DINAMIKA

U opštem slučaju ovaj dinamički sistem je NELINEARAN

Dinamički sistem - pogon sa motorom jednosmerne struje: N:

, [ ], ,a f fi iϕ ω θ

au Dinamički sistemfu

mm

Ulazi Izlazi (?)

MATEMATIČKI MODEL POGONA SA NEZAVISNO POBUĐENOM JEDNOSMEROM MAŠINOM

Ponavljanje gradiva.

N: ( )** * * *

*

1aa a f a

a

diT u idt R

ϕ ω= − ⋅ −

( )( )* * * ** *

f f f ff f f f

d L i i dT T u i

dt dtϕ⋅

= = −

** * * * * * *m f a m

dT i m k kdt ω θω ϕ ω θ= ⋅ − − ⋅ − ⋅

**

dTdtθθ ω=

+−

1

apT1

mpT

1

fpT

1

aRau

e aiem

mm

ω

1( )ff ϕ−

+ −

+ −fu

fi

fϕ

1pTθ

θ

fϕω

fϕ

+ −

−

kω

+

+kθ

BLOK DIJAGRAM MATEMATIČKOG MODELA POGONA

Jednačina pobude (Prva varijanta)

Jednačina indukta

Njutnova jednačina N:

+−

1

apT1

mpT1

aRau

e aiem

mm

ω+ −

fϕ

1pTθ

θ

ω

1

fpT

( )ff ϕ

+ −fu

fi

fϕ

÷ ( )f fL ifi

+ −

−

kω

+

+kθ

BLOK DIJAGRAM MATEMATIČKOG MODELA POGONA

Jednačina pobude (Druga varijanta)

Jednačina indukta

Njutnova jednačina N:

LINEARAN SLUČAJ

Ovaj uslov eliminiše jednačinu pobudnog kola.

U prostoru stanja model pogona - dinamičkog sistema je:

1 10 0

10

1 0 00 0

fa a a

a a a a af

mm m m m

i i uT R T R Tk kd m

dt T T T T

T

ω θ

θ

ϕ

ϕω ω

θ θ

− − = − − + −

.f constϕ =

, ,ai ω θ

au Dinamički sistem

mmIzlazi (?)Ulazi

Blok dijagram u operatorskom domenu:

+−

1

apT1

mpT1

aRau

e aiem

mm

ω+ −fϕ

1pTθ

θ

ω

+ −

−

kω

+

+kθ

fϕ

Jednačina indukta

Njutnova jednačina N:

LINEARIZOVANI SLUČAJ Matematički model nelinearnog dinamičkog sistema može se linearizovati u radnoj tački, odnosno u okolini radne tačke, stacionarnog stanja. Na osnovu poznavanja vrednosti vektora ulaza: u posmatranom režimu i jednačina stacionarnog stanja može se odrediti odgovarajuća vrednost vektora stanja:

Dinamički sistem pogona sa nezavisno pobuđenim jednosmernim motorom, sad je:

, [ ], ,a f fi iϕ ω θ∆ ∆ ∆ ∆ ∆au∆ Dinamički sistemfu∆

mm∆

Ulazi Izlazi (?)

0 0 0 0 0, [ ], ,a f fi iϕ ω θza

0u

0x

.f constϕ ≠

Koordinate vektora stanja u posmatranom režimu, odnosno za određene vrednosti vektora ulaza dobijaju se rešavanjem jednačina ustaljenog stanja:

( )

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

a a f a

f f

f a m

f f

R i u

i u

i k m

f i

ω

ϕ ω

ϕ ω

ϕ

⋅ + ⋅ =

=

⋅ − ⋅ =

=

po

Četvrta jednačina iz koje sledi ω0=0, je izostavljena jer nas ograničava na samo jedan specijalan slučaj.

[ ]T

a f fi iϕ ω = x

0 0 0T

a f mu u m = u

0 0 0 0[ ]T

a f fi iϕ ω = 0x

N:

0

0 0, ,0 0 0 0

( , )

( , ) ( , )

ddt

=

∆ = −

∂ ∂ ≈ + ⋅∆ + ⋅∆ ∂ ∂ x u x u

x f x u

x x x

f ff x u f x u x ux u

( )

0 0

0 0

0

0 ( , )ddtd d d ddt dt dt dt

=

= =

= + ∆ = + ∆

x f x u

x x x x x

0 0, ,0 0 0 00

( , )ddt

=

∆ ∆

∂ ∂ ∆ ≈ + ⋅∆ + ⋅∆ ∂ ∂ x u x u

A B

f fx f x u x ux u

Podsetnik

( )( )

