I. NUMEROS COMPLEJOS Y GRUPOS

1. Determinar la parte real e imaginaria de (1+ i)/(2− i), (2 + 3i)/(3− 2i), (1 + 2i)−2, y representargraficamente estos numeros complejos.

2. Sea z = a+ bi un numero complejo y sea ρ :=√a2 + b2 su modulo. Probar que una raız cuadrada

de z es√

ρ+a2 ± i

√ρ−a2 , donde el signo es + si b ≥ 0, y − si b < 0.

3. Hallar una raız cuadrada compleja de −2, i, −i, 3i, −4i, 1+i, −2+3i, (1+i)/(2−i), (2+3i)/(3−2i),y representarla graficamente.

4. Calcular el modulo y el argumento de los numeros complejos −1+ i, 1 + 2i, 3− 2i, −2− 3i, 2 + 2i,3 − 3i, −1 − i, 1 +

√3i, (1 + i)/(2 − i), (2 + 3i)/(3 − 2i), (1 + 2i)−2, (1 + i)−2, (−1 +

√3i)/(2i),

(1 + i)/(−2 + 2i), ei, −2e−i, eiπ/5/(1 +√3i), y representarlos graficamente.

5. Hallar la parte real e imaginaria, el modulo y el argumento, de las raıces cubicas y cuartas complejasde 1, i, −1, −i, 1+ i, −1+ i, 1−

√3i, −

√3− i, −2+3i, 3−2i, 2+3i, (1+ i)/(2− i), (2+3i)/(3−2i),

(1 + 2i)−2 y representarlas graficamente.

6. Si ρ ∈ R+ y θ ∈ R, probar que el conjugado de ρeθi es ρe−θi.

7. Hallar las raıces complejas de los polinomios x2 + 2x + 3, x2 + 1, x2 + 2, x3 − 2, x3 + 1, x3 + 2,x4 − 16, x4 + 1, x4 + 2, x6 − 16 y x8 + 16, y representarlas graficamente.

8. Sea P (x) = c0 + c1x+ c2x2 + . . .+ cnx

n un polinomio con coeficientes reales. Probar que si x = αes una raız compleja, entonces su conjugado x = α tambien, P (α) = 0.

9. Probar que si un numero complejo z no es nulo, entonces z/z tiene modulo 1 y su argumento es eldoble del argumento de z.

10. Si un numero complejo z = −1 es de modulo 1, probar que existe un numero real b tal que

z =1 + bi

1− bi·

11. Probar que la ecuacion x2 + y2 = 1 tiene infinitas soluciones racionales. ¿Cuantos angulos hay quetengan seno y coseno racionales? (Indicacion: Ejercicio 9).

12. ¿Existe algun numero complejo z de modulo 1 tal que zn = 1 para todo n ∈ N, n ≥ 1 ?

13. Si un numero complejo z no es real, demostrar que su argumento duplica al de z + |z|.(Indicacion: Elevar z + |z| al cuadrado).

14. Demostrar que los centros de los cuadrados levantados sobre dos lados de un triangulo siempreforman con el punto medio del tercer lado un triangulo rectangulo isosceles.

15. Determinar el modulo y el argumento de e1−i y e2+πi/3/(1−√3i), y representarlos graficamente.

16. Hallar la parte real e imaginaria de los numeros complejos ln(−1), ln i, ln(1+i), ln(1−i), ln(−2−3i),y representarlos graficamente.

17. ¿Es correcto el siguiente argumento?

2 = eln 2 = e2πiln 22πi = (e2πi)(ln 2)/(2πi) = 1(ln 2)/(2πi) = 1.

1

18. Si f : X → Y , g : Y → Z y h : Z → T son aplicaciones, probar que h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .

19. Si f : X → Y y g : Y → Z son aplicaciones, probar las siguientes afirmaciones:

a) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f tambien es inyectiva.

b) Si f y g son epiyectivas, entonces g ◦ f tambien es epiyectiva.

c) Si g ◦ f es inyectiva, entonces f tambien es inyectiva.

d) Si g ◦ f es epiyectiva, entonces g tambien es epiyectiva.

20. Dar un ejemplo de dos aplicaciones f : X → Y , g : Y → Z tales que g ◦ f sea inyectiva sin que losea g, y otro ejemplo en que g ◦ f sea epiyectiva sin que lo sea f .

21. Si τ ∈ Sn, n ≥ 3, es una permutacion tal que τ(1) = i, τ(2) = j, τ(3) = k, probar que (ijk) =τ · (123) · τ−1.

22. En S9, hallar el signo de σ = (126)(3854)(8256), su inverso σ−1 y una trasposicion τ tal queστ = τσ. Descomponer σ en producto de trasposiciones. Calcular σ2020.

Igualmente para τ = (19725)(621)(8345976).

23. Determinar σ ∈ S6 impar (resp. par) que unicamente deje fijo el 4, y calcular σ2021.

24. Sea σ ∈ Sn, n ≥ 3. Demostrar que si στ = τσ para toda permutacion τ ∈ Sn, entonces σ es laidentidad.

25. Calcular el determinate, el rango y la inversa en su caso, de las siguientes matrices1 12 123 12342 23 234 23413 34 341 34124 41 412 4123

,

−1 i −i1 −1 −1−1 i −i

,

1 2 3 43 1 −1 −34 3 2 12 −1 −4 −7

,

1 i 0 −ii 1 −1 00 1 i 1i −1 −i −1

.

26. Determinar el rango de la matriz A =

1 −2 3 5 −42 −4 6 5 22 −5 7 7 3−1 1 −2 −3 5

.

27. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1 −2 3 5 −42 −4 6 5 22 −5 7 7 3−1 1 −2 −3 5

xyztu

=

0000

Resolver tambien los correspondientes sistemas cuando la matriz de terminos independientes esuna de las siguientes:

2−6−7−3

,

1111

,

−3−112

.

2

28. Sean A y B dos matrices cuadradas de n filas. Probar que si AB = In, entonces A es invertible yA−1 = B, de modo que tambien BA = In.

Si A es una matriz invertible, probar que (A)−1 = A−1 y (At)−1 = (A−1)t, donde A denota lamatriz de coeficientes conjugados y At la matriz traspuesta.

Suponiendo que todas las matrices son cuadradas y tienen igual numero de columnas, y que lasinversas en cuestion existen, probar que (recuerdese que (AB)−1 = B−1A−1)

a) (I +A−1)−1 = A(A+ I)−1.

b) (A−1 +B−1)−1 = A(A+B)−1B = B(A+B)−1A.

c) (I +AB)−1 = I −AB(I +AB)−1.

d) (I +BA)−1 = A−1(I +AB)−1A.

e) (I +BtA−1B)−1 = B−1A(A+BBt)−1B.

29. La traza de una matriz cuadrada A = (aij) es trA :=∑

i aii = a11 + a22 + . . . + ann. Demostrarlas siguientes propiedades de la traza:

a) tr(λA+ µB) = λ(trA) + µ(trB).

b) trA = trAt.

c) tr(AB) = tr(BA).

d) Si B es invertible, tr(A) = tr(BAB−1).

e) Si tr(BA) = 0 para toda matriz cuadrada B, entonces A = 0.

f ) tr(AtA) ≥ 0, y si tr(AtA) = 0, entonces A = 0.

30. Si G es un grupo y a, b, c ∈ G, probar las siguientes afirmaciones:

a) Si ab = c, entonces b = a−1c y a = cb−1.

b) Si ab = ac, entonces b = c. Si ab = cb, entonces a = c.

c) Si ab = a, entonces b = 1. Si ab = b, entonces a = 1.

d) Si ab = 1, entonces a = b−1 y b = a−1.

e) (ab)−1 = b−1a−1.

f ) 1−1 = 1 y (a−1)−1 = a.

Cuando G es conmutativo, escribir estas propiedades en notacion aditiva.

31. Sea X = {x1, . . . , xr} un subconjunto finito de cardinal r de un grupo G. Probar que para todoelemento a ∈ G se cumple que aX := {ax1, . . . , axr} tambien tiene cardinal r.

32. Determinar si la suma usual de numeros define una estructura de grupo en los siguientes conjuntos:N, 2Z := {2n}n∈Z, {2n+ 1}n∈Z, {z ∈ C : |z| ≤ 1}, {z ∈ C : ez = 1}.

33. Determinar si el producto usual de numeros define una estructura de grupo en los conjuntos: N,2Z, {2n+ 1}n∈Z, R+, {z ∈ C : |z| = 1}, {z ∈ C : |z| ≤ 1}, {z ∈ C : zn = 1,∃0 = n ∈ N}.

