Persamaan 3 Momen Hal 1 dari pertemuan ke 6

Prepared by Y. Djoko Setiyarto Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer UNIKOM

PERSAMAAN 3 MOMEN (CLAPEYRON) Menganalisis Struktur Statis Tak Tentu dengan Clapeyron selalu melibatkan 3 momen pada 3 tumpuan. Berikut rumus yang diberikan:

B

A

L1, I1,

C

h c

h A

L2, I2,

t1 t2

A1= 0.5 x L x t1

a b

(L+a)/3 (L+b)/3A2= 2 x L x t2 / 3

L/2 L/2

P

q

t1= P x a x b / Lt2= q x L2 / 8

α1 α2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

2

2

2

1

1

1

1 2ILM

IL

ILM

ILM cBA

2122

22

11

11 6666LEh

LEh

ILA

ILA BA ++

−+

− αα

Langkah-langkah metode persamaan 3 momen: 1. Buat diagram momen pada bentang yang akan di analisis,

lalu hitung luas daerah diagram momen masing-masing bentang (untuk mencari A1 dan A2) dan tentukan juga titik beratnya (untuk mencari α1 dan α2). Jika peletakan mengalami penurunan tentukan besarnya hA dan hC. (bernilai + jika yang ditinjau AB dan BC, bernilai negatif jika yang ditinjau A0 dan AB)

Persamaan 3 Momen Hal 2 dari pertemuan ke 6

Prepared by Y. Djoko Setiyarto Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer UNIKOM

2. Gunakan rumus persamaan 3 momen untuk setiap 3 tumpuan dan hitunglah besarnya masing-masing momen. Untuk momen pada sendi/rol pada peletakan ujung-ujung struktur selalu diambil nol. Selanjutnya gambarkan diagramnya berdasarkan momen yang diperoleh dari rumus persamaan 3 momen.

3. Kontrol kebenaran hasil momen yang diperoleh dengan menghitung putaran sudut. Putaran sudut dapat dihitung secara conjugate-beam, dengan menganggap diagram momen yang dihasilkan dari beban luar dan diagram momen yang dihasilkan dari persamaan 3 momen sebagai beban merata. Hasil yang diperoleh harus sama pada 2 bentang yang bersebelahan {Contoh: θB (bentang AB) = θB (bentang BC)}

4. Jika dipenuhi kesamaan tersebut maka momen yang dihasilkan dari persamaan 3 momen dapat digunakan. Hitunglah reaksi peletakan dengan cara superposisi. (Akibat beban luar dipisahkan dengan akibat momen yang diperoleh)

BA C

t1 t2

A1A2

t2= 4 x 2 x 2 / 4 = 4t1= 2 x 22 / 8 = 1A2= 0.5 x 4 x 4 = 8A1= 2 x 1 x 2 / 3 = 4/3

α1 = 1 α2 = 2

+++ +

Persamaan 3 Momen Hal 3 dari pertemuan ke 6

Prepared by Y. Djoko Setiyarto Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer UNIKOM

2 m 4 m

t3 = - 7/ 3

- -

4/3 8/34/3

2/3

A3= 14/6 A4= 14/3

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

21

422II

M B II 4)2)(8(6

2)1)(3/4(6 −

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

IM B

62I28− →

37

−=BM = - 2,33

Kontrol Momen: Bentang AB

0,88/EI

EIEIB88,0

614

32

34

211

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−×=θ

(searah jarum jam) Bentang BC

0,88/EI

EIEIB88,0

314

348

211

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−×=θ

(searah jarum jam)

Persamaan 3 Momen Hal 4 dari pertemuan ke 6

Prepared by Y. Djoko Setiyarto Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer UNIKOM

