Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και...

63

description

Απο τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Transcript of Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και...

Page 1: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς
Page 2: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣIδρυτική δωρεά Παγκρητικής Eνώσεως Aμερικής

HΡΑΚΛΕΙΟ 2011

Σ Τ Ε Φ Α Ν Ο Σ Τ Ρ Α Χ Α Ν Α Σ

MATHEMATICA®

KAI

EΦAPMOΓEΣΓIA MAΘHMATIKOYΣ, ΦYΣIKOYΣ KAI MHXANIKOYΣ

E-BOOK

Page 3: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

¶ANE¶I™THMIAKE™ EK¢O™EI™ KPHTH™IΔPYMA TEXNOΛOΓIAΣ KAI EPEYNAΣ

Hράκλειο Kρήτης, T.Θ. 1527, 711 10. Tηλ. 2810 391097, Fax: 2810 391085

Aθήνα: Κλεισόβης 3, 10677. Tηλ. 210 3849020-22, Fax: 210 3301583

e-mail: [email protected]

http://www.cup.gr

ΣEIPA: ΠANEΠIΣTHMIAKH BIBΛIOΘHKH ΘETIKΩN EΠIΣTHMΩN / MAΘHMATIKA

Διευθυντής σειράς: Στέφανος Tραχανάς

ISBN-10: 960-524-141-2

ISBN-13: 978-960-524-141-4

© 2001 Πρώτη έκδοση:

Πρώτη ανατύπωση:Στοιχειοθεσία - σελιδοποίηση:

Tελικός έλεγχος κειμένου και μαθηματικών εκφράσεων:

Γενική επιμέλεια έκδοσης:

Eκτύπωση:Σχεδίαση εξωφύλλου:

Πανεπιστημιακές Eκδόσεις Kρήτης20012004Σοφία Σαββάκη (Π.E.K.)

Λιάνα Περάκη, Γιάννης Παπαδόγγονας (Π.E.K.)

Διονυσία Δασκάλου (Π.E.K.)

ΛYXNOΣ

Bάσω Aβραμοπούλου

Page 4: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

Στην Eυτυχία

Page 5: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

Π E P I E X O M E N A

Πρόλογος ……………………………………………………………………………… xiii

ΜΕΡΟΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ MATHEMATICA

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1. Ολοκληρώματα – Εξισώσεις – Στοιχειώδη γραφικά – Aλγεβρικές ταυτότητες ………………………………… 3

Προκαταρκτικά: Tι είναι η Mathematica ……………………………………… 03

ΑΣΚΗΣΗ 0. Οι βασικές “κινήσεις’’: Eίσοδος και έξοδος από τη Mathematica. Δημιουργία και αποθήκευση αρχείων ……………………… 04

ΑΣΚΗΣΗ 1. Απλοί αριθμητικοί υπολογισμοί: Η εντολή N …………………… 08

ΑΣΚΗΣΗ 2. Oλοκλήρωση, παραγώγιση και άθροιση: Οι εντολές Integrate, Differentiate και Sum …………………………………… 13

ΑΣΚΗΣΗ 3. Γραφικές παραστάσεις: Οι εντολές Plot και ParametricPlot …………………………………………………………… 17

ΑΣΚΗΣΗ 4. Aκριβής επίλυση αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων:Οι εντολές Solve και DSolve ……………………………………………… 22

ΑΣΚΗΣΗ 5. Aριθμητική επίλυση: Οι εντολές NSolve, NDSolve,

NIntegrate κ.λπ. …………………………………………………………… 26

ΑΣΚΗΣΗ 6. Pίζες μη πολυωνυμικών συναρτήσεων: Οι εντολές FindRootκαι FindMinimum …………………………………………………………… 30

ΑΣΚΗΣΗ 7. Ορισμός συναρτήσεως: Τα σύμβολα = και := …………………… 32

ΑΣΚΗΣΗ 8. Aπλοποίηση πολύπλοκων εκφράσεων: Οι εντολές Simplifyκαι FullSimplify …………………………………………………………… 35

ΑΣΚΗΣΗ 9. Συναρτήσεις επί των ακεραίων: Οι εντολές Table καιListPlot. H θεμελιώδης έννοια της λίστας ……………………………… 36

ΑΣΚΗΣΗ 10. Αλγεβρικές και τριγωνομετρικές ταυτότητες: Oι εντολέςTrigExpand, TrigReduce, Factor, Expand, Series κ.λπ. ……… 42

Page 6: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2. Ηλεκτρονικό βιβλίο – Μηνύματα – Παλέτες –Επιμέλεια αρχείων …………………………………………………… 49

ΑΣΚΗΣΗ 1. Mαθαίνοντας Mathematica με τη Mathematica : Το ηλεκτρονικόβιβλίο και η χρήση του ……………………………………………………… 49

ΑΣΚΗΣΗ 2. Mαθαίνοντας από τα λάθη μας: Tα μηνύματα σφάλματοςκαι το “διάβασμά” τους ……………………………………………………… 54

ΑΣΚΗΣΗ 3. Xρήση του συνήθους μαθηματικού συμβολισμού: Οι παλέτες … 61ΑΣΚΗΣΗ 4. Επιμέλεια αρχείων ………………………………………………… 65

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3. Αναδρομικοί υπολογισμοί – Μήτρες – Προχωρημένα γραφικά – Γενικές έννοιες ……………………… 73

ΑΣΚΗΣΗ 1. Aναδρομικοί υπολογισμοί. Στοιχειώδης προγραμματισμός με τη Mathematica : Η εντολή Do …………………………………………… 74

ΑΣΚΗΣΗ 2. Λογισμός μητρών: Οι εντολές Det[A], Inverse[A], Eigensystem[A], MatrixPower[A,n], MatrixExp[A] …………… 81

ΑΣΚΗΣΗ 3. Tμηματικά οριζόμενες συναρτήσεις: Οι εντολές If και Which… 85

ΑΣΚΗΣΗ 4. Περαιτέρω γραφικά: Οι εντολές ImplicitPlot,ContourPlot, Plot3D και ParametricPlot3D ……………………… 88

ΑΣΚΗΣΗ 5. Γραφική απεικόνιση διανυσματικών πεδίων: Οι εντολές PlotVectorField και PlotGradientField ………………………… 93

ΑΣΚΗΣΗ 6. Επιμέλεια γραφικών: Οι επιλογές και η χρήση τους …………… 97

ΑΣΚΗΣΗ 7. Λίστες και κανόνες αντικατάστασης στο πλαίσιοτων εντολών Solve. Mια τελική ματιά σε ένα σημαντικό θέμα ………… 107

ΑΣΚΗΣΗ 8. Συναρτήσεις και ο υπολογισμός τους. Ο εννοιολογικόςπυρήνας της Mathematica …………………………………………………… 118

ΜΕΡΟΣ B. MH ΓPAMMIKA ΦAINOMENA ΣΤΗ MATHEMATICA

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4. Γραμμικοί και μη γραμμικοί ταλαντωτές. Aπό τον συντονισμό στους οριακούς κύκλους ……………… 129

ΑΣΚΗΣΗ 1. Ο αρμονικός ταλαντωτής: Eλεύθερη και εξαναγκασμένηταλάντωση με και χωρίς τριβή ……………………………………………… 130A. Θεωρητική εισαγωγή ………………………………………………………… 130B. “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica …………………………………… 131

ΑΣΚΗΣΗ 2. Ένας αναρμονικός ταλαντωτής: Kίνηση υπό την επίδρασημιας δύναμης ανάλογης προς τον κύβο της απομάκρυνσης από τοελκτικό κέντρο ……………………………………………………………… 138

viii ΠEPIEXOMENA

Page 7: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

A. Θεωρητική εισαγωγή ………………………………………………………… 138B. “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica …………………………………… 140

ΑΣΚΗΣΗ 3. Ο ταλαντωτής Van der Pol: Ένας μη γραμμικός ταλαντωτήςμε συμπεριφορά “οριακού κύκλου”………………………………………… 145

A. Θεωρητική εισαγωγή ………………………………………………………… 145B. “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica …………………………………… 149

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 5. Πληθυσμιακή δυναμική. Mαθηματικά πρότυπα του ανταγωνισμού των ειδών …………………………………… 157

ΑΣΚΗΣΗ 1. Ένα είδος αντιμέτωπο με τον εαυτό του: Το κλασικό μονοπληθυσμιακό μοντέλο αυτοπεριοριζόμενης ανάπτυξης …………… 158

A. Θεωρητική εισαγωγή ………………………………………………………… 158B. “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica …………………………………… 160

ΑΣΚΗΣΗ 2. Ανταγωνιζόμενα είδη: Eιρηνική συνύπαρξη ή επικράτησητου ισχυρότερου; ……………………………………………………………… 164A. Θεωρητική εισαγωγή ………………………………………………………… 164B. “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica …………………………………… 173

ΑΣΚΗΣΗ 3. Θηρευτές και θηράματα: Mια διαφορετική μορφή ανταγωνισμού ………………………………………………………………… 185A. Θεωρητική εισαγωγή ………………………………………………………… 185B. “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica …………………………………… 188

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 6. Το ``φαινόμενο’’ του χάους. Tο κλασικό παράδειγμα της διάκριτης λογιστικής εξίσωσης …………… 195

Α. Θεωρητική εισαγωγή: Το διάκριτο λογιστικό μοντέλο ………………… 195

Β. “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica ………………………………… 198

EΙΔΙΚΟ ΘΕΜΑ: Αριθμητικός έλεγχος του χάους: Tο πρόβλημα της ακρίβειας ………………………………………………………………… 207

ΜΕΡΟΣ Γ. MAΘHMATIKEΣ MEΘOΔOI ΣΤΗ MATHEMATICA

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 7. Σειρές Fourier. Ένα εργαλείο για τη μελέτη της περιοδικότητας ……………………………………………… 219

Α. Θεωρητική εισαγωγή ……………………………………………………… 219

Β. “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica ………………………………… 223

ΑΣΚΗΣΗ 1. Η σειρά Fourier του απλούστερου περιοδικού σήματος …… 224

ΠEPIEXOMENA ix

Page 8: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

ΑΣΚΗΣΗ 2. Η σειρά Fourier ενός “τριγωνικού’’ περιοδικού σήματος … 228ΑΣΚΗΣΗ 3. Mια εφαρμογή της FourierTrigSeries: Ανάλυση

Fourier ενός “πριονωτού’’ σήματος ……………………………………… 231

ΑΣΚΗΣΗ 4. Ένα τελευταίο παράδειγμα και μια σειρά εντολών που τα κάνουν… όλα ……………………………………………………… 234

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 8. Αριθμητικές μέθοδοι. H διακριτοποίηση του συνεχούς……………………………………………………… 243

Α. Θεωρητική εισαγωγή ……………………………………………………… 243

Α.1. Πρωτοτάξιες εξισώσεις…………………………………………………… 243

Α.2. Δευτεροτάξιες εξισώσεις ………………………………………………… 246

Β: “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica ………………………………… 250

Β.1. Πρωτοτάξιες εξισώσεις…………………………………………………… 250

Β.2. Δευτεροτάξιες εξισώσεις ………………………………………………… 257

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 9. Ειδικές συναρτήσεις. Mια ουσιώδης επέκταση των στοιχειωδών συναρτήσεων ………………………………… 271

Α. Θεωρητική εισαγωγή ……………………………………………………… 271

Β. “Πειραματική” μελέτη στη Mathematica ………………………………… 274

ΑΣΚΗΣΗ 1. Ζήτηση τιμών και μαθηματικών εκφράσεων ………………… 274

ΑΣΚΗΣΗ 2. Γραφικές παραστάσεις ………………………………………… 276

ΑΣΚΗΣΗ 3. Το ανάπτυγμα σε πολυώνυμα Legendre………………………… 280

ΑΣΚΗΣΗ 4. Ρίζες των συναρτήσεων Bessel και των παραγώγων τους …… 283

ΜΕΡΟΣ Δ. H MATHEMATICA ΩΣ ΓΛΩΣΣA ΠPOΓPAMMATIΣMOY

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 10. Καθαρές συναρτήσεις και λίστες. Στοιχεία συναρτησιακού προγραμματισμού …………………………… 291

Γενική Εισαγωγή …………………………………………………………………… 291

Ι: Καθαρές συναρτήσεις και η χρήση τους ……………………………… 295Άσκηση 1. Συμβολισμός και βασικές ιδιότητες: Η εντολή Function … 295Άσκηση 2. Επανειλημμένη εφαρμογή μιας καθαρής συνάρτησης:

Οι εντολές Nest, NestList και FixedPoint…………………………… 297Άσκηση 3. Οι εντολές Map και Apply: Δύο γενικά εργαλεία χειρισμού

συναρτήσεων ………………………………………………………………… 299

x ΠEPIEXOMENA

Page 9: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

Άσκηση 4. Εφαρμογή των καθαρών συναρτήσεων στις γραφικές παραστάσεις …………………………………………………………………… 301

ΙΙ: Λίστες και ο χειρισμός τους ……………………………………………… 308Άσκηση 5. Δημιουργία λίστας: Οι εντολές Table και Range …………… 308Άσκηση 6. Καταμέτρηση των στοιχείων μιας λίστας: Η εντολή Length .. 309Άσκηση 7. Επιλογή στοιχείων: Η εντολή Part και το σύμβολο s[[n]] … 309Άσκηση 8. Κατάργηση των εσωτερικών αγκίστρων: Η εντολή Flatten… 311Άσκηση 9. Συχνότητες εμφάνισης των στοιχείων μιας λίστας:

Οι εντολές Union και Count ……………………………………………… 312Άσκηση 10. Αναδιάταξη των στοιχείων μιας λίστας: Η εντολή Sort …… 314Άσκηση 11. Λίστες με τυχαίους αριθμούς: Η εντολή Random …………… 314Άσκηση 12. Επιλογή υποσυνόλων μιας λίστας: Η εντολή Select ……… 315Άσκηση 13. Λίστες από κανόνες αντικατάστασης στο πλαίσιο

των εντολών Solve. Ένας εναλλακτικός χειρισμός τους………………… 317Άσκηση 14. Σταδιακή δημιουργία μιας λίστας: Η εντολή Append ……… 319

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 11. Συνθήκες, λογικές συναρτήσεις, βρόχοι. Στοιχεία διαδικασιακού προγραμματισμού ………………… 325

Άσκηση 1. Η έννοια και το σύμβολο (;) της σύνθετης εντολής:CompoundExpression ……………………………………………………… 326

Άσκηση 2. Επιβολή συνθηκών: Οι εντολές If, Whichκαι Condition(/;) ………………………………………………………… 327

Άσκηση 3. Λογικές συναρτήσεις και σύμβολα ………………………………327Άσκηση 4. Επαναληπτικοί υπολογισμοί: Οι εντολές βρόχου, Do, While

και For ………………………………………………………………………… 329Άσκηση 5. Εντοπισμένες αναθέσεις και τοπικές μεταβλητές:

Η εντολή Module …………………………………………………………… 335

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 12. Mορφές και η αναγνώρισή τους. Στοιχεία κανονοκεντρικού προγραμματισμού ……………… 339

Άσκηση 1. Το σύμβολο _ της “καθαρής μορφής” και η αναγκαιότητά του …………………………………………………………… 339

Άσκηση 2. Αναγνώριση και επιλογή μορφών από μια λίστα: Η εντολή Cases ……………………………………………………………… 340

Άσκηση 3. Αναζήτηση και αναγνώριση μορφών με ειδικούς προσδιορισμούς και συνθήκες: Οι μορφές x_Head και x_/;condition ……………………………………………………………… 343

ΠEPIEXOMENA xi

Page 10: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

Άσκηση 4. Χρήση των μορφών για την ανάθεση γενικών ιδιοτήτων σε συναρτήσεις: Συναρτησιακοί και αναδρομικοί ορισμοί ……………… 347

Άσκηση 5. Απλές εφαρμογές: Αναδρομικοί υπολογισμοί με συναρτήσεις………………………………………………………………… 350

Βιβλιογραφία ………………………………………………………………………… 359Ελληνικό θεματικό ευρετήριο Mathematica ………………………………………… 361Αγγλικό ευρετήριο εντολών της Mathematica ……………………………………… 365Ευρετήριο γενικών όρων …………………………………………………………… 368Λεξικό γενικών όρων ………………………………………………………………… 369

xii ΠEPIEXOMENA

Page 11: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

Π P O Λ O Γ O Σ

Άγνωστα έως πριν από μερικά χρόνια, πέραν ενός στενού κύκλου ειδικών χρηστών, ταπρογράμματα συμβολικών υπολογισμών — Mathematica, Maple ή Matlab (για να ανα-φέρουμε τα πιο γνωστά) — αποτελούν σήμερα συστατικό στοιχείο της εκπαίδευσηςτων νέων επιστημόνων — Μαθηματικών, Φυσικών ή Μηχανικών — σε όλο τον κόσμο.

Ο όγκος της σχετικής βιβλιογραφίας είναι ένα πολύ χαρακτηριστικό στοιχείο. Οεπισκέπτης ενός ηλεκτρονικού βιβλιοπωλείου —π.χ. του Amazon.com— θα “ανακα-λύψει” αμέσως περισσότερους από διακόσιους τίτλους βιβλίων για τη Mathematica καιτις εφαρμογές της, και περίπου άλλους τόσους για τα δύο άλλα προγράμματα.

Οι νεότερες εκδόσεις των κλασικών συγγραμμάτων του “χώρου” είναι επίσης έναςκαλός δείκτης. Σχεδόν όλα τα καθιερωμένα εγχειρίδια Λογισμού, Γενικής Φυσικής,Διαφορικών Εξισώσεων ή Γραμμικής Άλγεβρας ξαναγράφονται πλέον με την παραδο-χή ότι οι περισσότεροι φοιτητές είναι επαρκείς χρήστες ενός συμβολικού “πακέτου”και, επομένως, ικανοί να επιλύσουν προβλήματα που προϋποθέτουν την ενεργό γνώσηενός τέτοιου “εργαλείου”.

Η προβολή στο κοντινό μέλλον δεν είναι δύσκολη. Σε λιγότερο από δέκα χρόνια,οι εξελιγμένες μορφές αυτών των προγραμμάτων θα αποτελούν τμήμα του “τακτικούεξοπλισμού” των φοιτητών και των επαγγελματιών επιστημόνων, στον ίδιο βαθμό πουείναι σήμερα ο κοινός υπολογιστής τσέπης ή ήταν ο λογαριθμικός κανόνας σε χρό-νους που μοιάζουν ήδη “αρχαίοι”. Αλλά με μια καίρια διαφορά: Ότι τα προγράμματασυμβολικών υπολογισμών τού σήμερα δεν είναι απλώς εκτελεστές προαποφασισμέ-νων καθηκόντων —έστω και μιας τεράστιας ποικιλίας τέτοιων καθηκόντων— αλλάπλήρεις γλώσσες προγραμματισμού. Και οι δυνατότητες που παρέχουν στον χρήστη τουςπραγματικά ανεξάντλητες.

Όμως η ενεργός ενσωμάτωση των συμβολικών προγραμμάτων στην εκπαίδευσητων νέων επιστημόνων θέτει τα δικά της εκπαιδευτικά προβλήματα. Θα υπάρξει πραγ-ματική αξιοποίηση των εκπληκτικών νέων δυνατοτήτων που προσφέρουν, ή θα ενθαρ-ρυνθούν απλώς οι φοιτητές να χρησιμοποιούν το μηχάνημα ακόμα και για να βρίσκουντις ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης ή για να “υπολογίσουν” το πιο τετριμμένοολοκλήρωμα;

Το ερώτημα είναι τόσο παλιό όσο και οι τεχνολογικές ανακαλύψεις και η ενσωμά-τωσή τους στην εκπαίδευση και την κοινωνική πρακτική. Όπως εξίσου παλιά είναι καιη απάντηση. Δεν υπάρχει παιδαγωγική μέθοδος που να μας “προφυλάσσει” (ως φοιτη-

Page 12: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

τές ή ως δασκάλους) από την ελευθερία να κάνουμε επιλογές και να είμαστε υπεύθυ-νοι γι’ αυτές.