34. Determinar si el producto de matrices define una estructura de grupo en Mn×n(K), donde K = Ro C, y en los siguientes conjuntos:

G = {A ∈Mn×n(C) : A−1 = A}G = {A ∈Mn×n(R) : At = A}

3

G = {A ∈Mn×n(C) : At = A}G = {A ∈Mn×n(K) : |detA| = 1}G = {A ∈Mn×n(R) : detA > 0}G = {A ∈Mn×n(R) : detA < 0}G = {A ∈Mn×n(K) : A2 = A}

35. Determinar si el conjunto G = R es grupo con la operacion x ∗ y := x + y − x · y, donde + y ·denotan la suma y el producto usuales de numeros reales. Igualmente para

a) G = (R∗)× R con la operacion (a, b) ∗ (c, d) := (ac, bc+ d).

b) G = R× R con la operacion (a1, b1) ∗ (a2, b2) := (a1a2 + b1b2, a1b2 + a2b1).

c) G = Z con la operacion a ∗ b := a+ b− 2.

d) G = R con la operacion x ∗ y := 3√x3 + y3.

e) G = Z con la operacion a ∗ b := |a+ b|.f ) G = C con la operacion x ∗ y := xy.

g) G = C con la operacion x ∗ y := x− y.

h) G = C con la operacion x ∗ y := x.

i) G = R3, (a, b, r) ∗ (a′, b′, r′) := (a+ a′, b+ b′, r + r′ + 12 (ba

′ − b′a)).

36. Probar que el grupo simetrico Sn no es conmutativo cuando n ≥ 3.

37. Probar que el grupo Gl(n,R) := {A ∈Mn×n(R) : |A| = 0} no es conmutativo cuando n ≥ 2.

38. Si G1 y G2 son dos grupos, probar que el conjunto G1 ×G2, con la operacion

(a1, a2) · (b1, b2) := (a1b1, a2b2)

tambien es un grupo, cuyo neutro es la pareja (1,1) y (a1, a2)−1 = (a−1

1 , a−12 ).

Ademas G1 ×G2 es conmutativo si y solo si G1 y G2 son conmutativos.

39. Si G es un grupo, probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) G es conmutativo.

b) (ab)n = anbn para todo a, b ∈ G y todo numero natural n.

c) (ab)2 = a2b2 para todo a, b ∈ G.

d) (ab)−1 = a−1b−1 para todo a, b ∈ G.

e) µ : G×G→ G, µ(a, b) = ab, es morfismo de grupos: µ(aa′, bb′) = µ(a, b) · µ(a′, b′).

40. Sea G un grupo. Si a2 = 1, ∀a ∈ G, probar que G es conmutativo.

41. Sea H un subconjunto no vacıo de un grupo G. Probar que H es un subgrupo de G si y solo siab−1 ∈ H, ∀a, b ∈ H.

42. Demostrar que el grupo especial ortogonal SO(n) := {A ∈ O(n) : detA = 1} es un subgrupodel grupo Gl(n,R), y que el grupo especial unitario SU(n) := {A ∈ U(n) : detA = 1} es unsubgrupo del grupo Gl(n,C).

43. Si H y H ′ son subgrupos de un grupo G, probar que H ′ ∩H tambien es un subgrupo de G.

44. Sean H, H ′ subgrupos de un grupo G. Si H ∪H ′ es subgrupo, probar que H ⊆ H ′ o H ′ ⊆ H.

4

45. Si H1 y H2 son dos subgrupos de un grupo conmutativo G, demostrar que

H1 +H2 := {a ∈ G : a = h1 + h2;∃h1 ∈ H1, h2 ∈ H2}es un subgrupo de G, y que es el menor subgrupo de G que contiene a H1 y a H2.

46. Si H1 y H2 son dos subgrupos de un grupo G, demostrar que

H1 ·H2 := {a ∈ G : ah1h2;∃h1 ∈ H1, h2 ∈ H2}es un subgrupo de G si y solo si H1 ·H2 = H2 ·H1.

47. Si G es un grupo, probar que H := {a ∈ G : ax = xa,∀x ∈ G} es un subgrupo de G.

48. Si un subgrupo H de Sn tiene alguna permutacion impar σ ∈ H, probar que la mitad de laspermutaciones de H son pares y la otra mitad son impares.

Concluir que el numero de permutaciones pares de n elementos es n!/2 = n(n− 1) . . . 3.

49. Definir una estructura de grupo en los siguientes conjuntos y determinar si las aplicaciones consi-deradas son morfismos de grupos, y en caso afirmativo determinar el nucleo y la imagen:

a) f : R → R, f(x) = 0, f(x) = 1, f(x) = |x|, f(x) = 2x, f(x) = x2, f(x) = senx, f(x) = ex.

b) f : R → R+, f(x) = 1, f(x) = x2 + 1, f(x) = |x|+ 1, f(x) = ex.

c) f : R+ → R+, f(x) = 1, f(x) = x2, f(x) = ex.

d) f : C → C, f(z) = 3z, f(z) = z3, f(z) = |z|, f(z) = z, f(z) = |z|2, f(z) = ez.

e) f : C → C∗, f(z) = 3z, f(z) = z3, f(z) = |z|, f(z) = z, f(z) = |z|2, f(z) = ez.

f ) f : C2 → C, f(x, y) = x+ y, f(x, y) = x+ y + 1, f(x, y) = xy, f(x, y) = x.

g) f : C2 → C2, f(x, y) = (y − x, 2y + x), f(x, y) = (x+ y, xy).

h) f : S3 → S3, f(σ) = σ−1, f(σ) = σ2.

i) f : Gl(2,C) → Gl(2,C), f(A) = A−1, f(A) = At, f(A) = A, f(A) = A2, f(A) = At.

50. Sea f : G→ G′ un morfismo de grupos. Si H es un subgrupo de G, probar que f(H) := {f(h)}h∈H

es un subgrupo de G′. Si H ′ es un subgrupo de G′, probar que f−1(H ′) := {a ∈ G : f(a) ∈ H ′} esun subgrupo de G.

51. Si f : G → G′ es un morfismo de grupos biyectivo, probar que la aplicacion inversa f−1 : G′ → Gtambien es morfismo de grupos.

52. Si G es un grupo y a ∈ G, probar que f : G→ G, f(x) = axa−1, es un morfismo biyectivo.

53. Sea a un elemento de un grupo finito G de cardinal n. Probar que existe algun numero naturalm ≥ 1 tal que am = 1. Si d es el primer numero natural positivo tal que ad = 1, probar queH = {a, a2, . . . , ad = 1} es un subgrupo de G de cardinal d. Concluir que d es un divisor de n.

a) Probar que todo grupo de cardinal ≤ 5 es conmutativo.

b) Determinar todos los subgrupos del grupo simetrico S3.

c) Determinar todos los subgrupos del grupo Cn := {z ∈ C : zn = 1} cuando n = 2, 3, 4, 5, 6, 7.

d) Probar que el grupo A4 = {σ ∈ S4 : sgn(σ) = 1} no tiene ningun subgrupo con 6 elementos.

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II. ESPACIOS VECTORIALES

1. Sea E un K-espacio vectorial y λ, µ ∈ K, e, u, v ∈ E: Probar las siguientes afirmaciones:

0 · e = 0 , λ · 0 = 0.

λ · (−e) = (−λ)e = −(λe) , (−1)e = −e.λ(e− v) = λe− λv , (λ− µ)e = λe− µe.

λe = 0 ⇒ λ = 0 o e = 0.

λe = µe y e = 0 ⇒ λ = µ.

λe = λv y λ = 0 ⇒ e = v.

2. Probar que un subconjunto no vacıo V de un espacio vectorial E es un subespacio vectorial cuandoλv + µv′ ∈ V para todo v, v′ ∈ V y todo λ, µ ∈ K.

3. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos de K3 son subespacios vectoriales?

a) V1 = {(x, y, z) ∈ K3 : x+ y + z = 1}.b) V2 = {(x, y, z) ∈ K3 : x+ y + z = 0}.c) V3 = {(x, y, z) ∈ K3 : xy = 0}.d) V4 = {(x, y, z) ∈ K3 : x = y = z}.e) V5 = {(x, y, z) ∈ K3 : x2 + y2 = 0}.

4. Probar que si V = 0 es un subespacio vectorial de K, entonces V = K.

5. Probar que K2 tiene infinitos subespacios vectoriales.

6. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas para cualesquiera subespacios vectorialesV, V1, V2 y V3 de un espacio vectorial E:

a) V + E = E ; V + V = V ; V + 0 = V ; V1 ⊆ V1 + V2 .

b) V1 + V2 = V1 ⇒ V2 = 0 ; V1 ⊆ V2 ⇔ V1 + V2 = V2.

c) (V1 + V2) ∩ V3 = (V1 ∩ V3) + (V2 ∩ V3).d) (V1 ∩ V2) + V3 = (V1 + V3) ∩ (V2 + V3).

7. Sean V1 y V2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E.

(a) Probar que si V1 ∪ V2 = E, entonces V1 = E o V2 = E.

(b) Probar que si V1 ∪ V2 es un subespacio vectorial de E, entonces V1 ⊆ V2 o V2 ⊆ V1.

8. Sean V = {(x, y, z) ∈ C3 : x+y = 0},W = {(x, y, z) ∈ C3 : y+z = 0}. ¿Es cierto que V +W = C3?¿y que V ∩W = 0? Considerese el vector e = (1 + i, 1 − i, 1) ∈ C3. ¿Es cierto que V + Ce = C3?¿y que V ∩ Ce = 0?

9. Dados dos vectores e, e′ en un K-espacio vectorial E, probar que Ke = Ke′ si y solo si e′ = λepara algun escalar λ = 0.

10. Sea V un subespacio vectorial de un K-espacio vectorial E y e ∈ E. Probar que si V ∩Ke = 0,entonces e ∈ V . Concluir que si e1, e2 ∈ E y Ke1 ∩Ke2 = 0, entonces Ke1 = Ke2.

