Pitágorasfilósofo y matemático griego

Pitágoras (en griego antiguo Πυθαγόρας;Samos,[1] c. 569-Metaponto, c.475 a. C.)[2] fue un filósofo y matemáticogriego considerado el primer matemáticopuro. Contribuyó de manera significativaen el avance de la matemática helénica, la

geometría, la aritmética, derivadasparticularmente de las relacionesnuméricas, y aplicadas por ejemplo a lateoría de pesos y medidas, a la teoría de lamúsica o a la astronomía. Respecto a lamúsica, sus conceptos de I, IV y V, fueronlos pilares fundamentales en laarmonización griega, y son los utilizadoshoy en día. Es el fundador de la Escuelapitagórica, una sociedad que, si bien erade naturaleza predominantementereligiosa, se interesaba también en

medicina, cosmología, filosofía, ética ypolítica, entre otras disciplinas. Elpitagorismo formuló principios queinfluyeron tanto en Platón como enAristóteles y, de manera más general, en elposterior desarrollo de la matemática y enla filosofía racional en Occidente.

Pitágoras

Busto de Pitágoras en los Museos Capitolinos.

Información personal

Nombre denacimiento

Πυθαγόρας

Nombre en griegoantiguo

Πυθαγόρας ὁ Σάμιος

Nacimiento c. 569 a. C.Samos, AntiguaGrecia

Fallecimiento c. 475 a. C. (94 años)Metaponto

Residencia Samos y Crotona

Familia

Padres Mnesarchus

Cónyuge Téano

Hijos MyiaEducación

Alumno de Anaximandro

Información profesional

Área Filosofía,matemáticas, música,ética y astronomía

Conocido por Teorema de PitágorasArmonía de lasesferasAfinación pitagórica

Alumnos Filolao y Empédocles

Obras notables teorema de Pitágoras

No se ha conservado escrito originalalguno de Pitágoras. Sus discípulos —lospitagóricos— invariablemente justificabansus doctrinas citando la autoridad delmaestro de forma indiscriminada, por loque resulta difícil distinguir entre loshallazgos de Pitágoras y los de susseguidores. Se le atribuye a Pitágoras lateoría de la significación funcional de losnúmeros en el mundo objetivo y en lamúsica; otros descubrimientos, como lainconmensurabilidad de la diagonal de un

cuadrado de lado mensurable o el teoremade Pitágoras para los triángulosrectángulos, fueron probablementedesarrollados por la Escuelapitagórica.[3] [4]

Véase también: Filosofía presocrática

Fuentes biográficas

Pitágoras, detalle de La escuela de Atenas, de RafaelSanzio.

Los datos verificables sobre la vida dePitágoras son escasos dado que noexisten textos de su autoría ni biografíasfirmadas por contemporáneos.

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Los primeros escritos detallados, quedatan de entre 150 y 250 años después desu muerte, se basan en historiastransmitidas de manera oral y muestrangrandes diferencias entre sí. Asimismo,muchos mitos y leyendas se forjaron entorno a su persona, motivadosprobablemente por el mismo Pitágoras,pero también debido a la naturaleza de ladoctrina pitagórica y sus seguidores: unaconfraternidad hermética, regida por

símbolos místicos y costumbresesotéricas.

En los siglos posteriores a su muerte, lasanécdotas sobre Pitágoras y sus hazañasse vigorizaron, alimentadas por esta faltade información directa, pero tambiéngracias a la influencia de la escuelapitagórica misma. En el siglo I a.C., eracomún representarlo como un sersobrenatural. Algunos tratados inclusofueron escritos en su nombre y el de otrospitagóricos,[nota 1] y muchas fábulas e

invenciones fueron recogidas yexageradas por algunos filósofosneoplatónicos y neopitagóricos.[nota 2]

La más extensa, detallada e influyenteobra sobre la vida de Pitágoras y supensamiento data del siglo III d.C., esdecir, unos 800 años después de sumuerte. Diógenes Laercio (ca. 200-250) yPorfirio (ca. 234-305) escribieron dosVidas de Pitágoras, y Jámblico (ca. 245-325) Sobre la vida pitagórica. Estasbiografías son, con algunas

excepciones,[nota 3] las únicas fuentesdisponibles. Pertenecen a una época enque la figura de Pitágoras era vista demodo distorsionado y se basan, a su vez,en fuentes extraviadas, algunas de lascuales son de marcada tendencianeopitagórica y deliberadamenteorientadas a ensalzar a Pitágoras,presentándolo como el origen de toda laverdad filosófica, cuyas ideas habrían sidoplagiadas por Platón, Aristóteles y todoslos filósofos posteriores.

