Time domain analysis - UBIwebx.ubi.pt/~felippe/texts/contr_systems_ppt07p.pdf · tr = tempo de...

Aula 07“Análise no domínio do tempo”

(Time domain analysis)parte II - Sistemas de 2ª ordem

cbsas)s(G

2 ++α=

outputinput

Sistema de segunda ordem

do tipo

S

Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S cbsas2 ++

α

cbsas)s(G

2 ++α=

Sistema de segunda ordem

do tipo


outputinput

a

cs

a

bs

a

)s(R

)s(Y

2 ++

α

=

Sistemas de segunda ordem:

Koωn2

ωn2

ou seja:

2ζωn

cbsas2 ++

α

cbsas)s(R

)s(Y2 ++

α=


outputinput

a função de transferência:

Ko = ganho do sistema

ζ = coeficiente de amortecimento

ωn = frequência natural

2

nn

2

2

no

s2s

K

)s(R

)s(Y

ω+ζω+ω=

outputinput

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω


Além destes 3 parâmetros acima, temos também

outputinput

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω

ωd = frequência natural amortecida (‘damping frequency’)

1012

nd ≤ζ<ζ−⋅ω=ω


Ko = ganho do sistema

ζ = coeficiente de amortecimento

ωn = frequência natural

Exemplo 1:

1s12s4

3

)s(R

)s(Y2 ++

=

Ko = 3 ζ = 1 ωn = 1

Exemplo 2:

1s2s

3

)s(R

)s(Y2 ++

=

Ko = 3 ζ = 3 ωn = 0,5polos reais e distintos

polos reais e duplos

pólos: s = –2,914s = –0,086

polos: s = –1(duplo)

ωd = 0


2s2s2

3

)s(R

)s(Y2 ++

=

Exemplo 3:

Ko = 3 ζ = 0 ωn = ωd = 1

Exemplo 4:

Ko = 1,5 ζ = 0,5 ωn = 1

1s

3

)s(R

)s(Y2 +

=

polos complexos conjugados

polos complexos conjugados

polos:

s = –0,5 ± 0,866j

polos: s = ± j

(imaginários

puros)

ωd = 0,866


2

nn

2s2s)s(p ω+ζω+=

Equação característica:

∆ = 4 ζ2 ω2n – 4 ω2

n =

= 4 ω2n (ζ2 – 1)

ζ > 1 → polos reais e distintos

ζ = 1 → polos reais e duplos

0 < ζ < 1 → polos complexos conjugados

∆ > 0 → (ζ2 – 1) > 0 → ζ2 > 1 → ζ > 1

∆ = 0 → (ζ2 – 1) = 0 → ζ2 = 1 → ζ = 1

∆ < 0 → (ζ2 – 1) < 0 → ζ2 < 1 → ζ < 1


Qual é a resposta ao degrau?(step response)

Entrada degrau unitário

outputinput

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω


2o n

2 2n n

KY(s) R(s)

s 2 s

ω= ⋅+ ζω + ω

e como r(t) = degrau unitário:

2o n

2 2n n

K 1Y(s)

ss 2 s

ω= ⋅+ ζω + ω

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω

outputinput


[ ])s(Y)t(y 1−= La resposta ao degrau unitário depende do valor de ζ

a) 0 < ζ < 1 (sub amortecido)

b) ζ = 1 (amortecimento crítico)

c) ζ > 1 (sobre amortecido)

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω

outputinput


0t,tsen1

tcos1K)t(y d2

d

tn

o >

ω⋅

ζ−ζ+ω−= ζω−

e

Logo, no caso de 0 < ζ < 1 (sub amortecido) a resposta ao degrau unitário é:

[ ])s(Y)t(y 1−= L

2

nd 1 ζ−⋅ω=ωonde frequência natural amortecida

( damping frequency )

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω

outputinput


ω⋅


tsen1

tcos1K)t(y d2

d

tn

o e

resposta ao degrau unitário:

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω

outputinput


a resposta ao degrau unitário é:

ω⋅


tsen1

tcos1K)t(y d2

d

tn

o e


( )[ ] 0t,t11K)t(y n

tn

o >ω+⋅−= ζω−e

No caso de ζ = 1 (amortecimento crítico), a resposta ao degrau unitário é:

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω

[ ])s(Y)t(y 1−= L

outputinput


2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω


outputinput

( )[ ]t11K)t(y n

tn

o ω+−= ζω−e


resposta ao degrau unitário é:

( )[ ]t11K)t(y n

tn

o ω+−= ζω−e


0t,pp12

1K)t(y2

tp

1

tp

2

n21

o >

−⋅

−ζω+= ee

No caso de ζ > 1 (sobre amortecido), a resposta ao degrau unitário é:

[ ])s(Y)t(y 1−= L

( )11p 2

n

2

nn2,1 −ζ±ζω−=−ζωζω−= m

onde

Sistema tem polos reais

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω

outputinput



−⋅

−ζω+=

2

tp

1

tp

2

n

pp121K)t(y

21

o

ee

2o n

2 2n n

K

s 2 s

ω+ ζω + ω

outputinput



−⋅

−ζω+=

2

tp

1

tp

2

n

pp121K)t(y

21

o

ee


ζ = 1

ζ = 2

resposta ao degrau unitário


ζ = 4

ζ = 12



Caso sub amortecido


No caso 0 < ζ < 1,A resposta ao degrau unitário

pode ter muitas formas diferentes, dependendo

dos valores de ζ (coeficiente de amortecimento),

ωn (frequência natural) e Ko (ganho)

0t,tsen1

tcos1K)t(y d2

d

tn

o >

ω⋅


e

Observe que ωd depende de ζ e ωn

2

nd 1 ζ−⋅ω=ωfrequência natural amortecida(damping frequency)


ζ = 0,132

ωn = 0,57

ζ = 0,1

ωn = 2



ζ = 0,25

ωn = 1

ζ = 0,5

ωn = 0,2



ζ = 0,65

ωn = 2

ζ = 0,72

ωn = 0,8



ζ = 0,8

ωn = 1,4

ζ = 0,85

ωn = 0,7



ζ = 0

ωn = 0,2



Agora vamos nos concentrar neste

caso 0 < ζ < 1 e calcular alguns parâmetros.


Vamos calcular alguns parâ-

metros/variáveis para y(t) a resposta ao degrau unitário do sistema de 2ª ordem.


resposta em estado estacionário ( steady state output )

yss

yss = resposta em estado estacionário ousaída em regime permanente ( steady state output )

)s(Rs2s

K)s(Y

2

nn

2

2

no ⋅ω+ζω+

ω=

o

2

nn

2

2

no

0s

ostss

K

s

1

s2s

sKlim

)s(Yslim)t(ylimy

=

=⋅ω+ζω+

ω=

=⋅==

→

→∞→

yss = Ko

s

1)s(R =


oss Ky =


tempo de subida ( rising time )

tr

tr tempo de subida ( rising time )tempo necessário para que a res-posta ao degrau, y(t), atinja o valor final yss = Ko pela primeira vez.


oo Ktsen1

tcos1K)t(y rd2

rd

t

rrn =

ω⋅


e

tr = tempo de subida ( rising time )

0tsen1

tcos rd2

rdrtn =

ω⋅

ζ−ζ+ωζω−

e

1

ζζ−−=ω

2

rd

1)t(tg

n

d

ζωω−=

é o instante em que y(t) atinge o valor final Ko pela primeira vez.


tr = tempo de subida ( rising time )

depende dos valores de ζ ( coeficiente de amortecimento ),

e de ωn ( frequência natural )

d

2

d

n

d

r

1arctgarctg

tω

ζζ−−

=ω

ζωω−

=

tr = arctg(– ωd /ζω n) / ωd


d

n

d

r

arctg

tω

ζωω−

=


instante de pico ( peak time )

tp

tp instante de pico ( peak time ) é o instante em que a reposta ao

degrau y(t) atinge o primeiro pico.


