Tek Eksenli Gerilme Hali

σ1 00000

00( (σ1 ≠ 0σ2 = 0

σ3 = 00

σ1P 1

2

3

Tek Eksenli Gerilme Hali 1

σ1P P 1

3

P 1

2

P noktasından geçen bütün yüzeylere etki eden eğik gerilmeler birbirine paraleldir.Gerilmelerin paralel olduğu doğrultu, asal gerilme doğrultusudur.Bu doğrultudaki asal gerilme haricindeki asal gerilmeler sıfırdır.

Bir cismin herhangi bir P noktasındaki asal gerilmelerden ikisi sıfır ise o noktadaki gerilme hali "tek eksenli gerilme hali"dir.

1

2

I1 ≠ 0I2 = 0I3 = 0

Gerilme invaryantları

Literatürde genellikle böyle seçilir.

T

Tek Eksenli Gerilme Hali 2

1

2

3

≡σ1 0( (0

0

0

0

0

0

0

σx 0( (00

0

0

0

0

0≡

σx τxy( (0

0

0

00

σyτyx ≡σx' τx'y'( (

0

0

0

00

σy'τy'x'

1

2

3z

x

y

1

2

x

y

3z 1

2

3z'

x'y'

τx'y'

σx'σy'

y'

τy'x'

x'

P 1

2

τxyσx

σyτyx

P 1

2

x

y

Behcet DAĞHAN

σ1P

y'x'

P 1σ1

Pσx

P 1

2

x

y

1x

2y

1

2

σ1P

σ1P

σx

1x

2y

1

2

σx σy = τxy2 σx' σy' = τx'y'2

2

Literatürde genellikle z-ekseni ve z'-ekseni 3-ekseni ile çakıştırılır.

T

I2 = 0

Tek Eksenli Gerilme Hali 3

F

−F

F

Örnek

P

F

F

σ1σ1P

1

2

3

→

→

P

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σxτxy

σy

τyx

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σxτxy

σy

τyx

İşaret kabulü

Tek Eksenli Gerilme Hali 4

(+) Pozitif gerilmelerin yönleri (−) Negatif gerilmelerin yönleri

Herhangi bir eksen takımında

F

σ1

−F

FF

F P

σ1P

F

P

F F

T

T

Tek Eksenli Gerilme Hali 5

τx'y'

σx'σy'

y'

τy'x'

x'

P 1

2

Behcet DAĞHAN

θ

P

→ →

P

P

FP

P

σ1

σx'θθ

σ1

σx' = ––– + ––– cos 2θσ12

σ12

P T

T

1

x'2y'

τx'y'

Tek Eksenli Gerilme Hali 6

Döndürülmüş eksenlerde gerilme bileşenleriAsal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum

ΣFx' = 0

ΣFy' = 0

2 cosθ sinθ = sin2θ

cos2θ = –––––––––1 + cos2θ2

σx' (A) − σ1 (Acosθ) cos θ = 0

AAcosθ

Asinθ

θ

θ

σx' = σ1 cos2θ

→

− |τx'y' | (A) + σ1 (Acosθ) sinθ = 0

→ τx'y' = − ––– sin 2θσ12

İşaret kabulüne göre,bu işareti biz yerleştirmeliyiz.

→

İşaret kabulüne göre,bu gerilmenin işareti negatiftir.

σy' = ––– − ––– cos 2θσ12

σ12

θ yerine θ+90o yazarak:

|τx'y' | = σ1 cosθ sinθ

τx'y' = − σ1 cosθ sinθ

P

→

Tek Eksenli Gerilme Hali 7

σθθ

τ

n

Mohr çemberine mahsus işaret kabulü

σnτn

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σx > 0τxy > 0

σy

τyx

(+) Pozitif gerilmelerin yönleri (−) Negatif gerilmelerin yönleri

Örnekler

σx

σy

τxy

τyx

y

σxτxy

σy > 0

τyx > 0

x

σθθ

τ

n

σnτn

σ > 0τ < 0

σ > 0τ > 0

Bazı kaynaklarda bunun tersi seçilir. Bu seçim keyfidir.

