Prove scritte di Analisi Matematica 2 -...

Michele Campiti

Prove scritte di

Analisi Matematica 2Ingegneria Industriale

a.a. 2011–2012

Grafico della funzione f(x, y) := sin(2x2 − y) cos(x− 2y2) in [−π/2, π/2]2

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 2” per Ingegneria classe Industriale Facolta

di Ingegneria, Universita del Salento

1

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica II15 dicembre 2011, A

Prof. Michele Campiti

1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni:

+∞∑n=1

n sin xn

(x+ n)2.

2. Calcolare il massimo e il minimo assoluto della funzione

f(x, y) = (x+ y) log y

nel parallelogramma{(x, y) ∈ R2 | 1

2 ≤ y ≤ 2 , 12 ≤ x+ y ≤ 2}.

3. Teoria: Funzioni regolari a tratti e criterio di sviluppabilita in serie diFourier.

4. Teoria: Definizione di funzione differenziabile e relazioni con la conti-nuita e le derivate direzionali (con dim.).

2

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di AnalisiMatematica II15 dicembre 2011, A

1. Sia fn(x) =n sin x

n(x+n)2

. Le funzioni fn sono definite tutte nell’intervallo

[0,+∞[ (infatti ogni fn non e definita in −n). Se x = 0, la serie eovviamente convergente; se x > 0 si ha, per n → +∞,

n sin xn

(x+ n)2∼

nxn

(x+ n)2=

x

(x+ n)2

e quindi la serie converge (assolutamente) in x in quanto il terminegenerale e un infinitesimo di ordine 2. Quindi la serie e puntualmente(assolutamente) convergente in [0,+∞[. Per quanto riguarda la con-vergenza uniforme si cerca di stabilire la convergenza totale. Dalladiseguaglianza | sinx| ≤ |x| si ottiene∣∣∣∣ n sin x

n

(x+ n)2

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ x

(x+ n)2

∣∣∣∣e quindi, considerata la funzione φn(x) = x/(x + n)2, si riconoscefacilmente che essa ha massimo in n dato da φ(n) = n

4n2 = 14n ma la

serie∑+∞

n=114n non e convergente.

Se si considera invece un intervallo [0, a] con a > 0 per ogni n > a ilmassimo di φn viene assunto in a e la serie

∑+∞n=1 φn(a) e convergente.

Quindi vi e convergenza totale (e conseguentemente uniforme) in [0, a].

2. Innanzitutto si osserva che il parallelogramma e un insieme chiuso elimitato e che la funzione assegnata e continua e quindi il massimo edil minimo assoluto esistono per il teorema di Weierstrass. Per determi-narli basta quindi confrontare i valori della funzione nei possibili puntidi massimo e di minimo relativo. Poiche la funzione e differenziabiletali punti sono quelli stazionari interni e quelli di massimo e minimosulla frontiera. Per quanto riguarda i punti stazionari interni si osservache il sistema delle derivate parziali{

log y = 0 ,

log y +x

y+ 1

ha come soluzioni y = 1 (dalla prima equazione) e x = −1 (sosti-tuendo y = 1 nella seconda). Quindi vi e un unico punto stazionario(−1, 1) che tuttavia e esterno al parallelogramma. Quindi il massimoed il minimo si trovano sicuramente sulla frontiera. Lo studio sul-la frontiera viene suddiviso in quattro parti, considerando i lati delparallelogramma:

3

(a) y = 1/2, 0 ≤ x ≤ 3/2. Si considera la funzione φ(x) = f(x, 1/2) =(x + 1/2) log 1/2 = − log 2(x + 1/2) nell’intervallo [0, 3/2]. Ta-le funzione ha massimo in 0 e minimo in 3/2. Quindi bisognaconsiderare i punti

f

(0,

1

2

)= −1

2log 2 , f

(3

2,1

2

)= −2 log 2 .

(b) y = −x + 2, 0 ≤ x ≤ 3/2. Si considera la funzione φ(x) =f(x,−x + 2) = 2 log(2 − x) nell’intervallo [0, 3/2]. Tale funzioneha massimo in 0 e minimo in 3/2. Quindi bisogna considerare ipunti

f (0, 2) = 2 log 2 , f

(3

2,1

2

)= −2 log 2 .

(c) y = 2, −3/2 ≤ x ≤ 0. Si considera la funzione φ(x) = f(x, 2) =(x + 2) log 2 nell’intervallo [−3/2, 0]. Tale funzione ha massimoin 0 e minimo in −3/2. Quindi bisogna considerare i punti

f (0, 2) = 2 log 2 , f

(−3

2, 2

)=

1

2log 2 .