ω⋅

ζ−ωζ+ωω−−

+

ω⋅

ζ−ζ+ω⋅ζω==′

ζω−

ζω−

rd2

drdd

t

rd2

rd

t

n

tcos1

tsen

tsen1

tcosKdt

dyy

n

n

o

e

e


yss = Ko ( ganho )

ζ ( coeficiente de amortecimento ),

ωn ( frequência natural )

ωn


)tcostsen

tsen1

tcosKdt

dy

dndd

d2

n

2

dn

tn

o

ω⋅ζω−ωω+

+ω⋅

ζ−ωζ+ωζω⋅= ζω−

e

ζ−ζ−ω+

ζ−ωζ⋅ω⋅⋅= ζω−

2

2

n

2

n

2

d

t

1

)1(

1tsenK n

o e

01

tsenK2

nd

tn

o =ζ−

ω⋅ω⋅⋅= ζω−e



0dt

dy =

d

ptωπ=

0tsen d =ω

L,3,2,,0td πππ=ω

tp = π / ωd



d

ptωπ=


overshoot ( sobressinal máximo )

Mp

Mp overshoot ( sobressinal máximo ) é a percentagem acima do valor

final yss que o primeiro pico atinge.


O overshoot Mp pode ser expresso como

um valor entre 0 e 1.


ou também pode ser expresso como

um valor entre 0% e 100%.


0 ≤ overshoot Mp ≤ 1 ou

0% ≤ overshoot Mp ≤ 100%


o

o

ζ1

t

o

pK

K)(senζ

)(cos1K

M2

pnζ −

π−π−

=−

ω−e


ss

ssmaxp

y

yyM

−=o

op

pK

K)t(yM

−=ou

( )

o

o

/

oop

K

KKKM

dnζ −+=

ωπω−e

– 1 0

yss = Ko ( ganho )

ζ ( coeficiente de amortecimento ),

ωn ( frequência natural )


o

2

op

K

KM

ζ1

πζ

−

−

= e

2

p

ζ1

πζ

M−

−

= e

Mp depende apenas de ζ ( coeficiente de amortecimento )



%100M2

p

ζ1

πζ

×= −

−

e


Mp depende apenas de ζ ( coeficiente de amortecimento )

2

p

ζ1

πζ

M−

−

= eou


2

p

ζ1

πζ

M

−

−

= e


tempo de acomodação ( settling time )

ts

ts tempo de acomodação ( settling time ) é tempo necessário para a reposta ao degrau y(t) alcançar e permanecer dentro de uma pequena faixa em torno do valor final yss.


esta faixa pode ser de 5% para cima e 5% para baixo do

valor final yss.


ou de 2% para cima e 2% para baixo do valor final yss.


O tempo de acomodação (settling time) é obtido a partir das

equações de ye(t), as curvas envoltórias de y(t).

[ ] 0t,1K)t(yt

en

o >±= ζω−e


n

s

3%)5(t

ζω=

n

s

4%)2(t

ζω=

O tempo de acomodação (settling time) ts é obtido fazendo

ye(ts) ≈ 1,05 Ko

para o caso de ts com 5% de tolerância, e

ye(ts) ≈ 1,02 Ko

para o caso de ts com 2% de tolerância.

Os valores que se obtém são:


tempo de acomodação ( settling time )

n

s

3%)5(t

ζω=

n

s

4%)2(t

ζω=

ts(5%) = 3 / ζωn

ts(2%) = 4 / ζωn

portanto:

e


Note que o tempo de

acomodação tr é inversamente proporcional

a ζωn, que é a distância da parte real dos polos à origem.

n

s

3%)5(t

ζω=


n

s

4%)2(t

ζω=


Entretanto, se ζ < 0 então:

Observe que vimos aqui os casos em que

o sistema é instável

0 < ζ < 1

ζ = 1

ζ > 1

ou seja:

ζ > 0


ζ < 0 → sistema instável (um exemplo)


ζ < 0 → sistema instável (outro exemplo)


Obrigado!

Felippe de Souza

[email protected]

Departamento de Engenharia Eletromecânica

Time domain analysis - UBIwebx.ubi.pt/~felippe/texts/contr_systems_ppt07p.pdf · tr = tempo de...

Documents

Transcript of Time domain analysis - UBIwebx.ubi.pt/~felippe/texts/contr_systems_ppt07p.pdf · tr = tempo de...