Simula 04.ppt [Modo de Compatibilidade] - pucrs.br · Lognormal Normal Pareto ... exponencial de...

11

Prof. Lorí Viali, [email protected]

http://www.pucrs.br/famat/viali/

Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS

Beta

Cauchy

Erlang

Exponencial

F (Snedekor)

Gama

Gumbel

Laplace

Logística

Lognormal

Normal

Pareto

Qui-quadrado - χ2

Student - t

Uniforme

Weibull


A distribuição Beta apresenta

normalmente duas expressões. Uma

denominada de fórmula geral e outra de

forma padrão. A forma padrão definida

no em [0; 1] é mais utilizada.

22

Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS

A expressão geral da fdp Beta é dada

por:

>βα≤≤

−βα= +β+α

β−α

c.c. 0

0, e bx a se )ab(),(B

x)-(ba)-(x)x(f 1

1-1

∫=βα β−α1

0

1-1 dxx)-(1x),(B

Onde:


A função Beta foi

introduzida pela primeira

vez por Euler.

∫=βα β−α1

0

1-1 dxx)-(1x),(B

Leonhard

Euler(1707 - 1783)

),(B),(B αβ=βα α=α /1)1,(B

)(

)()(),(B

β+αΓ

βΓαΓ=βα


A função densidade de probabilidade

da Beta padrão é dada por:

>βα≤≤

βα=

β−α

c.c. 0

0, e 1x 0 se ),(B

x)-(1x)x(f

1-1

)(

)().(dxx)-(1x),(B

1

0

1-1β+αΓ

βΓαΓ=∫=βα β−α


Os parâmetros de α > 0 e β > 0 são

os de forma. Os valores a e b

representam os extremos da

distribuição. No formato padrão a = 0

e b = 1.


Para a descrição de tempos para

completar tarefas no planejamento e

projeto de sistemas. Usada extensivamente

em PERT/CPM.


0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

1,80

2,10

2,40

2,70

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

B(0; 0)

B(1; 1)

B(2;2)

B(1; 2)

B(2: 1)

B(5; 2)

33


0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

1,80

2,10

2,40

2,70

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

B(0; 1)

B(1; 0)

B(0; 2)

B(2; 0)

B(3; 1)

B(1; 3)


Determinar a representação gráfica da

B(0,5; 0,5).


Não existe uma expressão

analítica para F(x) genérica. Se a e b

são inteiros, uma expansão Binomial

pode ser utilizada para obter F(x).


)X(E β+α

α==µ

A expectância ou valor esperado da

Distribuição Beta é dada por:


A Variância da Distribuição da Beta

é dada por:

)()1(

V(X) 2

2

β+α+β+α

αβ==σ


Considerando uma B(α; β),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;

(5) O coeficiente de variação.

44


1 se modalA

1 e 1

1 e 1 1

1 e 1

1 e 1 0

1 e 1 se 1 e 0

1 e 1 se 2

1

o

o

o

o

=β=α

=β>α

<β≥α=µ

>β=α

≥β<α=µ

<β<α=µ

>β>α−β+α

−α=µ


αβ

+β+α

+β+α

α−β=µ

1

)2(

)(23

)3)(2(

])(2)6()[1(3 2

4 +β+α+β+ααβ

β+α+−β+ααβ+β+α=µ

)1( +β+αα

β=γ


Gerar 10000 valores de uma

B(0,5; 0,5). Apresentar os resultados

de forma tabular e gráfica, calculando

todas as principais medidas.


A geração de uma distribuição Beta

de parâmetros α = a e β = b, inteiros é

dada por:

)b,1(G)a,1(G

)a,1(G~)b,a(B

+

)Uln(~)a,1(Ga

1ii∏

=

)Uln(~)b,1(Gb

1jj∏

=


A distribuição de Cauchy

apresenta normalmente duas

expressões. Uma denominada de

fórmula geral e outra de forma padrão.

55


A distribuição de Cauchy

também denominada de

Lorentziana é a distribuição do

quociente de variáveis normais

padrão independentes.

Baron

Augustin Louis Cauchy

(1789 -1857)


Entre os físicos ela é conhecida

como distribuição de Lorentz ou de

Breit-Wigner. Ela é importante por que

é a solução de uma equação diferencial

que descreve a ressonância forçada.


A expressão geral da distribuição de

Cauchy é:

0 , x

1

1)x(f

2>β

β

α−+βπ

=

ou

0 , ])x([

)x(f22

>βα−+βπ

β=


Os parâmetros são α que é de

localização e β que é o de escala.