τ = −τxy

Mohr çemberi üzerinde bir noktaya karşılık gelen bir yüzeye etki eden gerilme bileşenleri için

σ = σxτ = τyx

σ = σy

n

n

Mohr çemberi

τ = τn

σ = σn

σ = ––– + ––– cos 2θσ12

σ12

τ = ––– sin 2θσ12

Tek Eksenli Gerilme Hali 8

Mohr çemberiAsal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum

σ1

σθθ

P1

x'

2y'

τ

n

σx'

(σ − –––)2 = (––– cos 2θ)2σ12

σ12

τ2 = (––– sin 2θ)2σ12+

σn

τnτx'y' →

→

(σ − –––)2 + τ 2 = (–––)22σ1

2σ1

σx' = ––– + ––– cos 2θσ12

σ12

τx'y' = − ––– sin 2θσ12

τ = −τx'y'Mohr çemberine mahsus işaret kabulümüze ve

şekle göre bu gerilmenin işareti pozitiftir.

İşaret kabulüne ve şekle göre bu gerilmenin işareti negatiftir.

- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilme bileşenleri σ ve τ değer çiftlerine σ-τ eksen takımında karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.

Yüzey normali,döndürülmüş eksene

paralel olan bir yüzeydekigerilme bileşenlerini

asal gerilmeler cinsinden veren bağıntılar

Mohr çemberinin denklemi

→

Mohr çemberi nedir?- Bir cismin herhangi bir P noktasındaki gerilme halinin grafik gösterilimidir.- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilmeyi ve bileşenlerini veren grafiktir.

- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen ve döndürülen eksenlerdeki gerilme bileşenlerini veren grafiktir (x'-y' eksenleri döndürülen eksenlerdir).

(σ − –––)2 + τ 2 = (–––)22σ1

2σ1

(σ , τ )

(σ = σ1 ,τ=0)(σ =σ2=σ3=0 ,τ=0)

τ

σ

2θ

Tek Eksenli Gerilme Hali 9

σ1

σθθ

P1

x'

2y'

τ

n

σx'σn

τnτx'y'

Mohr çemberi üzerindeki bir noktaya karşılık gelen yüzey

τx'y'

σx'σn

τnτ = τn = −τx'y'

σ = σn = σx'

FP

P

σ1

σx' θθ

σ1

P

(σ , τ )

(σ=σ2=σ3=0 ,τ=0)

τ

σ2θ

T

T

1

x'

σx'

2

τ

σ

τx'y'

y'

τx'y'

Tek Eksenli Gerilme Hali 10

(σ = σ1 ,τ=0)

Yükleme durumu basma olursa:

P

n

(σ , τ )

σ1

τ

σ

τ

σ

T

σ3

σ1 σ

σ1T

σ2

σ3

σ2

0 ≤ T ≤ σ1

θ

90o

σx'

σx'

σ1

σx' θθ

P T

T 2 = σ 2 + τ 2

1

x'

2

τ

σ

y'

τx'y'

Tek Eksenli Gerilme Hali 11

τx'y'

τ

τx'y' Behcet DAĞHAN

T

TT

T

T

θ T0

Tmax= σ1

T = σ1 cosθ

∟

θ

0

Tmin= 0

Tmax= σ1

Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimi

− 90o ≤ θ ≤ 90o

−90o 0

nAsal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum

T

θ

Tek Eksenli Gerilme Hali 12

Behcet DAĞHAN

σ1

T = σ1 cosθ

Tθ

σ1

θ

P T1

2

T

σ1

θ

PT

1

2

σ1P

T

θ = 0

σ1P

Tmin = 0

θ = 90o

σ1

Tmax= σ1

θ = 270oθ = – 90o

θ = 180oTmax= σ1

1

2

1

2T

σ1

θ

PT1

2

σ1

σ1T1

2

P

σ1P

σ11

2

Tmin = 0

Kutup

Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimiPolar koordinatlarda

θ = – 180o

- T, ekstremum değerlerini etki ettiği yüzeye dik olduğu zaman almaktadır.- T, yüzeye dik olduğu zaman asal gerilme adını alır.- T, yüzeye dik olduğu zaman σ ya eşit olur.- σ, T nin dik bileşeni olduğu için T den büyük olamaz.Dolayısıyla:

- Asal gerilmeler normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.

n

n

n

n

n

nn

- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali tek eksenli olduğu zaman bir tane asal gerilme vardır. Diğerleri sıfırdır.