11. Si v1, . . . , vm ∈ ⟨e1, . . . , en⟩, probar que ⟨e1, . . . , en⟩ = ⟨e1, . . . , en, v1, . . . , vm⟩.

6

12. Si v1, . . . , vr son vectores de un espacio vectorial E, probar que

⟨v1, . . . , vi, . . . vr⟩ = ⟨v1, . . . , λvi, . . . vr⟩ , 0 = λ ∈ K,⟨v1, . . . , vi, . . . vr⟩ = ⟨v1, . . . , vi + λvj , . . . vr⟩ , j = i.

13. Probar que si V y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E y existen vectorese1, e2 ∈ E tales que e1 + V = e2 +W , entonces V =W .

14. Probar que si subvariedades lineales X = p + V , Y = q +W de un espacio vectorial E se cortan,entonces X ∩ Y es una subvariedad lineal de direccion V ∩W .

15. Sean q1, . . . , qn puntos de una subvariedad lineal X = p+ V de un espacio vectorial E. Probar queλ1q1 + . . .+ λnqn esta en la subvariedad X cuando λ1 + . . .+ λn = 1, y que esta en su direccion Vcuando λ1 + . . .+ λn = 0.

16. Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, probar que E/V es un espacio vectorialcon las operaciones [e] + [u] := [e+ u], λ · [e ] := [λe ].

17. Probar que si unos vectores e1, . . . , en ∈ E son linealmente independientes, entonces ei = 0 paratodo ındice 1 ≤ i ≤ n, y tambien ei = ej para todo par de ındices 1 ≤ i < j ≤ n.

18. Si unos vectores e1, . . . , en ∈ E son linealmente independientes, demostrar que para cualquier ındice1 ≤ i < n se cumple que ⟨e1, . . . , ei⟩ ∩ ⟨ei+1, . . . , en⟩ = 0.

19. Probar que si unos vectores e1, . . . , en ∈ E son linealmente independientes y no generan E, entoncesexiste e ∈ E tal que e1, . . . , en, e son linealmente independientes.

20. Sean e1, . . . , en vectores de un espacio vectorial E y sea V un subespacio vectorial de E. Probarque si [e1], . . . , [en] son linealmente independientes en E/V , entonces los vectores e1, . . . , en ∈ Etambien son linealmente independientes.

21. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial E. Probar que si e1, . . . , en, v1, . . . , vm generanE y v1, . . . , vm ∈ V , entonces [e1], . . . , [en] generan E/V .

22. Sean V , W subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, y v1, . . . , vn ∈ V vectores linealmenteindependientes. Si V ∩W = 0, probar que [v1], . . . , [vn] ∈ E/W son linealmente independientes.

23. Sean V y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, y v1, . . . , vn un sistema de genera-dores de V . Si V +W = E, probar que los vectores [v1], . . . , [vn] generan E/W .

24. Sean V y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, y w1, . . . , wn ∈W , y consideremoslos vectores [w1], . . . , [wn] ∈ E/V . Si V ∩W = 0 y V +W = E, probar las siguientes afirmaciones:

a) Los vectores w1, . . . , wn generan W si y solo si [w1], . . . , [wn] generan E/V .

b) Los vectores w1, . . . , wn son linealmente independientes en W si y solo si [w1], . . . , [wn] sonlinealmente independientes en E/V .

25. En el espacio vectorial real P3 = R+ Rx+ Rx2 + Rx3, formado por los polinomios de grado ≤ 3,hallar una base del subespacio vectorial V generado por los polinomios 1+2x y 3x2+4x3, ampliarlahasta obtener una base de P3, y calcular las coordenadas del polinomio 1 + x+ x2 en tal base.

Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de V en alguna base de P3.

26. Hallar una base del subespacio vectorial de E = M2×2(R) formado por las matrices A simetricas,A = At, y ampliarla hasta obtener una base de E.

Igualmente para el subespacio vectorial formado por las matrices hemisimetricas, At = −A.

7

27. Hallar una base de P3 = R+ Rx+ Rx2 en que las coordenadas de 1 + 2x+ 3x2 sean (0,1,2).

28. Hallar una base de Ceix + Ce−ix en que las coordenadas de la funcion ie−ix + 2eix sean (1, i).

29. En el espacio vectorial complejo E = C+Ceix +Ce−ix, hallar una base del subespacio vectorial Vgenerado por ϕ1 = 1 + e−ix, ϕ2 = ieix − 1, ϕ3 = ieix + e−ix, y una relacion de dependencia linealλ1ϕ1 + λ2ϕ2 + λ3ϕ3 = 0. Calcular las coordenadas de ϕ = eix − 2ie−ix − i en tal base.

Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de V en alguna base de E.

30. Sea e1, e2, e3 una base de un espacio vectorial real E. Probar que v1 = e1 + e2, v2 = e2 + e3,v3 = e3 − e1, v4 = e1 + e2 + e3 generan E, y hallar una base de E contenida en tal sistema degeneradores. Hallar una relacion de dependencia lineal λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = 0.

31. Sea e1, e2 una base de un espacio vectorial E. Probar que v1 = e1 − 2e2, v2 = 2e1 + e2 forman unabase de E, y hallar las coordenadas de e1 y e2 en esta nueva base.

Hallar tambien una relacion de dependencia lineal λ1v1 + λ2v2 + λ3e2 = 0.

32. Probar que las funciones cosx, senx forman una base del C-espacio vectorial Ceix + Ce−ix.

33. Consideremos los vectores ϕ1 = eix + 2e2ix + 3e3ix, ϕ2 = −e2ix + e3ix − e4ix en el espacio vectorialcomplejo E = Ceix + Ce2ix + Ce3ix + Ce4ix. Ampliar {ϕ1, ϕ2} hasta obtener una base de E, ycalcular las coordenadas de ϕ = eix − e4ix en esta nueva base.

34. En el espacio vectorial P2 = R+Rx+Rx2, formado por los polinomios de grado ≤ 2, hallar basesde los subespacios vectoriales V = ⟨1 + x, x+ x2⟩, W = ⟨x2 − x, 1− x⟩, V +W y V ∩W .

Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de V , W y V ∩W en alguna base de P2.

35. En P2 = R + Rx + Rx2 = {ax2 + bx + c}a,b,c∈R Hallar una base del subespacio vectorial V deecuacion implıcita a+ 2b+ 3c = 0, y una base del subespacio vectorial W de ecuacion a+ 3c = 0.Hallar tambien bases de los subespacios vectoriales V +W y V ∩W .

36. En el espacio vectorial complejo P3 = {c0 + c1x + c2x2 + c3x

3}, hallar bases de V,W, V +W yV ∩W , donde V = ⟨1 + x+ x2 + x3, 1− x+ x2 − x3⟩ y W = ⟨x+ x3, 1 + 2x+ 3x2 + 4x3⟩.Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de V , W , V +W y V ∩W en alguna base de P3.

37. Sea e1, e2, e3, e4 una base de un espacio vectorial complejo E, y x1, x2, x3, x4 las coordenadas enesta base. Hallar bases de V,W, V +W y V ∩W , donde V = ⟨e1 + e2 + e3 + e4, e1 − e2 + e3 − e4⟩,y W es el subespacio vectorial de ecuaciones implıcitas x1 + ix2 + x3 = x3 + ix4 = 0.

Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de V , W y V ∩W en alguna base de E.

38. En el espacio vectorial complejo P4 = C+ Cx+ Cx2 + Cx3 + Cx4, hallar ecuaciones parametricase implıcitas del subespacio vectorial formado por los polinomios que admitan la raız x = i.

39. Considerese el espacio vectorial complejo E = C+Ceix +Ce−ix. Hallar ecuaciones parametricas eimplıcitas del subespacio vectorial formado por las funciones ϕ(x) ∈ E que se anulen en x = 0.

40. Si e, v son vectores no nulos de un espacio vectorial E, y v /∈ Ke, probar que dim (Ke+Kv) = 2.

41. Probar que dos vectores no nulos e, v de un espacio vectorial E de dimension 2 forman una basede E si y solo si v = λe para todo escalar λ.

42. Si dos subvariedades lineales paralelas son de igual dimension, probar que sus direcciones coinciden.

8

43. Si tres puntos a, b = a + e, c = a + v forman un triangulo (i.e. no estan alineados), probar quelos vectores e y v son linealmente independientes.

Concluir que por tres puntos no alineados a, b = a+ e, c = a+ v pasa un unico plano a+Ke+Kv,formado por las combinaciones lineales αa+ βb+ γc con α+ β + γ = 1.

44. Probar que en un paralelogramo abcd (4 puntos distintos en los que no hay tres alineados, de

lados opuestos paralelos, ab ∥ cd y ac ∥ bd) los lados opuestos son iguales: ab = cd y ac = bd.

45. Teorema de Tales (s. VI a. de C.): Si en un triangulo abc se traza una recta paralela a un lado bc,que corta a los otros dos lados en b′ y c′, entonces ab es a ab′ como ac es a ac′, y como bc es a b′c′

(es decir, si b′ − a = λ(b− a), tambien c′ − a = λ(c− a) y c′ − b′ = λ(c− b)).

Recıprocamente, dados puntos b′ y c′ en los lados ab y ac, si ab es a ab′ como ac es a ac′, entoncesla recta b′c′ es paralela al tercer lado bc.

