Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής

Γεωργίου Κωστούλα

Αν. Καθηγητή Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας

Κοζάνη 2008

Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας Σ.Τ.Εφ.

Γενικό Τμήμα Θετικών Επιστημών

ΠΡΟΛΟΓΟΣ..................................................................................................................- 2 - ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ .................................................................- 3 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ...................................................................................................................- 5 - ΣΦΑΛΜΑΤΑ..............................................................................................................- 5 - Ποσοτική Έκφραση Των Τυχαίων Σφαλμάτων..........................................................- 8 - Απόλυτο Και Σχετικό Σφάλμα..................................................................................- 10 - Ανάγνωση Κλίμακας - Αξία Ψηφίων .......................................................................- 11 - Γραφικές Παραστάσεις .............................................................................................- 12 - Η Ευθεία Γραμμή Και Η Κλίση Της ........................................................................- 13 - Μη Γραμμικές Σχέσεις Μεταξύ Μεγεθών Και Αναγωγή Τους Σε Γραμμικές.........- 15 -

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ..................................................................................- 19 - ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ................................................................................- 25 - 1. Μέτρηση Διαστάσεων με Διαστημόμετρο - Μικρόμετρο ............................................................- 26 - 2. Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας (g)..........................................................................- 36 - 3. Μελέτη του Νόμου του Ηοοκ ............................................................................................- 42 - 4. Ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα................................................................................................- 49 - 5. Φαινόμενο Της Επαγωγής.................................................................................................- 61 - 6. Συμβολή Και Περίθλαση Του Φωτός ...................................................................................- 66 - 7. Φωτοστοιχείο-Φωτοαντίσταση...........................................................................................- 79 - 8. Μηχανικό Ισοδύναμο της Θερμότητας..................................................................................- 91 - 9. Μέτρηση της Αντίστασης του αέρα ...................................................................................- 101 - 10. Γέφυρα Wheatstone ......................................................................................................- 107 - 11. Μέτρηση της Αντίστασης κυκλωμάτων DC-AC. Nόμος του Ohm...............................................- 112 - 12. Μελέτη Του Ηλεκτρικού Πεδίου Επίπεδου Πυκνωτή ..............................................................- 128 - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ..........................................................................................................- 135 - Π-1. Πίνακας προθεμάτων και συμβόλων για τα δεκαδικά υποπολλαπλάσια και πολλαπλάσια των μονάδων.....................................................................................- 136 - Π-2. Πίνακες μονάδων στο Σύστημα SI .................................................................- 137 - Π-3. Φυσικές Σταθερές ...........................................................................................- 138 - Π-4. Τιμές χαρακτηριστικών σταθερών των υλικών ..............................................- 139 -

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ......................................................................................................- 143 -

1

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το βιβλίο αυτό περιέχει επιλεγμένες εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής για τους σπουδαστές που φοιτούν στο Α' εξάμηνο της Σχολής Τεχνολογικών Εφαρμογών του ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας και παρακολουθούν το μάθημα «Εργαστήριο Φυσικής». Η σειρά των εργαστηριακών ασκήσεων που περιέχεται έχει σκοπό:

• Τη βαθύτερη κατανόηση και αποδοχή φυσικών νόμων • Την εμπειρία στη λήψη κατά το δυνατόν ακριβέστερων μετρήσεων • Την ικανότητα για ανάλυση και αξιοποίηση αποτελεσμάτων • Την εξοικείωση με το χειρισμό διαφόρων οργάνων μέτρησης

Τα στοιχεία αυτά είναι βασικά και απαραίτητα στο σπουδαστή τεχνολόγο για τη μετέπειτα επαγγελματική του σταδιοδρομία (και όχι μόνο για τις απαιτήσεις του Εργαστηρίου Φυσικής).

Κατά τη συγγραφή του παρόντος, πάρθηκε υπόψη το υπόβαθρο των σπουδαστών σε γνώσεις φυσικής, όπως διαπιστώνεται από την πολύχρονη εμπειρία διδασκαλίας του μαθήματος. Έτσι έγινε προσπάθεια οι ασκήσεις να παρουσιάζουν κατά το δυνατόν πληρότητα από πλευράς γνώσεων και οδηγιών. Πριν από κάθε άσκηση δίνεται ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας η οποία αναφέρεται στο πείραμα, καθώς και η περιγραφή της πειραματικής μεθόδου.

Ένα μέρος των εργαστηριακών ασκήσεων ασχολείται με τον ποσοτικό προσδιορισμό φυσικών σταθερών, όπως λ.χ. είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, μερικές επαληθεύουν διάφορους γνωστούς νόμους, όπως λ. χ. τον νόμο του Νεύτωνα, και άλλες βρίσκουν εμπειρικές σχέσεις μεταξύ δύο ή περισσοτέρων μεγεθών.

Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια προηγούμενης έκδοσης των εργαστηριακών ασκήσεων και είναι βασισμένο κατά μεγάλο μέρος στην εργασία των Δρα Κώστα Δελίδη, Δρα Αθανασίου Τριανταφύλλου και Δρα Νικόλαου Πουλάκη τους οποίους θα ήθελα και να ευχαριστήσω ιδιαίτερα.

Στην παρούσα έκδοση θα ήθελα επιπλέον να ευχαριστήσω τους Ντόρα Κοσμίδου και Απόστολο Καραφυλλίδη καθώς και όλους τους έκτακτους συνεργάτες του Εργαστηρίου Φυσικής για τις χρήσιμες συζητήσεις μαζί τους.

Με την αίσθηση ότι προσφέρεται στους σπουδαστές ένα βοήθημα που καλύπτει σε ικανοποιητικό βαθμό τις απαιτήσεις του μαθήματος, οποιεσδήποτε παρατηρήσεις ή υποδείξεις, με στόχο μία κατά το δυνατόν πληρέστερη έκδοση, είναι ευπρόσδεκτες.

Οι Διδάσκοντες του Εργαστηρίου Φυσικής

2

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ

Με βάση το πρόγραμμα σπουδών, το Εργαστήριο Φυσικής είναι δύο διαδοχικές ώρες την εβδομάδα.

Κάθε σπουδαστής πρέπει να έχει υπόψη του τις παρακάτω οδηγίες, που αφορούν τη λειτουργία του Εργαστηρίου Φυσικής:

1. Να γνωρίζει τη σειρά των ασκήσεων που θα πραγματοποιήσει στη διάρκεια του εξαμήνου, καθώς και το τμήμα και την ομάδα που ανήκει. Το τμήμα προσδιορίζεται από την ημέρα και ώρα πραγματοποίησης της άσκησης.

2. Να έχει μελετήσει στοιχεία από τη θεωρία σφαλμάτων από το εισαγωγικό μέρος του βιβλίου αυτού ή από άλλα βιβλία που αναφέρονται στο ίδιο θέμα.

3. Να προσέρχεται στο εργαστήριο σύμφωνα με την ώρα που καθορίζει το πρόγραμμα, διαφορετικά αποκλείεται της άσκησης.

4. Προσερχόμενος στο εργαστήριο για μάθημα, να έχει ήδη αποκτήσει τις απαραίτητες για την πραγματοποίηση του πειράματος θεωρητικές γνώσεις, γεγονός που διαπιστώνεται στη διάρκεια εκτέλεσης του πειράματος από τον υπεύθυνο του εργαστηρίου καθηγητή. Για το σκοπό αυτό διαβάζει και κατανοεί το μέρος του βιβλίου που αναφέρεται στο συγκεκριμένο πείραμα που πρόκειται να πραγματοποιήσει, καθώς και κάθε άλλο βιβλίο που αναφέρεται σε σχετικό θέμα και που ο σπουδαστής κρίνει ότι πρέπει να ανατρέξει ανάλογα με τις τυχόν ελλείψεις του.

5. Για κάθε απορία του να απευθύνεται έγκαιρα στον υπεύθυνο καθηγητή του Εργαστηρίου.

6. Να μεταχειρίζεται με προσοχή τις συσκευές της άσκησης, ώστε να εξασφαλίζεται κατά το δυνατόν μεγαλύτερος χρόνος ζωής τους. Κάθε πρόβλημα ή ζημία αναφέρεται άμεσα στον υπεύθυνο του εργαστηρίου.

7. Μετά το τέλος της άσκησης αποσυναρμολογεί την πειραματική διάταξη και τοποθετεί τα όργανα στη θέση τους, ενημερώνοντας παράλληλα τον υπεύθυνο του εργαστηρίου, στον οποίο και επιδεικνύει τις σημειώσεις που κράτησε κατά τη διάρκεια του πειράματος.

8. Με βάση τις σημειώσεις που κράτησε στη διάρκεια πραγματοποίησης του πειράματος και τις οδηγίες του βιβλίου ετοιμάζει εργασία την οποία και παραδίδει στον υπεύθυνο καθηγητή την επόμενη βδομάδα που προσέρχεται για εργαστήριο.

Η εργασία πρέπει να περιλαμβάνει: • Τίτλο της άσκησης • Ονοματεπώνυμο σπουδαστή, τμήμα και ομάδα. • Ημερομηνία εκτέλεσης του πειράματος • Ημερομηνία παράδοσης της εργασίας • Θεωρητική εισαγωγή

Μία σύντομη περιγραφή της θεωρίας που αποτελεί τη βάση της εργαστηριακής άσκησης. Αποφεύγονται μακροσκελή κείμενα καθώς και σχεδίαση πολύπλοκων σχημάτων.

3

• Πειραματικό μέρος Περιλαμβάνει αναλυτική παρουσία των εργασιών που πραγματοποιήθηκαν, πίνακες μετρήσεων που ελήφθησαν, γραφικές παραστάσεις, όπου ζητούνται, κ.ο.κ. σύμφωνα με την αντίστοιχη οδηγία του βιβλίου. Συμπεράσματα και παρατηρήσεις πάνω στο αντικείμενο του πειράματος. Απαντήσεις στις ερωτήσεις που δίνονται στο τέλος κάθε άσκησης.

Κατά της επεξεργασία των πειραματικών μετρήσεων, είναι δυνατόν να γίνεται χρήση Η/Υ με τα γνωστά πλεονεκτήματα σε ότι άφορα ακρίβεια και ταχύτητα υπολογισμών αλλά και εξοικονόμηση χρόνου. Στην περίπτωση αυτή είναι φανερό ότι οι υπολογισμοί αυτοί θα ενσωματώνονται κατάλληλα στο τελικό κείμενο της εργασίας με τις απαραίτητες διευκρινίσεις.

Η άσκηση θεωρείται επιτυχής, όταν ο σπουδαστής πάρει βαθμό πάνω από τη βάση στην προφορική εξέταση που πραγματοποιείται κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του πειράματος, και η αντίστοιχη γραπτή εργασία που παραδίδεται την αμέσως επόμενη εβδομάδα έχει χαρακτηριστεί επιτυχής.

4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ Η παρακολούθηση της πορείας ενός φαινομένου μπορεί να είναι ποιοτική, οπότε

η γνώση μας είναι λίγο πολύ επιφανειακή, ή ποσοτική οπότε είναι πλέον, θεμελιωμένη. Ποσοτικές όμως σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών προϋποθέτουν τη, μέτρηση τους, οι δε μετρήσεις πρέπει να είναι ακριβείς ώστε τα συμπεράσματα; να είναι ορθά.

Η ακριβής ή αληθινή τιμή Χ φυσικού μεγέθους είναι μία έννοια χωρίς φυσικό περιεχόμενο διότι η απόλυτα ακριβής μέτρηση είναι αδύνατη. Αυτό προκύπτει, από το γεγονός ότι η επανάληψη της μέτρησης ενός φυσικού μεγέθους δεν δίνει πάντα την ίδια τιμή ακόμα και αν όλες οι συνθήκες κάτω από τις οποίες γίνεται η μέτρηση παραμένουν οι ίδιες, στην πραγματικότητα η τιμή που μετρούμε είναι κάποια τιμή χ που απλά προσεγγίζει τη πραγματική τιμή,

Η αβεβαιότητα που υπεισέρχεται, κατά τη μέτρηση κάποιου φυσικού μεγέθους, στον προσδιορισμό της αληθινής του τιμής, χαρακτηρίζεται σαν σφάλμα της μέτρησης και ποσοτικά εκφράζεται με τη σχέση :

Xxx −=Δ=ε Εξίσωση 1

Το σφάλμα μπορεί να έχει θετική ή αρνητική τιμή. Εδώ πρέπει να κάνουμε διάκριση ανάμεσα στα "λάθη" (mistakes) και τα "σφάλματα" (errors). Τα λάθη με την αυστηρή έννοια της λέξης δεν είναι σφάλματα, διότι είναι συνάρτηση της προσεκτικότητας του παρατηρητή. Αν λ.χ. διαβάσουμε 3 αντί 8 ή σημειώσουμε 76.2 αντί 67.2 που δείχνει το όργανο, αυτό είναι λάθος και όχι σφάλμα. Λάθη δεν γίνονται αν ο παρατηρητής είναι πολύ προσεκτικός κατά τη διεξαγωγή του πειράματος και τη λήψη των μετρήσεων.

Υπάρχουν δυο κατηγορίες σφαλμάτων, τα συστηματικά και τα τυχαία

Συστηματικά Σφάλματα Είναι τα σφάλματα εκείνα που όταν παρουσιάζονται σε μία σειρά μετρήσεων, οι

τιμές τους παραμένουν σταθερές επηρεάζοντας της μετρήσεις προς την ίδια πάντα κατεύθυνση (παίρνουμε δηλαδή μέτρηση πάντα μεγαλύτερη ή πάντα μικρότερη από την αληθινή). Συνήθως τα σφάλματα αυτά μπορούμε να τα προβλέψουμε ή να τα ελέγξουμε και να τα λάβουμε υπόψη μας στους λογαριασμούς μας ώστε να τα απαλείψουμε με κάποια προσέγγιση.

Τα Συστηματικά σφάλματα οφείλονται σε μία από τις παρακάτω αιτίες. Ι) Στην ατέλεια των οργάνων μέτρησης.

5

Κάθε όργανο για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μετρήσεις πρέπει προηγούμενα να βαθμονομηθεί. Αν η βαθμονόμηση αυτή δεν είναι σωστή, κάθε, μέτρηση στην οποία χρησιμοποιείται το όργανο θα έχει μέσα της το σφάλμα του οργάνου. Εξαρτιούνται τελικά από την επιμελημένη ή όχι κατασκευή των, οργάνων.

ΙΙ) Στη μέθοδο μέτρησης. Τα σφάλματα που οφείλονται στη μέθοδο μέτρησης εξαρτιούνται από πολλούς

παράγοντες όπως είναι η φύση και η τάξη μεγέθους του μετρούμενου ποσού, η πιστότητα που χρειαζόμαστε για τις μετρήσεις μας κ.α. Για τη μέτρηση π.χ. μιας μικρής ηλεκτρικής αντίστασης χρησιμοποιούμε διαφορετική μέθοδο απ' ότι μιας μεγάλης. Αν μετρούμε ένα φυσικό μέγεθος με μία μέθοδο που μας δίνει σφάλμα 4% αυτό πιθανόν να μην έχει σημασία, αλλά αν θέλουμε να διακρίνουμε δύο τιμές του ίδιου φυσικού μεγέθους που διαφέρουν μεταξύ τους λιγότερο από 4% θα. πρέπει να βρούμε άλλη μέθοδο. Τα σφάλματα αυτά ελαχιστοποιούνται αν διαλέξουμε καταλληλότερη μέθοδο για τη συγκεκριμένη μέτρηση.

ΙΙΙ) Σε εξωτερικά αίτια που παραμένουν σταθερά. Εξωτερικοί παράγοντες, όπως θερμοκρασία, πίεση, υγρασία, τα διάφορα πεδία

κ.λ.π. είναι δυνατόν να επηρεάζουν τις μετρήσεις, οπότε πρέπει να τους παίρνουμε υπόψη και να κάνουμε τις ανάλογες διορθώσεις. Χαρακτηριστικό παράδειγμα, όπου φαίνεται η επίδραση της πίεσης, είναι η διαφορά που παρατηρείται στο σημείο τήξης σ' ένα τόπο που βρίσκεται στην επιφάνεια της θάλασσας (υψόμετρο μηδέν) και σ’ ένα ορεινό τόπο.

IV) Στον παρατηρητή. Στις πιο πολλές περιπτώσεις οι μετρήσεις απαιτούν τελικά την παρέμβαση του

παρατηρητή. Η απειρία, η περιορισμένη ευαισθησία των αισθητηρίων οργάνων και οι προσωπικές γενικά ιδιομορφίες του παρατηρητή είναι παράγοντες που επηρεάζουν τις μετρήσεις.

Τυχαία Σφάλματα Εμφανίζονται από τυχαίους και αστάθμητους παράγοντες, κύρια δε όταν

απαιτηθεί ακρίβεια στις μετρήσεις π.χ. ακρίβεια 0.01 mm στη μέτρηση μήκους. Μεταβάλλουν το αποτέλεσμα της μέτρησης και κατά τις δύο φορές (μπορεί δηλαδή, σε αντίθεση με τα συστηματικά, να είναι θετικά ή αρνητικά). Οφείλονται σε μία από τις παρακάτω αιτίες:

Ι) Στην περιορισμένη ευαισθησία των οργάνων μέτρησης. Ως ευαισθησία οργάνου ορίζεται η μικρότερη τιμή που μπορεί να μετρηθεί με το

όργανο αυτό. Αμπερόμετρο π.χ. μπορεί να μετράει μέχρι 0.01 Α. Αν η ένταση του ρεύματος που μετράει μεταβάλλεται στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο και πέρα από αυτό, θα παρατηρούμε μία αυξομείωση κατά 0.01 Α με τυχαίο χαρακτήρα.

(Δεν πρέπει να συγχέουμε την ευαισθησία με την ακρίβεια ενός οργάνου. Ακρίβεια οργάνου είναι ο βαθμός στον οποίο οι ενδείξεις του πλησιάζουν τη σωστή τιμή. Υψηλή ευαισθησία ενός οργάνου δεν σημαίνει απαραίτητα και μεγάλη ακρίβεια. Ο

6

κατασκευαστής δίνει συνήθως πληροφορίες για την ακρίβεια του οργάνου σε διάφορες κλίμακες μετρήσεων).

II) Στον παρατηρητή. Ο παρατηρητής, όπως είναι φυσικό, επηρεάζεται κατά τη διάρκεια του

πειράματος από εσωτερικούς και εξωτερικούς παράγοντες με αποτέλεσμα οι μετρήσεις του για το ίδιο μετρούμενο μέγεθος να διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Χαρακτηριστικό σφάλμα στην περίπτωση αυτή είναι το σφάλμα από παράλλαξη (Σχήμα 1):

Επειδή ο δείκτης βρίσκεται σε κάποια απόσταση από την κλίμακα του οργάνου, η ανάγνωση της ένδειξης είναι λαθεμένη όταν ο παρατηρητής διαβάζει από πλάγια θέση. Για το λόγο αυτό ο παρατηρητής πρέπει να διαβάζει κάθετα την ένδειξη του οργάνου (κάθετη σκόπευση).

Σχήμα 1: Σφάλμα από παράλλαξη

ΙΙΙ) Στην αστάθεια των εξωτερικών συνθηκών. Μερικές από τις εξωτερικές συνθήκες που επηρεάζουν το πείραμα, όπως η πίεση,

θερμοκρασία, ηλεκτρική τάση του δικτύου της πόλης κ.λ.π. μεταβάλλονται κατά τη διάρκεια του πειράματος επηρεάζοντας τις μετρήσεις.

Θα πρέπει στο σημείο αυτό να τονίσουμε τη διαφορά μεταξύ ορθότητας και ακρίβειας ενός αποτελέσματος. Ένα αποτέλεσμα είναι ορθό, όταν τα συστηματικά σφάλματα παραμένουν κατά το δυνατό μικρά και ακριβές όταν τα τυχαία σφάλματα είναι μικρά σε σχέση προφανώς με την τιμή του μετρούμενου φυσικού μεγέθους.

Τέλος, κάτι που πρέπει να προσεχθεί ιδιαίτερα από τον παρατηρητή κατά την εκτέλεση των πειραματικών μετρήσεων, είναι ο έλεγχος του μηδενός του οργάνου. Μηδέν του οργάνου λέγεται η διαίρεση που δείχνει η κλίμακα του, όταν, το μετρούμενο μέγεθος είναι μηδέν και η οποία μπορεί να μην είναι το μηδέν της κλίμακα. Σε τέτοια περίπτωση πρέπει στη μέτρηση που παίρνουμε με το όργανα να συνυπολογίζεται και η αρχική ένδειξη και να προστίθεται ή να αφαιρείται αν είναι αρνητική ή θετική αντίστοιχα. Σε αρκετά όργανα μπορεί να γίνει διόρθωση του μηδενός με ειδική βίδα που βρίσκεται πάνω τους.

7

Ποσοτική Έκφραση Των Τυχαίων Σφαλμάτων Τα τυχαία σφάλματα αποτελούν την κύρια αιτία ανακρίβειας όταν τα συστηματικά

σφάλματα έχουν απαλειφθεί ή ελαττωθεί στο ελάχιστο. Το μόνο που μπορούμε να κάνουμε για τα τυχαία σφάλματα είναι να τα περιορίσουμε

και να τα εκφράσουμε ως ένα αντίστοιχο περιθώριο αμφιβολίας στις μετρήσεις μας. Πλήρη ανάπτυξη της θεωρίας των σφαλμάτων προϋποθέτει στοιχεία από τη θεωρία

των πιθανοτήτων, η οποία μας λέει ότι η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων μικραίνει όσο αυξάνει το πλήθος των μετρήσεων και η επίδραση τους τείνει στο μηδέν για απεριόριστο πλήθος μετρήσεων.

Για να περιορίσουμε επομένως τα τυχαία σφάλματα και να βρούμε την πιθανότερη τιμή του μετρούμενου μεγέθους, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέτρησης πολλές φορές και επεξεργαζόμαστε στατιστικά τις μετρούμενες τιμές. Οι μετρούμενες τιμές θα διαφέρουν μεταξύ τους λόγω ύπαρξης των τυχαίων σφαλμάτων.

Έστω Α=[x1, x2,….,xn] ένα σύνολο μετρήσεων. Η διαφορά ανάμεσα στη μεγαλύτερη και στη μικρότερη τιμή των μετρήσεων αποτελεί το πιο απλό μέτρο διασποράς του συνόλου των μετρήσεων και λέγεται εύρος ή έκταση (RANGE) των τιμών, συμβολίζεται δε με το R. Η πιθανότερη τιμή ταυτίζεται με την έννοια του μέσου όρου, που ορίζεται από τη σχέση :

∑∑=

+++=

i

in

vx

nxxxx ιν......21 Εξίσωση 2

όπου νi είναι η συχνότητα επανάληψης της τιμής xi,. Προφανώς ισχύει Σvi =n. Ο αριθμητικός μέσος ή μέσος όρος (Arithmetic mean or arithmetic average) ή απλά μέσος (mean) των τιμών x1, x2,….,xn προκύπτει δηλαδή σαν το πηλίκο του αθροίσματος τους με το πλήθος τους.

Η έννοια του μέσου όρου είναι ένα νοητό κατασκεύασμα που δεν είναι αναγκαίο να ταυτίζεται με την τιμή κάποιας από τις μετρήσεις που κάναμε. Η πιθανότητα να συμπίπτει ο μέσος όρος με την πραγματική τιμή αυξάνει, όσο αυξάνει ο αριθμός n των μετρήσεων. Για άπειρο πλήθος μετρήσεων, ο μέσος όρος ταυτίζεται με την πραγματική τιμή.

Σ’ ένα συνηθισμένο πείραμα όμως ο αριθμός των μετρήσεων είναι συνήθως στην περιοχή 5 έως 10. Επειδή επομένως στην πράξη δεν μας είναι γνωστή η πραγματική τιμή Χ, αντί γι' αυτή χρησιμοποιούμε την πιθανότερη τιμή x και αντί του σφάλματος ει κάποιας μέτρησης xi που ορίζεται από τη σχέση

Xxii −=ε

χρησιμοποιούμε την απόκλιση (Deviation) που ορίζεται από τη σχέση

xxd ii −= Εξίσωση 3

Το άθροισμα των τετραγώνων των n αποκλίσεων διαιρούμενο με n-1 είναι γνωστό σαν διακύμανση (Variance) και συμβολίζεται με S2. Δηλαδή

8

11...

1

)(1

222

2211

2

2

−=

−+++

=−

−=

∑∑==

n

d

nddd

n

xxS

n

ii

n

n

ii

Ως μέτρο της ποιότητας των μετρήσεων χρησιμοποιούμε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, δηλ. την ποσότητα

1σ 1

2

−±=∑=

n

dn

ii

Εξίσωση 4

που αντιπροσωπεύει το κανονικό σφάλμα μίας παρατήρησης. Η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται τυπική ή κανονική

απόκλιση (Standard Deviation) και αποτελεί ένα μέτρο του πόσο απέχουν οι μετρήσεις από το μέσο όρο τους. Δηλαδή έχουμε:

Τυπική απόκλιση = 1

σ 1

2

−=∑=

n

dn

ii

Το μέσο σφάλμα του μέσου όρου (το μέσο σφάλμα του εξαγόμενου n παρατηρήσεων) είναι:

)1(σ 1

2

−=

∑=

nn

dn

ii

Εξίσωση 5

Η φυσική σημασία του μέσου σφάλματος του μέσου όρου είναι ότι προσδιορίζει την περιοχή γύρω από το μέσο όρο , στην οποία βρίσκεται η πραγματική (αληθινή) τιμή Χ του μεγέθους.

Η πραγματική τιμή επομένως του μετρούμενου μεγέθους κυμαίνεται μέσα στα

όρια σ±x

και η πραγματική τιμή μίας παρατήρησης στα όρια

σ±ix Αν μία φυσική ποσότητα μετριέται με μία μέτρηση, το αποτέλεσμα παίρνεται ως

η πραγματική τιμή της ποσότητας και ως σφάλμα στη μέτρηση παίρνεται το μέγιστο σφάλμα του οργάνου που χρησιμοποιήθηκε.

Μέγιστο σφάλμα οργάνου είναι η μικρότερη δυνατή τιμή μέτρησης με αυτό το όργανο, που συμπίπτει βέβαια με τη μικρότερη υποδιαίρεση του. Έτσι, για παράδειγμα, το μέγιστο δυνατό σφάλμα για κανόνα βαθμολογημένο σε mm είναι ±1mm ενώ για ένα θερμόμετρο βαθμολογημένο σε 0.1 °C είναι +0.1 °C.

x

9

Απόλυτο Και Σχετικό Σφάλμα Το μέσο σφάλμα του μέσου όρου και το μέγιστο σφάλμα ενός οργάνου

αναφέρονται και σαν απόλυτο σφάλμα. Το απόλυτο σφάλμα έχει τις ίδιες μονάδες με το μέγεθος που μετρούμε και προσδιορίζει, όπως αναφέρθηκε προηγούμενα, την περιοχή στην οποία βρίσκεται η πραγματική τιμή του μεγέθους αυτού. Δεν δίνει όμως ένα μέτρο σύγκρισης της ακρίβειας της μέτρησης.

Ορίζεται έτσι το σχετικό σφάλμα

xσσσ = Εξίσωση 6

που είναι καθαρός αριθμός και συνήθως εκφράζεται % ή ‰, δηλαδή σσx100 ή σσx1000. Στην περίπτωση της μιας μέτρησης Χ το σχετικό σφάλμα είναι προφανώς

ΧΔ

=x

σσ , όπου ΔΧ είναι το μέγιστο σφάλμα του οργάνου που χρησιμοποιήθηκε.

Για παράδειγμα αν είναι x1 = 9.3 ±0.1 mm, x2 = 99.3 ±0.1 mm οι τιμές δύο μηκών που βρέθηκαν σε δύο πειράματα, παρατηρούμε ότι το απόλυτο σφάλμα είναι το ίδιο στις δύο περιπτώσεις, πιο ακριβής όμως είναι η μέτρηση με το μικρότερο σχετικό σφάλμα.

Είναι 01.03,91.0

1 ±=±=xσ ή 1% και 001.03.991.0

2 ±=±=xσ ή 0.1% και επομένως

η τιμή x2 είναι πιο ακριβής από την τιμή x1. Πρέπει πάντοτε να έχουμε υπ' όψη ότι επιβάλλεται μετά από τον υπολογισμό των

σφαλμάτων ενός μεγέθους Χ να δώσουμε την τιμή του με τη μορφή

σ±Χ=Χ Εξίσωση 7

και

%σχσ±Χ=Χ Εξίσωση 8

Παράδειγμα :

Για τον προσδιορισμό της διαμέτρου D σύρματος έγιναν 10 μετρήσεις και προέκυψαν οι εξής τιμές (σε mm)

1.48, 1.51, 1.47, 1.49, 1.47, 1.48, 1.51, 1.52, 1.47, 1.49 Να υπολογιστούν:

α) Ο μέσος όρος β) Το κανονικό σφάλμα μίας παρατήρησης γ) Το μέσο σφάλμα στο εξαγόμενο δ) Το σχετικό σφάλμα ε) Το σχετικό σφάλμα στα εκατό

και να δοθεί το τελικό αποτέλεσμα της τιμής της διαμέτρου.

10

ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ν = 10 x(1) = 1.48 x(2) = 1.51 x(3) = 1.47 x(4) = 1.49 x(5) = 1.47 x(6) = 1.48 x(8) =1.52 x(9)= 1.47 x(10)=1,49 ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ : ΜΟ = 1.489 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΜΙΑΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ : SD = .0165 ΜΕΣΟ ΣΦΑΛΜΑ ΣΤΟ ΕΞΑΓΟΜΕΝΟ : σΝ = 5.859Ε-03 ΣΧΕΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ : σσ = 3.935Ε-03 ΣΧΕΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΣΤΑ ΕΚΑΤΟ : σ100 = .394 Η διάμετρος του σύρματος D θα είναι: D = (1.489±0.006) mm ή D = 1.489mm + 0.394%

Είναι φανερό ότι ανάλογοι υπολογισμοί, όπως οι παραπάνω, μπορούν να γίνουν πολύ εύκολα και γρήγορα με τη χρήση Η/Υ και τη χρήση κάποιου από την πληθώρα S/W που υπάρχουν για ανάλογα προβλήματα. Στην προκειμένη περίπτωση χρησιμοποιήθηκε ένα απλό πρόγραμμα σε QBASIC.

Ανάγνωση Κλίμακας - Αξία Ψηφίων Την αριθμητική τιμή ενός φυσικού μεγέθους που μετρούμε με οποιοδήποτε

όργανο τη διαβάζουμε πάνω στη κλίμακα του οργάνου. Οι χαραγές της κλίμακας χρησιμεύουν ακριβώς για να διαβάζουμε τα ψηφία της μέτρησης. Τα ψηφία αυτά, που προκύπτουν με βεβαιότητα από τις χαραγές της κλίμακας του οργάνου που χρησιμοποιούμε, λέγονται σημαντικά ψηφία της μέτρησης.

Αν ο δείκτης του οργάνου σταματήσει σε ενδιάμεση θέση, δηλ. μεταξύ δύο χαραγών της κλίμακας, τότε το διάστημα μεταξύ της προηγούμενης χαραγής και του δείκτη το υπολογίζουμε κατ' εκτίμηση και το προσθέτουμε στη τιμή που αντιπροσωπεύει η αμέσως προηγούμενη χαραγή. Το τελευταίο αυτό ποσό που εκτιμάται από τον παρατηρητή λέγεται κατ' εκτίμηση ψηφίο.

Κατά κανόνα θεωρούμε ότι μπορούμε να εκτιμήσουμε με ικανοποιητικό βαθμό το μισό της μικρότερης υποδιαίρεσης μίας κλίμακας. Είναι δυνατόν βέβαια να εκτιμήσουμε και μικρότερο αλλά αυτό εξαρτάται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της κλίμακας και της βελόνας του χρησιμοποιούμενου οργάνου.

11

Το πρόβλημα του πλήθους των σημαντικών ψηφίων προκύπτει κύρια στις έμμεσες μετρήσεις. Η χρήση των σφαλμάτων καθορίζει καλύτερα τα σημαντικά ψηφία του αποτελέσματος.

Κάνοντας τις πράξεις με υπολογιστή προκύπτει συνήθως μεγάλος αριθμός δεκαδικών ψηφίων. Δεν έχει καμιά αξία η αναγραφή περισσότερων δεκαδικών ψηφίων στο αποτέλεσμα απ' όσα έχει το σφάλμα στον υπολογισμό του μεγέθους που μετράμε.

Κατά κανόνα αν το τελευταίο ψηφίο που παραλείπεται είναι ίσο ή μεγαλύτερο από το πέντε, το αμέσως προηγούμενο ψηφίο στο αποτέλεσμα αυξάνεται κατά μία μονάδα. Βέβαια αυτή η διαδικασία του "στρογγυλέματος" γίνεται μόνο στο τελικό αποτέλεσμα και όχι στα αποτελέσματα ενδιάμεσων πράξεων που τυχόν υπάρχουν.

Γραφικές Παραστάσεις Πολύ συχνά επιδιώκουμε μία συνοπτική έκφραση των μετρήσεων των

μεταβλητών ενός πειράματος. Αυτό πετυχαίνεται με τη γραφική παράσταση των εξεταζόμενων μεταβλητών. Η γραφική παράσταση επί πλέον δίνει μία καθαρή εικόνα της πορείας ενός φαινομένου, επιτρέπει τον καθορισμό επιπρόσθετων τιμών τόσο μέσα στο διάστημα των τιμών που πήραμε όσο και έξω από αυτό με προέκταση της καμπύλης, βοηθάει στην εύρεση της μαθηματικής εξίσωσης που θα μπορούσε να περιγράψει το φαινόμενο και στον εντοπισμό περιοχών όπου οι μετρήσεις πρέπει να είναι πιο πυκνές.

Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης χρησιμοποιούμε συνήθως χιλιοστομετρικό χαρτί (χαρτί μιλιμετρέ) που έχει χαραγμένα εκατοστά και χιλιοστά και ακολουθούμε τη παρακάτω διαδικασία.

• Καταστρώνουμε τις τιμές των μετρήσεων των μεταβλητών του πειράματος σε πίνακα.

• Φέρνουμε δύο ευθείες (άξονες), μία οριζόντια x'x, που λέγεται άξονας τετμημένων ή άξονας των x, και μία κατακόρυφη y'y, που λέγεται άξονας των τεταγμένων ή άξονας των y. To σημείο τομής Ο είναι η αρχή των αξόνων των συντεταγμένων.

• Αποφασίζουμε ποια από τις δύο μεταβλητές θα παρασταθεί στον οριζόντιο άξονα και ποια στον κατακόρυφο. Συνήθως, τοποθετούμε στον άξονα των x την ανεξάρτητη μεταβλητή και στον άξονα των y την εξαρτημένη μεταβλητή.

• Υποδιαιρούμε τον άξονα των τετμημένων σε ίσα τμήματα ώστε κάθε τμήμα να αντιπροσωπεύει ίσο αριθμό μονάδων του μεγέθους που παριστάνει ο άξονας. Η εργασία αυτή γίνεται παίρνοντας υπ' όψη την έκταση των αριθμητικών τιμών του μεγέθους, σε τρόπο ώστε οι κλίμακες να καλύπτουν αρκετή έκταση και το διάγραμμα που θα προκύψει να είναι ευανάγνωστο.

• Κάτω από κάθε άξονα γράφουμε το φυσικό ποσό που αντιπροσωπεύει και δεξιά του ποσού γράφουμε μέσα σε παρένθεση τη μονάδα μέτρησης του.

• Τοποθετούμε τις πειραματικές τιμές στο διάγραμμα. Κάθε ζευγάρι τιμών, της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής, αντιστοιχεί σε ένα σημείο στο επίπεδο του διαγράμματος που το σημειώνουμε μ’ ένα ευκρινές σύμβολο π.χ. με x ή με μία κουκκίδα. Επειδή οι τιμές των μεταβλητών που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης μπορούν να βρεθούν πάνω στις αντίστοιχες κλίμακες, είναι περιττό να γράφονται πάνω στους άξονες.

• Φέρνουμε την καλύτερη γραμμή μεταξύ των σημείων. Ως καλύτερη γραμμή

12

χαρακτηρίζεται η απλούστερη γεωμετρική γραμμή που αφήνει περίπου τόσα σημεία από τη μία μεριά της όσα αφήνει από την άλλη.

• Υπάρχει τρόπος για την καλύτερη προσαρμογή της γραμμής στις μετρήσεις με τη χρήση προγράμματος σε υπολογιστή.

• Γράφουμε πάνω στο διάγραμμα, σε κάποιο κενό χώρο τη συνάρτηση που απεικονίσαμε.

Στο Σχήμα 2 δίνεται ένα παράδειγμα γραφικής παράστασης σύμφωνα με τα

προηγούμενα.

Σχήμα 2: Γραφική παράσταση του διαστήματος S με το χρόνο t στην ομαλά

επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Γραφική παράσταση, καθώς και προσαρμογή της καλύτερης γραμμής γίνεται

πολύ εύκολα, γρήγορα και με μεγάλη ακρίβεια με τη βοήθεια Η/Υ και ειδικό S/W.

Η Ευθεία Γραμμή Και Η Κλίση Της Ο πιο απλός αλλά και συνηθισμένος τύπος γραμμής είναι η ευθεία. Η γενική εξίσωση

της ευθείας έχει τη μορφή

xaay 10 += Εξίσωση 9

όπου y, χ οι μεταβλητές ποσότητες και α0, α1 σταθερές. Τις σταθερές αυτές μπορούμε να τις προσδιορίσουμε εφόσον μας είναι γνωστά

δύο ζευγάρια τιμών π.χ. τα (x1y1) και (x2y2) που αντιπροσωπεύουν σημεία της ευθείας.

13

Αποδεικνύεται εύκολα ότι

)( 112

121 xx

xxyyyy −

−−

=− Εξίσωση 10

ή

)( 111 xxayy −=− Εξίσωση 11

όπου α1 είναι:

xy

xxyya

ΔΔ

=−−

=12

121 Εξίσωση 12

Ο λόγος αυτός καθορίζει την κλίση ή συντελεστή διευθύνσεως, της ευθείας ως

προς τον άξονα χ.

Σχήμα 3: Η κλίση της ευθείας

Η σταθερή α0 είναι η τιμή της μεταβλητής y όταν x=0. Στο Σχήμα 3, α0=ΟΔ.

Οι φυσικές ποσότητες που σημειώνονται στους άξονες συνήθως έχουν διαστάσεις γι' αυτό και η κλίση πρέπει να έχει διαστάσεις, να μετριέται δηλαδή σε κάποιες μονάδες. Αν λ.χ. στον άξονα y έχουμε δύναμη (Ν) και στον άξονα x μήκος (m), η κλίση μετριέται σε N/m.

Αν οι κλίμακες στους δύο άξονες είναι ισοδιάστατες, αν δηλαδή μία μονάδα παριστάνεται με το ίδιο μήκος και στους δύο άξονες, η αριθμητική τιμή της κλίσης μιας ευθείας ισούται, όπως αναφέρθηκε και αλλού, με την εφαπτόμενη της γωνίας που σχηματίζει με τον άξονα των x, μετρώντας σαν θετικές τις προς τα πάνω γωνίες και αρνητικές τις προς τα κάτω.

14

Αριθμητική τιμή της Κ=εφ60 - 1.7

Αριθμητική τιμή της Κ =εφ(- 45) = -1

Συνήθως όμως είμαστε υποχρεωμένοι να χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές

κλίμακες γιατί τυχαίνει οι τιμές της μίας μεταβλητής να είναι πολύ μικρότερες ή πολύ μεγαλύτερες από τις τιμές της άλλης, ώστε θα ήταν δύσκολο ή αδύνατο να κάνουμε ένα ευανάγνωστο διάγραμμα αν χρησιμοποιούσαμε ίσες κλίμακες. Σε τέτοια περίπτωση μετρούμε την κλίση της ευθείας όπως αναφέρθηκε προηγούμενα, παίρνουμε δηλαδή πάνω στην ευθεία δύο σημεία A(x1,y1) και B(x2,y2) και βρίσκουμε τις διαφορές Δy=y2-y1 και Δχ=x2-x1 (Σχήμα 3). Η κλίση της ευθείας είναι

1axyK =

ΔΔ

=

Τα δύο σημεία της ευθείας που διαλέγουμε φροντίζουμε να είναι όσο το δυνατό πιο μακριά το ένα από το άλλο για να μπορούν να υπολογιστούν μεγάλη σχετικά ακρίβεια οι διαφορές Δy και Δx.

