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Structures booléennes Relations Logiques λ-calculs booléens

Relations logiques et fonctions booléennes.

Antonio Bucciarelli

Laboratoire Preuves Programmes et SystèmesUniversité Paris Diderot - Paris 7

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1 Structures booléennesDéfinition et exemples

2 Relations LogiquesLa relation de totalitéClasses de totalité et sensibilité des fonctions booléennesSituations d’“écroulement extensionnel”

3 λ-calculs booléensSyntaxeSémantiqueLe lemme fondamentale des relations logiquesDegrés de définissabilitéDegrés de parallélisme

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Définition et exemples

Structures booléennes

Types (booléens) simples

σ ::= bool | σ → σ

Par exemple

bool → (bool → bool) : le type des fonctions booléennes à deux arguments.En général σ1 → (σ2 → (... → (σn−1 → σn)...)) ≡ (σ1 × σ2 × ...× σn−1) → σn

(bool → bool) → bool : le type des fonctionnelles qui prennent en argument unefonction booléenne unaire, et renvoient un booléen.

Structures booléennes

Une structure booléenne Dσ est une famille d’ensembles indexée par les typessimples, munie d’une famille de fonctions evalσ,τ : (Dσ→τ × Dσ) ⇒ Dτ .Dσ est extensionnelle si (∀x eval(f , x) = eval(g, x)) ⇒ f = g.

Souvent, Dσ→τ est un ensemble de fonctions de Dσ vers Dτ , et evalσ,τ estl’application (abus de notation habituelle : pour f ∈ Dσ→τ , x ∈ Dσ , on écrit f (x) au lieudeevalσ,τ (f , x).)

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Structures booléennes : exemples

La structure Sσ :Sbool = 0, 1,Sσ→τ = toutes les fonctions de Sσ vers Sτ .

La structure Cσ :Cbool = ⊥, 0, 1, avec ⊥< 0, 1Cσ→τ = les fonctions monotones de Cσ vers Cτ , ordonnées point par point..

La structure Lσ :Lbool = ⊥, 0, 1,⊤, avec ⊥< 0, 1 < ⊤Lσ→τ = les fonctions monotones de Lσ vers Lτ , ordonnées point par point.

Construction d’une structure booléenne : le cas général

Si C est une catégorie cartésienne fermée, B un objet de C, et on définit Cbool = B, etCσ→τ = Cσ ⇒ Cτ , alors la famille Dσ = C(1,Cσ) est une structure booléenne, avecevalσ,τ (f , x) = ev 〈f , x〉.

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L’ordre partiel Cbool→bool

0 7→ 0 0 7→ 1 1 7→ 0 1 7→ 1

∅

0 7→ 0, 1 7→ 1 0 7→ 1, 1 7→ 0 0 7→ 1, 1 7→ 1

⊥7→ 0 ⊥7→ 1

0 7→ 0, 1 7→ 0

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Relations logiques

Cas binaire

Une relation logique (binaire) entre deux structures booléennes Dσ, Eσ est unefamille de relations binaires Rσ telle que, pour tous σ, τ :

Rσ ⊆ Dσ × Eσ

(f , g) ∈ Rσ→τ ssi pour tout (x , y) ∈ Dσ × Eσ ( (x , y) ∈ Rσ ⇒ (f (x), g(y)) ∈ Rτ )

Notation : Rσ ⊆ Dσ × Eσ

Premier exemple : la totalité

La relation de totalité est la relation logique binaire Tσ ⊆ Cσ × Sσ, définie parTbool = (0, 0), (1, 1)

Graphiquement :

01 1 0

Tbool Tbool

⊥

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La relation de totalité au type bool → bool

0 7→ 0 0 7→ 1 1 7→ 0 1 7→ 1

∅

0 7→ 1, 1 7→ 0 0 7→ 1, 1 7→ 1

⊥7→ 0 ⊥7→ 1

0 7→ 0, 1 7→ 0 0 7→ 0, 1 7→ 1

0 7→ 0, 1 7→ 0

0 7→ 0, 1 7→ 1

0 7→ 1, 1 7→ 0

0 7→ 1, 1 7→ 1

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Les classes de totalité

Surjections logiques partielles

Une relation logique Rσ ⊆ Dσ × Eσ est une surjection logique partielle si, pourtout type σ, Rσ est une relation surjective et fonctionnelle de Dσ vers Eσ .Pour x ∈ Eσ , y ∈ Dσ | (y , x) ∈ Rσ est la R-classe de x .

Classes de totalité

Tσ ⊆ Cσ × Sσ est une surjetions logique partielle.

Pour x ∈ Sσ , la classe de totalité de x (i.e. l’ensemble y ∈ Cσ | (y , x) ∈ Tσ) estun treillis.

Les éléments de la classe de totalité de x ∈ Sσ peuvent être considérés commedes algorithmes qui “implémentent” x .

