Gerilme invaryantları: ( 0 - selcuk.edu.tr Uc Eksenli Gerilme Hali 1... · Üç Eksenli Gerilme...

Üç Eksenli Gerilme Hali

σ1

σ2

00

000

0( (σ1 ≠ 0

σ2 ≠ 0

σ3 ≠ 0

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

σ2

σ1

P

1

2

3

Üç Eksenli Gerilme Hali 1

Bir cismin herhangi bir P noktasındaki asal gerilmelerin üçü de sıfırdan farklı ise o noktadaki gerilme hali "üç eksenli gerilme hali"dir.

Literatürde genellikle böyle seçilir.

I1 ≠ 0I2 ≠ 0I3 ≠ 0

Gerilme invaryantları:

σ3

σ3

τxz

τxy

σx

τyz

τyxσy

τzxτzy

σz

x

i→

y

z

j→

k→

T ( i )→ →

T ( j )→ →

T (k )→ →

P

x

y

z

P

T ( i )→ →

T ( j )→ →

T (k )→ →

(σ) =

σx τxy

σyτyx( ( ( (=

τzyτzx

τyz

τxz

σz

x1

x2

x3

e1→ →

→

e2

e3

x1

x2

x3

=

σ11( (σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

= σij (i, j = 1,2,3)

σxx τxy

σyyτyx( (τzyτzx

τyz

τxz

σzz

=

σij = σji (i, j = 1,2,3)

(σ) = (σ)T


Gerilme tansörünün dönüştürülmesi

Doğrultman kosinüsleri

}

Dönüştürme matrisi

Dönüştürme matrisi ortogonal bir matristir.

nij = ei ' • ej→ →

ekseniüzerindeki

birimvektör

xi'

→

xj ekseniüzerindekibirimvektör

→

ekseni ilexj ekseni

arasındakiaçının kosinüsü

x2' ekseni ilex1 ekseni

arasındaki açı

İndislerin açıklaması

(N)T = (N)−1

θ21

(N) =

n11( (n12

n22n21

n32n31

n13

n23

n33

= cos−1n21

nij = ei ' • ej→ →

xi'

(i, j=1,2,3)

det(N) = ± 1

τxz

τxy

σx

τyz

τyxσy

τzxτzy

σz

x

y

z

P

x1

x2

x3

τx'z'

τx'y'

σx'

τy'z'

τy'x' σy'

τz'x' τz'y'

σz'

x' y'

z'

P

x1'

x2'

x3'

x

y

z

x1x2

x3

x' y'

z'

x1'

x2'

x3'

θ21

θ32θ13

θ22σx τxy

σyτyx( (τzyτzx

τyz

τxz

σz

σx' τx'y'

σy'τy'x'( (τz'y'τz'x'

τy'z'

τx'z'

σz'


(σ' ) = (N) (σ) (N)T

σij' = nik njl σkl

(σ) = (N)T (σ' ) (N)

σij = nik njl σkl'

(i,j,k,l =1,2,3)

(i,j,k,l =1,2,3)

n11( (n12

n22n21

n32n31

n13

n23

n33

σx τxy

σyτyx( (τzyτzx

τyz

τxz

σz

σx' τx'y'


τy'z'

τx'z'

σz'

=

n11( (n21

n22n12

n23n13

n31

n32

n33

n11( (n12

n22n21

n32n31

n13

n23

n33

σx τxy

σyτyx( (τzyτzx

τyz

τxz

σz

σx' τx'y'


τy'z'

τx'z'

σz'

=

n11( (n21

n22n12

n23n13

n31

n32

n33

σx' = n112 σx + n12

2 σy + n132 σz + 2 n11n12 τxy + 2 n11n13 τxz + 2 n12n13 τyz

σy' = n212 σx + n22


σz' = n312 σx + n32


τx'y' = n11 n21 σx + n12 n22 σy + n13 n23 σz + (n11n22 + n12 n21) τxy + (n11 n23 + n13 n21) τxz + (n12 n23 + n13 n22) τyz