Μη Γραμμικές Σχέσεις Μεταξύ Φυσικών Μεγεθών Και Αναγωγή Τους Σε Γραμμικές

Είναι φανερό ότι η ευθεία, ως γραφική παράσταση πειραματικών μετρήσεων, έχει σημαντικά πλεονεκτήματα. Μπορεί να χαραχθεί μεταξύ των σημείων με ευκολία και ακρίβεια και να βοηθήσει στον υπολογισμό χρήσιμων μεγεθών ή σταθερών. Τα συμπεράσματα γενικά που μπορούν να βγουν, είναι πιο αξιόπιστα στη περίπτωση της ευθείας.

15

Συχνά όμως συμβαίνει, η σχέση μεταξύ δύο φυσικών μεγεθών να μην είναι σχέση απλής αναλογίας (γραμμική), αλλά πιο σύνθετη. Συμφέρει στη περίπτωση αυτή, να μετατρέψουμε τη μη γραμμική σχέση σε γραμμική με κατάλληλο μετασχηματισμό των μεταβλητών. Αναφέρουμε στη συνέχεια δύο τρόπους με τους οποίους μη γραμμικές σχέσεις είναι δυνατόν να ανάχθούν σε γραμμικές:

α. Αντικαθιστούμε δυνάμεις της μίας ή και των δύο μεταβλητών της μη γραμμικής

σχέσης με νέες μεταβλητές ώστε να προκύψει γραμμική σχέση. Παράδειγμα Ι.

Σε περίπτωση κυκλικής κίνησης εξετάζουμε τη μεταβολή της κεντρομόλου δύναμης F σε σχέση με την ακτίνα r. Με τιμές που παίρνουμε από το πείραμα κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F=F(r). Παρατηρούμε ότι προκύπτει υπερβολή. Από την καμπύλη αυτή βέβαια δεν μπορούμε να βρούμε τη μαθηματική σχέση που συνδέει την κεντρομόλο δύναμη με την ακτίνα r. Μπορούμε όμως να κάνουμε την αναγωγή σε ευθεία φτιάχνοντας τη γραφική παράσταση της δύναμης με το αντίστροφο της ακτίνας (Σχήμα 4).

Σχήμα 4: Μη γραμμική και γραμμική σχέση Παράδειγμα II.

Σε πείραμα απλού εκκρεμούς εξετάζουμε τη μεταβολή της περιόδου Τ σε σχέση με το μήκος l. Με τιμές που παίρνουμε από το πείραμα, φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης T=T(l). Παρατηρούμε ότι προκύπτει παραβολή.

16

Σχήμα 5: Γραφική παράσταση Τ=Τ(l)

Από την καμπύλη αυτή και μόνο δεν μπορούμε να εξακριβώσουμε τη σχέση μεταξύ των Τ και l. Αν όμως κάνουμε τη γραφική παράσταση με τιμές της περιόδου στον ένα άξονα και τιμές της τετραγωνικής ρίζας του μήκους στο άλλο προκύπτει ευθεία, (Σχήμα 5β).

Μπορούμε επίσης να πετύχουμε την αναγωγή σε ευθεία γραμμή αν στον ένα άξονα βάλουμε τιμές του Τ2 και στον άλλο τιμές του l. (Σχήμα 5γ).

β. Χρησιμοποιούμε λογαριθμικές κλίμακες.

Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται συχνά όταν έχουμε συναρτήσεις εκθετικής μορφής

BAxy = Εξίσωση 13

όπου Β θετικός ή αρνητικός αριθμός εκτός από 0 και 1, και Α σταθερή ποσότητα. Η γραφική παράσταση της σχέσης αυτής είναι καμπύλη γραμμή που μπορεί να μετατραπεί σε ευθεία ως εξής:

1. Λογαριθμίζουμε την Εξίσωση 13, οπότε προκύπτει

xBAy logloglog += Εξίσωση 14

2. Κάνοντας στην Εξίσωση 14 τις αντικαταστάσεις XxaBaAYy ==== log,,log,log 10 , παίρνουμε

XaaY 10 += Εξίσωση 15

Επομένως, αν αντί των τιμών x και y χρησιμοποιούμε τους λογαρίθμους τους, η καμπύλη ανάγεται σε ευθεία με a1 = Β και a0 = log Α.

Για να αποφύγουμε να βρούμε τους λογαρίθμους για κάθε ζευγάρι τιμών χρησιμοποιούμε λογαριθμικό χαρτί. Αυτό έχει τους άξονες του διαιρεμένους, ώστε κάθε υποδιαίρεση να είναι ανάλογη του λογαρίθμου της ακολουθίας των ακέραιων αριθμών.

Παράδειγμα Σε πείραμα απλού εκκρεμούς πήραμε τα ακόλουθα ζεύγη τιμών

17

l(m) = x = 0.2 0.5 0.8 1 1.5 T(s) = y = 0.9 1.4 1.8 2 2.4

Να βρεθεί η εμπειρική εξίσωση της κίνησης του απλού εκκρεμούς.

Η εξίσωση που ζητείται είναι της μορφής BAxy =

και σκοπός μας είναι ο προσδιορισμός των Α και Β. Αυτά υπολογίζονται εύκολα μετατρέποντας την εξίσωση αυτή σε γραμμική με τη μέθοδο που περιγράψαμε προηγούμενα.

ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΟΘΕΝΤΩΝ ΖΕΥΓΩΝ ΤΙΜΩΝ : 5 ΔΟΘΕΝΤΑ ΖΕΥΓΗ ΤIΜΩΝ (Χ,Υ) : Α/Α x y

1. 0.2 0.5 2. 0.5 1.4 3. 0.8 1.8 4. 1 2 5. 1.5 2.4

Παίρνουμε τους λογαρίθμους των παραπάνω τιμών, κάνουμε τη γραφική παράσταση (που τώρα θα είναι ευθεία) και από αυτή βρίσκουμε τον εκθέτη Β και το συντελεστή Α, όπως περιγράψαμε πιο πάνω:

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ Α=1.98 ΕΚΘΕΤΗΣ Β=0.49

Οπότε, η ζητούμενη συνάρτηση είναι : Υ= 1,98Χ0.49 Μπορούμε τώρα εύκολα να υπολογίσουμε την τιμή του g:

2

2422

Α=⇒=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=ππ

π gAgl

gT

AXT B

Εξίσωση 16

και με αντικατάσταση της τιμής του Α που βρήκαμε παίρνουμε τελικά 2/85.9 smg = .

18

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. (Οδηγίες για τη χάραξη γραφικών παραστάσεων και τον υπολογισμό των πειραματικών και

θεωρητικών τιμών των παραμέτρων) Η σύντομη αυτή εισήγηση, έχει σαν σκοπό την βήμα-βήμα καθοδήγηση των

σπουδαστών στην χάραξη των γραφικών παραστάσεων, μετρικών και λογαριθμικών, οι οποίες ζητούνται σε κάθε εργαστηριακή άσκηση Φυσικής.

Μια γραφική παράσταση είναι ουσιαστικά η σχηματική αναπαράσταση της συνάρτησης δύο μεταβλητών x και y, οι τιμές των οποίων προκύπτουν από τις μετρήσεις του πειράματος. Με x εννοούμε την ανεξάρτητη μεταβλητή και με y την εξαρτημένη. Η συνάρτηση που τις συνδέει και την οποία πάμε να αναπαραστήσουμε γραφικά, συμβολίζεται γενικά με y = f(x).

Οι γραφικές παραστάσεις που ζητούνται σε αυτά τα εργαστήρια Φυσικής, είναι δύο ειδών, γ ρ α μ μ ι κ έ ς και λ ο γ α ρ ι θ μ ι κ έ ς .

Στη συνέχεια, δείχνουμε βήμα-βήμα τη διαδικασία που χρησιμοποιούμε για τη δημιουργία μιας γραφικής παράστασης, καθώς και τον τρόπο που υπολογίζουμε πειραματικά και θεωρητικά την κλίση της ευθείας που προκύπτει.

I. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Γ ρ α μ μ ι κ ή ονομάζεται μια γραφική παράσταση όταν στους άξονες x και y

τοποθετούμε τις τιμές των μεταβλητών x και y, αντίστοιχα, χωρίς καμία αλλαγή ή μετατροπή. Γραμμική γραφική παράσταση κάνουμε συνήθως όταν η συνάρτηση y=f(x) που θέλουμε να παραστήσουμε είναι πρώτου βαθμού (γραμμική) δηλαδή της μορφής

y = Β⋅x + Α, Εξίσωση 1

όταν, δηλαδή, η ανεξάρτητη μεταβλητή x είναι στην πρώτη δύναμη. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Ας δούμε πως εργαζόμαστε στην παράγραφο «Μεταβολή της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο» της Άσκησης 4. Βήμα 1ο Προσπαθούμε να κατανοήσουμε ποια φυσική σχέση πάμε να αποδείξουμε πειραματικά.

Στην περίπτωσή μας, πρόκειται για τη σχέση μεταξύ ταχύτητας υ - χρόνου t που δίνεται από την εξίσωση

tmmgm

t ⋅+⋅

=21

2)(υ

Η σχέση αυτή είναι γραμμική, της μορφής y=Bx+A (Εξίσωση 1), όπου : x είναι ο χρόνος t, y είναι η ταχύτητα υ,

19

B είναι ο συντελεστής 21

2mmgm

+⋅ και

Α = 0

Βήμα 2ο Συμπληρώνουμε τον πίνακα μετρήσεων των μεταβλητών x και y, όπου σημειώνουμε απαραιτήτως τις μονάδες μέτρησης.

Έστω, ότι οι τιμές που μετρήσαμε στο πείραμα είναι α/α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s) 0.530 0.780 1.250 1.820 2.330 2.750 3.100 3.470 4.040 4.390υ (m/s) 1.60 2.85 4.17 6.30 7.55 9.25 10.2 11.6 13.5 15.5

Βήμα 3ο Φτιάχνουμε ένα σύστημα ορθογώνιων αξόνων υ - t και κάνουμε τη γραφική παράσταση σύμφωνα με τις τιμές του πίνακα μετρήσεων

Προσοχή: Για να είναι ένα γραμμικό διάγραμμα σωστό πρέπει να τηρούνται τα εξής σημεία 1. Στον οριζόντιο άξονα βάζουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλαδή τον χρόνο t

και στον κατακόρυφο άξονα την εξαρτημένη μεταβλητή, δηλαδή την ταχύτητα υ.

2. Σημειώνουμε τη μονάδα μέτρησης σε κάθε άξονα. (s στον οριζόντιο άξονα και m/s στον κατακόρυφο).

3. Οι άξονες πρέπει να είναι χωρισμένοι σε ίσα τμήματα. Δεν βάζουμε στους άξονες τις τιμές του πίνακα μετρήσεων

4. Σημειώνουμε με κουκίδες τα πειραματικά σημεία που αντιστοιχούν σε κάθε ζευγάρι τιμών υ - t του πίνακα μετρήσεων.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,50

2

4

6

8

10

12

14

16

Δt

Δυ

φ

Γ

A

O

υ (m

/s)

t (sec)

20

5. Χαράσσουμε την ευθεία που προσεγγίζει όσο το δυνατόν καλύτερα τα πειραματικά σημεία (ευθεία ελαχίστων τετραγώνων).

6. Σχεδιάζουμε ένα όσο το δυνατόν μεγαλύτερο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΓ και υπολογίζουμε την κλίση της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων, δηλαδή την εφαπτομένη της γωνίας φ που κάνει η ευθεία αυτή με τον οριζόντιο άξονα. Η εφαπτομένη είναι εφφ = ΟΑ/ΟΓ = 12.0/3.47 = 3.46 m/s2. Προσοχή: βάζουμε και τη μονάδα (το ΟΑ είναι m/s και το ΟΓ είναι σε s, άρα το πηλίκο δίνει m/s/s=m/s2). Τα Α και Γ δεν είναι ανάγκη να είναι σημεία μετρήσεων! Η κλίση αυτή της ευθείας είναι η πειραματική τιμή του συντελεστή Β.

Βήμα 4ο Δίνουμε την απάντηση:

2πειρ 46.3ΟΓΟΑεφB

secm

=== ϕ

Βήμα 5ο Υπολογίζουμε τη θεωρητική τιμή του συντελεστή Β.

Όπως είδαμε στο 1ο βήμα, είναι

21

2θεωρB

mmgm

+⋅

=

Βήμα 6ο Υπολογίζουμε το % σφάλμα

100Β

ΒB%

θεωρ

θεωρπειρ ⋅−

=σ

ΙΙ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Λο γ α ρ ι θ μ ι κ ή ονομάζεται μία γραφική παράσταση όταν, αντί για τις τιμές

των μεταβλητών x και y στους άξονες Οx και Οy, τοποθετούμε τους λογαρίθμους logx και logy. Λογαριθμική γραφική παράσταση χρησιμοποιούμε όταν η συνάρτηση y = f(x), την οποία θέλουμε να παραστήσουμε γραφικά, είναι γενικά της μορφής

y =Α⋅xΒ Εξίσωση 2

όπου η δύναμη Β της ανεξάρτητης μεταβλητής x είναι: Β≠1. Αν πάρουμε τους λογαρίθμους και των δύο μελών στην Εξίσωση 2, έχουμε

logy = log(Α⋅xΒ), logy = logΑ+logxΒ, (διότι, log(a⋅b)=loga+logb) logy = logΑ+B⋅logx (διότι, logan = n⋅loga)

ή logy = B⋅logx + logΑ Εξίσωση 3

21

Βλέπουμε, λοιπόν, ότι − αν θεωρήσουμε τις μεταβλητές x και y, η εξίσωσή μας είναι η Εξίσωση 2, δηλαδή μια

εκθετική συνάρτηση με εκθέτη Β, που κάθε άλλο παρά ευθεία γραμμή είναι. − αν, όμως, θεωρήσουμε τους λογαρίθμους logx και logy, η εξίσωσή μας είναι η

Εξίσωση 3, που αντιπροσωπεύει ευθεία γραμμή της οποίας η κλίση, δηλαδή ο συντελεστής του logx, είναι Β.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Σαν παράδειγμα, θεωρούμε τη γραφική παράσταση του διαστήματος με το χρόνο s - t στην Μελέτη της ροπής αδράνειας σφόνδυλου. Βήμα 1ο Προσπαθούμε να κατανοήσουμε ποια φυσική σχέση πάμε να αποδείξουμε πειραματικά

Εδώ, η σχέση του διαστήματος s με τον χρόνο t κατά την πτώση του σφονδύλου δίνεται από την παρακάτω εξίσωση

2

221)( t

rI

m

gmtsz⋅

+

⋅⋅=

Προφανώς, η σχέση αυτή είναι της μορφής y =Α⋅xΒ (Εξίσωση 2), όπου:

x είναι ο χρόνος t, y είναι το διάστημα s, Α είναι ο συντελεστής

221

rIm

gmz+

⋅ και

B = 2 Βήμα 2ο

Συμπληρώνουμε τον πίνακα μετρήσεων των μεταβλητών x και y, όπου σημειώνουμε απαραιτήτως τις μονάδες μέτρησης και στη συνέχεια φτιάχνουμε άλλες δύο γραμμές, τις οποίες συμπληρώνουμε με τους λογαρίθμους logx και logy χωρίς μονάδες μέτρησης.

α/α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

s (m) 0.05 0.30 0.35 0.42 0.86 0.95 1.02 1.50 1.88 1.90 t (s) 0.112 0.259 0.365 0.487 0.521 0.602 0.684 0.760 0.825 0.890log s -1.30 -0.52 -0.46 -0.38 -0.066 -0.022 0.0086 0.18 0.27 0.28 log t -0.95 0.59 -0.44 -0.31 -0.28 -0.22 -0.16 -0.12 -0.084 -0.051

Βήμα 3:Φτιάχνουμε ένα σύστημα ορθογώνιων αξόνων log s – log t και κάνουμε τη

22

γραφική παράσταση σύμφωνα με τις τιμές του πίνακα μετρήσεων. Προσοχή Για να είναι μια λογαριθμική γραφική παράσταση σωστή πρέπει να τηρούνται τα εξής σημεία 1. Στον οριζόντιο άξονα βάζουμε τον λογάριθμο της ανεξάρτητης μεταβλητής,

δηλαδή logt και στον κατακόρυφο άξονα τον λογάριθμο της εξαρτημένης μεταβλητής, δηλαδή logs.

2. Δεν βάζουμε μονάδες στους άξονες. 3. Οι άξονες πρέπει να είναι χωρισμένοι σε ίσα τμήματα. Δεν βάζουμε στους

άξονες τις τιμές του πίνακα μετρήσεων. 4. Σημειώνουμε με κουκίδες τα πειραματικά σημεία που αντιστοιχούν σε κάθε

ζευγάρι τιμών logs - logt του πίνακα μετρήσεων. 5. Χαράσσουμε την ευθεία που προσεγγίζει όσο το δυνατόν καλύτερα τα

πειραματικά σημεία (ευθεία ελαχίστων τετραγώνων). 6. Σχεδιάζουμε ένα όσο το δυνατόν μεγαλύτερο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΓ και

υπολογίζουμε την κλίση της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων, δηλαδή την εφαπτομένη της γωνίας φ που κάνει η ευθεία αυτή με τον οριζόντιο άξονα.

7. Η εφαπτομένη είναι εφφ = ΟΑ/ΟΓ = 1.54/0.9 = 1.71. Προσοχή: δεν βάζουμε μονάδες διότι έχουμε λογαρίθμους.

8. Η κλίση αυτή της ευθείας είναι η πειραματική τιμή του εκθέτη Β.

Βήμα 4ο Δίνουμε την απάντηση:

71.1ΟΓΟΑεφBπειρ === ϕ

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4

φΓ

A

O

logs

log t

23

Βήμα 5ο Υπολογίζουμε τη θεωρητική τιμή του συντελεστή Β.

Όπως είδαμε στο 1ο βήμα, η θεωρητική τιμή του εκθέτη Β είναι

2Bθεωρ = Βήμα 6ο Υπολογίζουμε το % σφάλμα

%5.142

271.1100Β

ΒB%σ

θεωρ

θεωρπειρ −=−

=⋅−

=

24

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

25

ΑΣΚΗΣΗ 1 Μέτρηση Διαστάσεων με Διαστημόμετρο - Μικρόμετρο

Ι. Σκοπιμότητα της άσκησης

Η ακριβής μέτρηση διαστάσεων διαφόρων σωμάτων συναντάται συχνά στην επαγγελματική ζωή των τεχνολόγων. Στην πειραματική αυτή άσκηση επιχειρούνται μετρήεις ακριβείας με τη χρήση τριών απλών οργάνων, από τα πλέον συχνά χρησιμοποιούμενα. II. Θεωρία

Πολλά όργανα μέτρησης, για μεγαλύτερη ακρίβεια στην εύρεση του φυσικού μεγέθους που μετράνε, φέρουν δύο κλίμακες. Η μία από αυτές αποτελεί την κύρια κλίμακα του οργάνου. Η άλλη κλίμακα είναι βοηθητική και συνήθως σύρεται κατά μήκος της κύριας κλίμακας.

Με τη βοηθητική κλίμακα μπορούμε να μετρήσουμε κλάσματα της μικρότερης υποδιαίρεσης της κύριας κλίμακας. Η μικρότερη υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας ενός οργάνου, ονομάζεται σταθερά της κύριας κλίμακας του οργάνου

Σχήμα 1.1: Κύρια κλίμακα οργάνου: Σταθερά της κύριας κλίμακας ενός οργάνου ονομάζεται η μικρότερη υποδιαίρεση της.

Συνήθως η σταθερά της κύριας κλίμακας ονομάζεται και υποδιαίρεση. Η σταθερά

της κλίμακας στο Σχήμα 1.1 είναι σ = 0.5 cm. Η κλίμακα αυτή είναι υποδιαιρεμένη ανά 0.5 cm αλλά βαθμολογημένη ανά 1 cm.

Βερνιέρος

Ο βερνιέρος είναι μία βοηθητική κλίμακα ενός οργάνου και δίνει τη δυνατότητα να πραγματοποιούνται μετρήσεις με ακρίβεια μεγαλύτερη απ’ ότι η μικρότερη υποδιαίρεση (σταθερά της κύριας κλίμακας) του οργάνου.

Η κλίμακα του βερνιέρου είναι υποδιαιρεμένη σε n ίσα τμήματα. Συνήθως το n ισούται με 5, 10, 20, ή 25. Όταν το 0 της κλίμακας βερνιέρου συμπίπτει με μία υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας του οργάνου, τότε οι υποδιαιρέσεις του βερνιέρου καλύπτουν n-1 υποδιαιρέσεις της κύριας κλίμακας.

σ

0 1 2 3 4 5

26

Σχήμα 1.2: Υποδιαίρεση του βερνιέρου

Αν σ το μήκος μίας υποδιαίρεσης της κύριας κλίμακας και β το μήκος μίας

υποδιαίρεσης του βερνιέρου, από τα παραπάνω προκύπτει ότι:

nn)n( σβσβσ =−⇒=−1 Εξίσωση 1.1

Τη διαφορά c = σ – β, μεταξύ της υποδιαίρεσης σ της κύριας κλίμακας και της υποδιαίρεσης β του βερνιέρου ονομάζουμε σταθερά του βερνιέρου, δηλαδή :

nc σβσ =−= Εξίσωση 1.2

Έτσι, αν π.χ. ο βερνιέρος έχει 20 υποδιαιρέσεις που καλύπτουν 19 υποδιαιρέσεις της κύριας κλίμακας, της οποίας η σταθερά είναι σ = 1 mm, τότε η σταθερά του Βερνιέρου είναι c = 1/20 = 0.05 mm

Σύμφωνα με το Σχήμα 1.2 η μικρότερη μέτρηση που μπορεί να κάνει ο βερνιέρος είναι η απόσταση της γραμμής 1 του βερνιέρου από τη γραμμή 8 της κύριας κλίμακας ή σ/n. Η απόσταση μεταξύ της γραμμής 2 του βερνιέρου και της γραμμής 9 της κύριας κλίμακας είναι 2(σ/η) κ.ο.κ., έως ότου συναντήσουμε την τελευταία γραμμή του βερνιέρου που συμπίπτει με μία γραμμή της κύριας κλίμακας και η διαφορά είναι ίση με n (σ/n) = σ, δηλαδή μία υποδιαίρεση.

Χρήση του Βερνιέρου

Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε το μήκος ενός σώματος Σ και ότι η σταθερά της κύριας κλίμακας του οργάνου που χρησιμοποιούμε είναι σ = 1 mm. Κατά μήκος της κύριας κλίμακας σύρεται βερνιέρος που έχει σταθερά c = 0.1 mm.

Τοποθετούμε το ένα άκρο Α, του σώματος στο μηδέν της κύριας κλίμακας και σύρουμε το βερνιέρο μέχρις ότου το μηδέν του να έρθει σε επαφή με το άλλο άκρο Β, του σώματος

Σχήμα 1.3: Παράσταση βερνιέρου και κύριας κλίμακας

Δ

27

Βρίσκουμε τη χαραγή της κύριας κλίμακας που βρίσκεται αμέσως αριστερά της χαραγής 0 του βερνιέρου. Στο Σχήμα 1.3 είναι 2 mm και είναι το σημείο Γ. Από το σχήμα, συμπεραίνουμε ότι το μήκος του σώματος Σ, είναι το μήκος ΑΓ της κύριας κλίμακας συν το κλάσμα ΓΔ. Οπότε, για την ολοκλήρωση της μέτρησης του μήκους του σώματος Σ, απαιτείται ακόμα ο προσδιορισμός του κλάσματος ΓΔ. Για να το καταφέρουμε αυτό, αναζητούμε ποια είναι η πρώτη χαραγή του βερνιέρου που συμπίπτει με κάποια χαραγή της κύριας κλίμακας. Στο παράδειγμα του Σχήματος 1.3, είναι η 7η Οπότε: ΓΕ = 7σ

ΔΕ = 7β = 7(σ-c) ΓΔ = ΓΕ – ΔΕ = 7(σ-c) – 7σ => (ΓΔ) = 7c = 7×0.1 mm = 0.7 mm

Άρα το μήκος του σώματος Σ είναι ΑΒ = 2 mm + 0.7 mm = 2.7 mm

Γενικά, αν σε μία μέτρηση ενός μεγέθους με τη βοήθεια οργάνου που φέρει βερνιέρο η ένδειξη της κύριας κλίμακας είναι α και η κ χαραγή του βερνιέρου συμπίπτει με μία χαραγή της κύριας κλίμακας του οργάνου (δεν μας ενδιαφέρει με ποιά), το αποτέλεσμα χ της μέτρησης δίνεται από τη σχέση :

cax κ+= Εξίσωση 1.3

όπου c η σταθερά του βερνιέρου. Εκτός από το βερνιέρο που αναφέρθηκε παραπάνω, υπάρχουν επίσης και κυκλικοί,

κοχλιοειδείς κ.λ.π. βερνιέροι ανάλογα με το σχήμα. Οι κυκλικοί βερνιέροι αποτελούνται από ένα τμήμα τόξου που είναι ο βερνιέρος και σύρεται κατά μήκος περιφέρειας κύκλου που επάνω της βρίσκεται η κύρια κλίμακα. Οι κυκλικοί βερνιέροι χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση κλάσματος γωνιομετρικών διαιρέσεων και η αρχή λειτουργίας, καθώς και η μέθοδος μέτρησης είναι οι ίδιες όπως και στο γραμμικό βερνιέρο.

Σφάλμα ανάγνωσης

Δεν μπορούμε γενικά, λόγω αδυναμίας του ματιού, να προσδιορίσουμε με βεβαιότητα ποια χαραγή του βερνιέρου συμπίπτει με κάποια της κύριας κλίμακας. Έτσι, όταν λέμε ότι η κ χαραγή του βερνιέρου συμπίπτει με μία χαραγή της κύριας κλίμακας, είναι πολύ πιθανό στην πραγματικότητα να συμπίπτει η κ+1 ή η κ-1. Είναι πιο σωστό επομένως να θεωρούμε ότι η κ±1 χαραγή του βερνιέρου συμπίπτει με κάποια της κύριας κλίμακας.

Αν στην Εξίσωση 1.3 βάλουμε κ±1 αντί του κ, έχουμε

ckcax ±+= )( => δ++= )( kcax Εξίσωση 1.4

όπου με δ συμβολίζουμε το σφάλμα ανάγνωσης c±=δ ΙΙΙ. Μέτρηση διαστάσεων

Ανάλογα με την περιοχή που κυμαίνεται η διάσταση που θέλουμε να μετρήσουμε και την ακρίβεια που ζητάμε, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα παρακάτω όργανα:

ΙΙΙ.1 ΔΙΑΣΤΗΜΟΜΕΤΡΟ Το διαστημόμετρο (Σχήμα 1.4) χρησιμοποιείται για μέτρηση διαστάσεων διαφόρων

αντικειμένων συνήθως μέχρι 25 - 30 cm. Έτσι μετρούμε για παράδειγμα το πάχος μιας πλάκας ή ενός ελάσματος, εσωτερική ή εξωτερική διάμετρο δακτυλιοειδών σωμάτων, διάμετρο σφαίρας , κ.λ.π.

28

Σχήμα 1.4: Διαστημόμετρο

Έστω για παράδειγμα ότι θέλουμε να μετρήσουμε το μήκος κάποιου σώματος. Το σώμα τοποθετείται μεταξύ των δύο σιαγόνων Α και Β. Η σιαγόνα Β είναι κινητή και σύρεται κατά μήκος της κύριας κλίμακας της οποίας η σταθερά είναι συνήθως σ = 1 mm. Στη σιαγόνα αυτή είναι χαραγμένη η κλίμακα του βερνιέρου.

Προκειμένου να μετρήσουμε το μήκος ενός σώματος με το διαστημόμετρο, βρίσκουμε πρώτα τη σταθερά του βερνιέρου. Τοποθετούμε στη συνέχεια το σώμα μεταξύ των δύο σιαγόνων και μετακινώντας την κινητή σιαγόνα πετυχαίνουμε οι δύο σιαγόνες να εφάπτονται του σώματος. Το μήκος του σώματος βρίσκεται όπως ακριβώς αναφέρθηκε παραπάνω στη χρήση του βερνιέρου.

Εκτός από τις σιαγόνες Α και Β με τις οποίες μπορούμε να βρούμε τις, διαστάσεις αντικειμένου, υπάρχει και δεύτερο ζευγάρι σιαγόνων Γ και Δ που χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να μετρήσουμε εσωτερικές διαστάσεις.

ΙΙΙ.1.A Μετάθεση Του Μηδενός Αν φέρουμε τη σιαγόνα Β σε επαφή με τη σιαγόνα Α, τότε θα πρέπει το μηδέν της

κύριας κλίμακας να συμπίπτει με το μηδέν του βερνιέρου. Αυτό όμως, είτε γιατί το όργανο μέτρησης έχει κάποια βλάβη, είτε γιατί παρουσιάζει κάποια ατέλεια από την κατασκευή του, δε συμβαίνει πάντοτε. Συνήθως έχουμε μία μετατόπιση μ του μηδενός του βερνιέρου ως προς το μηδέν της κύριας κλίμακας; η οποία πάντοτε πρέπει να υπολογίζεται για να διορθώνονται τα αποτελέσματα της μέτρησης.

Η μετατόπιση θεωρείται θετική όταν η χαραγή 0 του βερνιέρου βρίσκεται αριστερά του μηδενός της κύριας κλίμακας και αρνητική όταν αυτή βρίσκεται προς τα δεξιά του μηδενός της κύριας κλίμακας.

Το πραγματικό μήκος του σώματος θα είναι το αλγεβρικό άθροισμα μεταξύ της ανάγνωσης της κύριας κλίμακας βερνιέρου και της μετατόπισης μ του μηδενός.

Αν λ είναι η υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας που συμπίπτει με την κ υποδιαίρεση του βερνιέρου όταν οι δύο σιαγόνες βρίσκονται σε επαφή, τότε για τη μετατόπιση μ του μηδενός έχουμε :

cc κσλκλσσκλσκβμ −−=−−=−= )()( Εξίσωση 1.5

όταν το μηδέν του βερνιέρου βρίσκεται αριστερά του μηδενός της κύριας κλίμακας του οργάνου, και

29

)( cκαμ +−= Εξίσωση 1.6

όταν το μηδέν του βερνιέρου βρίσκεται δεξιά του μηδενός της κύριας κλίμακας κατά α υποδιαιρέσεις της.

Η γενική σχέση που δίνει την ορθή ανάγνωση με διαστημόμετρο είναι:

ckcax ±++= μ)( Εξίσωση 1.7

ΙΙΙ.2 ΜΙΚΡΟΜΕΤΡΟ Με το μικρόμετρο (Σχήμα 1.5) μπορούμε να μετρήσουμε διάμετρο λεπτών

συρμάτων, πάχος λεπτών φύλλων κ.λ.π., με ακρίβεια 0.01 mm. Περιστρέφοντας το τύμπανο Τ μετατοπίζουμε τον άξονα R. Με μία πλήρη περιστροφή του τύμπανου μετατοπίζουμε τον άξονα R κατά ένα βήμα. Στην κλίμακα S σημειώνεται ο συνολικός αριθμός περιστροφών, ενώ στην κλίμακα Τ που έχει n=50 ή 100 υποδιαιρέσεις, το κλάσμα περιστροφής.

Σφίγγουμε ελαφρά το αντικείμενο που πρόκειται να μετρήσουμε μεταξύ των επιφανειών Ε και Ε', για να έχουμε πάντα την ίδια συμπίεση θα πρέπει να περιστρέφουμε το τύμπανο με την κεφαλή Η. Όταν η πίεση των σιαγόνων στο αντικείμενο φτάσει σε κάποια μέγιστη τιμή, ο κοχλίας παύει αυτόματα να προχωρεί ακόμη και αν εξακολουθεί να περιστρέφεται η κεφαλή, προστατεύοντας το μικρόμετρο από υπέρμετρη δύναμη περιστροφής.

Το βήμα του κοχλία H για τα περισσότερα μικρόμετρα είναι 0.5 mm και οι χαραγμένοι στην κλίμακα S αριθμοί εκφράζουν συνήθως mm.

Σχήμα 1.5: Μικρόμετρο

Η σταθερά του τύμπανου εκφράζει κατά πόσο το χείλος του τύμπανου προχωρεί στη κύρια κλίμακα όταν το τύμπανο στραφεί κατά μία υποδιαίρεση του, δηλαδή:

Βήμα μικρομέτρου

c = ------------------------------------------------ Αριθμός υποδιαιρέσεων τυμπάνου

30

Γενικά, αν α είναι η υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας που βρίσκεται αμέσως πριν το χείλος του τύμπανου και κ είναι η υποδιαίρεση του τύμπανου που ορίζεται από την οριζόντια γραμμή της κύριας κλίμακας επάνω, τότε η πλήρης ανάγνωση του μεγέθους x μεταξύ των δύο σιαγόνων είναι

kcax += Εξίσωση 1.8

Σε αντίθεση με τη μέτρηση με διαστημόμετρο, στη μέτρηση με μικρόμετρο ο αριθμός κ δεν είναι πάντοτε ακέραιος, διότι είναι δυνατόν να εκτιμήσουμε το κλάσμα της υποδιαίρεσης του τύμπανου.

III.2.A Μετάθεση του μηδενός

Όταν οι δύο επιφάνειες Ε και Ε' εφάπτονται τότε θα πρέπει το μηδέν της κλίμακας S να συμπίπτει με το μηδέν του τύμπανου Τ. Αν αυτό δε συμβαίνει, τότε πρέπει να υπολογίζετε τη μετάθεση του μηδενός. Αυτή είναι προσθετική αν κατά την επαφή των δύο σιαγόνων του οργάνου το χείλος του τύμπανου βρίσκεται αριστερά του μηδενός της κύριας κλίμακας, και αφαιρετική αν βρίσκεται δεξιά. Στο Σχήμα 1.6 ξεχωρίζουμε την μετάθεση του μηδενός στο συγκεκριμένο όργανο. Σ΄αυτή την περίπτωση η μετάθεση είναι προσθετική κατά 0,30 mm

Όταν η μετάθεση μ είναι προσθετική, ο υπολογισμός της γίνεται σε δύο φάσεις. Φέρουμε σε σύμπτωση τη χαραγή 0 του τύμπανου με τη χαραγή 0 της κλίμακας S, ενώ οι σιαγόνες του οργάνου δεν έχουν έρθει ακόμα σε επαφή, Στη συνέχεια φέρουμε σε επαφή τις σιαγόνες και μετρούμε τον αριθμό των υποδιαιρέσεων του τύμπανου που περνούν μπροστά από την οριζόντια γραμμή της κύριας κλίμακας. Έστω κ ο αριθμός αυτός. Η μετάθεση τότε θα είναι :

cκμ = Εξίσωση 1.9

όπου c η σταθερά του τύμπανου.

Σχήμα 1.6: Μετάθεση του μηδενός στο μικρόμετρο

Όταν η μετάθεση είναι αφαιρετική ο προσδιορισμός της γίνεται με απ' ευθείας ανάγνωση, όπως δίνεται από την Εξίσωση 1.6 δηλαδή :

)( cκαμ +−= Εξίσωση 1.10

31

ΙΙΙ.3 Σφάλμα Ανάγνωσης

Συνήθως κατά την ανάγνωση στο τύμπανο η οριζόντια γραμμή της κλίμακας S δε συμπίπτει ακριβώς με μία χαραγή του τύμπανου. Στη περίπτωση αυτή εκτιμούμε τη θέση που ορίζει η οριζόντια γραμμή της κλίμακας S στο τύμπανο. Κατά την εκτίμηση αυτή εμφανίζεται σφάλμα ανάγνωσης που δίνεται από τη σχέση :

εδ c= Εξίσωση 1.11

όπου c η σταθερά του τύμπανου και ε ένα κλάσμα που παίρνει τις τιμές: ±1/10, ±2/10, +3/10, .....

Η τιμή του ε εξαρτάται από την ικανότητα του ματιού του παρατηρητή. Για φυσιολογικό μάτι το ε δεχόμαστε ότι παίρνει την τιμή ±2/10.

Η γενική επομένως σχέση που δίνει την ορθή ανάγνωση με το μικρόμετρο είναι

δμ ±++= )( kcax Εξίσωση 1.12

IV Σκοπός Του Πειράματος Μέτρηση των διαστάσεων διαφόρων μικροαντικειμένων με διαστημόμετρο,

μικρόμετρο, με τη δυνατή ακρίβεια, για εξοικείωση με τη χρήση των οργάνων αυτών. IV. Απαιτούμενα όργανα

Διαστημόμετρο, μικρόμετρο, διάφορα σώματα. V. Πειραματική Εργασία V.1 . Διαστημόμετρο α. Βρίσκουμε τη σταθερά c του βερνιέρου

c =

β. Βρίσκουμε τη μετάθεση του μηδενός μ

μ = γ. Βρίσκουμε την εξωτερική διάμετρο D' και την εσωτερική d' σωμάτων που δίνονται. Χρησιμοποιούμε για τις μετρήσεις αυτές τις ροδέλλες που υπάρχουν στον πάγκο της άσκησης. Επίσης μετρούμε και τα άλλα αντικείμενα που βρίσκονται στο κουτί.

[mm] Πάχος Εσωτερική D Εξωτερική d

32

[mm] Πάχος Εσωτερική D Εξωτερική d

Εξωτερικά Πλάτος[mm] Μήκος [mm] Πάχος [mm]

Εσωτερικά Πλάτος[mm] Μήκος [mm] Πάχος [mm]

mm Dø Ύψος

mm Dø Ύψος

mm Dø Ύψος δ. Διορθώνουμε τις τιμές παίρνοντας υπ' όψη τη μετάθεση του μηδενός

D=D’+μ d=d’+μ ε. Εκτιμούμε το σφάλμα ανάγνωσης δ

δ = στ. Δίνουμε το τελικό αποτέλεσμα

D ± δ = και d ± δ =

33

V.2. Μικρόμετρο α. Βρίσκουμε το βήμα του κοχλία του μικρόμετρου περιστρέφοντας το τύμπανο. Έστω ότι για n περιστροφές το τύμπανο μετατοπίζεται κατά l mm πάνω στη κλίμακα S. Το βήμα είναι ίσο με (l/n) mm. I β. Βρίσκουμε τη σταθερά c του τύμπανου c = γ. Βρίσκουμε τη μετάθεση μ του μηδενός μ = δ. Βρίσκουμε τις διαστάσεις a, b, c, (πλάτος, ύψος, βάθος) από διαφορετικά σύρματα που βρίσκονται στο κουτί της άσκησης.

Fe [mm] a b c

Cu [mm] a b c

Λάστιχο [mm] a b c ε. Διορθώνουμε τις τιμές παίρνοντας υπ' όψη τη μετάθεση του μηδενός π = π’ + μ στ. Εκτιμούμε το σφάλμα ανάγνωσης δπ

δπ = ζ. Δίνουμε το τελικό αποτέλεσμα

π ± δπ =

Al [mm] a b c

Pb [mm] a b c

Ξύλο [mm] a b c

34

η. Μετρούμε τις διαστάσεις των μικρών κύβων από διάφορα μέταλλα (Al, Cu, Fe, Pb), και αφού στη συνέχεια τα ζυγίσουμε υπολογίζουμε την πυκνότητα των μετάλλων αυτών και συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα. Υπολογίστε το % σφάλμα της πυκνότητας που βρέθηκε πειραματικά όπως συγκρίνεται με τη θεωρητική τιμή που δίνεται στον παρακάτω πίνακα.