46. Teorema de Pappus (c. 290-350): Dados puntos distintos a, b, c ∈ R, a′, b′, c′ ∈ R′ en dos rectasconcurrentes R y R′, si la recta b′a es paralela a ba′, y b′c es paralela a bc′, entonces la recta c′a esparalela a la recta ca′.

Dados puntos distintos a, b, c ∈ R, a′, b′, c′ ∈ R′ en dos rectas paralelas R y R′, si la recta b′a esparalela a ba′, y b′c es paralela a bc′, entonces la recta c′a es paralela a la recta ca′.

47. Teorema de Desargues (1591-1661): Dadas tres rectas distintas A,B,C concurrentes en un puntop, y dos triangulos abc y a′b′c′ con un vertice en cada una de esas rectas (y distintos de p), si ellado ab es paralelo a a′b′ y el lado ac es paralelo a a′c′, entonces el lado bc es paralelo a b′c′.

Dadas tres rectas paralelas distintas A,B,C y dos triangulos abc y a′b′c′ con un vertice en cadauna de esas rectas, si el lado ab es paralelo a a′b′ y el lado ac es paralelo a a′c′, entonces el lado bces paralelo a b′c′.

48. Probar que las medianas (rectas que unen un vertice con el punto medio del lado opuesto) de untriangulo abc se cortan en un punto, llamado baricentro. (Indicacion: Es g = a+b+c

3 .)

Si los vertices de dos triangulos abc y a′b′c′ yacen en tres rectas paralelas (es decir a′a ∥ b′b ∥ c′c)entonces la recta que pasa por sus baricentros tambien es paralela a dichas rectas.

49. Sea E un espacio vectorial de dimension n ≥ 2. Probar las siguientes afirmaciones:

a) Si n = 2, dos rectas de E no paralelas se cortan siempre en un unico punto.

b) Si n = 3, dos planos de E no paralelos se cortan siempre en una recta, y una recta y un planono paralelos se cortan siempre en un unico punto.

c) Si n = 4, existen dos planos en E que se cortan en un unico punto, y tambien existen dosplanos no paralelos que no se cortan.

d) Si una recta y una subvariedad lineal de dimension n − 1 de E no son paralelas, entonces secortan en un unico punto.

50. Sean V,W dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E. Si v1, . . . , vm es una base de Vy u1, . . . , un es una base de W , probar que los vectores v1, . . . , vm, u1, . . . , un generan V +W , demodo que dim (V +W ) ≤ dimV + dimW . Si ademas su interseccion es nula, V ∩W = 0, probarque v1, . . . , vm, u1, . . . , un es una base de V +W , y que dim (V +W ) = dimV + dimW .

9

III. APLICACIONES LINEALES

1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales:

a) K = R; f : R2 −→ R, f(x, y) = x+ 2y + 3.

b) K = C; f : C2 −→ C3, f(x, y) = (ix, 0, x+ iy).

c) K = C; f : C2 −→ C2, f(x, y) = (xy, x+ y).

d) K = R; f : R −→ R2, f(x) = (x, x3).

2. Probar que si dos aplicaciones f : E → E′ y h : E′ → E′′ son antilineales, entonces su composicionh ◦ f es lineal; y que si una es lineal y la otra antilineal, entonces h ◦ f es antilineal.

3. Probar que la conjugacion f : C → C, f(z) = z, es R-lineal y antilineal; pero no es C-lineal.

4. Si f, h : E → E′ son aplicaciones K-lineales y λ ∈ K, probar que son lineales las aplicaciones

f + h : E → E′, (f + h)(e) = f(e) + h(e),

λf : E → E′, (λf)(e) = λ(f(e)

).

5. Si E es un K-espacio vectorial, probar que la aplicacion f : E → E ×E, f(e) = (e, e), es K-lineal.

Si f : E → E′ y g : F → F ′ son aplicaciones K-lineales, probar que tambien es lineal la aplicacionf × g : E × F → E′ × F ′, (f × g)(e, v) = (f(e), g(v)).

Si f : E → E′ y g : E → F ′ son aplicaciones K-lineales, probar que tambien es lineal la aplicacionϕ : E → E′ × F ′, ϕ(e) = (f(e), g(e)).

6. Sea f : E → E′ una aplicacion lineal inyectiva. Si e1, . . . , en ∈ E son linealmente independientes,probar que f(e1), . . . , f(en) ∈ E′ tambien son linealmente independientes.

7. Sea f : E → E′ una aplicacion lineal epiyectiva. Si unos vectores e1, . . . , en ∈ E generan E, probarque los vectores f(e1), . . . , f(en) ∈ E′ generan E′.

Dada una matriz A ∈ Mm×n(K), si existen B,C ∈ Mn×m(K) tales que BA = In y AC = Im,probar que m = n, de modo que A es una matriz cuadrada invertible. (Indicacion: Considerar lasaplicaciones f : Kn → Km y g, h : Km → Kn definidas por las matrices A,B,C.)

8. Si f : E → E′ es una aplicacion antilineal, probar que su nucleo Ker f es un subespacio vectorialde E, y que su imagen Im f es un subespacio vectorial de E′.

9. Si f : E → F es lineal y v ∈ Im f , probar que f−1(v) := {e ∈ E : f(e) = v} es una subvariedadlineal de E de direccion Ker f ; es decir, que f−1(v) = e+Ker f para algun e ∈ E.

10. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial E. Probar que la aplicacion π : E → E/V ,π(e) = [e], es una aplicacion lineal epiyectiva y que su nucleo es Kerπ = V .

11. Si f : K → K es una aplicacion K-lineal, probar que existe a ∈ K tal que f(x) = ax, ∀ ∈ K.

12. Hallar la matriz de f : P1 = C+ Cx→ P2 = C+ Cx+ Cx2, f(a+ bx) = a+ ib+ (a− ib)x+ iax2,en las bases 1 + ix, i+ x de P1 y 1 + ix, x+ ix2, x2 de P2.

13. Sea f : R3 → R2, f(X) = AX, la aplicacion lineal que define la matriz A =

(3 2 11 2 3

).

Calcular la matriz de f en las bases usuales de R3 y R2.

Hallar bases e1, e2, e3 y e′1, e′2 de R3 y R2 en que la matriz de f sea

(1 0 00 1 0

).

10

14. Hallar la matriz de ddx : P2 = C+Cx+Cx2 → P1 = C+Cx en las bases 1, x, x2 de P2 y 1, x de P1.

Determinar bases e1, e2, e3 de P2 y y e′1, e′2 de P1 en que la matriz sea

(1 0 00 1 0

).

15. Calcular la matriz de f : K3 → K2, f(x, y, z) = (y − x, z − y) en las bases usuales de K3 y K2.

¿Es posible elegir las bases de modo que la matriz de f sea

(1 0 00 1 0

)?

¿y de modo que sea

(1 0 00 0 0

)?

16. Sea E = Ceix + Ce−ix + Ce2ix + Ce−2ix. Hallar la matriz de la aplicacion lineal ddx : E → E en

alguna base ψ1, ψ2, ψ3, ψ4 de E.

17. Sea f : E → E′ una aplicacion lineal inyectiva (resp. epiyectiva). Si dim E = dim E′ = 2, probar

que la matriz de f en ciertas bases e1, e2 de E y e′1, e′2 de E′ es

(1 00 1

).

18. Sea f : E → E′ una aplicacion lineal inyectiva. Si dim E = 2 y dim E′ = 3, probar la existencia deuna base e1, e2 en E y una base e′1, e

′2, e

′3 en E′ en que la matriz de f es1 0

0 10 0

.

19. Sea f : E → E′ una aplicacion lineal epiyectiva. Si dim E = 3 y dim E′ = 2, probar la existenciade una base e1, e2, e3 en E y una base e′1, e

′2 en E′ en que la matriz de f es(1 0 00 1 0

).

20. Sean f, g : E → E′ dos aplicaciones lineales, y sean A,B sus respectivas matrices en ciertas basese1, . . . , en de E y e′1, . . . , e

′m de E′. Si A = B, probar que f = g.

21. Si A,B ∈Mm×n(K), probar que rg (A+B) ≤ rgA+ rgB. (Indicacion: Im (f + g) ⊆ Im f + Im g.)

Si A ∈Mm×n(K) y B ∈Mn×r(K), probar que rg (AB) ≤ rgA y rg (AB) ≤ rgB.

22. Sea f : E → E′ una aplicacion lineal. Demostrar las siguientes afirmaciones:

a) Si V es un subespacio vectorial de E, entonces f(V ) := {e′ ∈ E′ : e′ = f(v),∃v ∈ V } ={f(v)}v∈V es un subespacio vectorial de E′.

b) Si W es un subespacio vectorial de E′, entonces f−1(W ) := {e ∈ E : f(e) ∈ W} es un subes-pacio vectorial de E.

c) Si V es un subespacio vectorial de E, entonces f−1(f(V )) = V +Ker f .

d) Si W es un subespacio vectorial de E′, entonces f(f−1(W )) =W ∩ Im f .

23. Sea f : E → E′ una aplicacion lineal y V, W dos subespacios vectoriales de E. Probar que

a) f(V +W ) = f(V ) + f(W )

b) f(V ∩W ) ⊆ f(V ) ∩ f(W )

y que se da la igualdad f(V ∩W ) = f(V ) ∩ f(W ) cuando f es inyectiva.