τx'z' = n11 n31 σx + n12 n32 σy + n13 n33 σz + (n11n32 + n12 n31) τxy + (n11 n33 + n13 n31) τxz + (n12 n33 + n13 n32) τyz

τy'z' = n21 n31 σx + n22 n32 σy + n23 n33 σz + (n21n32 + n22 n31) τxy + (n21 n33 + n23 n31) τxz + (n22 n33 + n23 n32) τyz

τyx = τxy

τzx = τxz

τzy = τyz

P


x

y

z

−T ( i )→ →

−T ( j )→ →

−T (k )→ →

x1

x2

x3

dA3

dA2

dA1

dA

T (n )→ →

=−T (n)→ →

T (−n)→ →

n : Eğik yüzeyin normali üzerindeki birim vektör→

Eğik yüzeyin normali, x' (x'1) ekseni ile çakıştırılmıştır.

e1' • e1 = n11 = n1 = l→ →

ΣF = 0→ →

Herhangi bir P noktasından geçen herhangi bir yüzeye etki eden eğik gerilme ve bileşenleri

i→ j

→

k→

T (n) dA − T (i ) dA1 − T ( j ) dA2 − T (k ) dA3 = 0→ → → → → → → →

dA1 = ( n • i ) dA = n1 dA→ →

n = n1 i + n2 j + n3 k→ → → →

e1→ →

→

e2

e3

dA2 = ( n • j ) dA = n2 dA→ →

dA3 = ( n • k ) dA = n3 dA→ → } T (n) = T (i ) n1 + T ( j ) n2 + T (k ) n3

→ → → → → → → →

T (n) = T1(n) i + T2

(n) j + T3(n) k

→ → →→ →→ →→

n = l i + m j + n k→ → → →

T (n) = Tx(n) i + Ty

(n) j + Tz(n) k

→ → →→ →→ →→

→

n =

n1

n2

n3( ( l

m

n( (=

→

x'

n = e1'→ →

x'1 n→e1'→

n

Bu dörtyüzlünün eksenlere dik olan yüzeyleri negatif yüzeydir.

e1' • e2 = n12 = n2 = m→ →

e1' • e3 = n13 = n3 = n→ →


T (n) = T (i ) n1 + T ( j ) n2 + T (k ) n3

→ → → → → → → →

T (n) = (σ) • n = (σ)T (n) = → → →

T1(n) = n1 σx + n2 τyx + n3 τzx = Tx

(n)→ →

T2(n) = n1 τxy + n2 σy + n3 τzy = Ty

(n)→ →

T3(n) = n1 τxz + n2 τyz + n3 σz = Tz

(n)→ →

Tj(n) = ni σij

→

T ( i )→ →

T ( j )→ →

T (k )→ →

(σ) =

σx τxy

σyτyx( ( ( (=

τzyτzx

τyz

τxz

σz

T ( i )→ →

T ( j )→ →

T (k )→ →( (

σx τyx

σyτxy( (τyzτxz

τzy

τzx

σz

n1

n2

n3( (

31 32 31

→→→

→Bir tansör ile bir vektörün iç çarpımı = bir vektör

a • b = ax bx + ay by + az bz→ →

31 3031

→ →→

İki vektörün iç çarpımı (skaler çarpımı):

}1 − 1 = 0

1 = 2 − 1

a • b = (a)T (b) = (ax ay az)→ →

a = (a) =

ax

ay

az( (→ b = (b) =

bx

by

bz( (→

bx

by

bz( (

( (T (n) = (T) = = = =→ →

T1(n)

→

T2(n)

→

T3(n)

→ ( (Tx(n)

→

Ty(n)

→

Tz(n)

→ ( (Tx

Ty

Tz

n1

n2

n3( (

(i, j =1,2,3)

İki vektörün iç çarpımı = bir skaler

σx τyx

σyτxy( (τyzτxz

τzy

τzx

σz( ( ( (= n1 + n2 + n3( (

T (n) = T ( i ) n1 + T ( j ) n2 + T ( k ) n3

→ → → → → → → →

→ → → →

(σ)T}

} Tx(n)

→

Ty(n)

