Plot (Γραφικές Παραστάσεις με το Mathematica)

MATHEMATICA

ΓΡΑΦΙΚΕ ΠΑΡΑΣΑΕΙ

ΜΕ ΣΟ

ΜΑΣΗΕΜΑΣICA

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ

MSc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΑΘΗΝΑ 2011

2 PLOTS IN MATHEMATICA

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΑΛΣΗ ΠΡΟΙΟΓΟΤ

Όια ηα παξαδείγκαηα πνπ αλαθέξνληαη ζηηο επόκελεο ζειίδεο, κπνξείηε λα ηα

κεηαθέξεηε ζην θύιιν εξγαζίαο ηνπ Mathematica:

i) Πιεθηξνινγώληαο ηελ εληνιή πνπ βιέπεηε ζην θείκελν. Απηό βνεζάεη ζηε

ζηαδηαθή εμνηθείωζε κε ηελ «ζύληαμε» ηνπ Mathematica

ii) Θάλνληαο Copy & Paste ηελ εληνιή από ην θείκελν ζην θύιιν ηνπ

Mathematica. ηελ πεξίπηωζε απηή «θεξδίδνπκε» ρξόλν.

iii) Θπκόκαζηε πάληα όηη ε εληνιή εθηειείηαη είηε παηώληαο δηαδνρηθά ηα

γεηηνληθά πιήθηξα SHIFT θαη ENTER (θόθθηλν θπθιάθη ζηε θωηνγξαθία) ή

(θαιύηεξα) παηώληαο ην πιήθηξν ENTER (πξάζηλν θπθιάθη) ζηελ θάηω

δεμηά γωλία ηνπ πιεθηξνινγίνπ.

ε θάζε πεξίπηωζε «πεηξακαηηδόκαζηε» κεηαβάιινληαο αλάινγα ηα νξίζκαηα ηεο

πξνο ζρεδίαζε ζπλάξηεζεο (πρ ην πεδίν νξηζκνύ) ή θαη ηελ ίδηα ηε ζπλάξηεζε,

πξνθεηκέλνπ λα δνύκε ηηο κεηαβνιέο πνπ επέξρνληαη, ώζηε λα θαηαλνήζνπκε πωο

επηδξά θάζε επηινγή καο ζην γξαθεκα ηεο ζπλάξηεζεο.



ΓΡΑΦΗΘΔ ΠΑΡΑΣΑΔΗ ΣΟ ΔΠΗΠΔΓΟ

TWO DIMENSIONAL GRAPHICS

Βαζηθή εληνιή γηα λα ζρεδηάζεη θαλείο κηα ζπλάξηεζε (ζε δύν δηαζηάζεηο) είλαη

ε εληνιή Plot. (Όιεο νη εληνιέο πξέπεη λα γξάθνληαη κε ην πξώην γξάκκα θεθαιαίν).

Ζ «ζύληαμε» ηεο εληνιήο είλαη:

Plot[f[x],{x,xmin,xmax}] Κε ηελ παξαπάλω εληνιή παίξλνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f(x) ζην δηάζηεκα [xmin,xmax]. Πξνζνρή ηα νξίζκαηα ηόζν ηωλ εληνιώλ όζν θαη ηωλ ζπλαξ- ηήζεωλ κπαίλνπλ πάληα ζε αγθύιεο [ ], θαη όρη ζε παξελζέζεηο( ).

΄όιεο ηηο πεξηπηώζεηο νη εληνιέο εθηεινύληαη πιεθηξνινγώληαο δηαδνρηθά SHIFT, ENTER ή (θαιύηεξα) παηώληαο απιά ην ENTER ζηελ πιεπξά ηωλ αξηζκώλ (θάηω δεμηά γωλία ηνπ πιεθηξνινγίνπ).

ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑΣΑ

Plot[x^2-1,{x,-4,4}]

-4 -2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15



Plot[x*Sin[x],{x,-2*Pi,2*Pi}]

ΑΘΖΔΗ Πξνζπαζήζηε λα ζρεδηάζεηε ηηο παξαθάηω ζπλαξηήζεηο:

Plot[x^2-2*x+5,{x,-3,5}]

Plot[Sin[x],{x,-2*Pi,2*Pi}]

Plot[Tan[x], {x, -Pi, Pi}]

Plot[Cosh[x], {x, -5, 5}]

Plot[Tanh[x],{x,-3,3}]

Plot[ArcTan[x],{x,-10,10}]

