IES MURILLO Departamento de Matemáticas

1º Bachillerato Ciencias

EXAMEN DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. Dado el punto A(3,-1) y la recta r:2x-3y+4=0. a) Halla la ecuación de una recta paralela a r y que pase por A. b) Halla la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por A. (2 puntos) 2. Halla el simétrico del punto A(-2,0) respecto de la recta r: x+2y-3=0. (2 puntos)

3. Halla el ángulo α que forman las rectas 0=5-5y+12xs

0=7+4y-3xr

≡

≡ (1 punto)

4. Dados los puntos A(-1,3), B(1,1) y C(-3,-2) a) Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB. b) Halla la ecuación de una recta que sea paralela a AB y pase por el punto C.

(2 puntos)

5. Dado el triángulo de vértices A(-2,1), B(5,4), C(2,-3) a) Halla su área. b) Halla su perímetro. (2 puntos) 6. Comprueba si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, siendo A(5,1), B(1,2), C(3,4) y D(7,3). (1 punto)

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SOLUCIONES

1. Dado el punto A(3,-1) y la recta r:2x-3y+4=0. a) Halla la ecuación de una recta paralela a r y que pase por A.

Pendiente de r: 32m = , si es paralela, la pendiente es la misma.

Ecuación punto pendiente: )()( 3x321yxxmyy 00 −+−=→−+=

La ecuación de la recta pedida es: 3x32y −=

b) Halla la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por A.

Pendiente de una recta perpendicular: 23m −=

Ecuación punto pendiente: )()( 3x231yxxmyy 00 −−−=→−+=

La ecuación de la recta pedida es: 27x

23y +−=

2. Halla el simétrico del punto A(-2,0) respecto de la recta r: x+2y-3=0. Recta dada en forma explícita:

21m

23x

21y3xy2 −=→+−=→+−=

la recta perpendicular tendrá m = 2 Y pasa por el punto A, es decir, que su ecuación es: 4x2y2x20y +=→++= )( La intersección de las dos rectas es el punto M, resolviendo el sistema:

2y1x

05x5034x22x4x2y

03y2x=−=

→=+→=−++→⎭⎬⎫

+=

=−+)( M(-1,2)

este M es el punto medio del segmento AA’, siendo A(-2,0) y A’(x,y)

),(',;,),( 40A4y0x2y2

2x21

2y0

2x221M →==→=

+−=−→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

=−

3. Halla el ángulo α que forman las rectas ),('

),(

512n0=5-5y+12xs

43n0=7+4y-3xrr

r

→≡

−→≡

( ) 'º)('

'',coscos 4575

13516

51243

54123nnnn

nn2222

=α→⋅

=+−+

⋅−⋅=

⋅==α rr

rrrv

4. Dados los puntos A(-1,3), B(1,1) y C(-3,-2) a) Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB.

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Necesitamos hallar el punto medio de AB, M ( )202

132

11M ,, =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

→ , la

mediatriz pasa por M y es perpendicular a la recta AB, cuya pendiente es:

11131m −=

+−

= , luego la pendiente de la mediatriz será 1 (inversa y opuesta), la

ecuación de la recta pedida será: x2y0x12y +=→−+= )( b) Halla la ecuación de una recta que sea paralela a AB y pase por el punto C. Si es paralela a AB, su pendiente es la misma, es decir m = -1, y pasa por C:

5xy3x12y −−=→+−−= )( 5. Dado el triángulo de vértices A(-2,1), B(5,4), C(2,-3) a) Halla su área. Necesitamos una base y la altura correspondiente: base AB y la altura será la distancia de C a AB.

Ecuación de AB: 73

2514m =

+−

=713x

73y2x

731y +=→++=→ )( en forma

implícita: 013y7x313x3y7 =+−→+=

Base = 581425BAd 22 =−++= )()(),( u

Altura = u5840

73

133723ABCd

22=

−+

+−−⋅=

)(

)(),( 20

2584058

A =⋅

=→ u2

b) Halla su perímetro. ),(),(),( ACdCBdBAdP ++=

584352CBd 22 =−−+−= )()(),( u

321322CAd 22 =−−++= )()(),( u 32582325858P +=++=→ u 6. Comprueba si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, siendo A(5,1), B(1,2), C(3,4) y D(7,3). Para que sea un paralelogramo los lados no adyacentes tienen que ser paralelos, es decir que, tiene que ser: DCAB = y ADBC = , lo comprobamos:

( ) ( )141251AB ,, −=−−= ( ) ( )143473DC ,, −=−−= ( ) ( )222413BC ,, =−−= ( ) ( )221357AD ,, =−−=

Comprobado, es un paralelogramo