questo caso γM =1,00 (gruppo M1) W1 = (0,6*3,15*1/2*1)24 = 22,68KN ; W2 = (0,6*3,15*1)24 = 45,36KN ; W3 = (0,45*1,50*1)24 = 16,2KN W(d) = (22,68+45,36 + 16,2) / 1 = 84,24KN Calcolo della resistenza di progetto R(d) = f *(W(d)) / γR → in questo caso γR =1,1 (gruppo R3) Il coefficiente di attrito f dipende dalla natura delle superfici a contatto, nel nostro caso il piano di appoggio è stato bonificato con del magrone di calcestruzzo di regolarizzazione e pulizia del piano di posa. L’angolo di attrito terra-fondazione varia tra la metà dell’angolo di attrito interno, per terreni coerenti, e il valore dell’angolo di attrito interno, per terreni coerenti. Nel nostro caso il terreno si presenta come una sabbia compatta. La manualistica consente di impiegare un coefficiente f =0,6 per terreni sabbiosi con φ =31°, nel nostro caso l’angolo interno è maggiore φ =35°, si può ipotizzare un coefficiente di attrito f compreso tra: 0,6-0,7 R(d) = 0,65*84,24 / 1,1 = 49,78KN Verifichiamo la condizione di sicurezza: Ed/Rd ≤ 1 → che nel nostro caso diventa → S(d)/ R(d) ≤ 1 → 48,23/49,78 = 0,969 < 1 La verifica è soddisfatta


Verifica dello SLU di collasso del sistema fondale L’azione di progetto è data dalla risultante del sistema di forze che è applicata ad una distanza u dal lato unitario intorno a cui ruota il muro di sostegno. Il peso complessivo applicato nel centro di rotazione viene spostato di una quantità u all’interno dell’impronta dalla coppia residua (MSTAB/MRIB) . L’entità della sollecitazione di progetto (indotta dalla azione composta di pressoflessione) deve essere confrontata con la resistenza limite di progetto del sistema terreno-fondazione. Alla procedura di verifica devono applicarsi i coefficienti previsti per l’ Approccio2 (A1+M1+R3).

• I valori delle spinte sono quelli visti per la verifica allo scorrimento S = 31,492KN e S(q) =4,86KN MRIB

(d) = (S*h/3)*γG2+ (S(q)*h/2)* γQ1 MSTAB

(d) = W1*d1*γG1 + W2*d2*γG1+ W3*d3*γG1

• Utilizziamo i coefficienti del gruppo A1 secondo le condizioni favorevoli alla sicurezza, quindi amplifichiamo le azioni: MRIB

(d) = (31,49*1,20)*1,3 + (4,86*1,8)*1,5 = 49,13+13,12 =62,25KNm

• Nel calcolo dei pesi W il coefficiente del gruppo M1 da impiegare è γ=1 Utilizziamo i coefficienti del gruppo A1 secondo le condizioni favorevoli alla sicurezza, quindi γG1=1 W1 = (0,6*3,15**1/2*1*24)*1 = 22,68KN W2 = (0,6*3,15*1*24)*1 = 45,36KN W3 = (0,45*1,5*1*24)*1 = 16,20KN W(d) = 22,68+45,36+16,20=84,24KN MSTAB

(d) = (22,68*0,7)*1+(45,36*1,20)*1+(16,20*0,75)*1 = MSTAB

(d) = 15,88+54,43+12,15 = 82,46KNm u = (MSTAB

(d) - MRIB(d)) / W(d)

u = (82,46-62,25)/84,24 = 0,24m = 240mm


• La risultante delle azioni cade all’esterno del nocciolo d’inerzia, pertanto la sezione resistente risulterà parzializzata essendo il terreno un materiale non resistente a trazione La sezione effettivamente reagente misura: AR = 1000 x 3*u

• Per effetto della parzializzazione la risultante cadrà sull’estremo del nocciolo d’inerzia della sezione residua. In questo caso il diagramma delle pressioni risulterà triangolare. La tensione di progetto indotta sul terreno risulta:

σd = 2*Wd/AR → ovvero σd = 2*Wd/3u*1000 • Il valore massimo della tensione indotta sul terreno risulta:

σd = 2*84,24*103 /3*240*1000 = 0,23N/mm2

• La Circolare prescrive, ai fini delle verifiche, di confrontare l’azione di progetto W(d) con la resistenza minorata della sezione di impronta

Ed / Rd ≤ 1 → dove Ed = W(d) e Rd = ½*AR*qlim /γR

• È possibile sostituire alle azioni gli effetti e quindi porre: Ed / Rd ≤ 1 → dove Ed = σd e Rd = qlim /γR (vedi Prontuario Hoepli) σd / qlim /γR ≤ 1 dove il coefficiente γR appartiene al gruppo R3 e si ricava dalla Tab.6.5.I delle NTC illustrata in precedenza

