04/08/2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONASFACULDADE DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Resistência II – Flambagem

Aula Expositiva Baseada e com Figuras Retiradas do Livro

Resistência dos Materiais / BEER E JOHNSTON

Estabilidade de Estruturas

uA

P σσ ≤=

espAE

PL δδ ≤=

Estabilidade de Estruturas

( )flambagem de momento

22

momento 2

=∆=∆

=∆

θθ

θL

PsenL

P

K

( )

L

KPP

KL

P

cr4

22

=<

∆<∆ θθ

Estabilidade de Estruturas

( )

θθ

θθ

sin4

2sin2

==

=

crP

P

K

PL

KL

P

• Se sinθ < θ , para a estrutura assumida é apenas possível se P > Pcr.

Fórmula de Euler para barras bi-rotulada

02

2

2

2

=+

−==

yEI

P

dx

yd

yEI

P

EI

M

dx

yd

( )( )2

2

2

22

2

2

rL

E

AL

ArE

A

P

L

EIPP

cr

cr

ππσσ

π

==>=

=>

( )

( )

esbeltez de ndice

crítica ensão 2

2

2

22

2

2

ír

L

trL

E

AL

ArE

A

P

A

PL

EIPP

cr

crcr

cr

=

==

=

=>=

=>

π

πσ

σσ

π

• Para cargas centradas

Fórmula de Euler para barras bi-rotulada

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2

Instabilidade Global• A carga de compressão atinge o valor que causa a instabilidade • Análise do caso fundamental: barra ideal (sem imperfeições)

“Coluna de Euller” (1744; 1759): Material elástico-linear

Extensão da fórmula de Euler

( )eequivalent ocompriment 2

2

2

2

2

==

=

=

LL

rL

E

L

EIP

e

e

cr

ecr

πσ

π

Extensão da Fórmula de Euler Exemplo

Uma coluna de comprimento L e seção transversal retangular está engastadaem B e tem uma carga centrada aplicada em A. Duas barras rotuladas restringemo deslotamento na direção y em A, permitindo apenas movimento vertical edeslocamento horizontal no eixo z.

a) Determine a relaçãoa/bdos dois lados da seção transversal de maior eficienciacontra flambagem da coluna.

b) Dimensionar a seção transversal mais eficiente para a coluna.

L = 500 mm

E = 70 GPa

P = 20 kN

FS = 2.5

• Plano XY:

127.0

1212

,

23121

2

a

L

r

L

ar

a

ab

ba

A

Ir

z

ze

zz

z

=

====

• Plano xz:

12/2

1212

,

23121

2

b

L

r

L

br

b

ab

ab

A

Ir

y

ye

yy

y

=

====

• Melhor eficiência:

27.0

12/2

127.0

,,

=

=

=

b

a

b

L

a

L

r

L

r

L

y

ye

z

ze

35,0=b

a

Exemplo Exemplo

L = 500 mm

E = 70 GPa

P = 20 kN

FS = 2.5

a/b = 0,35

• Dimensionamento:

( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )2

62

2

62

2

2

cr

cr

46,3

²/10.70

0,35

50

46,3

10.70

0,35

50

50205.2

46,3

12

5,02

12

2

b

mkN

bb

kN

brL

E

bbA

P

kNPFSP

bbb

L

r

L

e

cr

cr

y

e

π

ππσ

σ

=

==

==

===

===

cmba

cmb

39,135,0

47,3

===

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3

Exercício

( )2

2

rL

E

e

cr

πσ =

Exercício

( )2

2

rL

E

e

cr

πσ =

Exercício

( )2

2

rL

E

e

cr

πσ =

Qual a carga máxima que suporta uma coluna de aço, sabendo-se que a seção da mesma é de 5x15 cm e a altura de: 7m, 4m e 1,4m. E = 200GPa

Carregamento Excêntrico; Secante

2

2

max

2

2

12

sece

crcr L

EIP

P

Pey

EI

PePy

dx

yd

ππ =

−

=

−−=

• Linhas ElásticaP = Pcr

• Tensão Máxima

( )

+=

++=

r

L

EA

P

r

ec

A

P

r

cey

A

P

e

2

1sec1

1

2

2max

maxσ

+==r

L

EA

P

r

ec

A

P eY 2

1sec1

2max σσ

Carregamento Excêntrico; Secante Projeto de Pilares com Cargas Excêntricas

admI

Mc

A

P σ≤+

( ) ( ) 1≤+momentoadmcentradaadm

IMcAP

σσ

I

Mc

A

Pmomentocentrada

+=

+=

maxσ

σσσ

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4

Exemplo

Uma coluna uniforme tem comprimento de 8-ft e seção quadrada de lado 4 in.

a) Utilizando a fórmula de Euler e fator de segurança de 2, determine o valor máximode P e a tensão normal máxima.

b) Admitindo a força P máxima calculada ema) com e=0,75in, determine o máximodeslocamento de flambagem no topo da barra e a máxima tensão normal. .psi1029 6×=E

Exemplo

( ) in. 192 ft 16ft 82 ===eL

( )( )( )

kips 1.62

in 192

in 0.8psi 10292

462

2

2

=

×== ππ

ecr

L

EIP

2in 3.54

kips 1.312

kips 1.62

==

==

A

PFS

PP

adm

cradm

σ

kips 1.31=admP

ksi 79.8=σ

Exemplo

in. 939.0=my

( )

−

=

−

=

122

secin 075.0

12

sec

π

πcr

m P

Pey

( )( )( )

+=

+=

22sec

in 1.50

in 2in 75.01

in 3.54

kips 31.1

2sec1

22

2

π

πσcr

m P

P

r

ec

A

P

ksi 0.22=mσ

Exercício

+=

r

L

EA

P

r

ec

A

P e

2

1sec1 2maxσ

Um poste de madeira de 220 mm de diâmetro está livre em seu topo A e engastadoem sua base B. Para o tipo de madeira usada E = 12 GPa. Adotando uma carga P = 10kN,determinar o maior valor de tensão.