(d) y = −x + 1/2, −3/2 ≤ x ≤ 0. Si considera la funzione φ(x) =f(x,−x + 1/2) = log(1/2 − x)/2 nell’intervallo [−3/2, 0]. Talefunzione ha massimo in −3/2 e minimo in 0. Quindi bisognaconsiderare i punti

f

(−3

2, 2

)=

1

2log 2 , f

(0,

1

2

)= −1

2log 2 .

Confrontando i valori ottenuti si deduce che il massimo assoluto di fnel parallelogramma assegnato e 2 log 2 assunto in (0, 2) e il minimoassoluto e −2 log 2 assunto in (3/2, 1/2).

4

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica II15 dicembre 2011, B


1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni:

+∞∑n=1

ex/n − 1

x+ n3.

2. Calcolare il massimo e il minimo assoluto della funzione

f(x, y) = (x2 − y) log y

nell’insieme{(x, y) ∈ R2 | x2 + 1

3 ≤ y ≤ e}.

3. Teoria: Serie di Taylor e criterio di sviluppabilita.

4. Teoria: Condizioni necessarie e sufficienti per punti di massimo eminimo relativo.

5

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di AnalisiMatematica II15 dicembre 2011, B

1. Sia fn(x) = ex/n−1x+n3 . Le funzioni fn sono definite tutte nell’intervallo

[0,+∞[ (infatti ogni fn non e definita in −n3). Se x = 0, la serie eovviamente convergente; se x > 0 si ha, per n → +∞,

ex/n − 1

x+ n3∼ x/n

x+ n3=

x

n(x+ n3)

e quindi la serie converge (assolutamente) in x in quanto il terminegenerale e un infinitesimo di ordine 4. Quindi la serie e puntualmen-te (assolutamente) convergente in [0,+∞[. Per quanto riguarda laconvergenza uniforme si osserva che∣∣∣∣∣ex/n − 1

x+ n3

∣∣∣∣∣ ∼∣∣∣∣ x/n

x+ n3

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ x

n(x+ n3)

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣ xn4

∣∣∣e quindi, fissato un intervallo [0, a] con a > 0 risulta∣∣∣∣∣ex/n − 1

x+ n3∼ x/n

x+ n3

∣∣∣∣∣ ≤ a

n4, x ∈ [0, a] ,

e la serie∑+∞

n=1an4 e convergente. Dal criterio di Weierstrass la con-

vergenza e totale (e conseguentemente uniforme) in [0, a].

2. Innanzitutto si osserva che l’insieme assegnato e chiuso e limitato eche la funzione assegnata e continua e quindi il massimo ed il minimoassoluto esistono per il teorema di Weierstrass. Per determinarli bastaquindi confrontare i valori della funzione nei possibili punti di massimoe di minimo relativo. Poiche la funzione e differenziabile tali punti sonoquelli stazionari interni e quelli di massimo e minimo sulla frontiera.Per quanto riguarda i punti stazionari interni si considera il sistemadelle derivate parziali 2x log y = 0 ,

log y +x2

y+ 1 .

La prima equazione e soddisfatta per x = 0 da cui y = 1/e (dallaseconda equazione) e y = 1 da cui x = ±1 (dalla seconda equazio-ne). Quindi i punti stazionari sono (0, 1/e), che e interno all’insiemeassegnato ed in cui si ha

f

(0,

1

e

)=

1

elog

1

e= −1

e,

6

e i punti (±1, 1) che invece sono esterni all’insieme assegnato.

Si studiano ora i massimi e minimi relativi sulla frontiera. Tenendopresente che l’insieme assegnato puo essere descritto come{

(x, y) ∈ R2 | −√

e− 1

3≤ x ≤

√e− 1

3, x2 +

1

3≤ y ≤ e

},

si puo suddividere la frontiera in due parti:

(a) y = e, −√

e− 1/3 ≤ x ≤√

e− 1/3. Si considera la funzioneφ(x) = f(x, e) = x2 − e nell’intervallo [−

√e− 1/3,

√e− 1/3].

Tale funzione ha massimo in ±√e− 1/3 e minimo in 0. Quindi

bisogna considerare i punti

f

(±√

e− 1

3, e

)= −1

3, f (0, e) = −e .

