SHORT LIST 2013, GEOMETRIE · PDF file... tangente exterior ^ n punctul M ˘si tangente...
1
SHORT LIST 2013, GEOMETRIE G.1. Fie [AB] diametrul unui cerc ω cu centrul O, OC o raz˘ a a lui ω perpendicular˘ a pe AB, iar M un punct al segmentului (OC). Fie N al doilea punct de intersect ¸ie al dreptei AM cu ω, iar P punctul de intersect ¸ie al tangentelor ˆ ın N ¸ si B la ω. Demonstrat ¸i c˘ a punctele M,O,P,N sunt conciclice. (Albania) G.2. ω 1 ¸ si ω 2 sunt dou˘ a cercuri tangente exterior ˆ ın punctul M ¸ si tangente interior la un cerc ω 3 ˆ ın punctele K ¸ si respectiv L. Fie A ¸ si B punctele ˆ ın care tangenta comun˘ aˆ ın M la ω 1 ¸ si ω 2 intersecteaz˘ a ω 3 . Ar˘ atat ¸i c˘ a dac˘ a ^KAB ≡ ^LAB, atunci [AB] este diametru al lui ω 3 .(Cipru) G.3. Fie D un punct pe latura BC a unui triunghi ascut ¸itunghic ABC astfel ˆ ıncˆ at ^BAD ≡ ^CAO, unde O este centrul cercului ω, circumscris triunghiului ABC . Fie E al doilea punct de intersect ¸ie a dreptei AD cu ω, iar M,N,P mijloacele segmentelor [BE], [OD], respectiv [AC]. Demonstrat ¸i c˘ a M,N,P sunt coliniare. (Macedonia) G.4. Fie I centrul cercului ˆ ınscris, iar AB cea mai scurt˘ a latur˘ a a triunghiului ABC . Cercul cu centrul ˆ ın I care trece prin C intersecteaz˘ a semidreapta (AB ˆ ın P , iar semidreapta (BA ˆ ın Q. Fie D punctul de tangent ¸˘ a al cercului exˆ ınscris triunghiului ABC corespunz˘ ator unghiului A cu latura BC ¸ si fie E simetricul punctului C ˆ ın raport cu D. Ar˘ atat ¸i c˘ a dreptele PE ¸ si CQ sunt perpendiculare. (Bosnia ¸ si Hert ¸egovina) G.5. Un cerc care trece prin mijlocul M al laturii BC ¸ si vˆ arful A al unui triunghi ABC inter- secteaz˘ a laturile (AB)¸ si (AC) pentru a doua oar˘ aˆ ın punctele P ¸ si respectiv Q. Ar˘ atat ¸i c˘ a dac˘ a m(^BAC ) = 60 ◦ , atunci AP + AQ + P Q < AB + AC + 1 2 BC. (Bulgaria) G.6. Fie P ¸ si Q mijloacele laturilor (BC ), respectiv (CD) unui dreptunghi ABCD. Fie K ¸ si M punctele de intersect ¸ie ale dreptei PD cu QB ¸ si respectiv QA, iar N punctul de intersect ¸ie a dreptelor PA ¸ si QB. Fie X,Y,Z mijloacele segmentelor [AN ], [KN ], respectiv [AM ]. Fie ‘ 1 dreapta care trece prin X ¸ si este perpendicular˘ a pe MK, ‘ 2 dreapta care trece prin Y ¸ si este perpendicular˘ a pe AM , ‘ 3 dreapta care trece prin Z ¸ si este perpendicular˘ a pe KN . Ar˘ atat ¸i c˘ a dreptele ‘ 1 ,‘ 2 ,‘ 3 sunt concurente. (Cipru) 1
Transcript of SHORT LIST 2013, GEOMETRIE · PDF file... tangente exterior ^ n punctul M ˘si tangente...
SHORT LIST 2013, GEOMETRIE
G.1. Fie [AB] diametrul unui cerc ω cu centrul O, OC o raza a lui ω perpendiculara pe AB, iarM un punct al segmentului (OC). Fie N al doilea punct de intersectie al dreptei AM cu ω, iarP punctul de intersectie al tangentelor ın N si B la ω. Demonstrati ca punctele M,O,P,N suntconciclice. (Albania)
G.2. ω1 si ω2 sunt doua cercuri tangente exterior ın punctul M si tangente interior la un cercω3 ın punctele K si respectiv L. Fie A si B punctele ın care tangenta comuna ın M la ω1 si ω2
intersecteaza ω3. Aratati ca daca ^KAB ≡ ^LAB, atunci [AB] este diametru al lui ω3.(Cipru)
G.3. Fie D un punct pe latura BC a unui triunghi ascutitunghic ABC astfel ıncat ^BAD ≡^CAO, unde O este centrul cercului ω, circumscris triunghiului ABC. Fie E al doilea punct deintersectie a dreptei AD cu ω, iar M,N,P mijloacele segmentelor [BE], [OD], respectiv [AC].Demonstrati ca M,N,P sunt coliniare. (Macedonia)
G.4. Fie I centrul cercului ınscris, iar AB cea mai scurta latura a triunghiului ABC. Cercul cucentrul ın I care trece prin C intersecteaza semidreapta (AB ın P , iar semidreapta (BA ın Q.Fie D punctul de tangenta al cercului exınscris triunghiului ABC corespunzator unghiului A culatura BC si fie E simetricul punctului C ın raport cu D. Aratati ca dreptele PE si CQ suntperpendiculare. (Bosnia si Hertegovina)
G.5. Un cerc care trece prin mijlocul M al laturii BC si varful A al unui triunghi ABC inter-secteaza laturile (AB) si (AC) pentru a doua oara ın punctele P si respectiv Q. Aratati ca daca
m(^BAC) = 60◦, atunci AP + AQ + PQ < AB + AC +1
2BC. (Bulgaria)
G.6. Fie P si Q mijloacele laturilor (BC), respectiv (CD) unui dreptunghi ABCD. Fie K siM punctele de intersectie ale dreptei PD cu QB si respectiv QA, iar N punctul de intersectie adreptelor PA si QB.Fie X,Y, Z mijloacele segmentelor [AN ], [KN ], respectiv [AM ]. Fie `1 dreapta care trece prinX si este perpendiculara pe MK, `2 dreapta care trece prin Y si este perpendiculara pe AM ,`3 dreapta care trece prin Z si este perpendiculara pe KN . Aratati ca dreptele `1, `2, `3 suntconcurente. (Cipru)
1