Se α = 0 e β = 1, então tem-se a

distribuição de Cauchy Padrão.


A função densidade de

probabilidade da Cauchy Padrão é

dada por:

R x para )e1(

1)x(f

x 2∈

+π=


-0,1

0,1

0,3

0,5

0,7

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

C(-1; 0,5)

C(0; 1)

C(1,5; 1)

C(2; 2)

66


A FD da Cauchy é:

0 R, x para -x

arctg 1

2

1)x(F >β∈

β

α

π+=


0,0

0,5

1,0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8


A distribuição de Cauchy não tem

valor esperado, i.e. média.


A distribuição de Cauchy não

apresenta variância.


Considerando uma C(α; β),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;

(5) O coeficiente de variaçãoProf. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS

α=µ=µ oo

Essa distribuição não apresenta

momentos finitos. A média e o desvio

padrão podem ser assumidos como

sendo α e β respectivamente.

77



C(1; 2). Representar os resultados

graficamente e calcular todas as

principais medidas.


α)]}5,0u(π[tg{β)β ;α(C +−≈


<

≥λ=

λ

0 t se 0

0t se e.)t(ft

Uma variável aleatória T tem uma

distribuição exponencial se sua fdp for

do tipo:


Considere um servidor da WWW com

uma taxa de acesso de λ = 0,1 requisições por

segundo. Assuma que o número de chegadas

por unidade de tempo é Poisson e que a taxa

interchegadas, X, é uma Exponencial de

parâmetro λ. Determine a probabilidade de

não se tenha acessos durante um intervalo de

10 segundos.


[ ]

%79,363679,0e

)e(elim

dte1,0)10X(P

1

1t1,0

t

10

t1,0

===

=−−=

=∫=≥

−

−−

∞→

∞−

88


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

Fdps - E(2,0) - E(1,0) - E(0,5)


A função F(t) é dada por:

0 t se -1

0 < t se 0)t(F

e t-

≥=

λ


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FDs - E(2,0) - E(1,0) - E(0,5)


λ=

=+=

=λ==

λ−−

∫−

∫∫

λ−λ−

∞

∞ λ−λ− ∞

∞ λ−+∞

∞−

1

dt

dt.tdt)t(f.t)T(E

eet

e]et[

e

tt

0

0tt

0

0t


σ2 = V(T) = E(T2) – E(T)2

λ∫ λ

∫−

∫∫

=λλ

=λ

=

=+=

=λ==

∞ λ−

∞ λ−λ− ∞

∞ λ−+∞

∞−

20t

0tt2

0

0t222

21.

2dt

2

dt

dt.dt)t(f.)(E

et

te2]et[

ettT


A variância será então:

λλλ

λλ

σ

=−=−=

=−==

222

2

2

222

1122

)(E)T(V

1

)T(ET

99


Seja T uma VAC com distribuição

exponencial de parâmetro λ.

Determinar o valor mediano da

distribuição.


Gerador

ln(u)µ- x ou

)u1ln(µλ

)u1ln(x

)u1ln(xλ

1u

1)x(F

e

exλ

xλ

=

−−=−

−=

−=−

−=

−=

−

−

Para gerar uma VAC Exponencial

basta fazer:


Uma variável aleatória X tem uma

distribuição “F” ou de Snedecor se suafdp for do tipo:

( )

0 x se 0

0 x se

2

n

2

m

mxnxnm2

nm

)x(f

2

nm12

m

2

n

2

m

≤

>

Γ

Γ

+

+Γ

=

+−−


Expectância ou Valor esperado

Variância

2n ,2n

n)X(E >

−=

)4 - )(n2 - m(n

)2 - n(m n2 = Var(X)

2 +

m é o grau deliberdade donumerador e n dodenominador


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 3 6 9 12 15

F(1, 3) - F(2, 5) - F(5, 10) - F(20, 20)

1010


O que é tabelado é a percentil 95%

ou 99% - área à direita de cada curva

(uma para cada par de valores –

numerador, denominador) igual a 5% e

1%, isto é, “x” tal que P[F(m, n) ≥ x] = 5%

ou P[F(m, n) ≥ x] = 1%.



F(3; 2). Apresentar os resultados de

forma tabular e gráfica, calculando

todas as principais medidas.


A geração de uma F(m, n) é feita

através da relação com a distribuição

Qui-Quadrado.

