SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN CON POLOS COMPLEJOS …
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EJEMPLO DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN CON POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS Se tiene un sistema discreto con Función de transferencia ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 cos 0.7058 cos () 1.4116 0.6065 2 cos j j zz z z z z Hz z z z z z e z e θ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ ρ ρ − − − − = = = − + − + − − a) Obtener el diagrama de polos y ceros en el plano z En la función de transferencia se tienen los siguientes factores: ( ) ( )( ) 0.45 0.45 0.7058 () 0.7788 0.7788 j j zz Hz z e z e − − = − − De donde se obtienen las raíces en el plano z. 1 2 0.45 3,4 Ceros: 0 , cos 0.7058 , Polos: z 0.7788 0.45 25.78 cos 0.9063, j j z z e e θ ρ θ ρ θ θ ± ± = = = = = = = ° = El diagrama en el plano z se muestra a continuación: b) Empleando la “hoja de mapeo de características dinámicas” se muestra la ubicación del polo z 3 de donde se toman los valores aproximados de los parámetros dinámicos de segundo orden.
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EJEMPLO DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN CON POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS
Se tiene un sistema discreto con Función de transferencia
( )( )( )
2 2
2 2 2
cos0.7058 cos( )1.4116 0.6065 2 cos j j
z zz z z zH zz z z z z e z eθ θ
ρ θρ θρ θ ρ ρ ρ −
−− −= = =
− + − + − −
a) Obtener el diagrama de polos y ceros en el plano z En la función de transferencia se tienen los siguientes factores:
( )( )( )0.45 0.45
0.7058( )
0.7788 0.7788j j
z zH z
z e z e−
−=
− −
De donde se obtienen las raíces en el plano z.
1 20.45
3,4
Ceros: 0 , cos 0.7058 ,
Polos: z 0.7788 0.45 25.78
cos 0.9063,
j j
z z
e eθ
ρ θ
ρ
θθ
± ±
= = =
= =
= = °=
El diagrama en el plano z se muestra a continuación:
b) Empleando la “hoja de mapeo de características dinámicas” se muestra la ubicación del polo z3 de donde se toman los valores aproximados de los parámetros dinámicos de segundo orden.
0.45, 8.97 rad/seg 7n Tπξ ω = (T=.05 seg)
Nota: estos valore son muy aceptables ya que los exactos son
0.486, 10.29 rad/seg 6.1n Tπξ ω =
c) Con los valores obtenidos de la “hoja de mapeo de características dinámicas” podemos calcular los valores de sobrepaso y tiempo de levantamiento. El cálculo del sobrepaso puede hacerse con la gráfica 4.15, como se muestra a continuación.
El cálculo del tiempo de levantamiento es como sigue:
1 1
2 2
cos cos (0.45)
1 8.97 1 (0.45)1.104 2.037 0.25 seg
8.97(0.8930) 8.01
r
n
r
t
t
π ξ π
ω ξπ
− −− −= =
− −
−= = =
d) Con los valores obtenidos podemos visualizar la forma de la respuesta a escalón empleando Matlab. (T=.05 s). (Se observa que tr<0.05 seg y Mp=0.5)
