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1 Instabilidade e Efeitos de 2.ª Ordem em Edifícios Prof. Romel Dias Vanderlei Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Capítulo 1 Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II 1.1- Introdução Caderno

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1

Instabilidade e Efeitos de 2.ªOrdem em Edifícios

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Cap

ítulo

1

Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II

1.1- Introdução

Caderno

2

1.2- Estruturas de Nós Fixos e Nós Móveis

Caderno

1.3- Dispensa da Consideração dos Esforços Globais de 2ª Ordem

A NBR 6118:2003 (item 15.5) indica dois processos aproximados para verificar a possibilidade de dispensa da consideração dos esforços de 2ª ordem globais, ou seja, para classificar as estruturas de edifícios como sendo de nós fixos ou de nós móveis.São eles:

Parâmetro de instabilidade αCoeficiente γz.

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1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Teoria de BECK (1966):

onde:H: altura total do edifício, medida a partir do topo da fundação ou

de um nível muito pouco deslocável do subsolo;Nk: somatório de todas as ações verticais atuantes no edifício (a

partir do nível considerado para o cálculo de H), com valor característico;

(EI)eq: módulo de rigidez da estrutura do edifício equivalente a um pilar de seção constante engastado na base e livre no topo.

( )α = HNk

EI eq

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Módulo de rigidez equivalente:Valor representativo:Verificar o deslocamento do topo do

edifício quando submetido a uma ação lateral uniformemente distribuída, segundo um modelo tridimensional;

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1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Módulo de rigidez equivalente:Associa-se à estrutura a um pilar de

seção constante, engastado na base e livre no topo, com altura igual à do edifício, que sujeito àmesma ação apresente deslocamento idêntico;

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Módulo de rigidez equivalente:Considera-se a linha elástica do

elemento linear de seção constante.

EI q Ha

=4

8E, I, A : constantesq : ação lateral uniformemente

distribuída ( geralmente éadotado um valor unitário );

H : altura total do edifício;a : deslocamento do topo do edifício

quando submetido à ação lateral de valor igual a q.

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1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Módulo de rigidez equivalente:Consideração de um modelo bidimensional.

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Modelo Bidimensional:1- Associação plana de painéis;2- Todos os pórticos e pilares-parede que contribuem para o

contraventamento da direção analisada são posicionados seqüencialmente num plano e interligados em cada pavimento por barras rotuladas em suas extremidades, as quais simulam a presença das lajes atuando como um diafragma rígido.

3- Essas barras rotuladas devem ser consideradas com elevada área de seção transversal, para que não ocorra deformação axial nas mesmas.

4- Para as vigas, os momentos de inércia utilizados devem ser os reais.

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1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Módulo de rigidez equivalente:Exemplo:

aHPEI

3

3

=

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

A NBR 6118:2003 indica que uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada de nós fixos se α < α1

Sendo:

cci

k

IENH tot=α

ckci fE 5600= Módulo de elasticidade tangente inicial

Ic : considerar as seções brutas dos pilares

EciIc : representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada.

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1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Sendo α1 :

n : número de andares acima da fundação;

⎪⎩

⎪⎨

===

→≥

+=→≤

pórticoshouver só quando 5,0parede-pilarespor enteexclusivam oconstituíd amentocontravent para 7,0

pórtico e parede-pilares de sassociaçõe para 6,0 4n

1,02,0 3n

1

1

1

1

αααα n

No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode-se considerar EciIc como sendo de um pilar equivalente de seção constante.

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Considerações:Pilares-parede são elementos de eixo vertical submetidos preponderantemente à compressão, nos quais a menor dimensão da seção transversal deve ser menor que 1/5 da maior.Há edifícios em que elevadores e escadas são envolvidos por pilares-parede com grande rigidez (Núcleo Estrutural).Considerando somente o somatório das rigidezes das seções brutas desses elementos como sendo o valor de (EI)eq para cálculo do parâmetro de instabilidade α, se obtenha α ≤ α1, satisfazendo a condição para não levar em conta no dimensionamento os efeitos de 2ª ordem.Havendo a necessidade de se considerar os esforços de 2ª ordem, deve-se avaliar ainda se esses não apresentam valores muito elevados o que implicaria na conveniência de se alterar a estrutura.

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1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Elementos de contraventamento:

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Exemplo:Para o edifício de 3 andares, mostrado na figura,

verifique a sua estabilidade global através do parâmetro α.

Dados: fck: 20 MPa; Ação em cada pavimento: 10 kN/m2

Distância entre os pavimentos: 3 mPilares de canto: 20 cm x 20 cm Pilares de extremidade: 20 cm x 40 cm Vigas: 12 cm x 40 cm

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1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Contraventamento na direção x:Associação de pórticos na direção x por meio das barras

rígidas bi-rotuladas.