α/α Είδος

μετάλλου

Πυκνότητα ρ(gr/cm3)

Πυκνότητα που υπολογίστηκε από τους κύβους

% Διαφορά

1 ΑΙ 2.70 2 Cu 8.22 3 Fe 7,85 4 Pb 11.37

VI. Ερωτήσεις 1. Ποιο είναι το μικρότερο μήκος που μπορεί να μετρηθεί με το Μικρόμετρο και ποιο με το

Διστημόμετρο; 2. Να σχεδιαστεί βερνιέρος σταθεράς 0.05mm 3. Από τι περιορίζεται η ακρίβεια των οργάνων μέτρησης μηκών;

35

ΑΣΚΗΣΗ 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας (g) α. Με ελεύθερη πτώση β. Με απλό εκκρεμές

Ι. Σκοπιμότητα Της Άσκησης

Η επιτάχυνση της βαρύτητας, g, είναι μία βασική παράμετρος που υπεισέρχεται σε μεγάλο φάσμα της επιστήμης και της τεχνολογίας. Αυτή η ευρεία χρήση της επιβάλλει και την καλή της κατανόηση. ΙΙ. Θεωρία

Συνήθως θεωρούμε το g σταθερό, αλλά στην πραγματικότητα η τιμή του εξαρτάται από το ύψος από την επιφάνεια της Γης, το γεωγραφικό πλάτος του τόπου που βρισκόμαστε και την μορφολογία του υπεδάφους. Μπορούμε να μετρήσουμε πολύ μικρές μεταβολές της τιμής του g (τάξης μεγέθους 10-5 cm/s2). Π.χ. βρέθηκε ότι σε δύο τόπους, που βρίσκονται στο ίδιο ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας και στο ίδιο γεωγραφικό πλάτος, η τιμή του g δεν είναι ίδια. Η διαφορετική τιμή του g στους δύο αυτούς τόπους οφείλεται στην επίδραση της μορφολογίας του εδάφους ή στη επίδραση της φύσης των στρωμάτων του υπεδάφους. Ακριβείς μετρήσεις απέδειξαν ότι αν στο υπέδαφος υπάρχουν στρώματα που έχουν μεγάλη πυκνότητα (μεταλλοφόρα κοιτάσματα), η τιμή του g αυξάνει. Αντίστροφα αν στο υπέδαφος υπάρχουν μεγάλα στρώματα υγρών (νερό, πετρέλαιο), η τιμή του ελαττώνεται. Με βάση αυτές τις μικρές μεταβολές της τιμής του g η σύγχρονη έρευνα ανακαλύπτει την ύπαρξη ορισμένων κοιτασμάτων στο υπέδαφος και επί πλέον προσδιορίζει την έκταση τους.

Σ’ αυτό το πείραμα, θα θεωρήσουμε τους παραπάνω παράγοντες αμελητέους και το g σταθερό. ΙΙ.1. Γύρω από τη Γη, όπως και γύρω από κάθε σώμα που έχει μάζα, εκτείνεται ένα πεδίο δυνάμεων που λέγεται πεδίο βαρύτητας.

Αν ένα σώμα μάζας m βρεθεί στο χώρο του πεδίου βαρύτητας της Γης, πάνω του θα ασκηθεί μία δύναμη που έχει ορισμένη διεύθυνση και μέτρο σε κάθε σημείο του χώρου. Η δύναμη αυτή εξαρτάται από την απόσταση της μάζας από τη Γη, αλλά για μικρά ύψη από την επιφάνεια της Γης, τη θεωρούμε σταθερή. Η διεύθυνση της δύναμης είναι ακτινική προς το κέντρο της Γης και το μέτρο της mg, όπου το g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας.

Τα παραπάνω περιγράφουν κίνηση σώματος υπό την επίδραση σταθερής δύναμης

(ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση). Η εξίσωση της κίνησης στην περίπτωση αυτή είναι:

mgdt

tsdm =2

2 )( Εξίσωση 2.1

Όπου s είναι το διάστημα που διανύει το σώμα και t ο χρόνος. Αν θεωρήσουμε ότι το σώμα ξεκινάει την κίνηση από το σημείο 0 με αρχική ταχύτητα 0 (δηλ. Για t=0, s=0, υ0=0), η εξίσωση 2.1 δίνει:

36

2

21)( gtts = Εξίσωση 2.2

To g (επιτάχυνση της βαρύτητας) στην Εξίσωση 2.2 παριστάνει την σταθερή

επιτάχυνση του σώματος. Η ιδανική αυτή κίνηση, στην οποία αγνοούμε την αντίσταση του αέρα και τη μικρή μεταβολή της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το ύψος, ονομάζεται ελεύθερη πτώση. Από την πειραματική μελέτη της ελεύθερης πτώσης των σωμάτων διαπιστώνεται ότι η ένταση του πεδίου βαρύτητας είναι η ίδια για όλα τα σώματα (στον ίδιο τόπο) πάνω στην επιφάνεια της Γης. ΙΙ.2. Απλό εκκρεμές είναι ένα ιδανικό σύστημα που αποτελείται από μία σημειακή μάζα εξαρτημένη από ένα αβαρές και μη έκτατο νήμα. Όταν μετατοπιστεί από τη θέση ισορροπίας του και αφεθεί, το εκκρεμές αιωρείται σε κατακόρυφο επίπεδο κάτω από την επίδραση της βαρύτητας με περίοδο που δίνεται από τη σχέση:

.....2θ

sin43

21

2θ

sin211(

glπ2T m4

2

2

2m2

2 +++= Εξίσωση 2.3

όπου l το μήκος του νήματος, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, και θm η μέγιστη γωνιακή μετατόπιση. Oταν η μέγιστη γωνιακή μετατόπιση παίρνει μικρές τιμές (δηλ. γίνονται αιωρήσεις μικρού πλάτους) Ή Εξίσωση 2.3 παίρνει την μορφή :

glT π2= Εξίσωση 2.4

διότι οι όροι sin2θm/2, sin4θm/2, και ούτω καθεξής, είναι αμελητέοι. Π.χ., όταν θm=15° που αντιστοιχεί σε μία ολική, από τη μία άκρη στην άλλη, γωνιακή απομάκρυνση 30°, η πραγματική περίοδος που δίνει η Εξίσωση 2.3 διαφέρει από αυτή που δίνει η Εξίσωση 2.4 λιγότερο από 0.5%.

Το απλό εκκρεμές μας δίνει μία βολική και ακριβή μέθοδο για τη μέτρηση της τιμής του g.

Μπορούμε να μετρήσουμε την περίοδο Τ απλού εκκρεμούς γνωστού μήκους l, οπότε από τη Εξίσωση 2.4 να βρούμε το g. Όποιο εκκρεμές και αν κατασκευάσουμε όμως, το νήμα θα έχει κάποιο βάρος και η μάζα της σφαίρας δεν θα είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο βάρους της. Επίσης, εξ’ αιτίας του συστήματος εξαρτήσεως, το μήκος l του νήματος δεν θα είναι ίσο με την απόσταση του σημείου εξαρτήσεως από το γεωμετρικό κέντρο της σφαίρας. Κατά συνέπεια, η θέση του κέντρου βάρους ολόκληρου του εκκρεμούς (σφαίρα και νήμα) δεν θα είναι γνωστή και επομένως και το μήκος l του ισοδύναμου απλού εκκρεμούς. Η δυσκολία αυτή αντιμετωπίζεται ως εξής:

Σε τυχαίο σημείο του νήματος δένουμε κόμπο (Σχήμα 2.1); καθορίζοντας έτσι ένα σταθερό σημείο Β και έστω α η απόσταση του σημείου αυτού από το κέντρο βάρους του εκκρεμούς

37

Σχήμα 2.1: Εργαστηριακό εκκρεμές Τότε ισχύει:

lya =+ Εξίσωση 2.5

και από την Εξίσωση 2.3, αφού λύσουμε ως προς l 2

2

4πgTl = προκύπτει:

aTgy −= 224π

Εξίσωση 2.6

Η γραφική παράσταση της y=f(T2) είναι ευθεία γραμμή από την κλίση της οποίας μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του g. Η προέκταση της ευθείας αυτής τέμνει τον κατακόρυφο άξονα σε θέση που απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση -α. μετατρέποντας έτσι τον υπολογισμό του μήκους l ισοδύναμου απλού εκκρεμούς.

IV. Σκοπός Του Πειράματος 1. Μελέτη του χρόνου ελεύθερης πτώσης ως συνάρτηση του ύψους και υπολογισμός του g. 2. Μέτρηση της περιόδου απλού εκκρεμούς και υπολογισμός του g. V. Απαιτούμενα Όργανα 1. Βάση στήριξης, ράβδος στήριξης, συσκευή πτώσεως σφαιρών (μονάδα συγκρατήσεως, φωτοπύλη, χαλύβδινη σφαίρα), κλίμακα μέτρησης ύψους, ψηφιακό χρονόμετρο, καλώδια συνδεσμολογίας. 2. Βάση στήριξης, ράβδος στήριξης, κλίμακα μέτρησης, χαλύβδινη σφαίρα με τρύπα για το πέρασμα σχοινιού, πετονιά, χρονόμετρο.

38

VΙ. Πειραματικό Μέρος VI.1. Φτιάχνουμε τη διάταξη όπως στο Σχήμα 2.2. Η «μονάδα συγκρατήσεως» και η φωτοπύλη τοποθετούνται σταθερά πάνω στη κατακόρυφη ράβδο στήριξης με τη βοήθεια κατάλληλων σφιγκτήρων.

Σχήμα 2.2: Πειραματική διάταξη μέτρησης του g με ελεύθερη πτώση

Για τον ακριβέστερο καθορισμό του ύψους πτώσεως πρέπει να ληφθεί υπόψη και η

ακτίνα της χρησιμοποιούμενης σφαίρας. Η αντίσταση του αέρα έχει ασήμαντη επίδραση στα αποτελέσματα των μετρήσεων. Η σφαίρα συγκρατιέται μηχανικά στη μονάδα συγκρατήσεως με τη βοήθεια μηχανισμού απελευθέρωσης. Πατώντας το μηχανισμό απελευθέρωσης της σφαίρας αρχίζει ταυτόχρονα να λειτουργεί το ψηφιακό χρονόμετρο, που σταματάει μόλις η σφαίρα περάσει από την φωτοπύλη. Έτσι καθορίζεται ο χρόνος στον οποίο η σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση από ορισμένο ύψος.

Παίρνοντας μετρήσεις με βάση τις παραπάνω οδηγίες συμπληρώνουμε τον Πίνακα Μετρήσεων 2.1. Για καλύτερα αποτελέσματα μετράμε τον χρόνο ελεύθερης πτώσης από κάθε ύψος πέντε φορές. Από τους πέντε αυτούς χρόνους, υπολογίζουμε τη μέση τιμή του χρόνου ελεύθερης πτώσης για κάθε ύψος. Χρησιμοποιώντας την Εξίσωση 2.2, υπολογίζουμε μια τιμή του g για κάθε ύψος και αντίστοιχο μέσο χρόνο. Κατόπιν υπολογίζουμε τη μέση τιμή του g και από αυτή το % σφάλμα χρησιμοποιώντας ως θεωρητική τιμή του g to 9.8017 m/s2. Επιπλέον:

− Φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση s=f(t) και την s=f(t2) − Από την κλίση της καμπύλης s=f(t2) υπολογίζουμε την τιμή του g.

39

VI.2 Για διάφορες τιμές του μήκους y του εκκρεμούς (Σχήμα 2.1), μετρούμε το χρόνο 10 περιόδων και καταχωρούμε τις τιμές στις αντίστοιχες στήλες του Πίνακα Μετρήσεων 2.2. (Η μεταβολή του μήκους y γίνεται ελευθερώνοντας το νήμα από το σημείο Ε. Ξετυλίγουμε το νήμα μέχρι να πάρουμε το μήκος που θέλουμε και το δεσμεύουμε πάλι στο σημείο Ε).

− Υπολογίζουμε την περίοδο Τ και το Τ2. − Με τις τιμές του Πίνακα 2.2 φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

y=f(T2), που είναι όμοια με αυτή στο Σχήμα . − Από τη γραφική παράσταση υπολογίζουμε την τιμή του g και το μήκος α. − Μετρούμε την ακτίνα της σφαίρας. − Με τιμή αναφοράς για το g=9,8017 m/s2 και για α την τιμή α που μετρήσαμε (ακτίνα

της σφαίρας συν το τμήμα του νήματος μέχρι τον κόμπο Β), υπολογίζουμε το % σφάλμα.

Σχήμα 2.3: Γραφική παράσταση για τον υπολογισμό του g με απλό εκκρεμές

VII. Ερωτήσεις 1. Ανάμεσα σε ποιες τιμές κυμαίνεται σύμφωνα με τον πίνακα 2.1 η πραγματική τιμή

του g; 2. Ποια από τις δύο μεθόδους μας δίνει την πιο ακριβή (με το μικρότερο σφάλμα) τιμή

του g και γιατί; 3. Υπολογίστε τη μάζα της Γης αν γνωρίζετε: το g, την ακτίνα της Γης RΓ, και τη

σταθερά της παγκόσμιας έλξης G.

40

Πίνακας 2.1: ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ

α/α Si[m] t1[s] t2[s] t3[s] t4[s] t5[s] Μέσος t[s] gi[m/s2] g σ (%)

1 0,10 2 0,15 3 0,20 4 0,25 5 0,30 6 0,35 7 0,40 8 0,50 9 0,55 10 0,60

Πίνακας 2.2: ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

α/α y[cm] 10Τ T[s] Τ2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

41

ΑΣΚΗΣΗ 3

Μελέτη του Νόμου του Ηοοκ Μέτρηση του μέτρου ελαστικότητας

Ι. Σκοπιμότητα Της Άσκησης Η κατανόηση του νόμου του Hook που περιγράφει την ελαστική παραμόρφωση των περισσοτέρων υλικών. Επίσης η γνώση του μέτρου ελαστικότητας η μέτρηση του οποίου μας δίνει πληροφορίες για τις μηχανικές ιδιότητες των υλικών. ΙΙ. Θεωρητική Εισαγωγή Το σχήμα και ο όγκος των σωμάτων μεταβάλλεται κάτω από την επίδραση δυνάμεων και ροπών. Η ιδιότητα που εμφανίζουν τα διάφορα σώματα να επανέρχονται στην αρχική τους κατάσταση μετά την άρση των αιτιών που προκάλεσαν την μεταβολή τους λέγεται ελαστικότητα και τα σώματα ονομάζονται ελαστικά. Κάθε μεταβολή του σχήματος ή του όγκου στερεού σώματος, που γίνεται κάτω από την επίδραση δυνάμεων ή ροπών ονομάζεται μηχανική παραμόρφωση. Η μηχανική παραμόρφωση είναι δύο ειδών: η ελαστική παραμόρφωση, όπου μετά την παύση της επίδρασης των δυνάμεων ή ροπών η παραμόρφωση αναιρείται και την πλαστική ή μη ελαστική παραμόρφωση όπου η παραμόρφωση διατηρείται μόνιμα όταν το υλικό καταπονηθεί πάνω από το όριο ελαστικότητάς του. Μια ενδιάμεση κατάσταση είναι η ελαστοπλαστική παραμόρφωση. Ο βασικός νόμος που περιγράφει την (ελαστική) παραμόρφωση ενός σώματος είναι ο νόμος του Ηooke σύμφωνα με τον οποίο η τάση (η δύναμη που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας) είναι απευθείας ανάλογη της παραμόρφωσης. Έτσι αν θεωρήσουμε μια ράβδο μήκους Lο και εμβαδού S μόνιμα στερεωμένη στη μία άκρη της, η οποία επιμηκύνεται σε μήκος L με την επίδραση δύναμης F μικρότερη από το όριο ελαστικότητας, ο νόμος του Hooke εκφράζεται με σχέση απλής αναλογίας.

Ε⋅= εσ Εξίσωση 3.1

όπου SF

=σ είναι η τάση,

oo

o

LL

LLL Δ

=−

=ε είναι η επιμήκυνση ανά μονάδα μήκους που λέγεται και ανηγμένη

παραμόρφωση, και Ε είναι η σταθερά αναλογίας που εξαρτάται από το είδος του υλικού της ράβδου και εκφράζει την αντίσταση του υλικού κατά την παραμόρφωση. Το Ε ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας ή μέτρου του Young και εκφράζεται σε N/m2 ή Kp/cm2 σε τεχνικές εφαρμογές.

42

Σχήμα 3.1: Ελαστική επιμήκυνση ράβδου

Το καλύτερο μέσο μελέτης του νόμου του Hook και της ελαστικότητας είναι το ελατήριο. Στην περίπτωση ελατηρίου που επιμηκύνεται κατά ΔL κάτω από την επίδραση βάρους Β μικρότερου από το όριο ελαστικότητας (Σχήμα ), ο νόμος του Hooke δίνει:

LkFLL

SEFELL

SF

oo

Δ⋅=⇒Δ⋅⋅

=⇒⋅Δ

=⇒Ε⋅= εσ Εξίσωση 3.2

Η σταθερά αναλογίας oLsEk ⋅

= ονομάζεται κατευθύνουσα δύναμη του ελατηρίου και είναι η

κλίση της ευθείας που παριστάνει η συνάρτηση F= f(ΔL) (Σχήμα 3.2)

Σχήμα 3.2: Γραφική παράσταση f=F(ΔL)

Την ιδιότητα των ελατηρίων να παραμορφώνονται ανάλογα με την δύναμη που επιδρά πάνω τους τη χρησιμοποιούμε και για να κατασκευάσουμε δυναμόμετρα και ζυγούς με ελατήρια. Ένα σώμα μάζας m που προσδένεται σε ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και που είναι ελεύθερο να κινηθεί χωρίς τριβές είναι ένα παράδειγμα απλού αρμονικού ταλαντωτή. Αν το σώμα μετατοπιστεί προς τα κάτω, η δύναμη που ασκεί το ελατήριο πάνω στο σώμα δείχνει προς τα πάνω και δίνεται από την F= -kx. Αν το σώμα μετατοπιστεί προς τα πάνω, η δύναμη δείχνει προς τα κάτω και δίνεται επίσης από την F= -kx. Και στις δύο περιπτώσεις η δύναμη είναι μια δύναμη επαναφοράς. Η κίνηση της ταλαντούμενης μάζας είναι απλή αρμονική κίνηση.

43

Ας εφαρμόσουμε το 2ο νόμο του Newton F= m.α και αντικαθιστώντας το F = -kx και θέτοντας την επιτάχυνση α σαν dx2/dt2 έχουμε:

02

2

2

2

=⋅+⇒=− xmk

dtxd

dtxdmkx

Αυτή είναι η εξίσωση κίνησης του απλού αρμονικού ταλαντωτή η περίοδος της οποίας δίνεται από τη σχέση

kmT π2= Εξίσωση 3.3

Η μάζα m του συστήματος αποτελείται από τη μάζα του σώματος καθώς και το 1/3 της μάζας του ελατηρίου. Όταν το ελατήριο επιμηκύνεται κατά x, περικλείει δυναμική ενέργεια που δίνεται από τη σχέση:

2

21 xkW ⋅⋅= Εξίσωση 3.4

Οι μηχανικές ιδιότητες των υλικών παίζουν σπουδαιότατο ρόλο στη συμπεριφορά τους και κατά συνέπεια στη χρήση τους. Ένας τρόπος για να πετύχουμε ελαστικές παραμορφώσεις στερεών είναι η κάμψη. Αν θεωρήσουμε μία οριζόντια ράβδο που έχει σχήμα ορθογωνίου μήκους l και είναι στερεωμένη κατά το ένα άκρο της ενώ στο άλλο άκρο της και κάθετα στον άξονά της ενεργήσει μια δύναμη F, τότε η ράβδος θα καμφθεί. Κατά την κάμψη τα στρώματα που βρίσκονται πιο κοντά στην επάνω επιφάνεια της ράβδου επιμηκύνονται, ενώ τα στρώματα που βρίσκονται πιο κοντά στην κάτω επιφάνεια επιβραχύνονται. Ένα όμως ενδιάμεσο στρώμα της ράβδου διατηρεί το αρχικό μήκος του (ουδέτερο στρώμα). Το μέγεθος της ελαστικής παραμόρφωσης της ράβδου μετριέται από την μέγιστη μετατόπιση λ ενός σημείου της ράβδου. Η μετατόπιση αυτή λ ονομάζεται βέλος κάμψης.

Σχήμα 3.3: Ελαστική παραμόρφωση ράβδου

Για τη μελέτη της κάμψης, θεωρούμε τρείς τρόπους στήρηξης μιας ράβδου.

Σχήμα 3.4: Διαφορετικοί τρόποι στήριξης μιας ράβδου: α) πρόβολος, β) αμφιέρεστη, και

γ) αμφίπακτη

44

Αν η τομή της ράβδου είναι επίσης ορθογώνιο με πλάτος α και ύψος b και το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της ράβδου είναι Ε, τότε το βέλος κάμψης λ αποδεικνύεται ότι είναι:

α) 3

34blF⋅⋅

Ε=

αλ Η ράβδος πακτωμένη στη μία άκρη (πρόβολος) Εξίσωση 3.5

β) 3

3

41

bl

aF⋅⋅

Ε=λ Ελεύθερη στήριξη της ράβδου (αμφιέρεστη) Εξίσωση 3.6

γ) 3

3

161

bl

aF⋅⋅

Ε=λ Η ράβδος πακτωμένη στις δύο άκρες (αμφίπακτη) Εξίσωση 3.7

ΙΙΙ. Σκοπός Του Πειράματος Υπολογισμός της σταθεράς k του ελατηρίου και μελέτη της κάμψης μεταλλικών ελασμάτων σε σχέση με:

A) τη δύναμη B) την απόσταση μεταξύ των σημείων στήριξης του ελάσματος (για σταθερή δύναμη).

IV. Απαιτούμενα Όργανα Βάση στήριξης, ράβδος στήριξης, ελατήριο, κλίμακα μέτρησης, δύο δείκτες, διάφορα βάρη, τρίποδη βάση, διάφορες ράβδοι και δυναμόμετρο. V. Πειραματική Εργασία Και Επεξεργασία Των Μετρήσεων V1. Ελατήριο Με μία κλίμακα μετρούμε το μήκος του ελατηρίου και σημειώνουμε την ένδειξη xο = ….….. όταν στο ελατήριο δεν έχει αναρτηθεί καμία μάζα (είναι αφόρτιστο). Τοποθετούμε στην άκρη του ελατηρίου μάζα 100 g, αφήνουμε το σύστημα να ισορροπήσει, και μετρούμε το μήκος, x, του φορτισμένου ελατηρίου. Αφαιρούμε την μάζα. Εφόσον δεν έχουμε περάσει το όριο ελαστικότητας, η ελεύθερη άκρη του ελατηρίου πρέπει να επιστρέψει στην αρχική της θέση (επιβεβαιώστε ξαναμετρώντας το μήκος xο του αφόρτιστου ελατηρίου). Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία προσθέτοντας μάζες από 100 g μέχρι 1000 g και καταχωρούμε τα αποτελέσματα στον Πίνακα 3.1

ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ 3.1

α/α m(g) B(N) x(m) Δx=x-xο (m) 1 100 2 200 3 300 4 400 5 500 6 600 7 700 8 800

45

Με τις τιμές του παραπάνω πίνακα αποδίδουμε γραφικά τη σχέση Β=f(Δx) και υπολογίζουμε τη σταθερά του ελατηρίου από την κλίση της ευθείας που προκύπτει από τη γραφική παράσταση (Το βάρος Β είναι η μόνη δύναμη που ασκείται στο ελατήριο και η σχέση του με την αναρτημένη μάζα, m, είναι: Β=m·g). Κρεμάμε από την άκρη του ελατηρίου μάζα 200 g και την αφήνουμε να εκτελέσει απλή ταλάντωση. Μετράμε το χρόνο 10 περιόδων και υπολογίζουμε από αυτόν το χρόνο μίας περιόδου.

10 Τ = ……….. Τ= …………. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία αντικαθιστώντας την μάζα των 200 g με μάζες 300 g , 400 g και 500 g διαδοχικά. Βρίσκουμε την μάζα Μ του συστήματος (μάζα του σώματος που αγκιστρώνεται στο κάτω άκρο του ελατηρίου συν το 1/3 της μάζας του ελατηρίου).

Από την σχέση kmT π2= υπολογίζουμε τη σταθερά k του ελατηρίου για κάθε μία από τις

παραπάνω περιπτώσεις και βρίσκουμε το μέσο όρο. Καταχωρούμε τα αποτελέσματα των μετρήσεων στον Πίνακα 3.2

ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ 3.2 α/α m(g) M (g)

(m+mελ/3) 10 T (s) T (s) K (N/m)

1 200 2 300 3 400 4 500 Μέσος όρος =k

Συγκρίνουμε την τιμή k με την τιμή του k που υπολογίσαμε από την κλίση της ευθείας της γραφικής παράστασης B=f(Δx) (από τις τιμές του Πίνακα 3.1) και υπολογίζουμε το επί τοις εκατό σφάλμα.

46

V2. Ράβδος Για τον υπολογισμό του μέτρου ελαστικότητας η πειραματική διάταξη δίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Σχήμα 3.5: Πειραματική διάταξη Μέτρησης Μέτρου Ελαστικότητας

Στηρίζουμε προσεκτικά τις άκρες χαλύβδινου ελάσματος στα δύο υποστηρίγματα, επιλέγωντας αμφίπακτη μέθοδο στήριξης (το βέλος κάμψης λ, περιγράφεται από την εξίσωση 3.7). Τοποθετούμε διάφορα βάρη στο μέσο του χαλύβδινου ελάσματος και συμπληρώνουμε τον πίνακα 3.3

ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ 3.3 α/α 1 2 3 4 5 6 F(N) λ (mm)

Από τις τιμές που πήραμε φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης λ=f(F). Εφαρμόζουμε σταθερή δύναμη F = 1,5 N (αντιστοιχεί σε μάζα περίπου 150 g) σε ελάσματα με ίδιο πλάτος α, και πάχος b, και διαφορετικό μήκος l. Καταχωρούμε τα αποτελέσματα στον πίνακα μετρήσεων IV

ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ 3.4 Α/α 1 2 3 4 l(mm) λ(mm)

α= ………..(mm) b= ……………(mm) Θεωρούμε την Εξίσωση 3.7 η οποία είναι της μορφής λ=Α·lB και με λογαρίθμηση παίρνουμε logλ=logA+Blogl. Από τον Πίνακα 3.4 φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση logλ=f(logl). Υπολογίζουμε την τιμή του εκθέτη Β και βρίσκουμε το % σφάλμα στον υπολογισμό του.

47

VI. Ερωτήσεις 1. Σε ένα ελατήριο σταθεράς k και μήκους xο τοποθετείται κατακόρυφα σώμα μάζας m

που προκαλεί επιμήκυνση στο ελατήριο Δx. Δώστε τον τύπο της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου και τον τύπο της δυναμικής ενέργειας του σώματος όταν βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο.

2. Υπολογίστε το μέτρο ελαστικότητας E για ένα έλασμα (γνωρίζοντας τα α, b, l) και

θεωρώντας δύναμη F= 1,5 N.

48

ΑΣΚΗΣΗ 4

Ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα

Σκοπιμότητα Της Άσκησης Να μελετηθεί η ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ενός σώματος κάτω από την επίδραση μιας σταθερής δύναμης και να επιβεβαιωθεί ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα. Απαιτούμενα όργανα 1. Αεροδιάδρομος συνδεδεμένος με αντλία αέρα ρυθμιζόμενης έντασης

2. Δρομέας

3. Τροχαλία μικρού βάρους 4. Μηχανικός διακόπτης εκκίνησης του δρομέα

5. Φωτοπύλες τύπου Π

6. Χρονόμετρο τεσσάρων εισόδων

7. Στέλεχος για ανάρτηση βαρών, 1 μάζα των 10 gr και 16 μάζες του 1 gr με σχισμή.

8. Μεταξωτό νήμα ∼2m.

49

Ι. Θεωρία Ο 2 ος Νόμος του Νεύτωνα − Επιτάχυνση

Δυναμ ική ονομάζουμε τον κλάδο της Μηχανικής που μελετά την επίδραση των δυνάμεων στην κίνηση των σωμάτων. Η Δυναμική είναι ένας από τους σπουδαιότερους κλάδους της Φυσικής, μιας και σε αυτήν εμπίπτουν όλα τα φαινόμενα που περιλαμβάνουν κίνηση (μεταφορική, περιστροφική ή και τα δύο) υπό την επίδραση κάποιας δύναμης.

Παρά το μεγάλο εύρος των προβλημάτων που αντιμετωπίζει, η Δυναμική, βασίζεται σε μία απλούστατη εξίσωση σύμφωνα με την οποία ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος ι σούτα ι με τη συν ισταμένη δύναμη F που ενεργε ί σε αυτό

F = dp/dt. Εξίσωση 4.1

Η Εξίσωση 4.1 διατυπώθηκε από τον Νεύτωνα (Newton) και είναι γνωστή σαν “2 ο ς Νόμος του Νεύτωνα” ή “Θεμελ ιώδης Εξ ίσωση της Δυναμ ικής”.

Αντικαθιστώντας στην Εξίσωση 4.1 την ορμή p με το γινόμενο της μάζας επί την ταχύτητα του σώματος, (p=mυ) και παραγωγίζοντας, παίρνουμε την πιο γνωστή μορφή του 2ου Νόμου του Νεύτωνα

F=ma, Εξίσωση 4.2

όπου a=dυ/dt είναι η επιτάχυνση του σώματος.

Σε αυτήν την άσκηση ασχολούμαστε πειραματικά με το 2ο Νόμο του Νεύτωνα μελετώντας την κίνηση ενός συστήματος σωμάτων του οποίου η σχηματική αναπαράσταση φαίνεται στο Σχήμα 4.1.

Σχήμα 4.1: Υπό την επίδραση του βάρους Β, το σύστημα αποκτά επιτάχυνση a=mανg/(m+mαν)

Το σώμα μάζας m πάνω στο οριζόντιο επίπεδο μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές υπό την επίδραση του βάρους B ενός δεύτερου αναρτημένου σώματος μάζας mαν. Τα δύο σώματα συνδέονται με ένα ελαφρύ νήμα που περνάει μέσα από μια επίσης ελαφρά τροχαλία χωρίς τριβές. α είναι η επιτάχυνση του συστήματος.

Η συνολική μάζα του συστήματος των δύο σωμάτων είναι m+mαν . Εφαρμόζοντας την Εξίσωση 4.2, έχουμε

Β=(m+mαν)a

m

mαν

B

a

a

50

Όμως, B=mανg , οπότε

mανg=(m+mαν)a

ή

αν

αν

mmgma

+= Εξίσωση 4.3

Η Εξίσωση 4.3 δίνει την επιτάχυνση του συστήματος των δύο σωμάτων. Εξισώσεις Κίνησης

Ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα, Εξίσωση 4.2, μας λέει ότι όταν σε ένα σώμα ασκείται σταθερή δύναμη, το σώμα αποκτά σταθερή επιτάχυνση, F = σταθ. ⇒ α = σταθ.

Σχήμα 4.2: Στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η επιτάχυνση α είναι a=(υ2 -υ1)/(t2-t1), όπου υ2 και υ1 είναι η ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές t2 και t1.

Η κίνηση ενός σώματος με σταθερή επιτάχυνση ονομάζεται ομαλά

επιταχυνόμενη κίνηση . Στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, η επιτάχυνση, η ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το κινητό κάθε χρονική στιγμή έχουν ιδιαίτερα απλές εκφράσεις. Εφ’ όσον η επιτάχυνση κάθε χρονική στιγμή είναι η ίδια, η στιγμιαία της τιμή α = dυ/dt, θα ισούται με τη μέση τιμή αμεσ = Δυ /Δ t μεταξύ δύο χρονικών στιγμών. Αν υ1 είναι η ταχύτητα του σώματος μια χρονική στιγμή t1 και υ2 η ταχύτητά του μια κατοπινή χρονική στιγμή t2 (Σχήμα 4.2), η μέση τιμή της επιτάχυνσης είναι

12

12 υυυttt

a−−

=ΔΔ

= Εξίσωση 4.4

Λύνοντας την Εξίσωση 4.4 ως προς την τελική ταχύτητα υ2 βρίσκουμε

)(υυ 1212 tta −+= Εξίσωση 4.5

Σχήμα 4.3: Η γραφική παράσταση ταχύτητας-χρόνου στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

υ1 υ2

t1 t2

s

t

υ

υ1 t2t1

υ2

dtA Δ

Γ

B

υ⋅dt

51

Σχεδιάζοντας ένα διάγραμμα ταχύτητας−χρόνου (Σχήμα 4.3), παρατηρούμε ότι από τον ορισμό της στιγμιαίας ταχύτητας υ = ds/dt, το μικρό διάστημα ds που διανύει το σώμα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα dt είναι ds = υ⋅dt, δηλαδή, ισούται με το εμβαδόν της λεπτής στήλης με βάση dt και ύψος υ. Συνεπώς, το συνολικό διάστημα s που διανύει το σώμα μεταξύ των χρονικών στιγμών t1 και t2 θα ισούται με το εμβαδόν του τραπεζίου σχήματος ΑΒΓΔ. Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου δίνεται από το ημιάθροισμα των βάσεων ΑΔ και ΒΓ επί το ύψος ΑΒ μεταξύ των δύο βάσεων, παίρνουμε

ts Δυυ⋅

+=

221

. Αντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση την ταχύτητα υ2 από την Εξίσωση 4.5,

βρίσκουμε ότι το διάστημα στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση δίνεται από τη σχέση

21 2

1υ tats Δ⋅+Δ⋅= Εξίσωση 4.6

Η Εξίσωση 4.4, Εξίσωση 4.5 και η Εξίσωση 4.6 δίνουν την επιτάχυνση, την ταχύτητα και το διάστημα, αντίστοιχα, σαν συνάρτηση του χρόνου και ονομάζονται εξισώσεις κίνησης της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης. ΙΙ. Πειραματική Διαδικασία

Σχηματική αναπαράσταση της πειραματικής διάταξης που χρησιμοποιούμε σε αυτήν την άσκηση φαίνεται στο Σχήμα 4.4. Το βασικό όργανο της διάταξης είναι ο αεροδιάδρομος, ένας σωλήνας διατομής Λ, του οποίου οι δύο επικλινείς πλευρές είναι εφοδιασμένες με πάρα πολλές μικρές τρύπες από τις οποίες εξέρχεται αέρας με τη βοήθεια μιας αντλίας. Θα πρέπει να αποφεύγεται η συνεχής λειτουργία της αντλίας διότι προκαλεί υπερθέρμανση. Γι’ αυτό πρέπει να διακόπτουμε τη λειτουργία της μετά από κάθε μέτρηση.

Ένας δρομέας (βαγονάκι) σε σχήμα ανάποδου Υ μπορεί να επικάθεται σε ένα στρώμα αέρα που βγαίνει από τις οπές και έτσι να ολισθαίνει κατά μήκος του αεροδιαδρόμου πρακτικά χωρίς τριβές.

52

Σχήμα 4.4: Σχηματική αναπαράσταση της πειραματικής διάταξης για τη μελέτη του 2ου Νόμου του Νεύτωνα

Ο δρομέας φέρει μια λεπτή μεταλλική πλάκα, μήκους 10 cm, σε τέτοιο ύψος ώστε να

διακόπτει τη φωτεινή δέσμη της φωτοπύλης όταν περνάει από μπροστά της. Στο ένα του άκρο ο αεροδιάδρομος είναι εφοδιασμένος με ένα μηχανικό σύστημα

εκκίνησης του δρομέα. Ο δρομέας συγκρατείται στο σύστημα αυτό με τη βοήθεια ενός μικρού μαγνήτη. Για να συγκρατηθεί ο δρομέας πρέπει να πιέσουμε το μικρό έμβολο στο αριστερό άκρο του μηχανισμού εκκίνησης ώστε στο άλλο άκρο να προβάλλει ο μικρός μαγνήτης. Για να ελευθερωθεί ο δρομέας και να αρχίσει την κίνησή του, αρκεί να πιέσουμε την άκρη του καλωδίου (ντίζα) που βρίσκεται βιδωμένο πάνω στο μηχανισμό.

Ο μηχανισμός είναι συνδεδεμένος με το χρονόμετρο (είσοδος START) έτσι ώστε ταυτόχρονα με την απελευθέρωση του δρομέα να ξεκινάει το χρονόμετρο.

Στο άλλο άκρο του ο αεροδιάδρομος φέρει ελαφρά τροχαλία χωρίς τριβές από την οποία περνάει ένα ελαφρό μεταξωτό σχοινί από το οποίο κρέμεται ειδικό στέλεχος για τη στήριξη βαρών. Τέλος, η πειραματική διάταξη συμπληρώνεται με δύο φωτοπύλες σχήματος Π συνδεδεμένες στις δύο εισόδους 1 και 2 του χρονομέτρου. Η φωτοπύλη είναι εφοδιασμένη με ένα φωτοκύτταρο, δηλαδή, αποτελείται από μια φωτεινή πηγή LED (Light Emitting Diode) στο ένα σκέλος του Π και έναν φωτοευαίσθητο ανιχνευτή στο άλλο. Όταν ένα σώμα παρεμβάλλεται στη φωτεινή δέσμη, ενεργοποιείται ο ανιχνευτής και στέλνει ένα σήμα στο χρονόμετρο να σταματήσει να μετρά. Κάθε φορά που ένα σώμα διακόπτει τη δέσμη, ένα μικρό κόκκινο φωτάκι ανάβει πάνω στο σώμα της φωτοπύλης.

Το χρονόμετρο φέρει τέσσερις ενδείξεις που αντιστοιχούν από αριστερά προς τα δεξιά στις τέσσερις εισόδους του 1, 2, 3 και 4. Από τις τέσσερις ενδείξεις μόνον οι δύο πρώτες αριστερά χρησιμοποιούνται και αντιστοιχούν στις εισόδους 1 και 2 με τις οποίες είναι συνδεδεμένες οι δύο φωτοπύλες. Πριν από κάθε μέτρηση μηδενίζουμε όλες τις ενδείξεις του χρονομέτρου πιέζοντας το κουμπί RESET.

Με τον περιστροφικό διακόπτη στο κέντρο του χρονομέτρου επιλέγουμε τον τρόπο λειτουργίας του. Υπάρχουν 6 τρόποι λειτουργίας του χρονομέτρου από τους οποίους στην άσκηση αυτή θα χρησιμοποιήσουμε τους δύο πρώτους.

Στον πρώτο τρόπο λειτουργίας με την ένδειξη

Χρονόμετρο

Στέλεχος

Φωτοπύλη 1

Φωτοπύλη 2

Μηχανικός διακόπτης εκκίνησης του δρομέα

Δρομέας

Τροχαλία

53

το χρονόμετρο μετράει το χρόνο t′ από τη στιγμή που απελευθερώνεται ο δρομέας από το μηχανισμό εκκίνησης μέχρι η πλάκα του να διακόψει τη δέσμη της φωτοπύλης (βλ. Σχήμα 2.5(α)). Όλες οι ενδείξεις του ξεκινούν ταυτόχρονα με την έναρξη της κίνησης του δρομέα. Από τις τέσσερις ενδείξεις, οι δύο δεξιά που αντιστοιχούν στις μη χρησιμοποιούμενες εισόδους 3 και 4 θα σταματήσουν αυτόματα στην ένδειξη 9.999 s.

Σχήμα 4.5: (α) Στον πρώτο τρόπο λειτουργίας, το χρονόμετρο σταματά όταν η αρχή της πλάκας του δρομέα διακόψει τη δέσμη της φωτοπύλης. (β) Στο δεύτερο τρόπο λειτουργίας, το χρονόμετρο μετρά το χρονικό διάστημα που κάνει ο δρομέας να περάσει μπροστά από τη φωτοπύλη.

Στο δεύτερο τρόπο λειτουργίας με την ένδειξη

το χρονόμετρο μετράει το χρονικό διάστημα Δt που χρειάζεται η πλάκα του δρομέα για να περάσει μπροστά από τη φωτοπύλη (βλ. Σχήμα 2.5(β)). Αν l είναι το μήκος της πλάκας του δρομέα (l = 10 cm), η ταχύτητα του δρομέα βρίσκεται απλά από τη σχέση

tlΔ

υ = Εξίσωση 4.7

Οπότε, ο χρόνος t που περνάει από τη στιγμή εκκίνησης του δρομέα και ως ότου το μέσον του δρομέα περάσει μπροστά από τη φωτοπύλη είναι

2ttt Δ

+′= . Εξίσωση 4.8

όπου t′ o χρόνος που μετρήσαμε με τον 1ο τρόπο λειτουργίας παραπάνω. ΙΙ.1 Μεταβολή Της Επιτάχυνσης Με Τη Μάζα

Σε αυτό το πρώτο σκέλος της άσκησης, θα μελετήσουμε πειραματικά πως εξαρτάται η επιτάχυνση από τη συνολική μάζα του συστήματος όταν η δύναμη είναι σταθερή. Διατηρούμε τη δύναμη σταθερή διατηρώντας σταθερή μάζα στο αναρτημένο στέλεχος.