χ

χ=

χ

χ

=

∑

∑

=

=2n

2m

2n

2m

n

1i

2i

m

1i

2i

m

n

n

m

Zn1

Zm

1

~)n,m(F



dxex)n( x0

1n −∞ −∫=Γ

Para se definir a Distribuição

Gama é necessário definir inicialmente

a Função Gama.

para n > 0


Se n é um inteiro positivo, então:

Γ(n) = (n - 1)Γ(n - 1)

A função Gama é recursiva, isto é:

G(n) = (n – 1)!

1111


1dxe)1( 0x =∫=Γ ∞ −

E uma vez que :

A função gama é uma

generalização do Fatorial.


π2

1=

Γ

Verificar, ainda, que:


c.c. 0

0 x se e)xλ()r(

λ)x(f xλ1r

=

>Γ

= −−

Uma vez definida a Função Gama,

pode-se definir, então, a Distribuição

Gama:


Onde os parâmetros r > 0 e

λ > 0 são denominados de

parâmetro de forma (r) e

parâmetro de escala (λ).

Se r for inteiro então a

distribuição Gama é denominada

de distribuição de Erlang.

AgnerKrarupErlang(1878 –1929)


Existe uma relação bastante

próxima entre a Gama e a

Exponencial. Se r = 1, a

distribuição gama se reduz a uma

exponencial.


Se uma variável aleatória X é a soma

de r variáveis independentes e

exponencialmente distribuídas cada uma

com parâmetro λλλλ , então X tem uma

densidade Gama com parâmetros r e λλλλ .

1212


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

G(1; 1)

G(1; 2)

G(1; 3)


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

G(2; 1)

G(3; 1)

G(5; 1)


A função F(x) é dada por:

0 x se 0

0 x sedu eu)λ( (r)

λ-1

)x(Fuλ-1-r

x

≤

>∫Γ=

∞


Se r é um inteiro positivo a FDA pode

ser integrada por partes fornecendo:

0 x se /k!x)λ( e1)x(F k1r

0k

xλ >∑−=−

=

−

que é a soma dos termos de uma Poisson

com média λx. Assim a FDA da Poisson

pode ser usada para avaliar a Gama.


A vida de equipamento eletrônico é dada

por Y = X1 + X2 + X3 + X4, a soma das vidas

de seus componentes. Os componentes são

independentes, cada um tendo tempo de falha

exponencial com média entre falhas de 4

horas. Qual é a probabilidade de que o

sistema opere pelo menos 24 horas sem

falhas?


Como r = 4, então a FDA da Gama é

dada por:

0 x se /k!(x/4) e1)x(F k3

0k

4/x >∑−==

−

que é a soma dos termos de uma Poisson

com média λx = 24/4 = 6.

1313


%12,15

)/k!6 e(

)24(F1)24Y(P

k3

0k

6

=

=∑=

=−=>

=

−


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

G(2; 1)

G(3; 1)

G(5; 1)


λ

rdx)x(f.x)X(E µ =∫== ∞+

∞−

A expectância ou valor esperado de

uma Distribuição Gama é dada por:


A Variância da Distribuição Gama

é dada por:

λ

r V(X)σ 2

2 ==


Gerador

Para gerar valores de uma VAC

Gama, uma possibilidade é utilizar o

seguinte algoritmo:

(i) Gerar “r” números aleatórios:

u1, u2, ..., ur.

(ii) Calcular Li = -ln(1- ui) para i = 1,

2, ..., r.


(iii) Somar todos os Li, isto é, fazer S

= Soma dos Li;

(iv) Determinar S/λ como um valor da

distribuição G(r, λ).

Esse algoritmo vale para valores

de r inteiros e não é muito eficiente

para r grande, mas é o mais simples.

1414


)ln(1

),(1

∏=

−≈r

i

iUrEλ

λ

Resumindo: uma maneira de gerar

valores de uma G(λ, r) é dado por:



A distribuição de Gumbel

é também conhecida como

distribuição de Valores

Extremos, log-Weibull ou

Fisher-Tippet. Seu nome é

uma homenagem a Emil J.

Gumbel.

Leonard

Henry Caleb Tippett

(1902 -1985)

Emil Julius

Gumbel(1891 - 1966)


A distribuição tem duas formas.

Uma é baseada no menor extremo e a

outra no maior. Elas são denominadas

de casos mínimo e máximo

respectivamente.


A distribuição é utilizada na

Indústria em aplicações de Controle de

Qualidade. Nas ciências ambientais é

utilizada para modelar valores extremos

associados com enchentes e

precipitações pluviométricas.