00

10

0 0

1 1 0 0

1 10 0 0 0

10 0

fa a a

a a a a a a a

f f f ff f f

f a mmm m m

i i uT R T R T R T

d f udt T T

i k mTT T T

ω

ϕω

ϕ ϕ ϕϕ

ϕω ω

−

∆ ∆ ∆− − ∂ ∆ = − ∆ + ∆ ∂ −∆ ∆ ∆−

Odgovarajući linearizovani matematički model nezavisno pobuđenog jednosmernog motora u prostoru stanja je:

uBxAx

∆+∆=∆

∆∆dtdN:

( )( )* * * ** *

f f f ff f f f

d L i i dT T u i

dt dtϕ⋅

= = −

( )( )

** *

*0

1* 0

1 ( )ff f

f

ff f

f

f f ff

du i

dt T

ii

i f

ϕ

ϕϕ

ϕ ϕϕ

−

∆= ∆ −∆

∂∆ = ∆

∂

∂∆ = ∆

∂

Ako za promenljivu stanja umesto Δϕf uzmemo Δif

matematički model u prostoru stanja je:

0 0 0

0 0 0

1 1 0 0

1 10 0 0 0

10 0

f fa a a

a a a a a a a

f f ff f

f a fm

mm m m

i i uT R T R T R T

d i i udt T T

i k mTT T T

ω

ω ϕ ϕ

ϕ ϕω ω

′ ∆ ∆ ∆− − − ∆ = − ∆ + ∆ ′ ′ ′ −∆ ∆ ∆−

gde je: ( )( )( )

( )( ) ( )

0 0

0 0

0 0 0

f f

f ff

f f f f f f ff

f i

f ii

T T L i i L ii

ϕ

ϕ

=

∂′ =∂

∂′ = ⋅ + ∂

N:

( )( )* * * ** *

f f f ff f f f

d L i i dT T u i

dt dtϕ⋅

= = −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

* 0*0 * 0 * *

* 0 *0 * 0 * *

1,

f fff f f f f f

f

f f ff f f f f f f

f f

L id iT i L i u i

dt i

L i d iT T i L i u i

i dt T

∂∆ + = ∆ −∆

∂

∂ ∆ ′ = + = ∆ −∆

∂ ′

( ) ( )

( ) ( )

* * *

* *

**

*

* *

* * *

f f f f

f f f f f f

f

f ff

f f f f f f

f

L i di diT i L i u i

i dt dt

L idiT i L i u i

dt i

∂+ = −

∂ ∂

+ = − ∂

- U skladu sa fizičkom stranom procesa i polaznom idejom da se uprosti analiza ponašanja pogona sa MJS u dinamičkom režimu linearizacijom karakteristike magnećenja u okolini radne tačke, može se izraz u zagradi zameniti njegovom vrednošću izračunatom u datoj radnoj tački:

Blok dijagram u operatorskom domenu ako je jedna od promenljivih stanja Δϕf :

+−

1

apT1

mpT1

aRau∆

e∆

ai∆em∆

mm∆

ω∆+ −

1

fpT

( )10( )f

ff ϕ

ϕ−∂

∂

+ −fu∆

fi∆

fϕ∆

+ −

−

kω

0fϕ

0fϕ

++

0ai

++

0ω

fϕ∆

N:

Blok dijagram u operatorskom domenu kada je promenljiva stanja Δif umesto Δϕf .

N:

+−

1

apT1

mpT1

aRau∆

e∆

ai∆em∆

mm∆

ω∆+ −

1

fpT ′+ −fu∆

fi∆

fϕ∆

+ −

−

kω

0fϕ

0fϕ

++

0ai

++

0ωfϕ∆

0fϕ′

fi∆

VEKTOR IZLAZA

= ⋅y C x

Ta fi i ω θ = x

=y x

– jedinična matrica

[ ]ω=y

[ ]Taiω=y

Na sličan način može se odrediti matrica C i za druge slučajeve.

Kod dinamičkih sistema kao što su elektromotorni pogoni, ulazi se obično ne prosleđuju direktno na izlaz, pa je:

Za

Ako je: =C I[ ]0 0 1 0=C0 0 1 01 0 0 0

=

C

ANALIZA DINAMIČKIH REŽIMA

Nećemo uzimati u razmatranje treću promenljivu stanja θ.

Metode: − Funkcije prenosa; − Polovi i sopstvene vrednosti; − Modelovanje.

Primenu navedenih metoda razmotrićemo na najjednostavnijem primeru u kome je posmatrani dinamički sistem LINEARAN.