11

24. Sea f : E → F una aplicacion lineal y V, W dos subespacios vectoriales de F . Probar que

a) f−1(V ∩W ) = f−1(V ) ∩ f−1(W )

b) f−1(V +W ) ⊇ f−1(V ) + f−1(W )

y que se da la igualdad f−1(V +W ) = f−1(V ) + f−1(W ) cuando f es epiyectiva.

25. Sea f : E → E′ un isomorfismo lineal. Probar que unos vectores e1, . . . , en ∈ E son linealmenteindependientes si y solo si f(e1), . . . , f(en) ∈ E′ son linealmente independientes , y que los vectorese1, . . . , en generan E si y solo si f(e1), . . . , f(en) generan E

′.

26. Sea E un K-espacio vectorial. Probar que el conjunto G de los automorfismos K-lineales de E(los isomorfismos K-lineales E ∼−−→ E), con la composicion de aplicaciones, es un grupo.

27. Sea f : E → E′ un isomorfismo y S un subconjunto de E. Probar que S es un subespacio vectorialde E si y solo si f(S) := {f(e)}e∈S = {e′ ∈ E′ : e′ = f(e),∃e ∈ S} es un subespacio vectorial deE′, y que S es una subvariedad lineal de E si y solo si f(S) es una subvariedad lineal de E′.

28. Sean V y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial E. Si E = V ⊕W , demostrar que laaplicacion f : W → E/V , f(w) = [w], es un isomorfismo.

29. Sea E un espacio vectorial. Demostrar que E/E ≃ 0 y E/0 ≃ E.

30. Probar que la matriz A de un isomorfismo f :E ∼−→E′ en cualesquiera bases e1, . . . , en y e′1, . . . , e′n de

E y E′ siempre es invertible, y que su inversa A−1 es la matriz del isomorfismo inverso f−1 : E′ → Een las bases consideradas.

31. Sea E, E′ dos espacios vectoriales de dimension finita n, y f : E → E′ una aplicacion lineal. Probarque f es inyectiva si y solo si es epiyectiva. (Indicacion: dim (Ker f) + dim (Im f) = dimE.)

32. Si f : E → E′ es una aplicacion antilineal biyectiva, probar las siguientes afirmaciones:

a) La aplicacion f−1 : E′ → E tambien es antilineal y biyectiva.

b) Unos vectores e1, . . . , en ∈ E son linealmente independientes si y solo si f(e1), . . . , f(en) sonlinealmente independientes .

c) Unos vectores e1, . . . , en ∈ E generan E si y solo si f(e1), . . . , f(en) generan E′.

d) dimE = dimE′.

33. Si f : E → E′ es una aplicacion antilineal, probar que es constante en las subvariedades linealese + Ker f con direccion el nucleo, y que la aplicacion ϕ : E/Ker f → Im f , ϕ([e]) = f(e), es unisomorfismo antilineal. Concluir que dimE = dim (Ker f) + dim (Im f).

34. Se dice que una matriz A = (aij) ∈ Mn×n(K) es triangular si aij = 0 cuando i > j. Dadauna matriz invertible A ∈ Gl(n,K), considerese el isomorfismo f : Kn → Kn, f(X) = AX, y lossubespacios vectoriales Vi = ⟨e1, . . . , ei⟩ de Kn, donde e1, . . . , en es la base usual de Kn. Probarque la matriz A es triangular si y solo si f(Vi) = Vi, ∀i = 1, . . . , n. Concluir que las matricestriangulares invertibles forman un subgrupo del grupo lineal Gl(n,K).

Probar que las matrices triangulares A ∈ Gl(n,K) con todos los terminos de la diagonal igualesa la unidad, a11 = . . . = ann = 1, tambien forman un subgrupo de Gl(n,K). (Indicacion: Estacondicion significa que f(e1) = e1, f(e2) ∈ e2 + V1, . . . , f(ei) ∈ ei + Vi−1, . . .)

12

35. Sea e1, e2, e3, e4 una base de un espacio vectorial E, y x1, x2, x3, x4 las coordenadas en esta base. SiV es el subespacio vectorial de ecuaciones implıcitas x1 + x2 + x3 + x4 = 0 , x1 − x2 + x3 − x4 = 0,y W es el de ecuaciones implıcitas x1 + x3 = 0 , x2 − x4 = 0, hallar ecuaciones parametricas de Vy de W . Hallar tambien ecuaciones parametricas e implıcitas de V +W y de V ∩W .

36. En el espacio vectorial complejo C+Cex +Ce−x, calcular ecuaciones implıcitas de los subespaciosvectoriales V = ⟨ex − ie−x⟩, W = ⟨1 + i+ (1− i)ex + 2e−x, 1− iex + (1− i)e−x⟩, V +W , V ∩W .

37. Sea e1, e2, e3, e4 una base de un espacio vectorial complejo E, y x1, x2, x3, x4 las coordenadas enesta base. Calcular ecuaciones implıcitas del subespacio vectorial V = ⟨e1 + ie2 + e4, e2 − ie3⟩ yecuaciones parametricas del subespacio vectorial W de ecuaciones implıcitas x1 + ix2 − 2x4 = 0,x1 − 2x3 + x4 = 0. Hallar tambien ecuaciones parametricas e implıcitas de V +W y de V ∩W .

38. En el espacio vectorial complejo P3 = C + Cx + Cx2 + Cx3 = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3}, calcularecuaciones implıcitas de V = ⟨1 + x3, x + ix2⟩ y ecuaciones parametricas del subespacio vectorialW de ecuaciones a0 + ia1 + a2 = 0, a1 + a2 + a3 = 0. Hallar tambien ecuaciones parametricas eimplıcitas de V +W y de V ∩W .

39. Sea P2 = R + Rx + Rx2. Determinar ecuaciones parametricas e implıcitas del nucleo y la imagende la aplicacion lineal f : P2 → P2, f(ax

2 + bx+ c) = b− c+ (c− a)x+ (a− b)x2. Hallar tambienecuaciones parametricas e implıcitas de (Ker f) + (Im f) y de (Ker f) ∩ (Im f).

40. Hallar la matriz de f : C3 → C3, f(x, y, z) = (x + z, ix + y, iy + z) en la base usual de C3. Hallarecuaciones parametricas e implıcitas de Ker f , Im f , (Ker f) + (Im f) y (Ker f) ∩ (Im f).

41. Hallar la matriz de f : R4 → R4, f(x, y, z, t) = (x− y, x− y, x− z, x− z− t) en la base usual de R4.Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de Ker f , Im f , (Ker f) + (Im f) y (Ker f) ∩ (Im f).

42. Determinar ecuaciones parametricas e implıcitas del nucleo y la imagen de la derivada

ddx : R+ Rx+ Rx2 + Rx3 −→ R+ Rx+ Rx2 + Rx3.

Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de (Ker ddx ) + (Im d

dx ) y de (Ker ddx ) ∩ (Im d

dx ).

43. Determinar ecuaciones parametricas e implıcitas del nucleo y la imagen de la derivada

ddx : C+ Ceix + Ce−ix + Cex −→ C+ Ceix + Ce−ix + Cex.

Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de (Ker ddx ) + (Im d

dx ) y de (Ker ddx ) ∩ (Im d

dx ).

44. Sea P2 = R + Rx + Rx2 = {ax2 + bx + c}. Dar una aplicacion lineal f : P2 → P2 cuyo nucleo seael subespacio vectorial a + b + c = 0. Dar tambien una aplicacion lineal f : P2 → P2 cuya imagensea el subespacio vectorial a+ b+ c = 0.

45. Dar una aplicacion R-lineal f : M2×2(R) −→ P2 = R + Rx + Rx2 cuyo nucleo sea el subespacio

vectorial V generado por las matrices

(1 23 4

)y

(1 01 0

).

Dar una aplicacion R-lineal f : P2 = R+ Rx+ Rx2 −→M2×2(R) de imagen V .

46. Si (t, x, y, z) son las coordenadas de un vector e en una base e0, e1, e2, e3, determinar las coordenadas(t′, x′, y′, z′) del vector e en la base e′0, e1, e2, e3, donde e

′0 = e0 + v1e1 + v2e2 + v3e3.

47. Sea E un espacio vectorial, V ⊂ E un subespacio vectorial y sea U = {e ∈ E : e /∈ V }. Probar quesi f : E → F es una aplicacion lineal y f(V ) = F , entonces tambien f(U) = F . (Indicacion: Probarla existencia de un vector u ∈ Ker f tal que u /∈ V ).

13

IV. GEOMETRIA EUCLIDEA

1. Demostrar que ⟨e|0⟩ = ⟨0|e⟩ = 0, y que ∥λe∥ = |λ| · ∥e∥ para todo λ ∈ K, e ∈ E.

2. Dados vectores no nulos e, v, demostrar que |⟨e|v⟩| = ∥e∥ · ∥v∥ si y solo si e y v son proporcionales,es decir, v = λe para algun escalar λ ∈ K.

Probar que ∥e+ v∥ = ∥e∥+ ∥v∥ si y solo si v = λe para algun numero real positivo λ ∈ R+.