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La classe de totalité de la disjonction (binaire)

ou_gauche = ((1,⊥), 1), ((0, 1), 1), ((0, 0), 0)

ou_strict = ((1, 1), 1), ((1, 0), 1), ((0, 1), 1), ((0, 0), 0)

ou_parallele = ((1,⊥), 1), ((⊥, 1), 1), ((0, 0), 0)

ou_droit = ((⊥, 1), 1), ((0, 0), 1), ((0, 0), 0)

Les fonctions ou_strict, ou_gauche et ou_droit sont des implantations séquentielles dela disjonction booléenne. Le ou_parallèle (le top du treillis) est une implantationparallèle.(en général, les plus petits éléments des classes de totalités sont séquentiels).

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Le problème de la séquentialité (digression historique)

Sσ n’est pas un modèle “réaliste” des langages de programmation (pas de nonterminaison, pas de définitions récursives)

Cσ (le modèle de Scott) contient des éléments non définissables par leslangages séquentiels (comme le λ-calcul, ou les langages de programmationconventionnels).

Problème : définir un modèle dont tous les éléments soient (λ)-définissables.

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Classes de totalité et sensibilité des fonctions booléenne s

Sensibilité des fonctions booléennes et classes de totalité

Sensibilité : une mesure de complexité des fonctions boolée nnes

Soit f : 0, 1n → 0, 1

La sensibilité de f en x = (x1, . . . , xn) ∈ 0, 1n estS(f , x) =

∑ni=1 |f (x1, . . . , xn)− f (x1, . . . , xi−1, xi , xi+1, . . . , xn)|

La sensibilité de f est S(f ) =∑

x∈bn S(f , x).

f S(f ) Taille de la classe de totalité de f

fonction de parité n-aire n ∗ 2n 1fonction constante n-aire 0 > n ∗ 2n (0 7→ 1, 1 7→ 2, 3 7→ 17, ...)

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Situations d’“écroulement extensionnel”


Une situation d’écroulement extensionnel est la donnée de deux structures booléennesDσ, Eσ et d’une surjection logique partielle Rσ ⊆ Dσ × Eσ

Dans une situation d’écroulement extensionnel :

Les R-classes des éléments de Eσ fournissent un outil pour l’étude depropriétés de ces éléments (par exemple, la sensibilité dans l’écroulement partotalité de Cσ sur Sσ).

(En tant que modèles du λ-calcul simplement typé) La théorie de Dσ est plusfine que celle de Eσ.

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Situations d’écroulement extensionnel

“Gros” modèle “Petit” modèle

C SL CRel LStabmult StabsetSeqAlg HyperCoh... ...

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Syntaxe

λ-calculs booléens

Types : σ ::= bool | σ → σ

Termes : le noyau commun à tous les langages

t ::= xσ | λxσ .t |t1 t2

Un λ-calcul booléen particulier est défini par un ensemble de constantes, typées (parexemple : true : bool, false : bool, not : bool → bool, and : bool → bool → bool, or :bool → bool → bool).

Règle de réduction

règle β : (λx .t) r t[r/x ]

règles δ : propres aux constantes ; par exemple not true false

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Syntaxe

Circuits booléens et λ-termes

Un circuit définissant la fonction de parité à deux arguments et le λ-termecorrespondant :

x

y

λxbool.λybool.or(and x (not x))(and y (not y))

Un terme de type supérieure :λf bool→bool.λgbool→bool.λxbool.f (g x)

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Syntaxe

Un exemple de λ-calcul booléen : PCF finitaire

Constantes

Ω, true, false : bool

if : bool → bool → bool → bool

Règles de réduction

Ω Ωt t′

if t r s if t′ r s

if true r s r

if false r s s

Exemple de terme : le “ou gauche”

ou_gauche ≡ λx .λy . if x true y

ou_gauche true Ω ∗ true

ou_gauche Ω true 6 ∗ true

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Sémantique

Interprétation des λ-calculs dans les structures booléennes

Données : une structure booléenne Dσ, un λ-calcul Λ caractérisé par l’ensembleC = c1 : σ1, . . . , ck : σk de constantes.But : définir une interprétation J K des termes de Λ dans Dσ, qui soit un modèledénotationnel de Λ dans le sense suivant : si t ∗ t ′ alors JtK = Jt ′K.Un environnement ρ est une fonction des variables de Λ dans

⋃

σDσ , préservant les

types.

Interprétation des termes

JxKρ = ρ(x)

JciKρ = ci ∈ Dσi condition : ci valide les règles de réduction définissant ci ,

Jλx .tKρ(d) = JtKρ[x :=d ]

Jt sKρ = JtKρ(JsKρ)

Par exemple :

Cσ est un modèle de PCF finitaire.

Sσ est un modèle du λ-calcul défini par l’ensemble true, false, not, and, or.