Plot[Exp[x],{x,-2,4}]

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-3

-2

-1

1



Plot[Sin[x]/x,{x,-3*Pi,3*Pi}]

(Γείηε όηη καο δίλεη,ζωζηά,ηελ ηηκή 1 ζην x=0)

Plot[Sin[x]*Cos[30*x],{x,-2*Pi,2*Pi}]

(αο ζπκίδεη θάηη;)

Φπζηθά ζ΄όια ηα παξαδείγκαηα κπνξνύκε ζαλ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή εθηόο ηνπ x, λα ρξεζηκνπνηήζνπκε π.ρ. ην y


Plot[Exp[-y]*y^2,{y,0,10}]

Plot[Exp[-y^2]*y^2,{y,0,3}]

Πξνθεηκέλνπ λα ζρεδηάζνπκε δύν ζπλαξηήζεηο ζηελ ίδηα γξαθηθή παξάζηαζε παξάζηαζε, ρξεζηκνπνηνύκε ηελ εληνιή:

Plot[{f[x],g[x]},{x,xmin,xmax}] Ζ παξαπάλω εληνιή γεληθεύεηαη γηα ηξεηο, ή θαη πεξηζζόηεξεο ζπλαξηήζεηο. Παξαηεξήζηε όηη νη ζπλαξηήζεηο κπαίλνπλ ζε { , } (Θεωξνύληαη ζαλ ζηνηρεία ιίζηαο.

ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑ



Plot[{x,x^2,Sin[x]},{x,-2*Pi,2*Pi}]


Plot[{x^2-3,x^2+2*x-5},{x,-4,4}]

Plot[{x,x^2,x^3,x^4},{x,-2,2}]

θιπ

Πιεθηξνινγώληαο:

Plot//Options Παίξλνπκε όιε ηηο δηαζέζηκεο επηινγέο γηα ηε ζπλάξηεζε Plot. Αο πνύκε ηώξα όηη ζέινπκε λα κάζνπκε ηη ζεκαίλεη ε επηινγή:

AspectRatio

Πιεθηξνινγνύκε: ?AspectRatio

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4




Γείηε πρ. ηε δηαθνξά ζηελ ζρεδίαζε κεηαμύ ηωλ εληνιώλ:

Plot[x^2,{x,-4,4}]

θαη

Plot[x^2,{x,-4,4},AspectRatio->Automatic]

Δπίζεο (Πξνζπαζήζηε κόλνη ζαο):

Plot[{-Sqrt[16-x^2],Sqrt[16-x^2]},{x,-4,4}]

θαη

Plot[{-Sqrt[16-x^2],Sqrt[16-x^2]},{x,-4,4},

AspectRatio->Automatic]

-4 -2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15

-4 -2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15



ΠΑΡΑΚΔΣΡΗΘΖ ΥΔΓΗΑΖ Πιεθηξνινγήζηε:

?ParametricPlot Γηα λα δείηε όιεο ηηο δηαζέζηκεο επηινγέο ηεο εληνιήο: ParametricPlot

H Δληνιή ParametricPlot ζπληάζζεηαη:

ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax}] θαη καο δίλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηωλ παξακεηξηθώλ εμηζώζεωλ x=x(t) θαη y=y(t) ζην δηάζηεκα: [tmin,tmax]. ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑ

ParametricPlot[{Cos[5t],Sin[3t]},{t,0,2\[Pi]},AspectRat

io->Automatic]

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1




ParametricPlot[{t^2, t}, {t, -2, 2}]

ParametricPlot[{t - Sin[t], 1 - Cos[t]}, {t, 0, 4*Pi}]

(Θπθινεηδήο)

ParametricPlot[{Cos[t]^3, Sin[t]^3}, {t, 0, 2*Pi}]

(Τπνθπθινεηδήο 4 θνξπθώλ).