Diógenes es más objetivo, mientras quePorfirio y Jámblico guardan poco rigorhistórico. Jámblico cita como fuentes lasobras de Nicómaco y de Apolonio deTiana, incluye algunos datos biográficospero se centra más en el estilo de vida delos pitagóricos. Aristóteles habría escritoun trabajo aparte,[5] pero no se conserva;sus discípulos Dicearco de Mesina,Aristóxeno y Heráclides Póntico son, asíde tardíos como resultan, las mejores

fuentes en que se basan Porfirio yJámblico.

Las referencias encontradas en losDiálogos de Platón, se hallan situadasdentro de una estructura literaria que nopretende demasiada veracidad histórica.Las que se encuentran en Aristóteles,aparentemente más fidedignas,enmascaran una gran parte dereinterpretación. Ambos coinciden, sinembargo, en destacar la enorme influenciaque tuvo Pitágoras.[4] [6]

Biografía

El padre de Pitágoras fue Mnesarco, unmercader de Tiro, y su madre Pythais,originaria de Samos, en Jonia. La mayoríade los historiadores concuerdan en que suvida pública surge hacia el 532 a.C., entiempos de Polícrates y de Tarquinio elSoberbio.[nota 4]

Pitágoras vivió los primeros años de suvida en Samos y acompañó a su padre enmuchos de sus viajes; era ciertamente

instruido: aprendió a tocar la lira, a escribirpoesía y a recitar a Homero. Es posibleque su padre lo llevara a Tiro y que allírecibiera instrucción de caldeos y hombresinstruidos de Siria. Entre sus profesores,se menciona a tres filósofos: Ferécides deSiros, a quien a menudo se describe comoel maestro de Pitágoras; Tales y el pupilode éste, Anaximandro. Según Jámblico, ensu Vida de Pitágoras, a la edad de 18 o 20años, Pitágoras visitó a Tales, en Mileto. Sibien Tales ya debía ser un anciano en ese

entonces, habría ejercido una fuerteimpresión en el joven Pitágoras,interesándolo por las matemáticas y laastronomía, y aconsejándole visitar Egiptopara interiorizarse más sobre estascuestiones. Anaximandro impartía lasenseñanzas de Tales, lecturas a las cualesasistió Pitágoras, y muchas de sus ideassobre geometría y cosmología influyeronen su propia visión.

Fue creencia común en la Antigüedad quePitágoras emprendió largos viajes con el

Ciudad de Crotona en la Magna Grecia, área de

influencia de Pitágoras y los pitagóricos.

propósito de recopilar la informacióncientífica asequible de su épocadirectamente de las fuentes.[nota 5] Coneste fin habría visitado no sólo Egipto, sinotambién Arabia, Fenicia, Babilonia eincluso la India. El paso de Pitágoras porEgipto puede ser visto como más queprobable; Polícrates había establecido unaalianza y existían fuertes lazos entre la islade Samos y Egipto en ese momento. En525 a. C. Cambises II, rey de Persia,invadió Egipto. La alianza con Polícrates

se rompió y, tras la Batalla de Pelusium,Cambises capturó Heliópolis y Memphis.Según Jámblico, Pitágoras fue conducidoa Babilonia como prisionero de guerra porlos seguidores de Cambises. Allí, seasociaría con los «magies», instruyéndoseen sus ritos sagrados y los «cultosmistéricos de los dioses», así como lasciencias matemáticas cultivadas por losbabilonios. No está claro cómo obtiene sulibertad, si bien las muertes de Polícrates yde Cambises —ambas acaecidas en

522 a. C.— pueden haber sido factoresdeterminantes para que Pitágorasemigrara al sur de Italia y se establecieraen la ciudad de Crotona.

No existe ninguna certeza acerca deltiempo que Pitágoras pasó en Egipto o enel Este, ni de sus vicisitudes en Samos uotras ciudades griegas antes de su llegadaa Italia. Tampoco hay evidencia directa deltipo y la cantidad de conocimientos quepudo haber adquirido, ni de cómo llegó asus conclusiones filosóficas definitivas.

