Il Dipolo ElettricoIl Dipolo Elettrico

Dipolo Elettrico: due cariche(puntiformi) +q e –q (stesso modulo,segno opposto) a distanza a.g pp )

Momento di Dipolo, P: Vettore di modulo qa che va da q a +qqa che va da –q a +q

Dato un punto P molto distante dal dipolo : r >> aDato un punto P molto distante dal dipolo : r >> a

1Elettrologia III

ϕϕ

θ ‘

r2 - r1 ≅ a cosθ ’ ≅ ≅

2Elettrologia III

E

V di d d i di EV non dipende da ϕ quindi Eϕ ∝

Per θ = 0, E // asse z,

3Elettrologia III

Per θ = π/2, E

Per θ = π, … // p ! E

4Elettrologia III

Anche per un sistema di più cariche (se neutro) si può definire undi di l P d Σ Σmomento di dipolo, P = da, con q+ = Σ qi+ , q- = Σ qi- e a = vettore

tra i “baricentri” delle cariche – e +.

Momenti di quadrupolo, octupolo,…..

5Elettrologia III

Forza agente su un dipolog p

Se E è niforme allora F E F F 0Se E è uniforme, allora F2 = q+ E = - F1 , Ftot = 0,

ma c’è il momento torcente della coppia di Forze:

M = - pE sin(θ) uz

6Elettrologia III

Lavoro di M per ruotare di θ il dipolop p

U(θ) minima per θ = 0 ! -1 < 0 !

7Elettrologia III

Per θ iniziale ≠ 0, moto oscillatorio, armonico per piccoli θ

aS E è if E ≠ E (E < E ) aSe E non è uniforme E1 ≠ E2 (E1 < E2)

Oltre a M c’è anche F nettaOltre a M c è anche F netta

se a

Il dipolo si orienta e si sposta.

Il verso della forza dipende dalla derivata di E ( se E cresce o cala con x)

8Elettrologia III

Angolo piano e angolo solido

Porzione di piano individuata

da due semirette con l’origine in comune:

Angolo (piano) :

Angolo solido : Porzione di spazio individuata

da quattro semirette (non complanari) con

l’origine in comune:

dΣ0 porzione di sup. sferica

9Elettrologia III

radrad

AB ≈ r dθ, O’AO = O’DO = π/2,

AD ≈ r’ d φ = r sin(θ) dφ

r’

Area ABCD ≈ r 2sin(θ) dθ dφ = d Σ0

= sin(θ) dθ dφ

strad

10Elettrologia III

Legge di Gaussgg

Il campo elettrostatico di una carica è conservativo, allora anche il campo

di N cariche o di una distribuzione continua di cariche è conservativo.

Consideriamo il flusso infinitesimo d Φ di un vettore (E) attraversoConsideriamo il flusso infinitesimo d Φ di un vettore (E) attraverso

una superficie infinitesima dΣ

dΦ = E ⋅ un dΣ = E dΣ cos(θ) =E dΣ = E dΣ0En dΣ E dΣ0

dΣ0 porzione di sup. sferica

dΦ =

11Elettrologia III

Legge di Gauss: il Flusso del campo elettrico attraverso una superficieLegge di Gauss: il Flusso del campo elettrico attraverso una superficie

chiusa è uguale alla carica netta all’interno, divisa per ε0

Dato che E è additivo e gli integrale si sommano, la legge vale anche

per N cariche discrete o una distribuzione continua di carica.

Q è la somma di tutte le cariche interne, con il loro segno

τ è il volume racchiuso da Σ (sup. chiusa)12Elettrologia III

L h D fl lLe carche esterne non contano. Danno un flusso totale = zero.

13Elettrologia III

Riprendiamo il teorema della Divergenza

Φ (v)   ≡ = Σ

Applichiamolo alla Legge di Gauss

La carica Q contenuta nel volume τ racchiuso da Σ si può scrivere

per cui

FORMA DIFFERENZIALE ( O LOCALE) DELLA LEGGE DI GAUSS14Elettrologia III

Dato che

(x,y,z)

Equazione di PoissonEquazione di Poisson

Se ρ = 0

Equazione di Laplace15Elettrologia III

La Legge di Gauss è molto utile quando, per motivi di simmetria,

l’integrale del Flusso è facile. Altrimenti…

Esempi

1) E costante e // a n su tutta la superficie Σ (chiusa)

Se Σ è una sfera

16Elettrologia III

2) Sfera vuota di raggio R, uniformemente carica (solo) in superficie: σ = cost

Campo in P, che dista r dal centro della sfera?

Ogni coppia di punti simmetrici dà un campo

i fi i i // l i h di dinfinitesimo sempre // al raggio e che dipende

solo dalla distanza.

Prendiamo un a sfera di raggio r = OP.

La sua sup. = 4 π r2 e il flusso di E è Φ(E) = E 4π r2 =

per cui

come se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera!

inoltre

17Elettrologia III

Sulla sup. della sfera (r = R): E

Dentro la sfera (r < R) Q = 0, E = 0

Il potenziale fuori va come 1/r

è ll fi i dDentro è costante e alla superficie, deve

raccordarsi con quello fuori.

18Elettrologia III

3) Sfera piena, uniformemente carica nel volume : ρ = cost

Stesse considerazioni sulla geometria:

prendiamo due volumetti simmetrici...

E(r) è sempre radiale e dipende solo dalla distanza.

Prendiamo un a sfera di raggio r = OP.

La sua sup. = 4 π r2 e il flusso di E è E 4π r2 = per cui

come se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera.

E

19Elettrologia III

Er

per r ≥ R, è come se tutta la carica fosse

concentrata nel centro della sfera.concentrata nel centro della sfera.

per r = R: V (R) =

per r < R, R ≡ r !, E = ,

all’interno

20Elettrologia III

4) Filo indefinito uniformemente carico (cilindro di raggio R << lunghezza)4) Filo indefinito uniformemente carico (cilindro di raggio R lunghezza)

densità di carica lineare λ = q / h = cost +

+

+Per simmetria E deve essere ⊥ al filo, dipendere solo

da r ed essere uguale lungo il filo.

+

+

+

+

Il flusso di E attraverso le basi è nullo, E ⊥ un

+

+

+Prendiamo un cilindro arbitrario di raggio r e altezza h:

n

Vale lontano dai

bordi o se il filo è

21Elettrologia IIIindefinito!

R non può essere 0 !

22Elettrologia III

5) Superficie indefinita, uniformemente carica: σ = q / S = cost.

Prendiamo un cilindro di sezione Σ, con l’asse

perpendicolare alla sup. , di altezza h.p p p ,

La carica nel cilindro è quella sulla parte di

superficie all’interno del cilindro Σ: q = σ Σsuperficie all interno del cilindro Σ: q σ Σ

Come già visto.

(Finchè x è << delle dimensioni “ laterali ”della superficie)23Elettrologia III

N B Il E h l fl è ll t t l ò hN.B. Il campo E che compare nel flusso è quello totale, può anche

derivare da altre cariche .

Es: E1 ≠ E2. ma concordi e uniformi.

+++E1 E

σPrendiamo un cilindretto…

++++

E1 E2

++

24Elettrologia III