Pengukuran Radian

� Dalam Trigonometri, pengukuran yang

paling sering digunakan selain pengukuran

sudut adalah pengukuran radian.

� Radian adalah pengukuran sudut pusat

dimana busurnya sama dengan panjang dari

jari-jari lingkaran.

s=r� s

r

�

Pengukuran Radian

degrees

360

radians°

=2π

� Terdapat 2π radiandalam satu putaran

penuh (sekali mengelilingi lingkaran)

� Terdapat 360° dalam satu putaran penuh

� Untuk merubah derajad ke radian atau

radian ke derajad, digunakan aturan

Contoh soal

� Hitung dalam pengukuran

sudut (derajad) yang sama

dengan

degrees

360

radians

210

360

r

°

°

°

=

=

=

= =

2

2

360 420

420

360

7

6

π

π

π

π π

r

r

degrees

360

radians

360

3 4

°

°

°

=

=

=

=

2

2

2 270

135

π

π

π

π π

d

d

d

3

4

π

� Tentukan pengukuran

radian yang sama

dengan 210°

Lingkaran Satuan

� Diberikan sebuah

lingkaran dalam

koordinat kartesius

dengan pusat di titik asal

dan jari-jari 1

� Tentukan sebuah titik

dalam lingkaran yang

berada di kuadran I.

Lingkaran Satuan

� Hubungkan titik asal dengan

titik yang dipilih dan tarik garis

lurus ke x-axis.

� Terciptalah segitiga dengan

panjang sisi miring sebesar 1.

Lingkaran Satuan

� Panjang dari kaki-

kainya adalah

koordinat x dan y dari

titik yang dipilih.

� Terapkan definisi

trigonometri maka x

y1

θ adl

sudut

positif

cos �=x

1=xsin �=

y

1= y

Lingkaran Satuan

� Koordinat dari titik yang dipilih merupakan

sinus dan kosinus dari sudut θ. �

�

sin �� �=y

1= y

cos �� �=x

1=x

Fungsi Trigonometric

sin( )θ = y

x

y1

θ adl

sudut

putaran

tan�� �=y

x

csc �� �=1

y

cos �� �=x sec�� �=1

x

cot �� �=x

y

Sepanjang Lingkaran

� Jika kita pindahkan

titik yang dipilih

keliling lingkaran ke

kuadran II, III, dan

IV, definisi baru dari

fungsi trigonometric

ini masih berlaku.

Sudut Acuan

� Sudut yang berada di kuadrant II, III, dan

IV akan mempunyai nilai sin, cos, dan

fungsi trigonometri yang lain yang identik

kepada nilai di kuadrant I kecuali tandanya.

� Sudut yang lancip yang menghasilkan nilai

yang sama disebut Sudut Acuan.

Sudut Acuan

� Sudut Acuan adalah sudut antara titik yang

dipilih dan busur x-axis yang terdekat.

� Sudut Acuan adalah sudut dimana sebuah

segitiga positif ditarik tegal lurus dari sebuah

garis yang ditarik tegak lurus terhadap x-axis

dari titik asal dan titik pilihan.

Kuadran II

Sudut Asal

Sudut Acuan

� Untuk sebuah sudut, θ,

di kuadran II, Sudut

Acuannya adl π − θ

� Di kuadran II, � sin(θ) positif

� cos(θ) negatif

� tan(θ) negatif

Kuadrant III

Sudut Asal

Sudut Acuan

� Untuk sebuah sudut,

θ, di kuadran III,

Sudut Acuannya adl

θ - π

� Di kuadran III, � sin(θ) negatif

� cos(θ) negatif

� tan(θ) positif

Kuadran IV

Sudut Asal

Sudut Acuan

� Untuk sebuah sudut,

θ, di kuadran IV,

Sudut Acuannya adl

2π − θ

� Di kuadran IV, � sin(θ) negatif

� cos(θ) positif

� tan(θ) negatif

Semua Sin Tan Cos

� Gunakan istilah �Semua Sin Tan Cos�

untuk mengingat tanda positif dalam uadran

SemuaSin

Tan Cos

Semua fungsi

positifSine positif

Tan positif Cos positif

Angles measured in degrees:

1sin 45 cos45 and tan 45 1

2

Angles measured in radians:

1sin / 4 cos / 4 and tan / 4 1

2π π π

= = =

= = =

o o o

Sudut Istimewa

Angles measured in degrees:

1sin 30 cos60

2

3sin 60 cos30

2

1tan 60 3

tan30

= =

= =

= =

o o

o o

o

o

Sudut Istimewa

The 16-Titik di Lingkaran Satuan

0

1/2

�2/2

�3 /21

1

�3 /2

�2/2

1/2

0

0

�3 /3

1

�3¥

¥

2

�2

2�3 /31

1

2�3 /3

�2

2

¥

¥

�31

�3 /30

�3 /2

�2/21/2

0

�1 /2

��2/2

��3/2�1

��3

�1

��3/30

2�3 /3

�2

2

¥

�2

��2

�2�3/3�1

��3/3

�1

��3¥

�1 /2

��2/2

��3/2�1

��3/2

��2/2�1 /2

0

��3/2

��2/2

�1 /2

0

1/2

�2/2

�3 /21

�3 /31

�3¥

��3

�1

��3/30

0

�2

��2�1

�2�3/3

��2

�2

¥

�2�3/3

��2

�2

¥

2

�2

2�3 /3

1

�3

1

�3 /30

��3/3

�1

��3¥

Identitas Trigonometri

� Identitas adalah sebuah persamaan yang

bernilai benar untuk semua peubah

(variabel)

� Terdapat beberapa identitas trigonometri

yang berguna dalam merubah penampakan

ekspresi.

� Harus dihapal!!!

Identitas Trigonometri

� Identitas hasil bagi

cos x=1

sec x

tansin

cosx

x

x=

cotcos

sinx

x

x=

� Identitas Pembagian

tan x=1

cot x

sin x=1

csc x

Identitas Trigonometri

� Identitas Co-fungsi� Fungsi dari sebuah sudut = co-

fungsi dari komplemennya

tan x=cot �90°�x �

sec x=csc �90°�x �

sin x=cos �90°�x �

Identitas Trigonometri

� Sin 60� = cos 30�

� �3/2= �3/2

� Sin(2�/3)=cos(�/3)

� Sec 60� = csc 30 �

� 2 = 2

� sec(2�/3)=csc(�/3)

Identitas Trigonometri

� Identitas Setengah Sudut

sin � x

2 �=±� 1�cos x

2

cos � x

2 �=±� 1�cos x

2

Identitas Trigonometri

� Sin 15�=sin (30�/2)

=

=

=

� cos (22.5�)=cos(45�/2)

=

=

=

� 1�cos30

2

� 1��3 /2

2

� 2��3

4=�2��3

2

� 1�cos 45

2

� 1�1/2

2

� 3

4=�3

2

Identitas Trigonometri

� Identitas Pythagoras

� Dasar identitas

Phitagoras

� Bagi dengan sin2x

� Bagi dengan cos2x tan2

x�1=sec2x

1�cot2

x=csc2x

sin2x�cos

2x=1

Identitas Trigonometri

2 2

2

2

2

cos2 cos sin

cos2 1 2sin

cos2 2cos 1

sin 2 2sin cos

2 tantan 2

1 tan

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ φ

θθ

θ

= −

= −

= −

=

=−

2sin cos sin( ) sin( )

2cos cos cos( ) cos( )

2sin sin cos( ) cos( )

θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ θ φ

= + + −

= + + −

= − − +

Identitas Trigonometricos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

sin( ) sin cos cos sin

sin( ) sin cos cos sin

tan tantan( )

1 tan tan

tan tantan( )

1 tan tan

θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ θ φ

θ φθ φ

θ φ

θ φθ φ

θ φ

+ = −

− = +

+ = +

+ = −

++ =

−

−− =

+

-