σ1

FF

F P

σ1P

F

P

F

T

T

Tek Eksenli Gerilme Hali 13

τxy σx

σy

y'

τyx

x'

P 1

2

Behcet DAĞHANx

y

θ

F

P

F−F→ →

P

P

x'

x

y

σx

σy

τxyτyx

τx'y'θ θ

y'

σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 1212

τx'y' = 0 − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12

σx'

Tek Eksenli Gerilme Hali 14

σy' = –– (σx + σy) − –– (σx − σy) cos 2θ − τxy sin 2θ 1212

Döndürülmüş eksenlerde gerilme bileşenleriAsal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum

τx'y'

σx'σy'τy'x'

Bu bağıntıların elde edilişi "iki eksenli gerilme hali" bölümünde açıklanmıştır.

(σ − σm)2 + τ 2 = R2

R = τmax = –– (σx + σy)2

τmin = − –– σ1 = −R12

τmax = –– σ1 = R12

σm = –– (σx + σy)12

1

[σ − –– (σx + σy)]2 + τ 2 = [–– (σx + σy)]21212

σm = –– σ1 = R12

σ1 = σx + σy

σ2 = 0

σmax = σ1 = σm + R

σmin = σ2 = σm − R

tan 2θ = –––––––2 τxy

σx − σy↓

θp1

θp2

↓

θp ± θs = 45o

Tek Eksenli Gerilme Hali 15

Mohr çemberiAsal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum

[σ − –– (σx + σy)]2 + τ 2 = [–– (σx − σy)]2 + τxy21212

σx σy = τxy2Tek eksenli gerilme hali

←

Bu denklemlerin elde edilişi "iki eksenli gerilme hali" bölümünde açıklanmıştır.

Mohr çemberinin denklemi

tan 2θ = − –––––––2 τxy

σx − σy↓

(θs)max ↓

(θs)min

tan2θp tan2θs = −1

→

→

→

→

Behcet DAĞHAN

(σ,τ)

τn

σn(σ = σx , τ=−τxy)

(σ = σ1 , τ=0)(σ = 0 ,τ = 0)

(σ = σy , τ=τyx)

τ

σ

τx'y'

σx'

2θ

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σxτxy

σy

τyx

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σxτxy

σy

τyx

στ < 0

x'

y' x'

y'

στ > 0

τx'y' > 0

x'

x

yτx'y'

σx'

n

σy'

σx

σy

τxyτyx

y'

σnτn

τy'x'

τσ

θ θ

Tek Eksenli Gerilme Hali 16

(σ − σm)2 + τ 2 = R2

(σx' = σx , τx'y' =τxy)

(σx' ,τx'y')(σx' = σy , τx'y' =−τyx)

(σx' = σ1 , τx'y' =0)(σx' = 0 ,τx'y' = 0)

τ = −τx'y'

τx'y' < 0

n

n

(σ = σm , τ=τmin)(σx' = σm , τx'y' =( τx'y')max)

(σ = σm , τ=τmax)(σx' = σm , τx'y' =( τx'y')min)

Behcet DAĞHAN

D (σ,τ)

τn

σnA (σ = σx , τ=−τxy)

C (σ = σ1 , τ=0)F (σ = 0,τ = 0)

E (σ = σy , τ=τyx)

τ

σ

τx'y'

σx'A

Eθ = 90o

τxy σx

τ< 0στxyσx

τyx

σy

τyx

σy

τxy σx

σ

τxy

σx

τyx

σy

τyx

σy

στxyσx

τyx

σy

C

θ = 0

θ = θp1

θστxy

σx

τyx

σy

D θ

σ1θ

στxy

σx

τyx

σy

Fθ = θp2

x

x'

x

x'x'

xx

x

x'

x'

2θ

θ = θp1θ = θp2

Tek Eksenli Gerilme Hali 17

12τ> 0

τ> 0

θσ

τxy

σx

τyx

σy

B θ

x'

xτ< 0

B (σ,τ)

n

n

n n

n

n