Il calcolo della portanza limite può essere effettuato con la formula di Terzaghi corretta per sistemi fondali soggetti a carichi eccentrici ed inclinati rispetto al piano orizzontale


Applichiamo la formula di Terzaghi (essendo nulla la coesione)

qlim = εq*Nq*γ1*D + εγ*Nγ*γ2*B/2 (perché i coeff. sq e sγ sono = 1) I coefficienti sono gli stessi utilizzati nell’ ESEMPIO 2 della dispensa “Fondazioni dirette” Nq = 41,4 ; Nγ = 46,5 B* = 1500 -2*(750-240) = 480mm tgδ = (S+Sq)/W(d) = (31,492+4,86)/ 84,24 = 0,431 m=2 → essendo L >> B εq= (1-0,431)2=0,324 εγ= (1-0,431)3=0,184 qlim =0,324*41,4*18*0,7 + 0,184*46,5*18*0,48/2 = 206KN/m2

Applichiamo la formula di verifica: 0,23/(0,206/1,4) = 1,56>1 – la verifica non è soddisfatta

Come anticipato all’inizio della trattazione il dimensionamento di un muro di sostegno si realizza per tentativi, in questo caso la soluzione può essere corretta modificando le geometrie e/o i materiali. Conviene modificare la soluzione fondale dal momento che rispetto alle altre verifiche agli SLU agiamo in favore di sicurezza e non dobbiamo ripeterle La soluzione può essere quella di aumentare di 20cm la larghezza della fondazione verso monte (B=1,70m), in questo modo ricentriamo il carico W(d) grazie anche al contributo del peso della terra W4


Modifica della soluzione fondale

Calcolo dei pesi Nel calcolo dei pesi W il coefficiente del gruppo M1 da impiegare è γ=1. W1 = (0,6*3,15**1/2*1*24)*1 = 22,68KN W2 = (0,6*3,15*1*24)*1 = 45,36KN W3 = (0,45*1,7*1*24)*1 = 18,36KN W4 = (0,20*3,15*1*18)*1= 11,34KN W(d) = W1 + W2 + W3 + W4 = 97,74KN Calcolo dei momenti stabilizzanti Utilizziamo i coefficienti del gruppo A1 secondo le condizioni favorevoli alla sicurezza, quindi γG1 = 1; γG2 = γG1 = 1 d1= 0,70m; d2= 1,20m; d3= 1,70/2 = 0,85m; d4= 1,60m MSTAB

(d) =(22,68*0,7)*1+(45,36*1,20)*1+(18,36*0,85)*1+(11,34*1,6)*1 MSTAB

(d) = 15,88+54,43+15,61+18,14 = 104,06KNm Calcolo dei momenti ribaltanti La variante introdotta non ne comporta la variazione MRIB

(d) = (31,49*1,20)*1,3 + (4,86*1,8)*1,5 = 49,13+13,12 =62,25KNm u = (MSTAB

(d) - MRIB(d)) / W(d)

u = (104,06-62,25)/97,74 ≅ 0,43m


Per la verifica dello SLU deve essere verificata la condizione: E(d) /R(d) ≤ 1 → che nel nostro caso può porsi come → σ(d) /f(d) ≤ 1 Dove: f(d) = qlim/γR → il coefficiente γR si assume dal gruppo R3

Per il calcolo della σ(d) si applica la formula prevista per la sollecitazione di pressoflessione in materiali non resistenti a trazione, che, adattata al nostro caso diventa: σ(d) = 2*W(d)/3*u*1000 = 2*97,74*103 / 3*430*1000 = 0,15N/mm2

Calcoliamo la portanza limite qlim con la formula di Terzaghi

qlim = εq*Nq*γ1*D + εγ*Nγ*γ2*B/2 (perché i coeff. sq e sγ sono = 1) I coefficienti Nq, Nγ sono quelli assunti in precedenza

Ricalcoliamo: B*; εq; εγ

B* = B -2*(e) = 1,70-2*(0,85-0,43) = 0,86m tgδ = S+S(q) / W(d) = (31,492+4,86)/ 97,74 = 36,35/97,74=0,372 m = 2 → (essendo L>>>B) ;

εq = (1-0,372)2 = 0,394 - εγ = (1-0,372)3 = 0,248 qlim = 0,394*41,4*18*0,70 + 0,248*46,5*18*0,86/2 = 205,53+89,26= qlim = 294,80 = 0,294N/mm2 → f(d) = 0,294/1,4 = 0,207 N/mm2

0,15/0,207 = 0,72 < 1 La verifica è soddisfatta

SPINTA DELLE TERRE-MURI DI SOSTEGNO - profcatasta · • Dall’angolo d’attrito δ tra terra e...

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