Είναι αναπόφευκτο, επομένως, ότι κάποιοι θα επιλέξουν την τετριμμένη χρήση αυ-τού του νέου εργαλείου και κάποιοι άλλοι (φοιτητές ή δάσκαλοι) θα ανακαλύψουν τιςδημιουργικές του δυνατότητες και θα επεκτείνουν σημαντικά τις ικανότητές τους γιαμαθηματικό χειρισμό πραγματικών προβλημάτων.

O σκοπός ενός βιβλίου όπως αυτό εδώ δεν μπορεί να είναι άλλος από το να βοηθή-σει τον αναγνώστη του να ανακαλύψει αυτές τις δημιουργικές δυνατότητες ή, τουλά-χιστον, εκείνες που μπόρεσε να ανακαλύψει ο συγγραφέας του.

Η ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ

Το βιβλίο αποτελείται από δώδεκα “εργαστήρια” —τα παραδοσιακά “κεφάλαια”—χωρισμένα σε τέσσερα μέρη με τρία εργαστήρια το καθένα. Το πρώτο μέρος (Εισαγωγήστη Mathematica) είναι αφιερωμένο στη διδασκαλία του προγράμματος αυτού καθ’εαυτό, ενώ τα επόμενα δύο στις πιο αντιπροσωπευτικές εφαρμογές του. Ειδικότερα τοδεύτερο μέρος (Μη γραμμικά φαινόμενα στη Mathematica) περιέχει κλασικές εφαρ-μογές των μη γραμμικών Μαθηματικών, που εκτείνονται από τις μη γραμμικές ταλα-ντώσεις και τα κλασικά πληθυσμιακά μοντέλα έως το “φαινόμενο” του χάους. Στο τρί-το μέρος, υπό τον τίτλο “Μαθηματικές μέθοδοι στη Mathematica”, πραγματευόμαστεεκείνες τις Μαθηματικές μεθόδους — σειρές Fourier, πεπερασμένες διαφορές, ειδικέςσυναρτήσεις — που προσφέρονται καλύτερα για την ανάδειξη των εκπληκτικών δυνα-τοτήτων που παρέχει η Mathematica για την πλήρη αξιοποίηση αυτών των μεθόδωνστην επίλυση των μαθηματικών προβλημάτων που ανακύπτουν στις εφαρμογές.

Στη διδασκαλία της Mathematica επανερχόμαστε στο τέταρτο μέρος αλλά με διαφο-ρετικό πνεύμα από ό,τι στο πρώτο. Αξιοποιώντας τη θετική διάθεση που ελπίζουμε ναέχει δημιουργήσει στον αναγνώστη η εφαρμογή της Mathematica σε πραγματικά προ-βλήματα, επιχειρούμε να τον “παρασύρουμε” σε μια τελευταία προσπάθεια προς τηνκορυφή: Την κατάκτηση της Mathematica όχι απλώς ως ενός προγράμματος “έτοιμωνυπηρεσιών” αλλά ως μιας πλήρους γλώσσας προγραμματισμού. Μια κορυφή που προ-σφέρεται ως ιδανική αφετηρία και για μια σειρά άλλες ενδιαφέρουσες “εξορμήσεις”:Παραδείγματος χάριν την ταχεία εκμάθηση μιας βασικής γλώσσας προγραμματισμούόπως η C, η οποία μάλιστα έχει εγγενή σχέση με το προγραμματιστικό μέρος της Ma-thematica ή, τουλάχιστον, τη διαδικασιακή του συνιστώσα (Procedural programming).

Στα κατάλληλα σημεία, σ’ όλη την έκταση του βιβλίου, υπάρχει επίσης μια πλού-σια συλλογή προτεινόμενων ασκήσεων που καλύπτουν όλο το φάσμα εκπαιδευτικώναναγκών: από την απλή εξάσκηση στη “διδαχθείσα ύλη” ή τις στοιχειώδεις επεκτά-σεις της, έως επίλεκτα θέματα για φοιτητικές εργασίες.

ΤΟ “ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ” ΚΑΙ ΤΟ “ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΠΝΕΥΜΑ” ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

Η οργάνωση του υλικού σε εργαστήρια και ασκήσεις (στη θέση των παραδοσιακών κε-φαλαίων και παραγράφων αντίστοιχα) δεν συνιστά μια απλή αλλαγή ονομασίας, αλλά

xiv ΠPOΛOΓOΣ

Page 13: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

αντανακλά τη βαθύτερη διαφορά μαθησιακού και διανοητικού περιβάλλοντος που δη-μιουργεί η Mathematica. Και η οποία συνίσταται στη δυνατότητα εκτέλεσης “μαθημα-τικών πειραμάτων” —δηλαδή αριθμητικής διερεύνησης μαθηματικών ή φυσικών “φαινο-μένων”— με ευκολία και ακρίβεια πρωτοφανείς στην ιστορία των Εφαρμοσμένων Επι-στημών. Αυτό το “πειραματικό πνεύμα” είναι ιδιαίτερα ισχυρό στο δεύτερο και το τρί-το μέρος του βιβλίου όπου η Mathematica τίθεται στην υπηρεσία της μαθηματικής με-λέτης σημαντικών ρεαλιστικών προβλημάτων.

Όπως στα πραγματικά εργαστήρια, έτσι κι εδώ ξεκινάμε πάντα με μια πυκνή αλλάπλήρη θεωρητική εισαγωγή στο πρόβλημα που μας ενδιαφέρει, και ακολουθεί η “πειρα-ματική” του μελέτη στη Mathematica με τη δημιουργία μιας “συνάρτησης προγράμμα-τος” η οποία μας επιτρέπει κατόπιν να ζητάμε τη λύση για κάθε επιθυμητή τιμή των“πειραματικών παραμέτρων” του προβλήματος.

Και η “εργαστηριακή άσκηση” ολοκληρώνεται με την αναγκαία σύγκριση θεωρίαςκαι “πειράματος” η οποία υποδεικνύει συχνά και έναν νέο κύκλο πειραμάτων προς πε-ραιτέρω διερεύνηση των ερωτημάτων ή των εικασιών που αναφύονται. Το εργαστηρια-κό περιβάλλον και το πνεύμα πειραματισμού που ενθαρρύνεται και καλλιεργείται μέσα σεαυτό, είναι το κύριο χαρακτηριστικό τούτου του βιβλίου.

ΠΩΣ ΝΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΕΙ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ

Πέραν του αυτονόητου —ότι δεν νοείται διάβασμα του βιβλίου χωρίς ανοικτό υπολο-γιστή και συνεχή εκτέλεση των εντολών που παρατίθενται— υπάρχει και ένα άλλο χα-ρακτηριστικό του που πρέπει να γνωρίζει εξ αρχής ο αναγνώστης: Ότι οι εφαρμογέςπου περιλαμβάνονται στα μέρη Β και Γ είναι απολύτως ανεξάρτητες μεταξύ τους (με ελά-χιστες “τοπικές” εξαιρέσεις) και επομένως μπορούν να μελετηθούν με οποιαδήποτεσειρά ή επιλογή επιθυμεί ο ίδιος. Παραδείγματος χάριν, αν τον ενδιαφέρει το “φαινό-μενο” του χάους ας μη διστάσει να “πάει” κατ’ ευθείαν στο αντίστοιχο εργαστήριο,όπου θα βρει και όλη τη θεωρητική προετοιμασία που απαιτείται για μια πλήρη κατα-νόησή του σε ένα εισαγωγικό επίπεδο. Και εντελώς ανάλογα, για θέματα όπως η δυνα-μική πληθυσμών, οι σειρές Fourier, οι μη γραμμικοί ταλαντωτές, οι αριθμητικές μέθοδοι ήοι ειδικές συναρτήσεις. Για όλα αυτά τα θέματα, η θεωρητική εισαγωγή που προηγείταιτης “πειραματικής” μελέτης στη Mathematica, παρ’ ότι σύντομη, είναι αρκετά πλήρηςώστε τα αντίστοιχα εργαστήρια να προσφέρονται και ως μια αυτάρκης εισαγωγή στοαντίστοιχο θέμα.

Προς περαιτέρω διευκόλυνση του αναγνώστη που επιθυμεί να κινηθεί γρήγοραπρος τις εφαρμογές, φροντίσαμε επίσης ώστε το Eργαστήριο 1 να συνιστά από μόνοτου μια επαρκή πρώτη εισαγωγή στη Mathematica ώστε να μπορεί ο αναγνώστης ναπροχωρήσει βάσει αυτής κατ’ ευθείαν στις εφαρμογές του Mέρους Β και να επιστρέ-ψει αργότερα —με ανανεωμένο, ελπίζουμε, ενδιαφέρον— στη μελέτη τηςMathematica αυτής καθ’ εαυτήν (Mέρος Α).

Η παραπάνω ευέλικτη οργάνωση της ύλης, σε σχετικώς αυτόνομα εργαστήρια, επι-τρέπει επίσης μια ποικιλία χρήσεων του βιβλίου ως πανεπιστημιακού βοηθήματος.Παραδείγματος χάριν, το Mέρος Α (ή και μόνο το Eργαστήριο 1) σε συνδυασμό με μια

ΠPOΛOΓOΣ xv

Page 14: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

επιλογή εφαρμογών από το Eργαστήριο 4, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μια πρώτη ει-σαγωγή στη Mathematica για πρωτοετείς φοιτητές, είτε στο πλαίσιο ενός μαθήματοςαπειροστικού λογισμού είτε ενός μαθήματος εισαγωγής στους Ηλεκτρονικούς Υπολο-γιστές, που είναι πλέον ένα καθιερωμένο μάθημα πρώτου έτους.

Λόγω της φύσεως των εφαρμογών του, το βιβλίο προσφέρεται επίσης ως πλήρες ερ-γαστηριακό εγχειρίδιο σε ένα μάθημα Διαφορικών Εξισώσεων που περιλαμβάνει και χρή-ση ενός συμβολικού πακέτου.

Τέλος, στην πλήρη του μορφή το βιβλίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως το βασικόβοήθημα σε ένα ανεξάρτητο μάθημα με αντικείμενο τη Mathematica στο οποίο μπορεί ναπροστεθεί —ως “επιστέγασμα”— και μια σύντομη εισαγωγή στη γλώσσα C. Τέτοιαμαθήματα είναι επίσης συνήθη στα σημερινά προγράμματα σπουδών, Μαθηματικών,Φυσικής και Επιστημών Μηχανικού, σε όλο τον κόσμο.

Σχετικά με το λειτουργικό σύστημα (Windows, Macintosh ή Linux), ας προσθέ-σουμε ότι οι διαφορές των αντίστοιχων “εκδόσεων” της Mathematica είναι ασήμαντεςκαι περιορίζονται κυρίως στα “διαχειριστικά” μέρη του προγράμματος και όχι στιςεντολές αυτές καθ’ εαυτές που είναι απολύτως ίδιες σε όλα τα περιβάλλοντα. Έτσι, δενθεωρήσαμε αναγκαίο να παρουσιάσουμε αυτές τις διαχειριστικές λεπτομέρειες καιστα τρία συστήματα, και περιοριστήκαμε μόνο στο κοινότερο από αυτά (Windows) πα-ρά τη ... φιλικότερη σχέση του συγγραφέα προς το Macintosh.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Πέραν της αρχικής οφειλής στον κ. Γιάννη Παπαδόγγονα (επιστημονικό επιμελητήτων Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης) για τη μύησή μου στη Mathematica, τουοφείλω επίσης πολλά και για τη βοήθεια που προσέφερε στη διάρκεια της συγγραφήςτούτου του βιβλίου: Κυρίως ως ο βασικός κριτικός αναγνώστης του, αλλά και ο υπεύ-θυνος για τον τελικό έλεγχο του βιβλίου ο οποίος απέδωσε μια σειρά χρησιμότατωνυποδείξεων.

Στον συνάδελφο της Πληροφορικής κ. Γιώργο Φ. Γεωργακόπουλο οφείλω μερικέςώρες “ιδιαίτερων μαθημάτων” που ελάξευσαν κάπως τον λίθο της αμαθείας μου σε βα-σικές έννοιες προγραμματισμού, και ίσως με προστάτευσαν από κάποιες χαλαρές δια-τυπώσεις.

Τέλος, στον συνάδελφο της Φυσικής κ. Θεόδωρο Τζούρο οφείλω μια τελευταίαανάγνωση του βιβλίου που απέδειξε ότι τα λάθη ποτέ δεν μηδενίζονται !

Όπως ...πάντα, η άρτια στοιχειοθεσία και η αντίστοιχη γενική επιμέλεια του βι-βλίου οφείλονται στις κ. Σοφία Σαββάκη και Διονυσία Δασκάλου των Πανε-πιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης, και η μακέτα του εξωφύλλου στην κ. Βάσω Αβραμο-πούλου. Τις ευχαριστώ και από εδώ.

Στέφανος Τραχανάς

Ίδρυμα Τεχνολογίας και Έρευνας Ηράκλειο Κρήτης, 2001

xvi ΠPOΛOΓOΣ

Page 15: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

M Ε Ρ Ο Σ A

EIΣAΓΩΓHΣTH MATHEMATICA ®

Page 16: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς
Page 17: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

������������� �� �� �� � �����������

����� �� � �� �� ����� ������� � � ������� � ������� ������������� ���� ������� � ��� �� ��������� ���� �� �� ������ ������ ����� �� ���� �������� ����� ��� �� ������� �� � ��� �� �� ��������� ����� �� ����� ������������������ ����� ���� � ��� ����� ����� �� �� �� ��� �� ���� ��� ����������������� ��� ���� � ���� � �������� ��� �� ��� ������ ��� ���� � ��������� ������� �� ��� ������ �������� ��� �������� � ��� � �� ��� � �� ��� � ������� ����� ��� ���� ������ ��� � �� ������� �� ������� �������� ���� ���� ���� ������� ���� �� � ��� ����� ��� ������� �� ��� �������� !� � �������

��� �� �� ��� �� �������� " ��� ������� � ���������� ������ �� ��� �� �������������� ������������� ��� �� ���� ���� ���������� �� #� �� �� �������

����������� �������������" $ ���������� �� �� �� �� ���� ����� �%���� ���������� ����� � �������� ��� ���������� � �� ����� �� � ����� �����

���%�� ���� ��� � ������� ����� �� ��� ���� �� ������� �� ��� ��� �� �� ������� ������ ����� ������� ��������� � ����� ��� �� &� ������� ��� � ����� ��� �� �� ���������� � ������� ����� � ������ ������ � � ���������� ��� ���� ��� ���� � �� ���������� �� �� �������� ������ � �������� � � ��� ���������� � �� ��� ��� �� ��� �������� � ���� '� ������ ��� �� ����� ������� ����� ���� ��� ��� �� �� �� ��� ���� �� � ���� ��� ���((�� ��� �� ��� ����� ���� �� ���� ����� ��� ������ �� �� ���� � ������������� �� � �� ��� ������ ���� ���� �� � ��� ������ � ������� ��������� ���� ������ � ����� � ��������� ��� ������� ���� ��� ����� �������� �� � �� �� �� ��� �� ����� ������� � ����� ��� ��� �� �������� � ������ �� ������� � ������� ����� )� ����� ���� ��� �� �� � � ����� �� � ������ � ��� ���������� ��� ����* ����� �� ����� ������� ���� ��� � ������� ��� ���� ��� �� ��������� ���� ����� +,-.-/0 �� 1� ����� ��� ��

�������� � ������� � ������� � ������� �������� ������ ����

Page 18: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)�

��� �� ������ �� ������ � � �� ��� ����� ��� � �#� � )'!$'$ = ������������ ������� ���� ���� ��������� ����� ���� ������ ��� ������������� ���� ��� ����� � ���� �� ����� ���� ��� ��� ���� �� ���� � ������ ��� �

������ �� �� ������� ���� ������� ������� ��� ������ � �

�� �����������! "�#��$�%�� ��� � �&���$�� ��'��(

>����� ������ �� � �� �� ����� �� ����� ��� ������ �� ���� �� ��� �� �� �� �� ������ ����� ����� ��� ����� ��� �� �� �� ���������� ?����� �� ��� ������ �� � �� ������ ��� (��� ������@A� �� ���� �� ������ (������ ��� �� ���� �� ��� ����� �� �� ������ ���� �� ����������� )���� � ���� ����� ����� �� �� ����� ����� ���������� ��� �� �� ������ ����� ����� (�� ���� ��� ��� ���� ��� �������� ��� �� ?���� �� ���������� � � ������� ���� ��� ���A� ���� �� ����� ���� ����� �� ��� ���� ��� ���������� ���� �� ��� �� �� ����� ��� ��� � ����� � �� ������ ?� �� ��������A ���� ���� ��� �������� � ?B� ��� ���� ������� �������� ��� ��� ���A �> ���� ���� ������ �������� ����� ������ ���� ��� ��� ���� ��� �� �� �� ��� ���������� �� ���� �� ����� �� ���� �� ? �� ��� �� ��� ��� ������� ���A �� �� ����� �������� �� ��� ������ ������� �� ����� �� � ��� ����� ���� ��(�� ��� �� �� ����� ������� ���� � �!����� ���� ��� �� ������������ ��� ���� ���� �� �� ������� �� ��� ��� ��� �� �� �� ��������� �� �� ������� ��� )� �� ����� �� ������������� ��� (�� ���� ��� ������� ��� ��� ����� ��� ��� ��� �� ����� �� �� �������� �� ��� � �� ��� ���� ����� ��� ��� ��� ���� ��� �� �� ���� ��� ����� ��� ������ � ��� �������� ���� ����� ��� �� � �� ��� �� ���� ��� ��� � ����� ��� ��������� ���� � �� � ����� ��� ?�� �� �� ����� ���A ������������ �� (�� �� �� �� � �� ���� � �� ��� ���� 8� ��� �� �� �� ��� �� ��� ���� �� �� �� ��� �� ����� ��� �� ���������� �� ������ �� �� ��� ����� ��� �� ��� �� ��� �� )� ���� �� ����������� � ��� ����� ���� &� ��� �� ��� ����� ���� �� ��� ���� � ����� ��� ����� �� �� �� � �� ���������� ��� ��� �� � �� ���� ��� �� ���������� ���� � �� �� �(��� ��� �������� � ���� �� �� �� � � ���� �� �� ���� �� ������������� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� � �� �� ��� ����� �� �

��� ���� ?5A

'����� ������ �� ������ ����� �� � �� �� ��������� ����� ���� �� ���� �� ����� ���� � ����� �� ���� � �� � �� ��� �� ���������� � �� �� ��� � ����� � ��� �� �� � �� ���� ����� �� ����� ���� ���� ��� ���� ����� �� �� �� ��� ����� ����!����?����� ��� �� �� �� ��� �� ��� ��� ���A ���� � �� ��� ����� �� �� ����� ����!�������� �� �� ����� ���� ���� �� �� ���� ���� ����� ��� �� ����� �� ������� ����������� �� �� ������ �� ���� ���� ��� ��� ������ � � ��� ����� ��� �

��� "������� ������ ���� �� (�� ��� ��� �� ���� ��� ��� ���� ��� �� �� (��� ��� ��� �������� �

Page 19: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ =" �4 C)'4!#' ��!4B$'#4'�� �

���� ��� �� �� ������ �� �������� ��� ���� �� ���� ���� �� �� ����� � ����������� ?�� ��� ��������� A ����(�� ��� �� ��� ����� �� ������� � ��� ��������� �� ����� � ;������ � �� ����� ��� ���� ��� ���� ����� ��� ������ �� �����

��� ���� ���� � ����� ��� �� �� ����� �� ������� ���> ���� ���� �� ������� �� ������������ �� ��� ����� �� � ?5A �� ��

������ � ��������� ��� �� ������ ��� � �������� � ��� �� ����� �� �� ����� ��� ����� � ���� ��� ������� ���� ������� �� �� ����� ������ �� ������ ?�A� ���� �� �� ������ �� �� ������ ���� ��� ��� ���� ��� �� ������� ����"

����� ����� ��� ! ������ ! ���

"#��� "#��� ��$%

�� ��� �� �� �� "#� ����� ���� (�(�� �� ��� ���� ����� ?� DEFGHA �� ������� ������ ?�,GHFGHA ��� ����� ���� ��� ����� ���� �� ����� ����� ����� ����� ���� �� � �� �� ���� ����� ?�� ���� ���� ��A �� �� ��� ����� ������ ������ ���� �� �� ���� ����� �� �� ��� ���� ����� ������ ����� �� ��� ���� ��� �������� ��� �� ������ ���������

3� �� ��� ��� � ���� � ��� ���� � ����� � � �� �� ����� � �# ��� �������� ����� ��� ��� �� � ���� �� �� ������ ���� �� I � J ��� ������ 5KIL�)���� ��� ����� ��� ��� ��� �� ��� � ������� I �� L� ����� �� �� ������

���� ���� ��� �������� � ���� �� ������ ���� ���� � �� ��� �����(� (�� ��� ������� �� �� ���� ����� ���������� � ���� � ��������� �� ����� � � ����������� � �� �� ��� � ���� �� ��������� ���� 3� �� (�� ���� �� I ����� �� ������ ����� ?MNOPQFNORA� �� ���� � �������� ��� ������� ���� �� ������� ?�� ���� �� �� �(��� � �� ���� ���� ����� A� ���� �� (�� ���� ���� ��� �� I ��������� ���� ����� �� �� ����� � ��� ��� ������ ����� � ����������� �������)� �������� �� � ������ ���� ��� �� ���� �� ��� ������ �� �� ��" ?�A B�

���� ���� �� ����� � ��� ���� ����� ?(A �� (��� �� ���� ������������ �� ?A�� ���� ���� ��� ����� ��� ���@3� �� ?�A � ����� ����� �� �� � �� �� �� ��� ����� ���� ��� ��� �� �����

��� � ��� ����� �� ��� � �� ������ �� �� �� ���� �� ������ ���� ��� ������� ��� �� ���� � ����� �����

��� &� � ���� �� � �� �� �(��� ��� � ���� ����� �� ���� �� ��� ��� �� � ����� �� �� ���� ���������� ���� ������� �� �� ���� ������� #������� ���� �� � ��� �� ��� QRQQSTE � �� �� �� ��� ���� ��� � �� ���� ��� ���� ���� �� ���

�� ���������� �� �� �� ���� �� ��� ������ ��������� $ ����� � � ������� ?��OGUQTU��A ������ ��� �������� �� �� ����� � �� � � ������ �����

������ ���� ���� �� ����� � �� ��� ��� ������ �� ���� �� �� ����� � �� ��� ������ �� �� ���� ���� ?MNOPQFNORA���� )���� �� �� � ��������� �� ����� � � � �� ������ ��� ��� ������ ����� ��� ��� ���� ���

� �� ��� ��� ��� �� %� ��� ��� �� �� ������� ����� ��� �� ���� ������ � �� ������� ������� ��� ���� �� ���� �� �� ���� �� �� ����� ����� ��� �����

Page 20: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)�

��� ��� ����� � �� ��� ����� �� �� �������� ?� ���� A � �������� ��� � � ��� �� �������� �� ����� � ?��� � ������ �� ���� ��� �� ������� ����� �� ������� � �� ��� ������ ����A �� ��� ��� ��� �� �� ������ � ��&� ��'���(��&� ?�� ��� ����� ���� ���� �� �� ���� ��� ���� �� ���� ����A ����� ��� ��� ������ )��*��� �� ��� ����� �� ������ ���� �� ���� �� �������� �� �� �� ����� ���� ��� ��� � � ��� � ����� � )� � ������ ��� �� ��

'��(���&�� ��� �� ��� ����� ��� ��� ���� ���� ��� � �� �� ����� � ���� ����� ��� ���� �� ��� �� ������ (�� � �� �� �� � ��� %��� ����� ��� �������� � ������ �� )� ����� ����� �� ��&�� ��� �� �� ��(��� � �� ���� �" )� ��� �� ����� ���� �� �� ��� �������� �� ������ ���� �� ��� �� �� ����� �� �� �� ����� ��� ���� ������������ ���� ��� ���� �� �� ������ ������ � �� �� ��� �� ��� ��� ��� ��

������ � ��� �������� �� ������ ��� )� �� ��� ��� ��� ���� � �� ����� � �� �� �������� �� �� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ��� �� ������� ��������

��� ��� ���������� �� � �� ����� � ��� �� ����������� �� ��� �� ++,-'�*#�����(( �� ����� �� ��� ��� ���� �� �� �� ����� �� ��� � ����������� ��� ������ ���� ������ ��� �� ���(�� � � ����� � 3� �� ����� ������� �� � � ������� ����� �� �� �������������� �� ���#���� �#� ����� ��� ���� ��� �� ��� ����� ��� ������ � ����� ���� ����� �� ������������ �� ���� ���� ��� ��� ����� ��� ���� �� .������ /�0�� ���� �� (�� ���� ���� �� ���������� �� ������� ���� �� �� ��� � ����� � � ��� ����� ����� 3� ��

Page 21: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ =" �4 C)'4!#' ��!4B$'#4'�� �

��������� ���� �� ����� � �� � �� ��� �� ,- '�*#����� ����� ��,��������*� ?��� ������� ���� �� ,- '�*#������ �� ��� ��� ��� ������ � � ��� �� �� �� ���� ��� �� ��� ���� ��� �� ������ ���� �A� ��� ���������� ��� ���� � ���� �� �� ���� � ��&� �� ������ ���� ���� �� �� ,��������*�� #� ������ � ��� ����� ��� ��� ������ ��&� �� �� ����� � ����� �� ���� �� �� ���� �� �� ������� ��� ���� ��� �� ��� .������ /�0� ��������� � (�(�� ��� ���� ��� ����* ��� �� � �� � ��� ���� �� �� �������� � ������ ��� ��� �� ��� �� ��� �� �� �� ���� ���������� ��� � �� ���� ���� ����� �� ���������� ��� �� �� �� ������ ����� �� ;��������� � �� ���� �� ���� �������� ���� ��� �� ��� �� ��� ���� � ���� ��" !�� ����� ����� ����� ������� �� ,- '�*#����� ��� �� �� ��� �� ��� ���� �� ��� �� ��������� ���� �� �� ����� ���� �� �� �� �� ���������� �� ��� �� �� �� ���� �����

����� 3� �� �������� ���� �� �� ��� �� ��� �� �� ����� �������� ��� ������� ���� �� ��� �� ��� ��� ��� ��� � ��� �� ����� ���� �������� ���

1��� 2 3�4 2 1����

���� �� ���� ��� ������ ����� �� ���� � ��������� ��� ��� ++,- '�*#�����((� �� ����� �� ���� � ��� �� ��� �� �� ������ ��� �� ���� ���� 3�41���� � �� ��� �� ������������ �� �� �� ���� ��� ��� ������ !�� ������ ���������� ���� �� �� ���� �� ���� � ��� ���� ������ �� ��� � ��� �� �� �� �� ���� �������� ���� �� �� ���� �� ����� �� �� �� ����� ��������� ���� �� ��� ��� ���� ���� ���� ����� ��� ������ ����� ��� ��� �� �� ����� ��� ����#�������� ���� �� ���� � ��� �� ���� ��� �� �������� �� � ���� � ����� ��

��� ���������� �� ������� � �� ��� �� ����� ����� ��� ��� �� ���� �� ����� ��� ���� ���� �� ?�� �� �� �� ������� ���A �� � � ���������� ��� ������ ��� ���� ��� �� ��� �� ��������� ��� �� ����� ���� �� �� ���� � ���� ���� ��������� � ����� � �#� � ��� ����� ���� �� ��&� �� ���� �� �� (�(������ ���� � �� ������� �� ��� �� �� �� ����� ��� ��� ����� �� �� � ��� ��� �� ����;��������� �������� ���� �� ������ � �� ��� �� �� ���� ��� ��� �� ������ ����� �� ,- '�*#����� ��� ��� �� ��� �� %� �� �� �� ����� �� ��� ���� �� ���� ����� ���� �� ����� ���� �� ������ �����)����� �� ��� �� �� ���� �� ��� � �$������� �� ���������� �� �� ������ ��� ��

�� ������� ��� �� ����� �� )� ���� �� �� .������ /�0 �� ��� �� ,��������*�� � ������ ���� �� �� ����� ����� �� #���� ���� ����� ����

��� B�� �� �� !���� ���� ?VSUROHTUW �� +TXYRUA �� �� � ��������� �� ����� � � � �� ��� ����� ����������� �� �� �������� ������� � ����� ����� 8� �� ����� ��� ��������� �� ��� ����� ���� ?� �� ���� �� �� ������� ����� ���A ���� �� ��

����� ��� ��� ����������� �� �� �� ��� ����� ���� � ��� ���� ���� �� ������� �� ������ � ����� ����� �� ��� �� �� ���� ��������� " )���� ��� Z #���� �� ;���� ��� Z )��� ����� � ��(�� ��� � 1���23�421���� �� �� ����� � �� �������� �� �� � � ���� �� ������

?1���A ��� �� �� ��� �� �� ��� �� �� �� �� ������ � ����� ����� ������ � ������� ��� ���� ������� ���� �� ���� ���� ?3�4A ��� ��� ���� ��� ��� �� ?1���� A ���� ��� �������� � �� �������� � ��� ��� ���� �� ��� �� �� ����

Page 22: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)�

1��� 2 "5��

�� ������ ���� ��� ���� �� ��� �� �� ���� � ����� �� ����� ��� �� ����� �������� ��%� �� ����� ��� ������� ���� ����� � � ������� �� �� ��� ���� �������� �� ��� �� ��� ������� ��� ������ ���� ����� �� ������ ��!�� ����� ������� ��� �� ���� )� �� ������� ������� �� ���� � ����� ����� �� �� �� �� �������� ����� ��� �� ����� � ����� ���� ���� �� ������� ����� ��� �� ���������

����� � �� ����� �� "5�� ���� �� ������ ���� ���� �� ��� �� ��� ���� �� ���� )��� �� ��� �� ���������� �� �� � ��� ��� �� �� ��� ���� �� ��� �� ���� ��� ������� ���� ����� �� ����� � ��� ��� ������3� �� (��� �� ��� �� ���� ������������ �� ���� �� �� ��� ������ ����

�� ����� ��� ������ �� �� ������ �

1��� ���� )��� 1� ��� ��5#� 6� ��� 1��� 7����4 8��5

���� �� ���� �� �� ��� ������� �� ������� ��� �� ��"

�A 1���" 3� �� ��������� �� �� ���� ������ ����� � ���� �� ��������� ����� �� �� ��������� ���� ��� � ����� � �� ����� �� ���� � �� ����� ��� ����������� ��� �� ����� ����� �� �� (�� ����� ���� �� �����������

(A ����" 3� �� ����(�� ����� �� ����� � ��� (�� ������ ��� ��� ��� �� ������ ������ ������ �� ������� ������ ������ ��� ��� �� ����

A 8��5" 3� �� �������� ���� �� ����������� ((�� � ��� ������������ �� ����� �� ��������� �� � �� ��� ��� �� ������ ��� ����� �� ��� ������� ��� � �� ��� �� ���� �����

'��� �������� �� ���� ��� � ��� ����� ��� �� 1��� �� ���� �� ������ ���� ������ ������ ����� ���� �� �9��� ���� �� �� ������ ��� �������������� � ���� �� ���� ��� ���� �� �� (� ��� �� �� ����� �� ���� � ��� �� ��������� ���� ;�� ������ �� ����� � ����� �� �� � ��� �2��#�'�4�?� ���� �� ��� ����� ��� A �� �� ����� ���� �� ���� �� �� ������ ��#������� (��� �������� ����� � ��� ������� �� ����� � � �� �� �� ����

������ �� ���� ��� �� �� �� ���� �� �� ���� � �� ��� ��������� ����� ���

�� �����������

������ �� ) *�� ���&#������ $ �*�%��#�� + � ��*� 33

>����� �� �� � ��� ����� �� (���� �� ��� � ������������� ��� ��������� ����

��� �� � � � ���� '�� ����� �� �� ������� ���� �� ���� �� ��� ���� ������������� ���� �� ������ �� �� ����� ���� ����� � ���� �;�� ��� ����� �� ��� �� � ����� ��� ������� � �� � ��� �� �� �� ����� �� � ��(�� ��� � ��� �� ��� � �������� � ������� ��� �� �� ������� � ����������� � �� ���������� ��� �� �� �� ���������� ((������ � ���������� � �#� � ������� ����� ��� ��� � ������� �� ��� � ��� ��������� � �� ��� ����� �� ���������� ��

Page 23: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ 5" )24[8$&4!�4 > �6�34'8�4� $ #B&�6$ B �

����9�: )���9�: ;���9�: �95�9�: <���9�

�� � ������� � �� ��� ���� �� ��(�� ��� ������ ����� ���� ����� � �������� ��� ���� ��� ��� �� �� �� ���� �� ����� �� �� !����� ������ � ���� ���� ��� � ��� ����(����� � ��

����� �� ���� �� �� �� ���� ���� ����� � � ��(�� ���� � ������ ��������� � ������ ��� ���� � ����(����� � ����� � ������ � ���� �������� ������ �� ����� �� ����� � �� ����������� ����� � ������� � ��� �� �������������� ����� ��� �������� ������������ ������� �� ���� ���� ���� �� ������� ���� ��� �� � ����(����� � ���� ���������� ��� ���� ����� � ������ �� ������ � ���� ������ �� � �� ��� ������� ��� �� ���������� � �� ������� � ��� ���� ���� ���� � ����������� ��� ���� �� ��� ���� �

=9�>=9�>�95�9�

���� �� ������� �� � �� � �� ������� ��� ���� ��� ������� � ����� �� ��������� �� �� � �������� � �� ����������� ���� �������� ���� ������� ������� ?XSQHA� �� ��� �� �� � ��������� �� ������ � �� �����������

�#��� �� ����� �� �� (� ��� �� �(��� �� �� � ���� �"

2)9$ �$ '>B)2&$'$

��� �� �

)��� �� �

������� � ��� �

;�� �� �

�>%� � � ��� ���� ����

&����������� � ������� ��

#������� � 6��� �����

>���(����� � ������� ��

)��� ������ ������������ ��� ����(����� � ������� ��

)��� ���� ���� ��� �

��� ��� ��� �?� � �� � � �� �� �� � � �A

'>8C�6� &$' \/.]^\/.D1/

! �� ��� ����

2

9?�

����9�: )���9�: ;���9�///

�95�9�: <���9�

�����9�: )����9�: ;����9�///

@ *����9�: @ *;���9�///

@ *�����9�: @ *;����9� ///

@0��9�

�����9�

Page 24: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

���� � ���� ����������� � ��������� ��� �� � � �� �� ���������� � �� �� ��

�> ���� ���� �� ������� ��� �� ���� ����� � ��������� � ����� ��� � ���� ���������� �� �� � ���� �����"

����� ����� ����$/������$/��"#��� "#��� $��AB�A

������ ������ <���/��<���/��"#���� "#���� $��$��%�

������ ������ )�����)�����"#���� "#���� )�����

�� ��� ��� �������� � ���� ������ ��� "#����� ���������� ��� �� �� ������� �� ������������ ���� �������� ����� ��� ���� ���%� ��� ������ �� ���� �� !�� ��� �� � ����� � ���� ���� �� ���������� � �� ���� I ��� %���� I�=� ���� �� ���� �����

������ ������ )����/$�)����/$�"#���� "#���� �$��%��

�� �� ����� �� �� �� �� ��� ���� ������� � )� � ���� ��� ����(����� � ������ ��� �� �� �� ��� ������� �� ���� ����� ����� ����� �� ����� � � � ������� ��� ������������� �� ������� � �� ��� ��� � ��� ���� ���� ������ ��������!� �� ��� �� (�� �� ��� �� ��� �� �� �� � �� ��� �� ���� %� ��� ������

�� ���� ��)� �� ��� � ���� ��� ����(����� � ��� ��� ��� ��� �� � �� �� �� ���� �����

��� �� �� �� �(��� ��� ����� ����� ����� ��� �� � ���������� ��� ������(�� ����� �� �� ��� �� ������ �� ���� ���� �� ���� ���� �� �� �� � ���� ��� ��

��)24[8�'��

'>8C�6� &$' \/.]^\/.D1/

��

�������-

��� &� ���� � ��� ����� ((������ � ?��� (�(�� ��� ���� ����� ��� �A ����� ���� �������� ���� � ������ ���� ����� ������� ���� �� �� ����� �� ��� �� ����� ��� ����� ����� ���� �� �� �������� %��� � ��� ������ �� �� �� �����

Page 25: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ 5" )24[8$&4!�4 > �6�34'8�4� $ #B&�6$ B ��

���� 8�� �� �� �� ��� ��� � ���� �������� ������ �� �� � ��������#� ������

�#��� ���������� � ���� ��� �� ��� ����� ��� ��������� ���� ������� ��� ���� ���(��� � �� ���� �� �� �� �� ���� � ��� ������� � 3 ?�0G_RUSONXA �� ��� �� ���� ����� ����� ����"

������ ������ 3��������3��������"#���� "#���� $���

�� �� ��� ����� �� ������� �� ������ �� �� �� ��� ���� �� ���� (�� ��� 5`%��� �� ��� ��� ������ � ������� � ��� �����

���%�� ���%�� ��5#�1� ��C���5#�1� ��C�"#��%�22��5#�1� � "#��%�22��5#�1� � $���$$$A$�BA%��

�� ��� �� C �� �� �� ��������� �� �� �(��� �� �� ���� � � ���������� �������� ��� �� ������ ������������ ���������� 3����� ������� �� �� � �� ���� � �� ������� �� ������ �� �� ��� ������� ����� ��� ��� ���� ��� ����������� ������ ��� ������ � �� ����� � �� "#���� �� C�� �� ��� � � ��� ��������� � ��� �� ��� ��� ��� � �� ���� ������ ����� ��� ��� �� ��� ����� ���������� ��� "#���� ��� �����

������ ������ �95�"#������95�"#����� =� �95�C���95�C��>"#���� "#���� ��

�� �� ������ �� �� �� ��� (�(�� ��� ����� ��� �� �� ������ $ ������� 3 ����� ������� �� �� ����� ���� ������

3��95 : D�3��95 : D�

�� ��� �95 ?� RaFURQQSTEA � �� ���� � ��� ���� �� ����� �� ��� ��������� ������ D � ���� (�� �� ��� ���� � ��� ����� �� ����� ��� � ������� � ������ � ��� �������� � %��� �� ��� �������� �� �� ��� ������ �� �#� � ������� �������� ��� �� ��� ����� �� ��� ����� �� �� ���� (�� 5== �������� � %��� ������ �����

���A�� ���A�� 3���: $$�3���: $$�"#��A� "#��A� ����B�%���AB�B���A�%�%���A���B�$�AA�B�%B�

BB���$�A�$B��B���B��$�A%�$%�A%�$ABBA%�A$��A������$%A

���� � ��� ����� ��� ��� � � ���� �� ��� �����

�� ���� (�� K= �������� �%��� �� �� �� �����

��� 8� ��� �� �� �������� #� �� �� ������� �� �� �� ���� ��� �� ��� � %��� �� ��� �������

���� �� ���� �� �� �������� %��� � ��� �� ����� �

Page 26: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

���B�� ���B�� 3�)�����2��:�$�3�)�����2��:�$�"#��B� "#��B� $�A$B$%BB����B�����$��B���A�AB$�AA%$���A

BB$�AA

���$�� ���$�� 3��?=2�>:�$�3��?=2�>:�$�"#��$� "#��$� ������%����$B�$�AA$%AA����$B%BA$�A�%B%�A

����%B

�� ��� �� ����� ���� (�� (��� �� � � ����� � � ��� ��� ���� ��� ��� ����� �� ?��� ��� �%�� ����� � ��� ����� � ���� ����� ����������� ���� �� � ��� �� �� ?����� �� �� �� !� ����� ��� � �� ���� ���� ? ��� ��� �� �� ���

?���� ��������� ������A� ������� � ��� ��� � ����� ��� �� ��� ��� �� ��� � �� ��� ������� �� �� ��� ��� ���� ���� &� ���� � ���� ��� ������� �� ����� �� � ����� ����� ����� ��������� �� ? �� �� ���

�� ���� �� �� ����� ���� �� ���� �������� ���� ���� ������ '����� ��� ��� ���� �� � � ��� ����� ��� ��� ���� � �������� ������ ������ ���� � �� ���� �� ���� ����� ��� ���� � �������������

�� � ���� � ���� � ��� ����� ���� ��� ����� �� �� �� ��������� ���� �� �� ���� ��� ����� �������� �� � ������� �� �� �(��� ���� �� ������� �� �� ���� �� ������� �� ����� ���� ���� � ��� �� ��� � �� ���(�� � ���� �� �� ��� �� � �� ������� �� ��� �� �� �� �� �� ��� � ������������� ����� � �� ���������������� �� ���� ���� �� � ���� �����

������ �#� �� ��������

�� >����� �� �� ��������� � ���� �"

�A � ����� �A � ��� � �(A ����� � �A � �� ��

A ���� �A � � �� ���

�A ��� �A�������������

�A ��� A����������������� ���

���

�� ���� �� �������� ���� ��� ��� ���� �� �� ���(�� �� ��� ��� � ���� b 3��� ���� ����� ����� �� ���� ������������ �� �� �� ��� � �� ��� ���� �� ���� (����� ������� ������

�� >����� �� �� ������� �� ��������� � ���� � �� ��� �������� ���� ���� (��"

�A � " 8� 5== �������� %��� �

(A������

" c J= c c

A � � " c K= c c

�A � " c 5== c c

�A �� � " c I= c c

Page 27: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ 5" )24[8$&4!�4 > �6�34'8�4� $ #B&�6$ B ��

�� ����� �� �� ���� ���� ��� �� �� � 5� �� ��� ����� �� ���� �� ���������� ��� ����������� ��� ���� � ����� ���� ��� ������� � �� ��� ���� � ����� �� ������ �� �� �� ���� ��� �� ���� �� ���� �� �� ������ ��� ������ � ��� � ��� ������ �� ���� �� ��� ��� ����� � ��%� ����� ��� ��� ������� ������ ��� �� �� ������� � & ���� �� �� ��� ������ �� ��� ����� �� ������ �� �� ��� ����� ������� ���� ��� �� ��� � ����� � ������ ���� � ��������� ������� ��� ��� ���� ��� ��� ��� �� ��� ���� ��� ��� ��b

�� 3� �� ��� ����� ���� ���� ��� ���� ����� �� � � ���������� �� �������� ���� �� �� ���� ����� ��(����� � ����� ��� �� ����� �� ��� �� ����� �� �� ��� ��� �� ���(�� � ���� � ��� ���� ������ ������ ���"

�A � � ���� �A �

(A � ���� �A ���

A � ����� �A ���

�A �� ����� �A ���

:�� ������ �� �� ��� �� �� ������ � �� �� �(��� E� �F� �� �� �F� ��� �� ���� ����������� �� ����� ���� ��� ���� ���� ����� ��� ������� ������� �

������ �� �*��*��(��, ���%( %��� ��� �&����� �� � ��*������� �������� ���, '���� �������'���� ������� ��� �#��#�

����� �� � �� ������� �� �� ���� ���� � ����� ��� (� ��� � ������� � ������������� �� �� ���� ��� ��� � ����� �� � �� � ���� ���� ����� �� � �������� ��� �� 3� �� ������� � ��� ��� ������� ���� ���� � ����� ��� �������� �� ���� ��� ���� ����� �� ����"

8� �������� ���� �� � ��� ������� ��� ������ �� ��� ��� ��� ������� �� ��� �� �� ������ ��� ��� ��� ���� ����� ��� ��� ?VSddRUREHSNHRA� ��� ��� �� �� ���� ������� �� � ������� ������ ���� �� �� ���� �� ����� ��� ���� �� ���� �!���� ������ ���� ��� � �� ������ � ���� ��� ���� ���� �� ���� �� ��� ��� ��� �///�� ���������� ��� �� ����� � ��� ���� ����� �� �������� � ? ���� ��� �� ����(����� � ��� ���� �����A� � ��(�� ��� � �� ��

#B&�6$

����� ��� ���9�:G9: �: 0H������ ��� ���9�:G9: �: 0H�

'���9�: 9�'���9�: 9�

�#������: G�:��#������: G�:��: �: ����H�H�

!�4B$ ;4)&> 7'$

&���������� �� ���� ��� � ���� �� ���� ����� � �� �� ��

'���� ���� �� ���� ��� � ������ ���� ��

�� ����� �� ���� ��� � ���� ?��� ���� ��������(����� � �A �� ���� � ���� �� �� �������

Page 28: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

(�(�� �� � � ��� �� ���� ��� � �� ���� ��� ������� �� �� � ��� �� � �����

�� �� ����� �� $ ���������� ������(�� ���� �� ��� �� ������� � �� �������������� ��� ���� �� ����� � ��� � �� ���� �� ���� � ���� � �� �������� ���� �������� �� �� � ����� '����� �� ���� �� �� � � ���� ��� ������� � ����� �� ��� � ��� ������� ����� ����(����� �� �� ��� ��� ������� �� ��� ������ ����������� ��� ��� ��� ��� � � ���� � ����� � ���� ��� ��� ��� ����� ��� ���� ����"#����� ��������� � ��� �� ��� �������� ����� ��� � ���� � �� ��� ��� ��������� ����� �� �� ���������� �� ��

��� �� �������� ���� �#�� ����� ����� ���� �� �� ��� �� �� � � �� � �� ���� �

� ������ ������� �� ��

����� ����� ����� ����=9?�>!����9�: G9: $: ���H������ ����=9?�>!����9�: G9: $: ���H�

��� ������� �� ��� ��� �� ��� � ������� � ��� ����������� ������� ������� ������� �� ��� � ��� ����� ��� ���� ����� ���������� �� ������ �� ��

"#��� "#��� ����

#������ � ���� ��� � �������

������ ������ ����� ����=9?�>!�95��!9�: G9: $: �������-H������ ����=9?�>!�95��!9�: G9: $: �������-H�

������ �� �� ������� ������� �

������� �� �� �� �� ���� ������ �� ������ �� ��

"#���� "#���� ���� E���� � $� %���

� �$���99��9

� �

��� �� �� � ���� ��� ������ ��������� ����� �� ���� ������� ����� ��� ��� ��������� ���� ����� �� �� �� ����� ���� ����� ����� ���� �� ���� � ��� ���� ��������� ��� ��������� ���� � �� �� � ��� ��������� ������ '� ����� � ��������� ��� � ���� �� �� ���� � ��� � �� ���� ��� �� �� �� ����� �� �� �� �� ��� �������� �� �� E���� �� ��������� ��� ��� ��� �� � $�� ����� ���� ��� ���� ��� ��������� ����� ?�� � ����� �� ������� ��A� ���� � ��� ������� � ��� �� ���� �� ��� ������ �� ���� � ��� ��������� ����� ������� ��� � ����� ��� ���� � � ����� �� �� �� �� ��� ������� �� �� (�(�� ���� ���� ����� ��� ���� �� � �� ���� ������#�� �� ����� � �� �� �� � ����� ��� � ��� � ��� ����������� ���� � ��

���� � � ������ ������� �� ��

����� ��� ���9�: 9������ ��� ���9�: 9�

��� ����� �� ���� �� ���� ����� �� ������ �� ��� ������ � ������� ��� ?"#����A �� �� �� ������ ������� ���� �������� ������������� �� � ����� ��� �� �� ������� ����� � '�� ���� �� ��� ����� ���� �� ����� �� ��� ������ �� �� �� �� ��� �� #������� )� �� �� ������ �� �� ��� � �� ����� ���� �� ���� ���� ��� ��� ��� ������� � �� �� �� �� %����� �� �� �� ��� ���� �� ��� ���

Page 29: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ I" �4 #B&�6#' D0.^e-/.^� VD++^-^0.D/.^ !)4 fg\ ��

�� ��� � ��� �� � ��� ����(����� � ������� �� �� � ? �� ���� ���� ��� ��� ���������� �A �� �� ������ ����� ��� � � ����������� � ���� ��� � ���� ������� �� ���� ��� �� ���� ��� ����� ������� ����� �� �� � � � ��� �� ������� �� ��� �� ���� �� ����(����� � ������� �� ���

�#� � ������� ����� ��� ��� � �������

������ ������ ����� ����9?�!�95��!9�: 9������ ����9?�!�95��!9�: 9�

�� �� ���� �� �� ��� � �� ������� ����

"#���� "#���� ���9 � %��� %9��� �9

��� 9

���� �� ���� � ������ ��� � �� �(� � ��� ����������� ������� ���� ������ ���� ������� ������� �� �� �� ������� ����$ ������ � �� ��� � ������� ��� �� �� ��� �� ��� ����� $ ������

������� �� �� '���9�: 9� ���� � ��� ��������� ������ � �� �� �����

'���9�: G9: DH�'���9�: G9: DH� ? ����� � ��� ���� � ����� �A

���� ��� ������� ����� ��� ��� � ��� ����� ��� ��� ��� ��� ������ �� ��� ������� ��� ���� � �� �� �� �� �����

������ ������ '�=9?�>!<���9�: G9: �H�'�=9?�>!<���9�: G9: �H�

��� � ����� �� �� ��� �� �� ���� �� ��� "#����� �� ���� ��� � ���� $������� ��� �� ��� �� �� �� ������� � ���� ��� ����� �� ���� �� ��� ������� ��� ��� �#�� ������ ����� ���� �� �� �� ���� �����"

������ ������ �#��2�?�: G�: : �������-H��#��2�?�: G�: : �������-H�

��� �� ��� � ?�� (�� (�� ����� �� �� �� ��� A �� �� ���� �� ��� ���

����������$ ����� �� � ��� ������� � �� �� ���� �� ���� ��� �� �� ���� ��� �� � ����� ��� �� ����� � ��� ����� ���� �� )��� � � � ����� ��� ����� �� ���� ��

���������� �� ������� � �� �� ������� �

���%�� ���%�� �#��2�?�: G�: : �������-H��#��2�?�: G�: : �������-H�

��

������ ������ �#��2�?�: G�: : �������-H��#��2�?�: G�: : �������-H�

��� #���� � �� ���� ���� ����� �� ��� ������ �� ��� �� �� � ��(�� ��� � '���9��9�9��#� �� ������� '���9��9�9� � '���9�� �9�����

Page 30: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

�� �� �� ���� �� �� �� �� ���� ���� ����� ���� ������� � �� ����� ���� ����(�� �� � ������� �� ��� ��� ������ �� �� I��� ��� � �� ���� ���� ��� �� �� ���� � �� ���� ����� )��� �� �� �� ��� ��� ���� �� ���� � �� �� �(��� I���� ��� ���� ������ �� �� ������ ��� �� � ���� ���� � �� �� ������� ���� ��� �� ?��� ���� �� ��� ��������� ��� ������ $���A� ���� �� �� I������ ��� ������ ����� �� �� �� � ����� ����� � ��� ���� ��� �� � � � �� 3� ���� (���� �� ��� �� ����� ����� �� ����� ���� ��� ����� �� � ��� ��������� ��� I�����/$� �� ��� �� ��� �� ���� � �� ��� (�(�� ��� � ���� ������ ��� ����������������� �� J ��� ������� �� ���� ����� �� � ��������� �� �� �� � � �� ����������� � �� �������������� ���� ��� ���� ��� �� ��� ������ &� ������ �� ���� �� � ������ � 5�I=I=`� � ���� �� �� ��� �� �� �� �� ��� �� ��� ������ ����� ���� � �� ���� (�� �� � �������� � %��� ��� &� ����� ���� ����� �� �� ��������� ��� ����� ���� �� �� ����� ������� �� �� ����� ������������ �� �� �� ��� ��������� ����

���������� ������ ����� ���(�� � � �� �� ��� � ��

��� � ���� ?��� � ��� ���� � ��� ���� ��� �� ��� ��A � �� ������� �

������ �#� �� ��������

�� >����� �� �� �� ��� �� �� ��� � �� ��������� ����"

�A

� ��

������� �A

� ���������

��

(A

��� � � ���� �A

� �

��

������������������� � ���

A

� ���� �����

�� �A

� ��

��

��� � ���� �

�� >����� �� ��� �� �� �� ���� ���� ����� �� ������� � ���� �� ���� ������ ������� ��"

�A ���� A � ��

(A � � � �A �����

��� )� ���������� %������ � ����� �� ���� � �� � ���� ���� ���� ��� � �� ���� ������������� $��� ?hRHNA ��� -SR_NEE ��� ��� ���� �� ��� �� � � �� ��� � ��� ���� �

���� ������

��

���� �� (�� (�� �� �� ��� �� �� ���� ������

��� ���� �I�������

Page 31: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ I" �4 #B&�6#' D0.^e-/.^� VD++^-^0.D/.^ !)4 fg\ ��

�� >����� �� �� ����� ����"

�A�����

���A�����

��

(A�����

� �A�����

��

A�����

�� �A�����

����� �

������ �� -��.���� ���������� �� � ��*�� �������� ����� ���� �*������ ���� �*����

!� ����� �� �� ��� �� ��� ������� ���� �� �� ��������� � ���� ����������� �� ���� �� ���� � ������ � ��� �� �� ���������� � ���� ���� �������� ����� ��� �����������$ (� ��� �� ����� ��� ������� � �� ��

�������9�: G9: �: 0H��������9�: G9: �: 0H�

�� ���� �� ��� ��� �� �� �� �� ����� �� �� ������ ����� �� � ��� ������� ��� ���� � � ���� � �� �� ��

�#�� ����� ����� ���� �� ���� ���� ��� �������

����� ����� �����=����9�>?�: G9: $: ���H������=����9�>?�: G9: $: ���H�

��� ���� �� � ����� �� � �� �� ���� �� ��� �������� ���� ������ ����� �� ���� �� ��� �� ������ ���� ��� �����

"#��� "#��� �J �5��*��

Page 32: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

����� � ������� ���� ����� ���� �� �� ���� ���� ���� ����� �� (� �������� ��� ��� ��� ������ � �� ����� ��� �������� � � ���������� � �� ������ � ����� ���� � � ������� ��� ��� ����� ������ �� �� ����� ��(���� � � ��� ������ � ����� �� �� �� �� ���� ������� � ���� (��� ?������� ��� � ��� ���� �� ����� ���� ��� ���� ��� ��A �� �� �� ���� �������

� ������ � ������� � ?���� � ���� ������ ������� �� � ��� ������ ��� ������ ����� ���� �� ������ �� ���� �� ��� ���� ������ �� ���������� �� ���� ���� ��� �����A�8� ��� ��� ���� ���� ������ ������ ���� �� ��� ����������

����E���� K G-����E���� K G-���� --��9HH

�� �� �� ��� ���� ������ ���� �� ��� � ������� ���� ���� ��� � ����� ���� ��� �� �� ��� �� ���� ���� � �� � ������� ���� � ��� � ?-NEiRA �� ���� �� ������� ��� � �� �� ������ ��� �� ��� ����� �#�� ������ ����� ���� �� �� ������ �����"

������ ������ �����;���9�: G9: $: ���H: ����E���� K G�: �H������;���9�: G9: $: ���H: ����E���� K G�: �H�

�� ���� (�� (��� �� ��(�� ����� K �������� �� �� ����� ��� � ��� ?����A ����� ��(�� ��� K ��� �� �� ����� ?������ ����A� $ ������ ����� �� � ��������� ��� ���� ��� ������� �� ������� �� �� �

"#���� "#���� �J �5��*��

�� ��� �� �� ��� �������(�� ���� �� ���� �� ��� �� ��� ������ �� �� ����������� %� ��� ������ ����E����� � �� ��� �� �� ������� � '����� ����� �� ��� ������ ����E���� K @�� � ���� � ��(�� ��� ��� ����������� �� ��� �� �� �� �� ��� ���� ���� � ��� ������� ����� ���� ��� �� ���� � ��� �� �� �� ���� �� ���� �� ��� � ���� ����� � �� ��� � ���� ��� � �� �� �� �� �����

����� ��� �� ���� � �� �� ���� ����� � �� ��� �� ��� �� ���� �� ��� ������ ��������� ����

Page 33: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ J" �4 #B&�6#' jk,. !)4 j/-/\^.-D1jk,. ��

�#�� ������ ����� ���� �� �� � ���� � � ��� ���� ��� �� ���� � ����� �� ��� ���� � � � � � �� �� !����� ��� ������ ����E����� [� �� ��

������ ������ ������95�$9�:G9:$:H�������95�$9�:G9:$:H�

"#���� "#���� �J �5��*��

������ ������ ������95�$9�:G9:$:H:����E���� K @���������95�$9�:G9:$:H:����E���� K @���

"#���� "#���� �J �5��*��

����� (��� ���� ���� �� "#����� � ������� ���� ���� ��� �� ����� � �������� ����� ���� ���� ���� �� ��� ������ ��� ����� �� �� �� � ��� �� ��� ������� ������ '� ������� � ������� �� ����� �� �� �� ����� ������� � )� �� ��� ��� ����������� � ��� �� � ������ ����E���� K @�� �������� �� �� ���� �� ����� � ���� ����� ��� ������ ��� �� ��� ���� ��� �� �� ���� �� ����� �����

����)� �������� �� ��� �� �� ����� ���� ��� �� ����� ���� �� � ������� ��

���� ����� �� ����� ���� ������� ��� �� � ������ ������� �� ��

Page 34: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

���� �G ��9�: ��9�:///H: G 9: �: 0H: ����� �G ��9�: ��9�:///H: G 9: �: 0H: � ����������

�� ��� ������ �� �� ��� ���� �� �� �(� �� ��� ������ ����� �� � ��� �� �� ���� �� ��� ��� ��� ������� �� ����� ����� ������(�� �� ��� �� ��� �� �������� �� �� ������� ����� ��&�� ���� � �������

�� ���� �*�����G ����: ����H: G�: �: 0H��� ���� �*�����G ����: ����H: G�: �: 0H�

�� �� �� ������� ���� ���� � �� ��� ������ ��� ��� � ��� � �� ��� �� ���� ���� ��� ������������� ������ �� � � ���� �� � � ����� ������ ����� ��� ��� ��������

������ ������ �� ���� �*�����G)�����: �������H: G�: $: ���H��� ���� �*�����G)�����: �������H: G�: $: ���H�

"#���� "#���� �J �5��*��

�� ���� �� �� �� �� ��� ������ �� ��� ����� %���� �� ��� ���� ��� �� ��� ���'����� �� ���� �� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� �� ���� �* �� ������������� � :��� � ����� �� � ������� �� �� ��� ������ ��� �� ���� �� � �� ���� � � ��� ��� � ������� ��� ���� �� ���� �� �� � �� ��� � ��� �� &� ����� �� �� �� �� ����� �� ����� " &� ���� ��� �� �� ������� ��� �� ����� �� ���� ������� � ��� ����������� � ������� � ����� ���� ���(�� � �� �� �� �������� �� �������� ��� �� �� ��� ���� ��� �� ������ �����)� ���� ��� ��� ���� ��� ��� � � �� ������� ���� ���� � �� �������� � ��

!����� ���� �� � �� ��� �� ��� � ������ � ����� ���� ��� ����� ��� ��� ��� �� ������ ���� �������� � ����� ��� ���� ����� $ ������ ������ ������ ����������-�� �� ��� �� �� �� ������� ���� �� ������ ���� ���� �� ��!�� ���� ������ ������� �� �� �� !���� ��� ������� ����� ������ ���� )� �� �������� �� ����� ��� ��� ������ ���� � ������ ���� ����� � ���� �� ��� �������

Page 35: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ J" �4 #B&�6#' jk,. !)4 j/-/\^.-D1jk,. ��

������-�� K GGEJ.)��� � ������-�� K GGEJ.)��� � �:�:��:0:0��H:�H:GEJ.)��� � GEJ.)��� � �:�:��:0:0��H:�H:� � �HHHH ���

�� ��� �� EJ. ?�E��� J ���� .�#�A ����� ��� (�(�� ��� �� ��� � (� ������� ���� ��� ��� ������� ��� ���� ��� ����� ��� � ���� �� ����� � ���� ����� ���� �� EJ.)��� � :�:0�� ������� �� �� �� ��������� ����� ��� �� �� � ���� ���� ������� ����� � ���� �� ������ ����� ��� �� �� � ��� ��� (� ��� ������� ��� ��� ����� ���� �� ������ ����� ���� ��� (�(�� ��� �� EJ.)��� �:$:$�� EJ.)��� �$::$� �� EJ.)��� �$:$:� ��� �� �� ������� ��� � (� ��� ���� ���� ����� ���� ������ � &� ��� �� ��������� ����� � ���?5A ��� ����� ���� ������ � � �� �� � ���� � ��� ���� � ��� ���� ��� ���� ���� ����� ��� ��� �� ������ ��� ���� �� � �� �� �� �� �������� ����!����� ���������� � ���� ��� � �� ����� ����� ��� � ������� ������-�� KGG��-��H: G��-���H:� � �H ���� �� ������ �� � ��� �� ����� ��� �� ����������� �� � ��� �� ������ �� ?���� ��� ��� ��� ������ �� �� ��� ������ ������A� �#�� ����� ����� ���� �������� � ��� ������� �� �� �� �� ���� �����"

���%�� ���%�� �����G����9�:)���9�H:G9:$:%��H:�����G����9�:)���9�H:G9:$:%��H:������-�� K GGEJ.)��� �:$:$�H:������-�� K GGEJ.)��� �:$:$�H:GEJ.)��� �$:$:�HH�GEJ.)��� �$:$:�HH�

"#��%� "#��%� �J �5��*��

���� ����� ��� � �� �� ��� ��� �� ��� ���� �� ������� �� �� ������ ��� ���� ��� ��� ��� ���������� ��

������ �#� �� ��������

�� !�� ��� �� ������ � ���� ��� �� ��� ���� ������ ������� ��� ��� � � �� ����� ���� ��� � �� � �� ����� ����� �� �� �� ��� ���� �� ������ ����� � ������� ��� ���� ��� �"

Page 36: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

�A ���� �� � �� �A �� ��� �� � ��

(A ������

�A ��� � ���� ��� � � � ��

A�

��� ���� � �� �A ��� ��

�� '����� �� ���� �� ���� ����� ���� � ������� ��� �� ��� ��� ���� �� ��� ���� ����� � ���� ���� � �� ���� � ?�� �� ���� �A ����� � ����"

�A � � �� � �� � �� �A ���� �� � �� � ��

(A ���� �� �� � �� �A �� ���

� �� ���� � � � ���

A ����� �� �� � �� �A �� ��� �� ��� � � � ����

�� '����� �� �� ������ ��� ��� �� ����� � ����������� ������ ���� �� �� �� ��"

�A � � � � ��� � � � � �� �A � � � � �� � � �������

(A � � ������ � � �� � � ������ � � �A � � � � �� � � � � ��

A � � � � �� � � � �� �A � � � � �� � � � ��������)� ���� ��� ��� ������ ���� �� ���� �� �� ������������ ��� ��� � ����� ���������� ���� �� ������� �� ����� ����� �� ��� �� ������ ������ ���� ������� �������� & �� ���� �� ��� �� � ����� b #� �� ��������� �� ���� ����� �� ������� ������b!� �� ���� ���� �� � ��� � �� �������� �� ���� �� �� � ����� ��� � ��� ���������� b

�� ����� � �� ��� ��� ���� � �� ���%� ��� ����� ��%� ���� ��� ����� �� �� ����������� ������ ��� � ��� ���������� � ��� ����� ��� �������� ���� ���� ������ ����� � ���� ��� � �� ������ )� ��� ���� �� ��� �� ��� �� �� ���(�� � ����� �������� �������� �� ��� � ������ �� �� ��� ����� ����� �������� �� �� �����������

((�� � ��� ���������� ��� ������� @�5�*�E����� !� ����� ������� (��� ���� ��� ������� �� ��� � �� ���� ����� ��� ��� �� ���%� �� �� ��� ������ ����

������ �� )������ � �*$�� �*%�����( ��� ���.����( ����(��( �� � ��*�� ���&����&� ��� '���&�'���&�

3� �� ��� � ���(���� � �� �������� � �� �� ��� � ������ � ������� � �� �����&� �� '���&� ���� ����� �� � ��������� ����� ���� ��� ���� ������ ����� ��� � ������� ����� ��� ������� ���� �� ���� �� ������

���� ��� � ��� �����������

Page 37: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ l" �4 #B&�6#' f,km^ !)4 Vf,km^ ��

�!�" #$%&'� �� 6�� � ��� �� � ��� � �� � � ������� ����� ���&��9?� �9?� 9 � � $: 9����&��9?� �9?� 9 � � $: 9�

"#��� "#��� ��9� ��� �9� �� �9� ���

�!�" #$%&'� �� 6�� � ��� �������� � ��� � �� ��� � ��� � �� � �������� ������ '���&��-((�9� �-(�9� � �-�9� $: -�9�: 9�'���&��-((�9� �-(�9� � �-�9� $: -�9�: 9�

"#���� "#���� ��-�9� � ��9)���)���9� ���9)������9���

�!�" #$%&'� �� 6�� � ��� �������� � ��� � �� ��� � � � � � ����� ��� ���� ������ � ����� ��� ���� � �� ����� � �������� ������ '���&��G-((�9� � -�9� 9: -�$� :'���&��G-((�9� � -�9� 9: -�$� :

-(�$� $H: -�9�: 9�-(�$� $H: -�9�: 9�

"#���� "#���� ��-�9� � 9�)���9� �����9���

�� ��� ��� ����� � ��������� �� ��� ��� ������� �� �� �� ������ ���

!(" )*+� '�� ���������� �� �� �(��� ��� ��� ���� �� ������� �� ������� ��� �� ������� ;������ ZZ �� �� � ����� Z� !� � ��� �� � ����� �� �� ����� �"7� ���(�� � ��� �� � ���������� ��(�� ����� �� ����� �� ��� ������� �%�������� ? �� �(��� ZA ���� �� ������� ������� ? �� �(��� ZZA� � ���� ������� ���� � ��� � ��� ���� �� �� ��� � �� � ������� ��� ��� �� ��� �� ������ ��� �� ��� � � �� �� ���(���� ������ �����

�$," )$!*+� '�� �� ����� ��� ������� � '���&� � �� �� �� ���� ��� � ���� ���� ��� ���� �� -�9� �� �� � ����� � -� ����� �� ���� �� � �� �� �� �� �(��� -������ �� �� ��� � �� �������� �������� ����������� �� �� � �� ������� ��� �� ���� ��� � ��� �� #� �� ������ � ��� ��� ����� ��� ��� � �� �� ����� ���� ����� �� � ������ ���� ���� ��� � -�9� �� � ����(����� 9� ?)� �� ����� ��� ���������� ��� � � ��� ����� ���� ������ ��� ��� ��������� ���� ����� ������������� ��� �� ���A

�!%" )*+� '��� ���� ��� � ������������� � ������� � ��� ����� � ��� �� ����������� � ��� � �� ������ ����� �� )���)���� � � � �)���� � ������ ��������� � (�(�� ��� ����� ��� �� �� ��� �� �� �� ��������� � �� ��� ��� ���

�$" )�!)*+� ����� � �������� ��� � � ������� ��� �� ���� ������ � ����� ����� � ����� ����� ��� ������� � '���&� �� ��

'���&��G'���&��G������� ���� ������� H: -�9�: 9�H: -�9�: 9�

�� ��� � ��� � � �� � ������ � ����� ��� ������� ���� � �� � ���� �� ������� �� �� � ���� ��� ��� �� �������� ����!����

Page 38: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

&� ������� �� ������� ����� �� �������� ���� �� �� � � ��� ���� ���� ��� �������� � �� �� ���� �� ��� ���� �� ��� ��� �������� �������?�� ������ ����� ����(����� ��� ���� ��A

�� � � ��� ��� �� � ���� ��� ���� � �� ���� � �� �� ���� � � ������ ������� ��� ���������� �� ��

'���&��G9(��� 1�9���:-����: -(��� J�9���:-����:'���&��G9(��� 1�9���:-����: -(��� J�9���:-����:9�$� �: -�$� 0H: G9���: -���H: ��9�$� �: -�$� 0H: G9���: -���H: ��

�#�� ����� ����� ����� ���� ��� ���� � ��� ����� �� �� ��

�� � �� �� � ��� ���� � �� ���� � �� �� ���� � � ���������� �� ��

������ ������ '���&��G9(��� -���: -(��� 9���: 9�$� :'���&��G9(��� -���: -(��� 9���: 9�$� :-�$� $H: G9���: -���H: ��-�$� $H: G9���: -���H: ��

"#���� "#���� ��9��� � )������-��� � ���������

��� �� �� �� ���� � � ��� ��� �� �� ��� ������ �� ��� ���� �� ��������� ����)� ��� ����� ��� �� �� ��������� ���� �� ��� � ��� ������� �� � ��� ������

����� �� ���������� � ������ � ����� ���� � ����� ����� ���� ��� �� �� ��� �����?���� � �� ���� ���� %���� ��� ����� �������� ������ ��� ��� ��� ��� ���A �� ���� ��� ������#���� � �� �� ������� ����� �� ����� ���� �� ��� ��� ��� � ������ �� ����� �� �������� ������ ���� ?�� ������ ���� � ���� ���� �� ������(����A� �� ����� ���� ��� ����� �� �� ����$ ����� � � �������� � �� �� ����� ����� " <�� ������ ��� ��� ��� ������

�� ���� ������ ?�� �� �� ���� ���A ��� ��� �� ��� �����!�� ?�� �� ����� ?ORXXA�� ��� ���� ��� ��� ��A ��� ������ �� ����� ��� ��� ��� ��� ���� ��� � �� ������ ����� ���� �� ���� ���� ��� �������� �� �������� ����� � �� ���� ������ �� ���� �� #� ������ � ��� ����� ��� �� ���� ?�� ���� �� ������ � ������� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� ���� ���A �� �� �� ���� ���� ��� ��� ���������

)�5- ?��)������� ��A ���� �� �������� �� ��� ������ ����� #� ������ � �����(�����(�� ������ �� ��� ��� ��� � �� ���� �� ���� ���� ��� ������ ��� ��� ��� ��� ������� �� ��� ��� ����� �� ���������� �� ���� ���� ��� ����� ������� ���� ����� �� ���� ���� ������ ���� � �������� ���� ����� ��� ������

��� �������� ���� ��� ��������� ������� � !� � �������� � �� �� � �� �� �������� ������ �� ���� �� �� ����� ����� �� ����� ?��#���� ��� ���A� ���� ������ ��� � ����� ������� ���� �� �� �� �� ��� � ��� ����� ����)� ��� ����� ��� �� �� ��� ����� �� ��� � ��� � ��� ����� �� � �� �� � �� �

��� ������ � ������ ����� �� ���� � �� ���� � �� ����� � ������ ����� ������ ���� �� ���� ����� ��� �� �� ������� ���� �� ��� � ������� ��� ������

Page 39: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ l" �4 #B&�6#' f,km^ !)4 Vf,km^ ��

������ ������ '���&��G9(��� -���: -(��� 9���: 9�$� �:'���&��G9(��� -���: -(��� 9���: 9�$� �:-�$� 0H: G9���:-���H: ��-�$� 0H: G9���:-���H: ��

"#���� "#���� ��9��� � �)����� �0�������-��� � 0)����� ����������

8� ��� ������ � ����� �� �� ���� �� �� ���������� � ������ ��� �� ��� ����� � � ��������� � ���� ���� � ����� ��� �� �� �� ��������� ��� �� �� ���� �� ��������� ������ � � ���������� �������� �� ���� �� �#� �������� ����� ��� ��� �� ��� ����� �� (�� ���� ��� ����� �� �� ������ ��� ��� ��� ��� "#������ �� ���� �� �� ����� ���� ?� ������%����A ������������ ���� ���� �� ?��� ������� ���� �� �� "#�A �� ���� ������ ������ �� ����� ����� �� )��� � ���� �� ���� ��� �� ����� �� "#����������� ����� ���� �� ��� ��� ��� � �� ���� �� �� ������� ���� �� ���� �� ��������� �� �� �������� �� �� � ����� � )� ��� ����� �� (�� ���� ��� �� �������� �� �� �������� � ������� � �� �� �������� ����� ����� ��� �� ����� � �� �������� ��� ��� ��� �� �� ��������� � ���� ���� ��� �� �� ������ � (�� ����� �� ���� ���� ��� �� ������� �� �� ����2)��� � '����� �� �� � ��� � �� ��������� �� )��� ��� ���� �� ��� �� �� �� )#�� ����� � ��� � ������� � �� �� ������������ ���� ���������� �� &� )#� ����� (��� ���� ��� �� ������� ��?� ���� ��� ��A ����� � ����� ��� �� ������� ��� �� ��� �� )��� � ����� ��������� �� �� )��50�� � ?������ ������A ���� �� ��� ������ �� ��������������� � �� �� ��� ��� � �� ���� � ��� ������ �� � � �� )�5- � ������������ � ��� �� ��� � ��� )��50�� � ?�� �� �� ��� ����������� �������A� �� ����� )#�� ���� � �� ��� �� ������ (� �� ���� ��� �� ������� � � ���� � ������� ������ ���� �� ��� �� ������ ���� ���� � ������ ���� '����� �� ��� �� �� � ������� �� � ��� ������� � ����� ��� ��� ���� ��� � �� ��� � ����� ��������� (�� ���� ��� � �� �������� �� ����� �� � ���� �� �� ��(�� ���� �� �����

������� ��� �� � ������ � ������ �� �� ��� �� �� ����� (�� ��� � ���� ?QOUTXX MNUA �� ����� ������� ��� ������� ���� ���� � ���� ��� �� ��� �� �� �� ���� ���������� ��

��� ��� ��� �� ����� ��� � ���� ;����� �� �� ��� ����� � ��

���� ��� �� �� �� ��� ���� �� �� ���� �� (�� �� ���� ��� ������ ���� ���� � ���������� ������

������ �#� �� ��������

�� >����� ��� �� ���� (�� �� ��������� � �� ��� �� �� ��� ��� ���� ������ ��������� ���"

�A ��� � �� � ��� � � � A �� � �� � � �(A �� � ��� � ��� � � � �A �� � �� � �� � �� � �� � � ���� ����� �� ��� �� �� ������ ���� ����� �� �� �� �� �� (�(����� �� �� ������� � ���� �� � ��� ���� ��

Page 40: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

�� #������ ��� ��� � ��� ����������� �� (��� �� ��� ���(�� ����� ��� � ������� ������ ���� ��� �������� � �� �� ���

�A ��� � � � ��

(A ���� � ���� � ��� � �� � � �� �A ��� � ����� � ��� � ��� � ��� � ��� ���� ���� �� �������� ����� �� �� ���� �� ��� (��� ���� ��� �� �� ��� ������ ���� �� � ����� ���� ��� ��� �� � ��� ���������� �� �� �� �� ?(A �� ?Ab

�� 6�� �� �� �������� ��� � �

���� � �� � ����� ���� � ��� ���� ���� �� ������ �� �� �� ���� �� ��� ���� � �� ��� ��� �� ������ ��� �� ��(��� ��� '����� �� �� ������ ����� �� � ��� ��� �� �� ��� ���� � � � � ���

�� 6�� �� ��� ��� � � �� � �� ��� ���� � � �� ��� �� �� ������ ��� ����� �� ��n���� �� ����� �� �� ��� � � ��� ������ � ������ ����� �� ���� � ��

�� C��� �� ��� ���(�� ��� � ��� ���� ������ �������� � � ����� ��� �� ���������� ����� ������ � ����� ���"

�A �� � ��� ��� �� � ��� �� ���� � �� ���� � �(A �� � �� �� ��� �� � ��� �� �� ���� � �� ���� � �A �� � �� � �� �� � �� � �� � � �� �� �� ���� � ���� � ��� � ��

������ �� )��&#����� � �*$�� �� � ��*�� 3���&�3���&�, 3'���&�3'���&�,3����� ���3����� ��� �!* !