→

Tz(n)

→

P


x

y

z

−T ( i )→ →

−T ( j )→ →

−T (k )→ →

x1

x2

x3

n→T (n )→ →

σn = T (n) • n = T1(n) n1 + T2

(n) n2 + T3(n) n3

→ → → → →

τn

→

σn = Tx l + Ty m + Tz n

σn = [(σ)• n ] • n→ →

T1(n) = n1 σx + n2 τyx + n3 τzx = Tx

→

T2(n) = n1 τxy + n2 σy + n3 τzy = Ty

→

T3(n) = n1 τxz + n2 τyz + n3 σz = Tz

→

(T (n))2 = σn2 + τn

2→

σn = n12 σx + n2


τyx = τxy

τzx = τxz

τzy = τyz

τn2 = n1

2 n22 (σx − σy)

2 + n22 n3

2 (σy − σz)2 + n3

2 n12 (σz − σx)

2 +

− 4(n1 n2 τxy + n1 n3 τxz + n2 n3 τyz )2 − 2(n1 n2 τxy σz + n1 n3 τxz σy + n2 n3 τyz σx) +

+ 2(n1 n2 τxy + n1 n3 τxz + n2 n3 τyz ) [(1 − 2n12) σx + (1 − 2n2

2) σy + (1 − 2n32) σz]

+ (n2 τxy + n3 τxz)2 + (n1 τyx + n3 τyz)

2 + (n1 τzx + n2 τzy)2 −

τn = τx' = τ2x'y' + τ2

x'z'√________

x'

σn = σx'

nσnσx'τx'

P


n→T (n )→ →

σn = T (n) • n = → →

σn

τn

→ [(σ) • n ] • n→ →

(T (n))2 = σn2 + τn

2→

σn = n12 σ1 + n2

2 σ2 + n32 σ3

τn2 = n1

2 n22 (σ1 − σ2)

2 + n22 n3

2 (σ2 − σ3)2 + n3

2 n12 (σ3 − σ1)

2

Eksenler, asal eksenler ile çakıştırılırsa:

1

2

3

T (n) = n1 σ1 i + n2 σ2 j + n3 σ3 k→ → → → →

(T (n))2 = n12 σ1

2 + n22 σ2

2 + n32 σ3

2→

σ1 0

σ20( (00

0

0

σ3

n1

n2

n3( (T (n) = (σ) • n = (σ)T (n) = =

→ → →

n1 σ1

n2 σ2( (n3 σ3

−σ1

σn = l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3

(T (n))2 = l2 σ12 + m2 σ2

2 + n2 σ32

→

τn2 = l 2 m2 (σ1 − σ2)

2 + m2 n2 (σ2 − σ3)2 + n2 l 2 (σ3 − σ1)

2

→

−σ3→

−σ2→

x'n

x

y

z

x1

x2

x3


Asal gerilmelerEğik gerilmenin, yüzey normali ile çakışık olması durumu

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

- Asal gerilmeler, normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali üç eksenli olduğu zaman üç tane asal gerilme vardır.- Asal gerilmeler, gerilme tansörünün özdeğerleridir.

σx τxy

σyτyx( (τzyτzx

τyz

τxz

σz

T ( i )→ →

T ( j )→ →

T (k )→ →( ((σ) = =

"Döndürülen x' ekseni ne zaman asal eksen ile çakışır?" sorusuna cevap arıyoruz.

T (n ) = σn n = λ n =→ → → →

P

x

y

z

−T ( i )→ →

−T ( j )→ →

−T (k )→ →

x1

x2

x3

n→

T (n )→ →

σn

τn = τx' = 0

x'