Algunos relatos sugieren que visitó lostemplos y participó en discusiones con lossacerdotes, iniciándose en los ritos ycreencias que luego impondría a lasociedad que fundó en Italia. Entre lasnuevas costumbres que Pitágoras adoptó,pueden mencionarse el secretismo, elvegetarianismo, el rehusar vestir ropashechas de piel de animales y suempecinamiento en la pureza. Sinembargo, es difícil determinar hasta quépunto Pitágoras es tributario de los

sacerdotes egipcios, o siquiera si les debealgo del todo; estas características sóloexhiben lo que fácilmente podría habersido desarrollado por una mente griegaexpuesta a las influencias ordinarias de sutiempo. Incluso las fuentes más antiguasapuntan a resultados similares al intentarconectar las peculiaridades religiosas yascéticas de Pitágoras con los misteriosórficos o de Creta,[7] o con el oráculo deDelfos. Porfirio señala que Pitágorasaprendió geometría de los egipcios, pero

dado el carácter meramente práctico delcultivo de esta ciencia por losmatemáticos egipcios, la influencia directaa partir de las enseñanzas de Tales y deAnaximandro parece más probable. De lasvisitas que realizara a varios lugares enGrecia —Delos, Esparta, Fliunte, Creta, yotros con los que se le relaciona—,Pitágoras aparece comúnmente retratadoen su carácter de religioso o de legislador.

Las razones por las que eligió Crotonacomo centro de sus actividades son

fuente de especulación. Según Diógenes,lo hizo para escapar de la tiranía dePolícrates, aunque es más probable quefuera debido al escaso éxito con quefueron acogidas sus enseñanzas en suciudad natal, además de que se le exigíaque participase de los asuntos públicos yde política. También se menciona la famade esta ciudad en el cultivo de la medicinacomo posible influencia.

En Crotona, fundó una escuela filosófica yreligiosa que rápidamente cobró

notoriedad y atrajo numerosos seguidores.Pitágoras fue la cabeza de esta sociedaddentro de un restringido círculo deadeptos conocidos como matematikoi.Según algunos relatos, se casó con Téano,de Crotona, y tuvieron una hija —Damo— yun hijo —Telauges—; otros dicen quefueron dos hijas —Damo y Myia—; otrosdan noticia de que ya tenía esposa e hijacuando llegó a Italia.

La evidencia sobre el lugar y el año de lamuerte de Pitágoras es incierta. Unas

fuentes indican que murió en 532 a. C.,[8] pero realmente, en 508 a. C. la SociedadPitagórica de Crotona fue violentamenteatacada y Pitágoras escapó a Metaponto,lugar donde terminaría sus días (algunosautores afirman que se dejó morir dehambre). Jámblico refiere la siguienteversión de los hechos: Cilón, un ciudadanonoble de Crotona, líder por nacimiento, ricoy poderoso, pero también violento ytiránico, deseaba ansiosamente participardel modo de vida de los pitagóricos. Se

acercó a Pitágoras, para entonces unhombre mayor, pero fue rechazado envirtud de los defectos de carácter antesmencionados. Cilón decidió tomarvenganza y juró perseguir a los pitagóricoshasta el último hombre. Ésta es la versiónmayoritariamente aceptada por loshistoriadores, pero Jámblico la discute,arguyendo que el ataque de Cilón fue unasunto menor y que Pitágoras regresó aCrotona. Ciertamente la SociedadPitagórica prosperó por muchos años

después de este acontecimiento y sepropagó hacia otras ciudadesitalianas.[nota 6]

Su tumba fue exhibida en Metaponto entiempos de Cicerón.

La hermandad pitagórica

Pitagóricos celebrando el amanecer. Óleo de Fyodor

Pitágoras fundó una escuela filosófica yreligiosa en Crotona, al sur de Italia, quetuvo numerosos seguidores. Se llamabana sí mismos matemáticos (matematikoi),vivían en el seno de esta sociedad deforma permanente, no tenían posesionespersonales y eran vegetarianos. Hasta 300seguidores llegaron a conformar estegrupo selecto, que oía las enseñanzas dePitágoras directamente y debía observar

Bronnikov.

estrictas reglas de conducta. Susmáximas pueden sintetizarse como:

que en su nivel más profundo, larealidad es de naturaleza matemática;

que la filosofía puede usarse para lapurificación espiritual;

que el alma puede elevarse para unirsecon lo divino;

que ciertos símbolos son de naturalezamística;

que todos los miembros de lahermandad deben guardar absolutalealtad y secretismo.

