Ribaltamento di un piano generico - Zanichelli online per...
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SCHEDA DI APPROFONDIMENTO Ribaltamento di un piano generico Ribaltare un piano significa farlo ruotare intorno a una traccia finché non si sovrappone a un quadro. Se per esempio facciamo ruotare il piano generico α intorno alla t'α, al termine della rotazione avremo tutti gli elementi di α sul piano xy, compresa anche la seconda traccia t''α, il cui ribaltamento è chiamato (t''α). La difficoltà di questo problema sta nel conoscere la vera ampiezza dell'angolo formato dalle due tracce; questo angolo è indispensabile per disegnare la (t''α). Per ottenere ciò si può operare secondo due metodi basati sul disegno di una retta di massima pendenza (v. il relativo box in questa pagina). 1 Copyright © 2014 Zanichelli Editore SpA, Bologna [5753] Questo file è una estensione online dei corsi di disegno di Sergio Sammarone x z r 1 t'α t''α y t'β t''β r 2 90° Retta di massima pendenza Dato un piano generico α, si dice retta di massima pendenza quella che forma il maggior angolo con la sua proiezione su xy. Se da un qualsiasi punto P appartenente ad α , conduciamo una retta, essa forma un angolo con la sua vista dall'alto; in figura la retta PA forma un certo angolo con P 1 A. Questo angolo avrà la massima ampiezza quando la retta e la sua proiezione su xy saranno perpendicolari a t' α (in figura PC e P 1 C). In generale si può affermare che: la retta di massima pendenza di un piano α è la sua retta d'intersezione con un piano β perpendicolare a xy e allo stesso piano α. Pertanto si avrà la t'β perpendicolare a t'α e la t''β verticale (perpendicolare all'asse x). x y z t'α t''α P A B C 90° P 1 1° metodo Dato il piano α, si conduce una retta di massima pendenza AB. Dopo il ribalta- mento B si trova in posizione (B); quest'ultimo si trova sulla t'β a distanza A(B) = AB. Il procedi- mento inizia con il ribaltamento del triangolo ABC intorno alla t'β; si ottiene B*, la cui distanza da A è pari a AB. Questa di- stanza viene ri- portata sulla t'β a partire da A, ottenendo così il punto (B). La retta O(B) non è altro che la (t''α). In proiezioni ortogonali, dopo aver disegnato i piani α e β, si conduce da C una perpendicolare a t'β. Su di essa si ottiene B*, mediante un arco di centro C e apertura CB 2 . Quindi si traccia un arco di centro A 1 e apertura A 1 B* fino alla t'β, su cui si individua il punto (B); si congiunge questo punto con O, ottenendo infine la (t''α). L'angolo compreso tra t'α e (t''α) rappresenta il piano α ribaltato sul quadro xy. x y z t'α t''α t'β t''β B C B* O (t''α) (B) A 90° x z t'α t''α y t'β t''β 90° (t''α) A 1 B 2 C O B* (B) ribaltamento di α intorno alla t' α, avremo un triangolo AO(B) con lati uguali ai corrispondenti di AOB; in parti- colare avremo che B e (B) sono equidistanti da O, e che (B) si trova sulla t'β. In proiezioni ortogonali, dopo aver disegnato i piani α e β, si conduce un arco di centro O e raggio OB 2 fino a inter- secare la retta t'β; si trova in tal modo (B) e la retta (t''α). Le semirette t'α e (t''α) delimitano il piano α ribaltato su xy. x y z t'α t''α t'β t''β B C O (t''α) (B) A x z t'α t''α y t'β t''β 90° (t''α) A 1 B 2 C O (B) La maggiore semplicità esecutiva di questo secondo metodo ci spinge ad adottarlo nei problemi successivi. 2° metodo Anche in questo metodo si impiega una retta di massima pendenza AB, ma in questo caso si individua il punto (B) mediante la lunghezza del segmento O(B); infatti, dopo il x y z t'α t''α t'β t''β 90° x y z t'α t''α t'β t''β B C O (t''α) (B) A
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SCHEDA DI APPROFONDIMENTO
Ribaltamento di un piano genericoRibaltare un piano significa farlo ruotare intorno a una tracciafinché non si sovrappone a un quadro.
Se per esempio facciamo ruotare il piano generico α intornoalla t'α, al termine della rotazione avremo tutti gli elementidi α sul piano xy, compresa anche la seconda traccia t''α, ilcui ribaltamento è chiamato (t''α).
La difficoltà di questo problema sta nel conoscere la veraampiezza dell'angolo formato dalle due tracce; questo angoloè indispensabile per disegnare la (t''α).
Per ottenere ciò si può operare secondo due metodi basatisul disegno di una retta di massima pendenza (v. il relativobox in questa pagina).
1Copyright © 2014 Zanichelli Editore SpA, Bologna [5753]Questo file è una estensione online dei corsi di disegno di Sergio Sammarone
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90°
Retta di massima pendenza
Dato un piano generico α, si dice retta di massima pendenzaquella che forma il maggior angolo con la sua proiezionesu xy.
Se da un qualsiasi punto Pappar tenente ad α ,conduciamo una retta, essaforma un angolo con la suavista dall'alto; in figura laretta PA forma un certoangolo con P1A. Questoangolo avrà la massimaampiezza quando la rettae la sua proiezione su xysaranno perpendicolari a t'α(in figura PC e P1C).