A expressão da distribuição deGumbel (caso mínimo) é:

0 e-exp-x

exp 1

)x(f-x

>β

β

α

β= β

α

A expressão da distribuição deGumbel (caso mínimo) é:

0 e-exp-x

exp 1

)x(f-x

>β

β

α−

β= β

α−

1515





Se α = 0 e β = 1 então a distribuição

de Gumbel assume a forma:

β

α=∈=

-xy onde R y para ee)y(f e-y y


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

G(-0,5; 0,5)

G(0; 1)

G(0,5; 1,5)

G(1: 2)


-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

G(-0,5; 0,5)

G(0; 1)

G(0,5; 1,5)

G(1: 2)


A FD da Distribuição de Gumbel é:

0 para eexp1)x(Fx

>β

−−=

β

α−

β

α=−= −

-x y onde e1)x(F ey

ou


0,00,10,20,3

0,40,50,6

0,70,80,91,0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

G(-1; 01,)

G(-0,5; 0,5)

G(0; 1)

G(0,5; 1,5)

G(1; 2)

1616


0,00,1

0,20,3

0,40,50,6

0,70,8

0,91,0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

G(-1; 01,)

G(-0,5; 0,5)

G(0; 1)

G(0,5; 1,5)

G(1; 2)


γβ−α=Γβ+α==µ )1( E(X) '

onde Γ’(1) é a derivada de Γ(n) quando

n = 1, isto é, Γ(1) = -0,577216 = γ =

constante de Euler.


distribuição de Gumbel é dado por:


A Variância da Distribuição de

Gumbel é dada por:

6)(

V(X) 2

2 πβ==σ


Considerando uma G(α; β),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;

(5) O coeficiente de variação


β−α=β+α=µ 3665,0))]2[ln(ln(e

1395,1

6.

6

)(

404114,22

3

32

31 −=

πβπβ

β−=

µ

µ=γ

β−α

πβ=γ

4632,36

α=µo

4,5

6)(

20

)(3

2 2

4

42

42 =

πβ

πβ

=µ

µ=γ



G(-2; 2). Representar os resultados


principais medidas.

1717


−+≈

u1

1lnlnβα)β;α(G

Valores da distribuição de Gumbel

podem ser gerados através do método

da inversão:



A distribuição de Laplace

se origina da diferença entre

duas VA exponenciais IID. É

um movimento Browniano

avaliado em um tempo

aleatório exponencialmente

distribuído.

Pierre

Simon Marquis de Laplace

(1749 -1827)


A distribuição é conhecida também

pelo nome de Exponencial Dupla,

embora esse nome também seja

aplicado a distribuição de valores

extremos. É conhecida ainda por

Exponencial de Dupla Cauda e

Exponencial Bilateral.


A expressão da distribuição de

Laplace é:

0 2

e

-xexp

21

)x(f

x

>ββ

=

β

α−

β=

β

α−−




1818


Se α = 0 e β = 1 então a distribuição

de Laplace assume a forma

R x para 2

e)x(fx

∈=−

Essa distribuição é, às vezes,denominada de primeira lei do Erro dePoisson.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La(-1; 0,5)

La(0; 1)

La(1,5; 1)

La(2; 2)


A FD da Distribuição de Laplace é:

x se -x

exp 2

11

x se -x

exp 2

1

)x(F

α>

β

α−−

α≤

β

α−

=


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La(-1; 0,5)

La(0; 1)

La(1,5; 1)

La(2; 2)


E(X) α==µ

A Expectância da distribuição de

Laplace é dada por:


A variância da distribuição de

Laplace é dada por:

2 V(X) 22 β==σ

1919


Considerando uma Lp(α; β),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;


αµ µµ oe===

03 =µ

64 =µ

α

β=

α

β=γ 2

2 2



La(-2; 2). Representar os resultados


principais medidas.


|)u|21ln()Usgn();(L −β−α≈βα

Onde U é uma uniforme no

intervalo [-0,5; 0,5]


A expressão da fdp da Log-Normal é dada por:

( )0 0, x se

2

xlnexp

2x

1)x(f

2

2>σ≥

σ

µ−−

πσ=

0 0, x se xln

2

1exp

x2

1)x(f

2

22>σ≥

σ

µ−−

σπ=

Ou

2020


O modelo apresenta um parâmetro

de localização µ e um de escala σ.