En la Hermandad Pitagórica eranaceptados tanto hombres como mujeres.Aquellos que no pertenecían al núcleoduro del grupo eran llamados acusmáticos(akousmatikoi). Estos vivían en suspropias casas, se les permitía tenerposesiones personales y no se lesimponía el vegetarianismo; sólo asistíancomo oyentes durante el día. Según

Krische,[4] las mujeres pertenecían a estegrupo; no obstante, muchas pitagóricasfueron después reconocidas filósofas ymatemáticas.

La escuela practicaba el secretismo y lavida comunal de manera muy estricta, ysus miembros solían atribuir todos susdescubrimientos a su fundador. De darlescrédito, el alcance y la cantidad de trabajode Pitágoras tendría una extensióninverosímil;[4] aunado a esto, no seconserva ningún escrito de Pitágoras

propiamente, por lo que la distinción entresus trabajos y los de sus seguidores es dedifícil demarcación. Las contribuciones delos pitagóricos y su enorme influenciafueron determinantes para el desarrollolas matemáticas, la astronomía y lamedicina, entre otras ciencias naturales, yes razonable dar crédito a Pitágoras pormuchos de sus hallazgos.[9]

Con respecto a las prácticas y estructurainterna de la hermandad, sólo algunostrazos característicos pueden ser

considerados fidedignos, como la prácticadel ascetismo y la metempsicosis. Todaslas narraciones sugieren que susmiembros guardaban absolutohermetismo sobre lo que allí se hacía, yera una máxima conocida el que «no tododebe revelarse a todos» (Diógenes,Aristóteles). Las especulacionesfilosóficas, religiosas y políticas másprofundas eran posiblemente discutidasentre los miembros más selectos,mientras que los estudios científicos

ordinarios —matemáticas, música,astronomía, etc.— estaban abiertos atodos los discípulos. Tenían, al parecer,símbolos convencionales establecidos,que les permitían identificarse comomiembros de la hermandad aún sinhaberse visto anteriormente.[nota 7] Escuelas similares se abrieron en Síbari,Metaponto, Tarento y otras ciudades de laMagna Grecia.[4]

Se sabe que los pitagóricos seexpandieron rápidamente después de 500

a.C., que la sociedad tomó tintes políticosy que más tarde se dividió en facciones.En 460 a. C. fueron atacados y suprimidos,sus casas de encuentro saqueadas yquemadas; se menciona en particular la"casa de Milo" en Crotona, donde más de50 pitagóricos fueron sorprendidos yaniquilados. Aquellos que sobrevivieron serefugiaron en Tebas y otras ciudades.[9]

Cosmovisión

La filosofía de Pitágoras guarda estrecharelación con la Escuela jónica, en cuanto aque busca resolver por medio de unprincipio primordial el origen y laconstitución del universo visto como un

Modelo de los cinco sólidos platónicos. MysteriumCosmographicum.

todo. Pero al igual que Anaximandro,abandona la hipótesis de Tales yAnaxímenes, suplantando el terreno de lofísico por el de la metafísica.[4]

El sistema filosófico post-aristotélicosuele atribuirle a Pitágoras (o lospitagóricos) la adopción del monismo,principios incorpóreos de los que surgenprimero «el número», después «el plano» ylas «figuras sólidas» y finalmente los«cuerpos del mundo sensible».[10] Esta esla tradición que se encuentra por ejemplo

en Sexto Empírico (siglo II d.C.) o enAecio. Aristóteles deja en claro, sinembargo, que este era el sistemapitagórico que Platón había desarrollado, yque el principio de la «díada indefinida»pertenece a Platón.[11]

En lo que tanto Platón como Heródotollaman: «el modo de vida de lospitagóricos», Pitágoras es visto como elformador de un grupo selecto y privado,que abraza ideas religiosas, cuestioneséticas y gérmenes de ideas científicas. Las

evidencias más tempranas dejan claroque, sobre todas las cosas, Pitágoras tuvoéxito promulgando una nueva y optimistamirada sobre el destino del alma despuésde la muerte y un modo de vida atractivapor su rigor y disciplina que le valiónumerosos seguidores.[6] Dicearco (sigloIV a.C.) confirma enfáticamente laevidencia a favor de un pensamientocercano a la metempsicosis o a lareencarnación, según el cual las almashumanas renacían en otros cuerpos

después de la muerte, en primer lugar alseñalar las dificultades de determinar conexactitud el pensamiento de Pitágoras, ydespués al aseverar que la másreconocida de sus doctrinas era "que elalma es inmortal y que transmigra enotros animales".[12]