3. En el caso real, probar que el angulo que forman dos vectores no nulos e, v coincide con el queforman λe y µv cuando λµ > 0.

4. Para cualesquiera numeros reales positivos x1, . . . , xn, demostrar que

1 ≤(x1+...+xn

n

) (x−11 +...+x−1

n

n

), (x1 + . . .+ xn)

2 ≤ n(x21 + . . .+ x2n) ,

(x1 + . . .+ xn)2 ≤ (x1 + 2x2 + . . .+ nxn)(x1 +

12x2 + . . .+ 1

nxn).

5. En el caso real, K = R, demostrar las siguientes afirmaciones:

a) Las paralelas a dos lados de un triangulo que pasan por el baricentro dividen al tercer lado entres segmentos iguales.

b) La suma de los cuadrados de los lados de un triangulo es cuatro tercios de la suma de loscuadrados de las tres medianas, y tambien es el triple de la suma de los cuadrados de lossegmentos que unen el baricentro con los vertices.

c) En todo triangulo, la suma de los cuadrados de dos lados es el doble de la suma de los cuadradosde la mitad del tercer lado y de la mediana correspondiente.

d) Si un triangulo tiene dos medianas iguales, entonces es isosceles o equilatero.

e) Probar que las tres alturas de un triangulo se cortan en un punto (llamado ortocentro).

f ) Probar que el producto de los segmentos en que cada altura de un triangulo queda divididapor el ortocentro es igual en las tres alturas.

g) La suma de los cuadrados de los lados de un cuadrilatero es la suma de los cuadrados de lasdos diagonales mas 4 veces el cuadrado del segmento que une sus puntos medios.

h) La suma de los cuadrados de las cuatro diagonales de un paralelepıpedo es la suma de loscuadrados de las doce aristas.

i) Teorema de Apolonio (c. 260-190 a. de C.): Dado un triangulo de lados a, b, c, sim es la medianatrazada sobre el lado c, se cumple que a2 + b2 = 1

2c2 + 2m2.

6. Sea E un espacio vectorial euclıdeo y f : E → E una aplicacion lineal tal que f(e) · f(v) = e · v,∀e, v ∈ E. Probar que f es un isomorfismo lineal.

7. Dado un producto escalar en un espacio vectorial E, y vectores v1, . . . , vd ∈ E, probar que laaplicacion f : E → Kd, f(e) = (v1 · e, . . . , vd · e) es lineal.

8. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E. Determinar el nucleo y la imagende la simetrıa SV : E → E respecto de V , y de la proyeccion ortogonal PV : E → E sobre V .

9. Sea u1, u2, u3, u4 una base ortonormal de un espacio vectorial hermıtico y x1, x2, x3, x4 las coor-denadas en esta base. Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas, y una base ortonormal, delsubespacio vectorial V = ⟨u1 + iu3,−iu2 +2u3 +3iu4⟩ y de V ⊥. Analogamente para el subespaciovectorial W de ecuaciones implıcitas x1 − ix2 + x3 = 0, ix2 + x3 + 2x4 = 0.

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10. Cuando a1 . . . , an son numeros enteros distintos, hallar una base ortonormal del espacio hermıticoE = Cea1ix + . . .+ Ceanix, con el producto escalar ⟨ϕ(x)|ψ(x)⟩ :=

∫ π

−πϕ(x)ψ(x) dx.

11. Probar que (Ku1 + . . .+Kui)⊥ = Kui+1 + . . .+Kun, cuando u1, . . . , un es una base ortonormal

de un espacio euclıdeo E.

12. Sea u1, . . . , un una base ortonormal de un espacio euclıdeo E. Probar que las coordenadas en estabase de cualquier vector e ∈ E son ⟨u1|e⟩, . . . , ⟨un|e⟩.

13. Si u1, . . . , un es una base ortonormal , probar la formula de Parseval (1755-1836)

∥e∥2 =∑

i |⟨ui|e⟩|2, ∀e ∈ E.

Probar tambien que ⟨e|v⟩ =∑

i⟨e|ui⟩⟨ui|v⟩, ∀e, v ∈ E.

14. Probar que, en un espacio euclıdeo E, toda familia de vectores u1, . . . , ud de modulo 1 y mutuamenteortogonales puede ampliarse hasta obtener una base ortonormal u1, . . . , ud, . . . , un de E. Probar ladesigualdad de Bessel (1784-1846)

|⟨u1|e⟩|2 + . . .+ |⟨ud|e⟩|2 ≤ ∥e∥2, ∀e ∈ E.

15. Sea E un espacio vectorial euclıdeo. Probar que si (x1, . . . , xn) son las coordenadas de un vectore ∈ E en una base ortonormal u1, . . . , un de E, y (y1, . . . , yn) son las coordenadas de e en otra baseortonormal v1, . . . , vn de E, se cumple que

xi =∑

j⟨ui|vj⟩yj , yj =∑

i⟨vj |ui⟩xi .

16. Sea u1, u2, u3, u4 una base ortonormal de un espacio vectorial hermıtico, y x1, x2, x3, x4 las coorde-nadas en tal base. Hallar la distancia del punto q = u1+2iu2+u4 al plano de ecuaciones x1+x2 = 1,ix3−x4 = 2, a la recta x1+x2 = i, x3−x4 = 2i, ix2+x3 = 0, a la recta que pasa por p = iu1+u4con direccion ⟨u2 + u3⟩ y al plano que pasa por p con direccion ⟨iu1 + u2 + iu3, u2 + u4⟩.(b) Hallar el simetrico y la proyeccion ortogonal de e = iu1 + 2u2 + iu4 respecto del hiperplano deecuacion x1 + x3 + x4 = 0 y respecto del plano de ecuaciones x1 + x3 + x4 = 0, x1 − ix2 = 0.

17. Sea u1, u2, u3 una base ortonormal de un espacio vectorial hermıtico, y x1, x2, x3 las coordenadasen tal base. Calcular la matriz de la simetrıa SV , y de la proyeccion ortogonal PV cuando

a) V = ⟨iu1 − iu2⟩.b) V = ⟨u1 + iu2, u2 − iu3⟩.c) V es la recta de ecuaciones x1 = ix2 = (1 + i)x3.

d) V es el plano de ecuacion x1 − ix2 + x3 = 0.

18. En el espacio hermıtico C + Cei2πx + Ce−i2πx, donde ⟨ϕ(x)|ψ(x)⟩ :=∫ 1

0ϕ(x)ψ(x) dx, calcular las

matrices, en la base 1, ei2πx, e−i2πx, de la proyeccion ortogonal y de la simetrıa respecto de losestados Cϕ y Cψ, donde ϕ =

√2 + i

√2ei2πx + e−i2πx, y ψ = 1 + iei2πx.

19. Consideremos en el espacio vectorial real E = C el producto escalar ⟨z1|z2⟩ = z1z2 + z1z2. Hallaruna base ortonormal, y determinar si son isometrıas las aplicaciones f : C → C, f(z) = z2, yha : C → C, ha(z) = az, donde a ∈ C.

20. Probar que la traza tr : Mn×n(K) → K, tr (aij) = a11 + . . . + ann, es una aplicacion lineal y queun producto escalar en Mn×n(K) es ⟨A|B⟩ := tr AtB. Hallar una base ortonormal de M2×2(C).

21. Hallar una base ortonormal de P2 = C+ Cx+ Cx2, cuando ⟨p(x)|q(x)⟩ :=∫ 1

0p(x)q(x) dx.

15

22. Si e1, e2 es una base ortonormal de un plano hermıtico E, hallar otra base ortonormal de E quetenga algun vector en la direccion del vector ie1 + 2e2.

23. Si e1, e2, e3 es una base ortonormal de un espacio vectorial hermıtico E, hallar otra base ortonormalde E que tenga algun vector proporcional al vector e1 − ie2 + e3.

24. Sea E un espacio vectorial euclıdeo y T : E → E una aplicacion lineal. Probar que si A = (aij)es la matriz de T en una base ortonormal u1, . . . , un, y C = (ckl) es la matriz de T en otra baseortonormal v1, . . . , vn, se cumple que

ckl =n∑

ij=1

⟨vk|ui⟩aij⟨uj |vl⟩ , aij =n∑

kl=1

⟨ui|vk⟩ckl⟨vl|uj⟩ .

25. Sea V un subespacio vectorial de dimension n− 1 de un espacio vectorial euclıdeo E de dimensionn, y sea u un vector de modulo 1 ortogonal a V . Si SV : E → E es la simetrıa respecto de V , probarque SV (e) = e− 2⟨u|e⟩u para todo e ∈ E.

26. Si u es un vector de modulo 1, probar que el cuadrado de la distancia del punto q = p+ e a la rectap+Ku es precisamente ⟨e|e⟩ − |⟨u|e⟩|2.

27. Si e1, e2 es una base ortonormal de un plano euclıdeo E, probar que la distancia del punto decoordenadas (x0, y0) a la recta de ecuacion ax+ by + c = 0 es precisamente

|ax0 + by0 + c|√|a|2 + |b|2

·

28. Sea E un espacio vectorial euclıdeo. Diremos que un isomorfismo lineal f : E → E es una isometrıao un operador unitario cuando conserva el producto escalar: ⟨e|v⟩ = ⟨f(e)|f(v)⟩, ∀e, v ∈ E.Demostrar que todo operador unitario f : E → E conserva modulos y distancias:

∥f(e)∥ = ∥e∥ , d(f(p), f(q)) = d(p, q).