(b) y = x2 + 1/3, −√

e− 1/3 ≤ x ≤√

e− 1/3. Si considera la fun-zione φ(x) = f(x, x2 + 1/3) = − log(x2 + 1/3)/3 nell’intervallo[−√

e− 1/3,√

e− 1/3]. Tenendo presente che il logaritmo e cre-scente, tale funzione ha massimo in 0 e minimo in ±

√e− 1/3.

Quindi bisogna considerare i punti

f

(0,

1

3

)= −1

3log

1

3=

log 3

3, f

(±√e− 1/3, e

)= −1

3.

Confrontando i valori ottenuti si deduce che il massimo assoluto di fnell’insieme assegnato e log 3/3 assunto in (0, 1/3) e il minimo assolutoe −e assunto in (0, e).

7

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiSeconda prova di esonero di Analisi Matematica II7 febbraio 2012, A


1. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫D

x2 + 1

y(x2 + y2)dx dy ,

dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle seguenti condizioni:

x ≥ 0 , y ≥ 0 ,

√3

3x ≤ y ≤

√3x , 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 .

2. Risolvere il seguente problema di Cauchy:y′′ − 3y′ + 2y = xe2x ,y(0) = 1 ,y′(0) = 1 .

3. Teoria: Formula di riduzione per gli integrali doppi e nel caso generale.

4. Teoria: Curve regolari e rettificabili. Retta tangente al grafico di unacurva. Lunghezza di una curva.

8

Cenni sulla soluzione della seconda prova di esonero di AnalisiMatematica II7 febbraio 2012, A

1. Trasformando in coordinate polari: x = ρ cos θ, y = ρ sin θ il dominioD viene descritto dalle condizioni:

1 ≤ ρ ≤ 2 ,π

6≤ θ ≤ π

3.

Quindi l’integrale diventa∫ 2

1ρ dρ

∫ π/3

π/6

ρ2 cos2 θ + 1

ρ3 sin θdθ =

∫ 2

1

1

ρ2dρ

∫ π/3

π/6

ρ2 cos2 θ + 1

sin θdθ

e poiche∫ρ2 cos2 θ + 1

sin θdθ =

∫ρ2(1− sin2 θ) + 1

sin θdθ

= (ρ2 + 1)

∫1

sin θdθ −

∫sin θ dθ = (ρ2 + 1)

∫1

2 sin θ2 cos

θ2

dθ + cos θ

= (ρ2 + 1)

∫1

2 tan θ2 cos

2 θ2

dθ + cos θ = (ρ2 + 1) log

∣∣∣∣tan θ

2

∣∣∣∣+ cos θ + c ,

si ottiene infine∫ 2

1

1

ρ2

[(ρ2 + 1) log

∣∣∣∣tan θ

2

∣∣∣∣+ cos θ

]π/3π/6

dρ

=

∫ 2

1

(ρ2 + 1

ρ2log

∣∣∣∣ tanπ/6tanπ/12

∣∣∣∣− √3− 1

ρ2

)dρ

= log


∣∣∣∣ ∫ 2

1

(1 +

1

ρ2

)dρ−

√3− 1

2

∫ 2

1

1

ρ2dρ

= log


∣∣∣∣ [ρ− 1

ρ

]21

+

√3− 1

2

[1

ρ

]21

=3

2log


∣∣∣∣− √3− 1

4.

2. L’equazione differenziale e lineare del secondo ordine completa. Ilpolinomio caratteristico associato all’equazione omogenea e λ2 − 3λ+2 = 0 ed ha come soluzioni λ = 1 e λ = 2. Quindi la soluzione generaledell’equazione omogenea associata e u(x) = c1e

x+c2e2x con c1, c2 ∈ R.

Il termine noto e di tipo particolare (ponendo P1(x) = x, P2(x) = 0,α = 2 e β = 0) e poiche 2 e soluzione del polinomio caratteristico conmolteplicita 1, la soluzione particolare deve essere del tipo

u(x) = x(ax+ b)e2x .

9

Calcolando u′ e u′′, sostituendoli nell’equazione differenziale comple-ta e uguagliando i coefficienti dello stesso grado a primo e secondomembro, si ottiene il sistema

4a− 6a+ 2a = 0 ,4b+ 4a+ 4a− 6b− 6a+ 2b = 1 ,2b+ 2b+ 2a− 3b = 0 ,

da cui a = 1/2 e b = −1. Quindi la soluzione generale dell’equazionecompleta e u(x) = c1e

x+c2e2x+x

(12x

2 − x)e2x con c1, c2 ∈ R. Risulta

inoltre u′(x) = c1ex +2c2e

2x + x(x− 1 + x2 − 2x

)e2x e in particolare

u(0) = c1 + c2 e u′(0) = c1 + 2c2 − 1. Dalle condizioni iniziali impostesi ricava il sistema {

c1 + c2 = 1 ,c1 + 2c2 − 1 = 1 ,

che ha come soluzioni c1 = 0 e c2 = 1. Quindi la soluzione del problemadi Cauchy assegnato e la seguente

u(x) =

(1

2x2 − x+ 1

)e2x .