Sσ n’est pas un modèle de PCF finitaire.

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Le lemme fondamentale des relations logiques

λ-calcul booléens et relations logiques

Lemme fondamentale des relations logiques

Soit Λ λ-calcul booléen, Dσ , Eσ modèles de Λ, Rσ ⊆ Dσ× Eσ une relationlogique telle que, pour toute constante c : σ de Λ, (JcKD , JcKE ) ∈ Rσ .Alors, pour tout terme (clos) t : τ , (JtKD , JtKE ) ∈ Rτ .

Exemple d’utilisation du lemme fondamentale pour prouver des résultats de nondéfinissabilité :À voir : l’ensemble and , or n’est pas fonctionnellement complet.Soit Mσ ⊆ Sσ × Sσ la relation logique définie par Mbool = (0, 0), (0, 1), (1, 1).

(JandKS , JandKS) ∈ Mbool→bool→bool

(JorKS , JorKS) ∈ Mbool→bool→bool

(JnotKS , JnotKS)not ∈ Mbool→bool, car (0, 1) ∈ Mbool et(JnotKS(0), JnotKS(1)) = (1, 0) 6∈ Mbool.

Donc not n’est pas (λ-)définissable à partir de and et or .

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Degrés de définissabilité


Données : un λ-calcul Λ, un modèle Dσ de Λ.

Definissabilité relative

Pour f , g éléments du modèle Dσ, f est définissable relativement à g, f ≤d g, s’ilexiste un terme t de Λ + cg tel que JtKD = f , cg étant une nouvelle constante de Λ dontl’interprétation est g.

Par exemple, pour le λ-calcul sans constantes et son modèle Sσ, ∀f ∈ Sσ , avec σd’ordre 1, on a f ≤d nand .


Un degré de définissabilité est une classe d’équivalence de la relation d’équivalence≡d associée au préordre ≤d .

Par exemple, si on considère le calcul ayant not comme unique constante, et sonmodèle Sσ, on a and ≡d or , car or = Jλxbool.λybool.not(not x)(not y)K etand = Jλxbool.λybool.not(not x)(not y)K.

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Degrés de parallélisme


Étude des degrés de définissabilité dans le modèle Cσ, relativement à PCF finitaire.

Plotkin, 1976

Tous les éléments de Cσ,à tous les types, sont définissables relativement à lafonction ou_parallele.

Sieber, 1992

La définissabilité relative dans le modèle Cσ de PCF finitaire est décidable, pour desfonctions d’ordre ≤ 2.

Loader, 1994

La définissabilité relative dans le modèle Cσ, de PCF finitaire est indécidable, engénéral.

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Hypergraphes représentant les élément d’ordre 1 de Cσ :

por(x , y) =

1 si x = 1 ou y = 10 si x = 0 et y = 0⊥ sinon

trace(por) = ((1,⊥), 1), ((⊥, 1), 1), ((0, 0), 0)

L’hypergraphe associé à por , Hpor , est :

⊥, 11,⊥

0, 0

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La “fonction de Gustave” :

g(x , y , z) =

1 si (x = 1 ∧ y = 0) ∨ (x = 0 ∧ z = 1) ∨ (y = 1 ∧ z = 0)⊥ sinon

trace(g) = ((1, 0,⊥), 1), ((0,⊥, 1), 1), ((⊥, 1, 0), 1)

Hg :

0,⊥, 1⊥, 1, 0

1, 0,⊥

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Compilation d’un morphisme d’hypergraphes vers un terme dePCF

0,⊥, 1⊥, 1, 0

1, 0,⊥

0, 0

⊥, 11,⊥

g = fun x y z . por (if y (if z Omega true) (if x true Omega))(if z (if x Omega true) Omega)

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Correction

S’il existe un morphisme de Hf vers Hg , alors f ≤p g.

La complétude ne vaut pas :

por3

por2

1,⊥ ⊥, 1

⊥, 1,⊥

1,⊥,⊥ ⊥,⊥, 1

por3 = fun x y z . por2 (por2 x y) z

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Morphismes stratifiés :

1,⊥ ⊥, 1

⊥, 1,⊥

1,⊥,⊥ ⊥,⊥, 1

por3 = fun x y z . por2 (por2 x y) z

Thm. de complétude pour les fonctions sous-séquentielles

If f est sous-séquentielle, alors il existe un morphisme stratifié de Hf vers Hg , si etseulement si f ≤p g.

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Quelques références bibliographiques

A.B. : Extensional collapse situations I : non-termination and unrecoverable errors.

A.B. : Degrees of parallelism in the continuous type hierarchy.

A.B., P. Malacaria : Relative definabilioty of boolean functions via hypergraphs.

A.B., B. Leperchey : Hypergraphs and degrees of parallelelism, a completenessresult.

www.pps.jussieu.fr/˜buccia/PUBLI

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