29. Sea u1, . . . , un una base ortonormal de un espacio vectorial euclıdeo E. Probar que una aplicacionlineal f : E → E es un operador unitario si y solo si f(u1), . . . , f(un) es base ortonormal de E.

30. Sea u1, . . . , un una base ortonormal de un espacio vectorial euclıdeo E. Si e1, . . . , en es otra basede E y B = (bij) es la matriz de cambio de base, ej =

∑i bijui, probar que e1, . . . , en es una base

ortonormal si y solo si B es una matriz unitaria, BtB = In.

31. Comprobar que, para cualesquiera numeros reales θ, α, β, las siguientes matrices son unitarias:cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 00 0 1

,

(e−i(α+β) cos θ −ei(β−α) sen θei(α−β) sen θ ei(α+β) cos θ

)

32. Si f es una isometrıa de un espacio vectorial euclıdeo E y V es un subespacio vectorial de E,

demostrar que f(V ⊥) =(f(V )

)⊥.

33. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E. Probar que la simetrıa SV : E → Ees un operador unitario.

34. Si E es un espacio vectorial con un producto escalar, demostrar que el conjunto G de todas lasisometrıas E → E, con la composicion de aplicaciones, es un grupo.

16

V. ENDOMORFISMOS

1. Sea E un K-espacio vectorial y λ ∈ K. Si S, T : E → E son endomorfismos, probar que tambien loson las siguientes aplicaciones S + T : E → E, λT : E → E, ST : E → E:

(S + T )(e) := S(e) + T (e) , (λT )(e) := λ(T (e)) , (ST )(e) := S(T (e)).

a) Probar que, con esta suma y producto por escalares, el conjunto End(E) formado por todoslos endomorfismos de E tambien es un K-espacio vectorial

b) Si S, T, U ∈ End(E), probar que S(T + U) = ST + SU y que (T + U)S = TS + US.

2. Sea E un espacio vectorial complejo de base e1, e2. Dar dos endomorfismos S, T de E que noconmuten, ST = TS, y demostrar que (S+T )2 = S2+T 2+2ST . Dar tambien dos endomorfismosno nulos S, T de E tales que ST = 0.

3. Sean u, v vectores de un espacio vectorial euclıdeo E, y consideremos el endomorfismo T : E → E,T (e) = ⟨u|e⟩v. Calcular el endomorfismo T 2 : E → E.

¿Cuando es T la proyeccion ortogonal sobre un subespacio vectorial de E?

4. Determinar un endomorfismo T : R2 → R2 tal que (1, 0) sea un vector propio de valor propio 1 y(1,1) sea un vector propio de valor propio 2.

5. Consideremos el endomorfismo T : R3 → R3, T (x, y, z) = (ay + 4z, 14x,34y). Determinar los valores

de a ∈ R para los que (12,2,1) es un vector propio de T .

6. Consideremos una base e1, e2, e3 de un espacio vectorial complejo E, y el endomorfismo T : E → E,T (x1e1 + x2e2 + x3e3) = (x1 + x2 + ax3)e1 + x1e2 + ( 12x2)e3. Determinar los valores de a ∈ C paralos que 8e1 + 4e2 + e3 es un vector propio de T .

7. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E. Si V = 0, E, probar que losvalores propios de la simetrıa SV : E → E son 1 y −1, y que los valores propios de la proyeccionortogonal PV : E → E son 0 y 1.

8. Sea E el espacio vectorial complejo formado por todas las funciones ψ : R → C. Probar que losvalores propios del operador lineal Π: E → E, Π(ψ(x)) = ψ(−x), son ±1, y que E = V1 + V−1.(Indicacion: ψ(x) = 1

2 (ψ(x) + ψ(−x)) + 12 (ψ(x)− ψ(−x)) para toda funcion ψ : R → C.)

9. Sea T : E → E un endomorfismo, y sea e ∈ E un vector propio de T de valor propio α ∈ K.

a) Si λ ∈ K no es nulo, probar que λe tambien es un vector propio de T de valor propio α.

b) Si v ∈ E es otro vector propio de T de valor propio α, probar que v es un vector propio de Tde valor propio α o v = −e.

c) Si v ∈ E es un vector propio de T de valor propio β = α, probar que e y v son linealmenteindependientes, y que e+ v no es un vector propio de T .

10. Sea e1, e2 una base de un espacio vectorial complejo E, y consideremos el endomorfismo T : E → E,T (x1e1 + x2e2) = (ax1 + x2)e1 + (x1 + ax2)e2. Determinar los valores de a ∈ C para que

a) El numero 2 sea un valor propio de T .

b) El endomorfismo T tenga dos autovalores reales positivos.

c) El vector e1 + e2 sea un vector propio de T .

17

d) El vector e1 − e2 sea un vector propio de T .

e) El vector 2e1 + e2 sea un vector propio de T .

11. Si E es un K-espacio vectorial y 0 = λ ∈ K, probar que la homotecia λId : E → E, (λId)(e) = λe,es un automorfismo (un endomorfismo biyectivo).

12. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita E. Probar que si existe unendomorfismo S de E tal que TS = Id, entonces T es un automorfismo y S = T−1. Analogamente,si existe un endomorfismo S′ tal que S′T = Id, entonces T es un automorfismo y S′ = T−1.

13. Hallar

(0 11 0

)n

,

(1 22 1

)n

,

(2− i 2i− 21− i 2i− 1

)n

,

0 0 11 0 00 1 0

n

,

−1 0 01 1 1−2 −3 −2

n

,

8 −6 4−6 9 −24 −2 4

n

, 2 0 0−2 −1 −13 3 2

n

,

−1 0 −26 1 61 0 2

n

,

1 −1 10 2 −10 0 1

n

,

−1 1 10 1 30 2 2

n

.

14. Hallar matrices de cuadrado

0 0 11 0 00 1 0

,

−1 0 01 1 1−2 −3 −2

,

8 −6 4−6 9 −24 −2 4

.

15. Probar que un automorfismo T tiene un valor propio α si y solo si su inverso T−1 tiene el valorpropio α−1. Demostrar que si un endomorfismo T es nilpotente (Tn = 0 para algun n ≥ 2),entonces su unico valor propio es α = 0, y que si es idempotente (Tn+1 = T para algun n ≥ 1),entonces todo valor propio no nulo α es una raız n-esima de la unidad, αn = 1.

16. Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial y p(x) = a0+a1x+ . . .+anxn un polinomio con

coeficientes en K. Probar que si α ∈ K es un valor propio de T , entonces p(α) es un valor propiode p(T ) := a0Id + a1T + . . .+ anT

n.

17. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita E. Demostrar que si T esnilpotente, entonces T − Id es un automorfismo de E. (Indicacion: Ker (T − Id) = 0.)

18. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita E. Probar que si λ ∈ K no esun valor propio de T , entonces Ker (λId− T )n = 0 para todo n ≥ 1.

19. Sea E un espacio vectorial euclıdeo y U : E → E un endomorfismo tal que ⟨U(e)|U(v)⟩ = ⟨e|v⟩,∀e, v ∈ E. Probar que todos los valores propios de U son de modulo 1, y que dos vectores propiosde U , con valores propios distintos, siempre son ortogonales.

20. Demostrar que si un endomorfismo T de un espacio vectorial E deja invariante todo subespaciovectorial V de E (i.e., T (V ) ⊆ V ), entonces T es una homotecia; es decir, T = λId para algunescalar λ. (Indicacion: Probar primero que todos los vectores no nulos son vectores propios de T ,y luego que todos tienen el mismo valor propio).

21. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita E. Probar que si e ∈ E y T (e)son linealmente independientes, entonces existe un endomorfismo S de E tal que ST = TS.

22. Probar que si un endomorfismo T de un espacio vectorial de dimension finita E conmuta con todoslos endomorfismos de E, entonces T es una homotecia: T = λId. (Indicacion: Ejercicios 20 y 21).

23. Probar que si dos endomorfismos S, T de un K-espacio vectorial E conmutan, ST = TS, entoncesVλ := Ker (λId− T ) queda invariante por S para todo λ ∈ K (es decir, e ∈ Vλ ⇒ S(e) ∈ Vλ).

18

Concluir que si dos endomorfismos S, T de un espacio vectorial complejo de dimension finita conmu-tan, ST = TS, entonces tienen algun vector propio comun. (Indicacion: Considerar la restriccionde S a Vα := Ker (αId− T ).)

24. Determinar los valores propios de un endomorfismo T = 0, Id tal que T 2 = T .

25. Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E, hallar el polinomio caracterısticode la simetrıa SV : E → E, y de la proyeccion ortogonal PV : E → V ⊆ E.

26. Si T es una isometrıa de un espacio vectorial euclıdeo real de dimension 3, probar la existencia deun vector no nulo v ∈ E tal que T (v) = v o T (v) = −v.

27. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial real E de dimension finita. Si el polinomio carac-terıstico cT (x) tiene alguna raız compleja que no es real, probar que T no es diagonalizable.

28. Demostrar que si dos endomorfismos S, T de un espacio vectorial E diagonalizan en una mismabase de E, entonces conmutan: ST = TS.

