Scienza dei Materiali 1Scienza dei Materiali 1TEST 1TEST 1

M. Leoni - 2003

Esercizio 1Esercizio 1

2 2 2 2 2 2002 2 2

97.18 3 2 1 363.614hkl hkl

ad a d h k l pm pm

h k l= ⇒ = + + = + + =

+ +

Viene eseguita una misura di diffrazione su un provino di plutonio bcc con dei raggi X di lunghezza d’onda λ = 70.930 pm. Il picco relativo al piano 321 viene misurato ad un angolo 2θ = 42.808°. Determinare parametro di cella, raggio atomico e densità del materiale. Determinare inoltre il numero di atomi per cm3.(peso atomico Pu = 244 g/mol)

Per un materiale cubico il parametro di cella è:

( ) ( )70.930

2 sin 97.1842.8082sin 2sin

2

d d pm pmλ

λ θθ

= ⇒ = = =

Dalla legge di Bragg otteniamo la distanza interplanare per il piano (321)

a0 = 363.6 pm

La cella, dal testo del problema, è bcc e quindi gli atomi si toccano lungo la diagonale principale

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Esercizio 1Esercizio 1Il raggio atomico sarà perciò ottenibile da:

( )

30

3 7 3 333 23 12

0

2

2442 2 / 1.68 10 / 16.8 /

6.023 10 360.3 10

Pu

Pu

AWm V a

NAWm

g m g m kg dmV Na

ρ−

= =

= = = = ⋅ =⋅ ⋅

00

3 34 3 363.6 157.54 4

ar a r pm pm= ⇒ = = =

Per il calcolo della densità devo conoscere massa e volume della cella. La massa è quella di 2 atomi di Pu, il volume è il parametro di cella al cubo:

r = 157.5 pm

ρ = 16.8 kg/dm3

Gli atomi a cm3 sono calcolabili sapendo che abbiamo 2 atomi nella cella!

( )22

3 310

24.2 10

360.6 10

at atn

cmcm−= ≈ ⋅

⋅n = 4.2x1022at/cm3

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Esercizio 2Esercizio 2Completare il diagramma di fase binario di figura, individuando le regioni mono e bi-fasiche. Descrivere sinteticamente l’evoluzione microstrutturale osservabile per raffreddamento di una lega 10% Al. Determinare almeno in maniera qualitativa, il contenuto di fase e la composizione delle fasi presenti a 600°C ed a 500°C.

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α

α+Al4Ba

Al4Ba+

Al2Ba

Al2Ba+

AlBa

Al4Ba+L

Al4Ba+L

Al2Ba+L

AlBa+L β+L

β

AlBa+β

α+L

LAl 4

Ba

Al 2

Ba

AlBa

eutettico

eutettico peritettico

peritettico

Esercizio 2Esercizio 2

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Esercizio 2Esercizio 2

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Esercizio 2Esercizio 2

96.5 90% 100 48% % 52%96.5 83

liq e sol−= = =−

Nell’esercizio veniva lasciata la scelta tra 10 at% e 10 wt% Al nel diagramma. Proviamo a risolvere il problema con 10at% Al. A 600°C:

95.5 90% 100 12.1% % 87.9%95.5 50

AlBa e β−= = =−

Il liquido contiene l’83 at% di Ba mentre il solido β ne contiene il 96.5 at%.A 500°C, invece, sono sotto l’eutettico quindi avrò:

La fase β contiene il 95.5 at% di Ba.

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Esercizio 3Esercizio 3Un provino cilindrico (diametro 2 mm) lungo 2 m è posto in compressione da un carico di 50 kg. Determinare, se si lavora in campo elastico, di quanto il provino si accorcia e di quanto aumenta la sua sezione. (E = 203 GPa, ν = 0.29, σy=600 MPa)

Per risolvere il problema è necessario stabilire un sistema di riferimento. Possiamo dare agli assi i nomi che vogliamo! Attenzione a y che potrebbe confondesi con l’iniziale di yield(snervamento). In questo caso scegliamo una terna destrorsa (ξ,ψ,ζ).

Il carico è in compressione quindi lo sforzo σavrà un valore negativo nel nostro sistema di riferimento (è opposto a quello solitamente incontrato nei problemi).

ξ

ψ

σψ

σψ

ζ

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Il carico è inferiore al limite di snervamento e quindi siamo in campo elastico. Noto il carico, l’allungamento assiale (ATTENZIONE a non confonderlo con la deformazione) è pari a (legge di Hooke):

( )22 2 20

0

50 9.81 490.5

2 3.144 4

490.5156.1

3.14

F w g N N

A d mm mm

FMPa MPa

Aψ

π π

σ

= ⋅ = − ⋅ = −

= = =

−= = = −

Calcoliamo subito il valore del carico applicato:

Esercizio 3Esercizio 3

0 30

156.12 1.54

203 10l

l l m mml E E

ψ ψψ

σ σε

∆ −= = ⇒ ∆ = = = −

⋅∆l = -1.54 mm

Per la variazione di sezione, si può procedere in più modi. Il più semplice è ricordare la legge di Hooke per un materiale isotropo che permette di valutare la deformazione nelle due direzioni lungo la sezione

