Simula 04.ppt [Modo de Compatibilidade] - pucrs.br · Lognormal Normal Pareto ... exponencial de...

11

Prof. Lor Viali, [email protected]

http://www.pucrs.br/famat/viali/

Prof. Lor Viali, Dr. Faculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS Prof. Lor Viali, Dr. Faculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS

Beta

Cauchy

Erlang

Exponencial

F (Snedekor)

Gama

Gumbel

Laplace

Logstica

Lognormal

Normal

Pareto

Qui-quadrado - 2

Student - t

Uniforme

Weibull


A distribuio Beta apresenta

normalmente duas expresses. Uma

denominada de frmula geral e outra de

forma padro. A forma padro definida

no em [0; 1] mais utilizada.

22

Prof. Lor Viali, Dr. Faculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS

A expresso geral da fdp Beta dada

por:

>

= ++

c.c. 0

0, e bx a se )ab(),(B

x)-(ba)-(x)x(f 1

1-1

=

1

0

1-1 dxx)-(1x),(B

Onde:


A funo Beta foi

introduzida pela primeira

vez por Euler.

=

1

0

1-1 dxx)-(1x),(B

Leonhard

Euler(1707 - 1783)

),(B),(B = = /1)1,(B

)(

)()(),(B

+

=


A funo densidade de probabilidade

da Beta padro dada por:

>

=

c.c. 0

0, e 1x 0 se ),(B

x)-(1x)x(f

1-1

)(

)().(dxx)-(1x),(B

1

0

1-1+

==


Os parmetros de > 0 e > 0 so

os de forma. Os valores a e b

representam os extremos da

distribuio. No formato padro a = 0

e b = 1.


Para a descrio de tempos para

completar tarefas no planejamento e

projeto de sistemas. Usada extensivamente

em PERT/CPM.


0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

1,80

2,10

2,40

2,70

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

B(0; 0)

B(1; 1)

B(2;2)

B(1; 2)

B(2: 1)

B(5; 2)

33


0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

1,80

2,10

2,40

2,70

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

B(0; 1)

B(1; 0)

B(0; 2)

B(2; 0)

B(3; 1)

B(1; 3)


Determinar a representao grfica da

B(0,5; 0,5).


No existe uma expresso

analtica para F(x) genrica. Se a e b

so inteiros, uma expanso Binomial

pode ser utilizada para obter F(x).


)X(E +

==

A expectncia ou valor esperado da

Distribuio Beta dada por:


A Varincia da Distribuio da Beta

dada por:

)()1(

V(X) 2

2

+++

==


Considerando uma B(; ),

determinar:

(1) A moda;(2) A mediana;(3) A assimetria;(4) A curtose;(5) O coeficiente de variao.

44


1 se modalA

1 e 1

1 e 1 1

1 e 1

1 e 1 0

1 e 1 se 1 e 0

1 e 1 se 2

1

o

o

o

o

==

=>

=

55


A distribuio de Cauchy

tambm denominada de

Lorentziana a distribuio do

quociente de variveis normais

padro independentes.

Baron

Augustin Louis Cauchy

(1789 -1857)


Entre os fsicos ela conhecida

como distribuio de Lorentz ou de

Breit-Wigner. Ela importante por que

a soluo de uma equao diferencial

que descreve a ressonncia forada.


A expresso geral da distribuio de

Cauchy :

0 , x

1

1)x(f

2>

+

=

ou

0 , ])x([

)x(f22

>+

=


Os parmetros so que de

localizao e que o de escala.

Se = 0 e = 1, ento tem-se a

distribuio de Cauchy Padro.


A funo densidade de

probabilidade da Cauchy Padro

dada por:

R x para )e1(

1)x(f

x 2

+=


-0,1

0,1

0,3

0,5

0,7

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

C(-1; 0,5)

C(0; 1)

C(1,5; 1)

C(2; 2)

66


A FD da Cauchy :

0 R, x para -x

arctg 1

2

1)x(F >

+=


0,0

0,5

1,0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8


A distribuio de Cauchy no tem

valor esperado, i.e. mdia.


