QUESTÕESDEMÚLTIPLA-ESCOLHA(1-4) · 2017. 11. 14. · Física II para a Escola Politécnica...

Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P2 (20/10/2017) [0000]-p1/6

QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4)

ando necessário, use π = 3, 14, g=10 m/s2.Respostas da questões por versão de prova:E7Hx: (1) A; (2) E; (3) A; (4) E;112F: (1) E; (2) B; (3) D; (4) B;xA2B: (1) B; (2) D; (3) C; (4) B;E2xy: (1) D; (2) D; (3) B; (4) D;

(1) [1,0] Um sistema massa-mola é imerso num meio viscoso, com constante de amortecimento ρ = 1 kg/s econstante de mola k = 400 N/m. Uma força externa de frequência angular Ω = 10 rad/s atua sobre a massa. aldeve ser o valor da massa para que a amplitude do movimento seja máxima?

(a) 4 kg

(b) 35 g

(c) 40 g

(d) 350 g

(e) 35 kg

Sabendo que a amplitude de um oscilador harmônica amortecido forçado é dada por

A(Ω) =F0/m√(

ω20 − Ω2

)2+ γ2Ω2

fica evidente que, dados o amortecimento γ e a frequência de ressonância do oscilador livre ω0 =√

k/m,teremos uma amplitude máxima quando Ω = ω0.Portanto, teremos m = k/Ω2 = 4 kg.

(2) [1,0] Uma partícula de massa m obedece a lei horária para a posição conforme a figura, onde x é dado emmetrose t em segundos.


Indique a afirmação abaixo que é compatível com a figura:

(a) O sistema corresponde a amortecimento subcrítico, com γ ≈ 0, 9 s−1 e ω ≈ 4 s−1.

(b) O sistema corresponde a amortecimento supercrítico, com γ ≈ 1, 6 s−1 e β ≈ 0, 8 s−1.

(c) O sistema corresponde a amortecimento subcrítico, com γ ≈ 1, 6 s−1 e ω ≈ 2 s−1.

(d) O sistema corresponde a amortecimento crítico, com γ ≈ 0, 9 s−1.

(e) O sistema corresponde a amortecimento supercrítico, com γ ≈ 0, 9 s−1 e β ≈ 4 s−1.

Pelo gráfico, característico de uma oscilação harmônica amortecida em regime subcrítico, vemos que a os-cilação ocorre com um período de 1,6 s, o que implica em ω = 2π/T ≈ (6/1, 6)rad/s ≈ (6 · 6/10)rad/s =3, 6rad/s ≈ 4rad/s.O amortecimento da amplitude evolui com uma função do tipo exp(−γt/2). ando t = 2/γ, a amplitue é re-duzida por um fator e−1 ≈ 1/3. O pico em t = 2, 2s está a 30 % da amplitude inicial. Tomando este tempo comoreferência, teremos γ ≈ (2/2, 2)s ≈ 0, 9 s. Como há oscilação com uma redução monotônica da amplitude, oamortecimento é subcrítico. Portanto, resposta (a).

(3) [1,0] Um circuito elétrico constituído por um resistor R, um capacitor C e um indutor L, está ligado e possuicorrente elétrica I. Sabendo que a equação diferencial que representa este sistema é dada por L d2 I

dt2 + R dIdt + 1

C I =dVdt , onde V(t) é a diferença de potencial aplicada ao circuito e que varia com o tempo. Determine qual afirmativaabaixo é correta:

(a) Esta equação corresponde à de um oscilador harmônico forçado, cuja frequência angular da solução homo-gênea é dada por w =

√1/(LC)− (R/2L)2.

(b) Esta equação corresponde à de um oscilador harmônico amortecido, cuja frequência angular da soluçãohomogênea é dada por w =

√1/(LC)2 − (R/2L)2.

(c) Esta equação corresponde à de um oscilador harmônico forçado, cuja frequência angular da equação ho-mogênea é dada por w =

√1/(LC)2 − (R/2L)2.

(d) Esta equação não corresponde à de um oscilador harmônico dado que o resistor, capacitor e indutor nãooscilam.

(e) Esta equação não corresponde à de um oscilador harmônico dado que a diferença de potencial não oscila.

A equação da evolução da corrente pode ser escrita como

d2 Idt2 + γ

dIdt

+ ω20 I = f (t)

comγ =

RL

, ω20 =

1LC

, f (t) =1L

dVdt

.

