PRILOG NUMERIKOM IZRAUNAVANJU RASPODELE STRUJE I

ULAZNE ADMITANSE ASIMETRINOG DIPOLA

Nikoli B., Rani M., Cvetkovi N., Rani P. Elektronski fakultet u Niu

I UVOD Problem odreivanja nepoznate raspodele struje na pro-vodnicima iane strukture, koja je pobuena prosto-periodinom eksitacijom, predstavlja jedan od centralnih problema pri modelovanju EM polja ianih struktura razliite namene.

Za reavanje ovog problema postoji veliki broj metoda od kojih jedan broj polazi od zadovoljenja graninih uslova za tangecijalno elektrino polje, a jedan broj od zadovoljenja graninih uslova za magnetno polje na povrini provodnika iane strukture. Rezultat zadovo-ljenja ovih graninih uslova su sistemi integralnih jednaina za elektrino polje (Electric Field Integral Equations - EFIE), odnosno sistem integralnih jednaina za magnetno polje (Magnetic Field Integral Equations - MFIE) ([1], [2], [3] i dr).

Jedan broj integralnih jednaina se dobija evoluiranjem iz graninog uslova za tangecijalno elektrino polje kada se ovo izrazi preko komponenata magnetnog vektor potencijala, to dovodi do nehomogenih diferencijalnih jednaina ije reenje u implicitnoj formi predstavlja sistem integralnih jednaina tzv. Hallen-ovog tipa. U lite-raturi su poznate razliite forme ovih sistema integralnih jednaina ([4], [5], [6] i dr). Pri ovom reavanju Lorentz-ov uslov kontinuiteta potencijala se koristi samo u delu da se izrauna jedan broj nepoznatih konstanti integracije.

Ako se granini uslov da rezultujue tangecijalno elektrino polje, izraeno preko komponenti za magnetni vektor potencijal (ili Hertz-ov vektor potencijal) i elektrinog skalar potencijala, paralelno napie sa Lorentz-ovim uslovom, tada se dobija sistem parcijalnih nehomogenih diferencijalnih jednaina tipa telegrafiara, u kome naponu na vodu odgovara potencijal na povrini provodnika, a struji odgovara tangecijalna komponenta Hertz-ovog vektora (odnosno magnetnog vektor potencijala) sraunate na povrini ianog provodnika.

Reenja ovog sistema diferencijalnih jednaina su reenja za elektrini skalar potencijal ( SIJ - H ) i tange-cijalnu komponentu Hertz-ovog vektor potencijala (SIJ - H ) sraunati na povrini iane strukture, i u implictnoj

formi predstavljaju sistem integralnih jednaina za nepo-znate raspodele struja.

Za dalja numerika reavanja najee je korien sis-tem integralnih jednaina SIJ - H , odnosno reenje koje proizilazi iz reenja za tangecijalnu komponentu Hertz-ovog vektora (odnosno magnetnog vektor potencijala), dok je drugi par reenja sistema integralnih jednaina za nepo-znatu raspodelu struje, koji proistie iz reenja za elek-trini skalar potencijal (SIJ - H ), korien samo u delu da se odredi jedan broj nepoznatih konstanti integracije ([8], [7]).

U ovom radu je prezentovan obrnut pristup. Reava se sistem integralnih jednaina koji proizilazi iz reenja za elektrini skalar potencijal (SIJ - H ), a reenje za tangecijalnu komponentu Hertz-ovog vektor potencijala (SIJ - H ) slui da se odredi jedan broj nepoznatih konstanti integracije.