La observación de múltiples relacionesnuméricas o analogías al número en losfenómenos del universo, eran laconvicción de que en los números y en susrelaciones «armoniosas» los pitagóricos

encontrarían los principios absolutamentecerteros del conocimiento. Aristótelesenuncia la máxima fundamental de lospitagóricos de varias maneras, como porejemplo: «los números son cosas ensí».[11]

«Pitágoras más que nadie parece haberhonrado y avanzado en el estudio de losnúmeros, arrebatándoles su uso a losmercaderes y equiparando todas lascosas a los números» (Jenócrates).

Para los pitagóricos, el elemento fuego erael más dignificado e importante,[nota 8] erael principio vivificador del universo.Ocupaba la posición más honorable deluniverso -el extremo. Alrededor de estefuego central llevaban a cabo su danzacircular los cuerpos celestes, la esfera delas estrellas fijas y (en orden) el Sol, laLuna, la Tierra y la Antitierra -el«complemento» de la Tierra.[nota 9]

La idea pitagórica del 'cosmos' fuedesarrollada en una dirección más

científica y matemática por sus sucesoresen la tradición pitagórica: Filolao yArquitas.

Astronomía

Pitágoras enseñaba que la Tierra estabasituada en el centro del universo, y que laórbita de la Luna estaba inclinada hacia elecuador de la Tierra; fue de los primerosen revelar que el «Lucero del alba» era elmismo planeta que el «Lucero de la tarde»,

Venus.[13] Sin embargo, según Teofrasto,fue Parménides quien descubrió laesfericidad de la Tierra[10] así como laidentidad del Lucero del alba;[10] la autoríade Pitágoras parece provenir de un poemadedicado a él, así como de la tradición quesitúa a Parménides como alumno dePitágoras.

Filolao afirmaba que la Tierra se movía,pero no sobre su propio eje, sino alrededordel «fuego central», concepto que noequivalía al Sol, sino que para él era una

fuerza situada en el centro del mundo. Eldescubrimiento de la rotación de la Tierraalrededor de su eje se atribuye alpitagórico Hicetas de Siracusa,[14] ideaque también enseñaban Ecfanto deSiracusa y Heráclides Póntico.[15] Lateoría de un movimiento combinado de laTierra alrededor de su propio eje y tambiénalrededor del Sol, en cambio, no fue obrade los pitagóricos sino que fue afirmadapor primera vez por Aristarco de Samos,astrónomo aristotélico.

Música

Monocordio. Instrumento usado por Pitágoras parainvestigar la equivalencia entre números, pesos ysonidos. Se le atribuye el concepto de I, IV y V (tónica-dominante). En él se basó la música griega antigua,utilizándose también en la música clásica. Hoy en díaesos conceptos son los pilares de la músicacontemporánea.

Se le adjudica a Pitágoras eldescubrimiento de las leyes de losintervalos musicales regulares, es decir,las relaciones aritméticas de la escalamusical.[16] Diógenes Laercio le atribuyela invención del monocordio, uninstrumento musical de una sola cuerda.Ilustra la ley según la cual «la altura delsonido es inversamente proporcional a lalongitud de la cuerda». Los principios de lamúsica fueron sin duda tan importantespara el sistema pitagórico como los

principios matemáticos mismos, o lasnociones sobre «números». La expresiónde la Naturaleza en términos matemáticos-como las proporciones y las razones- esuna idea clave dentro de la filosofíadesarrollada por los pitagóricos. «Estosfilósofos notaron que todos los modos dela armonía musical y las relaciones que lacomponen se resuelven con númerosproporcionales».[11]

La afinación pitagórica es una gamamusical construida sobre intervalos de

quintas perfectas de razón 3/2. Lasfrecuencias pitagóricas de la nota «Do»son las siguientes: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,128, 256, 512, 1024, 2048.[17]

Para los pitagóricos la música poseíaademás un valor ético y medicinal,«[Pitágoras] hacía comenzar la educaciónpor la música, por medio de ciertasmelodías y ritmos, gracias a los cualessanaba los rasgos de carácter y laspasiones de los hombres, atraía laarmonía entre las facultades del alma».[18]

