Redes Estocásticas de Jackson

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06/11/2014 1 Redes Estocásticas de Jackson Prof. Jairo R. Coronado-Hernandez Terminal con numero de fuentes limitadas Definición

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redes estocasticas de jackson

Transcript of Redes Estocásticas de Jackson

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    Redes Estocsticas de Jackson Prof. Jairo R. Coronado-Hernandez

    Terminal con numero de fuentes limitadas

    Definicin

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    Definiciones bsicas

    Tasa de produccin (Throughput (TH o ) ): Nmero promedio de unidades producidas (sin defecto) por unidad de tiempo.

    Tiempo en el Sistema (CT o W)*: Tiempo promedio que le toma a una parte ser producida. Comprende el perodo de tiempo desde el comienzo del proceso en la primera estacin hasta la terminacin de la parte en la ltima estacin.

    Inventario en Proceso (WIP o L): Nmero promedio de partes que se encuentran en el sistema por unidad de tiempo.

    Clasificacin de las redes estocsticas

    Abiertas (sistema Push):

    Cerradas (sistema Conwip):

    10 min 20 min 20 min 10 min

    AUTORIZA

    Call Centers

    Sistemas de enrutamiento

    Redes de retroalimentacin

    Uso de la CPU con perifricos

    Polticas en sistemas distribuidos

    Fuentes de transito.

    Ejemplo de red de puesta en fila con cuatro cadenas abiertas

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    Ejemplo de una red abierta con retroceso

    Ejemplo Red Abierta

    Ejemplo de Red Cerrada

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    Sistemas de puesta en fila por un servidor central y canales de entrada/salida

    REDES ABIERTAS

    Cmo esta definida una Red de Jackson?

    Conjunto de M nodos o estaciones.

    Enrutamiento de i a j con probabilidad Pij.

    Pueden ser que Pij > 0

    i es alimentada a una tasa de ri.

    Cada nodo es un sistema M/M/S.

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    Teorema de Jackson

    1iiS

    Si los tiempos de llegadas a un sistema en serie son exponenciales con rapidez , los tiempos de servicio para cada tem es la etapa i son exponenciales y tiene sala de espera infinita, entonces los tiempos entre llegadas para alcanzar cada etapa del sistema de cola son exponenciales con rapidez . (Jackson, 1957)

    Red Abierta

    Anlisis de Redes Abiertas

    Sea i la tasa de entrada a la estacin i

    Si la estacin i esta en equilibrio, entonces la tasa de salida es la misma.

    i j i

    rj

    j

    Pij

    ri

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    Continuando

    Por lo tanto:

    Mj

    ijijj Pr

    Red estocstica de Jackson

    De manera matricial

    = r + P

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    Para determinar los valores

    El resultado nos da las tasas en estado estable

    = r (I- P)-1

    En Jackson 1963

    La intensidad de llegada proveniente del exterior es:

    Modelo de Gordon y Newell(1967)

    Sistemas M/M/1 en serie

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    Ejercicio en clase 1

    Matriz semi-estocstica

    Tasas de arribo externas

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    Calculo de los Lambda

    Desarrollo

    Indicadores Finales

    WIP: 2.62 unidades

    W del sistema o TC: 0.524

    Lambda: 5

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    Ejercicio 1

    Sea la siguiente red:

    1 2 Tasa: 20 und/H

    r1: 8 Und/_H P(1,2)=0.5

    P(2,1)=0.25

    Tasa: 30 und/H

    Ejercicio 2

    Ejercicio 3

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    Ejercicio 4

    Lo que se conoce

    Las llegadas siguen una distribucin de POISSON

    Llenar el carro de la compra sigue una distribucin exponencial de media 45 minutos.

    En la zona de cajas se atiende exponencialmente a razn de 4 minuto de media por cliente.

    Preguntas

    Cul es el numero mnimo de cajas para atender sin que se desborden las colas en las horas pico?

    Si se decide colocar una caja ms que el numero mnimo, Cul es la espera media en la sala de espera?

    Cunto es el tiempo promedio que una persona demora en el supermercado?

    Cual es la tasa a la cual el supermercado atiende a los clientes?

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    REDES CERRADAS Prof. Jairo R. Coronado H.

    Ejemplos de Redes Cerradas

    Redes Estocsticas cerradas

    Un sistema de produccin CONWIP se comporta como una red estocstica cerrada.

    Las redes estocsticas cerradas son aquellas que solo permiten el ingreso de una unidad al sistema con previa autorizacin de la salida del mismo.

    Son equivalentes a un sistema con N clientes viajando a travs de una Red.

    La resolucin de esta red no es posible con el mismo anlisis que para redes abiertas porque habra infinitas soluciones.

    Esta basado entre la relacin entre el tiempo medio de espera y el tamao medio de la cola.

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    Solucin exacta de una red cerrada

    Como P es una matriz estocstica las ecuaciones de transito se veran de la siguiente manera:

    La resolucin de este sistema no es posible porque habra infinitas soluciones.

    Se busca encontrar el nivel mnimo de WIP que maximiza el througput y minimiza el tiempo de ciclo.

    Algoritmo del valor medio

    El algoritmo de valor medio (MVA, mean value algorithm) es un mecanismo para calcular medidas de calidad de funcionamiento de redes de puesta en fila de espera.

    Combina de excelente manera dos resultados principales de la teora de puesta en fila de espera: el teorema de llegada y la ley de Little.

    El algoritmo fue publicado por primera vez por Lavenberg y Reiser (1980 )

    Algoritmo MVA

    Como no se pueden determinar las tasas i entonces se pueden hallar las probabilidades invariantes asociadas a la matriz P, resolviendo el siguiente sistema:

    Si P es reducible entonces hay una distribucin nica.

    Despus de hallado los valores de se procede a utilizar el MVA

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    Pasos Algoritmo MVA

    1. Encontrar las probabilidades Invariantes i, as:

    Pasos Algoritmo MVA

    2. Inicializar Li(0)=0, Wi(0)=0 y i(0)=0

    3. Para n=1 hasta N calcular

    3.1 Para i = 1 hasta S

    End For

    3.2 Calcular:

    Pasos Algoritmo MVA

    3.3 Para i = 1 hasta S

    End For

    3.4 Para i = 1 hasta S

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    Ejemplo

    1

    1

    Se busca encontrar una tasa de produccin mayor que un sistema PUSH

    Solucin MVA

    Solucin ejemplo MVA

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    Ejemplo 2: Red Abierta

    25 ord/min 20 ord/min 21 ord/min

    10 ord/min1 2 3

    1 2 3

    1 0,02 0,95 0

    P = 2 0 0 1

    3 0 0 0

    Solucin Ejemplo 2

    Lambda 10,20408163 9,693877551 9,693877551

    Miu 25 20 21

    Bi 0,408163265 0,484693878 0,461613217

    Ls 0,689655172 0,940594059 0,857400722

    Ws 0,068 0,097 0,088

    Lq 0,028 0,047 0,041

    WIP 2,487649954

    TC 0,248764995

    Lambda 10

    Como red Cerrada

    25 ord/min 20 ord/min 21 ord/min

    1 2 3

    1 2 3

    1 0,02 0,95 0

    P = 2 0 0 1

    3 1 0 0

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    Solucin red cerrada

    i 0,34 0,33 0,33

    Miu 25,00 20,00 21,00

    Solucin red cerrada

    Solucin red cerrada

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    Bibliografa

    Riao Germn. Modelos Probabilsticos. Universidad de los Andes. 2007.

    Politecnico de Milano. Java Modeling Tools. 2008.