.f constϕ = 0kω =

FUNKCIJE PRENOSA Operatorski domen. Blok dijagram koji odgovara ovom slučaju je:

Ulazi u sistem: ua i mm. Izlazi iz sistema, npr.: ω i ia.

+−

1

apT1

mpT1

aRau

e

ai

em

mm

ω+ −fϕ

ω

+ −

fϕ

ai

Druga varijanta blok dijagrama, gde je jednom prenosnom funkcijom zamenjena jednačina indukta:

+−

1/1

a

a

RpT+

1

mpTau

e

ai em

mm

ωfϕ

ω

+ −

fϕ

ai

Ulazi u sistem: ua i mm. Izlazi iz sistema, npr.: ω i ia.

Funkcije prenosa koje se dobijaju poznatim metodama, pomoću blok dijagrama:

( ) 2 2/

/f a

a a m m f a

Rp

u p T T pT R

ϕωϕ

=+ +

( ) 2 2/

/a m a

a a m m f a

i pT Rpu p T T pT Rϕ

=+ +

( ) ( )2 2

1

/a

m a m m f a

pTp

m p T T pT Rω

ϕ

− +=

+ +

( ) 2 2/

/f aa

m a m m f a

Ri pm p T T pT R

ϕ

ϕ=

+ +

PROSTOR STANJA

U prostoru stanja sistem jednačina je:

1 1 0

100

fa a a

a a a a a

fm

mm

i i uT R T R Td

dtm

TT

ddt

ϕ

ϕω ω

− − = ⋅ + ⋅

−

= ⋅ + ⋅

BA

x A x B u

A - matrica sistema B - matrica ulaza

- vektor stanja x

- vektor ulaza u

Ako se usvoje isti izlazi kao u prethodnom slučaju, onda je:

0 11 0

a

a

iiω

ω

= ⋅

= ⋅C

y C x

C - matrica izlaza - vektor stanja x

- vektor izlaza y

Zamenjujući: pdtd=

Može se izvesti:

( ) ( )( )( )

1

det

H p p

adj pp

−= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

−= ⋅ ⋅ ⋅

−

y u C I A B u

I Ay C B u

I A

H(p) - Matrica prenosa.

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

pHpHpHpH

pHmiui

mu ωω

Pojedinačne funkcije prenosa:

( ) 2 2/

/f a

ua m m f a

RH p

p T T pT Rω

ϕ

ϕ=

+ +

( ) 2 2/

/m a

uia m m f a

pT RH pp T T pT Rϕ

=+ +

( ) ( )2 2

1

/a

ma m m f a

pTH p

p T T pT Rω

ϕ

− +=

+ +

( ) 2 2/

/f a

mia m m f a

RH p

p T T pT R

ϕ

ϕ=

+ +

POLOVI I SOPSTVENE VREDNOSTI Rešavanjem karakteristične jednačine dobijaju se polovi posmatranog dinamičkog sistema – pogona sa nezavisno pobuđenim motorom jednosmerne struje. N: 2 2 / 0a m m f ap T T pT Rϕ+ + =

Sopstvene vrednosti sistema dobijaju se rešavanjem jednačine:

( )

1

det det 0

f

a a a

f

m

T R T

T

ϕλ

λϕ

λ

+

− = = −

I A

N:

22

1 0

0

f f

a m a a

fa m m

a

T T R T

T T TR

ϕ ϕλ λ

ϕλ λ

+ ⋅ − − ⋅ =

⋅ + ⋅ + =

Rešenja karakteristične jednačine su:

2

1/2 1/2 2/1 1

2 4f a

a a m a

Rp j

T T T T

ϕλ= = − ± ⋅ −

Karakteristična jednačina:

Uticaj fluksa na raspored polova - sopstvenih vrednosti.

0 = ϕf -Re

ϕf = 0

Im

ϕf min > 0

ϕf max = ϕf nom

ϕfkr

ϕf max = ϕf nom

ϕf min > 0

N:

1

aT− 1

2 aT−

ϕf = 0,9⋅ϕf nom

a

amfkr T

RT21

±=ϕ

min0 f f fkrϕ ϕ ϕ< < <

fkr f fnomϕ ϕ ϕ< <

[ ] [ ]1/2 1/2Im Im 0p λ= ≠

Vrednost fluksa pri kojoj se polovi izjednačavaju, odnosno postaju konjugovano-kompleksni brojevi.