A distribuio de Cauchy no

apresenta varincia.


Considerando uma C(; ),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;

(5) O coeficiente de variaoProf. Lor Viali, Dr. Faculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS

== oo

Essa distribuio no apresenta

momentos finitos. A mdia e o desvio

padro podem ser assumidos como

sendo e respectivamente.

77


Gerar 10000 valores de uma

C(1; 2). Representar os resultados

graficamente e calcular todas as

principais medidas.


)]}5,0u([tg{) ;(C +


+

+

=

+


Expectncia ou Valor esperado

Varincia

2n ,2n

n)X(E >

=

)4 - )(n2 - m(n

)2 - n(m n2 = Var(X)2 +

m o grau deliberdade donumerador e n dodenominador


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 3 6 9 12 15

F(1, 3) - F(2, 5) - F(5, 10) - F(20, 20)

1010


O que tabelado a percentil 95%

ou 99% - rea direita de cada curva

(uma para cada par de valores

numerador, denominador) igual a 5% e

1%, isto , x tal que P[F(m, n) x] = 5%

ou P[F(m, n) x] = 1%.



F(3; 2). Apresentar os resultados de

forma tabular e grfica, calculando

todas as principais medidas.


A gerao de uma F(m, n) feita

atravs da relao com a distribuio

Qui-Quadrado.

=

=

=

=2n

2m

2n

2m

n

1i

2i

m

1i

2i

m

n

n

m

Zn1

Zm

1

~)n,m(F



dxex)n( x01n =

Para se definir a Distribuio

Gama necessrio definir inicialmente

a Funo Gama.

para n > 0


Se n um inteiro positivo, ento:

(n) = (n - 1)(n - 1)

A funo Gama recursiva, isto :

G(n) = (n 1)!

1111


1dxe)1( 0x ==

E uma vez que :

A funo gama uma

generalizao do Fatorial.


2

1=

Verificar, ainda, que:


c.c. 0

0 x se e)x()r(

)x(f x1r

=

>

=

Uma vez definida a Funo Gama,

pode-se definir, ento, a Distribuio

Gama:


Onde os parmetros r > 0 e

> 0 so denominados de

parmetro de forma (r) e

parmetro de escala ().

Se r for inteiro ento a

distribuio Gama denominada

de distribuio de Erlang.

AgnerKrarupErlang(1878 1929)


Existe uma relao bastante

prxima entre a Gama e a

Exponencial. Se r = 1, a

distribuio gama se reduz a uma

exponencial.


Se uma varivel aleatria X a soma

de r variveis independentes e

exponencialmente distribudas cada uma

com parmetro , ento X tem uma

densidade Gama com parmetros r e .

1212


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

G(1; 1)

G(1; 2)

G(1; 3)


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

G(2; 1)

G(3; 1)

G(5; 1)


A funo F(x) dada por:

0 x se 0

0 x sedu eu)( (r)

-1

)x(Fu-1-r

x

>=


Se r um inteiro positivo a FDA pode

ser integrada por partes fornecendo:

0 x se /k!x)( e1)x(Fk1r

0k

x >=

=

que a soma dos termos de uma Poisson

com mdia x. Assim a FDA da Poisson

pode ser usada para avaliar a Gama.


A vida de equipamento eletrnico dada

por Y = X1 + X2 + X3 + X4, a soma das vidas

de seus componentes. Os componentes so

independentes, cada um tendo tempo de falha

exponencial com mdia entre falhas de 4

horas. Qual a probabilidade de que o

sistema opere pelo menos 24 horas sem

falhas?


Como r = 4, ento a FDA da Gama

dada por:

0 x se /k!(x/4) e1)x(F k3

0k

4/x >==

que a soma dos termos de uma Poisson

com mdia x = 24/4 = 6.

