Présentation du Théorème de Présentation du Théorème de Thalès.Thalès.

Mr Thalès de Milet

Père de la géométrie déductive

Par Robert Julien

Enoncé du théorèmeEnoncé du théorème ::• Toute projection d’une droite sur une droite parallèlement à un plan conserve le rapport des longueurs de deux segmentsHypothèse :Hypothèse :•Voici un plan ω les droites d et d’ qui ne sont pas parallèles à ω •Considèrons trois points A, B et C de la droite d et leurs projections A’, B’ et C’ sur la droite d’ parallèlement au plan ω

•Désignons par α, β et γ les plans parallèles au plan ω comprenant respectivement les points A, B et C; ces plans coupent la droite d’ en A’, B’ et C’.

Schéma:Schéma:

ωd’

d

α

β

γ

C

B

AA’

B’

C’

ωd’

d

α

β

γ

C

B

AA’

B’

C’

Schéma:Schéma: Thèse :Thèse :Nous allons démontrer l’égalité

Démonstration :Démonstration :•Soit d’’ la droite parallèle à d comprenant A’ ; cette droite coupe β en B’’ et γ en C’’.

On a : A’B’’= AB et A’C’’ = AC (1)

• Les droites sécantes d’ et d’’ déterminent un plan qui coupe les plans β et γ suivant deux droites parallèles B’B’’ et C’C’’.

Appliquons le théorème de thalès à 2D dans ce plan:

Tenant compte des égalités (1), on a finalement :

C.Q.F.D.

B’’

C’’

d’’