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La variazione di sezione è la somma delle deformazioni lungo le due direzioni nella sezione

( ) ( )

( )

( )

43

43

4

0.29156.1 2.2 10

203 10156.1

7.7 10203 10

2.2 10

E E E

E E E

E E E

ξξ ψ ζ ψ

ψ ψψ ξ ζ

ζζ ψ ξ ψ

σ ν νε σ σ σ

σ σνε σ σ

σ ν νε σ σ σ

−

−

−

= − + = − = − ⋅ − = ⋅⋅

−= − + = = = − ⋅

⋅

= − + = − = ⋅

e quindi:

Esercizio 3Esercizio 3

4 4

0

4 2 3 20 0

2 2 2 2.2 10 4.4 10 0.044%

2 2 2 3.14 2.2 10 1.4 10

AA E

A A A mm mmE

ψξ ζ ξ

ψξ

σε ε ε ν

σν ε

− −

− −

∆= + = = = ⋅ ⋅ = ⋅ =

∆ = = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

∆A = 1.4 10-3 mm2

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Esercizio 4Esercizio 4Un bagno di gallio fuso è portato a 0°C: il materiale solidificherà? Calcolare il volume del nucleo critico ed il numero di atomi che esso contiene.(Tm = 29.8°C, ∆Hf = 488 J/cm3, γ = 56x10-7 J/cm2; a0 = 0.5951 nm, cella cubica bcc)

Possiamo subito calcolare il raffreddamento rispetto alla temperatura di fusione (sottoraffreddamento):

Empiricamente, per avere solidificazione omogenea, il sottoraffreddamento dovrebbe essere superiore al 20% di Tm espressa in K. Siccome, in questo caso, il sottoraffreddamento dovrebbe essere superiore a

29.8 0 29.8 29.8mT T T C C K∆ = − = − ° = ° =

hom 0.2 0.2(29.8 273.15) 60.6mT T K K∆ = = + =

ne segue che non ci si aspetta di avere solidificazione omogenea con il sottoraffreddamento imposto!

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Noto il raggio del nucleo critico, ne possiamo valutare il volume:

Senza ricordare la formula empirica, possiamo vedere che il materiale non riuscirebbe a solidificare semplicemente dalla dimensione del nucleo critico:

Esercizio 4Esercizio 4

( ) ( )3 3* 3 34 42.3 51

3 3V r nm nmπ π= = =

r* = 2.3 nm

e, noto il parametro di cella, il numero di celle presenti:

7* 2 2 56 10 (29.8 273.15)

2.3488 29.8

m

f

Tr cm nm

H Tγ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

= = =∆ ⋅∆ ⋅

3 30

51242

0.5951V

n cella

= = =

Siccome ogni cella contiene 2 atomi (bcc), il numero di atomi sarà:

2 2 242 484atn n at at= = ⋅ = nat = 484 at

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Esercizio 5Esercizio 5Una lastra costruita con un materiale avente σy=750MPa e KIC=120 MPav m, ha una cricca interna di 1 mm. Stabilire se si fratturerà prima di snervare. Calcolare poi la lunghezza critica di cricca limite per non avere frattura prima dello snervamento. (Assumere f = 1)

Siccome la cricca è interna il valore di a da impiegare nelle formule sarà metà lunghezza cricca ovvero 0.5 mm. Valutiamo il KI che si ha quando il carico è pari a quello di snervamento:

Siccome con un carico pari a quello di snervamento KI è inferiore a KIC, il provino NON si fratturerà prima dello snervamento.La lunghezza limite di cricca per non avere frattura prima dello snervamento sarà quella che consente di raggiungere il KIC con un carico pari a quello di snervamento:

( )31 750 0.5 10 29.725I yK f a MPa m MPa mσ π π −= = ⋅ ⋅ ⋅ =

2 21 1 1208.15

1 750IC

I Cy

KK f a a m mm

fσ π

π σ π

= ⇒ = = = ⋅ aC = 8.15 mm

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Esercizio 6Esercizio 6Il diagramma TTT di un acciaio è presentato in figura. Si descriva il trattamento termico necessario per ottenere in un dato provino, il 50% di bainite. Si disegni schematicamente la microstruttura attesa

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Esercizio 6Esercizio 6Il problema richiede il 50% di bainite ed il restante 50% a discrezione dello studente. Tre possibili curve di raffreddamento sono:

A

B C

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Con i tre raffreddamenti ottengo:

A. 50% bainite + 50% perlite (semplificazione del trattamento vero)

B. 50% bainite + 50% martensite

C. 50% bainite + 50% bainite = 100% bainite

Esercizio 6Esercizio 6

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Esercizio 7Esercizio 7Due provini A e B di acciaio allo 0.2% C vengono nitrurati, il primo a 900K per 2 h ed il secondo a 1000K. Il profilo di concentrazione misurato, risulta essere il medesimo. Determinare il tempo di trattamento utilizzato per il provino B sapendo che il coefficiente di diffusività a 1000K è di 10-5 cm2/s e quello a 1300K è di 10-4 cm2/s. Quanto tempo sarebbe necessario per ottenere il medesimo profilo di concentrazione a 600K? Se la concentrazione di azoto a 0.3 cm dalla superficie è dello 0.1%, quale era la concentrazione di azoto in superficie al pezzo?