1313


%12,15

)/k!6 e(

)24(F1)24Y(P

k3

0k

6

=

==

==>

=


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

G(2; 1)

G(3; 1)

G(5; 1)


rdx)x(f.x)X(E ===

+

A expectncia ou valor esperado de

uma Distribuio Gama dada por:


A Varincia da Distribuio Gama

dada por:

r V(X) 2

2 ==


Gerador

Para gerar valores de uma VAC

Gama, uma possibilidade utilizar o

seguinte algoritmo:

(i) Gerar r nmeros aleatrios:

u1, u2, ..., ur.

(ii) Calcular Li = -ln(1- ui) para i = 1,

2, ..., r.


(iii) Somar todos os Li, isto , fazer S

= Soma dos Li;

(iv) Determinar S/ como um valor da

distribuio G(r, ).

Esse algoritmo vale para valores

de r inteiros e no muito eficiente

para r grande, mas o mais simples.

1414


)ln(1

),(1

=

r

i

iUrE

Resumindo: uma maneira de gerar

valores de uma G(, r) dado por:



A distribuio de Gumbel

tambm conhecida como

distribuio de Valores

Extremos, log-Weibull ou

Fisher-Tippet. Seu nome

uma homenagem a Emil J.

Gumbel.

Leonard

Henry Caleb Tippett

(1902 -1985)

Emil Julius

Gumbel(1891 - 1966)


A distribuio tem duas formas.

Uma baseada no menor extremo e a

outra no maior. Elas so denominadas

de casos mnimo e mximo

respectivamente.


A distribuio utilizada na

Indstria em aplicaes de Controle de

Qualidade. Nas cincias ambientais

utilizada para modelar valores extremos

associados com enchentes e

precipitaes pluviomtricas.


A expresso da distribuio deGumbel (caso mnimo) :

0 e-exp-x

exp 1

)x(f-x

>

=

A expresso da distribuio deGumbel (caso mnimo) :

0 e-exp-x

exp 1

)x(f-x

>

=

1515





Se = 0 e = 1 ento a distribuio

de Gumbel assume a forma:

==

-xy onde R y para ee)y(f e-y

y


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

G(-0,5; 0,5)

G(0; 1)

G(0,5; 1,5)

G(1: 2)


-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

G(-0,5; 0,5)

G(0; 1)

G(0,5; 1,5)

G(1: 2)


A FD da Distribuio de Gumbel :

0 para eexp1)x(Fx

>

=

==

-x y onde e1)x(F e

y

ou


0,00,10,20,3

0,40,50,6

0,70,80,91,0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

G(-1; 01,)

G(-0,5; 0,5)

G(0; 1)

G(0,5; 1,5)

G(1; 2)

1616


0,00,1

0,20,3

0,40,50,6

0,70,8

0,91,0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

G(-1; 01,)

G(-0,5; 0,5)

G(0; 1)

G(0,5; 1,5)

G(1; 2)


=+== )1( E(X) '

onde (1) a derivada de (n) quando

n = 1, isto , (1) = -0,577216 = =

constante de Euler.


distribuio de Gumbel dado por:


A Varincia da Distribuio de

Gumbel dada por:

6)(

V(X) 2

2 ==


Considerando uma G(; ),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;

(5) O coeficiente de variao


=+= 3665,0))]2[ln(ln(e

1395,1

6.

6

)(

404114,22

3

32

31 =

=

=

=

4632,36

=o

4,5

6)(

20

)(3

2 2

4

42

42 =

=

=



G(-2; 2). Representar os resultados


principais medidas.

1717


+

u1

1lnln);(G

Valores da distribuio de Gumbel

podem ser gerados atravs do mtodo

da inverso:



A distribuio de Laplace

se origina da diferena entre

duas VA exponenciais IID.

um movimento Browniano

avaliado em um tempo

aleatrio exponencialmente

distribudo.

Pierre

Simon Marquis de Laplace

(1749 -1827)


A distribuio conhecida tambm

pelo nome de Exponencial Dupla,

embora esse nome tambm seja

aplicado a distribuio de valores

extremos. conhecida ainda por

Exponencial de Dupla Cauda e

Exponencial Bilateral.