Ζυγίζουμε το δρομέα και καταγράφουμε τη μάζα του mδρ σε γραμμάρια στην κορυφή του Πίνακα 4.1. Επίσης, με τη βοήθεια ενός διαστημόμετρου, μετράμε το μήκος l της μεταλλικής πλάκας στην κορυφή του και την καταγράφουμε επίσης στον Πίνακα 4.1.

S 1 2 34

1 2 3 4

Φωτοκύτταρο

Δρομέας

Πλάκα

(β)

(α)

t′

Δt

54

Συνδέουμε το δρομέα και το στέλεχος στήριξης βαρών με το σχοινί μέσω της τροχαλίας. Στο στέλεχος τοποθετούμε μάζα m2 = 10gr. H μάζα του ίδιου του στελέχους είναι mστ = 10gr. Επομένως, η συνολική αναρτημένη μάζα mαν = m2 + mστ = 10 + 10 = 20 gr. Καταγράφουμε τις τιμές αυτές στην κορυφή του Πίνακα 4.1.

Τοποθετούμε τις δύο φωτοπύλες σε μια απόσταση s ≈ 50cm. Την απόσταση μεταξύ των δύο φωτοπυλών μετράμε με έναν μακρύ χάρακα (Μετρήστε από την αρχή της μιας φωτοπύλης μέχρι την αρχή της άλλης) Προσέχουμε ώστε οι φωτοπύλες να είναι σε κάθετη διεύθυνση ως προς τον άξονα του αεροδιαδρόμου.

Ανοίγουμε την αντλία του αέρα και αυξάνουμε σιγά-σιγά τη ροή μέχρι να βεβαιωθούμε ότι ο δρομέας ολισθαίνει τελείως ελεύθερα πάνω στη ράγα. Μια τιμή γύρω στο 2 συνήθως αρκεί.

Ανοίξτε το χρονόμετρο και μηδενίστε τις ενδείξεις του με το κουμπί NULL.. Στην οθόνη του χρονομέτρου διαβάζετε το χρόνο σε s.

Ένας μικρός ρυθμιστικός διακόπτης πάνω στην κάθε φωτοπύλη μας επιτρέπει να ευθυγραμμίζουμε τη δέσμη της έτσι ώστε το κόκκινο φωτάκι της να είναι σβηστό όταν τίποτα δεν παρεμβάλλεται στη δέσμη. Φροντίστε το φωτάκι αυτό να είναι σβηστό.

Ελευθερώστε το δρομέα πατώντας το σχοινάκι που είναι ενσωματωμένο στο σύστημα συγκράτησης και καταγράψτε τις ενδείξεις του πρώτου και του δεύτερου χρονομέτρου στις θέσεις t1′ και t2′, αντίστοιχα, στον Πίνακα 4.1.

Στη συνέχεια, προσθέστε m1 = 2gr στο δρομέα, τοποθετώντας από 1gr σε κάθε του πλευρά. Η μάζα m1 φαίνεται στην πρώτη στήλη του Πίνακα 4.1.

Επαναλάβατε τις μετρήσεις των t1′, t2′, όπως προηγουμένως. Συνεχίστε προσθέτοντας άλλα δύο γραμμάρια στο δρομέα, ώστε η μάζα πάνω του να

γίνει m1 = 4gr και επαναλάβατε τις μετρήσεις. Συνεχίστε με τις υπόλοιπες μάζες m1 που φαίνονται στην πρώτη στήλη του Πίνακα

4.1 (κάθε φορά προσθέτετε 2 gr). Επαναλάβετε την ίδια διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω αλλάζοντας τον τρόπο

μέτρησης του χρονομέτρου στον δεύτερο τρόπο λειτουργίας, ώστε να συμπληρώσετε τον Πίνακα 4.1 στις στήλες που αφορούν το Δt1 και Δt2.

Πίνακας 4.1 mδρ =…… gr, l =…… cm, m2 = 10gr, mστ = 10gr, mαν=m2+mστ=20 gr

m1 (gr) t1′ (s) t2

′ (s) Δt1(s) Δt2(s)

0

2

4

6

8

10

ΙΙ.2 Μεταβολή της επιτάχυνσης με τη δύναμη

Σε αυτό το σκέλος της άσκησης θα μετρήσουμε την επιτάχυνση του συστήματος για διάφορες τιμές της δύναμης. Τη δύναμη τη μεταβάλλουμε αλλάζοντας κάθε φορά τη μάζα (και άρα το βάρος) που είναι αναρτημένη από το στέλεχος.

55

Κάθε φορά που προσθέτουμε μια μάζα στο στέλεχος, την αφαιρούμε από το δρομέα, έτσι ώστε η συνολική μάζα του συστήματος, δηλαδή η μάζα του δρομέα και η αναρτημένη μάζα, να είναι σταθερή.

Τοποθετήστε συνολική μάζα m1 = 10gr πάνω στο δρομέα (5gr από την κάθε πλευρά του) και αναρτήστε μια μάζα m2 = 10gr στο στέλεχος, όπως φαίνεται στην πρώτη γραμμή του Πίνακα 4.2.

Ανοίξτε το διακόπτη στη θέση ON, να ελευθερωθεί ο δρομέας και καταγράψτε, όπως προηγουμένως, τις ενδείξεις t1′ , t2′, των δύο χρονομέτρων

Στη συνέχεια, αφαιρέστε μάζα 2gr από το δρομέα (1gr από κάθε πλευρά) και προσθέστε την στο στέλεχος. Όπως μπορείτε να δείτε στη δεύτερη γραμμή του Πίνακα, οι μάζες πάνω στο δρομέα και πάνω στο στέλεχος τώρα γίνονται m1 = 8 gr και m2 = 12gr.

Καταγράψτε τους καινούργιους χρόνους t1′, t2′. Συνεχίστε με τις υπόλοιπες τιμές του Πίνακα 4.2, μεταφέροντας κάθε φορά 2 gr από

τον δρομέα στο στέλεχος. Όπως στην πρώτη παράγραφο, για να συμπληρώσετε τον πίνακα όσο αφορά το Δt1

και Δt2 αλλάξτε τον τρόπο λειτουργίας του χρονομέτρου, επαναλαμβάνοντας την μέτρηση με τις συγκεκριμένες μάζες.

Πίνακας 4.2 m1 (gr) m2 (gr) t1

′ (s) t2′ (s) Δt1(s) Δt2(s)

10 10

8 12

6 14

4 16

2 18

0 20

ΙΙ.3 Μεταβολή Της Ταχύτητας Και Του Διαστήματος Με Το Χρόνο Τοποθετήστε μάζες m1 = 10gr και m2 = 10gr πάνω στο δρομέα και στο στέλεχος,

αντίστοιχα και καταγράψτε τις τιμές τους στη κορυφή του Πίνακα 4.3. Τοποθετήστε την πρώτη φωτοπύλη σε μια απόσταση 30 – 40 cm (δεν απαιτείται

ακρίβεια) από το αριστερό άκρο του αεροδιαδρόμου. Τοποθετήστε τη δεύτερη φωτοπύλη σε μια απόσταση ακριβώς s = 30cm δεξιά της

πρώτης, όπως φαίνεται στην πρώτη γραμμή του Πίνακα 4.3. Υπενθυμίζεται ότι η απόσταση μεταξύ των δύο φωτοπυλών μετριέται με το χάρακα από την αρχή της πρώτης φωτοπύλης έως την αρχή της δεύτερης. Φροντίστε ώστε κατά τη διάρκεια μιας μέτρησης να μην κουνηθούν οι φωτοπύλες.

Γυρίστε τον διακόπτη στον δεύτερο τρόπο λειτουργίας και ελευθερώστε τον δρομέα πατώντας το σχοινάκι με τον γνωστό τρόπο. Καταγράψτε κατά τα γνωστά τους χρόνους Δt1, Δt2

Μεταφέρετε τη δεύτερη φωτοπύλη κατά 5 cm δεξιότερα, ώστε τώρα να απέχει από την πρώτη ακριβώς 35 cm και επαναλάβατε τη μέτρηση.

56

Κάνετε 4 επιπλέον μετρήσεις μεταθέτοντας κάθε φορά τη δεύτερη φωτοπύλη κατά 5 cm, μέχρι η απόσταση των δύο φωτοπυλών να γίνει 55 cm και συμπληρώστε τον Πίνακα 4.3.

Πίνακας 4.3 m1 = 10 gr, m2 = 10 gr,

s (cm) t1′ (s) t2

′ (s) Δt1 (s) Δt2 (s)

30

35

40

45

50

55

ΙΙΙ. Επεξεργασία Των Μετρήσεων − Εργασία

Γράψτε μια σύντομη εισαγωγή, όπου να περιγράφετε τον σκοπό της άσκησης, τις βασικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του σώματος και την πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήσατε. Γράψτε τον Πίνακα 4.1

Από τον Πίνακα 4.1 και τις τιμές των παραμέτρων που φαίνονται σε αυτόν, συμπληρώστε τον Πίνακα 4.4, παρακάτω.

Πίνακας 4.4

m = m1 + mδρ (gr)

m + mαν(gr) Δt1 (s) υ1 = l/Δt1

(cm/s) Δt2 (s) υ2 = l/Δt2

(cm/s) α

(cm/s2)

Συμπληρώστε την τελευταία στήλη του Πίνακα 4.4 υπολογίζοντας την επιτάχυνση από τη Εξίσωση 4.4.

Κάνετε, σε χαρτί μιλιμετρέ, τη γραφική παράσταση του λογαρίθμου της επιτάχυνσης α (τελευταία στήλη δεξιά) ως προς το λογάριθμο της συνολικής μάζας του συστήματος m+mαν (2η στήλη από αριστερά), όπως στο σχήμα παρακάτω.

57

Χαράξτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίστε, σύμφωνα με την Εισαγωγή, την κλίση της Β. Λογαριθμίζοντας τα δύο μέλη στην Εξίσωση 4.3, υπολογίστε τη θεωρητική τιμή Bθ της κλίσης και υπολογίστε το % σχετικό σφάλμα ε %, από την σχέση ε% = (Bθ-Β)/Bθ. Γράψτε τον Πίνακα 4.2.

Από τον Πίνακα 4.2, συμπληρώστε τον Πίνακα 4.5. Η 1η στήλη είναι η συνολική αναρτημένη μάζα mαν, που ισούται με το άθροισμα της

μάζας του στελέχους mστ και των μαζών που προσθέτουμε m2, mαν = m2 + mστ. Στη 2η στήλη είναι το βάρος της αναρτημένης μάζας. Πάρετε το g = 981 cm/s2.

Εκφράζοντας τη μάζα σε gr και την επιτάχυνση της βαρύτητας g σε cm/s2, το βάρος προκύπτει σε gr⋅cm/s2, μια μονάδα που ονομάζεται δύνη (1 dyn = 1 gr⋅cm/s2).

Η τελευταία στήλη της επιτάχυνσης υπολογίζεται από τη Εξίσωση 4.4. Καταγράψτε, στην κορυφή του Πίνακα 4.5, τη συνολική μάζα του συστήματος m +

mαν, όπου m = m1 + mδρ και mαν = m2 + mστ.

Πίνακας 4.5 m + mαν = …….. gr

mαν=m2+mστ (gr)

B = mανg (dyn)

υ1 = l/Δt1(cm/s)

υ2 = l/Δt2(cm/s)

α (cm/s2)

ln a

ln (m+mαν)

58

Κάνετε τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης α (τελευταία στήλη του Πίνακα 4.5) ως προς το αναρτημένο βάρος Β (2η στήλη του Πίνακα 4.5), όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

Χαράξτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίστε την κλίση της. Από τη θεωρητική τιμή της κλίσης Bθ, που βρήκατε προηγουμένως χρησιμοποιώντας

την Εξίσωση 4.3, υπολογίστε το σχετικό % σφάλμα ε %, από τη σχέση ε% = (Bθ-Β)/Bθ. Γράψτε τον Πίνακα 4.3. Από τις τιμές του Πίνακα 4.3, συμπληρώστε τον Πίνακα 4.6.

Πίνακας 4.6

s (cm) Δt1 (s) υ1 = l/Δt1(cm/s) Δt2 (s) υ2 = l/Δt2

(cm/s) Δt = t1

′ - t2′

(s) 30

35

40

45

50

55

Κάνετε, σε χαρτί μιλιμετρέ, τη γραφική παράσταση της τελικής ταχύτητας υ2 ως προς το χρονικό διάστημα Δt της κίνησης, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω.

Φέρτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίστε την κλίση της Β από την Εισαγωγή.

Από την Εξίσωση 4.5, δείξτε ότι η θεωρητική τιμή της κλίσης Βθ ισούται ακριβώς με την επιτάχυνση α. Υπολογίστε την επιτάχυνση, από την Εξίσωση 4.3, με βάση τις μάζες που έχετε βάλει και βρείτε το σχετικό % σφάλμα ε %.

υ2 (cm/s)

Δt (s)

a (cm/s2)

B (dyn)

59

Τέλος, κάνετε σε χαρτί μιλιμετρέ, τη γραφική παράσταση του διαστήματος s ως προς

το χρονικό διάστημα Δt της κίνησης, χρησιμοποιώντας μαύρα στρογγυλά σημεία, όπως δείχνει το σχήμα πιο κάτω.

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την Εξίσωση 4.6 υπολογίστε τη θεωρητική τιμή του s για κάθε Δt και βάλτε τα σημεία στο παρακάτω διάγραμμα χρησιμοποιώντας σταυρούς. Στην Εξίσωση 4.6 για τον υπολογισμό του s, την ταχύτητα υ1 πάρτε την από την αντίστοιχη στήλη του Πίνακα 4.6 και την επιτάχυνση υπολογίστε τη από την Εξίσωση 4.3

Χαράξτε τις δύο καμπύλες όπως φαίνεται στο σχήμα. Συμπίπτουν; Αν όχι, που

οφείλεται η διαφορά τους; IV. Ερωτήσεις

1. Αποδείξτε την Εξίσωση 4.2.

2. Στο Σχήμα 4.1, το σχοινί ασκεί μια δύναμη Τ στο οριζόντιο σώμα λόγω του αναρτημένου βάρους Β. Η δύναμη αυτή ονομάζεται τάση του σχοινιού. Εφαρμόζοντας την Εξίσωση 4.2 μόνον στο οριζόντιο σώμα, βρείτε την τάση του σχοινιού.

3. Γιατί η γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου στο Σχήμα 4.3 είναι ευθεία γραμμή; Ποια είναι η κλίση της;

4. Αποδείξτε ότι το διάστημα s που διανύει το κινητό δίνεται συναρτήσει της αρχικής και της τελικής ταχύτητας από τη σχέση

as

2

21

22 υυ −

= .

(Υπόδειξη: Λύστε την Εξίσωση 4.5 ως προς Δt και αντικαταστήστε την στην Εξίσωση 4.6).

5. Εξηγήστε γιατί δεν είναι απαραίτητο στο τμήμα ΙΙ.3 της άσκησης η απόσταση μεταξύ των δύο φωτοπυλών να διατηρείται σταθερή.

Δt (s)

s (cm)

+++

+

+

+

60

AΣΚΗΣΗ 5

Φαινόμενο Της Επαγωγής Ι. Σκοπός της Άσκησης Η κατανόηση του φαινομένου της επαγωγής. Επαγωγή είναι η εμφάνιση ηλεκτρεργετικής δύναμης σε ένα κλειστό κύκλωμα όταν μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που το διαπερνά. Το φαινόμενο της επαγωγής βρίσκει εφαρμογή μεταξύ άλλων, στις μαγνητικές ταινίες, στις κεφαλές των σκληρών δίσκων και στους μετασχηματιστές. ΙΙ. Θεωρία Επαγωγή είναι το φαινόμενο της εμφάνισης ηλεκτρεγερτικής δύναμης (ΗΕΔ) σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα όταν μεταβάλλεται (κατά οποιοδήποτε τρόπο) η μαγνητική ροή Φ, που το διαπερνά. Η μαγνητική ροή Φ, οφείλεται σε ένα εξωγενές μαγνητικό πεδίο Β, το ποίο μπορεί να δημιουργείται από κάποιο μόνιμο μαγνήτη ή ηλεκτρομαγνήτη, ή ακόμη και κάποιο άλλο κύκλωμα (κυκλώματα που διαρρέονται από ρεύμα δημιουργούν γύρω τους μαγνητικό πεδίο). Η αναπτυσσόμενη ΗΕΔ, Ε, είναι ίση με την ταχύτητα μεταβολής της μαγνητικής ροής και δίνεται από το νόμο του Faraday:

dtdE Φ

−= Εξίσωση 5.1

Όταν το κύκλωμα στο οποίο αναπτύσσεται η ΗΕΔ είναι ένα πηνίο με Ν σπείρες, η Εξίσωση 5.1 γίνεται

dtdNE Φ

−= Εξίσωση 5.2

Η μαγνητική ροή Φ, δίνεται από τη σχέση ∫ ⋅=Φ SdB , όπου Β είναι η ένταση του μαγνητικού πεδίου που διαπερνά το κύκλωμα και dS η στοιχειώδης επιφάνεια του. Το αρνητικό πρόσημο στην Εξίσωση 5.1 καθορίζει τη φορά της αναπτυσσόμενης ΗΕΔ. Όταν η πηγή του μαγνητικού πεδίου Β στο οποίο οφείλεται η μαγνητική ροή, είναι πηνίο με μεγάλο μήκος 1, αριθμό σπειρών n, που διαρρέεται από ρεύμα Ι, το μαγνητικό πεδίο δίνεται από τη σχέση

61

lnIB 0μ= Εξίσωση 5.3

και είναι σταθερό στο εσωτερικό του πηνίου (μ0 είναι μια σταθερά, η μαγνητική διαπερατότητα του κενού με τιμή 1,26x10-6 T·m/A). Αν το ρεύμα είναι εναλλασσόμενο κυκλικής συχνότητας ω της μορφής Ι = Ι0 sinωt, τότε η Εξίσωση 5.3 γίνεται

tIlnB ωsinμ 00= Εξίσωση 5.4

Το πηνίο που δημιουργεί το μαγνητικό πεδίο λέγεται πρωτεύων πηνίο. Αν στο εσωτερικό του προαναφερθέντος πρωτεύοντος πηνίου βρεθεί ένα άλλο, μικρότερο πηνίο Ν σπειρών και εμβαδού διατομής S (δευτερεύων πηνίο), τότε η μαγνητική ροή που το διαπερνά την κάθε σπείρα δίνεται από τη σχέση

SB ⋅=Φ Εξίσωση 5.5 Από συνδυασμό των εξισώσεων 5.5, 5.4, και 5.2 προκύπτει ότι η ΗΕΔ που δημιουργείται στο δευτερεύων πηνίο όταν αυτό βρεθεί εντός του (μεταβαλλόμενου) μαγνητικού πεδίου του πρωτεύοντος, δίνεται από:

tIl

nNStIl

nSdtdNE ωcosωμωsinμ 0000 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= Εξίσωση 5.6

ΙΙΙ. Απαιτούμενα Όργανα Γεννήτρια παραγωγής εναλλασσομένου ρεύματος, ένα μεγάλο πηνίο (πρωτεύων, περίπου 500 σπειρών), βολτόμετρο, αμπερόμετρο, διάφορα πηνία μικρότερων διαμέτρων (δευτερεύοντα πηνία) και καλώδια σύνδεσης. ΙV. Μέθοδος Προκειμένου να μελετηθεί το φαινόμενο της επαγωγής σχηματίζεται το κύκλωμα όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Η γεννήτρια συχνοτήτων συνδέεται με το κύριο πηνίο και το αμπερόμετρο σε σειρά. Το βολτόμετρο συνδέεται με ένα μικρό, δευτερεύων πηνίο η ΗΕΔ του οποίου θα μετρηθεί. Το δευτερεύων πηνίο τοποθετείται στο εσωτερικό του μεγάλου πηνίου πριν κάθε μέτρηση.

62

Σχήμα 5.1: Πειραματική διάταξη για την μελέτη του Φαινομένου της Επαγωγής V. Πειραματική Εργασία Και Επεξεργασία Των Μετρήσεων

V.1. Εξάρτηση της ΗΕΔ από την ένταση τροφοδοσίας του κυκλώματος. Επιλέγουμε ένα δευτερεύων πηνίο και το συνδέουμε με το βολτόμετρο. Κατόπιν το εισάγουμε στο μεγάλο (πρωτεύων) πηνίο και μετράμε τα διάφορα Ε που αντιστοιχούν σε διάφορες τιμές Ι0 του ρεύματος τροφοδοσίας. Οι μετρήσεις αναγράφονται στον Πίνακα 5.1. Πίνακας 5.1: Μετρήσεις έντασης ρεύματος Ι0- ΗΕΔ.

Χρησιμοποιώντας τις τιμές από τον παραπάνω πίνακα φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση

)(IEE = . Οι παραπάνω εργασίες επαναλαμβάνονται για ένα ακόμη μικρό (δευτερεύων) πηνίο. V.2. Εξάρτηση της ΗΕΔ από τη συχνότητα του ρεύματος τροφοδοσίας. Επιλέγουμε ένα μικρό (δευτερεύων) πηνίο, το συνδέουμε με το βολτόμετρο και το εισάγουμε στο μεγάλο (πρωτεύων) πηνίο. Μεταβάλλουμε τη συχνότητα ω του ρεύματος τροφοδοσίας κρατώντας την ένταση του ρεύματος Ι0 σταθερή. Μετράμε τα διάφορα Ε που αντιστοιχούν σε διάφορες τιμές της συχνότητας ω και σημειώνουμε τις μετρήσεις στον Πίνακα 5.2.

α/α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I0 (mA)

Ε (mV)

63

Πίνακας 5.2: Μετρήσεις συχνότητας - ΗΕΔ.

Χρησιμοποιώντας τις τιμές του παραπάνω πίνακα φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση

)ω(EE = V.3. Εξάρτηση της ΗΕΔ από τη διάμετρο του δευτερεύοντος πηνίου. Επιλέγουμε μια σταθερή τιμή για την ένταση του ρεύματος I0, και μια σταθερή τιμή για τη συχνότητα ω. Εισάγουμε διάφορα δευτερεύοντα (μικρά πηνία) με διαφορετική διάμετρο και μετράμε την εμφανιζόμενη ΗΕΔ για σταθερή συχνότητα και σταθερή ένταση τροφοδοσίας. Οι διάφορες τιμές καταχωρούνται στον Πίνακα 5.3. Πίνακας 5.3: Μετρήσεις Διαμέτρου - ΗΕΔ.

α/α 1 2 3

D (mm) 26 33 41

Ε (mV)

Από την Εξίσωση 5.6 βλέπουμε ότι η ΗΕΔ είναι ανάλογη με το εμβαδόν διατομής S του δευτερεύοντος πηνίου, το οποίο δίνεται από τη σχέση S=πD2/4, όπου D είναι η διάμετρος. Ή αλλιώς, η ΗΕΔ είναι ανάλογη του D2. Χρησιμοποιώντας τις τιμές του Πίνακα 5.3 φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση της log(E) συνάρτηση της log(D) που θα πρέπει να είναι ευθεία, και υπολογίζουμε την κλίση της. V.4. Εξάρτηση της ΗΕΔ από τον αριθμό των σπειρών Ν του δευτερεύοντος

πηνίου. Επιλέγουμε μια σταθερή τιμή για την ένταση του ρεύματος I0, και μια σταθερή τιμή για τη συχνότητα ω. Εισάγουμε διάφορα δευτερεύοντα πηνία με την ίδια διάμετρο και διαφορετικό αριθμό σπειρών και μετράμε την προκύπτουσα ΗΕΔ. Οι τιμές αναγράφονται στον Πίνακα 5.4.

Πίνακας 5.4: Μετρήσεις αριθμού σπειρών Ν - ΗΕΔ.

α/α 1 2 3 4 5

Ν 100 150 200 300 500

Ε (mV)

α/α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ω (Hz)

Ε (mV)

64

Χρησιμοποιώντας τις τιμές του παραπάνω πίνακα φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση )(NEE = .

VΙ. Ερωτήσεις

1. Ποιους άλλους τρόπους ανάπτυξης ΗΕΔ γνωρίζετε; 2. Αναφέρατε περιπτώσεις εφαρμογής του φαινομένου της επαγωγής. 3. Πως μπορεί με συνεχές ρεύμα τροφοδοσίας να αναπτυχθεί σε ένα κύκλωμα ΗΕΔ;

65

ΑΣΚΗΣΗ 6

Συμβολή Και Περίθλαση Του Φωτός

Σκοπός Να μετρηθούν α) το μήκος κύματος ενός Laser και β)τα εύρη σχισμών και αποστάσεις μεταξύ τους (μικρότερα του 1 mm) με τη βοήθεια των φαινομένων συμβολής και περίθλασης.

Απαιτούμενα Όργανα 1 LASER μίγματος αερίων He-Ne (λ = 632.8 nm)

2 Ράβδο με ενσωματωμένο κανόνα του 1 m και ορθογώνιο στήριγμα πλακιδίων.

3 Φράγμα περίθλασης

4 Πλακίδια με απλές και διπλές σχισμές

66

I. Θεωρία Ι.1 Συμβολή του φωτός – Το πείραμα του Young

Η συμβολή αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά των κυμάτων. Συμβολή ονομάζουμε τη διασταύρωση δύο ή περισσοτέρων κυμάτων σε ένα σημείο.

Μια από τις πρώτες πειραματικές αποδείξεις του γεγονότος ότι το φως μπορεί να προκαλέσει φαινόμενα συμβολής δόθηκε το 1800 από τον Άγγλο επιστήμονα Thomas Young. Ήταν ένα κρίσιμο πείραμα για κείνη την εποχή, καθώς προσέθεσε επιπλέον αποδείξεις στην αναπτυσσόμενη άποψη για την κυματική φύση του φωτός.

Μια σχηματική αναπαράσταση του πειράματος του Young δείχνεται στο Σχήμα 6.1. Μια επίπεδη δέσμη μονοχρωματικού φωτός από μια πηγή So διαιρείται σε δύο μέρη πέφτοντας πάνω σε μια οθόνη στην οποία είναι χαραγμένες δύο στενές σχισμές S1 και S2 σε πολύ μικρή απόσταση μεταξύ τους. Η απόσταση από την πηγή So ως την οθόνη με τις δύο σχισμές είναι από 20 έως 100 cm. Η απόσταση R από την οθόνη με τις δύο σχισμές ως την τελική οθόνη (οθόνη παρατήρησης του φαινομένου) συνήθως είναι από 1m έως 5m. Οι σχισμές έχουν εύρος 0.1 έως 0.2 mm και η απόσταση d μεταξύ τους είναι μικρότερη από 1mm. Εν συντομία, όλα τα εύρη των σχισμών και οι αποστάσεις μεταξύ των σχισμών είναι κλάσματα του mm, ενώ, όλες οι άλλες αποστάσεις είναι εκατοντάδες ή χιλιάδες mm.

θd

S1

S2

d ημθ

θ

r1

r2

O

P

A

R

y

B

So

θd

S1

S2

d ημθ

θ

r1

r2

O

P

A

R

y

B

So

Σχήμα 6.1: Σχηματική αναπαράσταση του πειράματος του Young: συμβολή του φωτός από δύο σχισμές σε απόσταση d μεταξύ τους.

Επίπεδα μέτωπα κύματος ξεκινούν από την πηγή So και φθάνουν την ίδια στιγμή στις δύο σχισμές S1 και S2. Τα μέτωπα κύματος, που ξεκινούν κάθε χρονική στιγμή από τις δύο πηγές, είναι σε συμφωνία φάσης, δηλαδή, οι δύο σχισμές ενεργούν σαν δύο σύμφωνες (coherent) πηγές.

Θεωρείστε ένα σημείο P πάνω στην οθόνη παρατήρησης, σε μια διεύθυνση που κάνει γωνία θ με τον άξονα ΑΟ του συστήματος (Σχήμα 6.1). Έστω, S1P και S2P οι αποστάσεις του σημείου Ρ από τις δύο σχισμές. Με κέντρο το Ρ και ακτίνα S2P, θεωρούμε ένα τόξο κύκλου που τέμνει την S1P στο Β. Καθώς η απόσταση R από τις σχισμές ως την οθόνη είναι μεγάλη συγκριτικά με την απόσταση d μεταξύ των δύο σχισμών (R >> d), το τόξο S2Β μπορεί να θεωρηθεί σαν ευθύγραμμο τμήμα κάθετο προς τις S1P, ΑΡ και S2P. Επομένως, το τρίγωνο ΒS1S2 είναι ορθογώνιο, όμοιο προς το ΡΟΑ και η απόσταση S1Β ισούται με d ημθ.

67

Αυτή η απόσταση είναι η διαφορά δρόμου r1 − r2 μεταξύ των κυμάτων που φθάνουν στο Ρ από τις δύο σχισμές. Τα δύο κύματα ξεκινούν από τις σχισμές S1 και S2 απαραίτητα σε φάση (όπως είπαμε στην αρχή), αλλά, εξ’ αιτίας αυτής της διαφοράς δρόμου, μπορεί να μην είναι σε φάση στο σημείο Ρ.

Μηδενικόςκροσσός

1οςκροσσός

4οςκροσσός

1οςκροσσός

4οςκροσσός

Δy = λR/d

Μηδενικόςκροσσός

1οςκροσσός

4οςκροσσός

1οςκροσσός

4οςκροσσός

Δy = λR/d Σχήμα 6.2: Σχηματική αναπαράσταση των κροσσών συμβολής από δύο σχισμές που

φωτίζονται από πηγή μονοχρωματικού φωτός. Ας σημειωθεί ότι υπάρχει μια εξασθένηση των κροσσών στα άκρα λόγω του φαινομένου της περίθλασης από το μικρό εύρος των σχισμών.

Τα δύο κύματα φθάνουν σε φάση στο σημείο Ρ μόνον όταν η διαφορά δρόμου dημθ είναι κάποιο ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ του φωτός,

d ημθ = mλ ή d

mλημθ = Εξίσωση 6.1

όπου, m = 0, 1, 2, 3, κ.λ.π. Στην περίπτωση αυτή, στο σημείο Ρ έχουμε πλήρη ενίσχυση του φωτός και λέμε ότι το Ρ βρίσκεται στο κέντρο ενός φωτεινού κροσσού συμβολής . Όταν η διαφορά δρόμου είναι ημιακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ του φωτός,

λ21θημ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += md ή

dmd λ

21θημ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += Εξίσωση 6.2

έχουμε καταστρεπτική (αναιρετική) συμβολή του φωτός και το σημείο Ρ βρίσκεται στο κέντρο ενός σκοτεινού κροσσού συμβολής.

Το Σχήμα Σχήμα6.2 δείχνει σε σχηματική αναπαράσταση μια τυπική μορφή της συμβολής του φωτός από δύο πηγές (συμβολόγραμμα). Πάνω στην οθόνη παρατήρησης εμφανίζεται μια σειρά από εναλλασσόμενους φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς. Οι φωτεινοί κροσσοί αντιστοιχούν σε σημεία των οποίων η διαφορά δρόμου από τις δύο σχισμές είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ, ενώ, οι σκοτεινοί κροσσοί αντιστοιχούν σε σημεία των οποίων η διαφορά δρόμου από τις δύο σχισμές είναι ημιακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος. Ο κεντρικός φωτεινός κροσσός ή μηδενικός κροσσός (m = 0) σχηματίζεται στο σημείο Ο της οθόνης και αντιστοιχεί σε μηδενική διαφορά δρόμων ή ημθ = 0.

Αν το σημείο Ρ είναι στο κέντρο του m-οστού κροσσού, η απόσταση y από τον μηδενικό κροσσό είναι, από το Σχήμα 6.1,

y = R εφθ.

Αφού, όμως, η γωνία θ είναι εξαιρετικά μικρή, εφθ ≈ ημθ, οπότε y = R ημθ και συνδυάζοντας με την Εξίσωση 6.1 έχουμε

68

dRmy λ= , m = ±1, ±2, ±3, .... Εξίσωση 6.3

Έτσι, μετρώντας την απόσταση y του m-οστού κροσσού από τον μηδενικό κροσσό και γνωρίζοντας την απόσταση R και το μήκος κύματος λ της πηγής, μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση d μεταξύ των δύο σχισμών. Αντιστρόφως, γνωρίζοντας την απόσταση d μεταξύ των δύο σχισμών και την απόσταση R, μπορούμε, μετρώντας την θέση y του m-οστού κροσσού, να βρούμε το μήκος κύματος λ του φωτός.

Ι.2 Περίθλαση Fraunhofer από μια ορθογώνια σχισμή Το άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό των κυμάτων είναι το φαινόμενο της

περίθλασης. Περ ί θλαση παρατηρείται, όταν ένα κύμα στην πορεία του συναντά ένα αντικείμενο των διαστάσεων του μήκους κύματος. Το αντικείμενο αυτό μπορεί να είναι μια λεπτή σχισμή σε ένα πέτασμα.

Για να κατανοήσουμε το φαινόμενο της περίθλασης και πως αυτό εκδηλώνεται, στην περίπτωση που έχουμε να κάνουμε με πολύ μικρά σώματα, ας υποθέσουμε ότι μια δέσμη παράλληλου μονοχρωματικού φωτός πέφτει πάνω σε μια αδιαφανή πλάκα που έχει μια λεπτή κατακόρυφη σχισμή.

Αν το εύρος a της σχισμής ήταν αρκετά μεγάλο (πολύ μεγαλύτερο από το μήκος κύματος του φωτός), σύμφωνα με τη γεωμετρική οπτική , η διερχόμενη δέσμη θα έπρεπε να έχει την ίδια διατομή με τη σχισμή και στην οθόνη παρατήρησης θα έπρεπε να παρατηρούμε το είδωλο της σχισμής. (Σχήμα 6.3 (α) ).

Στην περίπτωση, όμως, που το εύρος της σχισμής είναι πολύ μικρό, κοντά στο μήκος κύματος του φωτός, εκείνο που παρατηρείται είναι η μορφή στο Σχήμα 6.3 (β).

(α) (β)

α >> λ

Κεντρικόςφωτεινόςκροσσός 1ος

σκοτεινόςκροσσός

1οςσκοτεινόςκροσσός

2οςσκοτεινόςκροσσός

Δy2

R

2οςσκοτεινόςκροσσός

α ≈ λ

R

(α) (β)

α >> λ

Κεντρικόςφωτεινόςκροσσός 1ος

σκοτεινόςκροσσός

1οςσκοτεινόςκροσσός

2οςσκοτεινόςκροσσός

Δy2

RR

2οςσκοτεινόςκροσσός

α ≈ λ

RR

Σχήμα 6.3: (α) Γεωμετρική σκιά σχισμής με μεγάλο εύρος (a>> λ, (β) Εικόνα περίθλασης από

μια σχισμή με εύρος της τάξεως του μήκους κύματος του φωτός (a≈λ).

69

Η δέσμη, μετά τη διέλευση από τη σχισμή, αναπτύσσεται οριζόντια σε μια αλληλουχία φωτεινών και σκοτεινών ζωνών. Η μορφή αυτή είναι γνωστή σαν ε ι κ ό να π ερ ί θ λαση ς F r a u n h o f e r της σχισμής. Η εικόνα περίθλασης αποτελείται από μια κεντρική φωτεινή ζώνη, της οποίας το εύρος μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο από το εύρος της σχισμής, περιβαλλόμενη από εναλλασσόμενους σκοτεινούς κροσσούς και φωτεινούς κροσσούς των οποίων η ένταση ελαττώνεται βαθμιαία. Η βασική μαθηματική σχέση της περίθλασης Fraunhofer από μια σχισμή μπορεί να εξαχθεί πολύ εύκολα κάνοντας τον εξής συλλογισμό. Ας θεωρήσουμε δύο εξαιρετικά λεπτές ακτίνες του φωτός που περνούν από τη σχισμή, μια ακριβώς στο άνω όριο της σχισμής και την άλλη ακριβώς κάτω από το κέντρο της σχισμής και οι οποίες καταλήγουν στο ίδιο σημείο Ρ της οθόνης παρατήρησης (Σχήμα 6.4). Σ’ αυτή την περίπτωση, θα έχουμε συμβολή των δύο ακτίνων οι οποίες ξεκινούν σε φάση από τη σχισμή, αλλά η μια (πάνω ακτίνα) θα έχει διανύσει μεγαλύτερη απόσταση από την κάτω.

Αν a είναι το εύρος της σχισμής, αυτή η πρόσθετη απόσταση είναι, από το Σχήμα 6.4,

ημθ2a . Για το σημείο Ο, απέναντι από το κέντρο της σχισμής, η γωνία θ είναι μηδέν και η

διαφορά δρόμου μηδέν. Όλες οι ακτίνες του φωτός, που διέρχεται από τη σχισμή, φθάνουν σε φάση σε αυτό το σημείο, συμβάλλουν ενισχυτικά και το κέντρο της εικόνας περίθλασης είναι έντονα φωτεινό.

Όσο, όμως, απομακρυνόμαστε από το κέντρο, η γωνία θ μεγαλώνει και η διαφορά δρόμου αυξάνει. Όταν αυτή η διαφορά δρόμου γίνει ίση με μισό μήκος κύματος, οι δύο ακτίνες του Σχήματος 6.3 φθάνουν στην οθόνη σε αντίθεση φάσης με αποτέλεσμα να έχουμε καταστροφική συμβολή. Έτσι, παρατηρούμε σκοτεινές ζώνες σε διευθύνσεις που σχηματίζουν γωνία θ με την αρχική διεύθυνση του φωτός, τέτοια ώστε (α/2)ημθ=λ/2 ή ημθ=λ/α.

Σχήμα 6.4: Μαθηματική περιγραφή της περίθλασης Fraunhofer από μια λεπτή σχισμή. Οι δύο ακτίνες από το άκρο και το μέσο της σχισμής συμβάλουν καταστρεπτικά στα σημεία της οθόνης που απέχουν από το κέντρο Ο απόσταση y τέτοια που y(α/Rλ) = ±1, ±2, κ.λ.π. Η κυματοειδής γραμμή στα δεξιά του σχήματος, δείχνει το διάγραμμα της παρατηρούμενης έντασης του φωτός πάνω στην οθόνη

a a/2

a/2

ημθ2a

θ θ O

Py

I

-1

1

-2

2

(a/Rλ)y

R

70

παρατήρησης.

Διαιρώντας τη σχισμή σε τέταρτα, έκτα, κ.λ.π., μπορεί κανείς να δείξει (ακολουθώντας τον παραπάνω συλλογισμό) ότι η οθόνη είναι ξανά σκοτεινή όταν ημθ=2λ/α, 3λ/α, κ.λ.π., ή γενικά

am λημθ = Εξίσωση 6.4

όπου, m = 1, 2, 3, κ.λ.π.

Από το Σχήμα 6.4, έχουμε ημθ ≈ y/R, οπού y είναι η απόσταση της m-στης σκοτεινής ζώνης (κροσσού) από το κέντρο Ο της περίθλασης. Αντικαθιστώντας στην Εξίσωση 6.4 και λύνοντας ως προς y, έχουμε

aRmy λ= , m = ±1, ±2, ±3, .... Εξίσωση 6.5

α

Διάγραμμα περίθλασης

d

0

Ι

Σκοτεινοί κροσσοίπερίθλασης

Φωτεινοί κροσσοίσυμβολής

Διάγραμμα συμβολής

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

1-2 2-1

R

α

Διάγραμμα περίθλασης

d

0

Ι

Σκοτεινοί κροσσοίπερίθλασης

Φωτεινοί κροσσοίσυμβολής

Διάγραμμα συμβολής

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

1-2 2-1

R

Σχήμα 6.5: Εικόνα περίθλασης κατά Fraunhofer από δύο παράλληλες λεπτές σχισμές εύρους a σε απόσταση d μεταξύ τους.

71

Ι.3 Περίθλαση Fraunhofer από δύο ίσες παράλληλες σχισμές Ας θεωρήσουμε την περίπτωση που έχουμε δύο παράλληλες σχισμές, ίδιου πλάτους a

σε απόσταση d μεταξύ τους. Κάθε σχισμή δημιουργεί μια δέσμη περιθλώμενων ακτίνων, όπως αυτή στο Σχήμα 6.3 Σχήμα (β). Συνεπώς, στην οθόνη παρατήρησης, σε απόσταση R απέναντι από τις δύο σχισμές, έχουμε δύο δέσμες περιθλώμενων ακτίνων. Αυτό που θα παρατηρήσουμε, είναι το αποτέλεσμα της συμβολής αυτών των δύο περιθλώμενων ακτίνων. Με άλλα λόγια, έχουμε συνδυασμό συμβολής, όπως στο Σχήμα 6.1Σχήμα και περίθλασης, όπως στο Σχήμα 6.4Σχήμα .