Za numeriko reavanje ovog sistema integralnih jednaina (SIJ - H ) koriena su dva metoda:

Metod podeavanja u takama sa polinomskom apro-ksimacijom za nepoznatu raspodelu struje ([4]); i

Metod minimiziranja srednje-kvadratne greke sa sin-cos aproksimacijom za nepoznatu raspodelu struje ([10]). Ceo postupak je ilustrovan na problemu usamljenog

asimetrinog dipola u vazduhu koji je napajan idealnim naponskim generatorom. Iza toga je dat jedan broj numerikoh rezultata za ulaznu admitansu kojim se ilustruje valjanost korienog modela i oblik aproksimacije za struje. II KRATAK TEORIJSKI OPIS II.1 OPIS GEOMETRIJE Posmatra se prava asimetrina dipol antena (ADA), duine krakova 1l (gornji) i 2l (donji), koji su krunog popre-nog preseka polupreika ka , kk la

II.2 HERTZ-OV VEKTOR I ELEKTRINI SKALAR POTENCIJAL

Hertz-ov vektor potencijal ima samo z komponentu, zr z )( 00 =

rr i dat je izrazom

[ ] kkkk

l

skkz srbKrKsI

k

k

+

= = =

d)()()(4

12010

2

1 000 , (1)

gde je 00 j= - kompleksna specifina provodnost,

ikikik rrrK )exp()( 00 = - standardno jezgro potencijala, 2/1

0000)(jj == - kompleksna konstanta prostira-

nja u vazduhu, ikr - rastojanja od strujnog elementa do posmatrane take i b -aditivna konstanta ( 0=b - ADA usamljena u vazduhu, 1=b - ADA iznad idealno provodne ravni).

Elektrini skalar potencijal u okolini antene,

00 = div , dat je izrazom

[ ] kkkkk

l

skk srbKrKs

sIk

k

=

= =

d)()()(4

12010

2

1 000 . (2)

II.3 SISTEM INTEGRALNIH JEDNAINA HALLEN-

OVOG TIPA (SIJ- i SIJ- )

Sistemi integralnih jednaina SIJ- i SIJ- u implicitnoj formi redom je dat sledeim reenjima

nen

nn

nz sshV

schs0

00

00 4

)(

= , (3)

nennnn schVsshs 000

00 4

)( +

= , (4)

gde su n i enV nepoznate konstante integracije,

nn ls 0 , 2,1=n , a potencijali )(0 nz s i )(0 ns se sraunavaju pomou (1) i (2) u takama na povrini provodnika du izvodnice ns , 2,1=n . Konstante n su prema (3) odreene pomou (1), tj. )0(0 == nzn s ,

2,1=n - vrednost Hertz-ovog vektora na proizvoljno izabranom poetku provodnika, to su prema Slici. 1 take

1A i 2A . Za odreivanje nepoznate raspodele struja koristi se

SIJ- , tj. jednaine (4). Nepoznate konstante nVe , 2,1=n , s obzirom na uveden model napajanja,

zadovoljavaju jednainu V1cossin30 202e2021e ==+ UlVljV . (5)

Nepoznate raspodele struja se predstavljaju u obliku aproksimativnog polinoma sa nepoznatim kompleksnim strujnim koeficijentima

( ) =

=

kM

m

m

k

kkmkk l

sAsI

0, 2,1=k , (6)

ili u obliku sinus-kosinus aproksimativne funkcije

( ) ( ) ( )kkkk slksl

kkkk eIeIIsI

++= 00 RI0 , 2,1=k . (7) Nepoznate raspodele struja zadovoljavaju sledee

uslove:

0)( 11 =lI , ili (8a) )()( 11111 lIalI = , (8b)

0)0(2 =I , ili (9a)

)0()0( 222 IaI = , (9b)

)()0( 221 lII = . (10) Nepoznati strujni koeficijenti polinoma u (6) odreuju

se reavanjem sistema algebarskih jednaina koji se formira, vodei rauna o uslovima (8) - (10), metodom po-deavanja u sledeim takama:

1+=

nnni M

ils , nMi ...,,2,1= , 2,1=n .