A expresso da distribuio de

Laplace :

0 2

e

-xexp

21

)x(f

x

>

=

=




1818


Se = 0 e = 1 ento a distribuio

de Laplace assume a forma

R x para 2

e)x(fx

=

Essa distribuio , s vezes,denominada de primeira lei do Erro dePoisson.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La(-1; 0,5)

La(0; 1)

La(1,5; 1)

La(2; 2)


A FD da Distribuio de Laplace :

x se -x

exp 2

11

x se -x

exp 2

1

)x(F

>

=


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La(-1; 0,5)

La(0; 1)

La(1,5; 1)

La(2; 2)


E(X) ==

A Expectncia da distribuio de

Laplace dada por:


A varincia da distribuio de

Laplace dada por:

2 V(X) 22 ==

1919


Considerando uma Lp(; ),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;


oe ===

03 =

64 =

=

= 2

2 2



La(-2; 2). Representar os resultados


principais medidas.


|)u|21ln()Usgn();(L

Onde U uma uniforme no

intervalo [-0,5; 0,5]


A expresso da fdp da Log-Normal dada por:

( )0 0, x se

2

xlnexp

2x

1)x(f

2

2>

=

0 0, x se xln

2

1exp

x2

1)x(f

2

22>

=

Ou

2020


O modelo apresenta um parmetro

de localizao e um de escala .


-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8

LN(0; 1/8)

LN(0, 1/4)

LN(0; 1/2)

LN(0; 1)

LN(0; 3/2)

LN(0; 10)


A FD de Distribuio Log-Normal :

0 0, x se )xln(

G)x(F >

=

Onde G a FD da N(; )


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

R(0,5)

R(1)

R(1,5)

R(2)


)2/exp( E(X) 2+==

A expectncia ou valor esperada da

Distribuio da Log-Normal dada

por:


A varincia da distribuio Log-

Normal dada por:

)2exp()22exp( V(X) 222 ++==

2121


Considerando uma LN(, ),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;


)1)exp()2exp( 221 +=

1)exp( 2 =

)exp( 2o =

3)2exp(3)3exp(2)4exp( 2222 =+=

)exp(e =



LN(0, 1). Representar os resultados


principais medidas.


A gerao de valores dessa

distribuio feito atravs do mtodo

da convoluo:

=6Uexp)exp(),(LN

12

1ii

2


A distribuio Logstica apresenta

normalmente duas expresses. Uma

denominada de frmula geral e outra de

forma padro.

2222


A distribuio Logstica

derivada do trabalho de Verhulst,

Professor de Anlise na

Faculdade Militar Belga. Ele a

utilizou para modelar o

crescimento da populao na

Blgica no incio de 1800.

Pierre

Franois Verhulst(1804 - 1849)


A expresso geral da fdp Logstica

dada por:

0 R, x para ]e1[

e)x(f/)x( 2

/)x(1

>+

=

=

+

=

xy R, x para

]e1[

e)/1()y(fy 2

y

ou






da Logstica padro dada por:

R x para ]e1[

e)x(fx 2

x

+=

R x para ]e1[

1)x(f

x 2

+=

Ou


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

L(0;1)

L(-1; 2)

L(-1; 0,5)

L(2; 2)


Suponha que X tem uma

distribuio de Pareto com

= 1. Mostre que

Y = ln(X - 1) tem uma distribuio

Logstica Padro.

2323


A FD da Logstica :

0 R, x para e1

e)x(F)/-(x

)/-(x>

+=

0 R, x para e1

1)x(F

)/-(x->

+=

ou

-x

y R, y para e1

1)y(F

y-

=

+=

ou ainda:


0,0

0,5

1,0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


)X(E ==


Distribuio Logstica dada por:


A Varincia da Distribuio

Logstica dada por:

3

V(X) 2

22 ==


Considerando uma L(; ),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;


oe ===

03 =

2,45/64 ==

=

=3

3

22

2424



L(-2; 5). Representar os resultados


principais medidas.


+

u1

uln);(L


A distribuio foi

introduzida por De Moivre em

um artigo em 1733. O seu

resultado foi estendido por

Laplace no seu livro Teoria

Analtica das Probabilidades de

1812.