Η μορφή της περίθλασης κατά Fraunhofer, που παρατηρούμε από τις δύο παράλληλες και μακρόστενες σχισμές, φαίνεται σε σχηματική αναπαράσταση στο Σχήμα 6.5. Ο συνδυασμός περίθλασης και συμβολής φαίνεται καλύτερα στη γραφική παράσταση της έντασης I ως προς τη θέση y πάνω στην οθόνη παρατήρησης. H καμπύλη αυτή αποτελείται από ισαπέχοντες κροσσούς συμβολής (συνεχόμενη γραμμή), των οποίων η ένταση είναι διαμορφωμένη από μια περιβάλλουσα καμπύλη της περίθλασης (διακεκομμένη γραμμή).

Ας σημειωθεί ότι τα μέγιστα των κροσσών συμβολής (φωτεινοί κροσσοί) έχουμε στις θέσεις y = mλR/d ή yd /λR = m (Εξίσωση 6.3), ενώ τα ελάχιστα των κροσσών περίθλασης (σκοτεινοί κροσσοί) έχουμε, στα σημεία y = mλR/a ή ya/λR = m (Εξίσωση 6.5), όπου m = 0, ±1, ±2, ...

Ι.4 Φράγμα περίθλασης Ας υποθέσουμε, ότι αντί για μια απλή σχισμή ή δύο παράλληλες σχισμές, όπως στο πείραμα του Young (Σχήμα6.1), έχουμε ένα πολύ μεγάλο αριθμό παράλληλων σχισμών, όλες του ίδιου εύρους α, τοποθετημένες σε κανονικές αποστάσεις d μεταξύ τους (Σχήμα 6.6 (α)). Μια τέτοια διάταξη, γνωστή σαν φράγμα περ ί θλασης , κατασκευάστηκε για πρώτη φορά από τον Fraunhofer.

Έστω Ν ο αριθμός των σχισμών του φράγματος. Όπως και στην περίπτωση των δύο σχισμών, η εικόνα που θα παρατηρήσουμε στην οθόνη πίσω από το φράγμα θα πρέπει να αντιστοιχεί στο διάγραμμα συμβολής των Ν ακτίνων διαμορφωμένο από το διάγραμμα περίθλασης της μιας σχισμής. Η διαφορά σε σχέση με τις δύο σχισμές είναι ότι, αν ο αριθμός Ν των σχισμών είναι πολύ μεγάλος, η εικόνα της περίθλασης θα αποτελείται από μια σειρά έντονων μέγιστων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.6 (γ). Οι γωνίες απόκλισης, στις οποίες παρατηρούνται αυτά τα μέγιστα δίνονται από την Εξίσωση 6.1. Πάνω στην οθόνη παρατήρησης η απόσταση y, της περιθλώμενης ακτίνας m-στης τάξης από το κέντρο της περίθλασης O, δίνεται από την Εξίσωση 6.3 και είναι

dRmy λ= , m = ±1, ±2, ±3, ....

Τα φράγματα περίθλασης τα χρησιμοποιούμε για να αναλύσουμε φως στο ορατό, το υπέρυθρο ή το υπεριώδες. Τα σύγχρονα φράγματα αποτελούνται από μερικές χιλιάδες σχισμές ανά εκατοστό. Τα φράγματα μπορεί να είναι, επίσης, ανακλαστικά, με μεγάλο πλήθος χαραγμένων γραμμών πάνω σε μια μεταλλική επιφάνεια η οποία ανακλά το φως.

72

d

α

θ

dα

(α) (β)d

α

θ

dα

(α) (β)

Περίθλαση

Συμβολή

Περίθλαση1ης τάξης

Περίθλαση1ης τάξης

Περίθλαση2ης τάξης

Περίθλαση2ης τάξης

1-1 2-2 0

(γ)

Περίθλαση

Συμβολή

Περίθλαση1ης τάξης

Περίθλαση1ης τάξης

Περίθλαση2ης τάξης

Περίθλαση2ης τάξης

1-1 2-2 0

(γ)

Σχήμα 6.6: (α) Φράγμα περίθλασης. Τα σημερινά φράγματα περίθλασης περιλαμβάνουν μερικές χιλιάδες σχισμές ανά cm. (β) Για ένα φράγμα περίθλασης με απόσταση μεταξύ των σχισμών d, τα μέγιστα των κύριων κροσσών συμβολής λαμβάνονται σε θέσεις τέτοιες ώστε y = mλR/d (γ) Η κατανομή της έντασης του φωτός σε οθόνη παρατήρησης πουβρίσκεται σε απόσταση R πίσω από το φράγμα περίθλασης. Η απόσταση y του κύριου μέγιστου της ακτίνας περίθλασης πρώτης τάξης από το κέντρο Ο, είναι yd/Rλ = ±1 ή y = ±λR/d

ΙΙ) Πειραματική διαδικασία Η σχηματική αναπαράσταση της πειραματικής διάταξης, που χρησιμοποιούμε για τη

μελέτη της συμβολής και της περίθλασης, φαίνεται στο Σχήμα 6.7. Περιλαμβάνει μια ράβδου του 1 m με αυλάκι, πάνω στην οποία προσαρμόζεται και μπορεί να ολισθαίνει ένα ορθογώνιο στήριγμα, στο οποίο τοποθετούμε τα πλακίδια με τις σχισμές και τα φράγματα περίθλασης που μελετάμε. Η ράβδος έχει στο πλάι ενσωματωμένο κανόνα με υποδιαιρέσεις mm απο 0 ώς 100.

73

Σχήμα 6.7: Σχηματική αναπαράσταση της πειραματικής διάταξης που χρησιμοποιούμε για τη μελέτη της συμβολής και της περίθλασης.

Σαν πηγή μονοχρωματικού φωτός χρησιμοποιούμε ένα LASER αερίου μίγματος He-Ne, το οποίο εκπέμπει κόκκινο φώς μήκους κύματος λL = 632.8 nm = 632.8×10-6 mm = 632.8×10-9 m (Υπενθυμίζεται, ότι 1 nm = 10-6 mm = 10-7 cm = 10-9 m).

Το LASER πρέπει να τοποθετείται έτσι ώστε η δέσμη του να είναι όσο το δυνατόν περισσότερο ευθυγραμμισμένη με τη ράβδο και κάθετη στην επιφάνεια των πλακιδίων.

Απέναντι από το LASER και σε απόσταση D από το αριστερό άκρο της ράβδου, βρίσκεται τοποθετημένη, πάνω στον τοίχο, μια οθόνη στην οποία μπορούμε να τοποθετήσουμε χαρτί και να παρατηρήσουμε τα διαγράμματα συμβολής και περίθλασης. Τοποθετείτε πάντα καθαρό χαρτί, ώστε να μπορείτε αν χρειαστεί να σημειώνετε τις θέσεις των κροσσών.

Με έναν κανόνα μετρήστε με ακρίβεια την απόσταση D από την γραμμή των 100 cm της ράβδου μέχρι την οθόνη και σημειώστε την τιμή παρακάτω.

D = .....…… mm.

Την απόσταση x του πλακιδίου από τη γραμμή των 100 cm της ράβδου μετράτε κατευθείαν πάνω στον κανόνα στο πλάι της ράβδου. Η απόσταση R από το πλακίδιο ώς την οθόνη δίνεται από το άθροισμα

R = D + x Εξίσωση 6.6

Βάλτε το LASER στην πρίζα. Σε 1-2 δευτερόλεπτα θα δώσει κόκκινο φώς στην έξοδό του.

ΙΙ.1 Μέτρηση του μήκους κύματος LASER με φράγμα περίθλασης Θα υπολογίσουμε το μήκος κύματος λ του LASER μετρώντας την απόκλιση της

περιθλώμενης ακτίνας 1ης τάξης από ένα φράγμα περίθλασης με 600 γραμμές/mm.

Τοποθετήστε στο στήριγμα το πλακίδιο με το φράγμα περίθλασης. Μετακινήστε το στήριγμα με το πλακίδιο στο αριστερό άκρο της ράβδου στη γραμμή των 100 cm. Αυτή είναι η θέση x = 0 του Πίνακα 6.1.

Βεβαιωθείτε ότι το πλακίδιο είναι κάθετο στη δέσμη του LASER, στρέφοντάς το ελαφρά δεξιά-αριστερά ώστε να παρατηρείτε την ανακλώμενη ακτίνα να γυρίζει περίπου πίσω στην έξοδο το LASER.

LASER

Στήριγμα πλακιδίων

0100 5

Οθόνη

D x

74

Παρατηρήστε στην οθόνη τη φωτεινή κεντρική γραμμή της περίθλασης και δεξιά και αριστερά της τις δύο περιθλώμενες ακτίνες 1ης τάξης (m = ±1), όπως στο Σχήμα 6.6 (Προσοχή: στο πείραμά μας δεν παρατηρούμε γραμμές 2ης τάξης κ.λ.π., όπως δείχνει το Σχήμα 6.6).

Μετρήστε, με τη βοήθεια ενός κανόνα, την απόσταση y της δεξιάς περιθλώμενης ακτίνας από την κεντρική ακτίνα και σημειώστε την στον Πίνακα 6.1.

Φέρτε το στήριγμα 3 cm (30 mm) δεξιά από τη γραμμή των 100 cm. Καθετοποιήστε πάλι το πλακίδιο προς τη δέσμη, μετρήστε την απόσταση y και καταγράψτε την τιμή στον Πίνακα 6.1.

Συνεχίστε με τις υπόλοιπες αποστάσεις x του Πίνακα 6.1. Για κάθε απόσταση x μετρήστε και καταγράψτε την απόκλιση y της περιθλώμενης ακτίνας σε σχέση με την κεντρική ακτίνα. Χρησιμοποιείστε την Εξίσωση 6.3 θέτωντας m = 1 και d = 1/600 mm και υπολογίστε το μήκος κύματος του LASER για κάθε θέση του πλακιδίου και το το μέσο μήκος κύματος που προκύπτει. Υπολογίστε το % σφάλμα για το μέσο μηκος κύματος χρησιμοποιώντας ως θεωρητική τιμή το λL = 632.8 nm.

Πίνακας 6.1 (Φράγμα περίθλασης 600/mm)

x (mm) R = D + x (mm) y (mm) λ (nm) Μέσο λ (nm)

0

30

60

90

ΙΙ.2 Περίθλαση Fraunhofer από απλή ορθογώνια σχισμή Στο διάγραμμα περίθλασης από μια απλή σχισμή, θα μετρήσουμε το εύρος της

κεντρικής φωτεινής ζώνης, δηλαδή, την απόσταση μεταξύ των δύο σκοτεινών ζωνών 1ης τάξης δεξιά και αριστερά της κεντρικής ζώνης, όπως στο Σχήμα 6.3 (β) και στη συνέχεια, από την Εξίσωση 6.5, θα υπολογίσουμε το εύρος a της σχισμής.

Τοποθετήστε στο στήριγμα ένα πλακίδιο με απλή σχισμή. Φέρτε το στήριγμα στο δεξί άκρο της ράβδου, απέναντι από την είσοδο του LASER, στη γραμμή των 0 cm. Αυτή είναι η θέση x = 1000 mm του Πίνακα 6.2.

Μετακινήστε το πλακίδιο δεξιά-αριστερά, με πολύ ελαφρές κινήσεις, ώστε το κέντρο της δέσμης του LASER να πέσει πάνω στη σχισμή. Καθετοποιήστε το πλακίδιο στη δέσμη του LASER, ώστε η ανακλώμενη να επιστρέφει περίπου στην είσοδο του LASER.

Παρατηρήστε στην οθόνη απέναντι την εικόνα περίθλασης, όπως αυτή στο Σχήμα 6.3 (β).

75

Μετρήστε την απόσταση Δy μεταξύ των κέντρων των δύο σκοτεινών κροσσών 1ης τάξης της περίθλασης δεξιά και αριστερά της κεντρικής φωτεινής ζώνης, όπως στο Σχήμα 6.3 (β) και σημειώστε τη μέτρηση στον Πίνακα 6.2.

Μετατοπίστε το στήριγμα κατά 10 cm (100 mm) προς τα αριστερά, να συμπέσει με τη γραμμή των 10 cm του κανόνα στο πλάι της ράβδου. Η απόσταση x τώρα είναι x = 900 mm. Ευθυγραμμίστε και καθετοποιήστε πάλι το πλακίδιο και μετρήστε πάλι την απόσταση Δy μεταξύ των δύο σκοτεινών ζωνών 1ης τάξης στην οθόνη και καταγράψτε τη μέτρηση στον Πίνακα 6.2.

Συνεχίστε με τις υπόλοιπες αποστάσεις x του Πίνακα 6.2. Για κάθε απόσταση x, μετρήστε την απόσταση Δy μεταξύ των δύο σκοτεινών κροσσών 1ης τάξης.

Πίνακας 6.2 (Απλή σχισμή)

x (mm) R = D + x (mm) Δy (mm) a (mm) Μέσο a (mm)

1000

900

800

700

ΙΙ.3 Περίθλαση Fraunhofer από δύο ίσες παράλληλες σχισμές Θα μετρήσουμε την απόσταση μεταξύ των σκοτεινών κροσσών περίθλασης m-στης

τάξης δεξιά και αριστερά της κεντρικής φωτεινής ζώνης του διαγράμματος περίθλασης και θα υπολογίσουμε το εύρος a της κάθε σχισμής. Επίσης, θα μετρήσουμε την απόσταση μεταξύ των m-στών φωτεινών κροσσών συμβολής και θα υπολογίσουμε την απόσταση d μεταξύ των δύο σχισμών, όπως στο Σχήμα 6.5.

Τοποθετήστε στο στήριγμα το πλακίδιο με τη διπλή σχισμή. Φέρτε το στήριγμα στο δεξί άκρο της ράβδου, απέναντι από την είσοδο του LASER, στη γραμμή των 0 cm. Μετακινήστε το πλακίδιο δεξιά-αριστερά, με πολύ ελαφρές κινήσεις, ώστε το κέντρο της δέσμης του LASER να πέσει πάνω στο κέντρο μεταξύ των δύο σχισμών. Καθετοποιήστε το πλακίδιο στη δέσμη του LASER, ώστε η ανακλώμενη να επιστρέφει περίπου στην είσοδο του LASER.

Παρατηρήστε στην οθόνη παρατήρησης την εικόνα περίθλασης (θα πρέπει να είναι όπως αυτή στο Σχήμα 6.5 και όσο το δυνατόν πιο συμμετρική). Η ευθυγράμμιση του πλακιδίου είναι τόσο καλύτερη όσο πιο καθαρή είναι η εικόνα των κροσσών συμβολής. Αν χρειαστεί, κουνήστε ελαφρά και το LASER, ώστε να πετύχετε πιο καθαρή και συμμετρική εικόνα.

Μετρήστε την απόσταση Δy2,περ μεταξύ των κέντρων των δύο σκοτεινών κροσσών περίθλασης 2ης τάξης δεξιά και αριστερά της κεντρικής φωτεινής ζώνης (m = ±2). Στο Σχήμα 6.5, το Δy2,περ είναι η απόσταση μεταξύ των σκοτεινών ζωνών που σημειώνονται με τα βέλη

76

2 και –2 της διακεκομένης γραμμής περίθλασης. Σημειώστε τη μέτρηση στην αντίστοιχη στήλη του Πίνακα 6.3. Από την Εξίσωση 6.5 υπολογίστε το εύρος α των σχισμών. ΠΡΟΣΟΧΗ: Η Εξίσωση 6.5 δίνει την απόσταση ενός σκοτεινού κροσσού m-οστής τάξης από τον κεντρικό φωτεινό κροσσό, ενώ εσείς μετρήσατε την απόσταση μεταξύ δύο σκοτεινών κροσσών m-οστής τάξης στις δύο πλευρές του κεντρικού φωτεινού κροσσού. Άρα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε x 2 το αποτέλεσμα της Εξίσωσης 6.5.

Πάνω στην οθόνη, σημειώστε τους 9 φωτεινότερους κροσσούς συμβολής στο κέντρο της εικόνας περίθλασης. Σημειώστε τον κεντρικό φωτεινότερο κροσσό, τους 4 κροσσούς δεξιά του και τους 4 συμμετρικούς κροσσούς αριστερά του. Μετρήστε την απόσταση μεταξύ του δύο ακραίων κροσσών 4ης τάξης και σημειώστε την στη στήλη Δy4,συμβ (προτελευταία στήλη) του Πίνακα 6.3 σε mm. Από την Εξίσωση 6.3 υπολογίστε την απόσταση d μεταξύ των σχισμών. ΠΡΟΣΟΧΗ: Η Εξίσωση 6.3 δίνει την απόσταση ενός φωτεινού κροσσού m-οστής τάξης από τον κεντρικό φωτεινό κροσσό, ενώ εσείς μετρήσατε την απόσταση μεταξύ δύο κροσσών m-οστής τάξης στις δύο πλευρές του κεντρικού φωτεινού κροσσού. Άρα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε x 2 το αποτέλεσμα της Εξίσωσης 6.3.

Συνεχίστε με τις υπόλοιπες αποστάσεις x του Πίνακα 6.3. Για κάθε απόσταση x, συμπληρώστε τα Δy2,περ και Δy4,συμβ και κάνετε τους ζητούμενους υπολογισμούς.

Πίνακας 6.3 (Περίθλαση από Διπλή Σχισμή)

x (mm) R = D + x (mm)

Δy2,περ (mm) a (mm) a (mm) Δy4,συμβ

(mm) d (mm) d (mm)

1000

900

800

700

ΙΙ.4 Φράγματα περίθλασης Σε αυτό το μέρος της άσκησης, θα υπολογίσουμε τη σταθερά (αριθμός γραμμών/mm)

ενός φράγματος περίθλασης.

Τοποθετήστε στο στήριγμα το πλακίδιο με την ένδειξη “ΦΡΑΓΜΑ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗΣ 1”. Φέρτε το στήριγμα στο δεξί άκρο της ράβδου, μέχρι να πέσει πάνω στη γραμμή των 0 cm του κανόνα στο πλάι της ράβδου. Αυτή είναι η θέση x = 1000 του Πίνακα 6.4. Καθετοποιήστε το πλακίδιο στη δέσμη του LASER.

Σημειώστε, πάνω στην οθόνη τον κεντρικό φωτεινότερο κροσσό και τους δύο κροσσούς περίθλασης 2ης τάξης δεξιά και αριστερά του, όπως στο Σχήμα 6.6 (γ). (Προσοχή: στην οθόνη μπορεί να βλέπετε πολύ περισσότερους κροσσούς σε σχέση με το απλοποιημένο Σχήμα 6.6 (γ).

77

Μετρήστε την απόσταση Δy2 μεταξύ των δύο αυτών κροσσών συμβολής 2ης τάξης και καταγράψτε την στον Πίνακα 6.4. Συμπληρώστε τον πίνακα για τις υπόλοιπες τιμές της απόστασης x.

Από την Εξίσωση 6.3 υπολογίστε την παράμετρο d του φράγματος και από αυτή τον αριθμό γραμμών/mm του φράγματος (αριθμός γραμμών/mm = 1/d).

Πίνακας 6.4 (Φράγμα περίθλασης 1)

x (mm) R = D + x (mm) Δy2 (mm) d (mm) d (mm)

1000

900

800

700

ΙΙΙ Ερωτήσεις

1 Εξηγήστε, γιατί δεν παρατηρούμε κροσσούς συμβολής, αν, αντί του LASER, χρησιμοποιήσουμε μια συνηθισμένη λάμπα.

2 Με δύο σχισμές σε απόσταση 0.2 mm μεταξύ τους και την οθόνη σε απόσταση 1 m, ο 3ος κροσσός συμβολής βρίσκεται να είναι σε απόσταση 7.5 mm από τον κεντρικό κροσσό. Βρείτε το μήκος κύματος του φωτός που χρησιμοποιείται.

78

ΑΣΚΗΣΗ 7

Φωτοστοιχείο-Φωτοαντίσταση Σκοπός Να δοθούν τα βασικά μεγέθη και μονάδες της φωτομετρίας. Να μελετηθεί η απόκριση μιας φωτοαντίστασης Θειούχου Καδμίου (CdS) στην ένταση του προσπίπτοντος φωτός. Να μελετηθούν τα χαρακτηριστικά ενός φωτοβολταΐκού στοιχείου Πυριτίου (Si) και να εξεταστεί η χρήση του ως φωτόμετρο.

Απαιτούμενα Όργανα 1. Τροφοδοτικό τάσης A.C. 0 – 15 Volts.

2. Βολτόμετρο A.C. 0 – 15 Volts

3. Αμπερόμετρο 0 − 1 Α, 0 − 10 Α

4. Ψηφιακό πολύμετρο AC-DC

5. Φωτόμετρο

6. Λάμπα πυρακτώσεως 40W

7. Φωτοβολταϊκό στοιχείο αμόρφου Si

8. Φωτοαντίσταση (CdS)

79

Ι. Θεωρία Ι.1 Μεγέθη και Μονάδες του Φωτός

Φωτομετρία είναι ο κλάδος της οπτικής που ασχολείται με τη μέτρηση του φωτός που εκπέμπεται από μια φωτεινή πηγή ή προσπίπτει σε μια επιφάνεια. Με τον όρο ‘φως’ εννοούμε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με μήκη κύματος στην περιοχή 400 – 700nm που διεγείρει την αίσθηση της όρασης στο ανθρώπινο μάτι. Στην εισαγωγική αυτή παράγραφο, περιγράφονται εν συντομία τα βασικότερα μεγέθη και μονάδες που χρησιμοποιούνται στη φωτομετρία.

Φωτε ινή Ροή (Luminous Flux) είναι το ποσό της φωτεινής ενέργειας ανά μονάδα χρόνου που προσπίπτει σε μια επιφάνεια ή εκπέμπεται από μια φωτεινή πηγή.

Μονάδα φωτεινής ροής είναι το L u m e n (lm). Ένα l u m e n είναι η φωτεινή ροή που εκπέμπεται από το 1/60 ενός cm2 ενός ανοίγματος μιας πρότυπης πηγής σε μια διεύθυνση κάθετη στο άνοιγμα της πηγής. Παραδείγματα: Μια κοινή λάμπα πυρακτώσεως (νήματος Βολφραμίου) 40W εκπέμπει περίπου 12 lumen φωτεινής ροής ανά watt ισχύος. Ενώ, μια λάμπα φθορίου 40W δίνει περίπου 58 lumen / W.

Φωτ ι σμό ς (illumination) Ε σε ένα σημείο μιας επιφανείας είναι η φωτεινή ροή ΔF που πέφτει ανά μονάδα επιφανείας σε αυτό το σημείο

ΔΑΔFE = Εξίσωση 7.1

Μονάδα φωτισμού είναι το Lux (1x). 2mLumen1Lux1 =

Φωτοβολ ία (Luminous Intensity) Ι μιας φωτεινής πηγής ορίζουμε τη φωτεινή ροή που εκπέμπεται από την πηγή ανά μονάδα στερεάς γωνίας

ωΔΔFI = Εξίσωση 7.2

Μονάδα φωτοβολίας είναι το 1 lumen / sterad ή Candela ( cd ). Φανταστείτε μια σημειακή φωτεινή πηγή S και γύρω από αυτή, μια σφαιρική επιφάνεια ακτίνας R με κέντρο την πηγή (Σχήμα 7.1). Έστω μικρό τμήμα της σφαίρας εμβαδού ΔΑ. Το μέτρο της στερεάς γωνίας Δω

σε steradians ορίζεται σαν το πηλίκο 2RΔΑωΔ = . Εφ’ όσον το ολικό εμβαδόν της επιφάνειας

της σφαίρας είναι 4πR2, η ολική στερεά γωνία γύρω από το σημείο S είναι 4π steradians.

Σχήμα 7.1: Η στερεά γωνία Δω = ΔΑ /R2

Οι περισσότερες πηγές δεν εκπέμπουν την ίδια φωτεινή ισχύ σε όλες τις διευθύνσεις, έτσι, γενικά, η φωτοβολία μιας πηγής είναι διαφορετική σε διαφορετικές διευθύνσεις. Για

ΔΑ

RS

Δω

80

παράδειγμα, μια λάμπα πυρακτώσεως δεν μπορεί να εκπέμψει καθόλου φως προς τη διεύθυνση της βάσης της, άρα η φωτοβολία της σε αυτή τη διεύθυνση είναι μηδενική. Μια ιδανική σημειακή πηγή που εκπέμπει ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις ονομάζεται ομοιόμορφη σημειακή πηγή.

Ο Νόμος του Αντιστρόφου Τετραγώνου για τον Φωτισμό Έστω Σ σημείο μιας επιφανείας και S μια σημειακή πηγή που φωτοβολεί στην

κατεύθυνση της επιφανείας με ένταση Ι. Ας θεωρήσουμε ένα μικρό στοιχείο επιφάνειας ΔΑ στην περιοχή του σημείου Σ. Η στερεά γωνία που σχηματίζεται από το ΔΑ με κορυφή την πηγή S είναι,

2rΔΑωΔ =

και, εφ’ όσον από τον ορισμό της φωτοβολίας της πηγής είναι ωΔ

ΔFI = ,

Σχήμα 7.2: Ο φωτισμός του σημείου Σ είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το τετράγωνο της

απόστασής του από την πηγή, 2rIE =

η φωτεινή ροή μέσα στη στερεά γωνία Δω είναι 2rIIF ΔΑωΔΔ ⋅

=⋅= .

Όλη αυτή η ροή πέφτει πάνω στην επιφάνεια ΔΑ, και επομένως ο φωτισμός του ΔΑ είναι

2rIFE =

ΔΑΔ

= Εξίσωση 7.3

Επομένως, ο φωτισμός ενός σημείου μιας επιφάνειας από μια σημειακή πηγή είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το τετράγωνο της απόστασης του σημείου από την πηγή και ευθέως ανάλογος προς την ένταση της φωτοβολίας της πηγής. Η Εξίσωση 7.3 ονομάζεται Νόμος Αντιστρόφου Τετραγώνου του Φωτισμού.

S

ΣΔΑ

rΔω

81

Φωτοαντίσταση

Ένας ημιαγωγός, όπως δηλώνει το όνομα του, είναι ένα υλικό με ηλεκτρική αγωγιμότητα μεταξύ αυτής ενός μονωτή και ενός αγωγού. Τυπικά ημιαγώγιμα υλικά είναι το Γερμάνιο (Ge) και το Πυρίτιο (Si), αλλά και άλλα υλικά και συνδυασμός υλικών συμπεριφέρονται με παρόμοιο τρόπο.

Σε έναν καθαρό ημιαγωγό, οι ενέργειες των ηλεκτρονίων μπορούν να παρασταθούν με ένα διάγραμμα ενεργειακών ζωνών, όπως αυτό στο Σχήμα 7.3. Βρίσκεται ότι υπάρχει μια απαγορευμένη ενεργειακή περιοχή Eg της τάξης του ενός ηλεκτρονιοβόλτ (1 eV) μεταξύ της ζώνης σθένους (όπου τα ηλεκτρόνια είναι δέσμια των ατόμων στα οποία ανήκουν) και της ζώνης αγωγιμότητας (όπου τα ηλεκτρόνια είναι ελεύθερα να κινηθούν). Αυτή η ενέργεια Eg αντιστοιχεί στην ελάχιστη ενέργεια που είναι απαραίτητη για να σπάσει ένας δεσμός, το ηλεκτρόνιο να μεταβεί από τη ζώνη σθένους στη ζώνη αγωγιμότητας και να δημιουργηθεί ένα ζεύγος οπής/ηλεκτρονίου.

Σχήμα 7.3: Διάγραμμα ενεργειακών ζωνών ενός καθαρού ημιαγωγού.

Ας εξετάσουμε τώρα, τι συμβαίνει όταν ένας ημιαγωγός δεν είναι καθαρός, αλλά περιέχει προσμίξεις άλλων ατόμων. Πολύ μικρές ποσότητες προσμίξεων μπορούν να εισάγουν είτε επιπλέον οπές στη ζώνη σθένους (ημιαγωγός τύπου Ρ) είτε επιπλέον ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας (τύπου Ν). Για παράδειγμα, πρόσμιξη ενός ατόμου πεντασθενούς Φωσφόρου (Ρ) σε ένα κρύσταλλο Si εισάγει ένα επιπλέον ηλεκτρόνιο, ενώ πρόσμιξη τρισθενούς Γαλλίου (Ga) δημιουργεί έλλειψη ενός ηλεκτρονίου, δηλαδή μια οπή.

Οι προσμίξεις στο ενεργειακό διάγραμμα (Σχήμα 7.4) φαίνονται σαν ενεργειακές στάθμες ακριβώς κάτω από τη ζώνη αγωγιμότητας (στάθμες δοτών ηλεκτρονίων για τον τύπο Ν) ή ακριβώς πάνω από τη ζώνη σθένους (στάθμες δεκτών ηλεκτρονίων για τον τύπο Ρ). Σε θερμοκρασία δωματίου, η θερμική ενέργεια είναι αρκετή για να διασφαλίσει ότι τα περισσότερα από τα άτομα των προσμίξεων είναι ιονισμένα, δηλαδή, τα περισσότερα από τα ηλεκτρόνια των δοτών έχουν διεγερθεί και μεταβεί στη ζώνη αγωγιμότητας καθώς επίσης και ότι τα περισσότερα από τα άτομα των δεκτών έχουν δεχθεί ηλεκτρόνια από τη ζώνη σθένους και έχουν επομένως δημιουργήσει οπές. Αυτή η θερμική ενέργεια είναι επίσης επαρκής για να σπάσει μερικούς δεσμούς και να δημιουργήσει ζεύγη οπών/ηλεκτρονίων, όπως αυτά στο Σχήμα 7.3.

Ζώνη αγωγιμότητας

Ζώνη σθένους

Ενεργειακό χάσμα, Εg

−

+

82

Σχήμα 7.4: Με την πρόσπτωση φωτός ενέργειας hν προκαλούνται δύο ειδών διεγέρσεις στον ημιαγωγό (Ι) διεγέρσεις οπής/ηλεκτρονίου (ΙΙ) διεγέρσεις προσμίξεων

Έτσι, σε έναν κανονικό ημιαγωγό, ακόμη και αν καθόλου φως δεν πέφτει πάνω του,

ένα μικρό ρεύμα θα κυλάει αν εφαρμοστεί κάποια τάση (ο ημιαγωγός θα παρουσιάζει μεγάλη αλλά όχι άπειρη αντίσταση). Αυτό είναι γνωστό σαν ρεύμα σκότους (dark current) και μπορεί να αντιστοιχεί σε μια αντίσταση σκότους (dark resistance) αρκετά μεγαλύτερη από 100Ω.

Στους ημιαγωγούς, λοιπόν, η ηλεκτρική αγωγιμότητα συμβαίνει επειδή ελεύθερα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας και οπές στη ζώνη σθένους είναι διαθέσιμα να κινηθούν όταν εφαρμοστεί μια τάση στο υλικό.

Αν τώρα συμβεί, ένα τέτοιο υλικό να φωτιστεί από φως ενέργειας hν>Eg, ένας μεγάλος αριθμός ζευγών οπών/ηλεκτρονίων μπορεί να δημιουργηθεί καθώς ηλεκτρόνια, με την απορρόφηση των φωτονίων, έχουν αρκετή ενέργεια για να ΄πηδήξουν΄ το ενεργειακό χάσμα από τη ζώνη σθένους στη ζώνη αγωγιμότητας. Η πρόσπτωση φωτός κατάλληλης ενέργειας, επομένως, πολλαπλασιάζει δραματικά τη συγκέντρωση φορέων (οπών και ηλεκτρονίων) στο εσωτερικό του υλικού, αυξάνει τη ροή του ρεύματος που παράγεται από μια εφαρμοζόμενη τάση και μειώνει σημαντικά την ηλεκτρική αντίσταση του υλικού. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό σαν Φωτοαγωγιμότητα και μια τέτοια συσκευή ονομάζεται Φωτοαν τ ί σ ταση ή Φωτοαγωγός .

Σχήμα 7.5: Σχηματική παράσταση μιας φωτοαντίστασης Από την ανάλυση αυτής της παραγράφου, καταλαβαίνουμε ότι ο αριθμός των

φορέων και η τιμή της αντίστασης μιας φωτοαντίστασης πρέπει να σχετίζεται με τον αριθμό των φωτονίων ή την ένταση του προσπίπτοντος φωτός. Αυτό θα διερευνηθεί πειραματικά σε αυτήν την άσκηση.

Οι φωτοαντιστάσεις φτιάχνονται από Θειούχο Κάδμιο (Cadmium Sulphide) σε μορφή ταμπλέτας και σφραγίζονται σε προστατευτικό κάλυμμα από γυαλί ή πλαστικό (Σχήμα 7.5). Στην επιφάνεια της ταμπλέτας, εναποτίθενται ηλεκτρόδια συνήθως από χρυσό. Η επιλογή του χρυσού γίνεται ώστε να έχουμε χαμηλή αντίσταση του ηλεκτροδίου και

Ζώνη αγωγιμότητας

Ζώνη σθένους

Στάθμη δοτών

Στάθμη δεκτών+

−

+

−

Φωτόνιο ενέργειας hν

Διεγέρσεις οπής/ηλεκτρονίου

Διεγέρσεις προσμίξεων

Ηλεκτρόδια

Φωτοαγώγιμουλικό

Σύρματα σύνδεσης

Προστατευτικό κάλυμμα

83

ωμική επαφή με το φωτοαγώγιμο υλικό. Τα ηλεκτρόδια έχουν τη μορφή δύο χτενών με επάλληλα δόντια. Η σχεδίαση των ηλεκτροδίων επηρεάζει την αντίσταση και την κλίμακα τάσεων λειτουργίας της φωτοαντίστασης. Μια συσκευή με μικρό αριθμό ηλεκτροδίων, αραιά τοποθετημένων έχει μεγάλη αντίσταση και τάση λειτουργίας σε σχέση με μια συσκευή με μεγάλο αριθμό πυκνών ηλεκτροδίων.

Φωτοβολταϊκό στοιχείο Όταν ένας ημιαγωγός τύπου Ν και ένας ημιαγωγός τύπου Ρ ενωθούν χημικά μεταξύ

τους ώστε να σχηματίσουν μια επαφή, μερικές από τις οπές του τμήματος Ρ επανασυνδέονται με αντίστοιχα ηλεκτρόνια από το τμήμα Ν και σχηματίζουν ένα στρώμα γύρω από την επαφή στο οποίο δεν υπάρχουν φορείς φορτίου (depletion layer) (Σχήμα 7.6). Το Ρ τύπου υλικό χάνει οπές και επομένως γίνεται αρνητικά φορτισμένο, ενώ το Ν τύπου υλικό χάνει ηλεκτρόνια και φορτίζεται θετικά κοντά στην επαφή. Ένα ηλεκτρικό πεδίο Ε, συνεπώς, εμφανίζεται κατά μήκος της επαφής με διεύθυνση από το Ν προς το Ρ. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου εξαρτάται από το ενεργειακό χάσμα Eg του ημιαγωγού.

Σχήμα 7.6: Σχηματική παράσταση μιας επαφής Ρ-Ν.

Το δυναμικό κατά μήκος της επαφής μειώνεται σημαντικά από το Ν προς το Ρ. Αν το σύστημα εκτεθεί στο φως, τα φωτόνια διεγείρουν και δημιουργούν έναν μεγάλο αριθμό ζευγών οπών/ηλεκτρονίων και στα δύο τμήματα. Υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου Ε της επαφής, οι οπές ταξιδεύουν προς το τμήμα Ρ και τα ηλεκτρόνια προς το τμήμα Ν. Ο χωρισμός των φορέων παράγει μια τάση με ορθή πόλωση, αντίθετη προς τη διαφορά δυναμικού της επαφής. Αυτό τείνει να μειώσει το εσωτερικό δυναμικό που εμφανίζεται κατά μήκος του στρώματος επαφής. Όσοι περισσότεροι φορείς ελευθερώνονται από το φως τόσο μεγαλύτερη είναι η ορθή τάση που δημιουργείται στα άκρα Ρ−Ν. Η εμφάνιση της τάσης αυτής κατά μήκος μιας ακτινοβολούμενης επαφής Ρ−Ν ονομάζεται φω τοβ ο λ τ α ΐ κ ό φα ι ν ό μ ε ν ο .

Η ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ) ενός φωτοβολταΐκού στοιχείου λαμβάνεται στους ανοικτούς ακροδέκτες της επαφής ΡΝ (χωρίς να τους έχουμε συνδέσει με εξωτερικό κύκλωμα). Η διάταξη αυτή συνεπώς γίνεται μια ηλεκτρική γεννήτρια ικανή να οδηγήσει ένα ρεύμα σε ένα εξωτερικό κύκλωμα. Ο ακροδέκτης του Ρ τμήματος της επαφής γίνεται ο θετικός πόλος της γεννήτριας.

Ρ τύπος−−−−−

+++++

V

Στρώμα επαφής

Ν τύποςΕ+ −

84

Στην άσκηση αυτή, μελετάμε πειραματικά πως μεταβάλλεται η έξοδος μιας φωτοβολταΐκής κυψελίδας με την ένταση του φωτισμού της. Επίσης, εξετάζουμε πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν φωτόμετρο.

ΙΙ. Πειραματική Διαδικασία Πραγματοποιήστε τη συνδεσμολογία που φαίνεται στο Σχήμα 7.7. Συνδέστε τη

λάμπα σε σειρά με το αμπερόμετρο στην έξοδο του τροφοδοτικού τάσης 0−15 Volts α.c. Χρησιμοποιήστε τις εξόδους του αμπερομέτρου “±” και “10A”.

Συνδέστε τις εξόδους “±” και “15V” του βολτομέτρου παράλληλα με τη λάμπα, ώστε να μετράτε τη τάση στα άκρα της.

Σχήμα 7.7: Σχηματικό διάγραμμα κυκλώματος τροφοδοσίας της λάμπας πυρακτώσεως. Το φωτόμετρο μετράει το φωτισμό που παράγεται από τη λάμπα σε απόσταση r.

ΙΙ.1 Νόμος Του Αντιστρόφου Τετραγώνου Για Το Φωτισμό.

Στερεώστε το φωτόμετρο σε απόσταση 25cm από τη λάμπα. Φροντίστε η απόσταση αυτή να μετριέται όχι από την κορυφή της λάμπας άλλα από το νήμα Βολφραμίου που είναι η φωτεινή πηγή (βλ. Σχήμα 7.7). Καταγράψτε την απόσταση στην πρώτη γραμμή του Πίνακα 1.

Το φωτόμετρο στερεώνεται στο ίδιο ύψος με τη λάμπα, έτσι ώστε η κεφαλή να βρίσκεται αντιμέτωπη προς την λάμπα.

Αυξήστε την έξοδο του τροφοδοτικού έως ότου το βολτόμετρο δείξει 9Volts. Μετρήστε την ένταση του φωτός πιέζοντας και κρατώντας πατημένο για 3-4s το

κουμπί στο πλάι του φωτόμετρου προσέχοντας να μη μετακινήσετε το φωτόμετρο. Καταγράψτε την ένδειξη του φωτόμετρου στην πρώτη γραμμή του Πίνακα 7.1, στη στήλη «Φωτισμός Ε (lux)».

Συνεχίστε με τις υπόλοιπες αποστάσεις του Πίνακα 7.1. Μετακινείτε το φωτόμετρο πάνω στο τραπέζι σε ευθία γραμμή, φροντίζοντας η κεφαλή του να βρίσκεται πάντα αντιμέτωπη προς την κορυφή της λάμπας. Οι τιμές του Πίνακα 7.1 θα χρησιμοποιηθούν σαν αναφορά σε μετρήσεις παρακάτω.

r

Φωτόμετρο AV

Τροφοδοτικό Ο-15 Volts d.c.

85

Πίνακας 7.1 Νόμος Αντιστρόφου Τετραγώνου Για Τον Φωτισμό Απόσταση r (cm) 1/r2 (m-2) Φωτισμός Ε (lux)

20

25

30

35

40

45

50

55

60

75

ΙΙ.2 Βαθμονόμηση Φωτοστοιχείου Στη θέση του φωτόμετρου στο Σχήμα 7.7, τοποθετήστε το φωτοβολταϊκό στοιχείο

(φωτοστοιχείο, Σχήμα 7.8) και συνδέστε το με το ψηφιακό πολύμετρο (είσοδοι COM - mA).