Reaksi Peletakan

B

A

q = 2 t / m P= 4 t

C

Akibat beban luar

Akibat momen

2 m 2 m2 m

2

2,33 2,33

2 2 2

-1,165 1,165 0,5825 -0,5825

Reaksi Peletakan 0,835 5,7475 1,4175 Pada tumpuan A: VA akibat beban luar = ½ x 2 x 2 = 2 ton VA akibat momen = (- 2,33)/2 = - 1,165 ton Total VA = 2 – 1,165 = 0,835 ton Pada tumpuan B: VB akibat beban luar (lihat bentang AB) = 2 ton VB akibat beban luar (lihat bentang BC) = 2 ton VB akibat momen (lihat bentang AB) = 1,165 ton VB akibat momen (lihat bentang BC) = 0,5825 ton Total VB = 2 + 2 + 1,165 + 0,5825 = 5,7475 ton Pada tumpuan C: VC akibat beban luar (lihat bentang AB) = 2 ton VC akibat beban luar (lihat bentang BC) = - 0,5825 ton Total VC = 2 – 0,5825 = 1,4175 ton Kontrol : VA + VB + VC = 4 + 4 0,835 + 5,7475 + 1,4175 = 4 + 4 (OK!)

Persamaan 3 Momen Hal 5 dari pertemuan ke 6

Prepared by Y. Djoko Setiyarto Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer UNIKOM

Contoh 2: Persamaan 3 momen pada tumpuan A-B-C:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

IM

IIM

IM cBA

44222 ( )II 4

2862

1346

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛II

MIM BA 28122

………persamaan 1

Persamaan 3 momen pada tumpuan A0-A-B:

IIM

IL

ML

M cAA 2

1346

22~

2~

000

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛II

MIM BA 424

………..persamaan 2

Dari dua persamaan (pers.1 dan pers.2) diperoleh: MA = 0,18 tm dan MB = -2,36 tm Kontrol Momen. Putaran sudut di A (peletakan jepit) harus nol (θA= 0 )

EIEIA036,2

3118,0

32

34

211

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−×+×=θ

Bentang AB

EIEIB84,036,2

3218,0

31

34

211

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−×+×=θ radian

(searah jarum jam) Bentang BC

EIEIB853,072,4

328

211

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−×=θ radian (searah)

Persamaan 3 Momen Hal 6 dari pertemuan ke 6

Prepared by Y. Djoko Setiyarto Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer UNIKOM

Hasil persamaan 3 momen dapat digunakan untuk menentukan reaksi peletakan.

BA

q = 2 t / m

2 m

P= 4 t

C2 m2 m

BA C

t1 t2

A1A2

t2= 4 x 2 x 2 / 4 = 4t1= 2 x 22 / 8 = 1A2= 0.5 x 4 x 4 = 8A1= 2 x 1 x 2 / 3 = 4/3

α1 = 1 α2 = 2

+++ +

4 m

t4 = 2,36

- -

4/3

8/34/3

2/3

A4= 2,36

A5= 4,72

A0

I = ~, L = L0

A3= 0,18

2/3

4/3

t3 = 0,18

Menentukan Reaksi Peletakan Pada tumpuan A: VA akibat beban luar = ½ x 2 x 2 = 2 ton VA akibat momen = (- 2,36 + 0,18)/2 = - 1,09 ton Total VA = 2 – 1,09 = 0,91 ton

Persamaan 3 Momen Hal 7 dari pertemuan ke 6

Prepared by Y. Djoko Setiyarto Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer UNIKOM

Pada tumpuan B: VB akibat beban luar (lihat bentang AB) = 2 ton VB akibat beban luar (lihat bentang BC) = 2 ton VB akibat momen (lihat bentang AB) = 1,09 ton VB akibat momen (lihat bentang BC) = 0,59 ton Total VB = 2 + 2 + 1,09 + 0,59 = 5,68 ton Pada tumpuan C: VC akibat beban luar (lihat bentang AB) = 2 ton VC akibat beban luar (lihat bentang BC) = - 0,59 ton Total VC = 2 – 0,59 = 1,41 ton Kontrol : VA + VB + VC = 4 + 4 0,91 + 5,68 + 1,41 = 4 + 4 (OK!)

B

A

q = 2 t / m P= 4 t

C

Akibat beban luar

Akibat momen

2 m 2 m2 m

2

0,18 2,36 2,36

2 2 2

-1,09 1,09 0,59 -0,59

Reaksi Peletakan 0,91 5,68 1,41