Per poter risolvere il problema è necessario conoscere il coefficiente di diffusione a 900K. Quest’ultimo non è noto, ma calcolabile dai dati del problema. E’ noto infatti il valore a 1000K ed a 1300K:

1 01

2 02

ln ln

ln ln

QD D

R TQ

D DR T

= − ⋅ = − ⋅

1

1 1

2 2 1 2 1 2

1 1 1 1ln ln

D DQQ R

D R T T T T D

−

= − ⇒ = −

Con i dati forniti:

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Nota l’energia di attivazione posso ricavare immediatamente il valore di D0:

Esercizio 7Esercizio 71 1 5

14

2 1 2

1 1 1 1 10ln ln 9977.87

1300 1000 10DQ

K KR T T D

− − −

−

= − = − =

5 2 21 0 0 1

1 1

1 1 9977.87exp exp 10 exp / 0.215 /

1000Q Q

D D D D cm s cm sR T R T

− = − ⇒ = = =

A questo punto il coefficiente di diffusione a 900K è calcolabile come:

2 6 2900 0

1 9977.87exp 0.215exp / 3.29 10 /

900 900K

QD D cm s cm s

R K− = − = − = ⋅

Noto il coefficiente di diffusione e noto il tempo di trattamento relativo, possiamo calcolare il tempo necessario per il trattamento a 1000K imponendo che la lunghezza di diffusione (al quadrato) sia la medesima:

6900

900 900 1000 1000 1000 900 51000

3.29 102 0.658 40min

10K

K K K K K KK

DD t D t t t h h

D

−

−

⋅= ⇒ = = = ≈

t1000K = 40 min

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Il problema chiede ora di eseguire il medesimo trattamento a 600K. E’ sufficiente calcolare il coefficiente di diffusione relativo ed applicare ancora un volta l’equazione di uguaglianza delle lunghezze di diffusione (al quadrato)

Esercizio 7Esercizio 7

2 8 2600 0

1 9977.87exp 0.215exp / 1.29 10 /

600 600K

QD D cm s cm s

R K− = − = − = ⋅

Per concludere i problema è ora necessario utilizzare la soluzione della seconda equazione di Fick nel caso di barra semi infinita. Noti i dati del problema possiamo scrivere:

6900

900 900 600 600 600 900 8600

3.29 102 510.1

1.29 10K

K K K K K KK

DD t D t t t h h

D

−

−

⋅= ⇒ = = =

⋅

t600K = 510.1 h

( )0

00

22 2 1

2

xs x

s x s ss

xc c erf

c c x x Dterf c c c c erf cxc c Dt Dt erfDt

− − = ⇒ − = − ⇒ = − −

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La scelta della temperatura è ininfluente! Alle tre temperature date (600K, 900K, 1000K) il profilo di concentrazione è il medesimo ovvero Dt è costante! Quello che bisogna calcolare, sfruttando il grafico fornito, è il valore di:

Esercizio 7Esercizio 7

( )6

0.30.97 0.83

2 2 3.29 10 7200

xK erf erf erf

Dt −

= = = ≈ ⋅ ⋅

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.00

0.25

0.50

0.75

1.00er

f(x)

x

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Esercizio 7Esercizio 7che ci permette di ottenere il valore di cs richiesto:

cs = 0.59%

00 0.1% 0 0.1%2 0.59%

1 1 0.83 0.171

2

xx

s

xc c erf

c KcDtcx K

erfDt

− − − = = = = ≈− − −

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Esercizio BONUSEsercizio BONUSLo sforzo di snervamento per un campione di alluminio puro avente una dimensione di grano media di 0.05 mm è di 36 MPa mentre per un cristallo singolo è di 25 MPa. Qual’è lo sforzo di snervamento per un campione avente dimensione di grano media di 1 mm?

Conosciamo lo sforzo di snervamento per due dimensioni di grano e quindi possiamo utilizzare la legge di Hall-Petch:

0yKd

σ σ= +

Per un cristallo singolo, la dimensione di grano può essere considerata infinita. In tal caso lo sforzo di snervamento è pari a σ0 e quindi:

0 25MPaσ =

Noto il valore di σ0, quello di K può essere facilmente ottenuto:

( ) ( )0 36 25 0.05 2.46yK d MPa mm MPa mmσ σ= − = − =

E’ più conveniente questa unità di misura invece dei tradizionali MPa m

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Esercizio BONUSEsercizio BONUSInfatti la soluzione del problema è ora immediata:

1 0

2.4625 27.46

1 1mm

KMPa MPa

mmσ σ= + = + = σ1mm = 27.46 MPa