-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8

LN(0; 1/8)

LN(0, 1/4)

LN(0; 1/2)

LN(0; 1)

LN(0; 3/2)

LN(0; 10)


A FD de Distribuição Log-Normal é:

0 0, x se )xln(

G)x(F >σ≥

σ

µ−=

Onde G é a FD da N(µ; σ)


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

R(0,5)

R(1)

R(1,5)

R(2)


)2/exp( E(X) 2σ+µ==µ

A expectância ou valor esperada da

Distribuição da Log-Normal é dada

por:


A variância da distribuição Log-

Normal é dada por:

)2exp()22exp( V(X) 222 σ+µ−σ+µ==σ

2121


Considerando uma LN(µ, σ),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;


)1)exp()2exp( 221 −σ+σ=γ

1)exp( 2 −σ=γ

)exp( 2o σ−µ=µ

3)2exp(3)3exp(2)4exp( 2222 −σ=σ+σ=γ

)exp(e µ=µ



LN(0, 1). Representar os resultados


principais medidas.


A geração de valores dessa

distribuição é feito através do método

da convolução:

−∑σµ≈σµ

=6Uexp)exp(),(LN

12

1ii

2


A distribuição Logística apresenta

normalmente duas expressões. Uma

denominada de fórmula geral e outra de

forma padrão.

2222


A distribuição Logística é

derivada do trabalho de Verhulst,

Professor de Análise na

Faculdade Militar Belga. Ele a

utilizou para modelar o

crescimento da população na

Bélgica no início de 1800.

Pierre

François Verhulst(1804 - 1849)


A expressão geral da fdp Logística é

dada por:

0 β R, x para ]e1[

eβ)x(f

β/)αx( 2

β/)αx(1

>∈+

=−

−−

β

α−=∈

+

β=

xy R, x para

]e1[

e)/1()y(f

y 2

y

ou






da Logística padrão é dada por:

R x para ]e1[

e)x(fx 2

x∈

+=

R x para ]e1[

1)x(f

x 2∈

+=

−

Ou


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

L(0;1)

L(-1; 2)

L(-1; 0,5)

L(2; 2)


Suponha que X tem uma

distribuição de Pareto com

α = 1. Mostre que

Y = ln(X - 1) tem uma distribuição

Logística Padrão.

2323


A FD da Logística é:

0 R, x para e1

e)x(F)/-(x

)/-(x>β∈

+=

βα

βα

0 R, x para e1

1)x(F

)/-(x->β∈

+=

βα

ou

-x

y R, y para e1

1)y(F

y- β

α=∈

+=

ou ainda:


0,0

0,5

1,0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


)X(E α==µ


Distribuição Logística é dada por:


A Variância da Distribuição

Logística é dada por:

3

V(X) 2

22 πβ==σ


Considerando uma L(α; β),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;


αµ µµ oe===

03 =µ

2,45/64 ==µ

α

βπ=

α

βπ

=γ3

3

22

2424



L(-2; 5). Representar os resultados


principais medidas.


−+≈

u1

ulnβα)β;α(L


A distribuição foi

introduzida por De Moivre em

um artigo em 1733. O seu

resultado foi estendido por

Laplace no seu livro “Teoria

Analítica das Probabilidades” de

1812.

Abraham DE MOIVRE

(1667 - 1754)


Laplace utilizou a

normal na análise de erros

de experimentos. O

“método dos mínimos

quadrados” foi introduzido

por Legendre em 1805.

Pierre-Simon, Marquis de LAPLACE(1749 - 1827)

Adrien Marie LEGENDRE(1752 - 1833)


Ele foi justificado porGauss, supondo umadistribuição normal doserros, em 1809 que alegouque já utilizava o métododesde 1794. Hoje ela étambém conhecida comodistribuição de Gauss-Moivre-Laplace.

Carl Friedrich GAUSS

(1777 - 1855)

2525


ℜ∈σπ

=

σ

µ−−

x,e..2

1)x(f

2x.

2

1


distribuição normal se sua fdp for do

tipo:

0 e - com >σ∞<µ<∞


A distribuição Normal apresenta

dois parâmetros. Uma de localização µ

e outro de forma σ > 0. Neste caso os

parâmetros representam a média e a

variabilidade do modelo.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

N(0; 1)

N(0; 0,5)

N(0; 2)

N(2; 1)


?due..2

1)xX(P x

2u.

2

1

=σπ

=≤ ∫ ∞−

σ

µ−−

A normal não é integrável

através do TFC, isto é, não existe

F(x) tal que F’(x) = f(x).


Utilizar integração numérica.

Como não é possível fazer isto com

todas as curvas, escolheu-se uma

para ser tabelada (integrada

numericamente).


σ

µ−=

XZ

A curva escolhida é aN(0, 1), isto é, com µ = 0 e σ = 1.