10

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiSeconda prova di esonero di Analisi Matematica II7 febbraio 2012, B



x2 log(yx

)dx dy ,

dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle seguenti condizioni:

1 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2x .

2. Risolvere il seguente problema di Cauchy:y′′ + 2y′ = x2 + 1 ,y(0) = 0 ,y′(0) = −1 .

3. Teoria: Cambiamento di variabile negli integrali multipli.

4. Teoria: Campi conservativi e irrotazionali; definizioni e caratterizza-zioni.

11

Cenni sulla soluzione della seconda prova di esonero di AnalisiMatematica II7 febbraio 2012, B

1. Conviene usare la trasformazione : u = x, v = y/x mediante la qualeil dominio D viene descritto dalle condizioni:

1 ≤ u ≤ 2 , 1 ≤ v ≤ 2 .

Risulta inoltre det J(u, v) = u e quindi l’integrale diventa∫ 2

1u du

∫ 2

1u2 log v dv =

∫ 2

1u3 du

∫ 2

1log v dv =

∫ 2

1u3 [v log v − v]21 du

= (2 log 2− 2 + 1)

[u4

4

]21

=

(4− 1

4

)(2 log 2− 1) =

15

4(2 log 2− 1) .

2. L’equazione differenziale e lineare del secondo ordine completa. Ilpolinomio caratteristico associato all’equazione omogenea e λ2+2λ = 0ed ha come soluzioni λ = 0 e λ = −2. Quindi la soluzione generaledell’equazione omogenea associata e u(x) = c1+ c2e

−2x con c1, c2 ∈ R.Il termine noto e di tipo particolare (ponendo P1(x) = x2+1, P2(x) =0, α = 0 e β = 0) e poiche 0 e soluzione del polinomio caratteristicocon molteplicita 1, la soluzione particolare deve essere del tipo

u(x) = x(ax2 + bx+ c) .

Calcolando u′ e u′′, sostituendoli nell’equazione differenziale comple-ta e uguagliando i coefficienti dello stesso grado a primo e secondomembro, si ottiene il sistema

4a = 1 ,6a+ 4b = 0 ,2b+ 2c = 1 ,

da cui a = 1/6, b = −1/4 e c = 3/4. Quindi la soluzione generaledell’equazione completa e u(x) = c1 + c2e

−2x + 16x

3 − 14x

2 + 34x con

c1, c2 ∈ R. Risulta inoltre u′(x) = −2c2e−2x + 1

2x2 − 1

2x + 34 e in

particolare u(0) = c1 + c2 e u′(0) = −2c2 + 3/4. Dalle condizioniiniziali imposte si ricava il sistema{

c1 + c2 = 0 ,−2c2 +

34 = −1 ,

che ha come soluzioni c1 = −7/8 e c2 = 7/8. Quindi la soluzione delproblema di Cauchy assegnato e la seguente

u(x) = −7

8+

7

8e−2x +

1

6x3 − 1

4x2 +

3

4x .

12

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II14 febbraio 2012, A


1. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione 2π-periodica:

f(x) = x cosx , −π < x ≤ π ,

e studiarne la convergenza.

2. Studiare i massimi e minimi assoluti della funzione:

f(x, y) = 3xy − y2 ,

nel sottoinsieme D di R2 delimitato dalle seguenti condizioni:

|x| ≤ 2 , |y| ≤ 2 .

3. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:

y′ =1

xy +

1

x2y2 .

13

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II14 febbraio 2012, B


1. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione 2π-periodica:

f(x) = |x| sinx , −π < x ≤ π ,

e studiarne la convergenza.

2. Studiare i massimi e minimi assoluti della funzione:

f(x, y) = x2y + y2 ,


|x| ≤ 2 , |y| ≤ 2 .


y′ =1

xy +

1

x3y3 .

14



1. Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente serie difunzioni:

+∞∑n=1

(−1)n(x2 − 1)2n

n(n− 1),

e calcolarne la somma.


x

x2 + y2dx dy ,


1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , |x| ≤ y .

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti dellafunzione:

f(x, y) = e2x−y x (y − x) .


y(4) + y′′ + 10y′ = x sinx .