Σχήμα 7.8: Φωτοβολταϊκό στοιχείο (φωτοστοιχείο)

Στον περιστροφικό διακόπτη του πολυμέτρου επιλέξτε Α K στην κλίμακα 20mA. Τοποθετήστε το φωτοστοιχείο σε απόσταση 25 cm από το νήμα της λάμπας. Αυξήστε

την έξοδο του τροφοδοτικού έως ότου το βολτόμετρο δείξει 10Volts. Μετρήστε με το ψηφιακό πολύμετρο την τιμή του ρεύματος εξόδου Iφ του φωτοστοιχείου και καταγράψτε την στην αντίστοιχη στήλη του Πίνακα 7.2. Συνεχίστε με τις υπόλοιπες τιμές του Πίνακα 7.2.

Τροφοδοτικό Ο-15 Volts d.c.

A

V

r

Φωτοβολταϊκό στοιχείο

mA

Ιφ

86

Πίνακας 7.2 – Βαθμονόμηση Φωτοστοιχείου

Απόσταση r (cm) Φωτορεύμα Ιφ (mA)

25

30

35

40

45

50

55

60

75

ΙΙ.3 Μεταβολή Της Εξόδου Του Φωτοβολταϊκού Στοιχείου Με Τη Φωτοβολία Της Πηγής Τοποθετήστε το φωτοβολταϊκό στοιχείο στα 30cm από τη λάμπα. Ρυθμίστε την τάση τροφοδοσίας της λάμπας στα 4 V. Μεταφέρετε το καλώδιο από

την έξοδο 10Α του αμπερομέτρου στην έξοδο 1Α. Μετρήστε το ρεύμα εξόδου του στοιχείου Iφ και σημειώστε το στην πρώτη γραμμή

του Πίνακα 7.3. Στην ίδια γραμμή σημειώστε επίσης και το ρεύμα της λάμπας Ιλ. Αυξήστε την τάση της λάμπας στα 6V και καταγράψτε πάλι στον Πίνακα 7.3 τα Iφ

και Ιλ. Συνεχίστε με τις υπόλοιπες τιμές του Πίνακα 7.3.

87

Πίνακας 7.3 Μεταβολή Εξόδου Φωτοστοιχείου Με Την Φωτοβολία Της Πηγής

Τάση λάμπας V (Volts) Φωτορεύμα Ιφ (mA)

Ρεύμα λάμπας Ι (Α)

Ισχύς λάμπας Ρ (W) P = V⋅I

4

5

6

7

8

9

ΙΙ.4 Φωτοαντίσταση Αποσυνδέστε το φωτοβολταϊκό στοιχείο και στη θέση του συνδέστε τη

φωτοαντίσταση. Συνδέστε τη φωτοαντίσταση με το ψηφιακό πολύμετρο (έξοδοι COM – V/Ω) και με

τον περιστροφικό διακόπτη επιλέξτε στα Ω την κλίμακα 20k. Τοποθετήστε τη φωτοαντίσταση 25cm από το νήμα της λάμπας. Τροφοδοτήστε τη

λάμπα με τάση 9 V. Περιμένετε τουλάχιστον 30s μέχρι να σταθεροποιηθεί η επίδραση του φωτός στο υλικό της φωτοαντίστασης και καταγράψτε στον Πίνακα 7.4 την τιμή Rφ της φωτοαντίστασης.

Αυξήστε την απόσταση της φωτοαντίστασης από τη λάμπα στα 30 cm και μετρήστε πάλι την τιμή της αντίστασης Rφ.

Συνεχίστε με τις υπόλοιπες αποστάσεις που φαίνονται στον Πίνακα 7.4.

Πίνακας 7.4 Φωτοαντίσταση Απόσταση r (cm) Αντίσταση Rφ (kΩ)

25 30 35 40 45 50 55 60 75

ΙII. Επεξεργασία Των Μετρήσεων – Εργασία

Γράψτε μια σύντομη εισαγωγή, όπου να περιγράφετε τον σκοπό της άσκησης, τη βασική φυσική σχέση που πάτε να αποδείξετε πειραματικά καθώς και την πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήσατε.

Γράψτε τον Πίνακα 7.1

88

Βάλτε τις τιμές του Πίνακα 7.1 σε ένα διάγραμμα Ε – r, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω Το διάγραμμα να γίνει σε χαρτί μιλιμετρέ.

Συμβουλευόμενοι την Εισαγωγή, κάνετε, με βάση τις τιμές του Πίνακα 7.1, τη λογαριθμική γραφική παράσταση lnE – lnr, όπως δείχνεται στο σχήμα παραπάνω. Φέρτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίστε την κλίση της Β με βάση τους τύπους στην Εισαγωγή. Παίρνοντας τους λογαρίθμους και των δύο μελών στην Εξίσωση 7.3, υπολογίστε τη θεωρητική τιμή της κλίσης Βθ και με αυτή, το σχετικό % σφάλμα (σ% = (Βθ-Β)/Β).

Από τις τιμές του Πίνακα 7.1, κάνετε, επίσης, σε χαρτί μιλιμετρέ, τη γραφική παράσταση Ε – 1/r2, όπως δείχνεται στο σχήμα δίπλα. Προσοχή: σε αυτή τη γραφική παράσταση, οι τιμές του 1/r2 πρέπει να είναι σε m-2, έτσι ώστε η φωτοβολία της λάμπας να βγει σε μονάδες candela (cd). Φέρτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίστε την κλίση της Β με βάση τις εξισώσεις στην Εισαγωγή. Από την κλίση της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων, βρείτε την ένταση της φωτοβολίας Ι που στέλνει η λάμπα προς την κατεύθυνση του φωτόμετρου.

Συμπληρώστε τον Πίνακα 7.2. Από τις τιμές των Πινάκων 7.2 και 7.1, σχεδιάστε σε χαρτί μιλιμετρέ τη γραφική παράσταση Ιφ – Ε σύμφωνα με το σχήμα παρακάτω.

Συμπληρώστε τον Πίνακα 7.3.

r (cm)

Ε (lux)

0 25 50 ln r

lnΕ

0 K

E (lux)

Ιφ (mA) Καμπύλη βαθμονόμησης φωτοβολταϊκού στοιχείου

E (lux)

1/r2 (m-2)

89

Από τις τιμές του Πίνακα 7.3, κάνετε σε χαρτί μιλιμετρέ τη γραφική παράσταση του φωτορεύματος Ιφ (mA) σαν συνάρτηση της ισχύος P (W) στον λαμπτήρα, όπως στο σχήμα παρακάτω.

Συμπληρώστε τον Πίνακα 7.4. Με τις τιμές των Πινάκων 7.4 και 7.1 κάνετε τη γραφική παράσταση της αντίστασης Rφ σαν συνάρτηση του φωτισμού Ε της φωτοαντίστασης.

ΙΙΙ. Ερωτήσεις

1. Οι ημιαγωγοί Si και Ge έχουν σε θερμοκρασία δωματίου ενεργειακά χάσματα Eg=1.14 και 0.67 eV, αντίστοιχα. Βρείτε σε κάθε περίπτωση το μέγιστο μήκος κύματος που πρέπει να έχει φως που πέφτει πάνω τους για να έχουμε φωτοαγωγιμότητα. Το ορατό φάσμα μπορεί να προκαλέσει φωτοαγωγιμότητα; (Yπόδειξη: το φωτόνιο ακτινοβολίας με

μήκος κύματος λ(nm)έχει ενέργεια)(

)(nm

1250eVEλ

= ).

2. Είναι δυνατόν, φως πολύ μικρής ενέργειας (hν<<Eg) μπορεί να προκαλέσει διέγερση οπών και ηλεκτρονίων, όπως κάνει το φως με ενέργεια hν>Eg ; (Υπόδειξη: συμβουλευτείτε το διάγραμμα διεγέρσεων στο Σχήμα 7.4) Εξηγήστε, γιατί αυτού του τύπου η φωτοαγωγιμότητα είναι σχεδόν αμελητέα σε σχέση με την φωτοαγωγιμότητα για φως μεγάλης ενέργειας hν>Eg.

3. Σημειώστε ότι στη στήλη των αποστάσεων του Πίνακα 7.1 περιλαμβάνεται η τιμή 50 cm που αντιστοιχεί στο διπλάσιο της αρχικής απόστασης. Σύμφωνα με την Εξίσωση 7.3, ποια πρέπει να είναι η τιμή του φωτισμού σε αυτήν την απόσταση σε σχέση με την τιμή του στα 25 cm; Συμφωνούν οι πειραματικές σας τιμές με τη θεωρία; Αν όχι, που οφείλεται η διαφορά;

Ε (lux)

Rφ (Ω)

0

P (W)

Ιφ (mA)

90

ΑΣΚΗΣΗ 8

Μηχανικό Ισοδύναμο της Θερμότητας Νόμος της Ψύξης των Σωμάτων

Σκοπός Να προσδιοριστεί πειραματικά η τιμή του μηχανικού ισοδύναμου της θερμότητας. Επίσης, να επιβεβαιωθεί πειραματικά ο νόμος της ψύξης των σωμάτων και να υπολογιστεί η σταθερά χρόνου της ψύξης.

Απαιτούμενα Όργανα 1. Τροφοδοτικό τάσης AC μεταβλητής εξόδου

2. Βολτόμετρο AC 0 – 15 V

3. Αμπερόμετρο AC 0 – 10 Α

4. Ψηφιακό πολύμετρο με δυνατότητα μέτρησης θερμοκρασίας

5. Θερμιδόμετρο με αναδευτήρα και ηλεκτρική αντίσταση θέρμανσης

6. Θερμοζεύγος 7. Ογκομετρικό δοχείο

8. Ηλεκτρονικό υπολογιστή και καλώδια σύνδεσης.

91

Ι. Απαραίτητη Θεωρία Ι.1 Μηχανικό Ισοδύναμο Της Θερμότητας

Είναι γνωστό ότι η θερμότητα αποτελεί μια ειδική μορφή ενέργειας που σχετίζεται στενά με τη μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματος. Η θερμότητα, μαζί με το έργο (ηλεκτρικό ή μηχανικό), αποτελούν δύο ισοδύναμους τρόπους με τους οποίους μεταφέρεται ενέργεια σε ένα σώμα με αποτέλεσμα την αύξηση της θερμοκρασίας του σώματος.

Η μονάδα της θερμότητας είναι η θερμίδα ή calorie (cal). Σαν calorie ορίζουμε το ποσό θερμότητας που απαιτείται για να ανεβάσει τη θερμοκρασία 1 gr απεσταγμένου νερού σε κανονική πίεση από τους 14,5 στους 15,5°C.

Σαν μονάδα ενέργειας, το calorie προφανώς σχετίζεται στενά με το joule, την τυπική μονάδα ενέργειας στο διεθνές σύστημα μονάδων (SI). Αν Q είναι ποσό θερμότητας ενός calorie, το αντίστοιχο ποσό ενέργειας σε joule είναι W, όπου

W = J⋅Q, Εξίσωση 8.1

Ο συντελεστής J ονομάζεται μηχανικό ισοδύναμο της θερμότητας και εκφράζει πόσα joules έχουν το ίδιο ενεργειακό περιεχόμενο με ένα calorie.

Για να υπολογίσουμε πειραματικά τη τιμή του μηχανικού ισοδυνάμου της θερμότητας J, χρησιμοποιούμε το θερμιδόμετρο στο Σχήμα 8.1. Διοχετεύουμε στην αντίσταση R ηλεκτρικό ρεύμα έντασης I για χρόνο t. Το ηλεκτρικό έργο που παράγεται από την πηγή στην αντίσταση είναι

W = V⋅I⋅t Εξίσωση 8.2

Το ηλεκτρικό έργο μετατρέπεται σε θερμότητα μέσα στην αντίσταση. Η θερμότητα αυτή μεταφέρεται στο θερμιδόμετρο και προκαλεί αύξηση της θερμοκρασίας κατά Δθ. Το ποσό θερμότητας Q που μεταφέρεται στο θερμιδόμετρο είναι ανάλογο της θερμοκρασιακής αύξησης Δθ

Q = C⋅Δθ, Εξίσωση 8.3

όπου, C είναι η θερμοχωρητικότητα του θερμιδόμετρου σε cal/°C.

Το θερμιδόμετρο είναι ένα χάλκινο δοχείο μάζας mX που περιέχει mN γραμμάρια νερού. Συνεπώς, η θερμοχωρητικότητά του είναι το άθροισμα της θερμοχωρητικότητας CΧ του χάλκινου δοχείου και της θερμοχωρητικότητας CΝ του νερού, C = CΧ + CΝ.

Η θερμοχωρητικότητα C ενός σώματος, όμως, είναι ανάλογη της μάζας του σώματος

C = m⋅c, όπου, c η ειδική θερμοχωρητικότητα ή ειδική θερμότητα του υλικού από το οποίο είναι φτιαγμένο το σώμα.

Συνεπώς, η θερμοχωρητικότητα του θερμιδόμετρου είναι

C = mX⋅cX + mN⋅cN, όπου, cΧ και cN η ειδική θερμότητα του χαλκού και του νερού, αντίστοιχα.

Χρησιμοποιώντας την πυκνότητα ρΝ του νερού, η θερμοχωρητικότητα γράφεται

92

C = mΧ⋅cΧ + ρN ⋅VN ⋅cΝ, Εξίσωση 8.4.

όπου, VN είναι ο όγκος του νερού.

A V

Πηγή τάσηςΑμπερόμετρο

Χάλκινοθερμιδόμετρο

Μονωτικόπερίβλημα

Αναδευτήρας

Θερμαντικήαντίσταση

Θερμοζεύγος

ΗλεκτρονικόςΥπολογιστής

ΨηφιακόΠολύμετρο

VΒολτόμετρο

A V

Πηγή τάσηςΑμπερόμετρο

Χάλκινοθερμιδόμετρο

Μονωτικόπερίβλημα

Αναδευτήρας

Θερμαντικήαντίσταση

Θερμοζεύγος

ΗλεκτρονικόςΥπολογιστής

ΨηφιακόΠολύμετρο

VΒολτόμετρο

Σχήμα 8.1: Σχηματική παράσταση θερμιδόμετρου για τη μέτρηση του μηχανικού ισοδύναμου της θερμότητας και τη μελέτη του νόμου της ψύξης.

Αντικαθιστώντας την Εξίσωση 8.4 στην Εξίσωση 8.3, βρίσκουμε ότι το ποσό της

θερμότητας που απορρόφησε το θερμιδόμετρο από την ηλεκτρική αντίσταση είναι

Q = (mΧ⋅cΧ + ρN ⋅VN ⋅cΝ)⋅Δθ , Εξίσωση 8.5

Αντικαθιστώντας τις Εξίσωση 8.2 και Εξίσωση 8.5 στηn Εξίσωση 8.1, βρίσκουμε ότι το μηχανικό ισοδύναμο της θερμότητας δίνεται από τη σχέση

( ) θΔρ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=NNNXX cVcm

tIVJ Εξίσωση 8.6

Έχει βρεθεί πειραματικά ότι ο συντελεστής J έχει την τιμή 4,18 Joules/cal.

93

Ι.2 Νόμος Του Newton Για Την Ψύξη Των Σωμάτων Από την καθημερινή μας εμπειρία γνωρίζουμε ότι τα θερμά ή ψυχρά σώματα ψύχονται ή

θερμαίνονται, αντίστοιχα, παίρνοντας τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος. Η ψύξη ή θέρμανση ενός σώματος γίνεται με ανταλλαγή θερμότητας μεταξύ σώματος και περιβάλλοντος η οποία επιτυγχάνεται μέσω των τριών μηχανισμών διάδοσης της θερμότητας, δηλαδή, με αγωγή, με μεταφορά και με ακτινοβολία.

Έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι κατά την ψύξη ενός σώματος ισχύει ο Νόμος του Newton σύμφωνα με τον οποίο για μικρές διαφορές θερμοκρασίας, ο ρυθμός ψύξης dθ/dt ενός σώματος είναι ανάλογος της διαφοράς της θερμοκρασίας θ του σώματος από τη θερμοκρασία θΠ του περιβάλλοντος :

( )Πθθθ−⋅−= k

dtd Εξίσωση 8.7

Η τιμή της σταθεράς k εξαρτάται από τη φύση του σώματος και του περιβάλλοντος μέσα στο οποίο ψύχεται. Αποτελεί ένα μέτρο του ρυθμού με τον οποίο ψύχεται το σώμα. Μεγάλη τιμή της σταθεράς k σημαίνει γρήγορη ψύξη, μικρή τιμή σημαίνει αργή ψύξη του σώματος.

Λύνοντας την Εξίσωση 8.7, βρίσκουμε ότι η θερμοκρασία θ του σώματος πέφτει εκθετικά με τον χρόνο,

( ) tke ⋅−⋅−+= ΠοΠ θθθθ , Εξίσωση 8.8

όπου, θο η αρχική θερμοκρασία του σώματος και θΠ η θερμοκρασία περιβάλλοντος στην οποία καταλήγει το σώμα.

Σχήμα 8.2: Το σώμα με σταθερά ψύξης k2=4⋅k1 ψύχεται τέσσερις φορές πιο γρήγορα από το σώμα με k1 γι’ αυτό η καμπύλη της θερμοκρασίας του πέφτει πολύ πιο απότομα.

Θέτοντας Δθ = θ – θΠ, η Εξίσωση 8.8 γράφεται

( ) tke ⋅−⋅−= Πο θθθΔ Εξίσωση 8.9

t

θ

0

k1

k2

k2 = 4⋅k1θο

θ

94

Παίρνοντας τους λογαρίθμους των δύο μελών στην Εξίσωση 8.9, βρίσκουμε

( ) ( ) tklnln ⋅−−= Πο θθθΔ Εξίσωση 8.10

δηλαδή, η γραφική παράσταση ln(Δθ) – t είναι ευθεία γραμμή με κλίση –k (ο συντελεστής του t).

ΙΙ. Πειραματική Διαδικασία Πραγματοποιήστε τη συνδεσμολογία του κυκλώματος του θερμιδόμετρου, όπως στο

Σχήμα 8.1. Στην πηγή τάσης επιλέγουμε τη θέση 8 V. Στο αμπερόμετρο επιλέγουμε την έξοδο 10Α. Στο βολτόμετρο επιλέγουμε την έξοδο 15V.

Με τη βοήθεια του ογκομετρικού δοχείου, γεμίζουμε το θερμιδόμετρο με απεσταγμένο νερό όγκου V = 180 cm3. Τοποθετούμε προσεκτικά το κάλυμμα του θερμιδομέτρου ώστε ο αναδευτήρας να περιβάλλει τη θερμαντική αντίσταση.

Προσοχή: συνδέουμε μόνο τον ένα από τους δύο ακροδέκτες του ρεύματος στο θερμοδόμετρο. Τον άλλον αφήνουμε εκτός ώστε να μη περνάει ρεύμα από την αντίσταση.

Εισάγουμε το θερμοζεύγος από το πώμα του θερμιδομέτρου. Είναι προτιμότερο να τοποθετούμε το θερμοζεύγος υπό κλίση και όχι κατακόρυφα ώστε να αποφύγουμε επαφή του με τη θερμαντική αντίσταση (ο αισθητήρας θερμοκρασίας βρίσκεται στην άκρη του θερμοζεύγους).

ΙΙ.1 Υπολογισμός Του Μηχανικού Ισοδυνάμου Της Θερμότητας Για τον υπολογισμό του μηχανικού ισοδύναμου της θερμότητας ακολουθούμε τα

παρακάτω βήματα:

1. Ανοίγουμε τον (κόκκινο) διακόπτη “ON/OFF” του ψηφιακού πολυμέτρου και φέρουμε τον περιστροφικό διακόπτη στη θέση “TEMP” (μετράει θερμοκρασία). Στην κύρια ένδειξη της οθόνης του πολυμέτρου εμφανίζεται η θερμοκρασία σε °C.

2. Στην οθόνη του υπολογιστή επιλέγουμε το εικονίδιο “Μέτρηση θερμοκρασίας” (με διπλό κλικ πάνω στο εικονίδιο ενεργοποιείται το πρόγραμμα μέτρησης της θερμοκρασίας METEX®).

3. Κάνουμε κλικ πάνω στο διακόπτη “Power”. Στην οθόνη του υπολογιστή εμφανίζεται η θερμοκρασία.

4. Για να καταγράψουμε τη θερμοκρασία σαν συνάρτηση του χρόνου, κάνουμε κλικ στο διακόπτη “scope” αριστερά. Εμφανίζεται το μενού “ScopeView Control Panel”.

5. Στο μενού “ScopeView Control Panel” κάνουμε τις ακόλουθες ρυθμίσεις :

6. Στη θέση “Vertical” κάνουμε κλικ και απενεργοποιούμε το “Auto Scale On”.

7. Στη θέση “Offset” γράφουμε 15 (ο κατακόρυφος άξονας της θερμοκρασίας θα αρχίζει από τους 15°C).

8. Στη θέση “Units/div” βάζουμε την τιμή 7 (στον κατακόρυφο άξονα της θερμοκρασίας θα αντιστοιχούν 7°C ανά υποδιαίρεση).

95

9. Στη θέση “Time” και στο κουτάκι “Sample Every” βάζουμε 5 (το πρόγραμμα θα παίρνει μια μέτρηση θερμοκρασίας κάθε 5 s).

10. Στη θέση “Sweep Mode” και στο κουτάκι “Sweep Magnify” επιλέγουμε “Expand × 6” (στον οριζόντιο άξονα του χρόνου αντιστοιχούν 25s ανά υποδιαίρεση, 25s/div).

11. Στη θέση “Trigger” κάνουμε κλίκ στο κουτάκι “Trigger On” και στη συνέχεια επιλέγουμε “Rising Edge” και στο κουτάκι “Trigger Value” δίνουμε την τιμή 25 (με τη ρύθμιση αυτή το πρόγραμμα θα αρχίσει να καταγράφει μόλις η θερμοκρασία ξεπεράσει τους 25°C).

12. Προκειμένου να αποθηκευτούν τα αποτελέσματα της μέτρησης της θερμοκρασίας, κάνουμε κλικ στο κουμπί “Record”. Ανοίγει το μενού “Save File”, όπου στο κουτάκι “File Name” (Ονομα Αρχείου) δίνουμε το όνομα με το οποίο θα αποθηκεύσει το αρχείο με τη μέτρηση. Σαν όνομα αρχείου δίνουμε το αρχικό γράμμα του ονόματος και του επωνύμου των δύο σπουδαστών τελειώνοντας με το ψηφίο 1, δηλαδή «xxxx1.txt» . Αφού συμπληρώσουμε το όνομα αρχείου, πατάμε «OK».

Πατώντας το κουμπάκι “Scope”, εμφανίζεται η οθόνη μέτρησης “ScopeView Output” και για να αρχίσει η καταγραφή της θερμοκρασίας πατάμε το “Run”. Τώρα το πρόγραμμα είναι έτοιμο να μετρήσει τη θερμοκρασία στο θερμιδόμετρο μόλις αυτή ξεπεράσει τους 25°C.

Για να αρχίσει η παροχή θερμότητας στο θερμιδόμετρο, διοχετεύουμε ηλεκτρικό ρεύμα στην αντίσταση συνδέοντας και τον δεύτερο ακροδέκτη του θερμιδόμετρου.

Προσοχή: για όση ώρα διοχετεύουμε ρεύμα στην αντίσταση, είναι απαραίτητη η σύγχρονη ανάδευση. Αυτό έχει σαν σκοπό να προφυλάξει την αντίσταση από υπερθέρμανση και να εξασφαλίσει ομοιόμορφη θερμοκρασία στο νερό.

Η μεταβολή της θερμοκρασίας με το χρόνο αρχίζει να καταγράφεται μόλις η θερμοκρασία ξεπεράσει τους 25°C.

Σημειώνουμε την τιμή της τάσης V από το βολτόμετρο και της έντασης του ρεύματος I από το αμπερόμετρο.

V = [Volts] I = [Ampere]

Μόλις η θερμοκρασία φτάσει τους 45°C, πατάμε το κουμπί “Stop” (σταματά η καταγραφή της θερμοκρασίας από το πρόγραμμα) και στη συνέχεια “Close”.

Διακόπτουμε αμέσως την παροχή ηλεκτρικού ρεύματος στο θερμιδόμετρο.

Στον υπολογιστή και στη διεύθυνση C:\ METEX βρίσκουμε το αρχείο xxxx1.txt με τη μέτρηση που μόλις πήραμε. Ανοίγουμε το αρχείο και εκτυπώνουμε τον πίνακα τιμών θερμοκρασίας-χρόνου.

Κρατάμε τα φύλλα της εκτύπωσης για την επεξεργασία των τιμών της θερμοκρασίας.

ΙΙ.2 Μελέτη Του Νόμου Του Newton Για Την Ψύξη Χωρίς να ανοίξουμε το θερμιδόμετρο ή να αλλάξουμε το νερό, διοχετεύουμε

ηλεκτρικό ρεύμα στο κύκλωμα, με σύγχρονη ανάδευση, έως ότου η θερμοκρασία του νερού φθάσει περίπου τους 65°C.

96

Διακόπτουμε αμέσως την παροχή ηλεκτρικού ρεύματος στο θερμιδόμετρο

Για να καταγράψουμε τη θερμοκρασία, επαναλαμβάνουμε τα παρακάτω βήματα.

1. Κάνουμε κλικ στο διακόπτη “scope” αριστερά. Εμφανίζεται το μενού “ScopeView Control Panel”.

2. Στο μενού “ScopeView Control Panel” κάνουμε τις ακόλουθες ρυθμίσεις :

3. Στη θέση “Vertical” κάνουμε κλικ και απενεργοποιούμε το “Auto Scale On”.

4. Στη θέση “Offset” γράφουμε 15 (ο κατακόρυφος άξονας της θερμοκρασίας θα αρχίζει από τους 15°C).

5. Στη θέση “Units/div” βάζουμε την τιμή 7 (στον κατακόρυφο άξονα της θερμοκρασίας θα αντιστοιχούν 7°C ανά υποδιαίρεση).

6. Στη θέση “Time” και στο κουτάκι “Sample Every” βάζουμε 2 (το πρόγραμμα θα παίρνει μια μέτρηση θερμοκρασίας κάθε 3 s).

7. Στη θέση “Sweep Mode” και στο κουτάκι “Sweep Magnify” επιλέγουμε “Expand ×2” (στον οριζόντιο άξονα του χρόνου αντιστοιχούν 2sec ανά υποδιαίρεση, 30s/div).

8. Στη θέση “Trigger” κάνουμε κλίκ στο κουτάκι “Trigger On” και στη συνέχεια επιλέγουμε “Falling Edge” και στο κουτάκι “Trigger Value” δίνουμε την τιμή 60 (με τη ρύθμιση αυτή το πρόγραμμα θα αρχίσει να καταγράφει μόλις η θερμοκρασία πέσει κάτω από τους ξεπεράσει τους 60°C).

9. Κάνουμε κλίκ στο κουμπί “Record” για να αποθηκεύσουμε τη μέτρηση. Σαν “File Name” (Ονομα Αρχείου) δίνουμε xxxx2.txt . Πατάμε “OK”.

10. Πατάμε το κουμπάκι “Scope”, εμφανίζεται η οθόνη μέτρησης “ScopeView Output” και πατάμε “Run” για να αρχίσει η καταγραφή της θερμοκρασίας. Τώρα το πρόγραμμα είναι έτοιμο να μετρήσει τη θερμοκρασία μόλις πέσει κάτω από τους 60°C.

11. Προκειμένου να αποθηκευτούν τα αποτελέσματα της μέτρησης της θερμοκρασίας, κάνουμε κλικ στο κουμπί “Record”. Ανοίγει το μενού “Save File”, όπου στο κουτάκι “File Name” (Ονομα Αρχείου) δίνουμε το όνομα με το οποίο θα αποθηκεύσει το αρχείο με τη μέτρηση. Σαν όνομα αρχείου δίνουμε το αρχικό γράμμα του ονόματος και του επωνύμου των δύο σπουδαστών τελειώνοντας με το ψηφίο 2, δηλαδή «xxxx2.txt» . Αφού συμπληρώσουμε το όνομα αρχείου, πατάμε «OK».

Για να αρχίσει η διαδικασία της ψύξης, απομακρύνουμε το θερμοζεύγος από το θερμιδόμετρο και το κρατάμε στον αέρα. Παρατηρούμε την εκθετική καμπύλη της ψύξης του θερμοζεύγους στην οθόνη του υπολογιστή.

Μόλις ολοκληρωθεί η μέτρηση στην οθόνη του υπολογιστή, πατάμε το κουμπί “Stop” και στη συνέχεια “Close”.

Όπως και νωρίτερα, στο φάκελλο C:\ METEX ανοίγουμε το αρχείο xxxx2.txt και εκτυπώνουμε τον πίνακα τιμών θερμοκρασίας-χρόνου.

Κρατάμε τα φύλλα της εκτύπωσης για την επεξεργασία των τιμών της θερμοκρασίας.

97

Προσοχή: Πριν τελειώσετε με την άσκηση, βγάλτε και ζυγίστε τη μάζα του χάλκινου δοχείου του θερμιδόμετρου. Καταγράψτε την τιμή παρακάτω.

mx= gr

ΙΙΙ Eπεξεργασία Των Μετρήσεων – Εργασία Γράψτε μια σύντομη εισαγωγή, όπου να περιγράφετε τον σκοπό της άσκησης, την πειραματική

διάταξη του θερμιδόμετρου και τις βασικές σχέσεις που χρησιμοποιείτε.

ΙΙΙ.1 Μηχανικό Ισοδύναμο Της Θερμότητας Από το πρώτο φύλλο μετρήσεων που πήρατε κατά τη θέρμανση του θερμιδομέτρου

(αρχείο xxxx1.txt), συμπληρώστε τον Πίνακα 8.1. Σημειώστε την αρχική θερμοκρασία θαρχ για t = 0 και τη θερμοκρασία κάθε 30 s μέχρι να τα 5 πρώτα λεπτά (300 s).

Πίνακας 8.1

t (sec) θ (° C )

0 θαρχ

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300 θτελ

Με βάση τις τιμές του Πίνακα 8.1, κάνετε τη γραφική παράσταση της θερμοκρασίας του θερμιδόμετρου με το χρόνο σε χαρτί μιλιμετρέ, με βάση το πρότυπο του σχήματος που φαίνεται δίπλα.

Χαράξτε την ευθεία της θέρμανσης που περνάει από τα πειραματικά σημεία.

Από την Εξίσωση 8.6, τις τιμές του Πίνακα 8.1 και τις τιμές των V και I, υπολογίστε την πειραματική τιμή του μηχανικού ισοδυνάμου της θερμότητας Jπειρ. Πάρτε Δθ = θτελ - θαρχ.

t (sec)

θ (°C) Θέρμανση V= ,I=

θαρχ

θτελ

0 100 200 300

98

Υπολογίστε το σχετικό % σφάλμα ε % της πειραματικής τιμής Jπειρ, που βρήκατε

παραπάνω, από τη θεωρητική τιμή Jθεωρ = 4.18 joules/cal. ( 100% ×−

=θεωρ

θεωρπειρεJ

JJ)

Δίνονται: Ειδική θερμότητα χαλκού cX = 0.0924 cal⋅gr-1⋅(° C)-1, ειδική θερμότητα νερού cΝ ≈1 cal⋅gr-1⋅(° C)-1 και πυκνότητα νερού ρΝ ≈1 gr/cm3.

ΙΙΙ.2 Νόμος του Newton Για Την Ψύξη Από τα φύλλα εκτύπωσης που κρατήσατε για την ψύξη του θερμοζεύγους (αρχείο

xxxx2.txt), συμπληρώστε τον Πίνακα 8.2.

θο είναι η αρχική θερμοκρασία για t = 0. Θερμοκρασία περιβάλλοντος θΠ είναι πρακτικά η σταθερή θερμοκρασία στην οποία καταλήγει το θερμοζεύγος για t = 480 s.

Πίνακας 8.2

t (s) θ (° C ) Δθ = θ -θΠ ln(Δθ)

0 θο=

2

4

6

10

14

20

26

36

50

80

100

140

190

250

310

380

410

430

480 θΠ=

99

Με τις τιμές του Πίνακα 8.2, σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις θ - t και ln(Δθ) - t, όπως φαίνονται στα σχήματα πιο κάτω.

Παρατηρήστε αν η καμπύλη θ - t έχει την εκθετική μορφή όπως στο Σχήμα 8.2.

Στη γραφική παράσταση ln(Δθ) – t, παρατηρήστε ότι τα πρώτα σημεία είναι σχεδόν σε ευθεία, ενώ αποκλίνουν από την ευθεία για μεγάλους χρόνους καθώς το σώμα πλησιάζει προς τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος θΠ.

Χαράξτε μια ευθεία που να περνάει από τα πρώτα πέντε σημεία του διαγράμματος ln(Δθ) – t, αγνοώντας τα υπόλοιπα, και υπολογίστε την κλίση αυτής.

Από την κλίση της ευθείας αυτής, βρείτε τη σταθερά ψύξης k του σώματος. (Υπόδειξη: Κοιτάξτε την Εξίσωση 8.9.)

IV. Ερωτήσεις

1. Γιατί χρησιμοποιούμε εναλλασσόμενο ρεύμα στο θερμιδόμετρο;

2. Αν τη θερμότητα μετράμε σε cal, τη θερμοκρασία σε ° C και τη μάζα σε gr, ποια είναι η μονάδα μέτρησης της ειδικής θερμότητας;

3. Ποιος ή ποιοι μηχανισμοί ισχύουν κυρίως κατά την ψύξη του σώματος σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) ένα θερμό σώμα που αφήνουμε πάνω σε μια παγωμένη μεταλλική επιφάνεια, β) ένα θερμό σώμα που βυθίζουμε σε παγωμένο νερό, γ) ένα βρεγμένο σώμα που στεγνώνει και δ) η θερμή επιφάνεια των ηλιακών κυψελίδων ενός δορυφόρου όταν πάψει να τις φωτίζει ο ήλιος.

4. Από την Εξίσωση 8.7, δείξτε ότι η σταθερά k έχει διαστάσεις αντιστρόφου χρόνου. Οι τιμές της δίνονται σε s-1.

5. Ποιο από τα δύο σώματα πιστεύετε ότι έχει μεγαλύτερη τιμή της σταθεράς k, ένα κομμάτι χαλκός ή ένα κομμάτι ξύλο;

6. Ποια είναι κατά τη γνώμη σας τα σημαντικότερα σφάλματα που υπεισέρχονται στον πειραματικό προσδιορισμό του μηχανικού ισοδυνάμου της θερμότητας ;

7. Το γεγονός ότι η γραφική παράσταση ln(Δθ) – t που βρήκατε δεν είναι ευθεία γραμμή παρά μόνο στην αρχή της οφείλεται σε λάθος κατά το πείραμά σας ή είναι η φυσική πραγματικότητα; H “σταθερά” k μεταβάλλεται με το χρόνο;

t (sec)

θ (°C) Ψύξη

θΠ

θο

0 150 300 450 600 t (sec)

lnΔθ Ψύξη

0 150 300 450 600

100

ΑΣΚΗΣΗ 9

Μέτρηση της Αντίστασης του αέρα Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η πειραματική μελέτη της αντίστασης που δέχεται ένα σώμα κατά την κίνησή του μέσα στον αέρα. Συγκεκριμένα, θα μελετηθεί πειραματικά πως εξαρτάται η αντίσταση του αέρα από

1. την μετωπική επιφάνεια του σώματος, 2. το σχήμα του σώματος, και 3. την ταχύτητα του αέρα.

Όσον αφορά το (2), την εξάρτηση δηλαδή της αντίστασης του αέρα από το σχήμα του σώματος, όπως αυτή εκφράζεται από το συντελεστή αντίστασης ή συντελεστή οπισθέλκουσας Cω, θα πρoσδιοριστεί η τιμή του για αντικείμενα διαφόρων σχημάτων. Απαιτούμενα Όργανα 1. Φυσητήρας 2. Ροοστάτης 3. σωλήνας Pitot 4. διαστημόμετρο 5. τροχαλία ακριβείας 6. δυναμόμετρο, και 7. σώματα διαφόρων σχημάτων

101

Ι. Θεωρία Ι.1 Ο νόμος της αντίστασης του αέρα

Όταν ένα σώμα κινείται μέσα στον αέρα, ασκείται πάνω του μία δύναμη αντίστασης. Για μικρές σχετικά ταχύτητες, αποδεικνύεται πειραματικά ότι η αντίσταση FR που συναντάει ένα σώμα κατά την κίνησή του στον αέρα είναι ανάλογη της μετωπικής επιφάνειας fp του σώματος καθώς και της ταχύτητας ροής υ του αέρα. Ισχύει:

FR = Cω ⋅fp ⋅ρυ2/2 Εξίσωση 9.1 όπου, ρ η πυκνότητα του αέρα (σε gr/cm3) και Cω ένας συντελεστής που εξαρτάται από το σχήμα του σώματος και ιδιαίτερα από το πίσω μέρος του και ονομάζεται σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς α ν τ ί σ τ α σ η ς ή σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς ο π ι σ θ έ λ κ ο υ σ α ς του σώματος. Ο συντελεστής αντίστασης Cω είναι αδιάστατο μέγεθος. Η μετωπική επιφάνεια ορίζεται ως η προβολή ενός σώματος σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση της ροής του αέρα. Π.χ. αν το σώμα είναι σφαιρικού σχήματος, η μετωπική του επιφάνεια θα είναι ένας κύκλος.

Η αντίσταση του αέρα FR είναι δύναμη και μετριέται σε N (Newton). Στην άσκηση αυτή θα χρησιμοποιήσουμε την υποδιαίρεση του Ν, το mΝ (1mN = 10-3 N). Ο όρος ρυ2/2 στην Εξίσωση 9.1 έχει διαστάσεις πίεσης και ονομάζεται δ υ ν α μ ι κ ή π ί ε σ η του αέρα (συμβολίζεται με q). Η δυναμική πίεση ενός αερίου οφείλεται στην κίνηση του αερίου. Η διαφορά της δυναμικής πίεσης μεταξύ δύο σημείων σχετίζεται με τη διαφορά της ταχύτητας ροής του αερίου στα δύο σημεία. Ο τρόπος μέτρησης της δυναμικής πίεσης q περιγράφονται στην επόμενη παράγραφο. Χρησιμοποιώντας τη δυναμική πίεση q του αέρα, ο νόμος της αντίστασης γράφεται

qfCF pR ⋅⋅= ω Εξίσωση 9.2

Η πίεση q μετρίεται σε mbar.

Για να κατανοήσουμε τη φυσική σημασία του συντελεστή αντίστασης Cω , ας θεωρήσουμε τα σώματα στο Σχήμα 9.1(α) και (β) τα οποία κινούνται με την ίδια (μικρή) ταχύτητα μέσα στον αέρα (ή αυτά είναι ακίνητα και κινείται ο αέρας). Στην πρώτη περίπτωση (Σχήμα 9.1(α)), παρατηρούμε ότι το ομαλό σχήμα των γραμμών ροής του αέρα αποκαθίσταται αρκετά μακριά από το σώμα με αποτέλεσμα να δημιουργείται ένας εκτεταμένος χώρος κενού στο πίσω μέρος του σώματος (περιοχή Α). Η ύπαρξη του κενού έχει σαν αποτέλεσμα τη ανάπτυξη υποπίεσης στο πίσω μέρος του σώματος και τη δημιουργία ισχυρής οπισθέλκουσας δύναμης F που αντιτίθεται στην κίνηση του σώματος.

Αντιθέτως, στην περίπτωση του σώματος (β) με το ιχθυοειδές σχήμα, οι γραμμές ροής κλείνουν ομαλά πίσω από το σώμα με αποτέλεσμα η οπισθέλκουσα δύναμη να είναι πολύ μικρή, πρακτικά μηδενική. Γίνεται κατανοητό, επομένως, ότι το ιχθυοειδές σχήμα παρουσιάζει εξαιρετικά μικρές τιμές του συντελεστή αντίστασης Cω γι’αυτό χρησιμοποιείται στις περισσότερες εφαρμογές αεροδυναμικής, όπως π.χ. στα πτερύγια και τις ατράκτους των αεροπλάνων.