ParametricPlot[{2*Sin[t]^2, 2*Sin[t]^3/Cos[t]}, {t, 0,

2*Pi}]

(Θηζζνεηδήο ηνπ Γηνθιή)

ParametricPlot[{(3*t)/(1 + t^3), (3*t^2)/(1 + t^3)},

{t, -5, 5}]

(Φύιιν ηνπ Descartes)



ΠΟΙΗΘΔ ΤΛΣΔΣΑΓΚΔΛΔ

Γηα ζρεδίαζε ζε πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο ρξεζηκνπνηνύκε ηελ εληνιή:

PolarPlot

H Δληνιή PolarPlot ζπληάζζεηαη:

PolarPlot[f[ζ],{ζ,ζmin,ζmax}]

ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑΣΑ PolarPlot[{1,Sin[5*Theta]},{Theta,0,2*Pi}

Φπζηθά αληί ηνπ ζ κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε πρ ην t:

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1




PolarPlot[{1,Sin[5*t]},{t,0,2*Pi}]

PolarPlot[1-Cos[t],{t,0,2*Pi}] (Θαξδηνεηδήο)

PolarPlot[t, {t, 0, 8*Pi}] (πείξα ηνπ Αξρηκήδε)

PolarPlot[Sqrt[Cos[2*t]], {t, 0, 2*Pi}] (Ιεκλίζθνο)

PolarPlot[Cos[3*t], {t, 0, 2*Pi}] (Σξίθπιιν)

PolarPlot[Cos[15*t], {t, 0, 2*Pi}] (Γεθαπεληάθπιιν)

PolarPlot[Cos[2*t], {t, 0, 2*Pi}] (Σεηξάθπιιν)

PolarPlot[Cos[6*t], {t, 0, 2*Pi}] (Γωδεθάθπιιν)

Ζ εμίζωζε r=cos(nt),ζε πνιηθέο, έρεη n θύιια αλ n=πεξηηηόο θαη 2n θύιια αλ n=άξηηνο. Δπηβεβαηώζηε ην «πεηξακαηηθά» κε ην Mathematica.



ΠΔΠΙΔΓΚΔΛΔ ΤΛΑΡΣΖΔΗ Γηα ηελ γξαθηθή παξάζηαζε «πεπιεγκέλωλ» ζπλζξηήζεωλ ρξεζηκνπνηνύκε ηελ εληνιή:

ImplicitPlot

H Δληνιή ImplicitPlot ζπληάζζεηαη:

ImplicitPlot[equation,{x,xmin,xmax}] ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑ ImplicitPlot[x^3+y^3==6*x*y,{x,-4,4}] (Φύιιν ηνπ Descartes)

Παπαηηπήζηε όηι η εξίζωζη «θέλει» διπλό ίζον: ==

ΑΘΖΔΗ Πξνζπαζήζηε λα ζρεδηάζεηε ηελ παξαθάηω ζπλάξηεζε:

ImplicitPlot[x^3 + y^2 - 3*x^2 == 0, {x, -4, 4}]

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2



Ζ ΔΛΣΟΙΖ MANIPULATE Κηα εμαηξεηηθά ρξήζηκε εληνιή, πνπ ππάξρεη ζηηο λεώηεξεο εθδόζεηο ηνπ Mathe-

matica (κεηά ην Mathematica 6), είλαη ε εληνιή Manipulate. Κε ηε βνήζεηα απηήο

ηεο εληνιήο κπνξνύκε λα ζρεδηάζνπκε κηα ζπλάξηεζε, ζηελ νπνία έρνπκε εηζάγεη κηα

παξάκεηξν έζηω α, πνπ κπνξεί λα παίξλεη ηηκέο ζε θάπνην δηάζηεκα πνπ έρνπκε

πξνθαζνξίζεη, παξαηεξώληαο έηζη πωο αιιάδεη ε κνξθή ηεο ζπλάξηεζεο κε ηελ

αιιαγή ηεο παξακέηξνπ α. Παίξλνπκε θαη΄απηό ηνλ ηξόπν κηα νιόθιεξε «νηθνγέλεηα»

ζπλαξηήζεωλ, πνπ ηα κέιε ηεο εμαξηώληαη από ηελ ηηκή ηνπ α. Ζ ελ ιόγω εληνιή έρεη

θαη άιιεο ρξήζεηο θαη γηα λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα γξαθηθέο παξαζηάζεηο πξέπεη λα

δερζεί ζαλ όξηζκα ηελ εληνιή Plot

H Δληνιή Manipulate γηα γξαθηθέο παξαζηάζεηο ζπληάζζεηαη:

Manipulate[Plot[f[x],{x,xmin,xmax}],{a,amin,amax}] θαη καο δίλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f(x) ζην δηάζηεκα [xmin,xmax]

θαη γηα ηηκέο ηεο παξακέηξνπ a ζην δηάζηεκα [amin,amax]


Manipulate[Plot[Sin[a*x], {x, -3*Pi, 3*Pi}], {a, 1,

10}]

