Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...
of 148
/148
Embed Size (px)
Transcript of Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...
Πιθαντητες και Στατιστικ
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν.
pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση.
g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y .
= Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
(Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1.
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Γενκευση: Πολυδιστατες τ.μ.
n-διστατη τ.μ. = συνρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : → Rn .
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμσιμο πλθος τιμν. pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) : απ κοινο σμπ.
pX1(x1) = ∑
E[g(X1, X2, . . . , Xn)] = ∑
x1,x2,...,xn g(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b] = a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Γενκευση: Πολυδιστατες τ.μ.
n-διστατη τ.μ. = συνρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : → Rn .
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμσιμο πλθος τιμν. pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) : απ κοινο σμπ.
pX1(x1) = ∑
E[g(X1, X2, . . . , Xn)] = ∑
x1,x2,...,xn g(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b] = a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Γενκευση: Πολυδιστατες τ.μ.
n-διστατη τ.μ. = συνρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : → Rn .
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμσιμο πλθος τιμν. pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) : απ κοινο σμπ.
pX1(x1) = ∑
E[g(X1, X2, . . . , Xn)] = ∑
x1,x2,...,xn g(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b] = a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικ&
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν.
pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Ορισμς διδιστατης τυχαας μεταβλητς
χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
διδιστατη τυχαα μεταβλητ = συνρτηση
(X, Y ) : → R2 .
P (X = x, Y = y): Απ κοινο συνρτηση πιθαντητας των X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Απ κοινο συνρτηση κατανομς των X, Y .
(X, Y ) διακριτ ⇔ Παρνει αριθμσιμο πλθος τιμν. pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): απ κοινο σμπ. χαρακτηρζει την (X, Y ).
Για την ρα περιοριζμαστε σε διδιστ. διακριτς τ.μ.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Υπολογισμο πιθαν., περιθριες
pX,Y (x, y).
pX,Y (x, y).
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης.
g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση.
g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y .
= Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Συναρτσεις διδιστατης τ.μ.
X, Y : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ πειρματος τχης. g : R2 → R : Πραγματικ συνρτηση. g (X, Y ) : → R τ.μ. : Χαρακτηριστικ του πειρματος τχης, που προσδιορζεται απ τα
χαρακτηριστικα X, Y . = Να τυχαα μεταβλητ.
Συμβολισμς: g(X, Y ), αντ g (X, Y ).
Πρβλημα: (X, Y ) διακριτ τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y). Ττε Z = g(X, Y ) διακριτ τ.μ. Ποι η σμπ. pZ(z); ; ;
Λση:
pZ(z) = ∑
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Διδιστατες τ.μ. και μση τιμ
Μση τιμ συνρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] = ∑ x
Μση τιμ γραμμικς συνρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
(Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1.
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Παρδειγμα 1: 3 ρψεις νομσματος
Π.χ. Τυχαο περαμα: 3 ρψεις δκαιου νομσματος.
X = Πλθος K.
Y= Πλθος K ως τα πρτα Γ (Y = 3 αν δεν εμφανιστον γρμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Γενκευση: Πολυδιστατες τ.μ.
n-διστατη τ.μ. = συνρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : → Rn .
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμσιμο πλθος τιμν. pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) : απ κοινο σμπ.
pX1(x1) = ∑
E[g(X1, X2, . . . , Xn)] = ∑
x1,x2,...,xn g(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b] = a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Γενκευση: Πολυδιστατες τ.μ.
n-διστατη τ.μ. = συνρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : → Rn .
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμσιμο πλθος τιμν. pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) : απ κοινο σμπ.
pX1(x1) = ∑
E[g(X1, X2, . . . , Xn)] = ∑
x1,x2,...,xn g(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b] = a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικς ννοιες Παραδεγμ. Δσμ. Ασκς. Μελτη Ορισμο Παραδειγ Πολυδιστ. τ.μ.
Γενκευση: Πολυδιστατες τ.μ.
n-διστατη τ.μ. = συνρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : → Rn .
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμσιμο πλθος τιμν. pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) : απ κοινο σμπ.
pX1(x1) = ∑
E[g(X1, X2, . . . , Xn)] = ∑
x1,x2,...,xn g(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b] = a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονμου - [email protected] Πιθαντητες - Στατιστικ - Διλ. 11
Βασικ&
