Tek Eksenli Gerilme Hali
σ1 00000
00( (σ1 ≠ 0
σ2 = 0σ3 = 0
0
σ1P 1
2
3
Tek Eksenli Gerilme Hali 1
σ1
P P 1
3
P 1
2
P noktasından geçen bütün yüzeylere etki eden eğik gerilmeler birbirine paraleldir.Gerilmelerin paralel olduğu doğrultu, asal gerilme doğrultusudur.Bu doğrultudaki asal gerilme haricindeki asal gerilmeler sıfırdır.
Bir cismin herhangi bir P noktasındaki asal gerilmelerden ikisi sıfır ise o noktadaki gerilme hali "tek eksenli gerilme hali"dir.
1
2
I1 ≠ 0I2 = 0I3 = 0
Gerilme invaryantları
Literatürde genellikle böyle seçilir.
T
Tek Eksenli Gerilme Hali 2
1
2
3
≡σ1 0( (0
0
0
0
0
0
0
σx 0( (0
0
0
0
0
0
0
≡σx τxy( (
0
0
0
00
σyτyx ≡σx' τx'y'( (
0
0
0
00
σy'τy'x'
1
2
3z
x
y
1
2
x
y
3z 1
2
3z'
x'y'
τx'y'
σx'
σy'
y'
τy'x'
x'
P 1
2
τxy
σx
σy
τyx
P 1
2
x
y
Behcet DAĞHAN
σ1
P
y'
x'
P 1σ1
Pσx
P 1
2
x
y
1
x
2y
1
2
σ1
Pσ1
Pσx
1
x
2y
1
2
σx σy = τxy2 σx' σy' = τx'y'
2
2
Literatürde genellikle z-ekseni ve z'-ekseni 3-ekseni ile çakıştırılır.
T
I2 = 0
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σxτxy
σy
τyx
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σxτxy
σy
τyx
İşaret kabulü
Tek Eksenli Gerilme Hali 4
(+) Pozitif gerilmelerin yönleri (−) Negatif gerilmelerin yönleri
Herhangi bir eksen takımında
F
σ1
−F
FF
FP
σ1P
F
P
F F
T
T
Tek Eksenli Gerilme Hali 5
τx'y'
σx'σy'
y'
τy'x'
x'
P 1
2
Behcet DAĞHAN
θ
P
→ →
P
P
FP
P
σ1
σx'
θθ
σ1
σx' = ––– + ––– cos 2θσ1
2σ1
2
P T
T
1
x'
2y'
τx'y'
Tek Eksenli Gerilme Hali 6
Döndürülmüş eksenlerde gerilme bileşenleriAsal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
ΣFx' = 0
ΣFy' = 0
2 cosθ sinθ = sin2θ
cos2θ = –––––––––1 + cos2θ
2
σx' (A) − σ1 (Acosθ) cos θ = 0
AAcosθ
Asinθ
θ
θ
σx' = σ1 cos2θ
→
− |τx'y' | (A) + σ1 (Acosθ) sinθ = 0
→ τx'y' = − ––– sin 2θσ1
2
İşaret kabulüne göre,bu işareti biz yerleştirmeliyiz.
→
İşaret kabulüne göre,bu gerilmenin işareti negatiftir.
σy' = ––– − ––– cos 2θσ1
2σ1
2θ yerine θ+90o yazarak:
|τx'y' | = σ1 cosθ sinθ
τx'y' = − σ1 cosθ sinθ
P
→
Tek Eksenli Gerilme Hali 7
σθθ
τ
n
Mohr çemberine mahsus işaret kabulü
σn
τn
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σx > 0τxy > 0
σy
τyx
(+) Pozitif gerilmelerin yönleri (−) Negatif gerilmelerin yönleri
Örnekler
σx
σy
τxy
τyx
y
σxτxy
σy > 0
τyx > 0
x
σθθ
τ
n
σn
τn
σ > 0τ < 0
σ > 0
τ > 0
Bazı kaynaklarda bunun tersi seçilir. Bu seçim keyfidir.