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1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Contraventamento na direção x:Pórticos planos:

Vista Superior:

Contraventamento na direção x:Onde:

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

MPafE ckci 044.252056005600 ===

12

3bhIc =

Sendo:

P1, P3, P4 e P6 com seção 20 cm x 20 cm

P2 e P5 com seção 40 cm x 20 cm

Viga com seção 12 cm x 40 cm

Barra rígida com comprimento de 1m e seção 600cm x 40 cm

11

Contraventamento na direção x:ProgramaFtool:

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Contraventamento na direção x:Deformada:

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

a

a = 0,0486cm

12

Contraventamento na direção x:a = 0,0486cmHtot = 3m x 4 pavimentos = 12 m = 1200cmP = 1 kN

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

233

.9,851.851.851.110486,03

120013

cmkNaHPEI =

⋅⋅

==

Nk = 10 kN/m2 / pavimento x (6m x 8m) área do pavimento x 4 pavimentos

Nk = 1920 kN

483,09,851.851.851.11

19201200tot ===cci

k

IENHα

Contraventamento na direção x:

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Comparando com α1 para n = 4

⎪⎩

⎪⎨

===

→≥

+=→≤

pórticoshouver só quando 5,0parede-pilarespor enteexclusivam oconstituíd amentocontravent para 7,0

pórtico e parede-pilares de sassociaçõe para 6,0 4n

1,02,0 3n

1

1

1

1

αααα n

Portanto α < α1 = 0,5 (contraventamento constituído somente por pórticos

Estrutura tem comportamento de nós fixos na direção do eixo x.

483,09,851.851.851.11

19201200tot ===cci

k

IENHα

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1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Contraventamento na direção y:Associação de pórticos na direção y por meio das barras

rígidas bi-rotuladas.

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Contraventamento na direção y:Pórticos planos:

Vista Superior:

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Contraventamento na direção y:Onde:

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

MPafE ckci 044.252056005600 ===

12

3bhIc =

Sendo:

P1, P3, P4 e P6 com seção 20 cm x 20 cm

P2 e P5 com seção 20 cm x 40 cm

Viga com seção 12 cm x 40 cm

Barra rígida com comprimento de 1m e seção 600cm x 40 cm

Contraventamento na direção y:ProgramaFtool:

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

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Contraventamento na direção y:Deformada:

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

a = 0,0509cm

Contraventamento na direção y:a = 0,0509 cmHtot = 3m x 4 pavimentos = 12 m = 1200cmP = 1 kN

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

233

.3,483.306.316.110509,03

120013

cmkNaHPEI =

⋅⋅

==

Nk = 10 kN/m2 / pavimento x (6m x 8m) área do pavimento x 4 pavimentos

Nk = 1920 kN

494,03,483.306.316.11

19201200tot ===cci

k

IENHα

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Contraventamento na direção y:

1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α

Comparando com α1 para n = 4

⎪⎩

⎪⎨

===

→≥

+=→≤

pórticoshouver só quando 5,0parede-pilarespor enteexclusivam oconstituíd amentocontravent para 7,0

pórtico e parede-pilares de sassociaçõe para 6,0 4n

1,02,0 3n

1

1

1

1

αααα n

Portanto α < α1 = 0,5 (contraventamento constituído somente por pórticos

Estrutura tem comportamento de nós fixos na direção do eixo y.

494,03,483.306.316.11

19201200tot ===cci

k

IENHα

1.3.2- Coeficiente γz

Avalia a importância dos esforços de 2ª orem global;É válido para estruturas reticuladas de no mínimo 4 andares.O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado pela expressão:

onde:M1,tot,d : soma dos momentos de todas as forças horizontais, da

combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação àbase da estrutura (momento de tombamento);

ΔMtot,d : soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise em 1.ª ordem com todas as componentes de força horizontal de cálculo agindo.

dtot

dtotz

MM

,,1

,1

−=γ

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1.3.2- Coeficiente γz

Condição

1,1≤zγ Considera-se que a estrutura é de nós fixos.

1,1>zγ Considera-se que a estrutura é de nós móveis.

1.3.2- Coeficiente γz

Exemplo:Para a edificação abaixo os pilares P1, P2, P4 e P5 fazem

parte da estrutura de contraventamento, enquanto P3 éum pilar contraventado.

A planta de formas e a perspectiva são apresentadas nas figuras a seguir.

Verifique a sua estabilidade global através do coeficiente γz.