La idea del orden y de que las relacionesde armonía regulan incluso todo eluniverso, se encuentran presentes en todoel sistema pitagórico. La armonía delcuerpo y la armonía del cosmos eranvistas por igual, dentro de un sistemaunificador. Platón dirá que música yastronomía son «ciencias hermanas» (cf.«la música planetaria» o «armonía de lasesferas).[19]

Pitágoras habría establecido que lasdistancias entre las órbitas del Sol, de la

Luna y de las estrellas fijas correspondena las proporciones octava, quinta ycuarta,[20] de «la voz de los siete planetasde la esfera de las [estrellas] fijas» y de «laesfera encima nuestro que llamamos Anti-Tierra», hacía las nueve Musas.[21] [22] Losintervalos (espaciales) entre los cuerposcelestes se disponían de acuerdo con lasleyes y relaciones de la «armoníamusical».[23] Los cuerpos celestes en sumovimiento no podían no ocasionar uncierto sonido o incluso notas,

dependiendo de sus distancias yvelocidades, determinadas por las leyesde los intervalos armónicos (musicales),las notas en conjunto formaban unaescala musical regular o armoniosa; «estamúsica no la podemos oír, ya sea porquesiempre hemos estado acostumbrados aella y no la podemos distinguir, o porque elsonido es tan potente que escapa anuestras capacidades auditivas»(Aristóteles, Porfirio). «Pitágoras tendía suoído y fijaba su intelecto sobre los acordes

celestes del universo. Él solo, por lo queparece, escuchaba y comprendía laarmonía y el unísono universales de lasesferas [planetarias] y de los astros.»[24]

Matemáticas

Tetraktys.

La «ciencia matemática» practicada porPitágoras y los matematikoi difiere deltratamiento de esta ciencia que se lleva acabo en universidades o institucionesmodernas. Los pitagóricos no estabaninteresados en «formular o resolverproblemas matemáticos», ni existían paraellos «problemas abiertos» en el sentidotradicional del término. El interés dePitágoras era el de «los principios» de lamatemática, «el concepto de número», «elconcepto de triángulo» (u otras figuras

geométricas) y la idea abstracta de«prueba». Como señala Brumbaugh,[25] "Es difícil para nosotros hoy en día,acostumbrados como estamos a laabstracción pura de las matemáticas y elacto mental de la generalización, elapreciar la originalidad de la contribuciónpitagórica."

Pitágoras reconocía en los númerospropiedades tales como «personalidad»,«masculinos y femeninos», «perfectos oimperfectos», «bellos y feos».[25] El

número diez era especialmente valorado,por ser la suma de los primeros cuatroenteros [1 + 2 + 3 + 4 = 10], los cuales sepueden disponer en forma de triánguloperfecto: la «tetraktys». Para lospitagóricos, «las cosas son números»,[11] y observaban esta relación en el cosmos,la astronomía o la música.

Entre los descubrimientos matemáticosque se atribuyen a la escuela de Pitágorasse encuentran:

El teorema de Pitágoras. En un triángulorectángulo: «la suma de los cuadradosde los catetos es igual al cuadrado de lahipotenusa». Si bien este resultado y lasternas pitagóricas eran conceptos yaconocidos y utilizados por losmatemáticos babilonios y de la India

Teorema de Pitágoras.

desde mucho tiempo, fueron lospitagóricos los primeros que enunciaronuna demostración formal del teorema;esta demostración es la que seencuentra en Los Elementos de Euclides.También demostraron el inverso delteorema: si los lados de un triángulosatisfacen la ecuación, entonces eltriángulo es rectángulo.[26] Debehacerse hincapié además, en que «elcuadrado de un número» no erainterpretado como «un número

multiplicado por sí mismo», como seconcibe actualmente, sino en términosde los lados de un «cuadradogeométrico».[13]

Dodecaedro.

Sólidos perfectos. Los pitagóricosdemostraron que sólo existen 5poliedros regulares.[26] Se cree quePitágoras sabía cómo construir los tres(o cuatro) primeros,[13] pero fue Hipasode Metaponto (470 a. C.) quien

descubrió el dodecaedro.[nota 10] Sedebe a Teeteto la demostración de queno existen otros poliedros regularesconvexos.Ángulos interiores de un triángulo.Encontraron que la suma de los ángulosinteriores de un triángulo es igual a dosrectos, así como la generalización deeste resultado a polígonos den - lados.[13]