Abraham DE MOIVRE

(1667 - 1754)


Laplace utilizou a

normal na anlise de erros

de experimentos. O

mtodo dos mnimos

quadrados foi introduzido

por Legendre em 1805.

Pierre-Simon, Marquis de LAPLACE(1749 - 1827)

Adrien Marie LEGENDRE(1752 - 1833)


Ele foi justificado porGauss, supondo umadistribuio normal doserros, em 1809 que alegouque j utilizava o mtododesde 1794. Hoje ela tambm conhecida comodistribuio de Gauss-Moivre-Laplace.

Carl Friedrich GAUSS

(1777 - 1855)

2525


=

x,e..2

1)x(f

2x.

2

1

Uma varivel aleatria X tem uma

distribuio normal se sua fdp for do

tipo:

0 e - com >

2626


=

z ,e.2

1)z(

.2

z2

A fdp da varivel Z dada por:

uma vez que = 0 e = 1.


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0


O que tabelado a FDA da

varivel Z, isto :

)z( due.2

1

du)u()zZ(P

z-

.2

u2

z-

=

=

==


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

z

)z(


== )X(E


Distribuio Beta dada por:


A Varincia da Distribuio Normal

dada por:

= 2 V(X)

2727


Considerando uma N(; ),

determinar:



== eo

01 =

0ou 32 =

=



N(10, 2). Representar os resultados


principais medidas.


Um dos possveis mtodos de

gerao de valores da normal pela

convoluo:

12

k

2

kU

)1,0(N

k

1ii

=Fazendo

k = 12,

tem-se:

6U)1,0(N12

1ii

=


A Distribuio de

Pareto tambm conhecidacomo Exponencial Dupla,Hiperblica ou Lei do Poder. usada para modelar tempode CPU e tamanho dearquivos na Internet.

Vilfredo

Federigo Samaso PARETO

(1848 - 1923)

2828


Distribuies scio-econmicas

com grandes caudas direita. Tamanho

de populaes, ocorrncia de fenmenos

naturais, preos de aes, renda pessoal,

etc.



de Pareto dada por:

>

=+

c.c. 0

0, , x se x)x(f1)(-


Os parmetros de locao, > 0

representa o menor valor possvel da

varivel. O parmetro > 0

representa a forma da distribuio.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0


Suponha que a renda de uma

determinada populao tenha uma

distribuio de Pareto com parmetro de

forma igual a 3 e parmetro de escala igual a

1000. Determine o percentual da populao

que tem renda entre 2000 e 4000.


%94,1064

7

64

1

8

1

4

1

2

1

2000

10001

4000

10001

)2000(F)4000(F)4000X2000(P

3333

===

=

=

=

==

2929


A funo F(x) dada pela seguinte

expresso relativamente simples:

x se 0

x se x

-1)x(F

==


uma distribuio de Pareto dada por:


A varincia da distribuio de

Pareto dada por:

2 se )1()2(

V(X) 2

22 >

==



P(2; 0,1). Fazer um diagrama dos

resultados e calcular as seguintes

medidas: mdia, desvio padro, moda,

mediana, assimetria e curtose.


Considerando uma P(; ),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose.

3030


mo =

me =

3 se 2

3

)1(23 >

+=

4 se )4)(3(

)2)(23(3 24 >

++=


u)u1(

x

x

/1/1

xx

u1 1F(x)

==

==

Um gerador para obter valores de

uma varivel de Pareto dado por:



distribuio Qui-Quadrado se sua fdp

for do tipo:

0 x se 0

0 x se

22

ex

)x(f 2

2

x1

2

>

=


Determinar a representao grfica, em

um mesmo diagrama, das seguintes

distribuies:

2524

23

22

21 e , , ,


0,00

0,20

0,40

0,60

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

Q(1)

Q(2)

Q(3)

Q(4)

Q(5)

3131


O que tabelado a funo inversa

(percentis), em relao a rea direita

(unilateral) de cada curva (uma para cada

linha), ou a soma das caudas (bilateral),

isto , a tabela retorna um valor t tal que

P( t)))) ==== ((((unilateral)))) ou P(|T| t)))) ==== ....



analtica para F(x) genrica. Ela

avaliada numericamente.



