Consideremos las funciones: y=f(x) , e, y=f (-x), de modo que f(x) ≠ f (-x), cuya representación es:

Denotemos por γ (x) = f (-x), y veamos como podemos construir esta nueva función. Sea g: ℜ→ℜ , de modo que: g(x) = -x. Entonces γ (x)=f (-x) y como –x=g(x), se obtiene sustituyendo que γ (x)=f(g(x)) El proceso por el cual se ha construido la nueva función γ a partir de las funciones g y f se llama composición de funciones, y la función que resulta se denota por “fog” y se lee:” γ es idéntica a la composición "fog”. En general, dadas las funciones f y g tales que g este incluido en Domf, la función compuesta que se denota “fog” es la función definida por: (fog)(x)=f(g(x)) , para cada x en el Dom. De g Dos interpretaciones graficas de la composición “fog” se dan en las figuras siguientes:

Interpretación esquemática:

La notación “fog” indica, también el orden en que se aplican las funciones. Este orden es importante ya que en general: fog≠ gof Ejemplo: S f(x) =x3 y g(x)= 2x+1 , entonces: (gof)=g(f(x)) = g(x3 )=2x3 +1 En cambio: (fog)=f(g(x)) =f(2x+1) =(2x+1) 3 =8x3 +12x2 +6x+1 Para la aplicación sucesiva del proceso de composición se cumple la asociatividad de esta operación, es decir: (fog)oh=fo(goh) Es decir: (fogoh)=f(g(h(x))) Ahora supongamos que, dada una función “f”, existe otra función tal que: G(f(x))=x , ∀ ∈ Domf Si pensamos en la función f como un proceso en la cual a partir de un cierto “objeto” x se fabrica otro objeto f(x), entonces podemos pensar en la función g como el proceso inverso mediante el cual a partir del producto f(x), se recupera el objeto original.

Para que este proceso sea posible es necesario que los objetos originales y los fabricados por f se correspondan uno a uno; es decir, objetos diferentes deben dar origen a productos diferentes. En símbolos: x )()( 2121 xfxfx ≠⇒≠

Diremos que una función f es invertible uno a uno si: x )()( 2121 xfxfx ≠⇒≠ La función inversa de f definida así, es la función g la cual se denota por f 1−

Resulta claro que si f1− Es la inversa de f, entonces f es a la vez, la inversa de f 1− , luego se tiene que: f 1− (f(x))=x ; ∀ x ∈Dom f f(f 1− (x))=x ; ∀ x ∈Rec f . Desde otro punto de vista y dado, que para cada ℜ x ∈, f(x) es también un número real, podemos pensar en extender las operaciones con números reales a las funciones reales. Así, en forma natural, dadas las funciones f y g, se define la función suma f+g y la función diferencia f-g y la función producto f*g, por: :;seanDomgfx ∩∈∀ 1.- (f+g)(x)=f(x)+g(x) 2.-(f-g)(x)=f(x)-g(x) 3.-(f*g)(x)=f(x)*g(x)

4.- 0)(;..;)(

)(

)(

≠∩∈∀=

xcongDomgDomfx

xg

xf

g

f

x

En otras palabras el algebra de funciones puede asociarse con el algebra de números reales.

Ejercicios de aplicación: 1.- Considere f(x) = 3x+2 , g(x)= 2x+4 .Determine: 1.1.- (f+g)(x) 1.2.- (f+g)(2) 1.3.- (f-g)(x) 1.4.- (f-g)(2) 1.5.- (f*g)(x) 1.6.- (f*g)(2) 2.- Considere las funciones: f(x)=x2 +x-2 ,g(x)=x-1 .Determine: 2.1.- (f+g)(x) 2.2.- (f+g)(2) 2.3.- (f-g)(x) 2.4.- (f-g)(2) 2.5.- (f*g)(x) 2.6.- (f*g)(2) 2.7.- (f/g)(x) 2.8.- (f/g)(2) 3.-Considere las funciones definidas en ℜ×ℜ

f(x)=2x+3 g(x)=1

3

−x h(x)=x 52+ l(x)=

2

2

−+

x

x

m(x)=

<=>

2:,2

2:,

2:,2

xsix

xsix

xsix

Determine para cada una de ellas: 3.1.- Dom 3.2.-Rec. 3.3.- Grafico cartesiano 3.4.- Estudie el carácter Biyectiva de cada una. 3.5.- La correspondiente función inversa. 4.- Considere las funciones definidas por:

f(x)=2x+3 g(x)=1

3

−x h(x)=x 52+ l(x)=

2

2

−+

x

x

m(x)=

<=>

2:,2

2:,

2:,2

xsix

xsix

xsix

Calcule: 4.1.- f(0)+g(0)+h(0)+l(0) 4.2.- f(1)+h(2)

4.3.- )1(*)4(

)3(*)2(

−fl

gf

4.4.- h(2)+g(3)-l(4) 4.5.- f(g(h(l(1)))) 4.6.- (fog)(1)+(loh)(2)-l(2) 4.7.- (mon)(1)-(gom)(0) 4.8.- (foholom)(2) 4.9.- (fog)(x) 4.10.- (hoi)(x) 4.11.- (fogof)(x)+(hof)(x) Respuestas: 1.- Domf:= ℜ ,Recf=ℜ , biyectiva. 2.- Domg=ℜ -1,Recg: ℜ -0,biyectiva. 3.- Domh=ℜ ,Rech=[ [∞,5 ,Biyectiva(restringida) 4.-Doml=ℜ -2, Real=ℜ -1, Biyectiva restringida. 5.-Dom m: Recm=ℜ , Recm=ℜ , Biyectiva (restringida) 4.-

1.- 4 2.- 14 3.- 2

13 4.-

2

17 5.-

13

63 6.- ∞ 7.- ∞

8.- 5 9.- ∞