τ = −τxy
Mohr çemberi üzerinde bir noktaya karşılık gelen bir yüzeye etki eden gerilme bileşenleri için
σ = σx
τ = τyx
σ = σy
n
n
Mohr çemberi
τ = τn
σ = σn
σ = ––– + ––– cos 2θσ1
2σ1
2
τ = ––– sin 2θσ1
2
Tek Eksenli Gerilme Hali 8
Mohr çemberiAsal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
σ1
σθθ
P1
x'
2y'
τ
n
σx'
(σ − –––)2 = (––– cos 2θ)2σ1
2σ1
2
τ2 = (––– sin 2θ)2σ1
2+
σn
τn
τx'y' →
→
(σ − –––)2 + τ 2 = (–––)2
2
σ1
2
σ1
σx' = ––– + ––– cos 2θσ1
2σ1
2
τx'y' = − ––– sin 2θσ1
2
τ = −τx'y'
Mohr çemberine mahsus işaret kabulümüze veşekle göre bu gerilmenin işareti pozitiftir.
İşaret kabulüne ve şekle göre bu gerilmenin işareti negatiftir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilme bileşenleri σ ve τ değer çiftlerine σ-τ eksen takımında karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.
Yüzey normali,döndürülmüş eksene
paralel olan bir yüzeydekigerilme bileşenlerini
asal gerilmeler cinsinden veren bağıntılar
Mohr çemberinin denklemi
→
Mohr çemberi nedir?
- Bir cismin herhangi bir P noktasındaki gerilme halinin grafik gösterilimidir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilmeyi ve bileşenlerini veren grafiktir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen ve döndürülen eksenlerdeki gerilme bileşenlerini veren grafiktir (x'-y' eksenleri döndürülen eksenlerdir).
(σ − –––)2 + τ 2 = (–––)2
2
σ1
2
σ1
(σ , τ )
(σ = σ1 ,τ=0)(σ =σ2=σ3=0 ,τ=0)
τ
σ
2θ
Tek Eksenli Gerilme Hali 9
σ1
σθθ
P1
x'
2y'
τ
n
σx'σn
τn
τx'y'
Mohr çemberi üzerindeki bir noktaya karşılık gelen yüzey
τx'y'
σx'
σn
τn
τ = τn = −τx'y'
σ = σn = σx'
FP
P
σ1
σx' θθ
σ1
P
(σ , τ )
(σ=σ2=σ3=0 ,τ=0)
τ
σ2θ
T
T
1
x'
σx'
2
τ
σ
τx'y'
y'
τx'y'
Tek Eksenli Gerilme Hali 10
(σ = σ1 ,τ=0)
Yükleme durumu basma olursa:
P
n
(σ , τ )
σ1
τ
σ
τ
σ
T
σ3
σ1 σ
σ1T
σ2
σ3
σ2
0 ≤ T ≤ σ1
θ
90o
σx'
σx'
σ1
σx' θθ
P T
T 2 = σ 2 + τ 2
1
x'
2
τ
σ
y'
τx'y'
Tek Eksenli Gerilme Hali 11
τx'y'
τ
τx'y' Behcet DAĞHAN
T
T
T
T
T
θ T
0
Tmax= σ1
T = σ1 cosθ
∟
θ
0
Tmin= 0
Tmax= σ1
Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimi
− 90o ≤ θ ≤ 90o
−90o 0
n
Asal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
T
θ
Tek Eksenli Gerilme Hali 12
Behcet DAĞHAN
σ1
T = σ1 cosθ
T
θ
σ1
θ
PT
1
2
T
σ1
θ
PT
1
2
σ1
PT
θ = 0
σ1
P
Tmin = 0
θ = 90o
σ1
Tmax= σ1
θ = 270o
θ = – 90o
θ = 180o
Tmax= σ1
1
2
1
2T
σ1
θ
PT
1
2
σ1
σ1T1
2
P
σ1
Pσ1
1
2
Tmin = 0
Kutup
Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimiPolar koordinatlarda
θ = – 180o
- T, ekstremum değerlerini etki ettiği yüzeye dik olduğu zaman almaktadır.- T, yüzeye dik olduğu zaman asal gerilme adını alır.- T, yüzeye dik olduğu zaman σ ya eşit olur.- σ, T nin dik bileşeni olduğu için T den büyük olamaz.Dolayısıyla:
- Asal gerilmeler normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.
n
n
n
n
n
nn
- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali tek eksenli olduğu zaman bir tane asal gerilme vardır. Diğerleri sıfırdır.