15



1. Teoria: Teoremi di derivazione ed integrazione termine a termine (condim.).

2. Teoria: Lemma di Gronwall ed unicita della soluzione del problema diCauchy.

16




+∞∑n=1

(−1)narctan2n x

n(n− 1),

e calcolarne la somma.


xy

(x2 + y2)2dx dy ,


4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 , x+ y ≥ 0 .


f(x, y) = ex−2y (y2 − xy) .


y(3) + 2y′′ + y′ =x2

ex.

17



1. Teoria: Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (condim.).

2. Teoria: Teoremi di esistenza della soluzione del problema di Cauchy.

18

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II30 aprile 2012, A



+∞∑n=1

n2e−nx .

2. Dire se la seguente curva e regolare e in caso affermativo calcolarne lalunghezza:

φ(t) = (t, cos t, sin t) , t ∈ [0, π] .


f(x, y) = x− y − log(xy)

nel quadrante D = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}.


y′ =2x+ 3y

x+ y.

19

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II25 giugno 2012, B



+∞∑n=1

(−1)n1

nlog(1− x

n

).

2. Dire se la seguente curva e regolare e in caso affermativo calcolarne lalunghezza:

φ(t) =

(t, t2,

t3

3

), t ∈ [0, 1] .

3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione:

f(x, y) = xy − x2 − 4y2

nel quadrato di vertici (−1,−1) , (1,−1) , (1, 1) , (−1, 1) .


y′ =x+ 3y

x− y.

20

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II16 luglio 2012, B


1. Scrivere la serie di Fourier della funzione:

f(x) = sin |x| , −π ≤ x ≤ π ,

e periodica di periodo 2π e studiarne la convergenza.


x2

x+ ydx dy ,

dove D e la parte di corona circolare di raggi 1 e 2 contenuta nel primoquadrante e delimitata dalle rette y = x e y =

√3x.


f(x, y) = x2y − 2x

lungo la curva φ(x, y) = xy2 − x.


y′′ = (y′)2 + y .

21

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II5 settembre 2012, A


1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes-sione di funzioni:

x2 + n

nx, x ∈ R .

2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫Dy√

x2 + y2 dx dy ,

dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle seguenti condizioni

x2 + y2 ≤ 1 , y ≥ 0 .


f(x, y) = x√

4− x2 − y2

nel cerchio di centro l’origine e raggio 2.


y′ =ex

log y.

22

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II18 settembre 2012, A


1. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione periodica di periodo2π definita come segue:

f(x) =x2

π2, −π ≤ x ≤ π ,

e studiare la convergenza della serie di Fourier ottenuta.


x+ y

x2 + y2dx dy ,

dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle condizioni

1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , y ≥ 0 .


f(x, y) = y2 + y − 2xy

nel seguente sottoinsieme di R2

D ={(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 x2 ≤ y ≤ x

}.


y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = sin 2x .

23

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II31 ottobre 2012, A


1. Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente successio-ne di funzioni::

fn(x) =1 + nx

1 + n2x, x ≥ 0 .


x− 2y

xy + 1dx dy ,


1 ≤ x ≤ 4 , x ≤ y ≤ 2x .


f(x, y) = x log(1 + xy)

nel quadrato di vertici A(1, 1), B(e, 1), C(e, e), D(1, e).


y′

y= x+ y .

24

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II11 dicembre 2012, A


1. Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente serie difunzioni e calcolarne la somma nell’insieme di convergenza:

+∞∑n=1

(x

x+ 1

)n

.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫Dsin 2x cos2 y dx dy ,


0 ≤ x ≤ π

2, 0 ≤ y ≤ π

2.


f(x, y) = ex sin y

nel quadrato di vertici A(0, 0), B(1, 0), C(1, 2π), D(0, 2π).

4. (Ordinamento 270) Trovare le soluzioni della seguente equazionedifferenziale:

y′′ − y′ cos y = 0 .

(Ordinamenti precedenti) Trovare le soluzioni della seguente equa-zione differenziale:

y′′ − y′ cosx = 0 .

25

Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II9 gennaio 2013


1. Studiare la convergenza della seguente successione di funzioni:

fn(x) = xn e−nx , x ≥ 0 .


x+ y

x2 + y2dx dy

doveD = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 1, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 4} .

3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione

f(x, y) = sin(x+ y) cos y

nel quadrato di vertici (0, 0), (π, 0), (π, π) e (0, π).

4. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale

y′ =y

x+

y2

x2.

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