σn = σx' = λ

σx'

n

σn = n12 σx + n2


σ1

σ2

0

0

00

0

0( (σ3

σn = σ1

σn = σ2

σn = σ3

veya

veya

σx τyx

σyτxy( (τyzτxz

τzy

τzx

σz

T (n) = =→ → ( (Tx

Ty

Tz

n1

n2

n3( (

λ n1

λn2

λn3( ( σx τxy

σyτyx( (τzyτzx

τyz

τxz

σz

n1

n2

n3( (λ n1

λn2

λn3( (=→

τxy

τyx

τzyτzx

τyz

τxzσx−λ

σy−λ

σz−λ( ( n1

n2

n3( ( 0

0

0( (=}

σij − λ δij

≡ |σij − λ δij| = 0 →

λ1 = λmax = σ1

λ2 = σ2

λ3 = λmin = σ3

(σ)T = (σ)}


Gerilme halinin invaryantlarıGerilme tansörünün değişmezleri

Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen eksenler değiştikçe o noktadaki gerilme halini gösteren tansörünbileşenleri de değişir. Fakat değişmeyen bazı değerler vardır. İşte bu değerlere gerilme halinin invaryantları denir.

Gerilme halinin invaryantlarını x-y-z eksenlerindeki gerilme bileşenleri cinsinden bulalım:

| = 0 → − λ3 + I1 λ2 − I2 λ + I3 = 0

Gerilme tansörününbirinci invaryantı

→

→

→ Bu üçüncü derecedendenklemin kökleriasal gerilmeleri verir.

I1 = σx + σy + σz = σ1 + σ2 + σ3 = tr(σ) = σkk

I2 =

I1, I2 ve I3 değerleri,eksen takımı değişse de değişmeyen değerlerdir.

σx τxy

σyτyx| |

Gerilme tansörününikinci invaryantı

τxy

τyx( (τzyτzx

τyz

τxzλ

λ

0

0

00

0

0( (λ

(σ) = +

σx−λ

σy−λ

σz−λ}

σij − λ δij

τxy

τyx

τzyτzx

τyz

τxzσx−λ

σy−λ

σz−λ|

Gerilme tansörününüçüncü invaryantı

→

σx τxz

σzτzx| |+ +

σy τyz

σzτzy| | = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 = –– (σii σjj − σij σji)

12

|τxy

τyx

τzyτzx

τyz

τxzσx

σy

σz|I3 = = σ1σ2 σ3 = det(σ)

τxy

τyx

τzyτzx

τyz

τxzσx

σy

σz

( (=

λ δij

}

λ1 = λmax = σ1

λ2 = σ2

λ3 = λmin = σ3

P


n→T (n )→ →

σn

τn

σn = n12 σ1 + n2

2 σ2 + n32 σ3

τn2 = n1

2 n22 (σ1 − σ2)

2 + n22 n3

2 (σ2 − σ3)2 + n3

2 n12 (σ3 − σ1)

2

Eksenler, asal eksenler ile çakıştırılarak:

1

2

3

−σ1→

−σ3→

−σ2→

x'n

x

y

z

x1

x2

x3

Kayma gerilmesinin maksimum değerleri

τn = τmax

σn = ––––––

τmax = ––––––––––|σmax − σmin|

2

τmax = –––––––|σ1 − σ3|

2

σ1 + σ3

2

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

n1 = ± –––12√__

n3 = ± –––12√__

n2 = 0 }P

n→

T (n )→ →

1

2

3

−σ1→

−σ3→

−σ2→

x'n

σ2→

σn

τmax

τn

45o

45o

Kayma gerilmesinin maksimum olduğu 4 tane yüzey vardır.Bu yüzeylerdeki kayma gerilmelerinin değerleri aynıdır.Bu yüzeylerin normalleri 2-eksenine diktir.

n1 = –––12√__

n3 = –––12√__

n2 = 0Bu 4 yüzeyden birisi,yandaki şekilde gösterilmiştir.}

n→

x'n

T (n )→ →

σn

τmaxτn

3

−σ1→

−σ3→

1

45o

45o

P


n→Toct

→

σoct

σn = n12 σ1 + n2

2 σ2 + n32 σ3

τn2 = n1

2 n22 (σ1 − σ2)

2 + n22 n3

2 (σ2 − σ3)2 + n3

2 n12 (σ3 − σ1)

2

Oktahedral gerilmelerAsal eksenler ile eşit açılar yapan yüzeylere etki eden eğik gerilme ve bileşenleri