In generale si può affermare che:
la retta di massima pendenza di un piano α è la sua rettad'intersezione con un piano β perpendicolare a xy e allostesso piano α.
Pertanto si avrà la t'β perpendicolare a t'α e la t''β verticale(perpendicolare all'asse x).
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C90°
P1
1° metodoDato il piano α,si conduce unaretta di massimapendenza AB.Dopo il ribalta-mento B si trovain posizione (B);quest'ultimo sitrova sulla t'β adistanza A(B) =AB.
I l p roced i -mento inizia conil ribaltamentodel tr iangoloABC intorno allat'β; si ottiene B*,la cui distanza daA è pari a AB.
Q u e s t a d i -stanza viene ri-portata sulla t'βa partire da A, ottenendo così il punto (B). La retta O(B) nonè altro che la (t''α).
In proiezioni ortogonali, dopo aver disegnato i piani α eβ, si conduce da C una perpendicolare a t'β. Su di essa siottiene B*, mediante un arco di centro C e apertura CB2.
Quindi si traccia un arco di centro A1 e apertura A1B* finoalla t'β, su cui si individua il punto (B); si congiunge questopunto con O, ottenendo infine la (t''α).L'angolo compreso tra t'α e (t''α) rappresenta il piano αribaltato sul quadro xy.
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ribaltamento diα intorno allat'α, avremo untriangolo AO(B)con lati uguali aicorrispondenti diAOB; in parti-colare avremoche B e (B) sonoequidistanti daO, e che (B) si trova sulla t'β.
In proiezioni ortogonali, dopo aver disegnato i piani α eβ, si conduce un arco di centro O e raggio OB2 fino a inter-secare la retta t'β; si trova in tal modo (B) e la retta (t''α).
Le semirette t'α e (t''α) delimitano il piano α ribaltato su xy.
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90°(t''α)
A1
B2
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(B)
La maggiore semplicità esecutiva di questo secondo metodoci spinge ad adottarlo nei problemi successivi.
2° metodoAnche in questo metodo si impiega una retta di massimapendenza AB, ma in questo caso si individua il punto (B)mediante la lunghezza del segmento O(B); infatti, dopo il
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Problema D
Disegnare le viste di un triangolo equilatero apparte-nente a un pia-no generico α
Seguendo il pro-cedimento delproblema B si di-segna il triangoloin vera formanella zona delpiano ribaltato; diqui si opera ilraddrizzamentodei tre vertici.
SCHEDA DI APPROFONDIMENTO
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Ribaltamento di un piano generico
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α
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Px
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P1
P2
t'α
t''α
y
Disegnare un punto P appartenente a un piano generico αDato il piano α attraverso le sue tracce t'α e t''α, si sceglie unqualsiasi punto P1; dobbiamo trovare P2 in modo tale che ilpunto P si trovi su α.
Se P appartiene ad α, esso deve appartenere a una qualsiasiretta del piano stesso. Per comodità scegliamo una retta rorizzontale appartenente ad α; di conseguenza essa vienerappresentata con r1 parallela a t'α e con r2 orizzontale, cioèparallela all'asse x.
Pertanto tracciamo da P1 la retta r1 parallela a t'α ; dove essainterseca l'asse x si conduce una verticale fino a t''α e di lì unaorizzontale, la retta r2.
La verticale da P1 interseca r2 in P2, seconda vista del puntodesiderato.
Copyright © 2014 Zanichelli Editore SpA, Bologna [5753]Questo file è una estensione online dei corsi di disegno di Sergio Sammarone
Problema A
Disegnare il ribaltamento di un punto appartenentea un generico piano α
Per risolvere questo problema bisogna disegnare in prece-denza un punto P appartenente a un generico piano α (a talescopo si veda il box a fianco che ne illustra la costruzione).
Si disegnano il piano α, il suo ribaltamento su xy (secondola costruzione illustrata in precedenza) e i punti P1 e P2;quindi si traccia un arco di centro O e apertura O1 fino aincontrare la (t''α) nel punto 2. Di qui si conduce una parallelaa t'α, che interseca la perpendicolare da P1 verso t'α nel punto(P).
(P) è il ribaltamento di P sul quadro xy.
Problema B
Dal ribaltamento di un punto P appartenente a ungenerico piano α ricavarne le viste
In questo problema si esegue un'operazione di raddrizza-mento, inversa del ribaltamento.
Come in precedenza si disegnano le tracce t'α, t''α e (t''α) che individuano il piano α e il suo ribaltamento su xy.
Nel ribaltamento del piano, cioè nella zona compresa trat'α e (t''α), si sceglie un punto (P).
Da (P) si traccia la parallela a t'α fino a incontrare la (t''α)nel punto 1 ; quindi con centro in O si riporta la distanza O1verso la t''α, individuando il punto 2.
Dal punto 2 si traccia una verticale verso l'asse x e di quila parallela alla t'α. Su quest'ultima si trova il punto P1mediante la perpendicolare da (P) verso la t'α.
Il punto P2 si trova mediante la verticale per P1 e l'orizzontaleper il punto 2.
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(t''α)B1
(A) 90°(B)
(C)
A1C1
A2
C2 B2
Problema C
Trovare la vera forma di un triangolo appartenente aun piano generico α
Si disegnano il piano α, il suo ribaltamento su xy e le dueviste del triangolo ABC appartenente ad α.
Seguendo il procedimento del problema A si ottengono iribaltamenti dei vertici e quindi la vera forma del triangolodato.
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(P)90°
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(C)