[ ] [ ]1/2 1/2Im p Im 0λ= =Za

[ ] [ ]1 2 1/21Re Re

2/a

pT

λ= = −Za

Uticaj mom. inercije (Tm) na raspored polova – sopst. vrednosti

Tm → ∞ Tm → ∞

Tm max

Tm min

Tmkr

Tm min

Tm max

N:

−Re

Im

1

aT−

12 aT

−

Tm nom 2⋅Tm nom

24 a fmkr

a

TT

Rϕ⋅

=

minm m mkrT T T< <

maxmkr m mT T T< <

[ ] [ ]1/2 1/2Im Im 0p λ= ≠

[ ] [ ]1 2 1/21Re Re

2/a

pT

λ= = −

[ ] [ ]1 2 1/2Im Im 0/p λ= =

Vrednost mehaničke vremenske konstante pri kojoj dolazi do promene prirode polova

Za

Za

Uticaj dod. otpora (Rad) na raspored polova – sopst. vrednosti

Karakteristična jednačina može se napisati: A:

022 =++ aaba*fmam L/RTpTTTp ϕgde je:

ada

aa RR

LT

+=

Polovi (sopstvene vrednosti) su:

2

2

2121 41

21

ama

ab*f

a// TTL

Rj

Tp −

⋅±−==

ϕλ

1/2 1/2 *Za 0 aba ad a f

a m

RR R T p jL T

λ ϕ+ → →∞ = = ±⋅

1 1

2 2

Za 00

ad aR T pp

λλ

→∞ → = =→ −∞

= =→

( )

*1 2 1 2

1/2

2 12/

Im 0 !!!

f aad kr a

am a ab

LZa R R p p

TT L R

p

ϕλ λ

⋅ ⋅= − = = = = −

⋅

=

Ne sme se zaboraviti da je min [Ra + Rad] = Ra !!!!

Im

−Re

Ra+Rad =0

Ra+Rad =0

Rad=0

Rad=0

Rad→∞ p2 →0

Rad→∞ p1 →−∞

1

aT− 1

2 aT−

Rad kr

Rad =Ra Rad =Ra Rad max Rad max

PROCENA PONAŠANJA POGONA U TRANZIJENTNIM STANJIMA POMOĆU FUNKCIJA PRENOSA

Potrebno je odrediti: ∆y(t) za odgovarajuće ∆u(t)

Egzaktna zavisnost dobija se inverznom Laplasovom transformacijom:

( ) ( )1( ) yy t p u pu

− ∆ = ⋅∆ L

Za inženjerske potrebe dovoljno je napraviti procenu na osnovu poznavanja: -polova ( sopstvenih vrednosti ); -vrednosti ∆y(0) i -vrednosti ∆y (∞).

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

( ) ( )( ) ( )0

£ ptF p f t f t e d t∞

−= = ⋅∫Umesto promenljive t – vreme, uvodi se promenljiva “p” – Laplasov operator, kompleksna promenljiva:

21n np j jσ ω ξ ω ω ξ= + ⋅ = ⋅ + ⋅ −

Gde je: σ – prigušenje;

ω – sopstvena učestanost;

ξ – relativno prigušenje;

ωn – prirodna učestanost.

Pierre-Simon Laplace 1749-1827

Podsećanje…

Važne relacije: ( ) ( ) ( )£ 0df t

pF p fdt

+ = −

( ) ( )0

£t F p

f t dtp

=

∫

( ) ( )0

lim limt p

f t pF p→ →∞

=

Jedinična odskočna funkcija

[ ] 2

1£ ( )t h tp

⋅ =

[ ]1 0 1( ) £ ( )0 0

th t h t

t p≥

= = <

[ ]0( ) ( ) =1 £ ( ) 1

0 0t

t t dt tt

δ δ δ+∞

−∞

+∞ == ⋅ = ≠

∫Jedinična impulsna funkcija

( ) ( )0

lim limt p

f t pF p→∞ →

=

Jedinična nagibna funkcija

Podsećanje…

( ) ( ) ( )

∆⋅=∆

∞→pup

uyplimy

p0

( ) ( ) ( )

∆⋅=∞∆

→pup

uyplimy

p 0

( )pupu ∆

=∆

( ) upu ∆=∆

Karakteristični ulazi: - " step "

- " impuls "

Za posmatrani pogon:

“Step” “Impuls”

t =0 t → ∞ t =0 t → ∞

ua → ω 0 ∆ ua / ϕf 0 0 ua → ia 0 0 ∆ ua / Ta Ra 0 mm → ω 0 -∆ mm Ra / ϕf

2 -∆ mm / Tm 0 mm → ia 0 ∆ mm / ϕf 0 0

( ) 2 2/

/f a

ua m m f a

RH p

p T T pT Rω

ϕ

ϕ=

+ +

( ) 2 2/

/m a

uia m m f a

pT RH pp T T pT Rϕ

=+ +

( ) ( )2 2

1

/a

ma m m f a

pTH p

p T T pT Rω

ϕ

− +=

+ +

( ) 2 2/

/f a

mia m m f a

RH p

p T T pT R

ϕ

ϕ=

+ +

Odziv brzine motora na promenu napona indukta po "step" funkciji (ua → ω)