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1.3.2- Coeficiente γz

Exemplo:

1.3.2- Coeficiente γz

Exemplo:Dados: fck = 25 MPa; Número de pavimentos: 6;Distância piso-a-piso: 3,00 m;γconcreto armado = 25 kN/m³;carga estimada do piso = 12 kN/m2;pk,vento = 0,8 kN/m².

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1.3.2- Coeficiente γz

Ações:Ações horizontais de cálculo entre pisos:

Fh = γf x pk,vento x área entre pisos Fh = 1,4 x 0,8kN/m² x (6m x 3m) = 20,2 kN

Ações verticais de cálculo por pilar:Fvp = Fv / (nº de pilares) Fvp = 604,8 kN / 4 = 151,2 kN

Ações verticais de cálculo por piso:Fv = γf x (g +q) x área do pisos Fv = 1,4 x 12kN/m² x (6m x 6m) = 604,8 kN

1.3.2- Coeficiente γz

Características:Módulo de elasticidade:

MPafE ckci 000.282556005600 ===

P1 = P5 com seção 20 cm x 70cm

P2 = P4 com seção 70 cm x 20cm

P3 com seção 20 cm x 20 cm

Viga com seção 20 cm x 50 cm

Barra rígida com comprimento de 3m e seção 600cm x 50 cm

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1.3.2- Coeficiente γz

Deslocamentos:Pavimento simétrico nas direções x e yFTOOL:

1.3.2- Coeficiente γz

Deslocamentos:Pavimento simétrico nas direções x e yFTOOL:

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1.3.2- Coeficiente γz

Cálculo de γz :

38,52Σ1090,8Σ

0,000,0000000,00,00,00,0Térreo1,460,002406604,8060,620,203,01º3,940,006507604,80121,220,206,02º6,230,010300604,80181,820,209,03º7,990,013210604,80242,420,2012,04º9,130,015100604,80303,020,2015,05º9,780,016170604,80181,810,1018,06ºΔMtot,dd(m)Fv (kN)M1,tot,dFh (kN)Cota piso (m)Andar

dtot

dtotz

MM

,,1

,1

−=γ

1.3.2- Coeficiente γz

Cálculo de γz :

04,1

8,109052,381

1

1

1

,,1

,=

−=

Δ−

=

dtot

dtotz

MMγ

Ok! 10,104,1 <=zγ

Estrutura de nós fixos

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1.4- Análise de Estruturas de Nós Fixos

Permite-se considerar cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem.Sob a ação de forças horizontais, a estrutura ésempre calculada como deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos esforços globais de 2ª ordem, mas não sua análise como estrutura deslocável.

1.4- Análise de Estruturas de Nós Fixos

O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, é o menor dos seguintes valores:

Onde:l o – distância entre as faces internas dos

elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;

h – altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;

l – distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar estávinculado.

l e = l o + hle = l

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1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis

A análise deve levar obrigatoriamente em conta os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física.No dimensionamento, consideram-se obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ªordem.Deve ficar assegurado que para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo não ocorra perda de estabilidade nem tão pouco esgotamento da capacidade resistente de cálculo das seções mais solicitadas.

1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis

Consideração da Não-linearidade Geométrica:Modificações apropriadas na matriz de rigidez da estrutura;Processo P-Δ.NBR 6118:2003

Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas regulares, consiste na avaliação dos esforços finais (1ª + 2ª ordem) pela majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γz;Desde que γz ≤ 1,3.

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1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis

Consideração da Não-linearidade Física:Considerações adequadas sobre ductilidade, fissuração e deformabilidade.Maneira aproximada indicado pela NBR 6118:2003

1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis

Consideração da Não-linearidade Física:NBR 6118:2003

Estruturas reticuladas com no mínimo 4 andares;Permite-se considerar a não-linearidade física tomando-se como rigidez das peças os valores a seguir:Lajes: (EI)sec = 0,3 . Eci . IcVigas: (EI)sec = 0,4 . Eci . Ic para A’s ≠ As

(EI)sec = 0,5 . Eci . Ic para A’s = As

Pilares: (EI)sec = 0,8 . Eci . IcSendo:Eci o módulo de deformação tangente inicialIc o momento de inércia da seção bruta de concreto,

incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes.

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1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis

Consideração da Não-linearidade Física:NBR 6118:2003

Alternativamente, permite-se, quando a estrutura de contraventamento é composta exclusivamente por vigas e pilares, e γz for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por:

(EI)sec = 0,7 . Eci . IcOs valores acima dados para (EI)sec são aproximados e não poderão ser usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem.

1.6- Análise dos Efeitos Locais de 2ª Ordem

A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas;Os elementos isolados, para fins de verificação local, devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento le, porém, aplicando-se às suas extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2ª ordem.