Κε ηελ παξαπάλω εληνιή ζρεδηάδνπκε ηε ζπλάξηεζε sin(ax), ζην δηάζηεκα [-3π,3π]

θαη βιέπνπκε ηελ «αιιαγή» ηεο αιιάδνληαο ην a από 1 έωο 10



ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑΣΑ ΑΠΟ ΣΖ ΦΤΗΘΖ

Πξώηε δηεγεξκέλε ζηάζκε ηνπ αξκνληθνύ ηαιαληωηή:

Plot[(4/Pi)^(1/4)*x*Exp[-x^2/2], {x, -5, 5}]

Γπλακηθό Lennard – Jones

Plot[(1/r)^12 - (1/r)^6, {r, 0.01, 3}, PlotRange -> {-

0.3, 0.7}]

-4 -2 2 4

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

0.2

0.4

0.6



Δηθόλα Lissajous

ParametricPlot[{Cos[t + Pi/2], Cos[3*t]}, {t, 0, 2*Pi}]

Δηθόλα Lissajous

ParametricPlot[{Cos[4 t + Pi/2], Cos[3*t]}, {t, 0,

2*Pi}]

(Παξαηεξήζηε ην ιόγν 4/3)

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1



Σαιαληωηήο κε απόζβεζε:

Plot[Exp[-0.1 x] Cos[x], {x, 0, 10 Pi}]

Σα πξώηα 6 Πνιπώλπκα Legendre:

Plot[{LegendreP[0, x], LegendreP[1, x], LegendreP[2,

x], LegendreP[3, x], LegendreP[4, x], LegendreP[5, x]},

{x, -1, 1}]

5 10 15 20 25 30

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1



Σα πξώηα 6 Πνιπώλπκα Hermite:

(Σα ζπλαληάκε ζηε ιύζε ηνπ αξκνληθνύ ηαιαληωηή, ζηε Θβαληνκεραληθή)

Plot[{HermiteH[0, x], HermiteH[1, x], HermiteH[2, x],

HermiteH[3, x], HermiteH[4, x], HermiteH[5, x]}, {x, -

5, 5}]

Ζ εληνιή:

Series[f[x],{x,0,n}]

-4 -2 2 4

-150

-100

-50

50

100

150

200



Καο δίλεη ηνπο πξώηνπο όξνπο – ηάμεωο κέρξη n -από ηελ αλάιπζε ζε ζεηξά Taylor ηεο

f(x) γύξω από ην κεδέλ

Έηζη πιεθηξνινγώληαο:

Series[Sin[x],{x,0,5}]

Παίξλνπκε ην απνηέιεζκα:

x - x^3/6 + x^5/120 + Ο[ρ]6

Δλώ πιεθηξνινγώληαο:

Series[Sin[x],{x,0,10}]

Παίξλνπκε ην απνηέιεζκα:

x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + x^9/362880+ Ο[ρ]11

Ζ εληνιή :

Plot[{Sin[x], x - x^3/6 + x^5/120, x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + x^9/362880}, {x, -

2*Pi, 2*Pi}]

καο ζρεδηάδεη ην sin(x) καδί κε ηηο δύν π0ιπωλπκηθέο ηνπ πξνζεγγίζεηο.

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4



...ΙΗΓΖ ΕΩΓΡΑΦΗΘΖ

ParametricPlot[{Sin[3 t] Sin[4 t], Cos[3 t] Sin[4 t]},

{t, 0, 2 Pi}]

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - ΑΝΑΦΟΡΕ

1. Theory and Problems of Mathematica, Eugene Don, Schaum’s Outline Series,McGraw-Hill, 2001

2. Μαθημαηικό Τσπολόγιο,Murray R. Spiegel, Μεηάθραζη Σωηήριος Περζίδης, ΕΣΠΙ, Αθήνα 1976

3. Οδηγός για ηο Mathematica, Κων. Ε. Παπαδάκης, Εκδόζεις Τζιόλα, Θεζζαλονίκη 2000

4. The Mathematica Book Edition 5, Stephen Wolfram,Wolfram Research Inc, 2003 (O Stephen

Wolfram είναι ο ¨δημιοσργός» ηοσ Mathematica

5. Mathematica Navigator, Heikki Ruskeepaa, Elsevier Academic Press,2004

6. Mathematical Methods Using Mathematica, Sadri Hassani, Springer-Verlag New York Inc.2003

Plot (Γραφικές Παραστάσεις με το Mathematica)

Documents

Transcript of Plot (Γραφικές Παραστάσεις με το Mathematica)