1

2

3

x'n

n1 = n2 = n3 = ± –––13√__

τoct

τn = τoct

σn = σoct→

σoct = –– (σ1 + σ2 + σ3) = σm

τoct = –– (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)

2 + (σ3 − σ1)2

13

13

σoct = –– (σx + σy + σz)13

τoct = –– 2 I12 − 6 I2 = –– 6 J2

13 √

________13 √

____

τoct = –– (σx − σy)2 + (σy − σz)

2 + (σz − σx)2 + 6 (τxy

2 + τyz2 + τzx

2)13

τoct = –– (σ12 + σ2

2 + σ32) − –– (σ1 + σ2 + σ3)

213

19

1/2

1/2

]1/2

τn

σn

8 tane yüzey vardır.

σoct= –– I1 = –– tr (σ)13

13

Ortalamanormal gerilme→

]

] ]

] ]

τoct = –– 2(σ1 + σ2 + σ3)2 − 6(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)

13

1/2] ]

P


Deviatorik gerilme tansörü

τxy

τyx( (τzyτzx

τyz

τxz0

0

00

0

0( ( + }

σij = σm δij + sij (i, j=1,2,3)

τxy

τyx

τzyτzx

τyz

τxzσx

σy

σz

( (= }

τxz

τxy

σx

τyz

τyx

σy

τzxτzy

σz

x

y

z

P

x

y

z

P τxz

τxy

τyz

τyx

τzxτzy

x

y

z

Deviatorik gerilme tansörü

+=

σz−σm

sij

Hidrostatik gerilme tansörü

Volümetrik gerilme tansörüOrtalama normal gerilme tansörü

σm δij

}

σij

σm = σoct = –– (σx + σy + σz) = –– (σ1 + σ2 + σ3) = = –– I113

13

13

( (sxy

syx

szyszx

syz

sxzsx

sy

sz

sij = (s) =

σm

σm

σm

σy−σm

σx−σm

σm

σm

σm σz−σm

σy−σm

σx−σm


Deviatorik gerilme tansörünün invaryantları

J1 = s1 + s2 + s3 = skk = tr (s) = 0

J2 = s1 s2 + s2 s3 + s3 s1 = –– sij sji12

J3 = s1 s2 s3 = –– sij sjk ski = det(s)

= –– (σx − σy)2 + (σy − σz)

2 + (σz − σx)2 + τxy

2 + τyz2 + τzx

216 ]]

13

= –– (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)

2 + (σ3 − σ1)21

6 ]]

= –– I12 − I2 = –– τ2

oct13

32

= ––– I13 − –– I1I2 + I3

227

13

σ1−σm

σ2−σm

σ3−σm

( (sij = (s) = ( (0

0

00

0

0s1

s2

s3

=

0

0

00

0

0


Mohr çemberiAsal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum

- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilme bileşenleri σ ve τ değer çiftlerine σ-τ eksen takımında karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.

Mohr çemberi nedir?

- Bir cismin herhangi bir P noktasındaki gerilme halinin grafik gösterimidir.

- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilmeyi ve bileşenlerini veren grafiktir.

- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen ve döndürülen eksenin dik olduğu yüzeydeki gerilmebileşenlerini veren grafiktir (x' ekseni döndürülen eksendir).

σn = T (n) • n = → → → [(σ) • n ] • n→ →P

n→T (n )→ →

στ

1

2

3

−σ1→

−σ3→

−σ2→

x'n (T (n))2 = σn

2 + τn2

→

σn

τn T 2 = σ2 + τ2

σ = σn = σx'

τ = τn = τx'

l2 + m2 + n2 = 1

σn = l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3

τn2 = l 2 m2 (σ1 − σ2)

2 + m2 n2 (σ2 − σ3)2 + n2 l 2 (σ3 − σ1)