&�� � � ������� ���&� �� � �� � '���&� ��������� � �������� ������� ������� ����� �� �� ���� )� ��� ���� ��� �� �� �� ��� ������� � �� (������ � �� ����� ��� ������� ���� ?����� ��� ������� ����� ���� ����� � ��������� � �������� �A� ��� �� � ������� �� ������� � ������� ����� �� �� 3���&� ��3'���&� �� ���� (�� (��� �� 3 ������ ����� � �� ������ ��� ��� ��� ��� ���0G_RUSONX� 0G_RUSONXXW �� �� ��� �� ��� ������ ��� �� �� ��������� ������ ������ #������ � ���� ���� � ������� � 3����� ��� �� 3�#� ������ ����� �� ���������� �� ��������� � �� �� ����� � ��0G_RUSONXXW�� �� ����� � ���� ����� ��������� � ?� ��� � ���� �A ������� ��� &�� � �������� ���� �������� � ��� ������� �� �� �� �� ���� �����"

����� ����� 3���&��9?� � �9?� � 9 � $: 9�3���&��9?� � �9?� � 9 � $: 9�

"#��� "#��� ��9� ����%B�B�� �9� �$������$��AB�������9� �$������$��AB�������

Page 41: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ K" �4 #B&�6#' 0f,km^� 0Vf,km^� 0D0.^e-/.^ ����� ��

������ ������ 3����� �����95�9?��: G9: $: H�3����� �����95�9?��: G9: $: H�

"#���� "#���� $���%A��

������ ������ 3�#��2�?�: G�: : �������-H�3�#��2�?�: G�: : �������-H�

"#���� "#���� ��$�$%

�� ���� (�� (��� �� �������� � ����� ���� �� ������ �� �� �� �� �� � �� �� �����

��� �� ���� (�� ���� ���� ��� � ��� ���� � ��� ���� ��� �� ��� ��� ���� ������ �� �� ���� �� �� ����� ��� ��� ����� � � ��� � ����� � ������ � ���� ��� �� �������� ���� �� �(��� � ��� ����� ���� � ����� ���� )� ����� �������� �� �� � �� �� �(��� 3� �� ��� �� ���� �� ��� )'!$'$ 5� �� �� ��� ��� �� �������� ����� ������� ���� ������ ��� ��� 3�� � ��� ��� ��� �� �� ��� ������������� ��� �������� ����� �� ���� ���7� ���� ��� ������� 3'���&� �� �� ����� ������ ����� ����� �� ��

������ �� ��� ���� �� �� ��

������ ������ 3'���&��G-(�9� -�9�?�: -�$� $H:3'���&��G-(�9� -�9�?�: -�$� $H:-: G9: $: �H�-: G9: $: �H�

"#���� "#���� ��-� ���� 5������� 1#�*�������$�� ����� �����

�� ��� ���� ��� �������� ���� �� ���� �"

!(" )*+� 3� ��� ��� ��� �� �������� � ���������� � �� ��� ��� ��� #�� ����� �� J� � ������ ���� ���� ��� � ����� ���� ��� �� �� -� �� �� � �� -�9� �� ��� ��� ������� '���&�� ��� � �� ������ �� �� ��� �� �� �� ���� �� �� ����������� ��� ��� � �� ��� � ������� ���� ����� �� ��������� ���������� ����� �� ������ (����� ��� �� � �� �� ��� ���� ���� ��� ���� �� �� �� ���� ���������� �� ����� �� ����� ����� ��������� ������� ��� �� ��� � ���� ����� ;������ � ��� � ��� �� �� ��� �� ��� �� ���� �� ������� �� �� ���� ��� ���� ��� �� �� ��������!���� ����� � �� ��������� ������������ �� �� �� ����� � ��� ��(�� ��� - ��� � ���� ���������� ?FGUR dGEOHSTEA� �� ���� ���� ������ �� �� ��� ��� ����� �� ������� � �������� ��� ��� �� ����������������� ���������������

�$," )$!*+� '��� ��� �� ��� � ��� ������� �� � ����(����� � ������� ��� �� ������ ���� ���� ��� ����� �� ��� �� �� ������ � � �� ��������� ��� � ����

��� ��� ���� �� � ���� � ��� ��� ������(����� ��� � ����� �� �������� � �� �� �� � ���� � � ������� �� ������ ������ ���� �� �(��� ?- ���� -�9�A� '�� ���������� � ����� � ��������� � ������� �� ������� ����� �� � ���� ����������� �������� �� �������� �� ���� ��� �� ��(��� ����� �� �� ���� �� ������ ���� ���� �� �(���� ����� �� �� L �� ��� � �������� �� ����(����� � 9 �� �� �� ��������� �� �� �(��� M ��� ������� � ���� ��� �� �� ��� ������ ������ � �� ���� ��� &�� ���� ������� � ������� �� ?FGUR dGEOHSTEQA ������ ����� ����� ����� ���� ��� ������� '���&�� �� �� ���� ���� ��� ��� ��� ������� � ��� %���� - ���� -�9�� 3���� �� ����� �������� ���� ��� �� ��� )'!$'$ L ��� #�� ���� �� J�

Page 42: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

�������� �� ��� ������ �� � �� � ����� � ��� ����� 3� �� ��� ����� ��� �� ����

�� ������� ���� ������ �� �� ��� "#����� �� ������ ����� �� � ������ ��� �� ����� ��� �������

������ ������ �����-�9� 2/ C: G9: $: �H������-�9� 2/ C: G9: $: �H�

�� ��� �� ��� � ����� � �� �� ��� ���� � � ���� � ��� ��(�� ��� 2/ �������������� ��� ��� ���� ���� ��� ��(�� ��� C ��� ����� ��� �� ��� �� ���� ���� ���� ����� �� ��������� ��� ������������� ��������� $ �� ���� � -�9�2/C ���� ��� �� �������� ��� �� � �� ��� - �� ��� � �������� �� �� ��������� �� ���� ��� � �����(���� � ��� ����� ��%� ���� ��� 3'���&� �� � ���� � �������� ��� ����� ��� ��� ��� ����� �� � �� ���������� �� �������� �� ���� ��� � -�9��$ ���� �� �� ��� �������� �� �� �(��� 2/ ��� �������� �� �� �� ��

����� ���� ����� �� ��� �� ����� ������ ��� ������ �� ������ "#�� �������� �� �� �� ��� ��� ������� � ��� ��� ���&� �� ���� �� � �� �� ���� ������ � � � �� �� �� ���� � �������� ���� �� -�9� ���� ��� ���� ��� � � �� ��� ���� �������� � ��� � ��� ����� �� �� ��� ������ ������������ ;���������� �� ������ 9� �� -�9� � ����� ��� �� -� ����� ���� ���� �� � ���� � ��� ��(�� ��� 2/ �� �� ������ � �������� ��� �� � �� �� ���� � �������� �� ��� �� � �� ��� -�9� �� ���� �� ���� �� � ���� ��� � ��� ����� ��%� ���� �� ��� ���� ��� � ���

"#���� "#���� �J �5��*��

#�� ��� � ��� ����� ��� ��� ���� ��� ���� ��������� � ���� � ������ ��� ��� ������� �� ��� � �� �� ��� ��� ��� ���� ������ � ���� ��� -�9� �� �� ���� ��� � �����(���� �� ��� �� ��� ��� �� ���� �� �� ��� ����� ���� ����� �� �� �(��� C� ��� ���� �� �� ���������� �� ���� �� �� � �� ������� ���� ����� �� ����������� ���� ������ �� ��� �#� � ������� ����� ��� ��� ��� ������-�� ��CC ��� ������ ���� �� ��� ��������� ���� $/�%�B� ��� ���� ������ �� ��� �� �� �� ���� ���� �� ��� ���(�� ��� � ��� ���(��� ������ ����� �� � � ����� �� ��� ������ �� ��� ���� �� ��� ���

Page 43: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ K" �4 #B&�6#' 0f,km^� 0Vf,km^� 0D0.^e-/.^ ����� ��

)� ��� ����� �� ������ ���� ��� ����������� �� ���� � ��� ��(�� ��� C� �� ������������� �� ���� ���� "#����� ��� ������ ���� -�9�2/"#���� ��-�9�2/C�� ������� �� ��� �� �� ��� ���� �� �� �� ���� ?���� QTX?� QTXGHSTEAA �������� �� �� ��� ������� � 3'���&� ��� ������

��� 3'���&��////////////� 3'���&��////////////�

�� �� �������� ���� ����� �� ��� ���� ����� �� �� ��� �� ��� � ��� C ������ � ���� �� ��� ���� �� ����������� ��� ���� �� ��� �������� ��� ����� ����� �� �� �� ��� � ����� � � ��� ���� ����� "#� ������ ����� ���� �� ��� ���� (� ��� �� �� �� ���� ��� ����� ��� �� �#� � ������� ����� ��� ��� �������� ���� �-�9�2/���:G9: $: �H� �� ��� ��� � ��� � �� �� ���������� ���� ������ ����� �� � �� � -���2/��� ��� ��������� ������� ��� �� � ������� ���� ���� � � ����� �����'����� �� ���� �� �� � ��� ������ ��� ��� "#� ��� ��� ����������� ����

�� ����� � ��� ���� 5�������1#�*���� ������� ����� ��� �� ����� ���� ��� ����(����� � � ��� �������� �� �� ���� ����� ���� �� �� �(����� ������� �� �� ���� ��� ����� ��� ���� � ��� � ��� � � ����� ����� ����� !� � ���� �� (�(�� �� ��� �� ����� � ��� ��� ������� �� ��� ����;� ����� �� ��� ��� �� �������� � �� ���� ���� ���� ��� ��������� �����

������ �#� �� ��������

�� >����� �� ��������� �� ���� ����� ��������� ����"

�A

�� ���� �A

� �

���

��

(A

� �

��� ���� �A

�� ����

��

A

� ��

����

�� �A

� ���

� � �

� ������

�� &� � �� � �� ���� ����� ����� ����"

�A�����

����(A�����

�����

�� C��� �� ��������� �� �� ��� ��� �������� ���"

�A �� � ��� � � � � (A �� � ��� � ��� � � � ���� 6�� �� ��������� �� ���� ������ �������� � �� �� �� �� ���������� ����

��� ���� �� �� �������� ����� ������ � ����� ��� �� ���� ��� �� ������ �������� �� ��"

Page 44: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

�A �� � ������ ���� � �� � � � � ��

(A ��� � ���� ���� � �� ����� � �� � � � � ���

$ ��� � � ?(A ��� ����� � �� �� ����� ����� ?����� �� � ���(�� � ����� ��A���� (���� 8������� �� �� �� �� ����� b ;������ �� �� �� ������� �� ������������� �� ��� ���� ��� � ��� ����� ��� ����� ��� �� ���� �� ������ � ����� ����������� �� ���� ��� ����� ��� �� ���� � � ��� ������ ���

�� :�� ������ �� �� ���������� � �� (��� �� ��� ��������� ��� � ������������ � ��� �����

�� � ���� ���� �� � ���� ��� ���� � �� ���� � � �� ��� ���� � �� � �� �� �� ����� �� � �� �� ����� ��� �� �� ������� �� ������ ���� �� ����� �� ��� ������ �� ��� ����� ��� �� � ��� ��� ���� ������������ ������ ���� �� �� �� �� � � ���� �� � � �����

������ �� /�0�� #� �*$( $#��( �$ ������( �� � ��*��1���E���1���E��� ��� 1���,����#�1���,����#�

3� ��� ����� ��� ?���� ���� ��� ���� �� ��������������A ��� ���� �?� ���� �� ����� ���� A ��� �� ����������� � ���� ��� �� ���� � ����� ������ ������� �� �� � 1���E��� �� ����� ����� ���

1���E������9� $: G9:91���E������9� $: G9:9�H�H�

�� ��� �� � ���� ����������� ��� ��������� � ����� ��� ��� ��� ������ �� ����� ��� �� �� �� ��� ���� �� ��� ��� )�*�+," 9����� �� ���� �� ���� � ����%�� ����� ��� ���� ��� �� ���� � �� �� �� ��� ����� %������ ��� ������ �� ����� )����� ���� � ����� � ��� ����� ��� ��������� �� ��� ������ �� ���� �� �� �� ��� ���������� %��� ��� �� ���� �� �� ���� � ��� ��� �� ��� �� ����� ����� ���(�� � �� ������� )� �� ���� � ������ ��� ��(�� �� �� �� �� ������ �� ������ ���� �� ��?�� ��� � ������ ������� �� ���� �� ������ ��� ����A� ��� �� � ������� ���������� � ���� �� ��� ��� � � ���� � � � ���� �� ���� ��� � ����� � �� �� ��

����)� � ���� �� �� ��� ���� ��� �� ��� ��� �� ����� ��� �� �� �� ���� ��� ��

����� � �� ���� �� �� ����������� � �� � ���� �� � �� ����� ������ ��� �� ����� ������� ��� ���� �� ������ ��� ��� 8� ����� ������� �� �� �� ��� ������� ���� ���� �� ��� ������� ���� � �� ����� ���� ��� ���� ��� ������������� ������ ������ �� �� ���� �� ��� ���� ����� �� ������� ����

���� �� �� � ������ � ���� ����� �� �#�� ����� ������ ����� ���� �� �� �

��� ����� ������ �� ��� ���� �� ��� ��� � �������� � �� ������ ��� ��� � ��� ���������� � ��� ������ � �� �

�������� �����

���� ��� �� �� ��

����� ���� ��� �� �� �� � � �� �� ��� �� ��� ������� ��

�� �� ��� ��� � ����� � ��� ������� �� ���������� � ��� ��� (�� ����� ���� �� �� �� � �� ������� ���� � ���� � �� ������� �� � �� � �� �� �� �� ��� �����

Page 45: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ `" �4 #B&�6#' +D0V-,,. !)4 +D0V\D0D\g\ ��

��� �� � ��� ?�������� �A �� ��� ��� ����(����� � ��� � �� � �� � � ����������� ����� � ��� �������� � � �� � ��� � ��� ���� � � ����� ����� ��������� ��

����� ����� 1���E����)���9� 9:G9:H�1���E����)���9� 9:G9:H�

"#��� "#��� �9� $���B$A������ �� ��� � �� ���(�� � ���� �� ������� � �� ����� ���� � �� � �� ��� �� ������ ����� ���� ����(����� � �� �� ��� ��� ������� ��� ����� � ���(��� ����� ������ � � �������� � �� �� ���� ����� ��� � ��� ��� ��� �� ����� ��� ��� ������� ��� ���� ��� ��

���� ���� ���� �������� �� ��� ����� ��� ��� ���� � ��� � ���� �� ������ ������� ���� �� � �� ��� � ��� ������� � 1���E���� ����� � ������� ����� ��� � ���������� �� �� �������� � ��� �� �� � �������

1���,����#����9�:G9:91���,����#����9�:G9:9�H�H�

��� %�� ��� �� ������� ���!���� ��� ���� �� ������ ��� �������� ������������� ?�� ���� � �� �� ������ ���� ����� � ��� ������� �� �������� � ��� ����� ���� � ����� ���� ��� � ��� ������� � 1���E���A�3� ������ �� � ?������ �A ��� ���� ������� ������ (�(�� ��� ��� � ��

������� ?1���,����#�A ����� �� �� ���� ��� � ����� �� ��� � ��� ������#�� ����� ������ ����� ���� �� �� � ������ �� � ��� ��� ��� ���

������� ��� ���� � ����� �� � ��� ���� �� ������ ����� �� � ��� ���� ������ � ��� ������� � �����9!�95�9?��:G9:$:�H�� ������� ������� � �� (�� ���� �� �� �� � � ���� 8� � � � �� ���� ������ ��� � �������1���,����#� �� � ���� ��� �� ��� �� ��"

������ ������ 1���,����#��9!�95�9?��: G9: H�1���,����#��9!�95�9?��: G9: H�

"#���� "#���� ��$���AAA�� �9� $��$�$����� ��� �� ���� ���� ��� ��� ��� ������� ��� �� ���� � ���� ��� ����� ��� �� �� ���� �� � ���� ��� ���� ��� �� � ����� � ����� (��� ����� �� ���� � ��?������� �� �������� ��� ������ � ���� ��� ��A �� �� ����� ������ �� ���� ���� �� ���� �� ���� �� ���� �� ������ ����� �� �� "�����" ����� ���������� �� �� ��� �� � ����� �������� � ���� �� � ������ � ���� ��� �� ������������� ������ � � �� ��� �� ��� ����

������ �#� �� ��������

�� >����� �� �� ���� � ����� � ��� ���� ������ ����� � ������� ���� ����� ��� �������� �� �� ������ ���� ����� �� � � �� �� ������ ���"

Page 46: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

�A �� ��� �� � �� �A �� � � � � ?������� A

(A ��� ��� �� � �� �A ��� � � �� � ��

A ��� � � � ?������� A �A ��� �� � �� � ����� '����� �� �� ���� ������ ������� �� �� (��� �� ����� �� ��� ��� ����"

�A ������ �� � � ��

(A ������ � ��� � � �

A ��� � ������ � �� � � ���A ��� � ������ � ���� �� � � � �� �

������ �� ����#�� �$ ������(� �� �$#��*� 1 ��� 1

����� �� ����� �� ����� ����� ���������� ���� ��� � ��� ���� ���� ��� ����� � �� ���� ������� � ��� ���������� ����� ����� ���� �����1���E��� ������� ��� �� �� �� ��� ��� �� ��������� ����� �� ���� ��� ������ ������ � ��� �� �� �������� �� ������ ���� �� �(��� ��� �� � �� �������� �� ��� ����� ������� � ���� ��� ������ � ����� ������ �� ���� ��� )���� ��� ��� ��� ������� � ���� �� �� ��� ���� ���� ���� ������� ��� � ���� ����"

��9�� �;������ �� �� ���� ���

��9�� ��;������ �� �� ���� �

��� �� ���� ��� ���� � ���������� ������� " )� � ������� �� �� ���� � ����� ������������ � ���� ����� ����� ������ �� ������� �� �� �� ��� � �� ����� ������ ����� ��� �� � ��� ���� ��� �� ��� � �� ������� ���� �� ?�� ��� ������ �������� �� �� � �� ������� ��A� ���� � ���� ����� �� ��� � �� ������ ������� ��� ��� �� �� ������� ��� �� ����� ��� �� ��� ������� � '������� �� ���� ������� � ��� ���� �� �� ��� �� �� ���� �� �� ����� ������� �� �� ��� � ���� ���� ���� ����� �� ���� �� �� �� � ��� �� ���� �� ����� �� ��(�(����� ��� �#� �������� ����� ��� ��� � ������� �� ��� ��� ������� �

����� ����� ��9N� ����9�!�95�9?��!= � 9?�>?=2�>��9N� ����9�!�95�9?��!= � 9?�>?=2�>

"#��� "#��� ��9������������������9��

����9�

��� �� �� �������� ������ �� ��� ���� ����� ����� �� ���� �� �� � � ����(����� � �� �� �� �� ���� � ������� � � �� !� �� ��� � ������� �� ��� ������ �� (�(�� �� �� ����� �% ��������� ������� ������� � �� �� � �� �� �� ��� �� �� �� ���

Page 47: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ L" �24'8�' '>B)2&$'#7'" &) '>8C�6) Z !)4 "Z ��

����$�� �� ��������� ���� � �� ���� ��������������� ���

�� � ����� ����� �������� ������������� ��� ��� ��� ��������� ������� ��� �������� ����� !� �� ��������� � ����� �� ������ ���� �� �(���� ��� �� ����� ����� �� �� ��� ������� ���� �� ��� �� ���� �� ��� ���� ��� ���� �� ���� �� ��� � ���� ��� ��� &� ��(�� ���� ����� � ��� �� ���� ��� ���� �� �� ��� ����� �� �� � ���� ���� ����� ���� ������ � ��� �� ��� ��� �� �� �(��� � ���� �� � ���� � �� �������� � �������� ��� �� ��� ��� ����� � �������� ��� ��� ������������������� �� �� �� ������ �� ��� �� ������� ���� ���� �� � ���� ��� �� ��������� ����� ���� ������� ���� �� ��� �� �(��� �� �� ���� ��

����� � ���� �� � ������ ��� �� ���� � � �� �(��� �������� ���(��� ������ �� ���� ���� ����� ���� �� � ��� ���� � �� �� ����� �� (�� ��� �������� ��� � �� ������� ������ ���� �� � �� �� �(��� � ���������� ����� � 3� ����� �� ��� �� ����� ��� �������� �� �� �� ��� ������ ���� �� �� �� �(��� �� � � �� ���������� �� ��� �� ���� � ��� ������ ����� �� �����

�� ���������� ������� ���� ����� �� �� �� �� ���� ��� � � �� ����������� � �� �� �� ������ � �� �� � ���$���� ���� ��� �� ������ ��������� ����� �� ��� ������ ���� ��� �������

)��� ���)��� ���

�� � ��� ��� ��� � � � �� ��� � ��� � � �������� ���� �� �(���� $���������� ��������� �� ������ ����� �� ���� ���� �� �� ��� ������� ���� ���� � ��(�� �������� ���� ���� 3��� ������ �������

O�O� ?'�� �� ��� ��" -� ����� �� �.A

������ ����� ��� ��� �� ����� ��� ������� ���� �� ��� ��� ���� ��� ���� �� �

������ ������ O�O�

�� ��� ����� ��� ���� ��� �

J��0��J��0�� ����������

��9N� ��9������������������9��

����9�

)� �� ��� �� ���� �������� ��� ��������� ��� �� � �� ������ ��� �������

������ ������ )��� ���)��� ���

��� �� ��� � �� �� ��� ������� ���� ���� �� � ��� ����� �� �.� � ���� ��� � ������������� �� �� �� ����� � J��0�� �������� �� ���� � ���� �� �� � ��� ����!���������� �� �� � ����� � �� � �� �� �� �(��� � ������� �� �� ���� �� �������������� ?)� ��� ����� �� �� � �� �� �� �(��� �� �������������� �� ���� ��

Page 48: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

���� �� ��� �� ���� �� ���� ��� ��� �� � ����� � ��� ������� �� ��� �������E���&�����A)� ��� ��� ���� ��� �� �� � ��� �� ��� �� �� ��� � ���� � ��(�� ��� ������ ��

������� ��� ��� �� ������� ����� ��� �� �� � � ����� ��� ���� ��� � � � � ���� ��� � ������� �� ���� ��� �� ����

������ �#� �� ��������

�� �� �� ���� ���� ���� ��� � �� ���� � ?��� Z �� ��� "ZA �� ����� ��� �������� ����� ��� ��� �� ������� ��"

�A ���� � � ���������������� ���

(A ���� � � � ���������������� ��� � ��� ��

� �

A ������ ������

��� � ������ ��� �

�� )���� ����� ��� ��� � ���(������ � �� ��� � �� �� ������ �� ��� ���� ����� ��� �

���N�� 3����� ��� ��95�9�!��� ��!9�?�: G9: $: �������-H����N�� 3����� ��� ��95�9�!��� ��!9�?�: G9: $: �������-H�

����� �� ������ �������� � ���� � ��� ���� ��� �� ��� ��� ���� ���� ����� ��������� ���� �� ��� �� ��� �� �� ������ ��� ����� �� � �� ��� ����� � � � ��

�� & �� ���� ���� ��� � �������� �� � ���� � ������ ���� ������ ���� �� ��� �� � ��� �

5��N�� �����;�����!9�: G 9: �: �H�5��N�� �����;�����!9�: G 9: �: �H�

& �� ������ %� �� ����� ��� ���� � ���� ������� ����� ��� �� � � � �� � �� �b& ����� ���� ���� ������ ������ ��� ���� ���� �� �� ��� ������� ���� �� �� �b

;������ �� �� �� ��� �� ����� �� ���� �� ������ �������� �

�� �# �� ���� � ���� ��� � ��� ��� ���� �� ���������� ��

��9N� ����9�!�95�9���9N� ����9�!�95�9�

& ������ ���� �� ������ %�� �� ��� %��� ���9� �� ����� ��� ���������� b &�� �� ���� ���� � �� ������ �� ����9�� �����9� ����� �� �� �� �� ����� ���� ����� �� ��b

Page 49: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ L" �24'8�' '>B)2&$'#7'" &) '>8C�6) Z !)4 "Z ��

������ �� ) *� ����� �*$ *��( ��.����( �� � ��*�����5���-���5���- ��� 1#�����5���-1#�����5���-

8� �� ��� ���� �� ������� ����� � �� �� ���� ���5���- �� ������ ��������� �� ��� ���������� ����� ������ ������ ��� ��� ������ ����� ����

�� ���� ������� � ��� ���������� ������ �� ��������� ������ �� ��������� �� ��������� ���� �� � ���� ������ ����� �� ���(�� �� �������� � ��

���� � ����� ��� ���(���� � �� ������������ � �������� ���� �#�� ��������� ���� ����� ���� ������ ��� ����� ��� ����� �� � ��� ������� �

����� ����� '�9?9: G9: �H�'�9?9: G9: �H�

�� ��� ���� �� �� ������ �� �� ��� "#���� �� �� ������� ����� ����� � ��� ��� �� �� �� ����� ���� ���� � #����� ��� �� ��� �������

������ ������ ���5���-�C����5���-�C�

��� ��� �� �� �(��� � ����� ��� �� ��� �� ���� ���� �� ������ �� �� ���������� ����� ������� �� ��� ������

"#���� "#���� 9���9��%��9� �$9� �9� ��9���9�%9� �9��<���9��$9�����9�9��<���9�� �$9���9�<���9����9�<���9�� �9�<���9���

��� �� �� ������ ���� ������ ���� ��� ������� �'����� �� ��� �� �� � �� ��� ���� ���� ������� 1#�����5���- ������

�� ���� ��� ������ ���� ������� � �� �� �� �� � ������ �� ���� � ����� ���� ����� � ������� �� ��� ���� �� � ��� ����� �� ���� �� �� ��� ���������� ��

����� � ������� � ���5���- �� 1#�����5���- ����� ����� �� ������ ��� �� ����� � ��������� � �� ���� �� ����(����� �� �� ������� ����� ����� ���� �� ��� ��� ���� �� ������� ������ �� ��� ��� ���� �� ���� ���������� ����"

������ ������ ����� ����=9?�>!�����!9�: G9:$:��H������ ����=9?�>!�����!9�: G9:$:��H�

"#���� "#���� ���%�����)�������

������������������

������ ������ ���5���-�C�: ���������:������ ������5���-�C�: ���������:������ ���

"#���� "#���� � ������%�����

��

Page 50: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

�� ��� � �� ���� � ���������:������ �� ?� �� � �� �� ����� � ��������� ��A ������ ��� �� �� � ����� �� ���5���- �� �� �� ���� ������������ ��� ����� � � � ������ �� ��� �� ��� � ����� ��� ����� ������ �� �� ��� ��������� � ����� � ��� ��� �� � � �� ���� � ������� ���� �� ����� ��� ��� ������ ���� � �� � ������ � ��� � ��� ���������� ���� ��� ��� ��������� � � ������� ����� �� ��� ���� �� ��� �� ���� �� ���� ����

?)'!$'$ I�JA� )� ����� ���� ���� �� �� � ��� ��� ��� ������� �������� ��� ��� ?� � ������ �A � ������� ���5���- ����� ���� �� ��������� ���� ��� ��� 9 � E��������� 9 � � ����� 9 � $� 9 � $� 9 � E����� 9 �� -������ �� ���� �� ����� �� �� �������� � ��� ��� ��� � ������ ��� �������� ���� ��� ������ � ����

������ �#� �� ��������

�� #������ �� �� ������� � ������ ��

�A '�9?�!����9?��: G9:�H�'�9?�!����9?��: G9:�H�

(A '��95�9?��!)���9�: G9: %H�'��95�9?��!)���9�: G9: %H�

�� ��� ������ �� ����� �� ���5���- � �� ��� ��� �� ������ �� ��� ���� ��� ������ ���� ������ �

�� &� � �� � �� ������� � ������� �� ��

�A ����� ����9?�!�����!9�: G9: $: ��H������ ����9?�!�����!9�: G9: $: ��H�

(A ����� ����9?%!)����!9�: G9: $: ��H������ ����9?%!)����!9�: G9: $: ��H�

�� ��� ���� ���� ��������� �� � �� � �� �� ���� �����

������ �� 2$ �������� � � �( ������( �� � ��*�� ;�0��;�0����� <�������<�������! + &�#�*�( ��� � ��� ��� *�����

��� ���� � ��� � ������� � ��� ������ ����� � ��� ������� ����� � �� ���!������ ������� ��� ��� ��� ����� ?���� ������A ����(����� � �� $ �������;�0�� �� �� �� ��������� �����

;�0�������:G�::3H�;�0�������:G�::3H�

�� � ����� �� �� ��� �� �� �� �� ������ �� �� ��� ������ �

����� ����� � � � ���3��

Page 51: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ o" �4 #B&�6#' ./pk^ !)4 kDf.jk,. !)4 $ #BB�4) &$' 64'&)' ��

������� �� ����� �� �� ?����� ��� ���A ���� � ��� ���� ��� �� ���� �������� ���� �� $ ������� <������� ?/!������ ������A ��� ��� �� ���������� ���� �� ������� ���"

<��������;�0�������:G�::3H��<��������;�0�������:G�::3H��

�� ����� � �� ��� ���� ��� ���� ��� ���� �� ���� �� ;�� � ������������� ���� �� �� �� ���� �����"

����� ����� ;�0����P: G�: : $H�;�0����P: G�: : $H�

"#��� "#��� ����%�����$���$��$�$��$��$��%�AA$��%�AA$$���

������ ������ <��������;�0����?�: G�: : �$H��<��������;�0����?�: G�: : �$H��

��� �� ��� �� "#����� �� ��� ���� ������ ����� �� �

"#���� "#���� �J �5��*��

3����� ����� � ������� <������� ������ �� ������������ ���� ����� ���� �� ����� ������� ��� ��� � � � �� ��� �� ������ ������� ��� �� ���� � ������ ����� ���� ��� �� �� ���� � � � �� �� � � � � �� � � �� ;������ � ����� �������� �� ��

<��������G-<��������G-�: -: -�:: � � �H�H�

�� ����� � ��� ������� ���� �������� �� ����� ������ ��� � � �������

;�0�������� �� �� ����� �� ������ ���� ������ �� ��� ��� ���� �� ������ ����

������ ��� � ������� ;�0�� ���� ��� �� �� ����� ���� ������

Page 52: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

;�0�������: G�:�;�0�������: G�:����:�:���9:��H�:��H�

�� � ����� �� �� ��� �� �� �� �� �� ��� ���� � ��� ���� ���� �� �� �� ���� ��(�� �� ��� !� �� �� �� ���� �� �� �������� � ������� �� �� �� ������ �

;�0�������: G�:�;�0�������: G�:����:�:���9H�H�

��� �� ������ �� �� � �� (�� �� �� �� � � �� �� ������ ;�� � ������ ������� ������ �� �� ���� �����"

������ ������ ;�0����?�: G�::$:�H�;�0����?�: G�::$:�H�

"#���� "#���� ��%������$$$������� ������ ;�0����?�: G�:�:AH�;�0����?�: G�:�:AH�

"#���� "#���� �%������%��������

)� �� ��� ������� ���� �� ����� ���� �� ��� ���� ���� ��� � �� ����� ���� ���� l �� �� q �� ��� ���� ��� ������� <��������C� ���� �� ���(�(�� ��� ���� ���� �� �� <��������G%�:��:�%:���:��H��� ��� ����� �� ��� ����� �� � ��� ��� ����� ��� � � <������� ��� �� ��� �� ��� �"#���� ����� �� �� �������� � ���� � ��� ��0 ��%��� �� ���� ����� �������� ���� �� �� ��� ���� � ���� ����� ������ )���� � ������� � � ��� ���� ����� ������� ���� �� ���� � ����� � ��� �� ���� �#� ��� ���� �� ������� �� ���� ����� � �� � � �� �� ���� ���� �� � � �� ��� ��� �� �� � � � ������'�� ����� ����� � �� �� ������� ��� � �� ����� ���� � ��� ��

��� ���� ���� ��� � ���� � �� �� ����� � ���� ��� ��� ���� ���� ������ ������ �� �� ���������� ���� �� <������� �� � ����� � �� �� �� �� ���� � ������� ����� �� �� �� � �� ���� � ����� � ��� ������ �� [� ���� �� ������� ����� ���� ���� � ���� � ��� ������ � ��� ����� �� ��� ���� ���� � ��� � ��� ���������� ��� !�� (�(�� ��� � ���������� �� �� ��� � �� ������� ���� ��� � ��� ������� <������� �� ���!��� �� ��� ���� ���� � ���� � �� � �� ���;�0�� �� ������ ��� ���� �� ���� >��� ��� ������� ���� (��%� �� �� � �������

<��������GG9<��������GG9�:-:-�H: G9H: G9�: -: -�H: ///: G9H: ///: G9�: -: -�HH�HH�

�� �� ����� ���� �� ���� � �� ��������� ��� ��� ��� � �� � � � � �� �� � �������

;�0���G����:����H: G�: �;�0���G����:����H: G�: ��: �: ����H�H�

�� ����� � �� �� �� ����� � ������ ����� � �� ���� ���� �� &� ���� � ���� �� ������ �� � � ���� � � ��� ��� ����� ���� ��� �� ���� �� ����� ����� ��� ��� ���� ���� ����� �� � ���� �� �� �� ����� �������

Page 53: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ o" �4 #B&�6#' ./pk^ !)4 kDf.jk,. !)4 $ #BB�4) &$' 64'&)' ��

<��������;�0���G�:����H: G�: �<��������;�0���G�:����H: G�: ��: �: ����H��H��

�� ��� ������ �� ��(�(��� � ��� ���� � ������ ��� �� �� �� ����� ���� ��������� � ����8� ������� ��� � �������� ��� ������� � ;�0�� ������ �� ������� ����

������� � ���� � �� �������� � ������� ��� ���� �� ��� �� ��� �� ������������� ����� ���� �� ��� ����� ����� ���� ��� ��� ���� �#� � �� ����� �� ��������� ��� � �������

�����;�0�����9: ��: G�: : 3H�: G9: �: 0H������;�0�����9: ��: G�: : 3H�: G9: �: 0H�

������ ���� �� ��� � �� ������ ����� �� � ��� ����� ���� ��� ������� ���� ����� � ���� �� � � � �� ��� � ������� #����� ��� ��� �� �� �� �� � ��� ���� �� ����� �" $ ������� ;�0�� �������� ��������� ���� ���� ��� ����������� �� ������ ��� ����� � ��� ���� ���� �� ���� ;�0�� ���9����� ����3�

�� ��� �� ���� � ��� �� ��� ����� ��� �� ��� ��� ������ �� � �� ���� � ���� ������ � ����� �� ��� )� �� ��� � ������� ;�0�� �������� ���� ���� ������ �� �� ����� � ���� �� �� �� �� ���9��� � � � ��9�3�� ��� �� �� ���(�� � �������� ���� ���� ������ � ��� ������� ���� � � ��� ������ � ������� ����� 3� ����� ��� ������� �� ������ �� �� ������ � �� �������� ��� ������� �

;�0�� � ������� �&��#��� � ���� � ��� �� ���(�� � ����� " -�� ���!���� ��� ������������ ���� ���8� ����� ������ �������� �� �� � ���� �����"

������ ������ ����������&��#����;�0���;�����!9�: G�: : �H��:��&��#����;�0���;�����!9�: G�: : �H��:G9: �: �H�G9: �: �H�

"#���� "#���� �J �5��*��

Page 54: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

'����� �� ���� �� �� � � ������� ����� ������� � �� �� �� ����� �� ��

�����G;����9�: ;�����9�: ;�����9�:�����G;����9�: ;�����9�: ;�����9�: ����H:G9: �: �H�H:G9: �: �H�

������� ���� � ���� � ��� ������� � �&��#��� �� ;�0��� )�����(�� �� ���� ��� �� � �� ����� ���� �� ����� ���� �� � ��� ��� ����� ��� �� ������� ������ � � ������� � ��� ��� �� �� ��� ����� �� � �� � ��� ��� �� �� ��� ������ ��������� ����)� ����� ����� ��� ���� �� � � �� ���� ��� ������ ?kSQHA �� �� �� ���� ��

������� ��� �� ����� �������������� '��� �� ������ �� ������� ��� ������

�� ����������� ����������� �������� ������������ ��� ������� ���� ������ � ����� ����� ���0�*� � � ��� �� �� ���� � ������� �� �� �� ��� ���� �� �� �� ����� )�� ����� �� �� �� �� � � � �� �� ������ � ��� �� �� ��� ����0�*� � � ��� �� ���� ��� ���� �� ���� � ��� ����� ��� ��� �� �� �� � � � ?���� ������ � �� ���A� ���� ���� �� ������� �� ��� �� � ������� � ����� ��� �G��9�: 0�9�: *�9�:///H: G9: 9���: 9��9H� �� '�G��9�:0�9�:*�9�:///H: G9:DH� ����� ��� �� �� ���� �� ��������� ���� �� �� ������ ��� ��� ������� ��� ���������� ���� ����� ;������ ��� ���� �� �� � �� ������ �� �� ��� ������� � ;�0�����9:��: G�::3H� ��� �� �� ����� � �� �� ���9�����9���� � � � ���9�3����� �� �� �� ����� ������� �� ���� ������� ����� ��� ��� �

����� ��� �;�0�����9:��: G�::$$H�: G9:9����� ��� �;�0�����9:��: G�::$$H�: G9:9���:9:9��9H�H�

�� ��� � �� ����� (����� �� �� �� ��������� ���� ��� �������� �� ������� �������� ���� �� �� �� �� ������ @)� ��� �� �� ��� �� ��� �� ��� �� �� ��� � �� ���� ��� �� ������� �� ��

������ %���� ��� � ����� � ��� �� ����� �� ������� ���� ���������� ������ ����� �� ��� ���� � �������� �#� � ������� ����� ��� ��� � �� ��

@ GG�:0H:G*:�HH@ GG�:0H:G*:�HH

�� ������ �� �� �� � ��� ��� � � �

� �

� �� ������� � ���� ��� �

�������� ������� ��� ����" 8� ������ � �� � ��� ��� ��� �� �� �� ����� ������� ��� ������� �� ����� � ��� �� �������� � ������ � ��� ��� �����&� ��� �� ��� �� ��� ������ �� ��� �� �� �� �� ���� �� ����� ����

������ ���� �� ���� ������� ����� ��� ��� ������� ����������� ��� �� ����

��� ��� �� �� �� � ����� ��� ������ ����� �� ������ �� �� ������ �� ����� ������� � ���&�� �#�� ��� ��� ������ �� �� �� �� �� "#��� ��� �� �� ��l ? ��� IJA ��� �� �� �� ������

GG 9 � H: G 9 � H: G 9 � �HH

�� �� ������� �� �� �� ���� ������� ����������� ��� � ����� ��� ����������� ��� ��� � � �� � ���� �� �� ������� �� ����� � �� ���������� ������7� ���� ��� ���� �� �������� � ���� � �� ��� �� ����� ����� ��� �������� ���

Page 55: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ o" �4 #B&�6#' ./pk^ !)4 kDf.jk,. !)4 $ #BB�4) &$' 64'&)' ��

�� � �� ������� �� �� ���� � ?� ���� ��� �A ���� ����� � ����� �� ��� �� ������������ � ��� � ��� �������� ����������� 2/ �� ��� � �������� ����

������� ���� �� ���� �"

���%�� ���%�� ��9�2/G9 K �H��9�2/G9 K �H

"#��%� "#��%� ���������� ������ ��9�2/9 K ���9�2/9 K �

"#���� "#���� �������A�� ���A�� ��9�2/GG9 K �H: G9 K 0HH��9�2/GG9 K �H: G9 K 0HH

"#��A� "#��A� ��������0��

�� ��� �� ���� ���� ����� ���� ��� ��� � �� � �� �� � ��� ������� � ��������� �� �� �� ��������� � ��� ���� ��� � ��� ����� ������������8� (�� � �� ������� ��� � ����� ��� -�9�2/C �� -�9�2/��� ���

��� ������ ��� ���� ���� �� ���� � ��� '���&� �� 3'���&� � ������ ����� ���� ������ ;������ ��� �� � �� �� �(��� C �� ��� ��� �� �� ����� �� ��(����� ����� ��� ���� ����� "#� ���� �� �� ��� �� �� ��� ����� ����������� �� �� ��� ������ � G-�9� K ��9�H���� �� ��� ��9� � ������� ���� ������ ��� ��� ��� ��� �� �� �� ��

-�9�2/���-�9�2/��� � -�9�2/G-�9� K ��9�H-�9�2/G-�9� K ��9�H

���� �� �� ������ �� �� ��� �������� �� �� �� �� �� � ���� � � ��� -�9� �� ����� � ��� ��� � ���� �������� � ����� ��� �� �� ����� ����� �" ����� (��� ���� ������ �� ���

��� ��� -�9�2/��� �� -�9�2/C ������ ��� �� ������ �� ��� �� �� C �� ������ ���� "#�� ��������� ���� ������ ����� �� � �� �������� � �� ���� ���� �������� ����� ��� �� ����� ���� �������� �� ��� �� �� ���� � ����� �� ��� ���� ���� �� ��� )'!$'$ J�L�

������ �#� �� ��������

�� n���� �� ���� �� ���������� �� �� ��� �

�A &� �� �� ���� ��� ���� � ��� ���������� � �� ��� ��� ����������� ��(�� ����

(A &� ���� � ��� ���� ��� �� ���� � ���� � �� �� �� ���� � ��� �� ��� ������ � � � � ��� ���� ���� ������� ���� ����� � � ����

��� '��� ��������� ���� �� �� � ��� �� ������ "#� �� �� ����� � ��� ��� ��� ������� ���� ���� ���� ?)'!$'$ J�LA� �� ��� �� ���� �� ��� �� ��� � � ���� � ���� �� � ������������ � ��� ���� �� ��� ����� �� �� ������ ��

Page 56: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

�� '����� �� �� ��� ���� ��� ���� ��� ���� � �� �� ��� ���� ���� � � � �� �� � � ���� '����� �� � �� �� ���� � ��� ���� �� ���� ������ ����� ���� ������� ���"

�A ����� � ��������� � � �� � � � � �� �� � � � �(A ����� � ���� � � �� � � � � �� �� � � � ��

�� !�� ���� �� �� ��� ���� ��� ���� �� �� ���� � ��� ������ ����� 5?(A�

�� >����� �� ��� ��� �������� �� �� �� ��������� ���� ��� �������� ���� � � � �� ��5=�

�� &� �� � � �� ���� ��� ������ �� �� �������� �� ���������� �� ��� (�� (������� ���� ��� ����� ��� �� � � �� ���� ��� ������������ ����� �� �� ��������

�� � �� �� 8��������� � 8� ��������� �� ��� �� ������ �� �� �� �� �� ��� �� ����� �� ��� �� ���� ��� ��� �� ��� ��� ! � !� ;�� �� �� ����� � ����� ��� ���� ��� �� ��� �� ���������� �� ��� ��� ��� �� �� ����� �� ����� ��� ������� �� ����������� ����� ��� ��� � � ���� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� ����� � �� � ��� ��� � � �

� �

� �

#� �� %� ��� ������� �� �� �� �������� �� ���� �� � ������ ��� �� � �� ��� ����� � � ������� � ������������� �� ���� ������� �� �� �� ����� ��� �� � �� ����� �� ������� ����� � ����� �� ���� �� ��� �� ���� ��� ��� � C�(����� �� �� ����� ��� �� � �� ��� ��� ������ ��� �� ����� � � ��� �� ���� � � � �����B� ��������� ���� �� ������� �" �A ��� ���� (A ��� A <�� ���� & �� ������ %� �� ��� ������9�� � ��95 ��9��9 ��95 ��9�� �� ����� ���� ����� ��� ����� �� � ��� ����� ��� ���9�:G9:$:�������-H�b

������ ��� )*%������� ��� ���%( �#������� ��$��������� � ��*�� ; ���95���; ���95���, ; ��E��#*�; ��E��#*�, 1�*�� 1�*�� ,�95����95���, �� ����� ��� �!* !