Nepoznati strujni koeficijenti u (7) se odreuju meto-dom srednje-kvadratne greke formiranjem funkcionala koji se standardnom procedurom minimizira, tj. funkcional srednje-kvadratne greke u proizvoljnom broju taaka N je oblika:

( )[=

+=N

inikkk sIIIF

1RI00 ,,,

] ++ 20e0 cossin30j ninnin sVs [ ]++++ )()0()0()( 221322111 lIIIlI

[ ]Ulss ==+ )()0( 220104 , (11a)

( )[=

+=N

inikkk sIIIF

1RI00 ,,,

] ++ 20e0 cossin30j ninnin sVs [ ] [ ]+++++ )0()0()()( 2222111111 IaIlIalI

[ ]UlsslII ==++ )()0()]()0([ 2201042213 .(11b) Funkcional (11a) ukljuuje uslove (8a) i (9a), a (11b)

uslove (8b) i (9b). Take u kojima se minimizira vrednost srednje-kvadratne greke izabrane su na sledei nain:

1+=

Nils nni , Ni ...,,2,1= .

Nepoznati strujni koeficijenti kkk III RI0 ,, , 2,1=k i

i , 4,3,2,1=i , odreuju se reavanjem sistema algebar-skih jednaina, koji se dobija variranjem funkcionala, tj.

00

=

kIF , 0

I=

kIF , 0

R=

kIF , 2,1=k ,

0=

i

F , 4,3,2,1=i .

III NUMERIKI REZULTATI Na osnovu opisanih matematikih modela formirani su paketi programa za numerika izraunavanja i to za polinomsku raspodelu struje u Fortran-u, a za sin-cos rapodelu u programskom paketu Matematica 3.0. Iz veeg broja numerikih eksperimenata dati su rezultati za ulaznu admitansu simetrinog dipola usamljenog u vazduhu poluprenika 021 007022.0 === aaa i duina kraka

021 250.0 === lll ; 0375.0 i 0500.0 ([11]). Rezultati su sreeni tabelarno i prikazani u Tabelama

1, 2 i 3. Pri polinomskoj aproksimaciji korien je isti stepen polinoma i na jednom i na drugom kraku dipola, tj.

MMM == 21 .

Tabela 1 - Ulazna admitansa, [mS]j uuu BGY += , usamljene simetrine dipol antene poluprenika 0007022.0 =a i duine kraka 0250.0 =l .

Sin-cos aproksimacija Polinomska aproksimacija N M+1

uslovi (8a) i (9a) uslovi (8b) i (9b) uslovi (8a) i (9a) uslovi (8b) i (9b) Popovi [3]

3 3 10.49 j 1.87 8.97 j 2.77 9.64 j 3.52 9.30 j 3.68 9.16 j 3.57

4 4 10.39 j 2.16 8.87 j 2.92 9.84 j 3.40 9.60 j 3.53 9.16 j 3.55

5 5 10.32 j 2.38 8.79 j 3.02 9.50 j 3.31 9.30 j 3.41 8.81 j 3.31

6 6 10.27 j 2.56 8.74 j 3.10 9.38 j 3.44 9.26 j 3.51

7 7 10.22 j 2.72 8.70 j 3.17 9.14 j 3.34 9.06 j 3.39

8 8 10.18 j 2.86 8.66 j 3.22 9.08 j 3.39 9.09 j 3.41

9 9 10.14 j 2.98 8.63 j 3.27 8.91 j 3.30 9.00 j 3.31

10 10 10.1 j 3.09 8.61 j 3.30 8.87 j 3.32 9.07 j 3.30

11 11 10.07 j 3.19 8.58 j 3.34 8.75 j 3.24 9.05 j 3.30

Mack [11] 8.92 j 3.46 8.92 j 3.46 8.92 j 3.46 8.92 j 3.46 8.92 j 3.46

Tabela 2 - Ulazna admitansa, [mS]j uuu BGY += , usamljene simetrine dipol antene

poluprenika 0007022.0 =a i duine kraka 0375.0 =l .

Sin-cos aproksimacija Polinomska aproksimacija N M+1

uslovi (8a) i (9a) uslovi (8b) i (9b) uslovi (8a) i (9a) uslovi (8b) i (9b) Popovi [3]

3 3 1.38 j 0.40 1.31 j 0.28 1.44 j 0.56 1.40