Diagrama de Bode: Outros Processos de Traçado por ... · complexa e pode ser representada pela...

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Profa Ninoska Bojorge

Outros Processos de Separação

Diagrama de Bode: Traçado por assíntotas

Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS

Papel Bode 1

2

Papel Bode 2

3

Papel Bode 3

4

5

Resposta de Frequência

G(s)X(s) Y(s)

Se x(t) = Asen ωt então y(t) = A sen (ω t + ϕ)

A função de transferência senoidal G(jω) é uma função complexa e pode ser representada pela magnitude e ângulo de fase com a frequência como parâmetro.

Lembrando!!

Polos e Zeros e Função deTransferência

Uma função de transferência é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída para a entrada com todas as condições iniciais iguais a zero. Funções de transferência são definidos apenas para sistemas lineares invariantes no tempo

A Função de transferência pode geralmente ser expressa como a razão de dois polinómios na variável complexa, s.

A função de transferência pode ser fatorada na seguinte forma:

)(...))((

)(...))(()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsKsG

+++

+++=

As raízes do polinômio no numerador são chamados zeros.

As raízes do polinômio do denominador são chamados pólos.

Função deTransferência:

Considerações:

Fatoração:

Lembrando!!

por Exemplo: Dada a seguinte função de transferência. Mostrar opólos e zeros no plano s.

)10)(4(

)14)(8()(

++

++=

sss

sssG

Plano S

xxoxo0-4-8-10-14

origem

eixo σ

jωeixo

Polos e Zeros e Função deTransferênciaLembrando!!

Caracterização: Considerando-se a função de transferência doslide anterior. Note que temos 4 diferentestipos de termos na forma anterior geral da função de transformada fatorada:Estes são:

)1/(,)1/(

1,

1, +

+zs

pssK

B

Expressando em dB: Dada a função de transferência:

)1/)((

)1/()(

+

+=

pjwjw

zjwKjwG B

|1/|log20||log20|)1/(|log20log20|(|log20 +−−++= pjwjwzjwKjwGB

wlg

Lembrando!! Polos e Zeros e Função de Transferência

Ou seja: Temos que considerar 4 termos distintos:

20logKB

20log|(jw/z +1)|

-20log|jw|

-20log|(jw/p + 1)|

wlg

Polos e Zeros e Função de Transferência

ωωωω (rad/seg)

Magn

dB Fase

(graus)

1 1 1 1 1 1

wlg

Esta é uma folha de papel semi-log de 5 ciclos.

Este é o tipo de papel geralmente utilizado para a

preparação de Diagramas de Bode.

12

1 década

Eixo logarítmicode frequências

Baixar/subir 20 dB equivale a dividir/multiplicar por 10

20

0

-20

0

dB

O ganho em dB vem dado por 20·log10|G(jw) |

A escala da frequências podem vir em Hz ou em rads/seg (pulsação).

Como trabalhamos com w empregaremos rads/s

Preparação do Diagrama de Bode

� Diagrama de Bode usa a função de transferência em malha aberta, GOL

� O diagrama é um par de graficos correspondentes a magnitude e a fase.

� A representação da magnitude logarítmica é 20.log|G(jω)| em dB.

A principal vantagem: multiplicação é convertida em adição

Utilizando:

dlogclogblogalogcdlogablogcd

ablog −−+=−=

Fatores básicos de G(jw)

Deve-se prestar atenção para a frequência de corte e da forma da equação deve ser montada

Observação: Caso o termo geral pertença ao denominador, sua contribuição para a magnitude da resposta será negativa

⇒ Fatores das funções de transferência:

• Ganho constante

• Pólos e zeros reais que ocorrem na origem

• Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem

• Pólos e zeros complexos

Ganho K

O log da magnitude do ganho é uma linha reta em 20 log (K)

se K > 1, então a magnitude é positivase K < 1, então a magnitude é negativa

O ângulo de fase continua sendo o mesmo.

Inclinação é 0 na frequência de interrupção (ou de canto)

i) Ganho constante, G (s)= K: 20 KlogdB =

20logK

-20logKa fase é sempre0º (ou -180º si a cte é negativa)

As curvas da magnitude são constantes

Sn

Ângulo de fase = 90º (constante)

∠ G = tan-1(1 /0) = tan-1(∞) = 90º

Fatores sn tem um diagrama de amplitude que consiste numa linha reta cuja inclinação é igual a 20n[dB/década] e fase constante e igual a n π/2. Esta linha cruza o eixo horizontal (0[dB]) com ω = 1.