0=t ∞→t

[ ]r.j.ω∆

[ ]st

f

auϕ∆

Tm1 > Tmkr Tm2 < Tmkr

Odziv brzine motora na impulsnu promenu napona indukta (ua → ω)

[ ]r.j.ω∆

[ ]st

0=t ∞→t

Tm1 > Tmkr Tm2 < Tmkr

Odziv brzine motora na promenu momenta opterećenja po "step" funkciji (mm → ω)

2f

amRmϕ

−

0=t ∞→t

[ ]r.j.ω∆

[ ]st

2f

amRmϕ

−Tm1 > Tmkr Tm2 < Tmkr

m

m

Tm−

∞→t0=t

[ ]r.j.ω∆

[ ]st

Odziv brzine motora na impulsnu promenu momenta opterećenja (mm → ω)

Tm1 > Tmkr Tm2 < Tmkr

Odziv brzine motora na impulsnu promenu momenta opterećenja (impuls duže traje u odnosu na prethodni slučaj) (mm → ω)

m

m

Tm−

∞→t0=t

[ ]r.j.ω∆

[ ]st

Tm1 > Tmkr Tm2 < Tmkr

Digitalni računari i softverski paketi. Mogućnosti: •analiza nelinearnih sistema; •analiza stanja kod više istovremenih poremećaja; •interaktivan rad sa modelom; •istovremeno posmatranje više izlaza, ili karakterističnih veličina; •utvrđivanje parametara sistema na osnovu poznavanja ulaza i izlaza itd.

MODELOVANJE

BLOK DIJAGRAM MODELA POGONA SA NEZAVISNO POBUĐENIM JEDNOSMERNIM MOTOROM

N:

Model jednosmernog motora u programu VisSim

Izgled bloka “jednosmerni motor” u razvijenom obliku sa prethodne slike

Slika 1: Start pogona u praznom hodu

Struja polaska je ograničena dodatim otporom. Prelazni proces je aperiodičan.

[r.j.] 0 2 [r.j.]trm , ω= ⋅

Slika 2: Start pogona u praznom hodu

Struja polaska ograničena kao na slici 1

Prelazni proces periodično - prigušen

[r.j.] 0 2 [r.j.]trm , ω= ⋅

Struja polaska ograničena kao na slici 1

Prelazni proces aperiodičan

Slika 3: Start pogona pod opterećenjem [r.j.] 0 7 [r.j.]+ [r.j.]m trm , m=

Slika 4: Start pogona pod opterećenjem

Struja polaska ograničena kao na slici 1

Prelazni proces periodično - prigušen

[r.j.] 0 7 [r.j.]+ [r.j.]m trm , m=

Slika 5: Opterećenje i potpuno rasterećenje

Prelazni procesi su periodični sa jakim prigušenjem

opterećenje

rasterećenje

[r.j.] 0 7 [r.j.]+ [r.j.]m trm , m=

Slika 6: Prelazak iz motornog u generatorski režim

generatorski režim, rekuperacija

0[r.j.] 0 7

m

m tr

mm , m

>

= +

0[r.j.] 0 7

m

m tr

mm , m

<

= − +

0[r.j.] 0 7

m

m tr

mm , m

>

= +

Slika 7: Rekuperacija usled snižavanja napona indukta Moment opterećenja konstantan

napon smanjen za 20% napon smanjen za 20%

rekuperacija

[r.j.] 0 7 [r.j.]+ [r.j.]m trm , m=

Slika 8: Protivstrujno kočenje na prvi način Moment opterećenja je potencijalan i konstantan

početak kočenja

revers

dodati otpor ima vrednost koja dovodi do reversa

[r.j.] 0 7 [r.j.]+ [r.j.]m trm , m=

Slika 9: Dinamičko kočenje - moment opterećenja konstantan

početak kočenja

[r.j.] 0 7 [r.j.]+ [r.j.]m trm , m=

Slika 10: Protivstrujno kočenje na drugi način Momenat opterećenja je reaktivan i konstantan

Prevezani krajevi indukta i dodat jako veliki otpor Zbog velikog otpora u kolu indukta momenat motora je manji od momenta opterećenja

Smanjen otpor u kolu indukta

[r.j.] 0 7 [r.j.]+ [r.j.]m trm , m=