29. Si T es un endomorfismo diagonalizable de un K-espacio vectorial de dimension finita, probar quelos endomorfismos a0Id+ a1T + . . .+ anT

n tambien son diagonalizables, donde a0, a1, . . . , an ∈ K.Si ademas T es un automorfismo, demostrar que T−1 tambien es diagonalizable.

30. Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimension finita, tal que cT (x) tiene unaunica raız α en K. Probar que T es diagonalizable si y solo si T = αId.

31. Si e1, e2, e3 es una base de un K-espacio vectorial E, estudiar la diagonalizacion de los endomor-fismos de E cuyas matrices en tal base son las siguientes (distinguir los casos K = R y K = C):4 0 20

2 0 101 1 2

2 0 30 2 10 0 2

2 4 53 5 50 0 1

2 −2 11 3 10 1 2

3 2 40 1 0−2 0 −3

1 1 33 −1 60 0 2

−1 0 26 1 61 0 2

1 0 0−1 −1 −12 3 2

1 0 22 1 00 2 1

2 −2 −21 1 −11 −1 1

0 4 −12 2 32 −2 2

1 0 00 1 10 0 1

1 0 −32 0 −23 0 −1

0 −1 11 0 −1−1 1 0

0 −1 1−2 −1 −12 1 1

0 −1 10 1 01 1 0

(0 20 a

) (a 10 1

) (1 a0 1

) (3 −11 1

)

32. Consideremos el espacio vectorial complejo Pn = C+ Cx+ . . .+ Cxn. Determinar si son diagona-lizables los endomorfismos d

dx : Pn → Pn, xddx : Pn → Pn, y (x+ 1) d

dx : Pn → Pn.

33. Sea α ∈ K un valor propio de un endomorfismo T de un K-espacio vectorial de dimension finita,y sea m la multiplicidad de la raız x = α del polinomio cT (x). Probar que 1 ≤ dimVα ≤ m.(Indicacion: Ampliar una base de Vα hasta obtener una base de E).

Concluir que si α es una raız simple del polinomio caracterıstico, entonces dimVα = 1.

19

34. Sean α1, . . . , αs ∈ K valores propios de un endomorfismo T de un K-espacio vectorial de dimensionn. Demostrar que si dimVα1 + . . . + dimVαs ≥ n, entonces T es diagonalizable y α1, . . . , αs sontodos los valores propios de T .

35. Si a1 . . . , an son numeros enteros distintos, y en E = Cei2πa1x + . . . + Cei2πanx consideramos el

producto escalar ⟨f |h⟩ :=∫ 1

0f(x)h(x) dx, probar que el operador 1

iddx : E → E es hermıtico.

Si a1 . . . , an son numeros enteros distintos, y en E = Ceia1x+ . . .+Ceianx consideramos el productoescalar ⟨f |h⟩ :=

∫ π

−πf(x)h(x) dx, probar que el operador 1

iddx : E → E es hermıtico.

En los dos casos anteriores, ¿es hermıtico el operador ddx?

36. En el espacio vectorial complejo E formado por las funciones infinitamente derivables ψ : R → C,consideremos los operadores lineales T : E → E, T (ψ) = xψ, y S : E → E, S(ψ) = 1

iddxψ. Probar

que su conmutador TS − ST es el operador iId.

37. Si T : E → E es un operador hermıtico, probar que KerT = (ImT )⊥, ImT = (KerT )⊥.

38. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E. Probar que la simetrıa SV : E → Ees un operador hermıtico y unitario, y que la proyeccion ortogonal PV : E → E es un operadorhermıtico que cumple que P 2

V = PV .

39. Sea E un espacio vectorial euclıdeo. Si un operador lineal T : E → V es hermıtico y unitario, probarque es la simetrıa, T = SV , respecto del subespacio vectorial V = {e ∈ E : T (e) = e}.

40. Sea E un espacio vectorial euclıdeo. Si un operador lineal T : E → V es hermıtico y cumple queT 2 = T , probar que T es la proyeccion ortogonal sobre V = {e ∈ E : T (e) = e}.

41. Sean α1, . . . , αr todos los valores propios de un operador hermıtico T . Si Pn : E → E es la proyeccionortogonal sobre el subespacio propio Vαn

, demostrar que T =∑

n αnPn.

42. Sea E el espacio vectorial complejo formado por las funciones continuas ψ : [−π, π] → C. Probarque el operador lineal Π: E → E, Π(ψ(x)) = ψ(−x), es unitario y hermıtico.

Probar tambien que los operadores P+ := 12 (Id + Π) y P− := 1

2 (Id + Π) son hermıticos, y queP+P− = P−P+ = 0, ΠP+ = P+, ΠP− = P−.

43. Sea u1, u2 una base ortonormal de un plano hermıtico E, y T : E → E el operador lineal de matriz(0 −ii 0

), respectivamente

~i

(2i −

√2√

2 3i

),

1

i

(i 1−1 0

).

Probar que T es un operador hermıtico, hallar sus valores propios, sus subespacios propios y lasmatrices, en la base dada, de las proyecciones ortogonales sobre los subespacios propios. Calculartambien las probabilidades de los resultados de la observacion descrita por T cuando el sistemaesta en el estado representado por ψ = u1 + iu2.

44. Sea u1, u2, u3 una base ortonormal de un espacio hermıtico E, y T el operador lineal de matriz

1

i

0√2 0

−√2 0

√2

0 −√2 0

, respectivamente1

i

0 1 1−1 0 1−1 −1 0

,

1 0 i0 1 0−i 0 1

.

Probar que T es un operador hermıtico, hallar sus valores propios, sus subespacios propios y lasmatrices, en la base dada, de las proyecciones ortogonales sobre los subespacios propios. Calculartambien las probabilidades de los resultados de la observacion descrita por T cuando el sistemaesta en el estado representado por ψ = u1 + iu2.

20

45. Supongamos que una medicion viene descrita por un operador hermıtico T de un espacio vectorialeuclıdeo E, y sea α un valor propio de T tal que dimVα = 1, y sea u ∈ Vα un vector propio devalor propio α y de modulo 1. Si ψ ∈ E es un estado normalizado, ∥ψ∥ = 1, demostrar que laprobabilidad de medir α en el estado ψ es P(α) = |⟨u|ψ⟩|2.

46. Supongamos que una medicion viene descrita por un operador hermıtico T de un espacio vectorialeuclıdeo E, y sea α un valor propio de T , y P : E → E la proyeccion ortogonal sobre el subespaciopropio Vα. Si ψ ∈ E es un estado normalizado, ∥ψ∥ = 1, probar la probabilidad de medir α en elestado ψ es, P(α) = ∥P (ψ)∥2 = ⟨ψ, P (ψ)⟩.

47. Sean u, v vectores de un espacio vectorial euclıdeo E. Determinar cuando es hermıtico el operadorlineal T : E → E, T (e) = ⟨u|e⟩v.

48. Sea u1, . . . , un una base ortonormal de un espacio vectorial euclıdeo E, formada por vectores propiosde un operador hermıtico H : E → E. Si T : E → E es un operador lineal arbitrario, probar que⟨ui|(TH −HT )(ui)⟩ = 0 para todo ındice i = 1, . . . , n.

49. Sea u1, u2, u3 una base ortonormal de un espacio euclıdeo complejo E, y sean ω, a dos numerosreales. Probar que conmutan los operadores hermıticos H y A de matrices

H =

1 0 00 −1 00 0 −1

, A = a

1 0 00 0 10 1 0

.

y hallar una base ortonormal de E formada por vectores propios de H y A.

50. Sea u1, u2, u3 una base ortonormal de un espacio euclıdeo complejo E, y consideremos los operadoreslineales L, S : E → E definidos por las siguientes igualdades

L(u1) = u1 , L(u2) = 0 , L(u3) = −u3S(u1) = u3 , S(u2) = u2 , S(u3) = u1

Hallar las matrices, en la base dada, de los operadores L,L2, S, S2. ¿Son hermıticos? Probar queL2 y S conmutan, y hallar una base ortonormal de E formada por vectores propios de L2 y S.

51. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial E y sea V un subespacio vectorial de E invariantepor T (es decir, T (V ) ⊆ V ). Demostrar la existencia de un endomorfismo T : E/V → E/V tal queT (e) = [T (e)] para todo e ∈ E.

52. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita E y sea V un subespaciovectorial de E invariante por T ; i.e. T (V ) ⊆ V . Probar que el polinomio caracterıstico de larestriccion T |V : V → V , T |V (v) = T (v), divide al polinomio caracterıstico de T .

(Indicacion: El determinante de una matriz de la forma

(A B0 C

)es |A| · |C|).

53. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial complejo E de dimension finita. Probar que si todosubespacio vectorial de E invariante por T admite un suplementario invariante por T , entonces Tes diagonalizable.

54. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial real E = 0 de dimension finita. Probar que siT 2 = −Id, entonces en E hay un subespacio vectorial V de dimension 2 invariante por T . Concluirque la dimension de E es par. (Indicacion: Proceder por induccion sobre la dimension de E y usarel ejercicio 51).

55. Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension n. Probar que si alguna potencia T r

es nula, entonces Tn = 0. (Indicacion: Proceder por induccion sobre n y usar el ejercicio 51).

21