102

Σχήμα 9.1: Ροή του αέρα σε σώματα με διαφορετική μετωπική επιφάνεια

Ι.2 Μέτρηση της δυναμικής πίεσης του αέρα. Σωλήνας Pitot. Η λειτουργία του σωλήνα Pitot βασίζεται στην ε ξ ί σ ω σ η τ ο υ B e r n o u l l i η οποία

περιγράφει την κατανομή της πίεσης σε ένα ασυμπίεστο ρευστό με ομαλή ροή. Σύμφωνα με την εξίσωση του του Bernoulli

p + ρgh + ½ρυ2 = σταθερό Εξίσωση 9.3

τ ο άθρο ι σμα τη ς στα τ ι κή ς π ί εση ς p , τ η ς υψομε τρ ι κή ς π ί ε ση ς ρg h κα ι τ η ς δυναμ ι κή ς π ί ε ση ς ½ρυ 2 ε ί να ι σ ταθ ερό , δηλαδή , ε ί ν α ι τ ο ί δ ι ο σ ε κάθ ε σημε ί ο τ ου ρ ευσ τού .

Η στατική πίεση p είναι η πίεση σε ένα σημείο ενός ρευστού όταν αυτό είναι ακίνητο. Η υψομετρική πίεση ρgh, εκφράζει την επιπλέον πίεση σε ένα σημείο ενός ρευστού λόγω της υψομετρικής θέσης του σημείου. Τέλος, ο όρος ½ρυ2 της δυναμικής πίεσης σχετίζεται με την επιπλέον πίεση στο σημείο λόγω της ταχύτητας ροής του ρευστού σ’αυτό το σημείο.

Σχήμα 9.2: Ο σωλήνας Pitot (ή Prandtl)

Ο σωλήνας Pitot (Σχήμα 9.2)1 είναι ένα απλό όργανο μέτρησης της πίεσης ενός αερίου (δηλαδή μανόμετρο). Αποτελείται από έναν κεκαμένο σωλήνα που περιέχει ποσότητα υγρού (μανομετρικό υγρό). Η κεφαλή του σωλήνα, η οποία φέρει δύο ανοίγματα (1 και 2) στα δύο άκρα της, βυθίζεται μέσα στο ρεύμα του αερίου του οποίου την πίεση θέλουμε να μετρήσουμε. Οι διαστάσεις του σωλήνα φροντίζουμε να είναι μικρές σε σχέση με το ρεύμα του αέρα έτσι ώστε να μην έχουμε αλλοίωση του ρεύματος και σφάλμα στη μέτρηση της πίεσης. Η ροή του αέρα στη θέση του λεπτού στομίου 2 ανακόπτεται και η ταχύτητά του μηδενίζεται. Αντιθέτως, στο άνοιγμα 1, η ταχύτητα του αέρα είναι υ. Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli (Εξίσωση 9.3) στα σημεία 1 και 2 έχουμε

1 Στην πραγματικότητα, ο σωλήνας του Σχ. 9.2 είναι μια συσκευή Prandtl. Όμως ο όρος Pitot χρησιμο-ποιείται εξίσου.

(α) (β)

ΑF

h

2 1

F

103

p2 = p1 + ½ρυ2

Όμως, το ύψος h της μανομετρικής στήλης είναι ανάλογο της διαφοράς πίεσης p2 - p1, p2 - p1 = ρmgh

όπου ρm η πυκνότητα του μανομετρικού υγρού στο σωλήνα Pitot. Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις, έχουμε

½ρυ2 = ρmgh. Εξίσωση 9.4

Άρα , η δ υ ν α μ ι κ ή π ί ε σ η q = ½ρυ 2 τ ο υ ρ ε ύ μ α τ ο ς τ ο υ α έ ρ α δ ί ν ε τ α ι α π ό τ η ν έ ν δ ε ι ξ η τ η ς μ α ν ο μ ε τ ρ ι κ ή ς σ τ ή λ η ς σ τ ο ν σω λ ή ν α P i t o t . ΙΙΙ. Πειραματική Εργασία

Η πειραματική διάταξη φαίνεται στο Σχήμα 9.3.

Σχήμα 9.3: Πειραματική διάταξη μέτρησης αντίστασης του αέρα

Η δυναμική πίεση q μετριέται με το σωλήνα Pitot και η ένδειξή της φαίνεται πάνω στην

κλίμακα του μανομέτρου. Το στήριγμα διπλού άξονα πρέπει να είναι συνδεδεμένο χαλαρά μεταξύ των μικρών αξόνων και ρυθμισμένο οριζόντια και κατακόρυφα. Τα αντικείμενα των οποίων πρόκειται να μετρηθεί η αντίσταση τοποθετούνται στην ειδική υποδοχή και κρατούνται εκεί σφίγγοντας την αντίστοιχη βίδα.

ΙΙΙ.1 Μεταβολή Αντίστασης Του Αέρα Με Τη Μετωπική Επιφάνεια A) Διατηρώντας σταθερή δυναμική πίεση, π.χ. q = 0.3 mbar, μετρούμε την αντίσταση FR

(σε mN) που αναπτύσσεται πάνω στην επιφάνεια τριών δίσκων με διαφορετική μετωπική επιφάνεια.

104

Μετράμε τη διάμετρο d των δίσκων (σε cm) από την οποία υπολογίζουμε τη μετωπική επιφάνειά τους Α (σε cm2) από τη σχέση που δίνει το εμβαδό του κύκλου: Α = πd2/4. Καταχωρούμε τα αποτελέσματα στον Πίνακα 9.1.

Πίνακας 9.1

Α (cm2)

FR (mN)

B) Μεταβάλοντας τη τιμή της δυναμικής πίεσης q από 0.1 έως 1 mbar, μετρούμε την αντίσταση FR που αναπτύσσεται πάνω στον μεσαίου μεγέθους δίσκο (πάρτε 5 μετρήσεις).

Καταχωρούμε τα αποτελέσματα στον Πίνακα 9.2.

Πίνακας 9.2 1 2 3 4 5 q (mbar)

FR (mN)

C) Διατηρούμε σταθερή δυναμική πίεση q ∼0.25 mbar και μετρούμε την αντίσταση FR (σε mN) που αναπτύσσεται πάνω σε αντικείμενα διαφόρων σχημάτων. Η μετωπική επιφάνεια fp όλων των σωμάτων είναι η ίδια και την υπολογίζουμε μετρώντας τη μέγιστη διάμετρο d ενός απ’αυτά. (από την σχέση fp = πd2/4). Καταχωρούμε τα αποτελέσματα στον Πίνακα 9.3.

Πίνακας 9.3

FR (mN)

fp (cm2)

q (mbar)

Cω′

Cω 0.45 0.37 1.17 0.92 0.24 0.21 0.71 0.14 0.07

σ %

105

IV. Eπεξεργασία Των Μετρήσεων A) Με τις τιμές του Πίνακα 9.1 φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση της αντίστασης FR

(άξονας y) σαν συνάρτηση της επιφάνειας Α (άξονας x).

B) Με τις τιμές του Πίνακα 9.2 φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση της αντίστασης FR (άξονας y) σαν συνάρτηση της πίεσης q (άξονας x). Από την κλίση της ευθείας υπολογίζουμε σύμφωνα με την Εξίσωση 9.2 την τιμή του συντελεστή Cω του δίσκου γνωρίζοντας την επιφάνεια A του δίσκου.

C) Με τη βοήθεια της Εξίσωσης 9.2 υπολογίζουμε στον Πίνακα Μετρήσεων 9.3, το συντελεστή Cω′ για κάθε ένα από τα σώματα. Συγκρίνουμε τις τιμές Cω′ που μετρήσαμε με τις αντίστοιχες θεωρητικές τιμές Cω που δίνονται στον Πίνακα 9.3 και υπολογίζουμε το % σφάλμα.

V. Ερωτήσεις 1. Πως σχολιάζετε τις τιμές των συντελεστών αντίστασης των διαφόρων αντικειμένων που

Πίνακα 9.3; 2. Αποδείξτε ότι το γινόμενο ½ ρυ 2 έχει διαστάσεις πίεσης. Υπενθυμίζεται ότι από τον

ορισμό της, η πίεση έχει διαστάσεις Δύναμης/Επιφάνεια. Επίσης, από την Εξίσωση 9.2 να αποδειχθεί ότι ο συντελεστής αντίστασης Cω είναι αδιάστατο μέγεθος.

3. Πως επιτυγχάνεται στην πράξη η ελάττωση του συντελεστή αντίστασης Cω ;

106

ΑΣΚΗΣΗ 10 Γέφυρα Wheatstone

Σκοπός Μέτρηση αγνωστων αντιστάσεων και χωρητικοτήτων με τη χρήση της Γέφυρας Wheatston

Απαιτούμενα όργανα. 1. Γέφυρα Wheatstone με βαθμονομημένη χορδή 2. Πηγή τροφοδοσίας συνεχούς και εναλλασσόμενου ρεύματος 3. Αντιστάσεις και πυκνωτές 4. Γαλβανόμετρο (κεντρικής μηδενικής ανάγνωσης) 5. Παλμογράφος 6. Ψηφιακό πολύμετρο

107

I. Θεωρία

Για να μετρήσουμε με ακρίβεια ωμικές αντιστάσεις, χρησιμοποιούμε ένα κύκλωμα που λέγεται γέφυρα Wheatstone (Wheatstone bridge). Το κύκλωμα αυτό αποτελείται από την άγνωστη αντίσταση Rx, και από τις γνωστές αντιστάσεις R0, R1 και R2, όπου R0 είναι μια μεταβλητή αλλά βαθμονομημένη αντίσταση και R1 και R2 είναι αντιστάσεις που υλοποιούνται από ένα σύρμα με γνωστό μήκος (βαθμονομημένη χορδή). Για την μέτρηση χωρητικοτήτων, πραγματοποιούμε παρόμοιο κύκλωμα όπου στη θέση της Rx τοποθετούμε την άγνωστη χωρητικότητα Cx και στη θέση της R0 γνωστή χωρητικότητα C0.

I.1 Μέτρηση Ωμικών Αντιστάσεων με Συνεχές Ρεύμα

Η αρχή λειτουργίας της γέφυρας Wheatstone είναι πολύ απλή: για κάθε τιμή της R0 (ή χωρητικότητας C0) μεταβάλλουμε τις R1 και R2 (αλλάζοντας το μήκος του σύρματος που αντιστοιχεί στην καθε μία) ωσότου το γαλβανόμετρο δείξει μηδέν, δηλαδή ωσότου δεν θα διέρχεται πλέον ρεύμα από το Γ στην επαφή πάνω στο σύρμα (Σχήμα 10.1). Τότε λέμε ότι η γέφυρα έχει ισορροπήσει και το δυναμικό του Γ ισούται με το δυναμικό της επαφής στο σύρμα. Επομένως, η διαφορά δυναμικού στα άκρα της Rx ισούται με τη διαφορά δυναμικού στα άκρα της R1. Παρομοίως, η διαφορά δυναμικού στα άκρα της R0 ισούται με τη διαφορά δυναμικού στα άκρα της R2. Επομένως:

12x1 RIRI = Εξίσωση 10.1

και

2201 RIRI = Εξίσωση 10.2

Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, απαλείφουμε τα ρεύματα Ι1 και Ι2. Οι αντιστάσεις R1 και R2 οφείλονται στο βαθμονομημένο σύρμα το οποίο είναι αγωγός κυλινδρικής διατομής. Από το Νόμο του Ohm για αγωγό κυλινδρικής ισχύει:

AlR 11 ρ=

και

AlR 22 ρ=

όπου ρ η ειδική αντίσταση του υλικού του σύρματος, l το μήκος του σύρματος και A η επιφάνεια διατομής του σύρματος. Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει:

2

10 l

lRRx = Εξίσωση 10.3

Από την Εξίσωση 10.3 βρίσκουμε την τιμή της άγνωστης αντίστασης Rx. Η ακρίβεια της μέτρησης εξαρτάται από την ακρίβεια με την οποία επιτυγχάνεται η ισορροπία της γέφυρας.

108

Σχήμα 10.1: Κύκλωμα Γέφυρας Wheatston για τη μέτρηση ωμικών αντιστάσεων (συνεχές ρεύμα)

I.1 Μέτρηση Χωρητικοτήτων με Εναλλασόμενο Ρεύμα

Σχήμα 10.2: Κύκλωμα Γέφυρας Wheatston για τη μέτρηση χωρητικοτήτων (εναλλασσόμενο ρεύμα).

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η γέφυρα Wheatstone χρησιμοποιείται και για τη μέτρηση χωρητικοτήτων. Σ’ αυτή την περίπτωση θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί

Cx

C0

109

εναλλασόμενο ρεύμα και όχι συνεχές (όπως στη μέτρηση ωμικών αντιστάσεων) γιατί το συνεχές ρεύμα δεν περνάει από πυκνωτές. Το Σχήμα 10.2 παριστάνει μια απλή διάταξη της γέφυρας για τη μέτρηση χωρητικότητας.

Ένας πυκνωτής χωρητικότητας C, που δiαρρέεται από εναλλασόμενο ρεύμα συχνότητας ω, παρουσιάζει αντίσταση 1/ωC. Χρησιμοποιώντας αυτή την πληροφορία και εφαρμόζοντας το ίδιο σκεπτικό όπως και για τις ωμικές αντιστάσεις, βρίσκουμε ότι όταν η γέφυρα ισορροπεί, μεταξύ της άγνωστης χωρητικότητας Cx και της γνωστής C0, ισχύει η σχέση:

2

1

011

ll

CC x =

ωω

Λύνοντας ως προς Cx έχουμε:

1

20 l

lCC x = Εξίσωση 10.4

Η Γέφυρα Wheatstone μπορεί να χρησιμοπιηθεί και για τη μέτρηση αυτεπαγωγών L, με την προϋπόθεση ότι οι ωμικές αντιστάσεις των πηνίων είναι πολύ μικρές.

II. Πειραματική Εργασία

II.1 Γέφυρα Wheatston Για Ωμικές Αντιστάσεις

Σχηματίζουμε το κύκλωμα του Σχήματος 10.1. Με το ψηφιακό πολύμετρο, μετρούμε τις τιμές των ωμικών αντιστάσεων που δίνονται. Θα τις χρησιμοποιήσουμε ως θεωρητικές τιμές για τον υπολογισμό των σφαλμάτων.

Για κάθε άγνωστη αντίσταση, παίρνουμε πέντε μετρήσεις χρησιμοποιώντας μικρές εντάσεις ρεύματος από τη γεννήτρια και σημειώνουμε τα αποτελέσματα σε έναν πίνακα όπως ο Πίνακας 10.1.

Το l1 και l2 είναι οι αποστάσεις από την αρχή του χάρακα μέχρι το σημείο μηδενισμού του γαλβανομέτρου. Επειδή το συνολικό μήκος του χάρακα είναι 1000 mm αρκεί και η μέτρηση μόνο του l1. Το l2 προκύπτει αφαιρώντας το l1 από το 1000 (l2 = 1000-l1).

Αντικαθιστούμε τα R0, l1, και l2 στην Εξίσωση 10.1, υπολογίζουμε την Rx, την μέση xR , και το % σφάλμα από τον τύπο

.........%..........100σθεωρ

θεωρ% =×

−=

RRR x

110

Πίνακας 10.1: Μετρήσεις για τον υπολογισμό ωμικής αντίστασης.

α/α R0 [Ohm] l1 [mm] l2 [mm] Rx [Ohm] [ ]OhmRx 1 2 3 4 5

ΠΡΟΣΟΧΗ: στο τέλος αυτού του τμήματος της πειραματικής εργασίας, θα πρέπει να έχετε έναν πίνακα μετρήσεων για κάθε άγνωστη αντίσταση.

II.2 Γέφυρα Wheatston Για Χωρητικότητες

Σχηματίζουμε το κύκλωμα του Σχήματος 10.2. Στη θέση του γαλβανομέτρου συνδέουμε τον παλμογράφο. Για κάθε άγνωστη χωρητικότητα, παίρνουμε πέντε μετρήσεις χρησιμοποιώντας μικρές εντάσεις ρεύματος από τη γεννήτρια και σημειώνουμε τα αποτελέσματα σε έναν πίνακα όπως ο Πίνακας 10.2.

Το l1 και l2 είναι οι αποστάσεις από την αρχή του χάρακα μέχρι το σημείο μηδενισμού του γαλβανομέτρου. Επειδή το συνολικό μήκος του χάρακα είναι 1000 mm αρκεί και η μέτρηση μόνο του l1. Το l2 προκύπτει αφαιρώντας το l1 από το 1000 (l2 = 1000-l1).

Αντικαθιστούμε τα C0, l1, και l2 στην Εξίσωση 10.1, υπολογίζουμε τo Cx, τo μέσo xC , και το % σφάλμα από τον τύπο

.........%..........100σθεωρ

θεωρ% =×

−=

CCC x

Πίνακας 10.2: Μετρήσεις για τον υπολογισμό χωρητικότητας.

α/α C0 [μF] l1 [mm] l2 [mm] Cx [μF] [ ]FC x μ 1 2 3 4 5

ΠΡΟΣΟΧΗ: στο τέλος αυτού του τμήματος της πειραματικής εργασίας, θα πρέπει να έχετε έναν πίνακα μετρήσεων για κάθε άγνωστη χωρητικότητα.

ΙΙΙ. Ερωτήσεις 1. Στην προσπάθεια μιας μέτρησης δεν είναι δυνατό να επιτευχθεί ισορροπία της γέφυρας,

παρά τη μετακίνηση του δρομέα αριστερά δεξιά. Ποια είναι η αιτία γι αυτό; 2. Εξαρτάται από την τάση τροφοδοσίας η ακρίβεια των μετρήσεων;

111

ΑΣΚΗΣΗ 11

Μέτρηση της Αντίστασης κυκλωμάτων DC-AC. Nόμος του Ohm

Σκοπός Να υπολογιστεί η ωμική αντίσταση σε συνεχές ρεύμα (DC) και η σύνθετη αντίσταση (εμπέδηση) κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος (AC) με το Νόμο του Ohm. Επίσης, να υπολογιστεί η μέση ισχύς που καταναλώνεται στα κυκλώματα AC

Απαιτούμενα όργανα 1. Πηγή τάσης AC-DC

2. Αμπερόμετρο

3. Βολτόμετρο

4. Ωμική αντίσταση

5. Πυκνωτής 6. Πηνίο

112

I. Θεωρία

Ι.1 Νόμος του Ohm για το συνεχές ρεύμα – Ωμική αντίσταση Ο Νόμος του Ohm είναι, ίσως, ο πλέον γνωστός νόμος του ηλεκτρομαγνητισμού με τη

μεγαλύτερη τεχνολογική εφαρμογή. Σύμφωνα με αυτόν, η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος I, που διαρρέει έναν αγωγό, είναι ανάλογη της εφαρμοζόμενης τάσης V στα άκρα του

RVI = Εξίσωση 11.1

Η σταθερά αναλογίας R του Νόμου του Ohm είναι η (ηλεκτρική) αντ ίσταση (resistance) του αγωγού. Όταν η ένταση του ρεύματος εκφράζεται σε amperes (A) και η τάση σε volts (V) η αντίσταση του αγωγού εκφράζεται σε μονάδες ohm (Ω).

Ο πιο βασική μέθοδος προσδιορισμού μιας αντίστασης είναι να μετρήσουμε με ένα αμπερόμετρο (ammeter) το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση, με ένα βολτόμετρο (voltmeter) την τάση στα άκρα της και χρησιμοποιώντας το Νόμο του Ohm, να υπολογίσουμε την τιμή της,

IVR =

Υπάρχουν δύο τρόποι να συνδέσουμε ένα βολτόμετρο και ένα αμπερόμετρο σε μια αντίσταση, προκειμένου να τη μετρήσουμε. Οι τρόποι αυτοί φαίνονται στο Σχήμα 11.1 παρακάτω. Το αποτέλεσμα της μέτρησης εξαρτάται από τη συνδεσμολογία που χρησιμοποιείται.

Σχήμα 11.1: Μέτρηση αντίστασης DC με αμπερόμετρο και βολτόμετρο. (α) Συνδεσμολογία κατάλληλη για μεγάλες αντιστάσεις (R>>RA). (β) Συνδεσμολογία κατάλληλη για μικρές αντιστάσεις (R<<RV).

Το αμπερόμετρο έχει κάποια μικρή αντίσταση (RA). Κυμαίνεται από 0.1Ω για την κλίμακα μέτρησης του 1Α έως 100Ω για την κλίμακα μέτρησης 1mA.

Το βολτόμετρο έχει επίσης μια αντίσταση (RV), η οποία είναι συνήθως μεγάλη. Κανονικά κυμαίνεται μεταξύ 20kΩ για την κλίμακα μέτρησης του 1V μέχρι ίσως και τα 2MΩ για την κλίμακα μέτρησης 100V.

Στο κύκλωμα του Σχήματος 11.1(α), η ένδειξη του αμπερομέτρου είναι το πραγματικό ρεύμα Ι που ρέει μέσα από την αντίσταση R, αλλά η ένδειξη του βολτομέτρου V δεν είναι η

RV

Α

+

+

ΙVR

Πηγή τάσης d.c. R V

Α

+

+

ΙΙR

(α) (β)

113

πραγματική τάση VR στα άκρα της. Η πραγματική τιμή της αντίστασης είναι I

VR R= και όχι

το πηλίκο IV που μετράμε.

Αποδεικνύεται ότι

IV

RRR

IVR

A

R ⋅+

== Εξίσωση 11.2

Επομένως, το κύκλωμα στο Σχήμα 11.1(α) είναι ακριβές μόνον όταν η μετρούμενη αντίσταση είναι πολύ μεγαλύτερη από την αντίσταση του αμπερομέτρου (R >> RA).

Στο κύκλωμα στο Σχήμα 11.1(β), τώρα, η ένδειξη του βολτομέτρου είναι η πραγματική τάση στα άκρα της αντίστασης R, αλλά η ένδειξη του αμπερομέτρου δεν αντιστοιχεί στο

πραγματικό ρεύμα IR που τη διαρρέει. Έτσι, η πραγματική τιμή της αντίστασης είναι RI

VR =

και όχι IV που μετράμε.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι

IV

RRR

IVR

V

V

R

⋅+

== Εξίσωση 11.3

Έτσι, για να έχουμε ακρίβεια με το κύκλωμα του Σχήματος 11.1(β), η αντίσταση RV του βολτομέτρου πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερη της μετρούμενης αντίστασης R (R << RV).

Η επιλογή, επομένως, της κατάλληλης συνδεσμολογίας για τον ακριβέστερο υπολογισμό μιας αντίστασης εξαρτάται από την τιμή της ίδιας της αντίστασης.

Ι.2 Ο Νόμος του Ohm για το εναλλασσόμενο ρεύμα − Κυκλώματα

που περιλαμβάνουν ωμική αντίσταση, επαγωγή, ή χωρητικότητα (RLC). Τα εναλλασσόμενα ρεύματα είναι υψίστης σημασίας στην τεχνολογία και τη

βιομηχανία. Η μεταφορά ισχύος σε μεγάλες αποστάσεις είναι πολύ πιο εύκολη και οικονομική με εναλλασσόμενα παρά με συνεχή ρεύματα. Επίσης, κυκλώματα, που χρησιμοποιούνται στις μοντέρνες συσκευές επικοινωνίας, περιλαμβανομένων ραδιοφώνου και τηλεοράσεως, κάνουν ευρεία χρήση εναλλασσόμενου ρεύματος.

Για να λειτουργήσει ένα κύκλωμα με εναλλασσόμενο ρεύμα αρκεί να εφαρμόσουμε στα άκρα του μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης v = V συνωt, όπου v είναι η στιγμιαία τιμή της τάσης, V είναι η μέγιστη τιμή της (πλάτο ς της τάσης) και ω είναι η γων ιακή συχνό τη τα , ίση με 2π φορές τη συχνότητα f της πηγής, ω=2π f . Χάριν συντομίας, μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης αναφέρεται σαν ″πηγή AC″ (AC source) και συμβολίζεται με . Ομοίως, το εναλλασσόμενο ρεύμα αναφέρεται σαν ρεύμα AC.

Στη συνέχεια αυτής της παραγράφου θα εξετάσουμε πως εφαρμόζεται ο Νόμος του Ohm σε ένα κύκλωμα AC. Όπως θα δούμε, η ουσιαστική διαφορά με τον Νόμο του Ohm για DC, όπως τον είδαμε στην Εξίσωση 11.1, είναι ότι τώρα, εκτός από την ωμική αντίσταση R υπεισέρχονται και άλλες παράμετροι στη συνολική αντίσταση του κυκλώματος. Οι

∼

114

παράμετροι αυτές είναι η χωρητικότητα C και η αυτεπαγωγή L του κυκλώματος. Ας εξετάσουμε κάθε μία από αυτές χωριστά.

I.2.A Ωμική Αντίσταση (R) σε AC Πρώτα, ας θεωρήσουμε μια ωμική αντίσταση R συνδεδεμένη σε πηγή AC, όπως στο

Σχήμα 11.2(α). Η τάση στα άκρα της αντίστασης είναι v = V συνωt και το ρεύμα που τη

διαρρέει, σύμφωνα με τον Νόμο του Ohm (Εξίσωση 11.1), είναι tRV

Rvi συνω== .

V∼

I

IV

(α) (β)

x

yR

V∼

I

IV

(α) (β)

x

yR

Σχήμα 11.2: (α) Ωμική αντίσταση R συνδεδεμένη σε πηγή τάσης AC (β) Ανυσματικό διάγραμμα: το ρεύμα και η τάση είναι σε φάση

Το πλάτος I του ρεύματος είναι, προφανώς, RVI = και συνεπώς μπορούμε να γράψουμε i=I

συνωt.

Τόσο το ρεύμα, όσο και η τάση είναι ανάλογα προς το συνωt. Λέμε ότι το ρεύμα είναι σε φάση με την τάση. Τα πλάτη του ρεύματος και της τάσης, συνδέονται με την ίδια σχέση όπως και σε ένα κύκλωμα DC.

Για να παραστήσουμε γραφικά την τάση και το ρεύμα σε ένα κύκλωμα AC, χρησιμοποιούμε ανυσμα τ ι κά δ ι α γράμματα . Ένα ανυσματικό διάγραμμα είναι ένα επίπεδο xy πάνω στο οποίο τάση και ρεύμα αντιπροσωπεύονται από διανύσματα μήκους αντίστοιχου προς το πλάτος τους.

Το ανυσματικό διάγραμμα που αντιστοιχεί στο κύκλωμα του Σχήματος 11.2(α), φαίνεται στο Σχήμα 11.2(β). Η τάση και το ρεύμα είναι σε φάση, έτσι τα αντίστοιχα διανύσματα συμπίπτουν (διαφορά φάσης μηδέν)∗.

I.2.Β Πυκνωτής (C) σε AC Στη συνέχεια, ας εξετάσουμε πως συμπεριφέρεται ένας πυκνωτής σε ένα κύκλωμα AC

(Σχήμα 11.3) Ας υποθέσουμε ότι ο πυκνωτής χωρητικότητας C τροφοδοτείται από μια πηγή AC, όπως στο Σχήμα 11.3(α). Το φορτίο q στον πυκνωτή κάθε χρονική στιγμή είναι

q = C⋅v = C⋅V συνωt.

Σε αυτήν την περίπτωση, το ρεύμα είναι tVCdtdqi ημωω−== . Καθώς, όμως, ημωt = -

συν(ωt+90° ), το ρεύμα στον πυκνωτή γράφεται i = ωCV συν(ωt+90° ). Η εξίσωση αυτή δείχνει ότι για τάση v = V συνωt, το ρεύμα είναι i = Ι συν(ωt+90° ). ∗ Σε ένα ανυσματικό διάγραμμα τα διανύσματα της τάσης και του ρεύματος περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα ω. Η στιγμιαία τιμή τους δίνεται από την προβολή των διανυσμάτων πάνω στον άξονα x. Επειδή, όμως, η τάση και το ρεύμα περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω η γωνία μεταξύ τους μένει πάντα η ίδια. Έτσι, αρκεί να σχεδιάσουμε τα δύο διανύσματα παγωμένα διατηρώντας τη μεταξύ τους γωνία.

115

I

VI

V(α) (β)

x

yC

q

∼I

VI

V(α) (β)

x

yC

qI

VI

V(α) (β)

x

yC

q

VI

V(α) (β)

x

yC

q

∼

Σχήμα 11.3: (α) Πυκνωτής C συνδεδεμένος σε πηγή AC (β) Ανυσματικό διάγραμμα: το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά 90°

δηλαδή, το ρεύμα και η τάση στον πυκνωτή είναι εκτός φάσης . Αυτό το αποτέλεσμα αναπαριστάνεται από το ανυσματικό διάγραμμα στο Σχήμα 11.3(β), που δείχνει το διάνυσμα του ρεύματος να προηγε ί τα ι του δ ιανύσματος τη ς τάσης κατά 9 0 ° . Αυτή είναι η δ ιαφορά φάσης μεταξύ ρεύματος και τάσης πάνω σε έναν πυκνωτή.

Το πλάτος του ρεύματος είναι Ι = ωCV ή

C1VIω

= . Εξίσωση 11.4

Η Εξίσωση 11.4 αποτελεί τον Νόμο του Ohm για έναν πυκνωτή και, κατ’ αντιστοιχία προς τον Νόμο του Ohm για ωμική αντίσταση R (Εξίσωση 11.1). Επίσης, ορίζει ένα μέγεθος XC, που ονομάζεται χωρητ ική αντ ί δραση του πυκνωτή

CX C ω

1= Εξίσωση 11.5

Οπότε, η Εξίσωση 11.4 γράφεται

CXVI = Εξίσωση 11.6

Η μονάδα της χωρητικής αντίδρασης είναι το ένα volt ανά ampere (1 V/A) ή ohm (1 Ω).

I.2.Γ Ιδανικό Πηνίο (L) σε AC Στη συνέχεια, ας θεωρήσουμε ένα ιδανικό πηνίο αυτεπαγωγής L συνδεδεμένο σε πηγή

AC (Σχήμα 11.4(α)). Ι δαν ικό ονομάζουμε ένα πην ίο του οπο ίου η ωμική αντ ίσταση R L ε ί να ι αμελητέα .

Αν i = Ι συνωt είναι το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο, η διαφορά δυναμικού που

αναπτύσσεται στα άκρα του, λόγω του φαινομένου της αυτεπαγωγής, είναι dtdiL . Επομένως,

( )o90tILtILdtdiLv +=−== ωσυνωωημω .

Πάλι, η τάση και το ρεύμα είναι κατά 90° εκτός φάσης αλλά, αυτή τη φορά, το ρεύμα υστερε ί τη ς τάσης (ή αλλιώς, η τάση προηγείται του ρεύματος). Αυτό το

116

αποτέλεσμα αναπαριστάνεται με το ανυσματικό διάγραμμα στο Σχήμα 11.4(β). Η σχέση v = ωLI συν(ωt + 90°) γράφεται και σαν V = V συν(ωt + 90°), όπου το πλάτος της τάσης είναι V = ωLI ή

LVIω

= Εξίσωση 11.7

Η Εξίσωση 11.7 αποτελεί το Νόμο του Ohm για την περίπτωση ενός ιδανικού πηνίου και ορίζει ένα μέγεθος XL που ονομάζεται επαγωγ ική αντ ί δραση του πηνίου

LX L ω= Εξίσωση 11.8

Ο Νόμος του Ohm για ένα ιδανικό πηνίο, μπορεί επομένως να γραφεί ως LX

VI = .

Μονάδα επαγωγικής αντίδρασης είναι, επίσης, το 1 Ω.

Σχήμα 11.4: (α) Ιδανικό πηνίο αυτεπαγωγής L συνδεδεμένο σε πηγή AC (β) Ανυσματικό διάγραμμα: το ρεύμα υστερεί της τάσης κατά 90°

I.2.Δ Κύκλωμα RLC – Εμπέδηση Με τη φράση «κύκλωμα RLC» εννοούμε το κύκλωμα στο Σχήμα 11.5(α) που

περιλαμβάνει ωμική αντίσταση R, πηνίο αυτεπαγωγής L και πυκνωτή χωρητικότητας C σε σειρά. Το ρεύμα που διαρρέει και τα τρία στοιχεία του κυκλώματος είναι το ίδιο, i = Ι συνωt.

Σχήμα 11.5: (α) Κύκλωμα RLC σε σειρά (β) Ανυσματικό διάγραμμα: η διαφορά φάσης

μεταξύ ρεύματος και τάσης είναι ϕ , όπου ZR

VVR ==συνϕ

Το ανυσματικό διάγραμμα του κυκλώματος φαίνεται στο Σχήμα 11.5(β). Ξεκινώντας από το διάνυσμα του ρεύματος Ι πάνω στον άξονα x, η τάση VR στα άκρα της αντίστασης

V∼

I

I

V

(α) (β)

x

yL

V

R

VC

I I

VL

(α) (β)

x

yLC

VR VL

VC

VL–VC

VR

V ϕ

∼

117

αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα, το οποίο βρίσκεται επίσης πάνω στον άξονα x (μιας και είναι σε φάση με το I), μέτρου VR = I⋅R.

Η τάση VC στα άκρα του πυκνωτή είναι ένα διάνυσμα προς τον αρνητικό άξονα y (καθώς υστερεί του ρεύματος Ι κατά 90°) μήκους VC = I⋅ΧC = I /ωC (Εξίσωση 11.4)

Τέλος, η τάση VL στα άκρα του πηνίου αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα προς τον θετικό άξονα y (προηγείται του Ι κατά 90°) και έχει μήκος VL = I⋅ΧL = I ωL (Εξίσωση 11.7).

Η συνολική τάση V στα άκρα του κυκλώματος είναι το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους τάσεων VR, VL και VC. Προσθέτοντας διανυσματικά τις τάσεις VR, VL και VC, βρίσκουμε

22

C1LRIV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=ω

ω Εξίσωση 11.9

Ορίζουμε σαν σύ ν θ ε τ η α ν τ ί σ τ αση ή ε μ π έ δ ηση , Ζ του κυκλώματος το πηλίκο

IVZ = Εξίσωση 11.10

Με τη βοήθεια της εμπέδησης Ζ, η Εξίσωση 11.9 μπορεί να γραφεί ως

ZVI = Εξίσωση 11.11

και αποτελεί το νόμο του Ohm για ένα κύκλωμα RLC. Παρατηρούμε ότι έχει την ίδια

ακριβώς μορφή με το νόμο του Ohm για ένα κύκλωμα DC, RVI = . H εμπέδηση Ζ, σε

ένα κύκλωμα RLC, παίζει τον ίδιο ακριβώς ρόλο που πού παίζει η ωμική αντίσταση R σε ένα κύκλωμα DC.

Από τις Εξισώσεις 11.9 και 11.11 προκύπτει ότι η εμπέδηση ενός κυκλώματος RLC είναι:

22 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

CLRZ

ωω . Εξίσωση 11.12

Η γωνία φ, στο ανυσματικό διάγραμμα του Σχήματος 11.5(β), είναι η δ ιαφορά φάσης μεταξύ τη ς τάσης τη ς πηγής V κα ι του ρεύμα το ς Ι . Είναι προφανές από το διάγραμμα ότι

22 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

==

CLR

RZR

ωω

συνϕ . Εξίσωση 11.13

Ι.2.Ε Πραγματικό Πηνίο σε AC Στην παράγραφο Ι.2.Γ, εξετάσαμε την περίπτωση ενός ιδανικού πηνίου, δηλαδή, ενός

πηνίου του οποίου το μόνο χαρακτηριστικό στοιχείο είναι η αυτεπαγωγή L. Σε ένα τέτοιο

118

πηνίο, η μόνη αντίσταση που συναντάει το εναλλασσόμενο ρεύμα, είναι η επαγωγική αντίδραση, XL=ωL και η τάση προηγείται του ρεύματος κατά 90°, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.4(β).

Στην πραγματικότητα, όμως, δεν υπάρχουν ιδανικά πηνία. Από την κατασκευή του, ένα πηνίο, συνήθως, απαιτεί ένα μεγάλο αριθμό σπειρών από σύρμα το οποίο φυσικά παρουσιάζει κάποια ωμική αντίσταση R. Κατά κανόνα, όσο μεγαλύτερη αυτεπαγωγή θέλουμε να έχει ένα πηνίο, τόσο μεγαλύτερος αριθμός σπειρών απαιτείται, που συνεπάγεται μεγάλο μήκος σύρματος και μεγάλη ωμική αντίσταση. Βλέπουμε, δηλαδή, ότι σε ένα πραγματικό πηνίο , ε ίναι αναπόφευκτη η ύπαρξη ωμικής αντ ίστασης μαζί

με την αυτεπαγωγή .

Σχήμα 11.6: (α) Πραγματικό πηνίο (L, RL) (β) Ανυσματικό διάγραμμα ενός πραγματικού πηνίου: η διαφορά φάσης μεταξύ ρεύματος και τάσης είναι ϕ , όπου

L

LR

ZR

VV

L ==συνϕ

Ένα πραγματικό πηνίο (L, RL) παριστάνεται γραφικά με ένα συνδυασμό μιας ωμικής αντίστασης και μιας αυτεπαγωγής σε σειρά, όπως δείχνεται στο Σχήμα 11.6(α). Η ωμική αντίσταση του σύρματος του πηνίου θα συμβολίζεται με RL, για να διακρίνεται από την όποια εξωτερική ωμική αντίσταση R περιέχει το κύκλωμα. Το ανυσματικό διάγραμμα του πραγματικού πηνίου προκύπτει από το Σχήμα 11.5(β), αν θέσουμε VC = 0 και φαίνεται στο Σχήμα 11.6(β). Σε αντίθεση με το διάγραμμα στο Σχήμα 11.4(β) του ιδανικού πηνίου, στο Σχήμα 11.6(β), η τάση στο πηνίου δεν προηγείται του ρεύματος κατά 90°, αλλά κατά μια μικρότερη γωνία ϕ, για την οποία από την Εξίσωση 11.13, ισχύει:

( )2222 LR

R

XR

RZR

L

L

LL

L

L

L

ωϕσυν

+=

+== .

Η εμπέδηση ZL του πραγματικού πηνίου προκύπτει από τη γενική Εξίσωση 11.12, αν

θέσουμε 01==

CX C ω

, οπότε έχουμε

( )2222 LRXRZ LLLL ω+=+= Εξίσωση 11.14

Ι.2.ΣΤ Ισχύς στα κυκλώματα AC Κοιτάζοντας το ανυσματικό διάγραμμα στο Σχήμα 11.5(β) ενός σύνθετου

κυκλώματος, παρατηρούμε ότι, από το διάνυσμα της τάσης V που εφαρμόζουμε στο κύκλωμα, μόνο η συνιστώσα VR εφαρμόζεται στα άκρα της αντίστασης και επομένως μόνο αυτή καταναλώνει ενέργεια στο κύκλωμα σε μορφή θερμότητας.

(α) (β)

V ∼

I

VL

x

yL RL

VR VL

I VRL

V

ϕ

119

Αντιθέτως, τόσο η επαγωγή όσο και η χωρητικότητα αρκούνται απλώς στο πρώτο μισό της περιόδου του εναλλασσόμενου ρεύματος να αποθηκεύουν την ηλεκτρική ενέργεια της πηγής υπό μορφή μαγνητικού πεδίου η μία και ηλεκτρικού πεδίου η άλλη και να επιστρέφουν αυτήν την ενέργεια πίσω στην πηγή στο άλλο μισό της περιόδου.

Είναι, συνεπώς, αρκετά λογικό να συμπεράνουμε ότι η μέση ισχύς P που καταναλώνεται στο κύκλωμα στη διάρκεια μιας περιόδου θα δίνεται από το γινόμενο της έντασης του ρεύματος Ι επί την τάση της ωμικής αντίστασης VR:

P = I⋅VR Εξίσωση 11.15

Δεδομένου ότι, από το ανυσματικό διάγραμμα στο Σχήμα 11.5(β), έχουμε VR = V συνϕ, η μέση ισχύς που καταναλώνεται στο κύκλωμα είναι

συνϕIVP = 2 Εξίσωση 11.16

Ο όρος συνϕ ονομάζεται σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς ι σ χ ύ ο ς (power factor) του κυκλώματος. Μονάδα ισχύος είναι το ένα watt (1 W).