Se X é uma N(µ, σ), então:Se X é uma N(µ, σ), então:

Será uma N(0; 1)

2626


ℜ∈π

=ϕ−

z ,e.2

1)z(

.2

z2

A fdp da variável Z é dada por:

uma vez que µ = 0 e σ = 1.


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0


O que é tabelado é a FDA da

variável Z, isto é:

)z( due.2

1

du)u()zZ(P

z-

.2

u2

z-

Φ=π

=

=ϕ=≤

∫

∫

∞

−

∞


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

z

)z(Φ


µ==µ )X(E


Distribuição Beta é dada por:


A Variância da Distribuição Normal

é dada por:

σ= 2 V(X)

2727


Considerando uma N(µ; σ),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;



µ=µ=µ eo

01 =γ

0ou 3γ2=

σ

µ=γ



N(10, 2). Representar os resultados


principais medidas.


Um dos possíveis métodos de

geração de valores da normal é pela

convolução:

12

k

2

kU

)1,0(N

k

1ii −∑

≈ =

Fazendo

k = 12,

tem-se:

6U)1,0(N12

1ii −∑≈

=


A Distribuição de

Pareto é também conhecidacomo Exponencial Dupla,Hiperbólica ou Lei do Poder.É usada para modelar tempode CPU e tamanho dearquivos na Internet.

Vilfredo

Federigo Samaso PARETO

(1848 - 1923)

2828


Distribuições sócio-econômicas

com grandes caudas à direita. Tamanho

de populações, ocorrência de fenômenos

naturais, preços de ações, renda pessoal,

etc.



de Pareto é dada por:

>βαβ≥βα

=+αα

c.c. 0

0, , x se x)x(f1)(-


Os parâmetros de locação, β > 0

representa o menor valor possível da

variável. O parâmetro α > 0

representa a forma da distribuição.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0


Suponha que a renda de uma

determinada população tenha uma

distribuição de Pareto com parâmetro de

forma igual a 3 e parâmetro de escala igual a

1000. Determine o percentual da população

que tem renda entre 2000 e 4000.


%94,1064

7

64

1

8

1

4

1

2

1

2000

10001

4000

10001

)2000(F)4000(F)4000X2000(P

3333

==−=

=

−

=

−−

−=

=−=<<

0001 x se 0

0001 x se x

1000-1

)x(F

3

<

≥

=

2929


A função F(x) é dada pela seguinte

expressão relativamente simples:

x se 0

x se x

-1)x(F

β<

β≥

β=

α


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0


1 se 1

)X(E >α−α

αβ==µ


uma distribuição de Pareto é dada por:


A variância da distribuição de

Pareto é dada por:

2 se )1()2(

V(X) 2

22 >α

−α−α

βα==σ



P(2; 0,1). Fazer um diagrama dos

resultados e calcular as seguintes

medidas: média, desvio padrão, moda,

mediana, assimetria e curtose.


Considerando uma P(α; β),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose.

3030


mo = β

me =

3 se 2

3

)1(23 >α

α

−α

−α

+α=µ

4 se )4)(3(

)2)(23(3 2

4 >α−α−αα

−α+α+α=µ


u)u1(

xβ

xβ

α/1α/1

αα

βxx

β

u1 1F(x)

−=⇒=

−=⇒−=

−

Um gerador para obter valores de

uma variável de Pareto é dado por:



distribuição Qui-Quadrado se sua fdp

for do tipo:

0 x se 0

0 x se

22

ex

)x(f 2

2

x1

2

≤

>

υΓ

=υ

−−υ


Determinar a representação gráfica, em

um mesmo diagrama, das seguintes

distribuições:

χχχχχ 25

24

23

22

21 e , , ,


0,00

0,20

0,40

0,60

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

Q(1)

Q(2)

Q(3)

Q(4)

Q(5)

3131


O que é tabelado é a função inversa

(percentis), em relação a área à direita

(unilateral) de cada curva (uma para cada

linha), ou a soma das caudas (bilateral),

isto é, a tabela retorna um valor “t” tal que

P(ΤΤΤΤ ≥≥≥≥ t)))) ==== αααα ((((unilateral)))) ou P(|T| ≥≥≥≥ t)))) ==== αααα....



analítica para F(x) genérica. Ela é

avaliada numericamente.