Distribuio Qui-Quadrado dado por:

=)X(E


A Varincia da Distribuio da Qui-

Quadrado dada por:

2 = Var(X)


O que tabelado a funo

inversa, em relao a rea direita de

cada curva (uma para cada linha),

isto , dado um valor de rea na cauda

direita (), a tabela retorna um valor x tal

que P(2 x)))) ==== Prof. Lor Viali, Dr. Faculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS

Considerando uma 2(),

determinar:


3232


=

81

=

2

2 se 2o >=

3/2e =

=

122



. Apresentar os resultados de forma

tabular e grfica, calculando todas as

principais medidas.

23


A gerao de valores de uma Qui-

Quadrado com gl divido em dois

casos: par (primeiro algoritmo) e

mpar (segundo algoritmo)

/2r ),Uln(2~r

1ii

2 ==

/2)1(r ,Z)Uln(2~ 2r

1ii

2 =+=



A distribuio de

Rayleigh pode ser obtida

atravs de duas componentes

ortogonais normalmente IID.

O valor absoluto (p. e.

velocidade do vento) ter uma

distribuio de Rayleigh.

John William Strutt (Lord) RAYLEIGH(1842 - 1919)


Se for tomado um nmero complexo

ao acaso com as componentes real e

imaginria normalmente IID o valor

absoluto ter uma distribuio de

Rayleigh.

3333


Se = 1, ento R(1)2 ~ ;

A 2 uma generalizao da

Rayleigh;

A Weibull , tambm, uma

generalizao da Rayleigh.

22


A expresso da distribuio deRayleigh :

0 0, x se b

x

2

1exp

x)x(f

2

2>

=


O modelo apresenta um parmetro

de escala .


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

R(0,5)

R(1)

R(1,5)

R(2)


A FD da Distribuio de Rayleigh :

0 0, x se x

2

1exp1)x(F

2

>

=


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

R(0,5)

R(1)

R(1,5)

R(2)

3434


2 E(X)

==

A expectncia ou valor esperada da

Distribuio de Gumbel dado por:


A Varincia da Distribuio de

Rayleigh dada por:

2

)4(

22 V(X)

222 =

==


Considerando uma R(),

determinar:

(1) A moda;

(2) A mediana;

(3) A assimetria;

(4) A curtose;


6311,0

22

2)3(

2/332

31 =

=

=

5227,04

2

222

=

=

=

=o

2451,0

)4(

162462

2

2

=

=

+=

== 3863,1)5,0ln(2e



R(2). Representar os resultados


principais medidas.


A gerao de valores dessa

distribuio feita atravs de uma qui-

quadrado.

])uln(2[U =

3535


A origem da distribuio t

foi um artigo publicado em

1908 por Gosset, qumico da

cervejaria Guinness de Dublin.

Ele no pode publicar o artigo com o

seu verdadeiro nome da o pseudnimo.

William

Sealey Gosset

(1876 - 1937)


A distribuio t, e

principalmente o teste t, setornaram bem conhecidos atravsdo trabalho de Fisher, que foiquem a batizou de distribuio deStudent. Ela surge em quase todotrabalho estatstico sempre que setenha que estimar o desvio padroa partir de dados amostrais.

Sir Ronald AylmerFisher (1890 -1962)


0

x12

.

2

1

)x(f

2

12

>

+

+

=+


distribuio t ou de Student se sua

fdp for do tipo:


Determinar a representao grfica, em

um mesmo diagrama, das seguintes

distribuies: t(1), t(3), t(10), t(25) e Z.


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

t(1)

t(3)

t(10)

t(25)

N(0: 1)

3636


O que tabelado a funo inversa

(percentis), em relao a rea direita

(unilateral) de cada curva (uma para

cada linha), ou a soma das caudas

(bilateral), isto , a tabela retorna um valor

t tal que P( t)))) ==== ((((unilateral)))) ou

P(|T| t)))) ==== ....



analtica para F(x) genrica. Ela

avaliada numericamente.