ΙΙ. Πειραματική διαδικασία

ΙΙ.1 Μέτρηση ωμικής αντίστασης με DC Πραγματοποιήστε το κύκλωμα όπως στο Σχήμα 11.7. Μετρήστε την αντίσταση R με

το ψηφιακό πολύμετρο, ώστε να χρησιμοποιήσετε την τιμή αυτή για την εύρεση του σφάλματος της μέτρησης. Χρησιμοποιήστε την έξοδο DC της πηγής.

Αναγνωρίστε ότι το κύκλωμα στο Σχήμα 11.7 αντιστοιχεί στη συνδεσμολογία όπως στο Σχήμα 11.1(α). Επιλέξτε 5 τιμές της τάσης και μετρήστε το αντίστοιχο ρεύμα στο αμπερόμετρο. Καταγράψτε την τιμή της τάσης στην πρώτη στήλη και την τιμή του αντίστοιχου ρεύματος στη δεύτερη στήλη του Πίνακα 11.1.

Η θεωρητική τιμή της αντίστασης R έχει μετρηθεί με πολύμετρο και είναι R = Ω

2 Διευκρίνηση: Τα κεφαλαία γράμματα Ι και V που χρησιμοποιούνται στην Εξίσωση 11.15 της ισχύος

σημαίνουν τις ενεργές τιμές του ρεύματος και της τάσης, αντίστοιχα, δηλαδή, I = ΙΕΝ και V = VΕΝ, ενώ στις προηγούμενες παραγράφους σήμαιναν τα πλάτη του ρεύματος και της τάσης. Οι ενεργές τιμές και τα πλάτη συνδέονται μεταξύ τους με μια απλή διαίρεση δια √2, δηλαδή: IEN =I/√2 και VEN =V/√2. Η διπλή χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων Ι και V είτε σαν πλάτη είτε σαν ενεργές τιμές δεν θα πρέπει να μας δημιουργεί σύγχυση καθώς στην πράξη δεν αλλάζει τίποτα στις μαθηματικές σχέσεις και τους ορισμούς αυτής της άσκησης. Π.χ., η επαγωγική αντίδραση ενός πηνίου από την Εξίσωση 11. είναι

XL = ωL = V/I ⇒ XL = (V/√2)/( I/√2) ⇒ XL = VEN /IEN.

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι η επαγωγική αντίδραση του πηνίου δίνεται από το πηλίκο της τάσης προς την ένταση του ρεύματος ανεξάρτητα αν αναφερόμαστε στα πλάτη ή τις ενεργές τιμές.

Για αποφυγή οποιασδήποτε παρεξήγησης στην εκτέλεση της άσκησης, με τα γράμματα Ι και V θα εννοούμε τις ενεργές τιμές μιας και αυτές ακριβώς τις τιμές μετράμε με τα όργανα.

120

Σχήμα 11.7: Μέτρηση σε κύκλωμα DC

Πίνακας 11.1

V (V) I (mA) IV (Ω)

ΜΕΣΗ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

IV (Ω) ε %

Κλείστε την πηγή τάσης. Αποσυνδέστε το καλώδιο που πηγαίνει από το + του

βολτομέτρου στο + του αμπερομέτρου (βλ. Σχήμα 11.7) και συνδέστε το με τον άλλο ακροδέκτη του αμπερομέτρου.

Αυτή η αλλαγή θα σας δώσει τη συνδεσμολογία όπως στο Σχήμα 11.1(β). Ανοίξτε πάλι την πηγή τάσης και επιλέξετε τις τιμές τάσης που είχατε τοποθετήσει στον Πίνακα 11.1. Καταγράψτε το ρεύμα του αμπερομέτρου όπως και πριν στη δεύτερη στήλη του Πίνακα 11.2.

R

Πηγή τάσης

Α

V

+ +−

+

121

Πίνακας 11.2

V (V) I (mA) IV (Ω)

ΜΕΣΗ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

IV (Ω) ε %

ΙΙ.2 Μέτρηση Ωμικής Αντίστασης R Με Κύκλωμα AC Πραγματοποιήστε το κύκλωμα του Σχήματος 11.8. Χρησιμοποιήστε την έξοδο AC της

πηγής.

Σχήμα 11.8: Μέτρηση σε κύκλωμα AC

Το αμπερόμετρο μετράει την ενεργό τιμή του ρεύματος και το βολτόμετρο την ενεργό τιμή της τάσης τις οποίες θα συμβολίζουμε με I και V, αντίστοιχα.

Επιλέξτε 5 τιμές της τάσης και μετρήστε το αντίστοιχο ρεύμα στο αμπερόμετρο. Καταγράψτε την τιμή της τάσης στην πρώτη στήλη και την τιμή του αντίστοιχου ρεύματος στη δεύτερη στήλη του Πίνακα 11.3.

R

Πηγή τάσης

Α

V

122

Πίνακας 11.3

V (V) I (mA) R (Ω) R (Ω) σ (Ω)

ΙΙ.3 Μέτρηση Χωρητικής Αντίδρασης XC Πυκνωτή σε Κύκλωμα AC Κλείστε την πηγή τάσης. Αποσυνδέστε την ωμική αντίσταση και στη θέση της

συνδέστε τον πυκνωτή. Ανοίξτε την πηγή τάσης, επιλέξτε 5 τιμές της τάσης και μετρήστε το αντίστοιχο ρεύμα στο αμπερόμετρο. Καταγράψτε την τιμή της τάσης στην πρώτη στήλη και την τιμή του αντίστοιχου ρεύματος στη δεύτερη στήλη του Πίνακα 11.4.

Η θεωρητική τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή είναι C = μF, και η τιμή της συχνότητας του ρεύματος είναι f = 50 Hz

Πίνακας 11.4

V (V) I (mA) XC (Ω) CX (Ω) σ (Ω)

ΙΙ.4 Μέτρηση Της Επαγωγικής Αντίστασης XL Πηνίου Σε Κύκλωμα AC

Προκειμένου να μετρήσουμε πρώτα την ωμική αντίσταση RL του πηνίου, θα χρησιμοποιήσουμε συνεχές ρεύμα (DC). Στο DC, η κυκλική συχνότητα ω = 0 ⇒ XL = 0 ⇒ ZL = RL, οπότε όλη η αντίσταση που μετράμε στο πηνίο είναι η ωμική του αντίσταση RL.

Κλείστε την πηγή τάσης. Αποσυνδέστε τον πυκνωτή και συνδέστε στη θέση του το πηνίο. Μεταφέρετε τα δύο καλώδια από την έξοδο AC ∼ της πηγής στην έξοδο DC. Ανοίξτε

123

την πηγή τάσης, επιλέξτε 5 τιμές της τάσης και μετρήστε το αντίστοιχο ρεύμα στο αμπερόμετρο. Καταγράψτε την τιμή της τάσης στην πρώτη στήλη και την τιμή του αντίστοιχου ρεύματος στη δεύτερη στήλη του Πίνακα 11.5.

Πίνακας 11.5

V (V) I (mA) RL (Ω) LR (Ω) σ (Ω)

Μηδενίστε την έξοδο της πηγής και μεταφέρετε πάλι τα καλώδια από την έξοδο DC - στην έξοδο AC ∼. Αυξήστε την τάση της πηγής, επιλέξτε 5 τιμές της τάσης και μετρήστε το αντίστοιχο ρεύμα στο αμπερόμετρο. Καταγράψτε την τιμή της τάσης στην πρώτη στήλη και την τιμή του αντίστοιχου ρεύματος στη δεύτερη στήλη του Πίνακα 11.6. Η θεωρητική τιμή της αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L = 4 Η, της ωμικής αντίστασης του πηνίου είναι RL = 2 kΩ και η συχνότητα του ρεύματος είναι f = 50 Hz.

Πίνακας 11.6

V (V) I (mA) ZL (Ω) LZ (Ω) σ (Ω)

124

ΙΙ.5 Μέτρηση Της Σύνθετης Αντίστασης Ζ Κυκλώματος RLC Μηδενίστε την τάση εξόδου της πηγής. Συνδέστε την αντίσταση, τον πυκνωτή και το

πηνίο σε σειρά όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.9.

Σχήμα 11.9: Μέτρηση σε κύκλωμα RLC (αντίσταση, πυκνωτή και πηνίο).

Αυξήστε την έξοδο της πηγής, επιλέξτε 5 τιμές της τάσης και μετρήστε το αντίστοιχο ρεύμα στο αμπερόμετρο. Καταγράψτε την τιμή της τάσης στην πρώτη στήλη και την τιμή του αντίστοιχου ρεύματος στη δεύτερη στήλη του Πίνακα 11.7.

Η συχνότητα του ρεύματος είναι f = 50 Hz.

Πίνακας 11.7

V (V) I (mA) Z (Ω) Z (Ω) σ (Ω) P (W)

ΙΙΙ. Επεξεργασία των μετρήσεων

Γράψτε μια σύντομη εισαγωγή στην οποία να αναφέρετε το σκοπό της άσκησης και να περιγράφετε την πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε και τις βασικές εξισώσεις από τις οποίες υπολογίσατε τις αντιστάσεις κυκλωμάτων DC και AC

Συμπληρώστε το Πίνακες 11.1 και 11.2. Στην 3η στήλη υπολογίστε το πηλίκο V/I σε Ω (προσέξτε ότι στη 2η στήλη το ρεύμα είναι σε mA). Στην 4η στήλη υπολογίστε τη μέση τιμή του V/I. Στην 5η στήλη, υπολογίστε το σχετικό % σφάλμα ε % σε σχέση με την πραγματική τιμή της αντίστασης R από τη σχέση ε % = ([(V/I)ΜΕΣΗ - R]/R)×100.

Πηγή τάσης

ΑV

LR CRL

125

Συμπληρώστε τον Πίνακα 11.3. Η 3η στήλη υπολογίζεται από την R=V/I. Στην 5η στήλη υπολογίστε το τυπικό σφάλμα στη μέση τιμή σ . Δώστε την απάντησή σας στη μορφή ( σ±R ). Η πραγματική τιμή R της αντίστασης βρίσκεται μέσα στα όρια του πειραματικού σφάλματος σ−R και σ+R ;

Συμπληρώστε τον Πίνακα 11.4. Το XC στην 3η στήλη υπολογίστε το από την XC=V/I και στη 4η στήλη βρείτε τη μέση τιμή. Στην 5η στήλη υπολογίστε το τυπικό σφάλμα στη μέση τιμή σ .

Υπολογίστε, από την Εξίσωση 11.5 και τις τιμές ω και C που δίνονται στην παράγραφο ΙΙ.3, τη θεωρητική τιμή της χωρητικής αντίστασης του πυκνωτή, XC,θ. Η XC,θ βρίσκεται μέσα στα όρια CX +σ και CX -σ ; Αν όχι, που μπορεί να οφείλεται η διαφορά;

Συμπληρώστε τον Πίνακα 11.5. Υπολογίστε την ωμική αντίσταση RL του πηνίου στην 3η στήλη από την Εξίσωση 11.1 στη μορφή R=V/I. Στην 4η και 5η στήλη, βρείτε τη μέση τιμή και το τυπικό σφάλμα, αντίστοιχα. Δώστε την απάντησή σας στη μορφή σ±LR .

Συμπληρώστε τον Πίνακα 11.6. Yπολογίστε την εμπέδηση του πηνίου ZL από το πηλίκο V/I. Βρείτε, στις επόμενες στήλες τη μέση τιμή και το τυπικό σφάλμα. Δώστε την απάντησή σας στη μορφή σ±LZ . Από τις τιμές των f, L και RL που δίνονται στην παράγραφο ΙΙ.4, υπολογίστε, από την Εξίσωση 11.14 τη θεωρητική τιμή της εμπέδησης του πηνίου, ZL,θ. Η θεωρητική τιμή, ZL,θ, βρίσκεται μέσα στα όρια σ±LZ ;

Συμπληρώστε τον Πίνακα 11.7. Υπολογίστε την εμπέδηση του κυκλώματος RLC στην 3η στήλη από την Εξίσωση 11.10. Από την Εξίσωση 11.12 και τις τιμές f, R, C, L και RL πού δίνονται στην παράγραφο ΙΙ.1, ΙΙ.3 και ΙΙ.4, υπολογίστε την θεωρητική τιμή της εμπέδησης του κυκλώματος, Ζθ. ΠΡΟΣΟΧΗ: Στην Εξίσωση 11.12, σαν R θα πρέπει να θεωρήσετε την ολική ωμική αντίσταση R + RL του κυκλώματος (εξωτερική + πηνίου).

Η Ζθ βρίσκεται μέσα στα όρια της πειραματικής τιμής σ±Z ; Αν όχι, που μπορεί να οφείλεται η διαφορά;

Χρησιμοποιώντας τις μέσες τιμές των ωμικών αντιστάσεων R και LR και της εμπέδησης Z που βρήκατε στους πίνακες παραπάνω, υπολογίστε το συνϕ του κυκλώματος, από την Εξίσωση 11.13, συνϕ =R /Z . Από την Εξίσωση 11.16 και την τιμή του συνϕ, που βρήκατε παραπάνω, υπολογίστε τη μέση ισχύ (σε watt) στην τελευταία στήλη του Πίνακα 11.7. Σχεδιάστε σε χαρτί μιλιμετρέ τη γραφική παράσταση της μέσης ισχύος P (σε W) σαν συνάρτηση του τετραγώνου της έντασης του ρεύματος, I2 (σε Α2). Χαράξτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίστε την κλίση της Β, Με τι ισούται η κλίση της ευθείας αυτής; (Συμβουλευτείτε την Εισαγωγή).

IV Ερωτήσεις

1. Στην Εξίσωση 11.2, IV

RRR

IVR

A

R ⋅+

== , γιατί για R >> RA η πραγματική αντίσταση R

είναι ίση με την τιμή που μετράμε V/I;

2. Στην Εξίσωση 11.3, IV

RRR

IVR

V

V

R

⋅+

== , γιατί για R << RV η πραγματική αντίσταση R

είναι ίση με την τιμή που μετράμε V/I;

126

3. Με βάση τα πειραματικά σας δεδομένα, υπάρχει διαφορά στο ε% ανάμεσα στις δύο συνδεσμολογίες του Σχήματος 11.1, τέτοια που να μπορείτε να πείτε ποια είναι καταλληλότερη για να μετρήσετε τη συγκεκριμένη αντίσταση της άσκησης;

4. (α) Σχεδιάστε το ανυσματικό διάγραμμα ενός κυκλώματος στο οποίο ΧL > XC (επαγωγικό κύκλωμα) και ενός κυκλώματος στο οποίο ΧL < XC (χωρητικό κύκλωμα). (β) Ένα κύκλωμα RLC σε σειρά, με αυτεπαγωγή L=100mH και χωρητικότητα C=1000μF, είναι επαγωγικό ή χωρητικό;

5. Πως μπορεί να κατασκευαστεί ένα σχεδόν ιδανικό πηνίο, δηλαδή, ένα πηνίο, του οποίου η ωμική αντίσταση να είναι ασήμαντη μπροστά στην αυτεπαγωγή του;

6. Πόσος είναι ο συντελεστής ισχύος, συνφ, και η μέση ισχύς για μια καθαρή ωμική αντίσταση, έναν πυκνωτή ή ένα ιδανικό πηνίο;

7. Χρησιμοποιώντας την πραγματική τιμή R της αντίστασης και την τιμή (V/I)ΜΕΣΗ που υπολογίσατε σε κάθε περίπτωση, υπολογίστε με βάση την και τις εσωτερικές αντιστάσεις του αμπερομέτρου και του βολτομέτρου.

8. Από τις τιμές των CX και LX , τι συμπέρασμα βγάζετε για το χαρακτήρα του κυκλώματος; Είναι επαγωγικό ή χωρητικό; (Υπόδειξη: Την επαγωγική αντίδραση LX υπολογίστε από τις τιμές LR και LZ και την Εξίσωση 11.14).

9. Υποδείξτε έναν τρόπο για να μειώσετε το συνϕ του κυκλώματός σας. Γιατί η ΔΕΗ απαιτεί από τους καταναλωτές μικρό συνϕ;

127

ΠΡΟΣΟΧΗ Η ΑΣΚΗΣΗ 12 εκτελείται μόνο αν κάποια άλλη άσκηση δεν λειτουργεί!

Να μελέτηθεί μόνο αν το έχει ζητήσει ο καθηγητής του Εργαστηρίου, αλλιώς προχωρείστε στην ΑΣΚΗΣΗ 1.

ΑΣΚΗΣΗ 12

Μελέτη Του Ηλεκτρικού Πεδίου Επίπεδου Πυκνωτή Σκοπός Η μελέτη του ηλεκτρικού πεδίου επίπεδου πυκνωτή. Ισχυρά ηλεκτρικά πεδία σε μικρό όγκο έξαλλου είναι ένας λόγος που οι πυκνωτές βρίσκουν πολλές πρακτικές εφαρμογές. Η μελέτη της συμπεριφοράς υλικών μέσα σε ηλεκτρικά πεδία (τα οποία δημιουργούνται εύκολα με πυκνωτή) οδηγεί σε σημαντικά συμπεράσματα για τις ιδιότητες τους.

128

II. Θεωρητική εισαγωγή Το Σχήμα 1 δείχνει πυκνωτή αποτελούμενο από δυο παράλληλους επίπεδους

οπλισμούς εμβαδού S που απέχουν απόσταση d μεταξύ τους. Aν συνδέσουμε κάθε οπλισμό με τροφοδοτικό συνεχούς ρεύματος, τότε στο ένα θα εμφανιστεί φορτίο +Q ενώ στον άλλο φορτίο -Q. Αν η απόσταση d είναι μικρή σε σχέση με τις διαστάσεις των οπλισμών του πυκνωτή, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μεταξύ των οπλισμών του θα είναι σταθερή, δηλαδή οι δυναμικές γραμμές θα είναι παράλληλες και ισαπέχουσες.

Το έργο που απαιτείται για τη μεταφορά φορτίου Q0 από τον ένα οπλισμό δυναμικού V1 στον άλλα δυναμικού V0 εκφράζεται με τη σχέση

Σχήμα 1: Επίπεδος πυκνωτής

VQVVQW 0010 )( =−= Εξίσωση 2 ή σα γινόμενο της δύναμης F = Q0E την απόσταση d, δηλαδή

EdQW 0= Εξίσωση 3

Από την Εξίσωση 2 και την Εξίσωση 3 παίρνουμε τη σχέση

dVE = Εξίσωση 4

Το δυναμικό μιας ισοδυναμικής επιφάνειας είναι γραμμική συνάρτηση της

απόστασης x από τον οπλισμό δυναμικού V1, δηλαδή είναι

xdVVxEVVx ⋅−=⋅−= 11 Εξίσωση 5

Ας θεωρήσουμε έναν επίπεδο πυκνωτή ο οποίος στο εσωτερικό του δεν περιέχει κάποιο είδος διηλεκτρικού. Θεωρούμε δηλαδή ότι ανάμεσα στους οπλισμούς του περιέχεται κενό. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σ’ αυτή την περίπτωση δίνεται από την Εξίσωση 6

129

00 ε

σ fE = Εξίσωση 6

Σ’ αυτή την σχέση το ε0 =8,85 10-12 C2N-1m-2 είναι η ηλεκτρική διαπερατότητα του

κενού και σf η πυκνότητα ελεύθερων φορτίων. Αν τον ελεύθερο χώρο μεταξύ των οπλισμών τον γεμίσουμε με κάποιο διηλεκτρικό

τότε μεταβάλλεται η ένταση και η καινούργια τιμή της θα είναι

00 ε

PEE −= Εξίσωση 7

Ο παράγοντας P ονομάζεται Πόλωση και καθορίζει την ολική ηλεκτρική διπολική ροπή που επάγεται στο διηλεκτρικό ανά μονάδα όγκου.

Μετρητής ηλεκτρικού πεδίου .

Στα πείραμα που ακολουθεί, για τη μέτρηση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου καθώς και του δυναμικού στις ισοδυναμικές επιφάνειες, χρησιμοποιείται ο μετρητής ηλεκτρικού πεδίου (EFM) , που δείχνεται στο Σχήμα 2. Βασικό του εξάρτημα είναι ένα χρυσό επίπεδο ηλεκτρόδιο με έξι ακτινωτά πτερύγια σε αστεροειδή σχηματισμό, που χρησιμεύει σαν προμπ του EFM. Τα όργανα τροφοδοτείται με συνεχή τάση μεταξύ 11 και 14V. Η έξοδος του (±1mA/50Ω) οδηγείται σε ένα βολτόμετρο.

Υπάρχουν τρεις περιοχές μέτρησης της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, 1

/10/100 KV/m που επιλέγονται πατώντας αντίστοιχα κουμπιά. Το όργανο μπορεί να μετρήσει και δυναμικό με κατάλληλο "προσαρμογέα

δυναμικού" που βιδώνεται μπροστά στα προμπ. Και εδώ υπάρχουν τρεις περιοχές μέτρησης, 10/100/1000 VDC, πoυ επιλέγονται πατώντας αντίστοιχα κουμπιά (τα ίδια με την περίπτωση που μετράμε ένταση ηλεκτρικού πεδίου).

Σχήμα 2: Πειραματική διάταξη Μέτρησης ηλεκρικού πεδίου πυκνωτή. Στην δεξιά πλευρά διακρίνεται ο μετρητής ηλεκτρικού πεδίου (EFM)

Προτού προχωρήσουμε σε μετρήσεις με το ΕFM θα πρέπει να κάνουμε την ηλεκτρική ρύθμιση του οργάνου. Ακόμα και χωρίς να εφαρμόσουμε πεδίο στο ηλεκτρόδιο του οργάνου, μπορεί να υπάρχει ένδειξη στο βολτόμετρο. Αυτό οφείλεται σε

130

ηλεκτροστατικά φορτία που υπάρχουν στο περιβάλλον της μέτρησης και δημιουργούν πεδίο, το οποίο επηρεάζει το όργανο κύρια όταν δουλεύει στην περιοχή μικρότερης ευαισθησίας του. Η ηλεκτρική ρύθμιση γίνεται με κατάλληλο περιστροφικό κουμπί (Σχήμα 3).

Σχήμα 3: Ρύθμιση του μηδενός

Το όργανο γειώνεται μέσω μιας τρύπας που υπάρχει στο στέλεχος στήριξης του. Προσέχουμε ώστε να μην εγγίζουμε με το χέρι το προμπ του EFM και το

καλύπτουμε πάντα, όταν φυσικά δεν γίνονται μετρήσεις, με το ειδικό προστατευτικό καπάκι εκτός φυσικά και αν είναι καλυμμένα με τον προσαρμογέα δυναμικού. III. Σκοπός του πειράματος 1. Μελέτη της μεταβολής της έντασης ταυ ηλεκτρικού πεδίου μεταξύ των οπλισμών επίπεδου πυκνωτή σε σχέση με α. Τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του β. Την απόσταση μεταξύ των οπλισμών του γ. Το υλικό μεταξύ των οπλισμών του. IV. Απαιτούμενα όργανα

Οπλισμοί πυκνωτή, πολύμετρο, μέτρο, όργανο μέτρησης ηλεκτρικού πεδίου, εξάρτημα μέτρησης δυναμικού, τροφοδοτικό, βολτόμετρο, καλώδια συνδεσμολογίας. V. Πειραματική δουλειά και επεξεργασία μετρήσεων

Ι. Η πειραματική διάταξη δείχνεται στο Σχήμα 2 α. -Κάνουμε πρώτα τη ρύθμιση του μηδενός του μετρητή ηλεκτρικού πεδίου. -Μετρούμε στη συνέχεια την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή για διάφορες τάσεις μεταξύ των οπλισμών του (Σχήμα 4, μεσαίος περιστροφικός διακόπτης), που βρίσκονται σε σταθερή απόσταση d. Μετά αλλάζουμε το d και ξανακάνουμε το ίδιο για πέντε διαφορετικές τιμές του. -Καταχωρούμε τις μετρήσεις στον πίνακα μετρήσεων Ι

Ρύθμιση του Μηδενός

131

ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι

d α/α 1 2 3 4 5 V[V] d1 E[V/m] V[V] d2 E[V/m] V[V] d3 E[V/m] V[V] d4 E[V/m] V[V] d5 E[V/m]

- Φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Ε=E(V) με τιμές από τον πίνακα Ι. β. -Κάνουμε ξανά τη ρύθμιση του μηδενός του μετρητή ηλεκτρικού πεδίου τοποθετώντας ανάμεσα στους οπλισμούς ένα διηλεκτρικό (Χαρτόνι). -Μετρούμε στη συνέχεια την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή για τις ίδιες τάσεις μεταξύ των οπλισμών του όπως και στο πρώτο τμήμα της άσκησης, που βρίσκονται σε σταθερή απόσταση d. Μετά αλλάζουμε το d και ξανακάνουμε το ίδιο για πέντε διαφορετικές τιμές του. -Καταχωρούμε τις μετρήσεις στον πίνακα μετρήσεων ΙΙ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΙΙ

d α/α 1 2 3 4 5 V[V] d1 E[V/m] V[V] d2 E[V/m] V[V] d3 E[V/m] V[V] d4 E[V/m] V[V] d5 E[V/m]

Τι παρατηρούμε, και πως εξηγούμε το φαινόμενο. Υπολογίζουμε την πόλωση P

γ. -Διατηρώντας σταθερή την τάση V (Σχήμα 4, μεσαίος περιστροφικός διακόπτης) μεταβάλλουμε την απόσταση μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή και σημειώνουμε κάθε φορά την αντίστοιχη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Μετά αλλάζουμε το V και ξανακάνουμε το ίδιο για πέντε διαφορετικές τιμές του. - Καταχωρούμε τις μετρήσεις στον πίνακα μετρήσεων II.

132

Σχήμα 4: Τροφοδοτικό ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ II

V α/α 1 2 3 4 5 d[m] V1 E[V/m] d[m]

E[V/m] V2 E[V/m]

- Φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Ε = Ε(d) με τιμές από τον πίνακα II. - Συμβουλευόμαστε την Εισαγωγή στο κεφάλαιο για Λογαριθμικές Παραστάσεις και θεωρούμε τη συνάρτηση Ε = Ε(d) της μορφής Υ = ΑΧ που με λογαρίθμηση παίρνουμε log Y = log Α –B log Χ - Φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση log Y(άξονας Υ) – log X(άξονας Χ) - Υπολογίζουμε τον εκθέτη Β καθώς και το % σφάλμα. VI . Ερωτήσεις 1. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά μεγέθη του ηλεκτρικού πεδίου. 2. Γιατί δεν τέμνονται ποτέ οι ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές. 3. Αναφέρατε πρακτικές εφαρμογές των πυκνωτών που ξέρετε 4. Τι μεταβολή θα έχουμε στη χωρητικότητα και στο φορτίο επίπεδου πυκνωτή αν απομακρύνουμε τους οπλισμούς του, τους οποίους προηγούμενα έχουμε συνδέσει με μία πηγή. Απαντήστε σε όλες τις ερωτήσεις του βιβλίου Παρατηρήσεις

Μη ικανοποιητικά αποτελέσματα σε ηλεκτροστατικά πειράματα είναι αναμενόμενα εξαιτίας της μη ικανοποιητικής μόνωσης των χρησιμοποιούμενων στελεχών και στηριγμάτων και κύρια των παρασιτικών ηλεκτροστατικών πεδίων. Τα πεδία αυτά

Ρύθμιση της Τάσης μεταξύ των οπλισμών

133

οφείλονται σε φορτισμένα σώματα που δεν ανήκουν στη διάταξη (π.χ. πηγή υψηλής τάσης) και σε ανεξέλεγκτα φορτία που αναπτύσσονται πάνω σε μονωτικές πλαστικές επιφάνειες.

Η συσκευή τροφοδοσίας του EFM πρέπει να τοποθετείται όσα μακριά γίνεται από το EFM ώστε να επιδράει κατά το δυνατό λιγότερο.

Τα ηλεκτροστατικά φορτία που μπορεί να υπάρχουν πάνω στο μπάγκο εργασία απομακρύνονται με ειδικό αντιστατικό Σπρέι.

Φορτία πάνω σε ρούχα που περιέχουν συνθετικές ίνες είναι σημαντική πηγή παρασιτικού ηλεκτρικού πεδίου. Η επίδραση του πεδίου αυτού γίνεται αξιοσημείωτη όταν πλησιάζει το EFM αυτός που τα φοράει. Γι’ αυτό ο πειραματιστής πρέπει να διαβάζει από απόσταση την ένδειξη μέτρησης του EFM.

Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να παίρνεται για τα στελέχη από πλεξιγκλάς με τα οποία μονώνονται οι αγωγό. Εκτός από το γεγονός ότι η μόνωση μπορεί να είναι μειωμένη λόγω τυχόν υγρασίας, αναπτύσσονται πάνω σ’ αυτά συχνά φορτία που παραποιούν το αποτέλεσμα της μέτρησης. Γι’ αυτό πρέπει να καθαρίζονται πριν τη χρήση με χλιαρό νερό και απορρυπαντικό και αφού ξεραθούν να κρατιούνται με σφικτήρες για να αποφευχθεί κατά τα δυνατό νέα φόρτιση.

Τα φορτία μπορούν επίσης να απομακρυνθούν περνώντας τα στελέχη μια δυο φορές πάνω από φλόγα. Αυτό βέβαια πρέπει να γίνεται προσεκτικά γιατί αν η φλόγα είναι έντονη μπορεί να τα παραμορφώσει.

134

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

135

Π-1. Πίνακας προθεμάτων και συμβόλων για τα δεκαδικά υποπολλαπλάσια και πολλαπλάσια των μονάδων

A/A Πρόθεμα Συντόμευση Δύναμη 1 Atto a 10-18 2 Femto f 10-15 3 Piko p 10-12

4 Nano n 10-9 5

Mikro μ 10-6

6 Milli m 10-3 7 Centi c 10-2 8 Deci d 10-1 9 Deka da 101 10

Hecto h 102

11

Kilo k 10 3

12 Mega Μ 106 13 Giga G 109 14 Τera Τ 1012

136

Π-2. Πίνακες μονάδων στο Σύστημα SI Μέγεθος Όνομα Σύμβολο

Βασικές Μονάδες Μήκος Μέτρο (meter) m Μάζα Χιλιόγραμμο (Kg) Kg Χρόνος Δευτερόλεπτο (second) s Ηλεκ. Ρεύμα Αμπέρ (Ampere) A Θερμοκρασία Βαθμός Κέλβιν (Kelvin) K Ποσότητα ουσίας Γραμμομόριο (mole) Mol Ένταση φωτισμού Καντέλα (candela) cd

Παραγόμενες μονάδες με ειδικά ονόματα Συχνότητα Hertz Hz(s-1) Δύναμη Newton N(Kg m/s2) Πίεση Pascal Pa (N/m2) Έργο, ενέργεια Joule J(N m) Ισχύς Watt W(J/s) Ηλ.Φορτίο Coulomb C(As) Ηλ. Δυναμικό Volt V(W/A) Χωρητικότητα Farad F(C/V) Ηλ. Αντίσταση Ohm Ω(V/A) Μαγν. Ροή Weber Wb(V s) Ένταση μαγν. Πεδίου Tesla T(Wb/m2) Αυτεπαγωγή Henry H(Wb/A)

Άλλες Μονάδες Ιξώδες Pascal second Pa s Επιφανειακή τάση newton/meter N/m Ειδική θερμότητα Joule/ Kg/ Kelvin J/Kg K Εντροπία Joule/Kelvin J/K θερμ. αγωγιμότητα watt/meter Kelvin W/m K Ένταση ηλ. Πεδίου Volt/meter V/m Ταχύτητα ραδ αποφόρτισης courie Ci(3,7X1010 s-1) Δόση απορρ. ακτινοβολίας rad rad(0,01 J/Kg)

Πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια Μήκος angstrom A& (10-10) Μήκος αστρονομική μονάδα A.U(1.50X1011m) Πίεση ατμόσφαιρα atm(1.01X105Pa) Ενέργεια electronvolt eV(1.609x 10-19 J) Μάζα atomic mass unit Amu (1.66X10-27 Kg)

137

Π-3. Φυσικές Σταθερές Μέγεθος Συμβολισμός Τιμή

Ατμοσφαιρική πίεση, φυσιολογική Ατομική μονάδα μάζας Αριθμός Avogadro Λόγος φορτίου ηλεκτρονίου προς τη μάζα του Μάζα ηλεκτρονίου Ηλεκτρονιοβόλτ Ηλεκτροστατική σταθερά Σταθερά αερίου, διεθνής Επιτάχυνση της βαρύτητας Μηχανικό ισοδύναμο θερμότητας Μάζα νετρονίου Σταθερά του PLANK Μάζα πρωτονίου Ταχύτητα του φωτός στο κενό Ταχύτητα του ήχου στο αέρα Παγκόσμια σταθερά βαρύτητας Όγκος τέλειου αερίου (σταθερά)

1.01325 Χ 10 Ν/m2(Newton/m2) 1.66024 Χ 10-27 Kg 6.022552 X 1023 /mole 1.758795 Χ 1011 Cb/Kg 9.1091 Χ 10-31Κg ή 5.48597 Χ 10-4 u 1.60207 Χ 10-19Joule 9.00 Χ 109 Nm2/cb2 6.235 Χ 104 mm cm3/gr °K 8.2057X10-2latm/mol°K 8.3143 X 100 J/mol °K 9.80665 m/s2 4.1868 J/cal 1.67482 X 10-27Kg 1.0086554 u 5.5256 Χ 10-34 J s 1.67252 Χ 10-27Kg 1.00727563 u 2.991925 X108 m/s 3.3145 X 102 m/s 6.673 Χ 10-11 Nm2/kg2 2.24136 lt/mol

atm

u (ή AMM)

ΝΑ

e/me

me

eV

k

R

g J

mn

h

mp c

u

G

Vo

138

Π-4. Τιμές χαρακτηριστικών σταθερών των υλικών

1. Συντελεστής τριβής

ΥΛΙΚΟ Σκληρό ατσάλι σε σκληρό ατσάλι Μαλακό " σε μαλακό " Χυτοσίδηρος σε χυτοσίδηρο Γυαλί σε γυαλί Χαλκός σε χαλκό Χαλκός σε γυαλί Χαλκός σε χυτοσίδηρο ξύλο (βελανιδιά) σε Ξύλο Υλικό τριβής στα φρένα αυτοκινήτων σε χυτοσίδηρο Σκι σε πάγο

2. Μέτρο ελαστικότητας

Αλουμίνιο 99,3% (φύλλο)

Ορείχαλκος Χαλκός (σκληρής υφής) Χρυσός καθαρός (σκληρής υφής)

Σίδηρος (τεμαχίδια) Μόλυβδος (φύλλο) Πλατίνα, καθαρή (φύλλο) Ασήμι (σκληρής υφής) Ατσάλι, 0,38% C (εμπλουτισμένο) Ταντάλιο (λεπτό) Πολυμερή (λάστιχα)

ΣΤΑΤ.ΤΡΙΒΗ KIN. ΤΡΙΒΗ 0,78 0,48

0,74 0,57

1,10 0,15

0,94 0,40 1,6 - 0,68 0,53

1,05 0,29

0,62 0,48

0,4 -

0,4 -

Mέτρο Ελαστικότητας ή Young (N/m2)

6.96 Χ 1010

9.02 Χ 1010

11.6 Χ 1010

7.85 Χ 1010

9.1 Χ 1010

1.57 Χ 1010

16,7 Χ 1010 7,75 Χ 1010

20.0 Χ 1010

35.5 Χ 1010

2.0 Χ 10 5

Μέταλλα

139

3. Πυκνότητα

Yλικό g/cm3

Νερό στους 4° C και 1 Atm 1.000 Νερό στους 0°C και 50 Atm 1,002 Αλουμίνιο 2,7 Λευκόχρυσος 21,0 Μόλυβδος 12.0 Σίδηρος 7.85 Χαλκός 8,93 Αέρας στους 0°C και 1 Atm 1,3 Χ 10-3 Αέρας στους 100°C και 1 Atm 0,95 Χ 10-3

Αέρας στους O°C και 50 Atm 6,5 Χ 10-3 Μέση πυκνότητα γης 5.5

4. Συντελεστές ιξώδους (200) (Polse = g/cm s)

Νερό 0,0101 Βενζίνη 0,0065 Υδράργυρος 0,0157 Γλυκερίνη 8,3 Αέρας 1,71 · 10-4 Λάδι λίπανσης διαφορικού 6 ,5 -7,5%

140

5. Σταθερές Θερμοκρασίας

Υλικό Ειδ. Θερμότητα μονάδες

Σημείο ψύξης

Σημείο βρασμού

Θερμο-κρασία τήξης

Θερμοκρασία εξάτμισης

Αλκοόλη αιθυλική

0.581 (25°)

(0C) -115

(0C) 78,5

(cal/g) 24,9

(cal/g) 204

Αλουμίνιο

0,214 (20°) 0.217 (0-100°) 0.225 (100°)

660.2 2467 94 2520

Αμμωνία, υγρό υγρό αέριο

1.047 (-60°) 1.125 (20°) 0.523 (20°)

-77.7 -33.35 108.1 327.1

Ορείχαλκος (40 % Ζn)

0.0917 900 -- -- --

Χαλκός

0.0924 1083 2595 49.0 1150

Γυαλί, στεφάνι

0.161

Σίδηρο 0.1075 1535 3000 7.89 1600 Μόλυβδος

0.0305

327.5

1744

5.47

207

Υδράργυρος

0.0333 -38.87 356.58 2.82 70.613

Πλατίνα

0.0317

1769

3827 +100

27.2

Ασήμι

0.0562

960.8

2212

26.0

565

Ταντάλιο 0.0322 3410+10 5297 43

Νερό

1.00 100.00

538.7

141

Πάγος

0.530

0.00

79,71

Ατμός

0.481

Ψευδάργυρος

0.0922

419,4

907

23.0

420

6. Συντελεστής γραμμικής διαστολής (Αύξηση στο μήκος ανά μονάδα, και ανά βαθμό Κελσίου)

Υλικό Συντελεστής θερμοκρασία (ΔΙ/10C) (°C) Αλουμίνιο 23.8 Χ 10-6 20-100 Ορείχαλκος 19.3 Χ 10-6 0-100 Χαλκός 16.8 Χ10-6 25-100 Γυαλί, σωλήνας 8.33 Χ10-6 0-100 στεφάνι 8.97 Χ10-6 0-100 πυρέξ 3.30 Χ10-6 20-300 Χρυσός 14.3 Χ10-6 16-100 Σίδηρος, μαλακός 12.1 Χ10-6 40

ατσάλι 10.5 X 10-6 0-100 Ινβαρ (Ν + ατσάλι) 0.9 Χ10-6 20

Μόλυβδος 29.4 Χ10-6 18-100 Μαγνήσιο 26.08 Χ 10-6 18-100 Πλατίνα 8.99 Χ 10-6 40 Χαλαζίας 0.546 Χ10-6 0-800 (κρυσταλλικός) Ασήμι 18.8 Χ10-6 20 Κασσίτερος 29.92 Χ10-6 18-100 Ψευδάργυρος 26.28 Χ10-6 10-100

142

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • Armitage E., "Practical Physics in SI, Murray, 1972 • Beiser A. "Modern technical Physics", 1973 • Βοσνιακός Φ., " Εργαστήριο Φυσικής I”, 1985

• Δελίδη Κ.Γ. Έργαστηρικές Ασκήσεις Φυσικής II", 1983.

• Halliday - Resnick, "Φυσική" Ελληνική έκδοση Γ.Α. Πνευματικός

επιστημονικές και τεχνικές εκδόσεις

• Λεωνίδου Δ.Ι., "Φυσικές αρχές και τεχνολογικές εφαρμογές", 1989 • Leybold Hereus, "Experiments in Physics", 1974 • Nelkon M. and Ogborn S.M., "Advanced level practical Physics", Heineman

Educational Books (4th ed.) London 1978 • Marion J.B., "Physical science in the modern world", 1974 • PHYWE AG "University Laboratory Experiments Physics" • Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Β Έδρα Φυσικής "Πειραματική Φυσική -

Μεθοδολογία μετρήσεων και εφαρμογές", Θεσσαλονίκη 1980 • Serway R. Α., "Physics for Scientists & Engineers with modern Physics", 3th ed.,

1990 • Smith E.V., 1970, "Manual of experiments in Applied Physics", London, 1970 • Tyler F., “A laboratory manual of physics SI units", E. Arnold 4th ed., London 1975 • Robertson B.C., "Modern Physics for Applied Science", 1931

• Φραγκιαδάκη Γ. "Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Ι", 1984

143