Distribuição Qui-Quadrado é dado por:

υ=)X(E


A Variância da Distribuição da Qui-

Quadrado é dada por:

2 = Var(X) υ


O que é tabelado é a função

inversa, em relação a área à direita de

cada curva (uma para cada linha),

isto é, dado um valor de área na cauda

direita (αααα), a tabela retorna um valor “x” tal

que P(χχχχ2 ≥≥≥≥ x)))) ==== ααααProf. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS

Considerando uma χ2(ν),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;


3232


ν=γ

81

ν=γ

2

2 se 2o >ν−ν=µ

3/2e −ν=µ

ν=γ

122



. Apresentar os resultados de forma

tabular e gráfica, calculando todas as

principais medidas.

χ23


A geração de valores de uma Qui-

Quadrado com ν gl é divido em dois

casos: ν par (primeiro algoritmo) e ν

ímpar (segundo algoritmo)

/2r ),Uln(2~r

1ii

2 ν=∏−χ=

ν

/2)1(r ,Z)Uln(2~ 2r

1ii

2 −ν=+∏−χ=

ν



A distribuição de

Rayleigh pode ser obtida

através de duas componentes

ortogonais normalmente IID.

O valor absoluto (p. e.

velocidade do vento) terá uma

distribuição de Rayleigh.

John William Strutt (Lord) RAYLEIGH(1842 - 1919)


Se for tomado um número complexo

ao acaso com as componentes real e

imaginária normalmente IID o valor

absoluto terá uma distribuição de

Rayleigh.

3333


Se β = 1, então R(1)2 ~ ;

A χ2 é uma generalização da

Rayleigh;

A Weibull é, também, uma

generalização da Rayleigh.

χ22


A expressão da distribuição deRayleigh é:

0 0, x se b

x

2

1exp

x)x(f

2

2>β≥

−

β=


O modelo apresenta um parâmetro

de escala β.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

R(0,5)

R(1)

R(1,5)

R(2)


A FD da Distribuição de Rayleigh é:

0 0, x se x

2

1exp1)x(F

2

>β≥

β−−=


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

R(0,5)

R(1)

R(1,5)

R(2)

3434


2 E(X)

πβ==µ

A expectância ou valor esperada da

Distribuição de Gumbel é dado por:


A Variância da Distribuição de

Rayleigh é dada por:

2

)4(

22 V(X)

222 βπ−

=

π−β==σ


Considerando uma R(β),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;


6311,0

22

2)3(

2/332

31 =

π−

π−π

=µ

µ=γ

5227,04

2

222

=π

π−=

πβ

π−β

=γ

β=µo

2451,0

)4(

162462

2

2

=

=π−

+π−π−=γ

β=−β=µ 3863,1)5,0ln(2e



R(2). Representar os resultados


principais medidas.


A geração de valores dessa

distribuição é feita através de uma qui-

quadrado.

])uln(2[U −β=

3535


A origem da distribuição t

foi um artigo publicado em

1908 por Gosset, químico da

cervejaria Guinness de Dublin.

Ele não pode publicar o artigo com o

seu verdadeiro nome daí o pseudônimo.

William

Sealey Gosset

(1876 - 1937)


A distribuição t, e

principalmente o teste t, setornaram bem conhecidos atravésdo trabalho de Fisher, que foiquem a batizou de distribuição deStudent. Ela surge em quase todotrabalho estatístico sempre que setenha que estimar o desvio padrãoa partir de dados amostrais.

Sir Ronald AylmerFisher (1890 -1962)


0

x12

.

2

1

)x(f

2

12

>ν

υ+

υΓπυ

+υΓ

=+υ


distribuição “t” ou de Student se sua

fdp for do tipo:


Determinar a representação gráfica, em

um mesmo diagrama, das seguintes

distribuições: t(1), t(3), t(10), t(25) e Z.


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

t(1)

t(3)

t(10)

t(25)

N(0: 1)

3636


O que é tabelado é a função inversa

(percentis), em relação a área à direita

(unilateral) de cada curva (uma para

cada linha), ou a soma das caudas

(bilateral), isto é, a tabela retorna um valor

“t” tal que P(ΤΤΤΤ ≥≥≥≥ t)))) ==== αααα ((((unilateral)))) ou

P(|T| ≥≥≥≥ t)))) ==== αααα....



analítica para F(x) genérica. Ela é

avaliada numericamente.



Distribuição t é dado por:

0)X(E ==µ


A Variância da Distribuição da t é

dada por:

2-

= Var(X)υ

υ


Considerando uma t(ν), determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;



01 =γ

4 4

632 >ν

−ν

−ν=γ

µ==µ eo 0

3737



t(3). Apresentar os resultados de forma

tabular e gráfica, calculando todas as

principais medidas.