Distribuio t dado por:

0)X(E ==


A Varincia da Distribuio da t

dada por:

2-

= Var(X)


Considerando uma t(), determinar:



01 =

4 4

632 >

=

== eo 0

3737



t(3). Apresentar os resultados de forma

tabular e grfica, calculando todas as

principais medidas.


A gerao dos valores de uma

distribuio t feito atravs do

quociente de uma normal e uma Qui-

Quadrado.

n

Z~t

2n

n

Onde Z a

normal padro.


c.c. 0

b x a se ab

1)x(f

=

Uma VAC X uniforme no intervalo

[a; b] se assume todos os valores com

igual probabilidade. Isto , se f(x) for:


Seja X uma VAC com distribuio

uniforme no intervalo [2; 6], isto ,

X ~ U(2; 6). Ento a fdp dada por:

c. c.

x se 4

1

2-6

1

)x(f

=

=

0

62


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 2 4 6 8 10

Fdp da U(2; 6)

3838


A funo F(x) dada por:

b > x se 1

b x a se ab

ax

a < x se 0

)x(F

=


Seja X uma uniforme no intervalo

[2; 6], ento a FDA de X dada por:

6 > x se

6 x 2 se x

2 < x se

)x(F

=

1

4

2

0


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

FDA da U(2; 6)


22

22

1 222

ba)ab(

)ab).(ab(

)ab(abx

ab

dxab

xdx)x(f.x)X(E

b

a

ba

+=

+=

=

=

=

=

==+


2 = V(X) = E(X2) E(X)2

=

=

=

=

==+

)ab(abx

ab

dxab

xdx)x(f.x)X(E

b

a

ba

331 33

222

3


A varincia ser ento:

12

4

2

3

23

2

2233

233

22

)ab(

abba)ab(

ab

ba

)ab(ab

)X(E)X(E)X(V 2

=

=+

=

=

+

=

===

3939


Gerador

u)ab(axab

axu

ab

ax)x(F

+=

=

=

Para gerar uma VAC Uniforme em

um intervalo [a, b], basta fazer:



A Distribuio de Weibull

(1951) aplicvel a uma srie de

fenmenos, sendo uma das

principais reas os tempos de

falha de componentes eltricos e

mecnicos.

Ernest

Hjalmar Waloddi WEIBULL

(1887 - 1979)


A funo densidade de

probabilidade de Weibull dada por:

=

c.c. 0

x se

xexp

x

)x(f

1


Os parmetros so (- < < ) o de

locao, > 0 o de escala e > 0 o de

forma.

Quando = 0 e = 1, a Weibull se

reduz a uma exponencial de parmetro

= 1/.


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0

W(0,1,1)

W(0,2,1)

W(0,3,1)

W(0,4,1)

4040


A vida de equipamento eletrnico dada

por Y = X1 + X2 + X3 + X4, a soma das vidas

de seus componentes. Os componentes so

independentes, cada um tendo tempo de falha

exponencial com mdia entre falhas de 4

horas. Qual a probabilidade de que o

sistema opere pelo menos 24 horas sem

falhas?


%12,15

)/k!6 e(

)24(F1)24Y(P

k3

0k

6

=

==

==>

=


A funo F(x) dada pela seguinte

expresso relativamente simples:

x se 0

x se

-x-exp-1

)x(F

4141


++==

11)X(E


uma Distribuio de Weibull dada por:


A Varincia da Distribuio de Weibull

dada por:

+

+==

11

21 V(X)

222


Gerador

Para gerar valores de uma VAC

Weibull, uma possibilidade utilizar o

seguinte algoritmo:

u -exp-1

-x

=


xx

-x

-x

)u1ln(u1 -exp

)]uln([)]u1ln([

)]u1ln([)]u1ln([

-x

-x

/1/1

/1/1

+=+=

==

==

Simula 04.ppt [Modo de Compatibilidade] - pucrs.br · Lognormal Normal Pareto ... exponencial de...