σ1
FF
FP
σ1P
F
P
F
T
T
Tek Eksenli Gerilme Hali 13
τxyσx
σy
y'
τyx
x'
P 1
2
Behcet DAĞHANx
y
θ
F
P
F−F→ →
P
P
x'
x
y
σx
σy
τxy
τyx
τx'y'
θθ
y'
σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12
12
τx'y' = 0 − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12
σx'
Tek Eksenli Gerilme Hali 14
σy' = –– (σx + σy) − –– (σx − σy) cos 2θ − τxy sin 2θ 12
12
Döndürülmüş eksenlerde gerilme bileşenleriAsal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
τx'y'
σx'
σy'
τy'x'
Bu bağıntıların elde edilişi "iki eksenli gerilme hali" bölümünde açıklanmıştır.
(σ − σm)2 + τ 2 = R2
R = τmax = –– (σx + σy)2
τmin = − –– σ1 = −R12
τmax = –– σ1 = R12
σm = –– (σx + σy)12
1
[σ − –– (σx + σy)]2 + τ 2 = [–– (σx + σy)]212
12
σm = –– σ1 = R12
σ1 = σx + σy
σ2 = 0
σmax = σ1 = σm + R
σmin = σ2 = σm − R
tan 2θ = –––––––2 τxy
σx − σy↓
θp1
θp2
↓
θp ± θs = 45o
Tek Eksenli Gerilme Hali 15
Mohr çemberiAsal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
[σ − –– (σx + σy)]2 + τ 2 = [–– (σx − σy)]2 + τxy21
212
σx σy = τxy2
Tek eksenli gerilme hali
←
Bu denklemlerin elde edilişi "iki eksenli gerilme hali" bölümünde açıklanmıştır.
Mohr çemberinin denklemi
tan 2θ = − –––––––2 τxy
σx − σy
↓
(θs)max ↓
(θs)min
tan2θp tan2θs = −1
→
→
→
→
Behcet DAĞHAN
(σ,τ)
τn
σn
(σ = σx , τ=−τxy)
(σ = σ1 , τ=0)(σ = 0 ,τ = 0)
(σ = σy , τ=τyx)
τ
σ
τx'y'
σx'
2θ
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σxτxy
σy
τyx
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σxτxy
σy
τyx
στ < 0
x'
y' x'
y'
στ > 0
τx'y' > 0
x'
x
yτx'y'
σx'
n
σy'
σx
σy
τxy
τyx
y'
σn
τn
τy'x'
τσ
θθ
Tek Eksenli Gerilme Hali 16
(σ − σm)2 + τ 2 = R2
(σx' = σx , τx'y' =τxy)
(σx' ,τx'y')(σx' = σy , τx'y' =−τyx)
(σx' = σ1 , τx'y' =0)(σx' = 0 ,τx'y' = 0)
τ = −τx'y'
τx'y' < 0
n
n
(σ = σm , τ=τmin)(σx' = σm , τx'y' =( τx'y')max)
(σ = σm , τ=τmax)(σx' = σm , τx'y' =( τx'y')min)
Behcet DAĞHAN
D (σ,τ)
τn
σn
A (σ = σx , τ=−τxy)
C (σ = σ1 , τ=0)
F (σ = 0,τ = 0)
E (σ = σy , τ=τyx)
τ
σ
τx'y'
σx'A
E
θ = 90o
τxyσx
τ< 0στxy
σx
τyx
σy
τyx
σy
τxyσx
σ
τxy
σx
τyx
σy
τyx
σy
στxy
σx
τyx
σy
C
θ = 0
θ = θp1
θστxy
σx
τyx
σy
D θ
σ1
θ
στxy
σx
τyx
σy
F
θ = θp2
x
x'
x
x'x'
xx
x
x'
x'
2θ
θ = θp1
θ = θp2
Tek Eksenli Gerilme Hali 17
12
τ> 0
τ> 0
θσ
τxy
σx
τyx
σy
B θ
x'
xτ< 0
B (σ,τ)
n
n
n n
n
n
Top Related