2

= l 2 σ12 + m2 σ2

2 + n2 σ32


l2 + m2 + n2 = 1

l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3 = σ

l 2 σ12 + m2 σ2

2 + n2 σ32 = σ 2 + τ 2

1 1

( (1 l2

m2

n2( (1

σ( (σ2+τ2

→ σ1 σ2 σ3

σ12 σ2

2 σ32

=

1 1

( (1 l2

m2

n2( (1

( (σ2+τ2−σ1

2

=σ2−σ1 σ3−σ10 σ−σ1

σ22−σ1

20 σ32−σ1

2

1 1

( (1 l2

m2

n2( (1

( (=σ2−σ1 σ3−σ10 σ−σ1

0 0 σ32−σ1

2−(σ3−σ1)(σ1+σ2) σ2+τ2−σ12−(σ−σ1)(σ1+σ2)

n2 = –––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––σ2 +τ2−σ1

2−(σ−σ1)(σ1+σ2)

σ32−σ1

2−(σ3−σ1)(σ1+σ2)

(σ−σ1)(σ−σ2) + τ2

(σ3−σ1)(σ3−σ2)

m2 = –––––––––––––––(σ−σ1)(σ−σ3) + τ2

(σ2−σ1)(σ2−σ3)

l2 = –––––––––––––––(σ−σ2)(σ−σ3) + τ2

(σ1−σ2)(σ1−σ3)


n2 = ––––––––––––––– ≥ 0(σ−σ1)(σ−σ2) + τ2

(σ1−σ3)(σ2−σ3)

m2 = ––––––––––––––– ≥ 0(σ−σ1)(σ−σ3) + τ2

(σ2−σ1)(σ2−σ3)

l2 = ––––––––––––––– ≥ 0(σ−σ2)(σ−σ3) + τ2

(σ1−σ2)(σ1−σ3)

}≥ 0

} } < 0 < 0

σ1>σ2>σ3

→

}≤ 0

} } < 0 > 0}≥ 0

} } > 0 > 0

→

→

(σ−σ1)(σ−σ2) + τ2 ≥ 0

(σ−σ1)(σ−σ3) + τ2 ≤ 0

(σ−σ2)(σ−σ3) + τ2 ≥ 0

[σ − –– (σ1+σ3)]2 + τ 2 ≤ [–– (σ1−σ3)]

212

12

[σ − –– (σ1+σ2)]2 + τ 2 ≥ [–– (σ1−σ2)]

212

12

[σ − –– (σ2+σ3)]2 + τ 2 ≥ [–– (σ2−σ3)]

212

12


[σ − –– (σ1+σ3)]2 + τ 2 ≤ [–– (σ1−σ3)]

212

12

[σ − –– (σ1+σ2)]2 + τ 2 ≥ [–– (σ1−σ2)]

212

12

[σ − –– (σ2+σ3)]2 + τ 2 ≥ [–– (σ2−σ3)]

212

12

(σ1 ,0)(σ2 ,0)

τ

σ(σ3 ,0)

Bu denklemler,aşağıdaki alanı tanımlayan denklemlerdir.

σ1>σ2>σ3

–– (σ1+σ3) , –– (σ1−σ3)12

12

–– (σ1+σ2) , –– (σ1−σ2)12

12

–– (σ2+σ3) , − –– (σ2−σ3)12

12

]]

]]

]]

Not: Bu şekil, asal gerilmelerin hepsinin pozitif olduğu durum için çizilmiştir.


τ

σ

A (σ,τ)

T

T 2 = σ2 + τ2

τ

σ σ1σ2σ3

σ = l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3

τ 2 = l 2 m2 (σ1 − σ2)2 + m2 n2 (σ2 − σ3)

2 + n2 l 2 (σ3 − σ1)2 Bir P noktasından geçen herhangi bir yüzeye

etki eden eğik gerilme T nin bileşenleri σ ve τ,bu alanın içinde veya sınırlarında bir noktanınkoordinatlarını belirtir.

→Bu denklemin, biri pozitif diğeri negatif iki eşit kökü vardır.Üç eksenli gerilme halinde, herhangi bir yüzeye etki edenkayma gerilmesinin negatif olması bir anlam ifade etmez.Ondan dolayı sadece pozitif kökün, yani mohr çemberlerininüst bölgesinin göz önüne alınması yeterli olur.