$ ��� ��� ���� ���� � ����������� ������� �� � �� �� � ���� ��� ���� ����� ���� ��� ��� � �� ��� �� 8���������� � <� ���� �� 8�������� �� ���(�� (��� ����� �� ��� � !� �� �� ��� �� ������� ���� �� ������� ���� �� �(� ��� ������� ����� ���� � ��� ���� ������� �� ����� �� ����� ����������� ����� ���� ��� �� �� ���� ��� � �� ������ �� �� ����������� ����� ����� ������������� ���� �� ����� ������9�: 9� �� �� �� ����� ���� �� ��������� ���� ��� ��� ������ #��� �� � �� ��� � �� � ������� ?������� ��� �� �� �� ����A �� ��� � ���������� ��� ��� ��� �� ������� ��� �� �������� ������ ����� ������� ���>��� ����� �� ��� ���� �� ������� ����� ���� � ��� ���� ������� �� ����� �

���(���� � �� ������������ � ��� �� �� ������ ������ ��� ��� ����� ������� ���� �� ��� �� ��� �� ����� � � �� ��� ��� ���������� �� �� ��������� ��� ���� �� ��� �� �� ��

Page 57: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ 5=" )63#C24!#' !)4 &2437B�8#&24!#' &)>&�&$&#' ��

)�������� �� �� ������������ � ������ ����� �� ��� �� � ��� � ������ � ������� � �� �� � ; ���95��� �� ; ��E��#*�� ��� ���� �� ��������� ���� � ���� ������� ���� �� ������� �� ������� ����"

����� ����� ; ���95��������9�-��; ���95��������9�-��

"#��� "#��� )���-�����9� �)���9�����-������� ������ ; ���95����)����9��; ���95����)����9��

"#���� "#���� )���9�� �����9��

������ ������ ; ��E��#*��)���9�?��; ��E��#*��)���9�?��

"#���� "#���� ���)����9��

������ ������ ; ��E��#*������9�?��; ��E��#*������9�?��

"#���� "#���� �������9� ������9��

������ ������ ; ��E��#*��)���9�!)���-��; ��E��#*��)���9�!)���-��

"#���� "#���� ��)���9� -� �)���9�-��

#� �� ������� ������� �� � � ������� ; ���95��� ������� � ������������� � ������� �� �� �� ����� �� � �� ?��� ����� � ������ � "�� #�A � ����� ���� � ����� ��� �� ����� ���� ������������ � ������� ��� ������� �� � ��� ���� � ; ��E��#*� ��� �� ���(�� � �� ���� ����" )������ ���� ���� �� ����� ��� ������������ � ������� ��� �� ����� �� � �� � ����� ���� � ������������ � ������� ��� �� �� ����� �� � ���B� ������ ���� �� ������� ����"

���%�� ���%�� ; ���95����;����9��; ���95����;����9��

"#��%� "#��%� �)���9������9�

)���9�� ��)���9�����9��� ����9��)���9�� ��)���9�����9��

������ ������ ; ��E��#*��C�; ��E��#*��C�

"#���� "#���� ;����9����A�� ���A�� ; ��E��#*��)���9�?��; ��E��#*��)���9�?��

"#��A� "#��A� %�$)���9� ��)����9� � )����9��

���B�� ���B�� ; ���95����C�22���5���-; ���95����C�22���5���-

"#��B� "#��B� )���9��

Page 58: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

�� ��� ��� �������� � ��� � ��� ������ ��� �� �� ���5���- ������� ���� ��������� ����� �������� ��� �� ��(�(��� ���� ? � ����� ��� �� ��������A �� � � ������� � ; ��E��#*� �� ; ���95��� �� ���� ���(�� ����� ������� ��� �����;�� �� ���� ���� ��� ������� � � ��� ������ ���(���� � �������� ���

?�� �� ��� � ���(�� �� ��� ������ � �� ��� � ������� �����A �� �� ��95��� �� 1�*�� �� �������� ���� ������� ���� �������� � ���� ������ �����"

���$�� ���$�� �95����=9�->?���95����=9�->?��

"#��$� "#��$� 9� ��9�-�$9�-� �$9�-� ��9-� �-������ ����� 1�*�� �C�1�*�� �C�

"#��� "#��� �9�-��

������ ������ 1�*�� �9?%�1�*�� �9?%�

"#���� "#���� ���9���9���9�9����9�9�������� ������ �95����C��95����C�

"#���� "#���� ��9%

'��� � ���(�� �� ��� ������ � �� ���� ��� �� � ������� � ;������ ��@5� � ��� ������� ����� � ������ �� � ��� ���� �� �� ��� ��� ��?(�� ������ ��� ���� � �� ����� �������� ��� A ���� � @5� � ��� �� ���(�� ��� ���� ����" ���������� ��� ������ �� ��� ������� ��� �� �� ��� ���� ����� ���� �� ���(���� ����� � �� �#�� ������ �������� ����� ������ �� �� ���� �"

������ ������ @5� ��=�9?�>2=9�>?��@5� ��=�9?�>2=9�>?��

"#���� "#���� ���9� �

��9��� �

��9��� %�9

������ ������ ;������ �C�;������ �C�

"#���� "#���� �9���9��

��� ����� �� ������ ���� �� ������ ?)'!$'$ J�IA� � ������� � �� �� �� ��� �� �� � �� ��� � � ��(�� ���� ������� �

#������ r ��� ��s � ��� �� tt #������������� ��� �������� �� ���� ��� � ?���B�A �� �� ��

; ���95����C�22���5���-� ���5���-�; ���95����C���

Page 59: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ 5=" )63#C24!#' !)4 &2437B�8#&24!#' &)>&�&$&#' ��

8� �� ��� ���������� ����� � � ���������� � ���� ��� �� �� � ���� ������ ��� ���� ��� �� ���� � ���� .NWXTU� �� �� ���� ��� ��� ���� � ��� ��� ����� ��� ��� ���� ��� ����� ����� �������� ���� � ���������� �� �� ������� �� ����� ��� ���� �� �� ��� �������

�� ������9�: G 9:9�� ������9�: G 9:9�:�H�:�H�

��� ���� �� ������ ��������� ������� ���� �� �� �� ���� �"

���%�� ���%�� �� ��������9�: G9:$:$H��� ��������9�: G9:$:$H�

"#��%� "#��%� 9 � 9�

%� 9�

�$� 9�

�$�$� 9B

�%�AA$� $�9�

������ ������ �� ��������9�:G9:��2�:%H��� ��������9�:G9:��2�:%H�

"#���� "#���� ��

9� �

� ��� ��

9� �

� ��� ��$

9� �

� �%�$ 9�

� ��

���A�� ���A�� �� �����95�����9��:G9:$:AH��� �����95�����9��:G9:$:AH�

"#��A� "#��A� �9�9�

��9

A� 9

�� 9%

��$� 9

B$� �9

A

��%$�$�9�B

&�� ���� �� ��� �������

<�������9�: 9 K 9<�������9�: 9 K 9���

� ���������� ��� ������ �� �� ������ ���� ����� ���� ������� ���� �� ��������� �� �� ����� �� ��� ���� ��� ��� � �� ���� �� �� �� ���� �� ������ ������ � � �� ������� ��� �� �� � ���� � ��� ����� �� ��� k�]TQFSHNX�� �� ������ ����� ;�� ������ ������� ���� �� �� �� ���� �"

���B�� ���B�� <����������!9�29: 9 K $�<����������!9�29: 9 K $�

"#��B� "#��B� �

����$�� ����$�� <�����=9?�%>2=9�>: 9 K ��<�����=9?�%>2=9�>: 9 K ��

"#���$� "#���$� ��

#� �� ������� ���� �� ������� �� �� � � ���������� �������� �� �� ����������������� ������� �� �� �� �� ��(����� ������ ��� �� �� ������ � �� �� �������� �� ���� ���� ����� � ����� �� �� ��� � � ����� � ���� � �� ���� ���������� � � ������ �� � ��������� � (��� ����� ����� ��� � �� �� ��� ��� � ���� ���� ���� ?#�� ��� �� oA �� � �� �� ��� � ������ �� ���������� ������� ����� ������� � ����������� ��� 1 �������� 2������� ?pRQQRX� kRiREYUR�>������������ � �����A �� �� �� ��� � ������������� ��� �� �� � �� ���� ���

Page 60: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

���� � �� � � ���� � ��� ������ ���� � �������� � ���� � ����� �� ��� �� �� ���� �� �� ��� ������� ��� ��

����� �� ������� ���� �������� ��� �� �������� ��� ��� ����� �� � �� �� � �� ��� �� ������ � ��� ��� ����� � ���������� �������� �� ������ ������ ���������� �������� ������� �� �� �� �������� ����������� &� ���� �� (�� (����� �� ������ ��� ����� ��� ��� $ ���������� ��� �� �� �� ��� �������������������� �� � ������ � ���� ��� ����� �� ��� ������ ������� ;�� �� ���������������� ��� �� ���� �������� ����� ����� �� ����� ���� ��� �� ������������ �� � ��� ������ ���� �� �� �� ����� �������� � ������� � �� �� ���� �� ������� � � ��������� ��� � ���� � �� ��� � ����� ����� � ��(������ � ����� ���� ��

������ �#� �� ��������

�� )���� (�(����� �� ��� �� �� ����� ����� ������� �� � � ������� � ; ���95��� ��; ��E��#*� ������� ��� �� � ����(����� � ������� ��� ������� �� �� � ���������� ����� ����� ������ ������ ����� � �� ���� ������ ������ ��"

�A �� �� �A � �� ��

(A � ���� �A � �� ��� ��A ��� � ��� �A ��� ��� ���A �� �� �A ������

�� #����� �� �� ���� ������ �������� �� �������� ������������ � ������� ��� ����� �� ����� ���� � ������������ � ������� ��� �� ��� ���� ��������� ���� �"

�A � �� � �A �� � ��

(A �� � �A �� � �� �

A ��� � �A � � � ��� ��

�� #����� �� �� ���� ������ ������������ � ������� �� �������� � �� ��� ���� � ������������ � ������� ��� ��� �"

�A � �� A �� ��

(A � � �� �A �� ���

'�� ������� �� ?A �� ?�A �� ������ "#� �� �� ����� ���� ��� ��� ��� ������ � �� �� ��� � �� �������� ��� � �� ���� � ��� �� ���� ��� ����� �� �� ���� ���������� �� �� ������ �� ��� 8� ��� ������� ������ �� � �� ����� b

�� '� ����� �� ���� �� �������� ���� ��� ������� �� ���(����� ��� ������� �� ��������� ����� ������� �� �� (�(����� �� �� � ��������� �� �� ��� ������ �� ���� ��

Page 61: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

)'!$'$ 5=" )63#C24!#' !)4 &2437B�8#&24!#' &)>&�&$&#' ��

�� 3��� %�� � ���������������� ��� �� ������� ���� �� ���� ������ ����������� ������� ��"

�A �� � � A �� � �� � �� � �� � �� �(A �� � ��� � �� � �A �� � �� ��� (�(����� �� � ��� ����� ���� ��� �������� ����� ������� ������ ��� ������

��� ���� ����� ������� � 3��� ��� ������������ �� � �� ���� � ?�Ab

�� #������ �� ��� ����� ����� ������� ��� ���������� � �� ������ ��� � �����

���� ���� �� ���� ������ ����� � ������� ��"

�A ������ � �� A ��� � ������ � ��(A ����� � �� �A ������ � ���� ���� ��� ����� �� �� ������ �� �� ������� ������ ��� ������ ��� ���� ������������ �

�� >����� �� �� ���� ������ ������ � ���� �"

�A � ��� �� � �A��

�� � � � �� �

(A � ��� ��� �A� �

� ��� ��

A�� � ����

� �� � �A ���� ���� ����

�� $ ���������� ������������ � ������ ��� �� ���� ����� � ���� �� ������

�������� � �� �� ���� ������ �� �� �� � ���� �� ���� �� ������� � ���� ��� ��� ��� ��� ���������� ���� ���� ��� ��� ��� � ��� ������� �"

; ��;��95 rRaFUs" #����� �� ������������ � ������� �� ��� � �������� ��

�95;�; �� rRaFUs" #����� �� �������� ��� � ������������ � ������� ����

#������ �� �� �� ������� �� ��� ���������� �

�A ��� �A ��� � ��� � ���

(A � � � �� � �A �� � � � ��

A ��� � � �A � ���� ���� (�(����� �� ����� �� � � �������� ��� �������� �� �������� �� ������ �� ����� (��� ���� ������ �� ��� ������ �� ���� ��

�� 4 ��� ��� � ������� ����� ������� � � ����(����� � ������� �� �� ���������

�������� b )� ��� ������� �� �� �� ������� �� ������� ��"

�A �� � ���� � � A � ����

(A ����� �� � �A ���� �

�� (�(����� �� ����� �� � � ���� ����� ������� ��� � �������� �� ��� ������

�� ���� ��

Page 62: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

#23)'&$24� 5" �6�!6$278)&) � #94'7'#4' � '&�4:#47;$ 32)<4!)��

��� �#�� �� ��� �� ��� ���������� ����� ��� ����� ����� ����� �� �������� � ������� � ������� �� �� � ��� ������ � ����(����� � � �� � � ���� �� ���� �� ������������� � �� ������ �� � � $��� �� � %��� ��� ������� �� ��� ��� ����������� ���� �� ����� ���� ���� ��� ���� $ ������� ��� ���������� ���������� ����� �� ����� ��� �� �� �

)��5��9�95������9��-��)��5��9�95������9��-�� ?5A

�� ��� �������� ���� ��������� �� � �� � �� � �� �� ��������� ������ � $������� ������� � ��� �� �� ���� �� ������

)��5��9�95������F�:GFH�)��5��9�95������F�:GFH� ?IA

�� ��� ��������� �� � �� �� �� ������ � ���� �� �� ������ �� �� �������� ���� ��� � ���������� �� ����� ����� ��� ���� ��� �� ������ ���� ��� � ���-R �� D_ � ;�� ������ ������� ���� ���� (�(��� ���� �� � � ?5A �� ?IA��� ���� ��� � �� ������� � �� �� �� ���� �"

����� ����� )��5��9�95��������9��!-��)��5��9�95��������9��!-��"#��� )����-�����9���)���9������-������� ������ )��5��9�95��������F�:GFH�)��5��9�95��������F�:GFH�"#���� )�������F������E��F����)���E��F����������F��

:�� ������ �� ������� ���� ���� �� ?5A �� ?IA ������ �� (����� ���� ��� �� ����� ���� (�� (�� �� � �� ������� ��� ��� ?5A� � �� ������� ���� � ��������� ������� ���� ��� ��� �� ���� ������ ������� �� ��� ������ � ����(����� � "

�A � �A ��

(A � �A ���

A � �A �

�A � � �A ���

�A �� A � �� ��

��� ���������� �� �� ��� ��� ��� � �� �� �� �������� ������

O@5� �O@5� �:: O;������ O;������ :: O�95���O�95���:: O1�*�� O1�*��

�� ����� ����� ��� ���������� ������� �� �� ����� �� ��� �� �� ���� �������� �� �� ��� ������ ������ ����� O#������ � ;����� �� ����� �� �� ���������� ���

OO#������

��� ������� �� ���� �� ����� ���� ��� ������� ���� �� ����� �� �� ��� ��������� ������ �� �� �� �� ����� �� ��� �� �� ���� �� ���� � ��� O �� OOb;�� �� �� ������ ���� �� � ��� �) �� � 5 ��� ���� ����� ��� ���� ���

Page 63: Preview Mathematica και εφαρμογές για επιστημονες και μηχανικούς

�� ����� �� �� � �� �� �� ��� ��� � �� � ��� ������� �� �� � �� � �� ��� � � ��� ����� �� ��� ��� � ��� ��� ����� ��� ���������� ��� ���������� ����� � ����� � �� � ���� �� ��� �� ��� ���� ����� � �������� ��� �� � � � ��� ��� ���� ��� ���� ��� � � � ��� ��� �� ������ ������� ��� �� ��������� � ������������ �� � ��� ��� �������� �� �� � ��� ������ � ������� �� � � ����� ������ �� � ����� �� ���� � ��� �� ���� ���� ��� ������� �� � ������� � �� ��� �� ��� ������ ���� ��� � � �� ��� � � �� � � � ������ ����� ����� ������ ��� ��� ���� � ���� ������� ����� ��� ��� ������ �� ��� � ��� � ������ �� ���� �� �� � �� �� �� ! ��� �� ��� � � � ��������� ��� ���������� ��� ���� ������ �� � � �� � ��� ������ ���� ��� �� �� � � ���� ����������� � ��� ���� � � ��� ����� � �� ! �� � ��! ��� ��� � ��� � ��� �� � ������ �� � ��� � ��������� � � �� � � �� � ����� ����

"� � � � � � � �� � ����� ��� ��������� ��� ��� � ���� ��� ����� � ���� #��� �� ������� ����� � � ��� � ��� � �������� ������ ���� ��� ������ �� ��� � ��� ��� $ ���� ��� ���������� ���� � � ���� ��� �� ����������� $���� �� ��������� � ����! ���� � �� ��! � ��� ����� ����� � ���� ��� ��� ������ ��� � �� � ��� ������� ���

������ �� ���������� �� ���� ��� �� � �� ���� ������ ����������� ������� ��� � ������ ��

%� � ��� ��� �� ��� ��� �� �� ����� � ������������ � ��� ������ ����� ��� ������� ���! ��� � � ���� ��� �� ���� �� ����� ���� $ �� � � � ��� �� �� � � � ����� � ��� ��� � �� � ������ � ��� � � ���� ��� �

������ ��� ��������������� ��� ����� �� �������� ��

������� �� ��������� ������ ��� ���� �

Η προεπισκόπηση

των επόμενων σελίδων

δεν είναι διαθέσιμη