Un triángulo inscrito en un semicírculoes un triángulo rectángulo. Proposición

de origen pitagórico (según Diógenes).Construcción de figuras dada un áreadeterminada. Por ejemplo la resoluciónde ecuaciones como a•(a-x)=x² pormétodos geométricos.[13]

La irracionalidad de la raíz cuadrada de2. Los pitagóricos descubrieron que ladiagonal de un cuadrado de lado 1 nopuede expresarse como un cociente denúmeros enteros.[26] Este evento marcael descubrimiento de los númerosirracionales,[13] si bien a la época, sólo

podía entenderse en términos deinconmensurabilidad de magnitudes[números] «enteras», o «proporcionesgeométricas».[nota 11] Un método deaproximación (aproximación diofántica)posiblememente desarrollado porArquitas, utiliza el algoritmo de Euclides,y está presente en Los Elementos.[27]

El descubrimiento de los Númerosperfectos y los Números amigos.[nota 12]

Jámblico atribuye a Pitágoras el haber

descubierto el par de números amigos(220, 284).[26]

Medias. Los pitagóricos examinaronexhaustivamente las razones yproporciones entre los números enteros;la media aritmética, la mediageométrica y la media armónica y lasrelaciones entre ellas.[26]

Véase también: Desigualdad de las medias aritméticay geométrica

El descubrimiento de los Númerospoligonales. Un número es «poligonal»(triangular, cuadrangular, pentagonal,

hexagonal, etc.) si tal número de puntosse pueden acomodar formando elpolígono correspondiente (ver figura).Tetraktys. Se atribuye a Pitágoras elhaber ideado la «Tetraktys», la figuratriangular compuesta por diez puntosordenados en cuatro filas. Fue unsímbolo de especial importancia paralos pitagóricos, que solían juramentar ensu nombre.[28]

Influencia

Los testimonios pre-aristotélicos dancuenta de la gran fama que Pitágorasalcanzó en vida. La imagen moderna es lade un maestro en matemáticas, «el primermatemático puro» (dada la fuerteconexión con el «teorema de Pitágoras»de la geometría euclidiana), conocedor deciencias tales como la astronomía o lacosmología. Si bien fue uno de lospensadores más conocidos de su época,el elemento religioso parece haber sido elpredominante en su carácter, y su doctrina

mística la que más influenció a suscontemporáneos. Pitágoras pasa por serun experto en temas como la inmortalidad,la reencarnación del alma y su destinodespués de la muerte, ritos y ritualesreligiosos y de auto-control y disciplina.[6] Tanto Platón como Aristóteles coincidenno sólo en resaltar su influencia, sinotambién en situarlo como “fundador de unmodo de vida”. En particular, Aristótelessolamente menciona a «los así llamadospitagóricos» para referirse al pitagorismo

del siglo V,[nota 13] y no parece atribuirleuna continuidad filosófica iniciada enTales. Platón hace referencia al “fundadorde un modo de vida”[29] y no hace alusióna él cuando escribe sobre la historia de lafilosofía. Para ambos, Pitágoras no esparte de la tradición cosmológica ymetafísica presocrática.

Las instituciones pitagóricas nointentaban sustraer al individuo de susactividades sociales o políticas,dedicándose a la contemplación religiosa

o filosófica exclusivamente, más bienproclamaban la calma y un elevado tonode carácter; para los pitagóricos «la vidadebía exhibir tanto en lo personal como enlo social, una reflexión sobre el orden y laarmonía del universo».[4]

Después de la disolución de la escuela deCrotona, los pitagóricos se esparcieronpor otras partes de Grecia. Para lostiempos de Sócrates, ya hay evidenciacertera de Filolao, Lisis, Clinias, Cebes,Éurito y Arquitas. Estos filósofos

pitagóricos, entre otros representantes dela tradición helenística eran muy distintosa los primeros pitagóricos (del tiempo deCicerón), caracterizados por un granapego a la figura del maestro. Esteneopitagorismo se fue sumergiendopaulatinamente dentro del misticismofamiliar de los neoplatónicos. La tradiciónque asocia la metafísica platónica aPitágoras parece existir ya desde el sigloIV a.C., entre los propios discípulos dePlatón.[30] La clara distinción que hace

Aristóteles entre ambos y que está acordecon el desarrollo general de la filosofíagriega, termina por decantarse en favor deuna tardía tradición neopitagórica que seidentifica con un platonismo maduro.

Véase también: Historia de la filosofía occidental

Árbol de Pitágoras. Familia de fractales caracterizadapor la formación de triángulos rectángulos.