A geração dos valores de uma

distribuição t é feito através do

quociente de uma normal e uma Qui-

Quadrado.

n

Z~t

2n

nχ

Onde Z é a

normal padrão.


c.c. 0

b x a se ab

1)x(f

≤≤

−=

Uma VAC X é uniforme no intervalo

[a; b] se assume todos os valores com

igual probabilidade. Isto é, se f(x) for:


Seja X uma VAC com distribuição

uniforme no intervalo [2; 6], isto é,

X ~ U(2; 6). Então a fdp é dada por:

c. c.

x se 4

1

2-6

1

)x(f

≤≤=

=

0

62


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 2 4 6 8 10

Fdp da U(2; 6)

3838


A função F(x) é dada por:

b > x se 1

b x a se ab

ax

a < x se 0

)x(F

≤≤−

−=


Seja X uma uniforme no intervalo

[2; 6], então a FDA de X é dada por:

6 > x se

6 x 2 se x

2 < x se

)x(F

≤≤−

=

1

4

2

0


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

FDA da U(2; 6)


22

22

1 222

ba)ab(

)ab).(ab(

)ab(abx

ab

dxab

xdx)x(f.x)X(E

b

a

ba

+=

−

+−=

=−

−=

−=

=∫−

=∫=∞+∞−


σ2 = V(X) = E(X2) – E(X)2

=−

−=

−=

=∫−

=∫= ∞+∞−

)ab(abx

ab

dxab

xdx)x(f.x)X(E

b

a

ba

331 33

222

3


A variância será então:

12

4

2

3

23

2

2233

233

22

)ab(

abba)ab(

ab

ba

)ab(ab

)X(E)X(E)X(V 2

−=

=−+

−−

−=

=

+−

−

−=

=−==σ

3939


Gerador

u)ab(axab

axu

ab

ax)x(F

−+=

−

−=

−

−=

Para gerar uma VAC Uniforme em

um intervalo [a, b], basta fazer:



A Distribuição de Weibull

(1951) é aplicável a uma série de

fenômenos, sendo uma das

principais áreas os tempos de

falha de componentes elétricos e

mecânicos.

Ernest

Hjalmar Waloddi WEIBULL

(1887 - 1979)


A função densidade de

probabilidade de Weibull é dada por:

≥

−−

−

=

−

c.c. 0

γ x se δ

γxexp

δ

γxδ

β

)x(f

β1β


Os parâmetros são γ (-∞ < γ < ∞) o de

locação, δ > 0 o de escala e β > 0 o de

forma.

Quando γ = 0 e β = 1, a Weibull se

reduz a uma exponencial de parâmetro

λ = 1/δ.


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0

W(0,1,1)

W(0,2,1)

W(0,3,1)

W(0,4,1)

4040


A vida de equipamento eletrônico é dada

por Y = X1 + X2 + X3 + X4, a soma das vidas

de seus componentes. Os componentes são

independentes, cada um tendo tempo de falha

exponencial com média entre falhas de 4

horas. Qual é a probabilidade de que o

sistema opere pelo menos 24 horas sem

falhas?


%12,15

)/k!6 e(

)24(F1)24Y(P

k3

0k

6

=

=∑=

=−=>

=

−


A função F(x) é dada pela seguinte

expressão relativamente simples:

γ x se 0

γ x se δ

γ-x-exp-1

)x(F

β

<

≥

=


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0

W(0,1,1)

W(0,2,1)

W(0,3,1)

W(0,4,1)


A distribuição do tempo de falha

para um equipamento eletrônico é uma

Weibull com parâmetros γ = 0, β = ½ e δ

= 100. Determine a fração de

equipamentos que espera resistam mais

de 400 horas


%53,13e

)100/400exp(

)400(F1)400X(P

2- ==

=−=

=−=>

4141


+Γ+==β

11δγ)X(E µ


uma Distribuição de Weibull é dada por:


A Variância da Distribuição de Weibull

é dada por:

+Γ−

+Γ==

β

11

β

21δ V(X)σ

222


Gerador

Para gerar valores de uma VAC

Weibull, uma possibilidade é utilizar o

seguinte algoritmo:

u -exp-1δ

γ-xβ

=


γδxγδx

δγ-xδ

γ-x

)u1ln(u1 -exp

)]uln([)]u1ln([

)]u1ln([)]u1ln([

δ

γ-xδ

γ-x

β/1β/1

β/1β/1

ββ

+=⇒+=

=⇒=

=−−⇒−=

−−−

−−−−

Simula 04.ppt [Modo de Compatibilidade] - pucrs.br · Lognormal Normal Pareto ... exponencial de...

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