Identificamos portanto uma equação diferencial de um oscilador harmônico amortecido forçado. Neste caso, asolução homogênea (para f (t) = 0) tem uma frequência de resposta

w =√

ω20 − (γ/2)2.


Portanto, resposta (a).

(4) [1,0]Ográfico abaixo representa o valor da amplitude (emmetros) em função da razão entre a frequência angularde uma força periódica externa e a frequência angular de um oscilador harmônico. Sabendo-se que esta força atuasobre o oscilador, a partir da observação do gráfico abaixo, podemos afirmar que:

(a) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com amortecimento desprezível.Uma equação diferencial do tipo x + γx + ω2

0x = Fext/m não é suficiente para analisar este movimentoprecisamente.

(b) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com amortecimento desprezí-vel. Uma equação diferencial do tipo x + γx + ω2

0x = Fext/m é suficiente para analisar este movimentoprecisamente.

(c) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com fator de amortecimento nãodesprezível, mas menor que 2ω0. Uma equação diferencial do tipo x + γx + ω2

0x = Fext/m é suficiente paraanalisar este movimento precisamente.

(d) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com fator de amortecimento nãodesprezível, mas menor que 2ω0. Uma equação diferencial do tipo x + γx + ω2

0x = Fext/mnão é suficientepara analisar este movimento precisamente.

(e) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com fator de amortecimento fortee maior do que 2ω0. Uma equação diferencial do tipo x + γx + ω2

0x = Fext/m é suficiente para analisar estemovimento precisamente.

Osistemaapresenta umaumento de amplitude paraw/w0 = 1. A divergência indica umamortecimentomuito fraco.Neste caso, a equação diferencial usual do oscilador harmônico não é suficiente para descrever omovimentode forma precisa, pois ela pressupõe linearidade no amortecimento e na resposta da força de restauro, oque não é satisfeito na condição de ressonância devido à grande amplitude da oscilação.Portanto, resposta (a).


QUESTÕES DISCURSIVAS

ATENÇÃO: A solução dessas questões devem ser feitas no caderno de provas devidamente identificado comnome, NUSP e turma.

Onde necessário aproxime π = 3.

(QD1) Um bloco de 2 Kg está suspenso por uma mola e oscila verticalmente. Seu movimento é descrito pelaequação y + by + cy = 0. Observa-se que a amplitude do movimento se reduz a 1/e2 de seu valor inicial após 2oscilações. Considerando que estas duas oscilações levam 2 s, determine:

a)(1.0) O valor numérico dos coeficientes b e c e da constante elástica da mola.

R: A presença de oscilações amortecidas, implica que o movimento é amortecido sub-criticamente.T = 1s (2 oscilações em 2s) ⇒ ω = 2π

T ∼ 6 rad/sA2 = A0e−2γ/2 = A0

e2 ⇒ γ = 2 s−1 ⇒ b = 2 s−1

ω20 = ω2 + γ

| 4 = 36 + 1 = 37 (rad/s)2 ⇒ c = 37 s−2

k = mω20 = 74 N/m.

b)(1.0) Resolva a equação diferencial encontrando y(t) sabendo que o sistema inicia seu movimento na posiçãode equilíbrio y0 = 0 e com velocidade = -12 m/s.

R: A solução da ED para o amortecimento subcrítico é dado por: y(t) = Ae−γt/2 cos(ωt + ϕ)y0 = A cos(ϕ)) ⇒ ϕ = ±π

2y(t) = Ae−γt/2 [− γ

2 cos(ωt + ϕ)− ω sin(ωt + ϕ)]

y0 = −A cos ϕ − 6A sin ϕ = −12 ⇒ sin ϕ > 0 ⇒ ϕ = +π2

A sin ϕ = 2 my(t) = 2et cos

(6t + π

2)m

c)(1.0)Considere agora que este oscilador seja acoplado à uma força externa e passe a oscilar conforme a equaçãoy + by + cy = cos(Ωt). Encontre a frequência Ωr para a qual a amplitude da oscilação seja máxima e a amplitudedo movimento para esta frequência. Considere que o tempo durante o qual o sistema está operando é grande osuficiente para que a parte homogênea já tenha decaído.