Eponimia

El cráter lunar Pythagoras lleva estenombre en su memoria.[31]

El asteroide (6143) Pythagoras tambiénconmemora su nombre.[32]

Véase también

Pitagóricos

Neopitagorismo

Neoplatonismo

Filosofíapresocrática

Temistoclea

Copa de Pitágoras

Afinaciónpitagórica

Martillos dePitágoras

Armonía de lasesferas

Filosofía antigua,misterios y magia

Notas y referencias

Notas1. Un falso libro atribuido a Timeo, era

supuestamente el modelo del Timeode Platón, y uno adjudicado a Arquitas,el modelo de las Categorías deAristóteles.

2. Así, se decía que brillaba, que tenía unmuslo de oro, o que podía estar envarios lugares simultáneamente(Comp. Heródoto, iv. 94).

3. Jenófanes, Heráclito, Heródoto, Platón,Aristóteles e Isócrates.

4. La información cronológica respecto alas fechas de nacimiento y muerte dePitágoras, así como la duración de suvida, han sido diversamenteestimadas en la Antigüedad y nopermiten fijar las fechas exactamente,aunque suele reconocerse que vivióhasta una edad avanzada (Guthrie, op.cit. p. 173). Aristógenes (citado enPorfirio, Vida de Pitágoras, 9) indicaque Pitágoras abandona Samosdurante el reinado de Polícrates, a la

edad de 40 años. Antíloco yEratóstenes sitúan su nacimiento afinales del siglo VII a.C. Por su parte,Jámblico calcula que tendría alrededorde cien años al morir (Vida pitagórica,265).

5. Diógenes, Porfirio, Jámblico

6. Según P. Gorman, esto refuerza la ideade que Pitágoras volvió a Crotona, ycita como evidencia su longevidad, asícomo el hecho de que varias fuentesaseguran que enseñó a Empédocles,

con lo que tendría que haber vividohasta después de 480 a. C. (P.Gorman, Pythagoras, a life, 1979).

7. Como la Tetraktys o el Pentagrama.

8. Por «fuego» entendían probablementealgo más puro y etéreo que el «fuegocomún» (Brandis).

9. Introducida probablemente pararedondear hasta diez.

10. Cuenta la leyenda, que Hipaso fueexpelido del grupo por no haberatribuido el hecho al «maestro».

Referencias

11. Hipaso de Metaponto -una vez más-es quien carga con la fama de haberrevelado el descubrimiento, y quiere laleyenda, que por esto fue ahogado.

12. Un «número perfecto» es un númeronatural que es igual a la suma de susdivisores propios positivos, sinincluirse él mismo. Un par de númerosson «amigos» si cada uno es igual a lasuma de los divisores propios del otro.

13. Metaf. 986a29 es una interpolación.

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7. Jámblico, 25; Porfirio, 17; DiógenesLaercio, viii, 3.

8. Error en la cita: Etiqueta <ref> no

válida; no se ha definido el contenidode las referencias llamadas pita

9. MacTutor History of Mathematics. Ver

Bibliografía

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Enlaces externos

Wikiquote alberga frases célebres de osobre Pitágoras. Wikisource contiene obras originales

de o sobre Pitágoras.Diógenes Laercio: Vidas, opiniones ysentencias de los filósofos más ilustres,VIII, 1 - 50 (Pitágoras).

Texto español en el sitio de laBiblioteca Virtual Miguel deCervantes.

Texto griego en Wikisource.

Pitágoras y la música como perfección ,en el sitio de la revista Sinfonía Virtual.Ovidio: Las metamorfosis, XV, 60 - 478.

Discurso de Pitágoras: textoespañol en Wikisource.

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XV: texto latino enWikisource.

Anónimo: Los versos áureos dePitágoras (Πυθαγορικὰ χρυσᾶ ἔπη, ca.300 a. C.; en latín, Carmen aurem).

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Texto inglés , con otrosfragmentos pitagóricos.

Texto griego de losVersos Áureos en PDF, contraducciones italianas.

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Pitágoras: sobre la abstinencia decomer animales , en el sitio AnimalRights History; en inglés.Hermann Alexander Diels: Fragmentosde los presocráticos (Die Fragmente der

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Pitágoras en el Proyecto Perseus.

Datos: Q10261 Multimedia: Pythagoras Citas célebres: Pitágoras Textos: Autor:Pitágoras

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