τ

σ

Sarı çember, yüzey normalinin doğrultman kosinüsü l = 0 olan, yani yüzey normali, 1-eksenine dik olan yüzeylere karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.Kahverengi çember, yüzey normalinin doğrultman kosinüsü m = 0 olan,yani yüzey normali, 2-eksenine dik olan yüzeylere karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.Mavi çember, yüzey normalinin doğrultman kosinüsü n = 0 olan,yani yüzey normali, 3-eksenine dik olan yüzeylere karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.

m = 0

n = 0

l = 0

σ1σ2σ3

l 2 + m 2 + n 2 = 1


Herhangi bir yüzeye karşılık gelen noktanın grafik yolla bulunması

l2 + m2 + n2 = 1

σ1σ2

τ

σσ3

cos−1 lcos−1n

l > 0n > 0

(σ,τ)

13

Yüzey normalinin doğrultman kosinüsleri l, m ve n olan bir yüzeye etki eden eğik gerilmenin bileşenleriningrafik yolla bulunması

τ

σ


l2 + m2 + n2 = 1

σ1σ2

τ

σσ3

cos−1 lcos−1n

l > 0n > 0

(σ,τ)

13

τ

σ


l2 + m2 + n2 = 1

σ1σ2

τ

σσ3

cos−1 l

cos−1nl < 0n < 0

13

(σ,τ)


σ1σ2

τ

σσ3

(σ,τ)

l = cosθ1

m = cosθ2

n = cosθ3

θ1 = cos−1 l

θ2 = cos−1m

θ3 = cos−1n

θ1 + θ2 < 90o olamaz.



θ3

θ2

θ3 + θ1

θ2 + θ1

123

θ1

l2 + m2 + n2 = 1


σ1σ2

τ

σσ3

A (σ,τ)

θ1

θ3

θA2

123

Birinin yüzey normalinin doğrultman kosinüsü, diğerinin negatifine eşit olan yüzeylerdeki gerilme bileşenleri eşittir.

σ = l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3

τ 2 = l 2 m2 (σ1 − σ2)2 + m2 n2 (σ2 − σ3)

2 + n2 l 2 (σ3 − σ1)2

mA = −mB

θB2

mA2 = mB

2

B (σ,τ)

Örnek:


σ1σ2

τ

σσ3

θ1

Yüzey normali, 1-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen çemberler

1

Yeşil bölgede yer alan ve aynı çember üzerinde bulunan noktalar,yüzey normali, 1-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen noktalardır.


σ1σ2

τ

σσ3

θ2

2

Yeşil bölgede yer alan ve aynı çember üzerinde bulunan noktalar,yüzey normali 2-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen noktalardır.



σ1σ2

τ

σσ3

θ3

Yeşil bölgede yer alan ve aynı çember üzerinde bulunan noktalar,yüzey normali 3-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen noktalardır.

3


90o

- 45o


τ

σ

75o

60o

45o

30o

15o

- 90o

- 75o

- 60o

- 30o

- 15o

1

θ1


τ

σ

2 90o

- 45o

75o

60o

45o

30o

15o

- 90o

- 75o

- 60o

- 30o

- 15o

θ2


τ

σ

90o

- 45o

75o60o

45o

30o

15o

- 90o

- 75o

- 60o

- 30o

- 15o

3

θ3

75o

θ1=30o

45o

30o

15o

0o

90o90o

0o90o

0o90o

0o

75o

30o 45o

30o

θ2=60o

15o

75o

0o

90o

60o

30o30o

60o

0o

90o

- 45o

- 45o

- 45o

- 45o

- 45o

- 45o


τ

σ

60o

60o

45o

θ3=60o

15o

15o

75o

l2 + m2 + n2 = 1

45o

Gerilme invaryantları: ( 0 - selcuk.edu.tr Uc Eksenli Gerilme Hali 1... · Üç Eksenli Gerilme...

Documents

Transcript of Gerilme invaryantları: ( 0 - selcuk.edu.tr Uc Eksenli Gerilme Hali 1... · Üç Eksenli Gerilme...