Documents

Transcript of Simula 04.ppt [Modo de Compatibilidade] - pucrs.br · Lognormal Normal Pareto ... exponencial de...

Aspectos cognitivos do glioma de baixo grau: estudo … · 90 Silva, R. F. C. da et al. PSiCo, Porto Alegre, PUCRS, v. 40, n. 1, ... Resultados obtidos no teste WAIS Qi / Índices

Parâmetro de rede da ferrita em um aço δ-TRIPrmct.ime.eb.br/arquivos/RMCT_4_tri_2016_web/PICM_2016_C5.pdf · A fim de calcular o parâmetro de rede, ... O método de Cohen é um

Eleani Maria Da Costa - PUCRS/DEM

12º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERÍA … · molar, α e k são funções da temperatura reduzida e do fator acêntrico (ω), k1 é um parâmetro característico do componente

Pré-Cálculo ECT2101 Slides de ... - pessoal.ect.ufrn.brrbatista/files/pc/funcoes2_slides.pdf · Funções ranscendTentais Números Complexos Função Exponencial Exemplo No exemplo

2018 La transformada de Laplace. - mate.unlp.edu.ar · La transformada de Laplace. I Se dice que una funci on f(t) es de orden exponencial cuando t!1si existen constante M>0 y T>0

Exponencial de uma Matriz - Departamento de Computação e …dcm.ffclrp.usp.br/~jair/listas/ExpMatriz.pdf · Exponencial de uma Matriz Uma das técnicas matemáticas eficeintes

Modelos Lineares Generalizados - Família Exponencialprofessor.ufop.br/sites/default/files/ericarodrigues/files/aula02_1.pdf · Família Exponencial I A variável Y i não pode ter

Guia 3.Circuitos de primer y segundo orden...Figura 18: Circuito RC con fuente exponencial. Ejercicio 19. Encontrar la respuesta completa de tensi´on de cada componente del circuito

Circuitos com Amperímetro e Voltímetronsaulasparticulares.com.br/wp-content/uploads/2014/09/... · Página 1 de 18 Circuitos com Amperímetro e Voltímetro 1. (Pucrs 2014) Considere

Procesos de Poisson - CIMATjortega/MaterialDidactico/modestoI11/Poisson.pdf · Cap tulo 4 Procesos de Poisson 4.1. Distribuci on Exponencial De nici on 4.1 Una variable aleatoria

Tarefa N-Back Visual: construção de um instrumento de avaliação … · 2017. 9. 27. · Tarefa N-Back Visual 489 PSiCo, Porto Alegre, PUCRS, v. 42, n. 4, pp. 487-493, out./dez.

Problemas de Métodos Matemáticos III ... 1 3 donde hemos desarrollado en serie de Taylor la exponencial y despreciando los tér-minos de orden mayor a ∆τ. El producto fτ∆τ

repositorio.ufu.br · constantes, ou seja, ... w é a densidade da água; A é um parâmetro da Lei de Antoine (24,633); B é um parâmetro da Lei de Antoine ...

Distribución Exponencial

ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO - OCW UPMocw.upm.es/estadistica-e-investigacion-operativa/matematicas-y... · > Proceso de alisado exponencial simple: xt =xt−1 +a t −θa t−1

Familia Exponencial · 2018. 5. 8. · Familia Exponencial Propiedades Una distribuci on pertenece a la familia exponencial si su funci on de densidad puede expresarse como: f(y;

Cosmologia I · 2020. 8. 13. · varia, o chamado parâmetro de Hubble H(t). H0 é apenas o valor atual do parâmetro de Hubble. Cálculos recentes que levam em conta a variação

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROmonografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10002636.pdf · • ν (letra nu do alfabeto grego): É o parâmetro que mede a qualidade do dimensionamento,

Percepção e insatisfação corporal: um estudo em crianças ... · Percepção e insatisfação corporal ... 511 Psico, Porto Alegre, PUCRS, v. 41, n. 4, pp. 510-516, out./dez.