A amplitude será máxima quando(

dA2

dΩ

)max

= 0 ou ddΩ

(1

A2

)min

= 0

Calculando esta derivada (que deve ser realizada na prova) chega-se à ΩR =√

ω20 −

γ2

2 =√

35 rad/s. Para ocálculo da amplitude: da expressão dada no enunciado ⇒ F0

m = 1 N/kg e ⇒ Ar = 1√(37−35)2+4×35

= 1144 =

112 m


(QD2) Considere um bloco de m = 0, 5 kg, preso a uma mola de constante k = 50 N/m. O bloco podemovimentar-se sobre uma superfície horizontal em que um líquido viscoso foi derramado, dando origem a umaforça dissipativa proporcional à velocidade, com constante ρ = 0, 1 kg/s. Uma força externa F(t) = F0 cos(Ωt) éaplicada ao bloco, onde F0 = 0, 2 N e Ω é uma freqüência angular sintonizável.

a) [1,0] Calcule a potência média transferida pela força externa ao bloco, na situação estacionária, em função de Ω.

b) [1,0] Encontre a expressão exata da freqüência Ωmax em que essa potência média é máxima. Calcule o valordesta frequência, justificando as aproximações.

c) [1,0] Suponha agora que a força externa é desligada, qual será a taxa de dissipação de energia do sistema?

QUESTÕES DISCURSIVAS

ATENÇÃO: A solução dessas questões devem ser feitas no caderno de provas devidamente identificado comnome, NUSP e turma.

Onde necessário aproxime π = 3.

(QD1) Um bloco de 2 Kg está suspenso por uma mola e oscila verticalmente. Seu movimento é descrito pelaequação y + by + cy = 0. Observa-se que a amplitude do movimento se reduz a 1/e2 de seu valor inicial após 2oscilações. Considerando que estas duas oscilações levam 2 s, determine:

a)(1.0) O valor numérico dos coeficientes b e c e da constante elástica da mola.

b)(1.0) Resolva a equação diferencial encontrando y(t) sabendo que o sistema inicia seu movimento na posição deequilíbrio y0 = 0 e com velocidade = -12 m/s.

c)(1.0) Considere agora que este oscilador seja acoplado à uma força externa e passe a oscilar conforme a equaçãoy + by + cy = cos(Ωt). Encontre a frequência Ωr para a qual a amplitude da oscilação seja máxima e aamplitude do movimento para esta frequência. Considere que o tempo durante o qual o sistema está operandoé grande o suficiente para que a parte homogênea já tenha decaído.

(QD2) Considere um bloco de m = 0, 5 kg, preso a uma mola de constante k = 50 N/m. O bloco podemovimentar-se sobre uma superfície horizontal em que um líquido viscoso foi derramado, dando origem a umaforça dissipativa proporcional à velocidade, com constante ρ = 0, 1 kg/s. Uma força externa F(t) = F0 cos(Ωt) éaplicada ao bloco, onde F0 = 0, 2 N e Ω é uma freqüência angular sintonizável.

a) [1,0] Calcule a potência média transferida pela força externa ao bloco, na situação estacionária, em função de Ω.

b) [1,0] Encontre a expressão exata da freqüência Ωmax em que essa potência média é máxima. Calcule o valordesta frequência, justificando as aproximações.

c) [1,0] Suponha agora que a força externa é desligada, qual será a taxa de dissipação de energia do sistema?


FORMULÁRIO

x(t) = A cos (ω0t + φ)

ω0 =√

km ; k = d2U(x)

dx2

∣∣∣x=x0

x(t) = Ae−γ2 t cos (ωt + φ); ω =

√ω2

0 −γ2

4

x(t) = e−γ2 t (aeβt + be−βt) ; β =

√γ2

4 − ω20

x(t) = e−γ2 t (a + bt)

x(t) = F0/mω2

0−Ω2 cos (Ωt + φ)

x(t) = A(Ω) cos (Ωt + φ(Ω));

A(Ω) = F0/m√(ω2

0−Ω2)2+γ2Ω2

; tan φ(Ω) = − γΩω2

0−Ω2

Q = A(ω0)A(0) ; Q = ω0

γ ; τd = γ−1

Potência Média: P = mγx2

sin(ωt + φ)2 = cos(ωt + φ)2 = 1/2

ω20 − Ω2 = (ω0 + Ω)(ω0 − Ω) ≈ 2ω0(ω0 − Ω) , para Ω ≈ ω0

cos(a ± b) = cos(a)cos(b)∓ sen(a)sen(b)

sen(a ± b) = sen(a) cos(b)± sen(b) cos(a)

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