Zero na origem

0

20

- 20

1.00.1 10

dB

ω

+20Polo na origem

0

20

- 20

1.00.1 10

dB

ω

-20

0

20

-20

ω=1

-20db/dec

w

Método: O termo do ganho, 20logKB, é apenas tantos dB e esta é uma linha reta no papel de Bode, independente do ω (frequência, rad).

O termo - 20log | jw | = - 20logw, quando plotada em papel semi-log é uma linha reta inclinada em - 20dB/década.Ela tem uma magnitude de 0 em ω = 1.


é traçado seguindo a aproximação:

Se ω < p → –20log|(jw/p + 1 )| = 0 dB, uma linha reta no Bode. Se ω > p → –20log(w/p), que se inclina com -20dB/dec iniciando em ω = p, como ilustrado abaixo.

0

20

-20

-40

ω = p

-20db/dec

wlg

Método:


+1p

jw20log -

0

20

-20

-40

ω = z

+20db/dec

Quando temos um termo de 20log|(jw/z + 1)| nós aprox. a ser uma linha reta de pendente 0 dB/decquando w < z. Aproximamos como 20log(w/z) quando w > z, a que é uma linha reta no Diag. Bode com uma inclinação de +20dB/dec. Ilustrada abaixo:


Método:

Primeira Ordem

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

45o

Inclinação: - 20dB/dec

ωb

frequência de interrupção ou frequência de corte, frequência de canto

21

Os diagramas de Bode de amplitude e fase com polos complexos conjugados são bastante mais complicados que os de um polo simples. Assim considere a função de transferência:

Que pode expressa como:

Diagrama de amplitude:

10,2

)(22

2

<<++

= ξωξω

ω

nn

n

sssG

++

=

12

1)(

2

2

nn

sssG

ω

ξ

ω

++

=

12)(

1)(

2

2

nn

jjjG

ω

ωξ

ω

ωω

ωjs =

dBjj

jj

jGnn

nn

22

2

2

22

2

2

2)(1log20

2)(1

1)(

+

−−=

+

−

=ω

ωξ

ω

ω

ω

ωξ

ω

ωω

Segunda Ordem

22

1. para ω << ωn, resulta 20 log(1) = 0[dB], isto é, para baixas frequências o diagrama de módulo é uma linha reta horizontal (assíntota de baixa frequência).

2. para ω >> ωn , resulta a assíntota de alta frequência dada por

Segunda Ordem

dBw

wdB

w

wjwG

nn

log40log20)(2

2

−=−≅

reta que decai a -40 dB década

para ω ≅ ωn . Pode-se mostrar que o pico no módulo ocorre perto da frequência ωn. O peso exato bem como a localização podem ser determinados diferenciando a expressão do módulo da função de transferência em relação à frequência e igualando a zero. O pico ocorre à frequência de ressonância

3.

e com amplitude dada por

221 ξ−= nr ww

dBjwG r )12log(20)( 2ξξ −−≈

23

Segunda Ordem

Recomendação:

Desenha-se primeiro a assíntota de baixa frequência até à frequência ωn e a assíntota de alta frequência a partir dai.

Em seguida desenha-se uma curva suave entre as assíntotas de baixa e alta frequência e que passa pelo valor do pico próximo da frequência ωn .

Desenho de diagramas de Bode assintóticos

Em geral é suficiente representar o pico à frequência ωn .

Integral:Frequência de quebra ω = ωn

Inclinação: – 40 dB/décadaÂngulo de fase é -90o na frequência de quebra

Derivativo:Frequência de quebra ω = ωn

Inclinação: 40 dB/décadaÂngulo de fase é -90o na frequência de quebra

Frequência Ressonante: 221 ζωω −= nr

Termo quadrático

Termo quadrático

12

2

)(

21

−

++

ωω jj

ωn = √2

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Freq corte em 90o

ωn = √2

Inclinação = 40dB/dec

26

( )5

10

+=

ssGPlotar Diagrama de Bode, por assintotas para a seguinte FT:

( )5

10

+=

jwjwG

15

2

+

=jw

= G1. G2

|G1| = 20.log2 ≅ 6,0

G1= 2

∠G1= -tan-1( 0) = 0º

15

12

+

=jw

G0

10

20

0,1 1 10 100 1000 10000

∠G2= 0 -tan-1( w/5) = -tan-1(∞) =-90º

Exemplo 1

27

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

bode(10,[1,5,0])

( )5

10

+=

ssGPlotar Diagrama de Bode, por assintotas para a seguinte FT:

( )5

10

+=

jwjwG

15

2

+

=jw

= G1. G2

|G1| = 20.log2 ≅ 6,0

G1= 2

∠G1= -tan-1( 2/0) =-tan-1(∞) =-90º

15

12

+

=jw

G

∠G1= -tan-1( 0) = 0º

∠G2= 0 -tan-1( 5w) = -tan-1(∞) =-90º

Exemplo 1

Exemplo 2: ( ) ( )10

110

+

+⋅=

s

ssG

Primeira Ordem: Diagrama de magnitude

0.1 1 10 100

0

20

-20

numerador

dB

ω, rad/min

denominador

110

1

+

+=

s

ss = jw

Exemplo 2: ( )110

1

+

+=s

ssG

0

45º

-45º

90º

-90º

0.1 1 10 100 ω, rad/min

Primeira Ordem: Diagrama de fase

zero

polo

fase total

w Módulo (dB) Fase (rad) Fase (º)0,1 0,04 0,09 5,14

0,2 0,17 0,18 10,16

0,5 0,96 0,41 23,70

0,9 2,54 0,64 36,84

1 2,97 0,69 39,29

2 6,82 0,91 52,12

3 9,63 0,96 54,87

7 15,26 0,82 46,88

8 15,98 0,77 44,22

9 16,56 0,73 41,67

10 17,03 0,69 39,29

11 17,42 0,65 37,08

12 17,74 0,61 35,04

20 19,04 0,41 23,70

50 19,83 0,18 10,16

100 19,96 0,09 5,14

1100

1log20

2

2

+

+⋅

w

w

+−

2

1

10

9tan

w

w

Exemplo 2: ( )110

1

+

+=s

ssG

>> num= [1 1];den= [0.1 1];sys = tf(num,den);bode(sys)

( )110

1

+

+=

jw

jwjwG

1100

1)(

2

2

+

+=

w

wjwG

+−

2

1

10

9tan

w

w

Exemplo 3: Determinar a função de transferência, G(s) a partir da resposta de frequência da malha aberta de um sistema indicado pelo modulo representado no seguinte desenho:

O valor correspondente da frequência de corte anterior:

40 dB Log 10

(14+1.94)dB Log 5 - logω1

(14+1.94)log10=40(log5 - logω1)

14+1.94=40(log5/ω1)

ω1 = 2rad/s


2

Obs: no diagrama de Bode observasse que o sistema inicia para baixas frequências com uma inclinação de -20DB/dec, o que corresponde com um polo na origem da F.T. (ou seja 1/wj)


2

Na frequência ω2 = 2 rad/s. a inclinação sofre uma variação de -20 db/dec, então:

5,02

11

1

1 ===w

P

Logo o fator é (1 +0,5jw)


2

Na frequência ω2 = 5 rad/s. a linha da inclinação sofre uma variação de -20 db/dec, então:

2,05

11

2

2 ===w

P

Logo o fator é (1 +0,2jw)


2

Agora alta ajustar o ganho da função de transferência. A contribuição do polo na origem para a w = 1rad/s é de 0 dB (mais exato , 20 log (1) = 0 ) logo o modulo em dita frequência corresponde com a contribuição do ganho:

a razão de amplitude desde na frequência w= 1 rad/s até a frequência w1= 2rad/s é:

|G| = 20 log 2/1 = 6,02 dB

assim o modulo para w = 1 rad/s será :1,94 +6.02 = 7,96dB

7,96dB = 20 logK

∴ K = 2,5


Por tanto, G(jw):

ou

)5,01)(2,01(

5,2)(

jwjwjwjwG

++=

Em termo da transformada de Laplace, G(s):

)5,01)(2,01(

5,2)(

ssssG

++=

)51)(21(

25)(

ssssG

++=

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

)5,01)(2,01(

5,2)(

jwjwjwjwG

++=

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